期末复习讲义07 概率6大考点-2025-2026学年高一下学期数学苏教版必修第二册

期末复习讲义07 概率 【考点一】随机事件和样本空间 【考点四】互斥事件 【考点二】频率与概率 【考点五】对立事件 【考点三】计算古典概型问题的概率 【考点六】事件的独立性 一、随机事件和样本空间（基础必考，选填为主） 1. 随机现象与随机试验 确定性现象：一定条件下结果必然发生或不发生（如标准大气压下，水加热到100℃沸腾）。 随机现象：一定条件下结果不确定，可能发生也可能不发生（如掷硬币正反面）。 随机试验：对随机现象的观察或实验，满足可重复性、结果明确性、随机性。 2. 样本空间与事件概念（核心基础） 样本点：随机试验的每一个可能结果，记为ω。 样本空间：所有样本点构成的集合，记为Ω（必然事件）。 随机事件：样本空间的子集，简称事件，用A、B、C表示。 基本事件：仅含一个样本点的事件，不可再分。 不可能事件：空集∅，一定不发生，P(∅)=0。 3. 事件的关系与运算（集合语言，高频基础） 包含关系：A⊆B，A发生则B必发生。 相等关系：A=B，A⊆B且B⊆A。 并事件（和事件）：A∪B（A+B），A、B至少一个发生。 交事件（积事件）：A∩B（AB），A、B同时发生。 互斥事件：A∩B=∅，A、B不能同时发生。 对立事件：A∩B=∅且A∪B=Ω，记B=Ā，A、B有且仅有一个发生。 4. 易错点 混淆对立与互斥：对立必互斥，互斥不一定对立； 样本空间书写遗漏：需列出所有可能结果，不重不漏； 基本事件判断错误：基本事件是不可再分的最简结果。 二、随机事件的概率（核心必考，选填+大题） 1. 频率与概率（统计定义，基础高频） 频数：n次试验中事件A发生的次数m。 频率：，随试验次数变化，是随机值。 概率：频率的稳定值，记P(A)，是确定常数，0≤P(A)≤1。 关系：频率是概率的近似值，概率是频率的稳定值，试验次数越多，频率越接近概率。 2. 古典概型（核心高频，大题必考） 定义：满足两个条件——①有限性：样本空间含有限个样本点；②等可能性：每个基本事件发生概率相等。 概率公式：。 解题步骤：①确定样本空间；②数清A包含的样本点；③代入公式计算。 常用方法：枚举法、列表法、树状图法（适用于样本点较少的情况）。 3. 概率的基本性质（高频计算） 性质1：必然事件P(Ω)=1，不可能事件P(∅)=0，0≤P(A)≤1。 性质2：若A⊆B，则P(A)≤P(B)。 性质3：互斥事件加法公式：（A∩B=∅）。 性质4：对立事件公式：（正难则反核心公式）。 性质5：一般加法公式：（A、B不互斥时用）。 4. 易错点 古典概型忽略等可能性：非等可能事件不能用； 互斥与加法公式混淆：不互斥事件误用P(A∪B)=P(A)+P(B)； 对立事件公式遗忘：复杂概率计算不会用1-P(A)简化； 频率与概率混淆：频率是变量，概率是定值。 三、互斥事件和独立事件（核心难点，大题必考） 1. 互斥事件（复习强化） 定义：A、B不能同时发生，A∩B=∅，无交集。 概率公式：；推广：（两两互斥）。 2. 相互独立事件（高频难点，大题核心） 定义：事件A的发生不影响事件B发生的概率，即，则A、B独立。 判定公式：（充要条件，必考）。 性质：若A、B独立，则A与Ā、Ā与B、Ā与Ā均独立。 独立事件同时发生概率：。 独立事件至少一个发生概率：（正难则反，高频简化）。 3. 互斥与独立的区别（高频易错） 互斥：A、B不能同时发生，A∩B=∅，； 独立：A、B发生互不影响，； 关系：一般情况下，独立不互斥，互斥不独立；仅当P(A)=0或P(B)=0时，独立且互斥。 4. 独立重复试验（拓展高频，中档大题） 定义：n次试验，每次独立，每次只有A与Ā两种结果，P(A)=p不变。 概率公式：n次中A恰好发生k次的概率。 常见题型：至少发生一次，至多发生k次等。 5. 易错点 独立与互斥混淆：独立事件误用互斥加法公式； 独立事件公式记错：与互斥公式混淆； “至少”问题不会正难则反：复杂概率计算步骤繁琐易出错； 独立重复试验条件判断错误：非独立或概率变化时误用公式。 【考点一】随机事件和样本空间 1.一只口袋中装有很多黑色围棋子（不便倒出来数），为了估计口袋中黑色围棋子的个数，聪明的小红采用以下方法：在口袋中放入10枚（质地、大小相同，只有颜色不同）白色的围棋子，混合均匀后随机摸出1枚，记下颜色后放回口袋．不断重复上述过程，小红一共摸了260次，其中摸到白色棋子共8次，则估计口袋中黑色围棋子大约有（    ） A．500枚 B．585枚 C．325枚 D．285枚 【答案】C 【分析】由题意得到黑色棋子与白色棋子的比例，进而估算出黑色棋子的个数，结合选项，即可求解. 【详解】由题意，小红共摸了260次，其中8次摸到白色棋子，则有252次摸到黑色棋子， 所以黑色棋子与白色棋子的比例为， 因为白色棋子有10枚，则黑色棋子有， 其中与答案中的325最接近. 故选：C． 2．为了扎实推进“五大行动”，学校为高一年级同学准备了形式多样的劳动课程.有种植白菜、种植蕃茄、果树整枝和害虫防治4种课程，小明要随机选报其中的2个，则该试验中样本点的个数为（    ） A．3 B．5 C．6 D．9 【答案】C 【分析】根据样本点的定义求解. 【详解】设4种课程编号为1,2,3,4，随机选报其中的2个， 样本点有：，共6个， 故选：C. 3.我国古代数学名著《数书九章》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得粒内夹谷粒，估计这批米内所夹的谷有_______石．（只要求写出运算式，不用化简） 【答案】 【分析】利用样本估计总体进行列式. 【详解】由题意可知，这批米内所夹的谷有：， 故答案为：. 4.写出下列试验的样本空间： （1）甲、乙两队进行一场足球赛，观察甲队比赛结果（包括平局）：___________； （2）从含有6件次品的50件产品中任取4件，观察其中次品数：__________. 【答案】 {胜，平，负} 【分析】（1）一场比赛结果对一个队来讲有三种，因此样本空间有有三个样本点：即{胜，平，负}； （2）总共有6件次品，而只取4件，因此次品数可能为：0,1,2,3,4，共5种情形． 【详解】（1）甲、乙两队进行一场足球赛，观察甲队比赛结果（包括平局）可能有三种情况：胜，平，负，所以{胜，平，负} （2）从含有6件次品的50件产品中任取4件，观察其中次品数可能为0，1，2，3，4，所以. 故答案为（1）{胜，平，负} ；（2） 【点睛】本题考查样本空间的概念，注意书写样本点时要做到不重不漏． 5.某中学初中部共有名老师，高中部共有名教师，其性别比例如图所示，则该校女教师的人数为__________． 【答案】 【分析】由初中部、高中部男女比例的饼图，初中部女老师占70%，高中部女老师占40%，分别算出女老师人数，再相加. 【详解】初中部女老师占70%，高中部女老师占40%， 该校女教师的人数为. 【点睛】考查统计中读图能力，从图中提取基本信息的基本能力. 6.某地有1000人参加自学考试，为了了解他们的成绩，从中抽取一个样本，若每个考生被抽到的概率都是0.04，则这个样本的容量是__________. 【答案】40 【分析】每个考生被抽到的概率等于样本容量与总体数目的比值. 【详解】由题知，样本容量. 故答案为：40. 7.学校兴趣小组要对本市某社区的居民睡眠时间进行研究，得到了以下10个数据(单位：h)：5.6，7.8，8.0，7.3，3.2，7.9，6.8，7.5，8.6，7.8．去掉数据________能很好地提高样本数据的代表性． 【答案】3.2 【分析】将极端值去掉即可提高样本数据的代表性． 【详解】解：因为数据3.2明显低于其它几个数据，是极端值，所以去掉这个数据，能够更好地提高样本数据的代表性． 故答案为：3.2 8.为了保护学生的视力，教室内的日光灯管使用一段时间后必须更换．已知某校教室内共有500根日光灯管，后勤部门随机统计了其中100根日光灯管在必须换掉前的使用天数，结果如下： 天数 151~180 181~210 211~240 241~270 271~300 301~330 331~360 361~390 灯管数 1 11 18 20 25 16 7 2 (1)试计算这100根灯管的平均使用天数； (2)第（1）题的结果是总体均值吗？ 【答案】(1)天 (2)不是 【分析】（1）求出各组的中间值，根据平均值的计算方法即可求解； （2）由样本均值与总体均值的区别即可求解. 