期末复习讲义05 立体几何初步9大考点【满分全攻略备考系列】-2025-2026学年高一下学期数学苏教版必修第二册重难点讲义与测试

期末复习讲义05 立体几何初步 【考点一】棱柱、棱锥和棱台 【考点六】直线与平面的位置关系 【考点二】圆柱、圆锥、圆台和球 【考点七】平面与平面的位置关系 【考点三】直观图的斜二测画法 【考点八】空间图形的表面积 【考点四】平面的基本性质 【考点九】空间图形的体积 【考点五】空间两条直线的位置关系 一、基本立体图形（基础必考，选填为主） 1. 多面体与旋转体（核心分类） 多面体：由若干个平面多边形围成的几何体，常见类型：棱柱、棱锥、棱台（核心考点）。 旋转体：由平面图形绕某条定直线旋转而成的几何体，常见类型：圆柱、圆锥、圆台、球（核心考点）。 易错点：棱台的判定需满足“用平行于棱锥底面的平面截棱锥得到”，缺一不可；球是旋转体，不是多面体。 2. 棱柱、棱锥、棱台的结构特征 棱柱： 定义：由一个平面多边形沿某一方向平移形成的空间图形，两个底面平行且全等，侧面均为平行四边形，侧棱平行且相等。 分类：按底面边数分为三棱柱、四棱柱、五棱柱……；长方体、正方体均为特殊的四棱柱。 表示方法：如棱柱ABCDEF—A′B′C′D′E′F′，表示上下底面分别为ABCDEF和A′B′C′D′E′F′的棱柱。 棱锥： 定义：当棱柱的一个底面收缩为一个点时，得到的空间图形，有一个底面（多边形），侧面均为有公共顶点的三角形。 分类：按底面边数分为三棱锥、四棱锥……，三棱锥又称四面体。 表示方法：如棱锥S—ABCD，其中S为顶点，ABCD为底面。 特殊棱锥：正棱锥（底面为正多边形，且顶点在底面的射影为底面中心）。 棱台： 定义：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，截面和底面之间的部分，上下底面平行且相似，侧面均为梯形。 分类：按底面边数分为三棱台、四棱台……。 表示方法：如棱台ABCD—A′B′C′D′，表示上下底面分别为ABCD和A′B′C′D′的棱台。 3. 圆柱、圆锥、圆台、球的结构特征 圆柱： 定义：以矩形的一边所在直线为旋转轴，其余三边旋转一周形成的旋转体，两底面为全等的圆，侧面为曲面，母线平行且相等。 表示方法：用表示旋转轴的字母表示，如圆柱O′O（O、O′分别为上下底面圆心）。 圆锥： 定义：以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转一周形成的旋转体，底面为圆，侧面为曲面，母线交于顶点。 表示方法：用表示旋转轴的字母表示，如圆锥SO（S为顶点，O为底面圆心）。 圆台： 定义：用平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面与截面之间的部分，两底面为相似的圆，侧面为曲面，母线延长线交于一点。 表示方法：用表示旋转轴的字母表示，如圆台O′O（O、O′分别为上下底面圆心）。 球： 定义：半圆以它的直径所在直线为旋转轴，旋转一周形成的曲面（球面）所围成的旋转体，球心为半圆的圆心，半径为半圆的半径。 核心概念：球心（O）、半径（r）、直径（d=2r）；球面上任意两点的连线中，经过球心的线段为直径。 表示方法：用表示球心的字母表示，如球O。 二、直观图与三视图（基础必考，选填+作图） 1. 直观图（斜二测画法，高频作图） 核心步骤（画水平放置的平面图形直观图）： 建立坐标系：在原图形中建立平面直角坐标系xOy，使图形的顶点尽量落在坐标轴上。 画对应坐标系：画直观图时，建立x′O′y′坐标系，使∠x′O′y′=45°（或135°）。 转化线段： 平行于x轴的线段，在直观图中长度不变，仍平行于x′轴； 平行于y轴的线段，在直观图中长度变为原来的一半，仍平行于y′轴。 连接顶点，得到直观图（保留作图痕迹）。 核心公式（面积关系）： （反之：，高频计算） 易错点：斜二测画法中，平行于y轴的线段长度减半，平行于x轴的线段长度不变；原图形中垂直的线段，在直观图中不一定垂直。 2. 三视图（核心考点，选填+识图） 三视图组成：主视图（正视图）、左视图、俯视图，三者分别从正面、左面、上面观察几何体得到的投影图形。 核心原则：主视图与左视图：高平齐（高度相等）； 主视图与俯视图：长对正（长度相等）； 左视图与俯视图：宽相等（宽度相等）。 常见几何体三视图： 正方体：三个视图均为全等的正方形； 长方体：三个视图均为矩形（可能有两个全等）； 圆柱：主视图、左视图为矩形，俯视图为圆； 圆锥：主视图、左视图为等腰三角形，俯视图为圆及圆心； 球：三个视图均为全等的圆。 易错点：画俯视图时，需标出可见轮廓线（实线）和不可见轮廓线（虚线），不可遗漏；由三视图还原几何体时，注意“宽相等”的对应关系。 三、空间点、线、面之间的位置关系（核心中档，选填+大题证明） 1. 平面的基本性质（公理，证明基础） 公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内（用于判断直线在平面内）。 公理2：过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面（确定平面的核心依据）。 公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线（用于判断两个平面相交）。 推论： 经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面； 经过两条相交直线，有且只有一个平面； 经过两条平行直线，有且只有一个平面。 2. 空间中直线与直线的位置关系 分类：共面（平行、相交）、异面（既不平行也不相交，不同在任何一个平面内）。 平行直线：定义：在同一平面内，没有公共点的两条直线； 公理4（平行公理）：平行于同一条直线的两条直线互相平行（）。 相交直线：在同一平面内，有且只有一个公共点。 异面直线： 判定方法：定义法（反证法）、排除法（排除平行、相交）； 异面直线所成角：过空间任一点O，分别作两条异面直线a、b的平行线、，则与所成的锐角（或直角）即为异面直线a、b所成角，范围：； 易错点：异面直线所成角的范围不可记错，计算时需取锐角或直角。 3. 空间中直线与平面的位置关系 分类：直线在平面内（，有无数个公共点）、直线与平面平行（，无公共点）、直线与平面相交（，有且只有一个公共点）。 直线与平面平行的判定与性质： 判定定理：如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，那么该直线与此平面平行（，大题证明高频）； 性质定理：如果一条直线与一个平面平行，那么过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行（）。 直线与平面垂直的判定与性质（核心大题）： 判定定理：如果一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，那么该直线与此平面垂直（）； 性质定理：如果一条直线垂直于一个平面，那么该直线与平面内的所有直线都垂直（）； 推论：垂直于同一个平面的两条直线平行（）。 4. 空间中平面与平面的位置关系 分类：平面与平面平行（，无公共点）、平面与平面相交（，有一条公共直线）。 平面与平面平行的判定与性质： 判定定理：如果一个平面内的两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行（，大题证明高频）； 性质定理：如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行（）。 平面与平面垂直的判定与性质（核心大题）： 判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直（）； 性质定理：如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面（）。 四、表面积与体积（核心必考，大题+选填计算） 1. 多面体的表面积与体积 棱柱：表面积：； 侧面积（直棱柱）：（为底面周长，为棱柱的高）； 体积：（所有棱柱体积通用）。 棱锥：表面积：； 体积：（为棱锥的高，即顶点到底面的垂直距离）。 棱台：表面积：； 体积：（为棱台的高）。 特殊多面体（长方体、正方体）： 长方体（长a、宽b、高h）： ，，棱长和； 正方体（棱长a）： ，，棱长和。 2. 旋转体的表面积与体积 圆柱（底面半径r，高h，母线长l，）： 侧面积：； 表面积：； 体积：。 圆锥（底面半径r，高h，母线长l，）： 侧面积：； 表面积：； 体积：。 圆台（上底面半径r，下底面半径R，高h，母线长l，）： 侧面积：； 表面积：； 体积：。 