河北省雄安新区2026届高三下学期考前预测数学试题

秘密★启用前 高三数学 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、班级、考场号、座位号、考生号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。 如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡 上。写在本试卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的。 1.已知集合M={xx-3≤0}，N={xx>1},则M∩N= A.[-1,+∞) B.(0,3) C.(1,3] D.(-1,+∞) 2.已知复数之满足|之十之=8一4i,则之= A.4-3i B.4+3i C.3+4i D.3-4i 3.已知袋中有2个白球、1个红球，3个球除颜色外其余均相同，有放回地随机摸球3次， 恰有1次摸到红球的概率是 A号 B号 c易 4.如图，在矩形ABCD中，AB=2,O为CD的中点，△AOB为等边三角形，G为△OAB 的中心，则GC.GB= A号 c号 5.在长方体ABCD-A1B,C1D1中，AB=BC=2,CC1=4,则长方体外接球的表面积为 A.12π B.16π C.24π D.32π 数学试题第1页（共4页） 已知椭圆+1(a>b>0)的左、右顶点A1,A,和左、右焦点F,F,分别是双曲 工-=1(m>0,n>0)的左、右焦点和左、右顶点，P是两曲线在第一象限的公共点， m2 n2 5 椭圆和双曲线的离心率分别为e1e2e1十e2=2,kpF,和kp,分别为直线PF,和PF2 1 1 的斜率，则， 一十 4 B.② 3 C.a 7.若实数x,y满足y=lg(3+7严)，对于以下各式：①x>y>1;②y>x>1;③x<y<1: ④y<x<1,其中不可能成立的个数是 A.1 B.2 C.3 D.4 8.在△ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c,4S△Ac=c2tanB,∠A的平分线交 BC于点D,c2=a·BD,则cosC= 受 B C3-1 D.1+5 2 4 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题 目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.一组样本数据：1,2,2,3,3,3,4,4,4,4，则这组数据的 A.中位数是3 B.第80百分位数是4 C.平均数是3.5 D.方差是11 10.已知4个正数a,b,c,d成等比数列（公比q≠1），则 A.adbc B.d-b>c-a C.a2+d2>2bc D.若a≤1，bc=4,则a十d的最小值为5 1,已知x∈(0，x,且sin2x=cos(答+x,则sinx的取值可能在以下哪个区间 A.(0.) D.() 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12函数了)2的图象的对称中心为 数学试题第2页（共4页） 13.函数y=2的最大值为 14.过点(1，b)可向曲线y-山工作三条切线，则实数6的取值范围为 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(13分) 已知在数列{am}中，a1=2,当n≥2时，an=3am-1十2. (1)证明：{an+1}为等比数列； (2)若bn=(am+1)log3(an十1)，求数列{bn}的前n项和Tm. 16.(15分) 如图，在三棱台ABC-A1B1C1中，∠AB1B=∠ACB=90°，CC1=A,C1=B1C1=2, AC=4,AA=BB1. (1)证明：CC1⊥平面ABC; (2)求二面角A-A1B-C1的正弦值. 17.(15分) 112 现有1,2,3号三名运动员投篮，命中率分别为2,2,3，每次投篮命中与否相互独立，1 号先投，接下来按以下规则，若n号投进，则下次由n十1号投，若n号投不进，则下次 由n十2号投，4号就是指1号，5号就是指2号，6号就是指3号，7号就是指1号，依 次类推。 (1)求第3次由3号投篮的概率； (2)每进1球记1分，不进球记0分，三人得分累计3分或投篮总次数达到5次后结 束，设投篮总次数为X,求X的数学期望， 数学试题第3页（共4页） 18.