【详解】（1）解：各组的中间值分别为，，，，，，，， 由此可计算这100根灯管的平均使用天数天； （2）解：（1）问的结果是由总体500根灯管中抽取的100根的数据计算得出，是样本均值，而不是总体均值. 9.同时掷红、蓝两颗质地均匀的正方体骰子，用表示结果，其中x表示红色骰子向上一面的点数，y表示蓝色骰子向上一面的点数. (1)写出该试验的样本空间； (2)指出所表示的事件； (3)写出“点数之和不超过5”这一事件的集合表示. 【答案】(1)答案见解析 (2)掷红、蓝两颗骰子，掷出的点数相同 (3) 【分析】（1）用列举法把基本事件一一列举即可. （2）明确基本事件的表示方法即可. （3）列举法列出满足条件的基本事件. 【详解】（1）该试验的样本空间Ω={(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，(4,5)，(4,6)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，(5,5)，(5,6)，(6,1)，(6,2)，(6,3)，(6,4)，(6,5)，(6,6)} （2）所表示的事件为“掷红、蓝两颗骰子，掷出的点数相同”. （3）事件“点数之和不超过5”就是集合. 10.某校夏令营有3名男同学A，B，C和3名女同学X，Y，Z，其年级情况如下表： 一年级 二年级 三年级 男同学 A B C 女同学 X Y Z 现从这6名同学中随机选出2人参加知识竞赛(每人被选到的可能性相同)． （1）写出该试验的样本空间Ω； （2）设事件M为“选出的2人来自不同年级且恰有1名男同学和1名女同学”，试用集合表示M． 【答案】（1）答案见解析；（2）答案见解析． 【分析】（1）从6名同学中随机选出2人，那么每个人都有可能被选到，将所有的组合列出来即可； （2）找出所有组合中，既满足2人来自不同年级，又满足恰有1名男同学和1名女同学的所有情况即可. 【详解】解（1）Ω＝{AB，AC，AX，AY，AZ，BC，BX，BY，BZ，CX，CY，CZ，XY，XZ，YZ}． （2）M＝{AY，AZ，BX，BZ，CX，CY}． 【考点二】频率与概率 11.下列说法错误的是（   ） A．为了解我国中学生的视力情况，应采取抽样调查的方式 B．频率是概率的近似值，概率是频率的稳定值 C．抽签法和随机数法是两种常用的简单随机抽样的方法 D．某种疾病的治愈率为10%，若前9个病人没有被治愈，则第10个病人一定被治愈 【答案】D 【分析】根据抽样调查的概念判断，再根据频率与概率关系，抽样的概念的，再根据概率的定义求解. 【详解】抽样调查适用于调查对象数量庞大，耗时耗力，我国中学生的数量庞大，全面调查不适用，故A正确； 根据频率与概率的关系，频率随试验次数增加趋于稳定，这个稳定值即为概率，故B正确； 抽签法和随机数法是简单随机抽样的两种基础方法，符合定义，故C正确； 独立事件的概率互不影响，治愈率为10%意味每次治疗结果独立，前人未治愈不影响第人的概率，治愈率仍为10%，故D错误. 故选：D. 12.一个袋中装有大小与质地相同的3个白球和若干个红球，某班分成20个小组进行随机摸球试验，每组各做50次，每次有放回地摸1个球并记录颜色．统计共摸到红球619次，则袋中红球的个数最有可能为（    ） A．3 B．5 C．7 D．9 【答案】B 【分析】根据频率与概率之间的关系即可列式子求解. 【详解】设红球的个数为，由题意可知：， 所以红球的个数最可能是5个， 故选：B 13．（24-25高一下·新疆喀什·期末）下列说法正确的是（    ） ①频数和频率都能反映一个对象在试验总次数中出现的频繁程度； ②每个试验结果出现的频数之和等于试验的总次数； ③每个试验结果出现的频率之和不一定等于1； ④概率就是频率． A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】根据频数、频率、概率的定义逐项判断即可. 【详解】对于①：频数是指事件发生的次数，频率是指本次试验中事件发生的次数与试验总次数的比值，二者都可以反映频繁程度，故①正确； 对于②：试验的总次数即为各个试验结果出现的频数和，故②正确； 对于③：各个试验结果的频率之和一定等于，故③错误； 对于④：概率是大量重复试验后频率的稳定值，故④错误； 故选：C. 14.（多选）某年级组建了合唱、朗诵、脱口秀、舞蹈、太极拳五个社团，该年级每名同学依据自己的兴趣爱好只参加其中一个，各个社团的人数比例的饼状图如图所示，其中参加合唱社团的同学有72名，参加脱口秀社团的有120名，则该年级（    ）    A．参加社团的同学的总人数为480 B．参加脱口秀社团的人数占五个社团总人数的25% C．参加朗诵社团的人数比参加舞蹈社团的多110人 D．从参加社团的同学中任选一名，其参加舞蹈或者脱口秀社团的概率为0.35 【答案】ABD 【分析】对于A，根据参加合唱社团的人数及所占比例可求出总人数； 对于B，根据参加脱口秀社团的人数除以总人数即可判断； 对于C，求出参加朗诵社团的人数，再求出参加舞蹈社团的比例及人数即可判断； 对于D，根据参加舞蹈的占比及参加脱口秀社团的占比即可判断. 【详解】对于A，，故参加社团的同学的总人数为480，故A正确； 对于B，参加脱口秀社团的有120名， 故参加脱口秀社团的人数占五个社团总人数的，故B正确； 对于C，参加朗诵社团的人数为， 参加舞蹈社团的占比为， 参加舞蹈社团的人数为， 故参加朗诵社团的人数比参加舞蹈社团的多人，故C错误； 对于D，从参加社团的同学中任选一名， 其参加舞蹈或者脱口秀社团的概率为，即0.35，故D正确． 故选:ABD． 15．（多选）（24-25高一上·陕西汉中·期末）下面说法错误的有（   ） A．设一批产品的次品率，则从中任取10件，必有1件是次品 B．天气预报：“明天降雨概率为90%”，则明天可能不下雨 C．随机事件发生的频率就是这个随机事件发生的概率 D．做8次抛硬币的试验，结果5次出现正面，则抛一枚硬币出现正面的概率是 【答案】ACD 【分析】根据概率和频率的定义逐一分析即可. 【详解】对于A，次品率描述的是次品的可能情况，故A错误； 对于B，天气预报：“明天降雨概率为90%”，则明天可能不下雨，故B正确； 对于CD，概率应该是多次重复试验中事情发生的频率在某一常数附近，此常数可为概率， 做8次抛硬币的试验，结果5次出现正面，则该实验抛一枚硬币出现正面的频率是，故CD错误. 故选：ACD. 16.“键盘侠”一词描述了部分网民在现实生活中胆小怕事、自私自利，却习惯在网络上大放厥词的一种现象.某地新闻栏目对该地区群众对“键盘侠”的认可程度进行调查：在随机抽取的50人中，有15人持认可态度，其余持反对态度，若该地区有9600人，则可估计该地区对“键盘侠”持反对态度的有___人. 【答案】6720 【分析】先求得样本持反对态度的频率，进而可估计该地区对“键盘侠”持反对态度的人数. 【详解】在随机抽取的50人中，持反对态度的频率为， 则可估计该地区对“键盘侠”持反对态度的有（人）. 故答案为：6720 17.某种福利彩票的中奖概率为0.1％，若某人买这种彩票999次，均未中奖，则此人第1000次买这种彩票中奖的概率为__________． 【答案】0.1％ 【分析】根据概率的意义判断各选项即可. 【详解】概率表示事件发生的可能性的大小,并不代表事件发生的频率，“某彩票的中奖概率为”意味着购买彩票中奖的可能性为. 故答案为：0.1％ 18.为了调查秦岭野生动物保护区内某种野生动物的数量，调查人员某天逮到这种动物400只，作好标记后放回，经过一星期后，又逮到这种动物500只，其中作过标记的有25只，按概率的方法估算，保护区内约有___________只该种动物． 【答案】8000 【分析】根据题意，设保护区内约有只这种动物，由概率的性质可得，解可得的值，即可得答案． 【详解】解：根据题意，设保护区内约有只这种动物， 则有，解可得， 则保护区内约有8000只这种动物， 故答案为：8000． 19.（23-24高一下·河北张家口·期末）如图所示，正方形ABCD的边长为2，点是正方形的中心，点E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA四边的中点．