球（半径R）： 表面积：；体积：（高频计算，必考）。 3. 易错点 表面积计算：漏算多面体的底面（如棱锥只算侧面积，忽略底面）；混淆圆柱、圆锥的母线长与高的关系。 体积计算：棱锥、圆锥体积忘记乘；圆台体积公式记错，混淆上、下底面半径。 球的计算：混淆半径与直径，代入公式时误用直径代替半径；外接球问题中，找不到球心位置，无法确定半径。 五、空间角（中档难点，大题必考） 1. 异面直线所成角（已在“空间点线面关系”中补充，此处重点强化） 计算步骤：① 找（作）平行线，转化为相交直线所成角；② 证：证明所作角即为异面直线所成角；③ 算：通过解三角形求角（优先用直角三角形）；④ 定：确定角的范围（），取锐角或直角。 2. 直线与平面所成角 定义：直线与平面中所有直线所成角中最小的角，范围：（直线与平面平行或在平面内，角为0°；直线与平面垂直，角为90°）。 计算步骤：① 找：过直线上一点作平面的垂线，连接垂足与直线和平面的交点（斜足），得到斜线与射影的夹角，即为直线与平面所成角；② 证：证明该角为直线与平面所成角；③ 算：解直角三角形求角。 核心公式：（为直线与平面所成角，为直线上某点到平面的距离，为直线的长度）。 3. 二面角（选考，中档难点） 定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形，这条直线为棱，两个半平面为面，范围：。 常用求法：① 定义法（找二面角的平面角，即过棱上一点，在两个半平面内分别作棱的垂线，两垂线的夹角即为二面角的平面角）；② 垂线法（利用面面垂直的性质找平面角）。 易错点：二面角的平面角需满足“与棱垂直”，否则不是二面角的平面角；计算时注意角的范围，区分锐角、钝角与平角。 【考点一】棱柱、棱锥和棱台 1.（24-25高一下·河南郑州·期末）若一个多面体共有12条棱，则这个多面体可能是（   ） A．六棱柱 B．五棱锥 C．四棱柱 D．三棱台 2．（24-25高一下·新疆哈密·期末）已知正四棱台的上底面边长为4，下底面边长为2，高为6，则该正四掕台的体积为（    ） A．60 B．20 C．40 D．56 3．（24-25高一下·广西南宁·期末）如图，已知正方体的棱长为4，是棱的中点，则平面截正方体所得截面图形的面积为（    ）    A． B．18 C． D．36 4.（多选）（24-25高一下·宁夏固原·期末）下列命题中正确的有（   ） A．有两个面互相平行，其余各面都是平行四边形的多面体叫做棱柱. B．平行六面体中相对的两个面是全等的平行四边形. C．有一个面是平行四边形的棱锥一定是四棱锥. D．正棱锥的侧面是全等的等腰三角形. 5．（多选）（23-24高一下·甘肃庆阳·期末）如图，不能推断这个几何体可能是三棱台的是（    ）    A． B． C． D． 6.（23-24高一下·辽宁·期末）在棱长为4的正方体中，分别为线段上的动点，点为侧面的中心，则周长的平方的最小值为______. 7．（24-25高一下·辽宁抚顺·期末）日常生活中，较多产品的包装盒呈正四棱柱状，烘焙店的包装盒如图所示，正四棱柱的底面是正方形，且，.    店员认为在彩绳扎紧的情况下，按照图A中的方向捆扎包装盒会比按照图B中的十字捆扎法更节省彩绳（不考虑打结处的用绳量和彩绳的宽度）.则图A比图B最多节省的彩绳长度为________ . 【考点二】圆柱、圆锥、圆台和球 8.（24-25高一下·山东威海·期末）一个圆台上、下底面的半径分别为1，2，母线所在直线与轴的夹角为45°，则该圆台的侧面积为（    ） A． B． C． D． 9．（23-24高一下·云南迪庆·期末）已知圆锥的高为，底面积为，平行于圆锥底面的截面面积为，则截面与底面的距离为（   ） A． B． C． D． 10．（23-24高一下·河北唐山·期末）已知圆锥的高为2，其底面圆的半径为1，则圆锥的侧面积为（    ） A． B． C． D． 11．（23-24高一下·广东广州·期末）若圆锥的底面半径为1，体积为，则该圆锥的侧面展开图的面积是（    ） A． B． C． D． 12.（24-25高一下·浙江杭州·期中）已知圆锥底面半径为，侧面展开图是圆心角为的扇形，则此圆锥的母线长为______. 13．（24-25高一下·山东潍坊·期末）已知圆台形的花盆的上、下底面的直径分别为4和8，该花盆的侧面展开图的扇环所对的圆心角为，则该圆台的母线长为_________. 14．（24-25高一下·安徽·期末）已知一个圆锥的底面半径为，侧面展开图是一个圆心角为的扇形，则过该圆锥顶点的平面截该圆锥所得截面面积的最大值为__________. 【考点三】直观图的斜二测画法 15.（24-25高一下·安徽合肥·期末）用斜二测画法画一个边长为4的正三角形的直观图，则直观图的面积是（    ） A． B． C． D． 16．（24-25高一下·江西·期末）如图，在等腰梯形ABCD中，，E是边AB上的一点，且．以A为坐标原点，AB为x轴，垂直于AB的直线为y轴建立平面直角坐标系.用斜二测画法画出梯形ABCD的直观图，且E在直观图对应的点为，则下列说法中错误的是（ ） A． B．轴 C． D． 17.（多选）（24-25高一下·辽宁·期末）关于斜二测画法，下列命题为真命题的有（   ） A．平行关系在直观图与原图中保持不变 B．斜二测画法不会改变边长比例 C．斜二测画法会改变直角关系 D．通过斜二测画法得到的直观图和原图的面积相等 18．（多选）（24-25高一下·江西吉安·期末）如图，四边形的斜二测画法直观图为等腰梯形．已知，，则下列说法正确的是（   ） A． B． C．四边形的周长为 D．四边形的面积为 19.（24-25高一下·四川成都·期末）如图，已知等腰直角三角形是一个平面图形用斜二测画法画出的直观图，，斜边，则这个平面图形的面积是_______． 20．（24-25高一下·福建三明·期末）已知等边的平面直观图的面积为，则等边的面积是_______． 21．（24-25高一下·河南郑州·期末）如图，是用斜二测画法画出的水平放置的的直观图，若 ，则在中，_________ 【考点四】平面的基本性质 22.（24-25高一下·河南南阳·期末）检查一张桌子的4条腿的下端是否在同一平面内，下列做法最科学合理的是（    ） A．将桌子正放于地面上，趴地上观察桌腿和地面之间是否有缝隙 B．将桌子正放于地面上，取薄纸一张铺在桌面上观察纸张是否平整 C．将桌子倒放于地面上，用双手分别触摸四条腿底部凭手感判断是否水平 D．将桌子倒放于地面上，用细线分别连接两腿对角的下端观察两根细线是否相交 23.（24-25高一下·广东茂名·期末）已知三棱柱中，M，N分别为棱，的中点，过A，M，N作三棱柱的截面交于E点，且，则_____. 24．（21-22高一下·福建宁德·期中）棱长为2的正方体中，，分别是、的中点，过平面作正方体的截面，则这个截面的面积为______． 25.如图，点是正方体的上底面的中心，过，，A三点作一个截面．求证：此截面与对角线的交点P一定在上．    【考点五】空间两条直线的位置关系 26.（24-25高一下·云南曲靖·期末）已知直线，若，是异面直线，则a与d的位置关系为（    ） A．相交 B．异面 C．相交或异面 D．不确定 27．（24-25高一下·甘肃庆阳·期末）已知长方体中，，则异面直线与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 28．（24-25高一下·吉林长春·期末）已知点是正方体的棱的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 29.（多选）（24-25高一下·江西南昌·期末）如图，四面体中，，，分别为的中点.若异面直线与所成角的大小为，则的长为（    ）    A． B． C． D． 30．（24-25高一下·甘肃白银·期末）在正四棱柱中，，，M，N分别是，的中点，则异面直线与所成角的余弦值是_____. 31．（24-25高一下·云南曲靖·期末）如图，已知正四面体分别是棱PA，PC，BA，BC上的中点，则四边形MNRQ的形状为____________，异面直线BM与QR所成的角的余弦值为__________ 32．（24-25高一下·甘肃庆阳·期末）如图，正三棱柱中，点E为正方形的中心，点F为棱的中点，则异面直线BF与CE所成角的正切值为_______． 【考点六】直线与平面的位置关系 33.（24-25高一下·辽宁丹东·期末）正四面体的侧棱与底面所成角的正弦值为（    ） A． B． C． D． 34．