(17分) 抛物线y2=2px(p>0)上一点M(1,m)到焦点F的距离为2. (1)求抛物线的方程. (2)过(6,0)的直线交此抛物线于A,B(A,B不与原点O重合)两点，△OAB的外接 圆圆心为Q (1)证明：∠AOB为锐角； (iⅱ)求直线OQ的斜率的最大值. 19.(17分) 已知函数fx)=4x+21nx-(x+4r-5),函数g(x)=2D-x+m,m为 In x 实数. (1)证明：f(x)≤0. (2)若-1<m<0. （i)证明：g(x)有两个零点x1,x2,且若x1<x2,则x1<1<x2; (i)证明：x1十x2>3十m. 数学试题第4页（共4页）高三数学 1.C【解析】M=(-∞，3]，N=(1,+∞)， 故M∩N=(1,3]. 故选C. 2.C【解析】设之=a+bi,a,b∈R,则√a2+b+ a一i=8-,故+6十a=8”解得a=8故 -b=-4, 6=4, 之=3+4i. 故选C. 3.B【解折】恰有1次摸到红球的概率是C×号× ()=台 故选B. 4.A【解析】由AB=2=OA,得AD=V3,以A为 原点，AB,AD分别为x轴、y轴正方向，建立平面 直角坐标系，则G(1,),B(20),C(25), G成-(1,9)，cc-(1,2), 故Gd.成=1-号-号 故选A. 5.C【解析】设其外接球的半径为R,则(2R)2= AB2+BC2+CC号=4+4+16=24，解得R2=6. 故此长方体外接球的表面积为S=4πR2=24π. 故选C 6,B【解折1由题意，得61一2：=品，由6+}- 5 2,得e1-1,e2=2,且b2=n2=a2-m2=3m2, 设P(xoy),由 xo yo xo yo m2十3m=m一3m,得9x6 8y6,所以x。=22.易得F1(m,0)F2(n,0), yo 1 1=+m+0-m-2=2×22 故b。E.kPF,yo yoyo 3 4V2 3 故选B. 7.B【解析-x=lg3+r)-lg10=lg[()”+ ·数学答案（身 参考答案 (品)]，令f(x)=g[(0)广+()广门，显然 a)为减函数若>1，则y-<1e(品+品) 0,故y<x,则②不可能成立；若x<1,则y一x> 0,故y>x,则④不可能成立；当x=2时，y=lg58∈ (1,2),则x>y>1,①可能成立；当x=0时，y= 1g2∈(0,1)，则x<y<1,③可能成立. 故选B. 8.D【解析】由4S△ABc=c2tanB,得2 acsin B=c2X cosB,故2 acos B=c,故2 esin Acos B=sinC= sin B sin(A+B)=sin Acos B+cos Asin B,sin(A- B)=0,得A=B.由c2=a·BD,即S-BD,易知 c △ABD△CBA,故∠B=2∠C=72°，∠C=36°， 设BD=x,AB=y,则AD=CD=y,由y2= 6红+0，得（位）°-￥-1=0，故之-1+5】 x 2,而 ysin 2C x sin C =2cosC,故cosC=1+5, 4 故选D. 9.AB【解析】易知中位数是3十3=3，A正确； 2 10X0,8=8,版第80百分位数是梦4=4，B正确： 平均数是0×1+2×2+3×3+4X4)=3,C 错误； 方差是品×(2+2×1+3×0+4X1)=1,D 错误 故选AB. 10.BCD【解析】由等比数列性质，知ad=bc,A 错误； (d-b)-(c-a)=(aq3-aq)-(aq2-a)= a(q-1)2(q十1)>0，B正确： a2+d2>2ad=2bc,C正确； bc=ag2=4,a+d=a1+g)=a(1+。)= a+4,因为0<a≤1，故a+4在(0,1]上单调递 1页，共4页) 减，a+4≥5，即当a=1时，a十d取得最小值5， q=4≠1，符合题意，D正确。 故选BCD. 1.BcD【解析】sin2x=cos(石+z）=sin(3 x),故2x=号-x十2，k∈Z或2x+号-x x十9k6∈Z.即r-号+2，k长Z或x-十 2kπ，k∈Z. 当=号终6∈Z时=0或1=后号。 因为是<音<看 所以m兮>n益-如（任-）-6：2> 4 4 且血骨<如君- 所以m后e(分，》： 因为ng-s如行，而晋行子， π1 所以sm5∈（合，）即sm号∈（合，》： 当x=+2,6∈Z时，k=0,=行n行 ∈(. 故选BCD. 12.(个，-)【解析】由2-2≠0，得x≠1，故函数 f(x)的定义域为(-∞，1)U(1,十∞)，又f(2- 12x-1 1 x)+f(x)=2-2十2-2-2-2+2-2 2,即f2-x)+fx)=-2,故函数了)的 图象的对称中心为(1，一)： ,【解析】当cosx=0时，y=0;当cosx≠0时， ·数学答案（第 oosz可变形为ysin十c0sx=2y,即 y≠0，y=2-sinx V+sin(x十g)=2y(其中tanp=), y 故12y≤+，放-≤<0或0<y≤日 3 3 综上所述，函数的最大值为 、4e2-1 14.