现在以为起点，再从A，E，B，F，C，G，D，H中任取两点分别为终点得到两个向量，不妨分别记为和． (1)请直接写出的所有可能值组成的集合； (2)在的所有值中，你觉得哪一个值发生的可能性最大，并说明理由． 【答案】(1)； (2)，理由见解析. 【分析】（1）根据给定的图形，确定和的模的可能值，和的夹角的可能值，再利用数量的定义求解即得. （2）利用（1）的信息，求出取得各个值的种数，再比较即得. 【详解】（1）依题意，， ，， ， ， ， 向量和的模是集合中元素，和的夹角， 当时，，当时，， 当时，，当时，或， 所以的所有可能值组成的集合是. （2）在的所有值中，发生的可能性最大， 由（1）知，的情况有8种，的情况有8种， 的情况有10种，的情况有2种，因此的情况最多， 所以在的所有值中，发生的可能性最大. 20．（23-24高一下·云南楚雄·期末）某大型商超每天以每公斤1元的价格从蔬菜批发行购进若干公斤青菜，然后以每公斤2元的价格出售．如果当天卖不完，那么剩下的青菜当作福利分给有需要的员工 (1)若该商超一天购进800公斤青菜，求当天出售青菜的利润y（单位：元）关于当天青菜需求量x（单位：公斤）的函数解析式 (2)该商超记录了100天青菜的日需求量（单位：公斤），整理得到下表． 日需求量x 770 780 790 800 820 830 频数 5 10 20 35 20 10 （ⅰ）假设该大型商超在这100天内每天购进800公斤青菜，求这100天出售青菜的日利润（单位：元）的平均数； （ⅱ）若该大型商超一天购进800公斤青菜，以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率，求当天的利润不少于780元的概率． 【答案】(1) (2)（ⅰ）789元；（ⅱ）0.85 【分析】（1）由题意可知需要对进行分类讨论，很容易得到函数解析式； （2）（ⅰ）根据分层计算出不同日需求量的利润即可求解；（ⅱ）以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率即可求解. 【详解】（1）当时，； 当时，． 故关于的函数解析式为 （2）（i）这100天有5天的日利润为元， 10天的日利润为元， 20天的日利润为元， 65天的日利润为800元， 所以这100天出售青菜的日利润的平均数为元． （ⅱ）若当天的利润不少于780元，则当日需求量不少于790公斤 故当天的利润不少于780元的概率为． 【考点三】计算古典概型问题的概率 21.（24-25高一下·内蒙古锡林郭勒·期末）掷一颗骰子，出现点数是2或4的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由等可能性结合题意可得. 【详解】由等可能性可知，出现点数是2和4的概率各为，所以出现点数是2或4的概率是. 故选：B. 22．（24-25高一下·湖南岳阳·期末）从2名男生和2名女生中任意选出两人参加学校辩论赛，则选出的两人恰好是两名女生的概率是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据给定条件，利用列举法求出古典概率即可. 【详解】记2名男生为，2名女生为， 任意选出两人的样本空间为，共6个样本点， 设选出的两人恰好是两名女生为事件，则，共1个样本点， 故选出的两人恰好是两名女生的概率是. 故选：B. 23．（24-25高一下·黑龙江绥化·期末）从某校高一年级学生60名女生中，经调查偏理科的40人，偏文科的20人，利用分层抽样抽取6人，随机抽取3人，至少有2人偏理科的概率是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据分层抽样得到抽取6人中偏理科和偏文科的人数，利用列举法求古典概型的概率. 【详解】60名女生中，偏理科与偏文科的人数比为， 所以分层抽样抽取6人，偏理科的人数为，设为， 偏文科的人数为，设为， 故随机抽取3人，一共有以下情况， ， ， ，共20种情况， 其中至少有2人偏理科的情况为 ， ， 共16种情况，所以随机抽取3人，至少有2人偏理科的概率是. 故选：D 24.（多选）（23-24高一下·重庆·期末）抛一枚质地均匀的硬币两次，事件“第1次硬币正面朝上”，事件“第2次硬币正面朝上”，事件“两次硬币朝上的面相同”则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】首先列举样本空间，再根据选项，分析事件，并计算概率. 【详解】抛一枚质地均匀的硬币两次包含（正正），（正反），（反正），（反反），共4种情况， 所以，故A正确，B错误； 为事件（正正），则，即，故C正确； 为事件（正正），则，所以，故D错误. 故选：AC 25．（多选）（23-24高一下·广东梅州·期末）某中学三个年级学生共2000人，且各年级人数比例如以下扇形图．现因举办校庆活动，以分层抽样的方式从中随机选出志愿服务小组，已知选出的志愿服务小组中高一学生有32人，则下列说法正确的有（   ） A．该学校高一学生共800人 B．志愿服务小组共有学生96人 C．志愿服务小组中高三学生共有20人 D．某高三学生被选入志愿服务小组的概率为 【答案】ACD 【分析】由图可知各年级占总人数的比例即可判断；由分层抽样的比例可判断，；根据高三学生人数和入选人数即可判断. 【详解】对A，由图可知，高三年级学生人数占总人数的，高二年级学生人数占总人数的， 所以高一年级学生人数占总人数的， 所以高一学生共人，故正确； 对B，因为，所以志愿服务小组共有学生人；故错误； 高三学生共人， 对C，志愿服务小组中高三学生共有人，故正确； 高三学生共人，选入志愿服务小组的有人， 对D，所以某高三学生被选入志愿服务小组的概率为，故正确. 故选：ACD 26.（24-25高一下·安徽蚌埠·期末）某种心脏手术，成功率为0.9，现采用随机模拟方法估计“3例心脏手术全部成功”的概率：先利用计算器或计算机产生之间取整数值的随机数，由于成功率是0.9，我们用0表示手术不成功，1,2,3,4,5,6,7,8,9表示手术成功；再以每3个随机数为一组，作为3例手术的结果，经随机模拟产生如下10组随机数：812，832，569，683，271，989，730，537，925，907由此估计“3例心脏手术全部成功”的概率为___________. 【答案】0.8/ 【分析】根据题意和数据即可求出“3例心脏手术全部成功”的概率. 【详解】由题意，10组随机数：812,832,569,683,271,989,730,537,925,907， 表示“3例心脏手术全部成功”的有812,832,569,683,271,989,537,925，共8个， 故估计“3例心脏手术全部成功”的概率为. 故答案为：0.8. 27．（24-25高一上·贵州遵义·期末）从装有2个红球和2个绿球的口袋内任取2个球观察颜色.设事件为“所取两个球至少有一个绿球”，事件为“所取两个球恰有一个红球”，则_____. 【答案】 【分析】根据古典概型公式，结合条件分析求解，即可得答案. 【详解】记两个红球为，两个绿球为， 所取两个球，所有基本事件为，共6种， 由题意，事件A和事件B同时发生的事件为：所取两个球一个红球一个绿球， 包含的事件为，共4种， 所以. 故答案为： 28．（24-25高一下·河南安阳·期末）从装有3个红球和2个黑球的盒子中不放回地一次随机抽取2个球（球除颜色外，其余完全相同），则至少抽到1个黑球的概率为______． 【答案】/ 【分析】利用列举法可得总样本空间为10个，符合的有7个，利用古典概率即可求解. 【详解】设3个红球分别为，2个黑球分别为， 则试验的样本空间为，共10个样本点， 选出的2个球中至少有1个黑球包含的样本点为，共7个， 则所求概率为． 故答案为：. 29.（24-25高一下·湖南·期末）俄乌战争中无人机颠覆了传统战争的思维定式.无人机也给人们的生产、生活带来了很多的便捷.在一次无人机展会上，有三家公司参与了展销活动，甲公司带来了3款无人机，乙公司带来了2款无人机，丙公司带来了1款无人机，一购货商准备从中任选2款. (1)用适当的符号表示所有的可能结果，写出样本空间； (2)记事件“恰有一款是甲公司的”，求事件A发生的概率； (3)记事件“没有丙公司的”，求事件B发生的概率. 