（24-25高一下·四川泸州·期末）已知直线，平面，且，则“”是“”的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 35.（多选）（23-24高一下·吉林四平·期末）已知为异面直线，平面，平面，，则下列结论错误的是（   ） A．与都相交 B．与中至少一条相交 C．与都不相交 D．与中只有一条相交 36.（24-25高一下·甘肃武威·期末）如图，在正方体中，与平面所成的角等于________. 37．（24-25高一下·广东·期末）多面体上，位于同一条棱两端的顶点称为相邻的顶点．如图所示，正方体的一个顶点在平面内，其余顶点在的同侧．正方体上与顶点相邻的三个顶点到的距离分别为1，2和4，则正方体其余四个顶点到平面的距离之和为______． 38.（24-25高一下·辽宁大连·期末）如图，在直三棱柱中，已知，侧面为正方形，设的中点为，. (1)求证平面； (2)求证：平面. 39．（24-25高一下·湖南衡阳·期末）已知正方体的棱长为，，分别为，的中点． (1)证明：平面． (2)求异面直线与所成角的大小． (3)求直线与平面所成角的余弦值． 【考点七】平面与平面的位置关系 40.（23-24高一下·陕西西安·期末）设，是两个不同平面，m，n是两条不重合直线，若，，则“”是“，”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 41．（24-25高一下·黑龙江黑河·期末）已知、是不同的平面，为内的一条直线，则“”是“”的（    ）条件 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 42.（多选）（24-25高一下·辽宁大连·期末）下列命题是真命题的是（   ） A．直线不平行于平面，且，则平面内不存在与平行的直线 B．两条直线平行是它们与同一平面所成角相等的充分不必要条件 C．平面、，，，过内的任意一点作直线，则 D．空间中，一个角两边分别垂直于另一个角两边，则这两个角相等或互补 43．（24-25高一下·宁夏银川·期末）在《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑．已知四面体为鳖臑，且，，记二面角的平面角为，则 _______. 44．（24-25高一下·江西九江·期末）如图，在四棱锥中，底面是正方形，底面，.则二面角的大小______    45.（24-25高一下·甘肃临夏·期末）如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，，为等边三角形，平面平面，． (1)设分别为的中点，求证：平面； (2)求证：平面； (3)求直线与平面所成角的正弦值． 46．（24-25高一下·云南曲靖·期末）如图，长方体中，，E为BC中点，沿着EC将顺时针翻折到与底面ABCD共面的过程中，的顶点为动点P. (1)证明:平面平面. (2)求直线PE与平面所成角的正弦值的最大值. (3)若异面直线PE与AC所成角的余弦值为时，求点P到底面ABCD的距离. 【考点八】空间图形的表面积 47.（24-25高一下·广西北海·期末）以周长为32的正方形的一边所在直线为旋转轴，将该正方形旋转一周所得圆柱的侧面积为（   ） A． B． C． D． 48．（24-25高一下·四川眉山·期末）已知一个圆锥的母线长为3，表面积为，则该圆锥的底面半径为（   ） A．2 B．3 C． D．5 49．（24-25高一下·湖南衡阳·期末）若一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与一个球的直径相等，下列结论不正确的是（    ） A．圆柱的侧面积为 B．圆锥的侧面积为 C．圆柱的体积小于圆锥与球的体积之和 D．三个几何体的表面积中，圆柱的表面积最大 50.（24-25高一下·安徽合肥·期末）已知圆台的上、下底面半径分别为1和2，高为，则圆台的表面积为_________． 51．（24-25高一下·湖南衡阳·期末）底面半径为1的圆柱的侧面积是圆柱表面积的，则该圆柱的高为______． 52．（24-25高一下·辽宁·期末）小王同学在手工课上制作了一个圆锥模型，若该模型的底面积是侧面积的一半，则该模型轴截面顶角的大小为________. 53.（24-25高一下·河南三门峡·期末）如图，S为圆锥顶点，O是圆锥底面圆的圆心，、为底面圆的两条直径，且，，P为的中点． (1)求证：平面； (2)求圆锥的表面积． 【考点九】空间图形的体积 54.（24-25高一下·河北唐山·期末）已知圆台上、下底面的半径分别为1和2，高为1，则该圆台的体积为（    ） A． B． C． D． 55．（23-24高一下·黑龙江鸡西·期末）已知某正四棱锥的高为3，体积为64，则该正四棱锥的底面边长为（   ） A．9 B．8 C．6 D．4 56．（24-25高一下·辽宁大连·期末）一正四棱台内接于圆锥，其俯视图如下图所示.若底面上弓形（即图中阴影部分）面积与棱台上底面面积之比为，则圆锥与棱台体积之比为（   ）. A． B． C． D． 57．（24-25高一下·贵州安顺·期末）某圆台的上底面半径为1，下底面半径为4，母线长为5，则该圆台的体积为______． 58．（24-25高一下·河南许昌·期末）如图，一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形，且，，，将该平面图形绕其直角腰OC边旋转一周得到一个圆台，则该圆台的体积为______． 59．（24-25高一下·黑龙江哈尔滨·期末）如图，圆锥PO的底面半径为3，高为，过PO靠近P的三等分点作平行于底面的截面，以该截面为底面挖去一个圆柱，则下列说法正确的序号有________． ①圆锥母线与底面所成的角为     ②圆锥PO的侧面积为 ③挖去圆柱的体积为         ④剩下几何体的表面积为 60.（24-25高一下·吉林长春·期末）如图，在三棱锥中，底面，，，，. (1)求的大小； (2)求三棱锥的体积. 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 期末复习讲义05 立体几何初步 【考点一】棱柱、棱锥和棱台 【考点六】直线与平面的位置关系 【考点二】圆柱、圆锥、圆台和球 【考点七】平面与平面的位置关系 【考点三】直观图的斜二测画法 【考点八】空间图形的表面积 【考点四】平面的基本性质 【考点九】空间图形的体积 【考点五】空间两条直线的位置关系 一、基本立体图形（基础必考，选填为主） 1. 多面体与旋转体（核心分类） 多面体：由若干个平面多边形围成的几何体，常见类型：棱柱、棱锥、棱台（核心考点）。 旋转体：由平面图形绕某条定直线旋转而成的几何体，常见类型：圆柱、圆锥、圆台、球（核心考点）。 易错点：棱台的判定需满足“用平行于棱锥底面的平面截棱锥得到”，缺一不可；球是旋转体，不是多面体。 2. 棱柱、棱锥、棱台的结构特征 棱柱： 定义：由一个平面多边形沿某一方向平移形成的空间图形，两个底面平行且全等，侧面均为平行四边形，侧棱平行且相等。 分类：按底面边数分为三棱柱、四棱柱、五棱柱……；长方体、正方体均为特殊的四棱柱。 表示方法：如棱柱ABCDEF—A′B′C′D′E′F′，表示上下底面分别为ABCDEF和A′B′C′D′E′F′的棱柱。 棱锥： 定义：当棱柱的一个底面收缩为一个点时，得到的空间图形，有一个底面（多边形），侧面均为有公共顶点的三角形。 分类：按底面边数分为三棱锥、四棱锥……，三棱锥又称四面体。 表示方法：如棱锥S—ABCD，其中S为顶点，ABCD为底面。 特殊棱锥：正棱锥（底面为正多边形，且顶点在底面的射影为底面中心）。 棱台： 定义：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，截面和底面之间的部分，上下底面平行且相似，侧面均为梯形。 分类：按底面边数分为三棱台、四棱台……。 表示方法：如棱台ABCD—A′B′C′D′，表示上下底面分别为ABCD和A′B′C′D′的棱台。 3. 圆柱、圆锥、圆台、球的结构特征 圆柱： 定义：以矩形的一边所在直线为旋转轴，其余三边旋转一周形成的旋转体，两底面为全等的圆，侧面为曲面，母线平行且相等。 表示方法：用表示旋转轴的字母表示，如圆柱O′O（O、O′分别为上下底面圆心）。 圆锥： 定义：以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转一周形成的旋转体，底面为圆，侧面为曲面，母线交于顶点。 表示方法：用表示旋转轴的字母表示，如圆锥SO（S为顶点，O为底面圆心）。 圆台： 定义：用平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面与截面之间的部分，两底面为相似的圆，侧面为曲面，母线延长线交于一点。 表示方法：用表示旋转轴的字母表示，如圆台O′O（O、O′分别为上下底面圆心）。 球： 定义：半圆以它的直径所在直线为旋转轴，旋转一周形成的曲面（球面）所围成的旋转体，球心为半圆的圆心，半径为半圆的半径。 核心概念：球心（O）、半径（r）、直径（d=2r）；球面上任意两点的连线中，经过球心的线段为直径。 表示方法：用表示球心的字母表示，如球O。 二、直观图与三视图（基础必考，选填+作图） 1. 直观图（斜二测画法，高频作图） 核心步骤（画水平放置的平面图形直观图）： 建立坐标系：在原图形中建立平面直角坐标系xOy，使图形的顶点尽量落在坐标轴上。 画对应坐标系：画直观图时，建立x′O′y′坐标系，使∠x′O′y′=45°（或135°）。 转化线段： 平行于x轴的线段，在直观图中长度不变，仍平行于x′轴； 平行于y轴的线段，在直观图中长度变为原来的一半，仍平行于y′轴。 连接顶点，得到直观图（保留作图痕迹）。 核心公式（面积关系）： （反之：，高频计算） 易错点：斜二测画法中，平行于y轴的线段长度减半，平行于x轴的线段长度不变；原图形中垂直的线段，在直观图中不一定垂直。 2. 三视图（核心考点，选填+识图） 三视图组成：主视图（正视图）、左视图、俯视图，三者分别从正面、左面、上面观察几何体得到的投影图形。 核心原则：主视图与左视图：高平齐（高度相等）； 主视图与俯视图：长对正（长度相等）； 左视图与俯视图：宽相等（宽度相等）。 常见几何体三视图： 正方体：三个视图均为全等的正方形； 长方体：三个视图均为矩形（可能有两个全等）； 圆柱：主视图、左视图为矩形，俯视图为圆； 圆锥：主视图、左视图为等腰三角形，俯视图为圆及圆心； 球：三个视图均为全等的圆。 易错点：画俯视图时，需标出可见轮廓线（实线）和不可见轮廓线（虚线），不可遗漏；由三视图还原几何体时，注意“宽相等”的对应关系。 三、空间点、线、面之间的位置关系（核心中档，选填+大题证明） 1. 平面的基本性质（公理，证明基础） 公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内（用于判断直线在平面内）。 公理2：过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面（确定平面的核心依据）。 公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线（用于判断两个平面相交）。 推论： 经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面； 经过两条相交直线，有且只有一个平面； 经过两条平行直线，有且只有一个平面。 2. 空间中直线与直线的位置关系 分类：共面（平行、相交）、异面（既不平行也不相交，不同在任何一个平面内）。 平行直线：定义：在同一平面内，没有公共点的两条直线； 公理4（平行公理）：平行于同一条直线的两条直线互相平行（）。 相交直线：在同一平面内，有且只有一个公共点。 异面直线： 判定方法：定义法（反证法）、排除法（排除平行、相交）； 异面直线所成角：过空间任一点O，分别作两条异面直线a、b的平行线、，则与所成的锐角（或直角）即为异面直线a、b所成角，范围：； 易错点：异面直线所成角的范围不可记错，计算时需取锐角或直角。 3. 空间中直线与平面的位置关系 分类：直线在平面内（，有无数个公共点）、直线与平面平行（，无公共点）、直线与平面相交（，有且只有一个公共点）。 直线与平面平行的判定与性质： 判定定理：如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，那么该直线与此平面平行（，大题证明高频）； 性质定理：如果一条直线与一个平面平行，那么过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行（）。 直线与平面垂直的判定与性质（核心大题）： 判定定理：如果一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，那么该直线与此平面垂直（）； 性质定理：如果一条直线垂直于一个平面，那么该直线与平面内的所有直线都垂直（）； 推论：垂直于同一个平面的两条直线平行（）。 4. 空间中平面与平面的位置关系 分类：平面与平面平行（，无公共点）、平面与平面相交（，有一条公共直线）。 平面与平面平行的判定与性质： 判定定理：如果一个平面内的两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行（，大题证明高频）； 性质定理：如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行（）。 平面与平面垂直的判定与性质（核心大题）： 判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直（）； 性质定理：如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面（）。 四、表面积与体积（核心必考，大题+选填计算） 1. 多面体的表面积与体积 棱柱：表面积：； 侧面积（直棱柱）：（为底面周长，为棱柱的高）； 体积：（所有棱柱体积通用）。 棱锥：表面积：； 体积：（为棱锥的高，即顶点到底面的垂直距离）。 棱台：表面积：； 体积：（为棱台的高）。 特殊多面体（长方体、正方体）： 长方体（长a、宽b、高h）： ，，棱长和； 正方体（棱长a）： ，，棱长和。 2. 旋转体的表面积与体积 圆柱（底面半径r，高h，母线长l，）： 侧面积：； 表面积：； 体积：。 圆锥（底面半径r，高h，母线长l，）： 侧面积：； 表面积：； 体积：。 圆台（上底面半径r，下底面半径R，高h，母线长l，）： 侧面积：； 表面积：； 体积：。 球（半径R）： 表面积：；体积：（高频计算，必考）。 3. 易错点 表面积计算：漏算多面体的底面（如棱锥只算侧面积，忽略底面）；混淆圆柱、圆锥的母线长与高的关系。 体积计算：棱锥、圆锥体积忘记乘；圆台体积公式记错，混淆上、下底面半径。 球的计算：混淆半径与直径，代入公式时误用直径代替半径；外接球问题中，找不到球心位置，无法确定半径。 五、空间角（中档难点，大题必考） 1. 异面直线所成角（已在“空间点线面关系”中补充，此处重点强化） 计算步骤：① 找（作）平行线，转化为相交直线所成角；② 证：证明所作角即为异面直线所成角；③ 算：通过解三角形求角（优先用直角三角形）；④ 定：确定角的范围（），取锐角或直角。 2. 直线与平面所成角 定义：直线与平面中所有直线所成角中最小的角，范围：（直线与平面平行或在平面内，角为0°；直线与平面垂直，角为90°）。 计算步骤：① 找：过直线上一点作平面的垂线，连接垂足与直线和平面的交点（斜足），得到斜线与射影的夹角，即为直线与平面所成角；② 证：证明该角为直线与平面所成角；③ 算：解直角三角形求角。 核心公式：（为直线与平面所成角，为直线上某点到平面的距离，为直线的长度）。 3. 二面角（选考，中档难点） 定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形，这条直线为棱，两个半平面为面，范围：。 常用求法：① 定义法（找二面角的平面角，即过棱上一点，在两个半平面内分别作棱的垂线，两垂线的夹角即为二面角的平面角）；② 垂线法（利用面面垂直的性质找平面角）。 易错点：二面角的平面角需满足“与棱垂直”，否则不是二面角的平面角；计算时注意角的范围，区分锐角、钝角与平角。 【考点一】棱柱、棱锥和棱台 1.（24-25高一下·河南郑州·期末）若一个多面体共有12条棱，则这个多面体可能是（   ） A．六棱柱 B．五棱锥 C．四棱柱 D．三棱台 【答案】C 【分析】利用棱柱、棱锥、棱台的结构特征判断即可. 【详解】对于A，六棱柱有18条棱，A不是； 对于B，五棱锥的10条棱，B不是； 对于C，四棱柱有12条棱，C是； 对于D，三棱台有9条棱，D不是. 故选：C 2．（24-25高一下·新疆哈密·期末）已知正四棱台的上底面边长为4，下底面边长为2，高为6，则该正四掕台的体积为（    ） A．60 B．20 C．40 D．56 【答案】D 【分析】直接根据棱台的体积公式计算可得. 【详解】因为正四棱台的上底面边长为4，下底面边长为2，高为6， 所以该正四棱台的体积. 故选：D. 3．（24-25高一下·广西南宁·期末）如图，已知正方体的棱长为4，是棱的中点，则平面截正方体所得截面图形的面积为（    ）    A． B．