【答案】(1)样本空间 (2) (3) 【分析】（1）设甲公司的3款无人机为，，，乙公司的2款无人机为，，丙公司的1款无人机为c，利用枚举法可得样本空间； （2）列出符合题意的样本点，进而利用古典概型概率公式可求解； （3）列出符合题意的样本点，进而利用古典概型概率公式可求解. 【详解】（1）设甲公司的3款无人机为，，，乙公司的2款无人机为，，丙公司的1款无人机为c， 则样本空间； （2）由已知可得， 则； （3）由已知可得， 则. 30．（24-25高一下·贵州黔西南·期末）现有一红一绿两颗质地均匀的正方体骰子，六个面上分别标有数字1，2，3，4，5，6，在抛掷骰子的试验中： (1)若只抛掷红色的骰子，记下骰子落地时朝上的面的点数，写出该试验的样本空间；设“骰子朝上的点数大于3”，求事件的概率； (2)若同时抛掷两枚骰子，记下骰子朝上的面的点数.若用表示红色骰子的点数，用表示绿色骰子的点数，用表示一次实验的结果.设“两个点数之和等于8”，“至少有一颗骰子的点数为5”，分别求出事件，的概率. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据样本空间的定义、古典概型概率计算公式即可求解； （2）依次算出,，根据古典概型概率计算公式即可求解. 【详解】（1）样本空间为，设“骰子朝上的点数大于3”，则， 所以事件的概率为； （2）由题意，设“两个点数之和等于8”，“至少有一颗骰子的点数为5”， 则， ， 所以， 所以. 【考点四】互斥事件 31.（25-26高一上·江西九江·期末）某高中拟从校文艺部随机选一名学生参加当地社区的文艺汇演，选中高一学生的概率为，选中高二学生的概率为，则选中高三学生的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，根据互斥事件的概率加法公式，即可求解. 【详解】设事件“选中高一学生”， “选中高二学生”， “选中高三学生”， 可得事件之间互为互斥事件，且， 所以， 所以选中高三学生的概率为. 故选：A. 32．（23-24高一下·江西宜春·期末）一个不透明袋子中有大小和质地均相同的3个小球，分别标有数字1，2，3，先后不放回地摸出两个球，若第二次摸出球的号码比第一次大，则选择第二次摸出的球，否则选择未被摸出的球，则选到3号球的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分别列举选球的可能性，再根据互斥事件的概率公式求解即可. 【详解】从标有数字1，2，3，先后不放回地摸出两个球，则所有可能结果有，，，，，， 选到3号球有两种可能：第二次摸出的为3号球，或第一次摸出2号球，第二次摸出1号球， 则满足第二次摸出的为3号球的有，，所以第二次摸出的为3号球的概率； 第一次摸出2号球，第二次摸出1号球的概率； 所以选到3号球的概率. 故选：C. 33．（23-24高一下·山东济南·期末）从装有两个白球和两个黄球的口袋中任取两个球，下列各组事件中，是互斥事件的是（    ） A．“至少一个白球”与“至少一个黄球” B．“恰有一个白球”与“恰有两个白球” C．“至多一个白球”与“至多一个黄球” D．“至少一个黄球”与“都是黄球” 【答案】B 【分析】利用互斥事件不可能同时发生，来检验各选项即可. 【详解】从装有两个白球和两个黄球的口袋中任取两个球， 共有三种结果：两白球，一白一黄，两黄球， 这三个事件是互斥事件.所以B是正确的； 由于至少一个白球，包含事件有两白球和一白一黄， 而至少一个黄球包含两黄球和一白一黄， 当取到一白一黄时，此时这两个事件同时发生，故A错误； 由于至多一个白球，包含事件有一白一黄和两黄球， 而至多一个黄球包含一黄一白和两白球， 所以当取到一白一黄时，此时两个事件同时发生，故C错误； 由于至少一个黄球，包含事件一白一黄和两黄球， 而都是黄球显然也是两黄球，故D错误； 故选：B. 34.（多选）（23-24高一下·河南开封·期末）已知，，则下列说法中正确的是（    ） A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果互斥，那么 D．如果互斥，那么 【答案】ABC 【分析】对于AB，由可得即可；对于CD，由互斥可得即可. 【详解】对于AB，由可得, 所以,故AB正确； 对于CD，由互斥可得， 所以,故C正确，D错误. 故选：ABC. 35．（多选）（23-24高一下·陕西西安·期末）已知事件两两互斥，若，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】根据事件互斥的性质依次判断选项即可. 【详解】因为事件两两互斥，所以.因为，，所以，则正确. 因为，，所以，则正确. 因为事件两两互斥，所以，则错误. 因为，所以，则正确. 故选：ABD 36.（23-24高一下·黑龙江哈尔滨·期末）若事件与互斥，且，则__________. 【答案】/ 【分析】根据互斥事件的概率公式计算可得. 【详解】因为事件与互斥，且， 所以. 故答案为： 37．（23-24高一下·湖南岳阳·期末）某商场举行有奖促销活动，购满100元商品得1张奖券，多购多得.1000张奖券为一个开奖单位，设特等奖1个，一等奖10个，二等奖50个.设1张奖券中特等奖､一等奖､二等奖的事件分别为，则1张奖券的中奖概率为__________. 【答案】/ 【分析】根据古典概型及互斥事件的概率公式计算可得. 【详解】设事件“张奖券中奖”，则， 事件两两互斥，且，，， ， 故1张奖券的中奖概率为. 故答案为： 38．（23-24高一下·吉林通化·期末）已知事件两两互斥，若，则__________. 【答案】 【分析】根据互斥事件的概率加法公式即可求解. 【详解】因为事件两两互斥， 所以， 又因为， 所以， 同理可得， 所以. 故答案为：. 39.甲、乙两人下棋，两人下成和棋的概率是，甲不输的概率是，则甲赢的概率为______. 【答案】 【分析】根据互斥事件的概率运算求解. 【详解】因为甲、乙两人下棋，两人下成和棋的概率是，甲不输的概率是， 所以甲赢的概率为. 故答案为： 【点睛】本题考查互斥事件的概率求解，属于基础题. 40.甲、乙两人玩一种猜数游戏，每次由甲、乙各出1到4中的一个数，若两个数的和为偶数算甲赢，否则算乙赢． （1）若事件A表示“两个数的和为5”，求P(A)； （2）现连玩三次，若事件B表示“甲至少赢一次”，事件C表示“乙至少赢两次”，试问B与C是不是互斥事件?为什么? （3）这种游戏规则公平吗?试说明理由． 【答案】（1）0.25；（2）不是，理由见解析；（3）公平，理由见解析. 【分析】（1）根据基本事件总数，写出事件A包含的基本事件，即可得解； （2）事件B与C可以同时发生，所以他们不是互斥事件； （3）分别计算甲乙赢得比赛的概率进行判断. 【详解】（1）易知样本点总数n=16，且每个样本点出现的可能性相等. 事件A包含的样本点共4个:(1，4)，(2，3)，(3，2)，(4，1)， 所以P(A)=0.25       （2）B与C不是互斥事件 理由:因为事件B与C可以同时发生，如甲赢一次，乙赢两次 （3）这种游戏规则公平.理由如下: 和为偶数的样本点有:(1，1)，(1，3)， (2，2)，(2，4)，(3，1)，(3，3)， (4，2)，(4，4)，共8个， 所以甲赢的概率为0.5，乙赢的概率为0.5，所以这种游戏规则公平. 【考点五】对立事件 41.（25-26高一下·全国·期末）甲、乙两颗卫星同时独立的监测台风．在同一时刻，甲、乙两颗卫星准确预报台风的概率分别为0.8和0.75，则在同一时刻至少有一颗卫星预报准确的概率为（   ） A．0.95 B．0.6 C．0.05 D．0.4 【答案】A 【分析】方法一：逐个分析至少有一颗卫星预报准确的所有可能的事件，依次求其概率后相加，方法二：正难则反，“在同一时刻至少有一颗卫星预报准确”的对立事件是“在同一时刻甲、乙两颗卫星预报都不准确” 用1减去对立事件的概率即可. 【详解】设在同一时刻至少有一颗卫星预报准确为事件， 方法一：在同一时刻至少有一颗卫星预报准确可分为： ①甲预报准确，乙预报不准确，此事件的概率为， ②甲预报不准确，乙预报准确，此事件的概率为， ③甲预报准确，乙预报准确，此事件的概率为， 这三个事件彼此互斥，故事件的概率为， 方法二：“在同一时刻至少有一颗卫星预报准确”的对立事件是 “在同一时刻甲、乙两颗卫星预报都不准确”， 故事件的概率为． 42．