18 C． D．36 【答案】B 【分析】取的中点，连接，得平面为平面截正方体的截面，由梯形的面积公式即可求解. 【详解】取的中点，连接，易知，所以平面与交点为， 则平面为平面截正方体的截面，四边形为等腰梯形， 过做，由，， 所以,， ，, 所以其面积为. 故选：B.    4.（多选）（24-25高一下·宁夏固原·期末）下列命题中正确的有（   ） A．有两个面互相平行，其余各面都是平行四边形的多面体叫做棱柱. B．平行六面体中相对的两个面是全等的平行四边形. C．有一个面是平行四边形的棱锥一定是四棱锥. D．正棱锥的侧面是全等的等腰三角形. 【答案】BCD 【分析】根据简单几何体的结构特征，逐项判断，即可得出结果. 【详解】 对于A：如图所示，上下底面平行，各个面都是平行四边形， 此几何体不是棱柱，故A错误； 对于B：由平行六面体的概念和性质可知： 平行六面体中相对的两个面是全等的平行四边形，故B正确； 对于C：棱锥侧面全为三角形，有一个面是平行四边形， 则此面为底面，所以该棱锥为四棱锥，故C正确； 对于D：正棱锥的定义是：底面为正多边形，且顶点在底面上的投影为底面中心. 容易得到，所有侧棱长度相等，底面边长相等，每个侧面三角形由两条侧棱和一条底边组成， 因此正棱锥的侧面是等腰三角形，同时，所有侧面三角形的边长对应相等，故侧面三角形全等，故D正确. 故选：BCD. 5．（多选）（23-24高一下·甘肃庆阳·期末）如图，不能推断这个几何体可能是三棱台的是（    ）    A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】根据棱台的定义可知，棱台上、下底面为两个平行且相似的多边形，即可判断. 【详解】对于A，因为，所以几何体不是三棱台，故A错误； 对于B，因为，所以几何体不是三棱台，故B错误； 对于C，因为，所以几何体是三棱台，故C正确； 对于D，该几何体可能是三棱柱，故D错误． 故选：ABD． 6.（23-24高一下·辽宁·期末）在棱长为4的正方体中，分别为线段上的动点，点为侧面的中心，则周长的平方的最小值为______. 【答案】/ 【分析】将侧面绕着旋转至与平面在同一平面上，当三点在一条直线即可求出答案. 【详解】如图①，设侧面的中心为，根据正方体的结构特征可得： ，则周长的最小值即的最小值. 将侧面绕着旋转至与平面在同一平面上， 将平面绕着旋转至与平面在同一平面上，如图②，则 ， 故周长的平方的最小值为.    故答案为：. 7．（24-25高一下·辽宁抚顺·期末）日常生活中，较多产品的包装盒呈正四棱柱状，烘焙店的包装盒如图所示，正四棱柱的底面是正方形，且，.    店员认为在彩绳扎紧的情况下，按照图A中的方向捆扎包装盒会比按照图B中的十字捆扎法更节省彩绳（不考虑打结处的用绳量和彩绳的宽度）.则图A比图B最多节省的彩绳长度为________ . 【答案】 【分析】计算出两种捆扎法中绳的长度后相减即得． 【详解】图A，沿彩绳展开正四棱柱，彩绳长度最小值为，    图B，彩绳长度最小值为， 则图A比图B最多节省的彩绳长度为. 故答案为：. 【考点二】圆柱、圆锥、圆台和球 8.（24-25高一下·山东威海·期末）一个圆台上、下底面的半径分别为1，2，母线所在直线与轴的夹角为45°，则该圆台的侧面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据条件求出圆台的母线长，结合圆台侧面积公式可得结果. 【详解】设圆台的上底面半径为，下底面半径为，母线长为，则， 由题意得，，所以该圆台的侧面积， 故选：C. 9．（23-24高一下·云南迪庆·期末）已知圆锥的高为，底面积为，平行于圆锥底面的截面面积为，则截面与底面的距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据圆锥中平行底面截面的性质求解. 【详解】设截面与底面的距离为，则，解得. 故选：C 10．（23-24高一下·河北唐山·期末）已知圆锥的高为2，其底面圆的半径为1，则圆锥的侧面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用勾股定理得到圆锥的母线长，那么圆锥的侧面积底面周长母线长. 【详解】因为圆锥的高为2，其底面圆的半径为1，由勾股定理的圆锥的母线长为， 圆锥底面圆的周长为，所以圆锥的侧面积为； 故选：C 11．（23-24高一下·广东广州·期末）若圆锥的底面半径为1，体积为，则该圆锥的侧面展开图的面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由圆锥的底面半径为1，体积为，可得圆锥的高及母线，然后可得圆锥侧面展开图的面积. 【详解】因圆锥的底面半径为1，体积为，则圆锥的高满足， 则圆锥母线长为，则圆锥侧面展开的侧面积为：. 故选：B 12.（24-25高一下·浙江杭州·期中）已知圆锥底面半径为，侧面展开图是圆心角为的扇形，则此圆锥的母线长为______. 【答案】 【分析】利用圆锥的底面周长等于扇形的弧长，可求得圆锥的母线长. 【详解】设圆锥的母线长为，由于圆锥底面圆的周长等于展开图扇形的弧长， 则，解得. 故答案为：. 13．（24-25高一下·山东潍坊·期末）已知圆台形的花盆的上、下底面的直径分别为4和8，该花盆的侧面展开图的扇环所对的圆心角为，则该圆台的母线长为_________. 【答案】8 【分析】根据圆台侧面展开图扇环的性质，结合弧长公式建立关于母线长的方程，进而求解母线长. 【详解】如图，是扇环的圆心， 长为，长为， 由已知，所以，从而，即为圆台母线长， 故答案为： 14．（24-25高一下·安徽·期末）已知一个圆锥的底面半径为，侧面展开图是一个圆心角为的扇形，则过该圆锥顶点的平面截该圆锥所得截面面积的最大值为__________. 【答案】/0.5 【分析】根据给定条件，求出圆锥母线长，再求出圆锥轴截面等腰三角形的顶角，进而求出截面面积的最大值. 【详解】设圆锥母线长为，依题意，，解得， 设圆锥轴截面等腰三角形顶角为，则，， 设过该圆锥顶点的平面截该圆锥所得截面等腰三角形顶角为， 该截面三角形面积，当且仅当时取等号， 所以所求最大值为. 故答案为： 【考点三】直观图的斜二测画法 15.（24-25高一下·安徽合肥·期末）用斜二测画法画一个边长为4的正三角形的直观图，则直观图的面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据直观图画法得底不变，再研究高，最后根据三角形面积公式求结果. 【详解】根据斜二测画法的特征，可得底不变，为4，高为 ， 所以直观图的面积是. 故选：A 16．（24-25高一下·江西·期末）如图，在等腰梯形ABCD中，，E是边AB上的一点，且．以A为坐标原点，AB为x轴，垂直于AB的直线为y轴建立平面直角坐标系.用斜二测画法画出梯形ABCD的直观图，且E在直观图对应的点为，则下列说法中错误的是（ ） A． B．轴 C． D． 【答案】D 【分析】根据斜二测画法的规则，结合选项逐一分析判断. 【详解】对于A，在斜二测画法中，与轴重合或平行的线段长度不变，则，A正确； 对于BC，与轴平行的线段依然与轴平行，长度为原来的，BC正确； 对于D，在等腰梯形中，，又轴，则位于右上方， 又，因此，D错误． 故选：D 17.（多选）（24-25高一下·辽宁·期末）关于斜二测画法，下列命题为真命题的有（   ） A．平行关系在直观图与原图中保持不变 B．斜二测画法不会改变边长比例 C．斜二测画法会改变直角关系 D．通过斜二测画法得到的直观图和原图的面积相等 【答案】AC 【分析】根据斜二测画法的性质依次判断即可． 【详解】对于选项A，根据斜二测画法的规则，平行关系在直观图与原图中保持不变，故选项A正确； 对于选项B，斜二测画法可能会改变边长比例，故选项B错误； 对于选项C，斜二测画法会改变直角关系，故选项C正确； 对于选项D，直观图的面积是原图面积的，故选项D错误． 故选：AC． 18．（多选）（24-25高一下·江西吉安·期末）如图，四边形的斜二测画法直观图为等腰梯形．已知，，则下列说法正确的是（   ） A． B． C．四边形的周长为 D．四边形的面积为 【答案】BCD 【分析】斜二测画法对应的平行关系、长度关系还原平面图，然后逐一验算各个选项即可得解. 【详解】对于AB：还原平面图如下图，    则，，，故A错误，B正确； 对于C：过作交于点，则， 由勾股定理得，， 故四边形的周长为：，即C正确； 对于D：四边形的面积为：，即D正确. 故选：BCD． 19.