（24-25高一下·河北唐山·期末）某小组有4名男生和2名女生，从中任选2名同学去参加歌咏比赛，下列选项中是互斥而不对立的两个事件的是（    ） A．至少有1名男生和至少有1名女生 B．至少有1名男生和全是男生 C．至少有1名男生和全是女生 D．恰有1名男生和恰有2名男生 【答案】D 【分析】根据互斥一定对立，对立不一定互斥的定义逐项分析判断即可. 【详解】A. 当选到一男一女时，至少有1名男生和至少有1名女生同时发生，既不互斥也不对立，A错误 B. 两名都是男生时，至少有1名男生和全是男生同时发生，既不互斥也不对立，B错误 C. 至少有1名男生和全是女生，是对立事件，C错误 D. 恰有1名男生和恰有2名男生，互斥而不对立，D正确. 故选：D 43.．（24-25高一下·吉林·期末）已知随机事件和互斥，和对立，且，则（ ） A．0.3 B．0.4 C．0.5 D．0.7 【答案】D 【分析】根据对立事件与互斥事件的概率公式及概率的性质求解即可. 【详解】由和对立，可得，则， 又由随机事件和互斥可知， 所以. 故选：D． 44.（多选）（24-25高一下·河南许昌·期末）柜子里有2双不同的鞋，从中随机地取出2只，记事件“取出的鞋不成双”，事件“取出的鞋都是左脚的”，事件“取出的鞋都是一只脚的”，事件“取出的鞋是一只左脚一只右脚的，但不是一双鞋”，则下列结论成立的是（    ） A． B． C．B与D互斥 D．C与D对立 【答案】ABC 【分析】根据事件的关系对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】选项A：事件是“取出的鞋不成双”，事件是“取出的鞋是一只左脚一只右脚的， 但不是一双鞋”，发生时一定发生，所以，A正确。 选项B：事件是“取出的鞋都是一只脚的”，包含“都是左脚”和“都是右脚”； 事件是“一只左脚一只右脚但不成双”， （不成双）就是“都是一只脚（）”或“一只左脚一只右脚但不成双（）”， 即，B正确。 选项C：事件（都是左脚）与事件（一只左脚一只右脚但不成双）不可能同时发生， 所以与互斥，C正确。 选项D：事件（都是一只脚）与事件（一只左脚一只右脚但不成双），除了和的情况， 还有“取出的鞋是一双”的情况，所以与不对立，D错误。 故选：ABC 45．（多选）（25-26高一上·辽宁鞍山·期末）抛掷一枚质地均匀的骰子，观察向上的面的点数，“点数为奇数”记为事件A，“点数小于5”记为事件B，“点数大于5”记为事件C．下列说法正确的是（    ） A． B． C．与对立 D． 【答案】AD 【分析】用列举法列举出所有的基本事件，利用古典概型概率计算公式求得即可判断A、B、D选项，根据对立事件的概念可判断C选项. 【详解】样本空间为，事件，事件，事件. ，A正确； ，B错误； ∵，∴与互斥，但，所以与不是对立事件，故C错误； ∵，∴，即，故D正确. 故选：AD 46.（24-25高一下·河北邢台·期末）已知为互斥事件，且，则__________. 【答案】/ 【分析】利用互斥事件和的概率公式求得再利用对立事件的概率求解即得. 【详解】因为为互斥事件，则， 所以. 故答案为：. 47．（24-25高一下·吉林·期末）已知随机事件与对立，与相互独立，若，则___________. 【答案】0.18/ 【分析】根据对立事件的概率公式求出，根据独立事件的概率公式求出． 【详解】因为与对立，所以， 又与相互独立，所以． 故答案为：0.18． 48．（24-25高一上·辽宁·期末）已知事件A与B互斥，且，则________． 【答案】 【分析】由互斥事件的概率加法公式及对立事件概率公式可得答案. 【详解】因为事件A与B互斥，且， 所以，则． 故答案为： 49.（24-25高一下·甘肃白银·期末）从乒乓球协会中抽取6名运动员，且编号分别为，现从这6名运动员中随机抽取2人参加双打比赛. (1)请写出此次抽取的样本空间； (2)设事件为“编号为和的三名运动员中至多有1人被抽到”，求事件发生的概率. 【答案】(1)答案见解析 (2) 【分析】（1）一一列举出6名运动员两两组合的所有可能即可； （2）找出样本空间中符合事件要求的样本点，使用古典概型概率公式，结合概率之和为1计算即可. 【详解】（1）从6名运动员中随机抽取2人参加双打比赛的样本空间为： （2）由题意可知，事件为“编号为和的三名运动员中恰有2人被抽到”， 事件的样本点有，，，共3种， 样本空间的样本点有15种， 所以事件发生的概率. 50．（24-25高一下·贵州安顺·期末）一个袋子中有大小和质地均相同的四个球，其中有两个红球（标号为1和2），一个黑球（标号为3），一个白球（标号为4）．从袋中不放回地依次随机摸出2个球．设事件“第一次摸到红球”，“第二次摸到黑球”，“摸到的两个球恰为一个红球和一个白球”． (1)用数组表示可能的结果，是第一次摸到的球的标号，是第二次摸到的球的标号，试用集合的形式写出试验的样本空间； (2)求事件A，B，C中至少有一个发生的概率． 【答案】(1)答案见解析； (2) 【分析】（1）直接写出样本空间即可； （2）先计算出事件A，B，C发生的概率，进而得到事件A，B，C均没有发生的概率，利用对立事件求概率公式得到答案. 【详解】（1）； （2）事件为，包含6个基本事件， 由（1）知，样本空间中共12个基本事件，故， 事件为，包含3个基本事件，故； 事件为，包含4个基本事件，故， 事件A，B，C均没有发生的概率为， 故事件A，B，C中至少有一个发生的概率为. 【考点六】事件的独立性 51.（24-25高一下·云南曲靖·期末）已知事件与事件相互独立，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据条件，利用相互独立事件的概率公式，即可求解. 【详解】因为事件A，B是相互独立事件，所以事件也是相互独立事件， 又，所以， 故. 故选：A. 52．（24-25高一下·河北唐山·期末）唐山河头老街景区近期持续火爆出圈．甲、乙2人暑假来此地旅游的概率分别为，，假定2人的行动相互没有影响，则暑假至少有1人来此地旅游的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据给定条件，利用相互独立事件及对立事件的概率公式计算得解. 【详解】暑假两人都没来此地旅游的概率为， 所以暑假至少有1人来此地旅游的概率为. 故选：B 53．（24-25高一下·黑龙江哈尔滨·期末）已知甲、乙两位射箭运动员射中10环的概率均为，且甲、乙两人射箭的结果互不影响，若两人各射箭一次，则甲、乙两人中至少有一人射中10环的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用独立事件的乘法公式及对立事件的概率公式即可求解. 【详解】记“甲射中10环”为事件，“乙射中10环”为事件，， 甲、乙两人中至少有一人射中10环的概率为： . 故选：D． 54.（多选）（23-24高一下·甘肃酒泉·期末）有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中有放回的随机取两次，每次取1个球．甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是8”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是7”，则（    ） A．甲与丙相互独立 B．甲与丁相互独立 C．丙与丁相互独立 D．乙与丙不相互独立 【答案】BD 【分析】计算各事件概率，再根据独立事件概率的关系依次判断每个选项得到答案. 【详解】两次取出的球的数字之和为8，有共5种情况， 所以；两次取出的球的数字之和为7，有共6种情况， 所以；； 对于A，，故甲与丙不相互独立，错误； 对于B，，故甲与丁相互独立，正确； 对于C，，故丙与丁不相互独立，错误. 对于D，，故乙与丙不相互独立，正确； 故选：BD. 55．（多选）（25-26高一上·江西吉安·期末）若，，，则（   ） A．事件与不互斥 B．事件与对立 C．事件与互相独立 D． 【答案】ACD 【分析】根据互斥事件和对立事件的概念，以及积事件的概念，判断选项A，B正误；根据事件相互独立的概念，判断选项C的正误，根据和事件概率的求法，判断选项D的正误； 【详解】已知，即事件同时发生的概率不为，所以事件与不互斥，所以A正确； 已知事件与不互斥，则事件与不对立，所以B错误； 已知，则，因为，所以， 所以事件与互相独立，所以C正确； 可知，所以D正确； 故选：ACD. 56.．（24-25高一下·湖南·期末）假设，，且A与B相互独立，则________． 【答案】 【分析】由事件的相互独立知，再根据求解即可． 【详解】由，，且A与B相互独立， 则， 所以． 故答案为：． 57.（24-25高一下·吉林长春·期末）设是两个相互独立事件，且，，则________. 【答案】 【分析】根据独立事件的概率乘法公式与和事件的概率公式计算即得. 【详解】因是两个相互独立事件，则也相互独立，即， 因，则， 则 . 故答案为：. 58．（24-25高一下·山东青岛·期末）若事件A，B相互独立，，，则________. 【答案】/ 【分析】应用互斥事件概率加法公式及独立事件概率乘法公式及对立事件概率公式计算求解. 【详解】因为事件A，B相互独立，所以与相互独立，与相互独立， 所以，， 因为互斥，所以. 故答案为： 59.（24-25高一下·新疆和田·期末）和田地区位于塔里木盆地南缘，干旱少雨.据悉，气象部门预测东面的民丰县明天有雨的概率为0.3，西部皮山县有雨的概率为0.4，请回答以下三问. (1)明天民丰县和皮山县都下雨的概率为多大？ (2)都不下雨的概率为多大？ (3)两地至少有一地下雨的概率为多大？ 【答案】(1)0.12 (2)0.42 (3)0.58 【分析】（1）（2）根据相互独立事件的概率公式即可求解， （3）利用对立事件的概率公式求解. 【详解】（1）记事件A=“明天民丰县下雨”， B=“明天西部皮山县下雨”， 则, 由于事件相互独立，故 （2）由于事件相互独立，故 （3）由（2）可知两地都不下雨的概率0.42， 故两地至少有一地下雨的概率为 60．（24-25高一下·福建福州·期末）甲、乙两人参加某高校的入学面试，入学面试有3道难度相当的题目，甲答对每道题目的概率都是，乙答对每道题目的概率都是，对抽到的不同题目能否答对是独立的，且甲、乙两人答题互不影响； (1)求甲、乙两人共答对5道题目的概率． (2)若每位面试者共有三次机会，一旦某次答对抽到的题目，则面试通过，否则就一直抽题到第3次为止，求甲、乙两人只有一人通过面试的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用相互独立事件概率乘法公式，再结合互斥事件加法公式即可求解； （2）先求甲乙两人分别没通过面试的概率，再利用对立事件，即可得到甲乙两人分别通过面试的概率，然后利用两人中仅有一人通过，结合两相互独立事件概率乘法公式即可求解. 【详解】（1）设“甲答对3道题目”, “甲答对2道题目” “乙答对3道题目”， “乙答对2道题目”，根据独立事件的性质，可得， ，    ， ，     ， 设为 “甲、乙两人共答对5道题目”， 则，因为与互斥，与，与分别相互独立，， 所以甲、乙两人共答对5道题目的概率． （2）C=“甲通过面试”，D=“乙通过面试”，与相互独立， ， E=“甲、乙两人只有一人通过面试”，则，因为与互斥， 与，与分别相互独立， 所以甲、乙两人只有一人通过面试的概率 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 期末复习讲义07 概率 【考点一】随机事件和样本空间 【考点四】互斥事件 【考点二】频率与概率 【考点五】对立事件 【考点三】计算古典概型问题的概率 【考点六】事件的独立性 一、随机事件和样本空间（基础必考，选填为主） 1. 随机现象与随机试验 确定性现象：一定条件下结果必然发生或不发生（如标准大气压下，水加热到100℃沸腾）。 随机现象：一定条件下结果不确定，可能发生也可能不发生（如掷硬币正反面）。 随机试验：对随机现象的观察或实验，满足可重复性、结果明确性、随机性。 2. 样本空间与事件概念（核心基础） 样本点：随机试验的每一个可能结果，记为ω。 样本空间：所有样本点构成的集合，记为Ω（必然事件）。 随机事件：样本空间的子集，简称事件，用A、B、C表示。 基本事件：仅含一个样本点的事件，不可再分。 不可能事件：空集∅，一定不发生，P(∅)=0。 3. 事件的关系与运算（集合语言，高频基础） 包含关系：A⊆B，A发生则B必发生。 相等关系：A=B，A⊆B且B⊆A。 并事件（和事件）：A∪B（A+B），A、B至少一个发生。 交事件（积事件）：A∩B（AB），A、B同时发生。 互斥事件：A∩B=∅，A、B不能同时发生。 对立事件：A∩B=∅且A∪B=Ω，记B=Ā，A、B有且仅有一个发生。 4. 易错点 混淆对立与互斥：对立必互斥，互斥不一定对立； 样本空间书写遗漏：需列出所有可能结果，不重不漏； 基本事件判断错误：基本事件是不可再分的最简结果。 二、随机事件的概率（核心必考，选填+大题） 1. 频率与概率（统计定义，基础高频） 频数：n次试验中事件A发生的次数m。 频率：，随试验次数变化，是随机值。 概率：频率的稳定值，记P(A)，是确定常数，0≤P(A)≤1。 关系：频率是概率的近似值，概率是频率的稳定值，试验次数越多，频率越接近概率。 2. 古典概型（核心高频，大题必考） 定义：满足两个条件——①有限性：样本空间含有限个样本点；②等可能性：每个基本事件发生概率相等。 概率公式：。 解题步骤：①确定样本空间；②数清A包含的样本点；③代入公式计算。 常用方法：枚举法、列表法、树状图法（适用于样本点较少的情况）。 3. 概率的基本性质（高频计算） 性质1：必然事件P(Ω)=1，不可能事件P(∅)=0，0≤P(A)≤1。 性质2：若A⊆B，则P(A)≤P(B)。 性质3：互斥事件加法公式：（A∩B=∅）。 性质4：对立事件公式：（正难则反核心公式）。 性质5：一般加法公式：（A、B不互斥时用）。 4. 易错点 古典概型忽略等可能性：非等可能事件不能用； 互斥与加法公式混淆：不互斥事件误用P(A∪B)=P(A)+P(B)； 对立事件公式遗忘：复杂概率计算不会用1-P(A)简化； 频率与概率混淆：频率是变量，概率是定值。 三、互斥事件和独立事件（核心难点，大题必考） 1. 互斥事件（复习强化） 定义：A、B不能同时发生，A∩B=∅，无交集。 概率公式：；推广：（两两互斥）。 2. 相互独立事件（高频难点，大题核心） 定义：事件A的发生不影响事件B发生的概率，即，则A、B独立。 判定公式：（充要条件，必考）。 性质：若A、B独立，则A与Ā、Ā与B、Ā与Ā均独立。 独立事件同时发生概率：。 独立事件至少一个发生概率：（正难则反，高频简化）。 3. 互斥与独立的区别（高频易错） 互斥：A、B不能同时发生，A∩B=∅，； 独立：A、B发生互不影响，； 关系：一般情况下，独立不互斥，互斥不独立；仅当P(A)=0或P(B)=0时，独立且互斥。 4. 独立重复试验（拓展高频，中档大题） 定义：n次试验，每次独立，每次只有A与Ā两种结果，P(A)=p不变。 概率公式：n次中A恰好发生k次的概率。 常见题型：至少发生一次，至多发生k次等。 5. 易错点 独立与互斥混淆：独立事件误用互斥加法公式； 独立事件公式记错：与互斥公式混淆； “至少”问题不会正难则反：复杂概率计算步骤繁琐易出错； 独立重复试验条件判断错误：非独立或概率变化时误用公式。 【考点一】随机事件和样本空间 1.一只口袋中装有很多黑色围棋子（不便倒出来数），为了估计口袋中黑色围棋子的个数，聪明的小红采用以下方法：在口袋中放入10枚（质地、大小相同，只有颜色不同）白色的围棋子，混合均匀后随机摸出1枚，记下颜色后放回口袋．不断重复上述过程，小红一共摸了260次，其中摸到白色棋子共8次，则估计口袋中黑色围棋子大约有（    ） A．500枚 B．585枚 C．325枚 D．285枚 2．为了扎实推进“五大行动”，学校为高一年级同学准备了形式多样的劳动课程.有种植白菜、种植蕃茄、果树整枝和害虫防治4种课程，小明要随机选报其中的2个，则该试验中样本点的个数为（    ） A．3 B．5 C．6 D．9 3.我国古代数学名著《数书九章》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得粒内夹谷粒，估计这批米内所夹的谷有_______石．（只要求写出运算式，不用化简） 4.