（24-25高一下·四川成都·期末）如图，已知等腰直角三角形是一个平面图形用斜二测画法画出的直观图，，斜边，则这个平面图形的面积是_______． 【答案】 【分析】根据直观图中的位置关系以及线段长度还原出原图形，即可计算出面积. 【详解】由题意， 所以原图形中，且，如下图所示：    因此其面积为. 故答案为：. 20．（24-25高一下·福建三明·期末）已知等边的平面直观图的面积为，则等边的面积是_______． 【答案】 【分析】利用斜二测画法得到的平面直观图的面积等于原图形面积乘以，结合已知即可求解． 【详解】由于原图和直观图面积之间的关系，可得， 所以原的面积． 故答案为： 21．（24-25高一下·河南郑州·期末）如图，是用斜二测画法画出的水平放置的的直观图，若 ，则在中，_________ 【答案】 【分析】由直观图根据斜二测规则结合边长计算求解即可. 【详解】由可知， ，， 由正弦定理得，所以， 在中，因为，所以. 故答案为：. 【考点四】平面的基本性质 22.（24-25高一下·河南南阳·期末）检查一张桌子的4条腿的下端是否在同一平面内，下列做法最科学合理的是（    ） A．将桌子正放于地面上，趴地上观察桌腿和地面之间是否有缝隙 B．将桌子正放于地面上，取薄纸一张铺在桌面上观察纸张是否平整 C．将桌子倒放于地面上，用双手分别触摸四条腿底部凭手感判断是否水平 D．将桌子倒放于地面上，用细线分别连接两腿对角的下端观察两根细线是否相交 【答案】D 【分析】根据给定条件，利用平面的基本事实判断即可. 【详解】对于A，当地面不平整时，每条桌腿和地面之间都无缝隙，也不能说明4条腿的下端在同一平面内，A不是； 对于B，最多能说明桌面是否平整，不能说明4条腿的下端在同一平面内，B不是； 对于C，只能检查每条腿的下端是否平整，不能说明4条腿的下端在同一平面内，C不是； 对于D，两根细线相交，可得两根细线所在直线确定一个平面， 两个细线所在直线上的所有点都在这个平面内，能说明4条腿的下端在同一平面内，D是. 故选：D 23.（24-25高一下·广东茂名·期末）已知三棱柱中，M，N分别为棱，的中点，过A，M，N作三棱柱的截面交于E点，且，则_____. 【答案】6 【分析】连接AM并延长与的延长线交于点P，连接NP与直线相交，即为点E，首先证明是的中点，推出，即可利用三角形相似推出，得解. 【详解】连接AM并延长与的延长线交于点P，连接NP与直线相交交点即为点E， 因为AM与NE相交于点P，所以A，M，N、E四点共面， 因为M是的中点，且，所以，， 所以是△的中位线，则是的中点， 又因为N为的中点，所以， 易知，则，所以. 故答案为：6 24．（21-22高一下·福建宁德·期中）棱长为2的正方体中，，分别是、的中点，过平面作正方体的截面，则这个截面的面积为______． 【答案】 【分析】根据题意，画出过平面做正方体的截面的平面图，然后根据勾股定理和相似三角形等几何方法解出，平面图形的各边数据，然后，利用梯形面积公式和三角形面积公式求和即可得到截面面积. 【详解】 如图，延长，延长，分别交的延长线于，根据正方体的性质，可知，，根据勾股定理，，又因为，可得，所以，，，由勾股定理，可得，，所以，过平面做正方体的截面为五边形，如图所示，连，作，，可得，根据勾股定理，可得，，综合以上数据，可以得到所示图形， 所以，该五边形面积为： . 故答案为： 25.如图，点是正方体的上底面的中心，过，，A三点作一个截面．求证：此截面与对角线的交点P一定在上．    【答案】证明见解析 【分析】由已知条件利用基本事实三得到平面平面，且平面，平面，由此利用基本事实三，即可证得对角线与平面的交点一定在上. 【详解】证明：如图所示，连接， 因为是正方体的上底面的中心， 所以，且， 因为平面，平面， 所以平面，平面， 又因为平面，平面， 所以平面平面， 因为对角线平面，所以平面，平面， 所以由基本事实三可得，对角线与平面的交点一定在上.    【考点五】空间两条直线的位置关系 26.（24-25高一下·云南曲靖·期末）已知直线，若，是异面直线，则a与d的位置关系为（    ） A．相交 B．异面 C．相交或异面 D．不确定 【答案】C 【分析】根据已知直线的位置关系，结合平面的基本性质，空间想象来判断a与d的位置关系. 【详解】由，是异面直线，则异面或相交，又，故异面或相交. 故选：C 27．（24-25高一下·甘肃庆阳·期末）已知长方体中，，则异面直线与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】连接，根据可知或其补角即为所求，然后利用余弦定理求解即可. 【详解】如图所示：连接，根据长方体的性质易知， 所以异面直线与所成角，即为直线与所成角，则或其补角即为所求， 不妨， 在中，， 所以由余弦定理得. 即异面直线与所成角的余弦值为. 故选：D 28．（24-25高一下·吉林长春·期末）已知点是正方体的棱的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据正方体性质可将平移到与相交，再由其棱长关系即可求得其余弦值为，说明即可得解. 【详解】取的中点为，连接，如下图所示：    利用正方体性质可得，且，所以可得是平行四边形， 即， 所以异面直线与所成的角的平面角即为， 不妨设正方体棱长为，易知； 取的中点为，连接，易知， 所以， 由正方体性质可知，，所以四边形是平行四边形， 所以， 则异面直线与所成角的余弦值为. 故选：B. 29.（多选）（24-25高一下·江西南昌·期末）如图，四面体中，，，分别为的中点.若异面直线与所成角的大小为，则的长为（    ）    A． B． C． D． 【答案】CD 【分析】利用异面直线所成角的定义和余弦定理求解可得. 【详解】取的中点为，连接，，如图：    在中，，且，在中，，且， 因为异面直线与所成角的大小为，所以直线PM，PN的夹角为，则或， 当时，由余弦定理得，，得. 当时，由余弦定理得，，得. 综上所述，或. 故选：CD 30．（24-25高一下·甘肃白银·期末）在正四棱柱中，，，M，N分别是，的中点，则异面直线与所成角的余弦值是_____. 【答案】/ 【分析】根据异面直线所成角的定义找到其对应平面角，再应用余弦定理求其余弦值. 【详解】如图，令E为的中点，连接、. 因为是的中点，则， 所以与所成的角即为与所成的角， 即（或其补角）， 由，，则，，， 在中，. 故答案为： 31．（24-25高一下·云南曲靖·期末）如图，已知正四面体分别是棱PA，PC，BA，BC上的中点，则四边形MNRQ的形状为____________，异面直线BM与QR所成的角的余弦值为__________ 【答案】 菱形； 【分析】（1）利用中位线即可求证四边形MNRQ为平行四边形，再求证即可； （2）根据异面直线所成角的定义找出或其补角为所求角，在中利用余弦定理求得即可. 【详解】由题知，MN为的中位线，所以且， 同理可得AC且，故四边形MNRQ为平行四边形， 同理有，因为在正四面体中，AC，所以， 故四边形MNRQ为菱形；因为，所以即为异面直线BM，QR所成的角， 设正四面体棱长为2a，则，， 由余弦定理可得， 故异面直线BM，QR所成的角的余弦值为. 故答案为：菱形；. 32．（24-25高一下·甘肃庆阳·期末）如图，正三棱柱中，点E为正方形的中心，点F为棱的中点，则异面直线BF与CE所成角的正切值为_______． 【答案】2 【分析】根据线线平行得出异面直线所成角为即，再计算边长得出正切即可. 【详解】在正三棱柱中，取中点G，连接FG，EG，BG，如图所示． 由点E为正方形的中心，得，，而，， 于是，，由F为棱的中点，得，，则四边形CFGE是平行四边形，有， 即或其补角就是异面直线BF与CE所成的角， 正三棱柱所有棱长都相等，令棱长为2，则，，， 等腰底边FG上的高，， 所以异面直线BF与CE所成角的正切值为2． 故答案为：2. 【考点六】直线与平面的位置关系 33.（24-25高一下·辽宁丹东·期末）正四面体的侧棱与底面所成角的正弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据正四面体的性质求解即可. 【详解】在正四面体中，不妨取棱长为1，设为底面的中心，为的中点，连接， 则平面，所以就是侧棱与底面所成角， 又，所以， 故正四面体的侧棱与底面所成角的正弦值为. 故选：A. 34．（24-25高一下·四川泸州·期末）已知直线，平面，且，则“”是“”的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】D 【分析】先判断充分性，再判断必要性，得到“”是“”的既不充分也不必要条件． 