写出下列试验的样本空间： （1）甲、乙两队进行一场足球赛，观察甲队比赛结果（包括平局）：___________； （2）从含有6件次品的50件产品中任取4件，观察其中次品数：__________. 5.某中学初中部共有名老师，高中部共有名教师，其性别比例如图所示，则该校女教师的人数为__________． 6.某地有1000人参加自学考试，为了了解他们的成绩，从中抽取一个样本，若每个考生被抽到的概率都是0.04，则这个样本的容量是__________. 7.学校兴趣小组要对本市某社区的居民睡眠时间进行研究，得到了以下10个数据(单位：h)：5.6，7.8，8.0，7.3，3.2，7.9，6.8，7.5，8.6，7.8．去掉数据________能很好地提高样本数据的代表性． 8.为了保护学生的视力，教室内的日光灯管使用一段时间后必须更换．已知某校教室内共有500根日光灯管，后勤部门随机统计了其中100根日光灯管在必须换掉前的使用天数，结果如下： 天数 151~180 181~210 211~240 241~270 271~300 301~330 331~360 361~390 灯管数 1 11 18 20 25 16 7 2 (1)试计算这100根灯管的平均使用天数； (2)第（1）题的结果是总体均值吗？ 9.同时掷红、蓝两颗质地均匀的正方体骰子，用表示结果，其中x表示红色骰子向上一面的点数，y表示蓝色骰子向上一面的点数. (1)写出该试验的样本空间； (2)指出所表示的事件； (3)写出“点数之和不超过5”这一事件的集合表示. 10.某校夏令营有3名男同学A，B，C和3名女同学X，Y，Z，其年级情况如下表： 一年级 二年级 三年级 男同学 A B C 女同学 X Y Z 现从这6名同学中随机选出2人参加知识竞赛(每人被选到的可能性相同)． （1）写出该试验的样本空间Ω； （2）设事件M为“选出的2人来自不同年级且恰有1名男同学和1名女同学”，试用集合表示M． 【考点二】频率与概率 11.下列说法错误的是（   ） A．为了解我国中学生的视力情况，应采取抽样调查的方式 B．频率是概率的近似值，概率是频率的稳定值 C．抽签法和随机数法是两种常用的简单随机抽样的方法 D．某种疾病的治愈率为10%，若前9个病人没有被治愈，则第10个病人一定被治愈 12.一个袋中装有大小与质地相同的3个白球和若干个红球，某班分成20个小组进行随机摸球试验，每组各做50次，每次有放回地摸1个球并记录颜色．统计共摸到红球619次，则袋中红球的个数最有可能为（    ） A．3 B．5 C．7 D．9 13．（24-25高一下·新疆喀什·期末）下列说法正确的是（    ） ①频数和频率都能反映一个对象在试验总次数中出现的频繁程度； ②每个试验结果出现的频数之和等于试验的总次数； ③每个试验结果出现的频率之和不一定等于1； ④概率就是频率． A．0 B．1 C．2 D．3 14.（多选）某年级组建了合唱、朗诵、脱口秀、舞蹈、太极拳五个社团，该年级每名同学依据自己的兴趣爱好只参加其中一个，各个社团的人数比例的饼状图如图所示，其中参加合唱社团的同学有72名，参加脱口秀社团的有120名，则该年级（    ）    A．参加社团的同学的总人数为480 B．参加脱口秀社团的人数占五个社团总人数的25% C．参加朗诵社团的人数比参加舞蹈社团的多110人 D．从参加社团的同学中任选一名，其参加舞蹈或者脱口秀社团的概率为0.35 15．（多选）（24-25高一上·陕西汉中·期末）下面说法错误的有（   ） A．设一批产品的次品率，则从中任取10件，必有1件是次品 B．天气预报：“明天降雨概率为90%”，则明天可能不下雨 C．随机事件发生的频率就是这个随机事件发生的概率 D．做8次抛硬币的试验，结果5次出现正面，则抛一枚硬币出现正面的概率是 16.“键盘侠”一词描述了部分网民在现实生活中胆小怕事、自私自利，却习惯在网络上大放厥词的一种现象.某地新闻栏目对该地区群众对“键盘侠”的认可程度进行调查：在随机抽取的50人中，有15人持认可态度，其余持反对态度，若该地区有9600人，则可估计该地区对“键盘侠”持反对态度的有___人. 17.某种福利彩票的中奖概率为0.1％，若某人买这种彩票999次，均未中奖，则此人第1000次买这种彩票中奖的概率为__________． 18.为了调查秦岭野生动物保护区内某种野生动物的数量，调查人员某天逮到这种动物400只，作好标记后放回，经过一星期后，又逮到这种动物500只，其中作过标记的有25只，按概率的方法估算，保护区内约有___________只该种动物． 19.（23-24高一下·河北张家口·期末）如图所示，正方形ABCD的边长为2，点是正方形的中心，点E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA四边的中点．现在以为起点，再从A，E，B，F，C，G，D，H中任取两点分别为终点得到两个向量，不妨分别记为和． (1)请直接写出的所有可能值组成的集合； (2)在的所有值中，你觉得哪一个值发生的可能性最大，并说明理由． 20．（23-24高一下·云南楚雄·期末）某大型商超每天以每公斤1元的价格从蔬菜批发行购进若干公斤青菜，然后以每公斤2元的价格出售．如果当天卖不完，那么剩下的青菜当作福利分给有需要的员工 (1)若该商超一天购进800公斤青菜，求当天出售青菜的利润y（单位：元）关于当天青菜需求量x（单位：公斤）的函数解析式 (2)该商超记录了100天青菜的日需求量（单位：公斤），整理得到下表． 日需求量x 770 780 790 800 820 830 频数 5 10 20 35 20 10 （ⅰ）假设该大型商超在这100天内每天购进800公斤青菜，求这100天出售青菜的日利润（单位：元）的平均数； （ⅱ）若该大型商超一天购进800公斤青菜，以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率，求当天的利润不少于780元的概率． 【考点三】计算古典概型问题的概率 21.（24-25高一下·内蒙古锡林郭勒·期末）掷一颗骰子，出现点数是2或4的概率是（    ） A． B． C． D． 22．（24-25高一下·湖南岳阳·期末）从2名男生和2名女生中任意选出两人参加学校辩论赛，则选出的两人恰好是两名女生的概率是（　　） A． B． C． D． 23．（24-25高一下·黑龙江绥化·期末）从某校高一年级学生60名女生中，经调查偏理科的40人，偏文科的20人，利用分层抽样抽取6人，随机抽取3人，至少有2人偏理科的概率是（   ） A． B． C． D． 24.（多选）（23-24高一下·重庆·期末）抛一枚质地均匀的硬币两次，事件“第1次硬币正面朝上”，事件“第2次硬币正面朝上”，事件“两次硬币朝上的面相同”则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 25．（多选）（23-24高一下·广东梅州·期末）某中学三个年级学生共2000人，且各年级人数比例如以下扇形图．现因举办校庆活动，以分层抽样的方式从中随机选出志愿服务小组，已知选出的志愿服务小组中高一学生有32人，则下列说法正确的有（   ） A．该学校高一学生共800人 B．志愿服务小组共有学生96人 C．志愿服务小组中高三学生共有20人 D．某高三学生被选入志愿服务小组的概率为 26.（24-25高一下·安徽蚌埠·期末）某种心脏手术，成功率为0.9，现采用随机模拟方法估计“3例心脏手术全部成功”的概率：先利用计算器或计算机产生之间取整数值的随机数，由于成功率是0.9，我们用0表示手术不成功，1,2,3,4,5,6,7,8,9表示手术成功；再以每3个随机数为一组，作为3例手术的结果，经随机模拟产生如下10组随机数：812，832，569，683，271，989，730，537，925，907由此估计“3例心脏手术全部成功”的概率为___________. 27．（24-25高一上·贵州遵义·期末）从装有2个红球和2个绿球的口袋内任取2个球观察颜色.设事件为“所取两个球至少有一个绿球”，事件为“所取两个球恰有一个红球”，则_____. 28．（24-25高一下·河南安阳·期末）从装有3个红球和2个黑球的盒子中不放回地一次随机抽取2个球（球除颜色外，其余完全相同），则至少抽到1个黑球的概率为______． 29.（24-25高一下·湖南·期末）俄乌战争中无人机颠覆了传统战争的思维定式.无人机也给人们的生产、生活带来了很多的便捷.在一次无人机展会上，有三家公司参与了展销活动，甲公司带来了3款无人机，乙公司带来了2款无人机，丙公司带来了1款无人机，一购货商准备从中任选2款. (1)用适当的符号表示所有的可能结果，写出样本空间； (2)记事件“恰有一款是甲公司的”，求事件A发生的概率； (3)记事件“没有丙公司的”，求事件B发生的概率. 30．（24-25高一下·贵州黔西南·期末）现有一红一绿两颗质地均匀的正方体骰子，六个面上分别标有数字1，2，3，4，5，6，在抛掷骰子的试验中： (1)若只抛掷红色的骰子，记下骰子落地时朝上的面的点数，写出该试验的样本空间；设“骰子朝上的点数大于3”，求事件的概率； (2)若同时抛掷两枚骰子，记下骰子朝上的面的点数.若用表示红色骰子的点数，用表示绿色骰子的点数，用表示一次实验的结果.设“两个点数之和等于8”，“至少有一颗骰子的点数为5”，分别求出事件，的概率. 【考点四】互斥事件 31.（25-26高一上·江西九江·期末）某高中拟从校文艺部随机选一名学生参加当地社区的文艺汇演，选中高一学生的概率为，选中高二学生的概率为，则选中高三学生的概率为（   ） A． B． C． D． 32．（23-24高一下·江西宜春·期末）一个不透明袋子中有大小和质地均相同的3个小球，分别标有数字1，2，3，先后不放回地摸出两个球，若第二次摸出球的号码比第一次大，则选择第二次摸出的球，否则选择未被摸出的球，则选到3号球的概率为（    ） A． B． C． D． 33．（23-24高一下·山东济南·期末）从装有两个白球和两个黄球的口袋中任取两个球，下列各组事件中，是互斥事件的是（    ） A．“至少一个白球”与“至少一个黄球” B．“恰有一个白球”与“恰有两个白球” C．“至多一个白球”与“至多一个黄球” D．“至少一个黄球”与“都是黄球” 34.（多选）（23-24高一下·河南开封·期末）已知，，则下列说法中正确的是（    ） A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果互斥，那么 D．如果互斥，那么 35．（多选）（23-24高一下·陕西西安·期末）已知事件两两互斥，若，，，则（    ） A． B． C． D． 36.（23-24高一下·黑龙江哈尔滨·期末）若事件与互斥，且，则__________. 37．（23-24高一下·湖南岳阳·期末）某商场举行有奖促销活动，购满100元商品得1张奖券，多购多得.1000张奖券为一个开奖单位，设特等奖1个，一等奖10个，二等奖50个.设1张奖券中特等奖､一等奖､二等奖的事件分别为，则1张奖券的中奖概率为__________. 38．（23-24高一下·吉林通化·期末）已知事件两两互斥，若，则__________. 39.甲、乙两人下棋，两人下成和棋的概率是，甲不输的概率是，则甲赢的概率为______. 40.甲、乙两人玩一种猜数游戏，每次由甲、乙各出1到4中的一个数，若两个数的和为偶数算甲赢，否则算乙赢． （1）若事件A表示“两个数的和为5”，求P(A)； （2）现连玩三次，若事件B表示“甲至少赢一次”，事件C表示“乙至少赢两次”，试问B与C是不是互斥事件?为什么? （3）这种游戏规则公平吗?试说明理由． 【考点五】对立事件 41.（25-26高一下·全国·期末）甲、乙两颗卫星同时独立的监测台风．在同一时刻，甲、乙两颗卫星准确预报台风的概率分别为0.8和0.75，则在同一时刻至少有一颗卫星预报准确的概率为（   ） A．0.95 B．0.6 C．0.05 D．0.4 42．（24-25高一下·河北唐山·期末）某小组有4名男生和2名女生，从中任选2名同学去参加歌咏比赛，下列选项中是互斥而不对立的两个事件的是（    ） A．至少有1名男生和至少有1名女生 B．至少有1名男生和全是男生 C．至少有1名男生和全是女生 D．恰有1名男生和恰有2名男生 43.．（24-25高一下·吉林·期末）已知随机事件和互斥，和对立，且，则（ ） A．0.3 B．0.4 C．0.5 D．0.7 44.（多选）（24-25高一下·河南许昌·期末）柜子里有2双不同的鞋，从中随机地取出2只，记事件“取出的鞋不成双”，事件“取出的鞋都是左脚的”，事件“取出的鞋都是一只脚的”，事件“取出的鞋是一只左脚一只右脚的，但不是一双鞋”，则下列结论成立的是（    ） A． B． C．B与D互斥 D．C与D对立 45．（多选）（25-26高一上·辽宁鞍山·期末）抛掷一枚质地均匀的骰子，观察向上的面的点数，“点数为奇数”记为事件A，“点数小于5”记为事件B，“点数大于5”记为事件C．下列说法正确的是（    ） A． B． C．与对立 D． 46.（24-25高一下·河北邢台·期末）已知为互斥事件，且，则__________. 47．（24-25高一下·吉林·期末）已知随机事件与对立，与相互独立，若，则___________. 48．（24-25高一上·辽宁·期末）已知事件A与B互斥，且，则________． 49.（24-25高一下·甘肃白银·期末）从乒乓球协会中抽取6名运动员，且编号分别为，现从这6名运动员中随机抽取2人参加双打比赛. (1)请写出此次抽取的样本空间； (2)设事件为“编号为和的三名运动员中至多有1人被抽到”，求事件发生的概率. 50．（24-25高一下·贵州安顺·期末）一个袋子中有大小和质地均相同的四个球，其中有两个红球（标号为1和2），一个黑球（标号为3），一个白球（标号为4）．从袋中不放回地依次随机摸出2个球．设事件“第一次摸到红球”，“第二次摸到黑球”，“摸到的两个球恰为一个红球和一个白球”． (1)用数组表示可能的结果，是第一次摸到的球的标号，是第二次摸到的球的标号，试用集合的形式写出试验的样本空间； (2)求事件A，B，C中至少有一个发生的概率． 【考点六】事件的独立性 51.（24-25高一下·云南曲靖·期末）已知事件与事件相互独立，且，则（   ） A． B． C． D． 52．（24-25高一下·河北唐山·期末）唐山河头老街景区近期持续火爆出圈．甲、乙2人暑假来此地旅游的概率分别为，，假定2人的行动相互没有影响，则暑假至少有1人来此地旅游的概率为（    ） A． B． C． D． 53．（24-25高一下·黑龙江哈尔滨·期末）已知甲、乙两位射箭运动员射中10环的概率均为，且甲、乙两人射箭的结果互不影响，若两人各射箭一次，则甲、乙两人中至少有一人射中10环的概率为（    ） A． B． C． D． 54.（多选）（23-24高一下·甘肃酒泉·期末）有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中有放回的随机取两次，每次取1个球．甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是8”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是7”，则（    ） A．甲与丙相互独立 B．甲与丁相互独立 C．丙与丁相互独立 D．乙与丙不相互独立 55．（多选）（25-26高一上·江西吉安·期末）若，，，则（   ） A．事件与不互斥 B．事件与对立 C．事件与互相独立 D． 56.．（24-25高一下·湖南·期末）假设，，且A与B相互独立，则________． 57.（24-25高一下·吉林长春·期末）设是两个相互独立事件，且，，则________. 58．（24-25高一下·山东青岛·期末）若事件A，B相互独立，，，则________. 59.（24-25高一下·新疆和田·期末）和田地区位于塔里木盆地南缘，干旱少雨.据悉，气象部门预测东面的民丰县明天有雨的概率为0.3，西部皮山县有雨的概率为0.4，请回答以下三问. (1)明天民丰县和皮山县都下雨的概率为多大？ (2)都不下雨的概率为多大？ (3)两地至少有一地下雨的概率为多大？ 60．（24-25高一下·福建福州·期末）甲、乙两人参加某高校的入学面试，入学面试有3道难度相当的题目，甲答对每道题目的概率都是，乙答对每道题目的概率都是，对抽到的不同题目能否答对是独立的，且甲、乙两人答题互不影响； (1)求甲、乙两人共答对5道题目的概率． (2)若每位面试者共有三次机会，一旦某次答对抽到的题目，则面试通过，否则就一直抽题到第3次为止，求甲、乙两人只有一人通过面试的概率． 1 学科网（北京）股份有限公司 $