【详解】由，可得或，所以“”不是“”的充分条件， 由，可得或与是异面直线，所以“”不是“”的必要条件， 所以“”是“”的既不充分也不必要条件． 故选：D. 35.（多选）（23-24高一下·吉林四平·期末）已知为异面直线，平面，平面，，则下列结论错误的是（   ） A．与都相交 B．与中至少一条相交 C．与都不相交 D．与中只有一条相交 【答案】ABD 【分析】假设与相交，推出与平面斜交或，与已知条件矛盾，故与不相交，同理可证与也不相交，ABD错误. 【详解】假设与相交，因为，所以， 则与平面斜交或，与平面矛盾，故与不相交， 同理可证与也不相交，C正确，ABD错误. 故选：ABD 36.（24-25高一下·甘肃武威·期末）如图，在正方体中，与平面所成的角等于________. 【答案】/ 【分析】由线面角的定义结合正方体性质即可求解. 【详解】由正方体性质可知，平面， 从而与平面所成的角为， 因为为等腰直角三角形，所以. 故答案为：. 37．（24-25高一下·广东·期末）多面体上，位于同一条棱两端的顶点称为相邻的顶点．如图所示，正方体的一个顶点在平面内，其余顶点在的同侧．正方体上与顶点相邻的三个顶点到的距离分别为1，2和4，则正方体其余四个顶点到平面的距离之和为______． 【答案】21 【分析】由题可得、的中点到平面的距离为3，即、的中点到平面的距离为3，进而可得到平面的距离为6，同理可得、、到平面的距离，即可求解. 【详解】因为、、到平面的距离分别为1、2、4， 所以、的中点到平面的距离为3，即、的中点到平面的距离为3， 所以到平面的距离为6； 同样、的中点到平面的距离为，即、的中点到平面的距离为， 所以到平面的距离为5； 又、的中点到平面的距离为，即、的中点到平面的距离为， 所以到平面的距离为3； 所以、的中点到平面的距离为，即、的中点到平面的距离为， 所以到平面的距离为7； 综上，其余四个顶点到平面的距离之和为：. 故答案为：21. 38.（24-25高一下·辽宁大连·期末）如图，在直三棱柱中，已知，侧面为正方形，设的中点为，. (1)求证平面； (2)求证：平面. 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析. 【分析】（1）根据中位线性质证明，结合直棱柱性质和线面平行判定定理可证； （2）先证，然后结合正方形性质和线面垂直判定定理可证. 【详解】（1）侧面为正方形，且，∴E为的中点， 又为的中点，， 又直三棱柱中，，. 又平面，平面， 平面. （2）直三棱柱，平面， 又平面，， 又，平面，， 平面. 又平面，. 侧面为正方形，， 又，、平面， 平面. 39．（24-25高一下·湖南衡阳·期末）已知正方体的棱长为，，分别为，的中点． (1)证明：平面． (2)求异面直线与所成角的大小． (3)求直线与平面所成角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析； (2)； (3). 【分析】（1）通过中位线定理证明线线平行，进而证明线面平行； （2）利用平行关系将异面直线所成角转化为共面直线所成角，再通过解三角形求解； （3）利用线面垂直，从而确定线面角，再通过几何法求解. 【详解】（1）证明：连接交于点， 分别为，的中点， ， 平面，且平面， 平面； （2）， 与所成角大小等于与， 为的中点， ，即与所成角的大小为； （3）连接，过作于点， 平面，且平面， ，又且,且两直线在平面内， 平面， 平面， ，又，且，,且两直线在平面内， 平面， 直线与平面所成角大小等于， 正方体的边长为， . 【考点七】平面与平面的位置关系 40.（23-24高一下·陕西西安·期末）设，是两个不同平面，m，n是两条不重合直线，若，，则“”是“，”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据充分条件和必要条件的定义结合面面平行的判定和性质分析判断即可. 【详解】由，，可以得到，， 若，，，不能得到，缺条件相交， 所以“”是“，”的充分不必要条件. 故选：A 41．（24-25高一下·黑龙江黑河·期末）已知、是不同的平面，为内的一条直线，则“”是“”的（    ）条件 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】利用面面垂直的判定定理和性质定理即可作出判断. 【详解】非充分性：不能推出， 必要性：， 则“”是“”的必要不充分条件. 故选：B 42.（多选）（24-25高一下·辽宁大连·期末）下列命题是真命题的是（   ） A．直线不平行于平面，且，则平面内不存在与平行的直线 B．两条直线平行是它们与同一平面所成角相等的充分不必要条件 C．平面、，，，过内的任意一点作直线，则 D．空间中，一个角两边分别垂直于另一个角两边，则这两个角相等或互补 【答案】AB 【分析】依据空间中直线与平面、平面与平面的位置关系以及线面角、空间角的相关知识，结合举例，来对每个命题逐一进行分析判断. 【详解】对于A，已知直线不平行于平面，，那么直线与平面相交. 假设平面内存在与平行的直线，根据直线与平面平行的判定定理可得， 这与已知条件矛盾，所以平面内不存在与平行的直线，故A正确； 对于B，若两直线平行，根据线面角的定义和性质，它们与同一平面所成的角一定相等， 所以两直线平行能推出它们与同一平面所成的角相等； 但是两直线与同一平面所成的角相等时，两直线可能平行、相交或异面， 因此，两直线平行是它们与同一平面所成的角相等的充分不必要条件，故B正确； 对于C，根据面面垂直的性质定理，此垂线必须在平面内才垂直于平面，而题中的垂线不一定在平面内，故C错误； 对于D，如图，，，过平面内一点作于点，点，连接， 过平面内一点作于点，点，连接， 则，，又，故， 但是和大小关系不确定，故D错误. 故选：AB. 43．（24-25高一下·宁夏银川·期末）在《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑．已知四面体为鳖臑，且，，记二面角的平面角为，则 _______. 【答案】 【分析】取的中点，过点作交于点，证明二面角的平面角就是，结合解三角形知识即可求解. 【详解】由四面体为鳖臑，且，得， 取的中点，过点作交于点，连接， 则，是二面角的平面角， 设，则，，，， 从而，，又， 在中，， 在中，，所以. 故答案为： 44．（24-25高一下·江西九江·期末）如图，在四棱锥中，底面是正方形，底面，.则二面角的大小______    【答案】 【分析】过作交于，连接，由线面垂直的性质结合勾股定理可得，则，再根据二面角的定义可知即为二面角的平面角，求即可. 【详解】如图过作交于，连接，    因为底面，底面，所以，，， 因为底面是正方形，， 所以由勾股定理可得，即， 又，，所以，所以， 因为平面平面，所以即为二面角的平面角， 因为，由勾股定理可得，，， 设，则，所以由得， 解得， 所以， 在中由余弦定理可得， 因为，所以， 即二面角的大小为， 故答案为： 45.（24-25高一下·甘肃临夏·期末）如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，，为等边三角形，平面平面，． (1)设分别为的中点，求证：平面； (2)求证：平面； (3)求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）连接，则，利用三角形中位线定理证明，由线线平行即可证得线面平行； （2）取中点，连接，证明，利用平面平面证明平面，得，结合条件，再由线线垂直即可证得平面； （3）由（2）已得平面，则即直线与平面所成角，则可借助于，利用三角函数的定义即可求得. 【详解】（1）如图，连接，因底面为平行四边形，则， ， 因，则，因平面， 平面，故平面. （2）取中点，连接，因为等边三角形，则， 又平面平面，平面平面， 平面， 则平面，又平面，故， 因，平面，故平面. （3）由（2）已得平面，连接，则即直线与平面所成角， 因为等边三角形，，则， 又，在中，. 即直线与平面所成角的正弦值为. 46．（24-25高一下·云南曲靖·期末）如图，长方体中，，E为BC中点，沿着EC将顺时针翻折到与底面ABCD共面的过程中，的顶点为动点P. (1)证明:平面平面. (2)求直线PE与平面所成角的正弦值的最大值. (3)若异面直线PE与AC所成角的余弦值为时，求点P到底面ABCD的距离. 【答案】(1)证明见解析； (2)； (3). 【分析】（1）根据面面垂直的判定证明结论即可； （2）由（1）及已知得平面平面，则在运动过程中在平面上的投影在上，即直线PE与平面所成角为或其补角，再由、的变化情况求正弦值的最大值即可； （3）若为中点，连接，并延长交延长线于，异面直线PE与AC所成角为锐角，于，结合面面垂直的性质有平面，最后由已知求的长度，即可得. 【详解】（1）由于沿着EC将顺时针翻折到与底面ABCD共面，顶点为动点P， 所以在平面，即平面内运动，又E为BC中点， 而平面，则平面，平面， 所以平面平面，则平面平面； （2）由（1）及平面，则平面平面，即平面平面， 平面平面，则在运动过程中在平面上的投影在上， 所以直线PE与平面所成角为，， 当且仅当与重合时取等号，所以所求正弦值最大为； （3）若为中点，连接，并延长交延长线于， 由E为BC中点，则，故异面直线PE与AC所成角为锐角， 由，即，则为平行四边形，故， 所以，又，， 所以，而， 所以为等边三角形，若于，则， 平面平面，平面，平面平面， 则平面，故点P到底面ABCD的距离. 【考点八】空间图形的表面积 47.（24-25高一下·广西北海·期末）以周长为32的正方形的一边所在直线为旋转轴，将该正方形旋转一周所得圆柱的侧面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意可得圆柱的底面半径，高，从而可根据侧面展开图是矩形，可求出其侧面积 【详解】以周长为32的正方形的一边所在直线为旋转轴，旋转一周得到的旋转体为圆柱， 其底面半径，高，故其侧面积为. 故选：D. 48．（24-25高一下·四川眉山·期末）已知一个圆锥的母线长为3，表面积为，则该圆锥的底面半径为（   ） A．2 B．3 C． D．5 【答案】A 【分析】设圆锥的底面半径为r，根据圆锥的表面积为，母线长为，由求解. 【详解】设圆锥的底面半径为r，母线长为， 因为圆锥的表面积为，母线长为， 所以， 即 ， 解得 或 （舍去） 故选：A 49．（24-25高一下·湖南衡阳·期末）若一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与一个球的直径相等，下列结论不正确的是（    ） A．圆柱的侧面积为 B．圆锥的侧面积为 C．圆柱的体积小于圆锥与球的体积之和 D．三个几何体的表面积中，圆柱的表面积最大 【答案】C 【分析】根据圆锥，圆柱，以及球的表面积和体积公式，即可结合选项逐一求解. 【详解】 对A，圆柱的侧面积等于，A正确； 对B，圆锥的母线长为，所以圆锥的侧面积为，B正确； 对C，圆柱的体积为，圆锥的体积为， 球的体积为，所以，C错误； 对D，圆柱的表面积， 圆锥的表面积， 球的表面积为，由于，所以圆柱的表面积最大，D正确. 故选：C． 50.（24-25高一下·安徽合肥·期末）已知圆台的上、下底面半径分别为1和2，高为，则圆台的表面积为_________． 【答案】 【分析】求出上、下圆的面积，作出截面，利用勾股定理求出母线的长，进而求出圆台的侧面积，即可求出圆台的表面积. 【详解】由题意， 圆台的上、下底面半径分别为1和2，高为， ∴上下圆面积分别为：，， 作出截面图，并作出截面上端点对底边的垂线，如下图所示， 由几何知识得， ，，，， 在Rt中，， 由勾股定理得，， ∴圆台的侧面积为：， ∴圆台的表面积为：， 故答案为：. 51．（24-25高一下·湖南衡阳·期末）底面半径为1的圆柱的侧面积是圆柱表面积的，则该圆柱的高为______． 【答案】 【分析】利用圆柱的表面积公式求解即可. 【详解】设该圆柱的高为， 则该圆柱的侧面积，表面积， 由题意可得，即，解得， 即该圆柱的高为， 故答案为： 52．（24-25高一下·辽宁·期末）小王同学在手工课上制作了一个圆锥模型，若该模型的底面积是侧面积的一半，则该模型轴截面顶角的大小为________. 【答案】60°/ 【分析】利用圆锥的侧面积公式列方程，求解推得圆锥轴截面的形状即得. 【详解】设圆锥模型的底面半径为，母线长为， 由题得，解得， 所以轴截面为等边三角形，故该模型轴截面顶角的大小为60°. 故答案为：. 53.（24-25高一下·河南三门峡·期末）如图，S为圆锥顶点，O是圆锥底面圆的圆心，、为底面圆的两条直径，且，，P为的中点． (1)求证：平面； (2)求圆锥的表面积． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）连结，先根据三角形中位线的性质得出；再根据线面平行的判定定理即可证明. （2）先根据题意得出圆锥的母线；再根据圆锥的性质得出底面圆的半径；最后根据圆锥的表面积公式即可求解. 【详解】（1）证明：连结.如下图示： 根据题意可知：、O分别为、的中点， . 又平面，平面， 平面． （2），P为的中点， ． 又S为圆锥顶点，O是圆锥底面圆的圆心， 根据圆锥的性质可得：平面，又平面， 所以， ， 圆锥的表面积． 【考点九】空间图形的体积 54.（24-25高一下·河北唐山·期末）已知圆台上、下底面的半径分别为1和2，高为1，则该圆台的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据给定条件，利用圆台的体积公式计算得解. 【详解】依题意，该圆台的体积为. 故选：C 55．（23-24高一下·黑龙江鸡西·期末）已知某正四棱锥的高为3，体积为64，则该正四棱锥的底面边长为（   ） A．9 B．8 C．6 D．4 【答案】B 【分析】根据正四棱锥的体积公式计算即可. 【详解】解：设正四棱锥的底面边长为， 故正四棱锥的体积为，解得， 故该正四棱锥的底面边长为. 故选：B 56．（24-25高一下·辽宁大连·期末）一正四棱台内接于圆锥，其俯视图如下图所示.若底面上弓形（即图中阴影部分）面积与棱台上底面面积之比为，则圆锥与棱台体积之比为（   ）. A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设圆锥的底面半径为R，结合题意求出棱台上底面正方形边长，设圆锥高，即可表示出棱台的高，结合棱台以及圆锥的体积公式，即可求得答案. 【详解】设圆锥的底面半径为R，则正四棱台的底面边长为， 则阴影部分面积为， 由于底面上弓形（即图中阴影部分）面积与棱台上底面面积之比为， 设棱台上底面正方形边长为a，则，则， 即正四棱台的上下底面边长之比为，而正四棱台内接于圆锥， 则正四棱台各侧棱延长后交于一点，即为圆锥的顶点， ， 设圆锥的高为h，则正四棱台的高为， 故, 故选：D 57．（24-25高一下·贵州安顺·期末）某圆台的上底面半径为1，下底面半径为4，母线长为5，则该圆台的体积为______． 【答案】 【分析】先利用直角梯形来求台体的高，再利用台体体积公式即可求得圆台体积. 【详解】如图，圆台的轴截面，分别为上、下底面圆的圆心，    由圆台的上底面半径为1，下底面半径为4，母线长为5， 可得：， 解直角梯形可得：， 由圆台体积公式得：， 故答案为：. 58．（24-25高一下·河南许昌·期末）如图，一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形，且，，，将该平面图形绕其直角腰OC边旋转一周得到一个圆台，则该圆台的体积为______． 【答案】 【分析】先求得圆台的高，然后利用圆台的体积公式求得正确答案. 【详解】，所以原图中， 也即圆台的高为， 所以圆台的体积为. 故答案为： 59．（24-25高一下·黑龙江哈尔滨·期末）如图，圆锥PO的底面半径为3，高为，过PO靠近P的三等分点作平行于底面的截面，以该截面为底面挖去一个圆柱，则下列说法正确的序号有________． ①圆锥母线与底面所成的角为     ②圆锥PO的侧面积为 ③挖去圆柱的体积为         ④剩下几何体的表面积为 【答案】①③④ 【分析】根据题意利用勾股定理可求圆锥的母线长，挖去圆柱的半径和高，然后根据体积公式以及表面积公式即可逐项求解． 【详解】如下图： 因为圆锥的底面半径为3，高为，所以母线长， 则，即圆锥母线与底面所成的角为，故①正确； 圆锥的侧面积，故②错误； 设圆柱底面与圆锥母线交于点，与圆锥底面直径交于两点， 因为为的三等分点，所以， 则圆柱的体积为，故③正确； 圆柱的侧面积， 剩下几何体的表面积，故④正确； 故答案为：①③④ 60.（24-25高一下·吉林长春·期末）如图，在三棱锥中，底面，，，，. (1)求的大小； (2)求三棱锥的体积. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由余弦定理即可求解； （2）只需求出三棱锥的高、底面积，再结合棱锥的体积公式即可求解. 【详解】（1）因为，，， 所以， 又因为 所以； （2）因为底面，平面，所以， 因为，，所以， 即三棱锥的高为6， 因为，，， 所以三角形的面角为， 所以三棱锥的体积为. 1 学科网（北京）股份有限公司 $