（0,2e 【解析】设切点为(xo,yo),由y= ”工，得y二，切线方程为y号 In xo= 1-h(z-),由点(1，b)在切线上，得6- Zo In xo xo 1-ln（1-x),整理，得 1-2x)n+6+1-3=0,令f(x)= zo o xo -经之16+是-之则f) (x-1)2nx-3》,在(0,1)上，∫'(x)>0, x3 f(x)∈(-∞，b);在(1，e）上，f'(x)<0, )(克是：o:在(，1)上， 了x)≥0)c(2号+6,6，出进童知 b>0, 1 2e.所以6的 、4e2-1 取值范围为(0,2e” 15.解：(1)证明：当n≥2时，am十1=3(am-1十1)， (2分) 故{am+1}是以a1+1=3为首项，3为公比的等 比数列. (5分) (2)由(1)知am+1=3·3”-1=3, (6分) 所以bn=n·3",故Tm=1×3+2×32+…十n× 3”, (8分) 故3Tn=1×32+2×33+…+n×3+1,(10分) 故一2Tn= 3×(1-3") 1-3 -nX3+1= 2页，共4页)· (1-2n)·3m+1-3 (12分) 2 故T.=(2m-1)·3+1+3 (13分) 4 16.解：(1)证明：易求得AB=4√2，取AB的中点M, 连接B1M,∠AB1B=90°，故B1M=2√2，又 AM∥A1B1且AM=A1B1,故四边形AMB1A1 是平行四边形，故AA1=B1M=BB1=2W2, (1分) 同理，取BC的中点N,连接CB1,B,N,故由 CN/C1B1且CN=C1B1,得四边形CNB,C1是 平行四边形， (2分) BN=CC:=2=2BC,放CB1B,B,又AB1 B1B,CB1∩AB1=B1,且CB1,AB1C平面 B1AC,所以B1B⊥平面B1AC, 又ACC平面B1AC,所以AC⊥B,B,又AC⊥ BC,BC∩BB1=B,BC,BB1C平面CC1B1B,所 以AC⊥平面CC1B1B, (4分) 又CC1C平面CC1B1B,所以CC1⊥AC, 因为B1N=BN=2,BB1=2W2,所以B,N⊥ BC,所以CC1⊥BC, 又CC1⊥AC,AC∩BC=C,所以CC1⊥平面 ABC. (7分) (2)以C为原点，CA,C,CC分别为x轴、y 轴、之轴的正方向，建立空间直角坐标系C-xy之， 则C1(0,0,2),A(4,0,0),B(0,4,0),A1(2,0, 2),AB=(-4,4,0),AA1=(-2,0,2),A1C1= (-2,0,0),A1B=(-2,4,-2). (8分) 设平面AA1B的法向量为m=(x,y,之)， m·AB=0,,1-4x+4y=0, 则有 故{ m·AA1=0,-2x+2x=0, 令x=1,则m=(1,1,1), (10分) 设平面A1BC1的法向量为n=(a,b,c), n·AC1=0,,-2a=0, 则有 故 n·A1B=0,-2a+4b-2c=0, ·数学答案（第 令b=1,则n=(0,1,2). (12分) m·n 3=√15 cos<m,nmx55 (14分) 故二面角A-AB-C的正弦值为，1-()= V10 5· (15分) 17.解：(1)“第3次由3号投篮”，即第1次由1号投 运，第2欧南2号授进，概率为宁×号-宁 (5分) (2)X的所有可能取值为3,4,5. (8分) 当X=4时，有一次未投进，分以下三种情况： 12111 第一次未投进，概率为立×3×2×？=2' 1、11×1=1 第二次未投进，概率为豆×2×2×216， ,1×1111 第三次未投进，概率为2×2×3×2=24' (11分) 1,1,13 故P(X=4)=i2+16+24161 (12分) 1331 P(X=5)=1-6-1648’ (14分) 放E(X)=3×日+4×0+5×6- 31_215 (15分) 18.解：(1)M(1,m)到准线的距离为1+ 2 =2,故 p=2, (2分) 所以抛物线的方程为y2=4x. (4分) (2)(ⅰ)证明：设直线AB:x=ty+6,代入抛物线 方程，得y2=4(ty+6),故y2-4ty-24=0, (5分) 设A(x1y1),B(x2y2), 则y1y2=-24,则OA·0B=x1x2十y1y2= （y1y2)2 （-24)2 16 +y1y2= 16 -24=12>0,(7分) 又A,B,O不共线，故∠AOB为锐角.(9分) (i)设Q(x),0A的中点为N(2,2),即 (管登)易知=》0i· 3页，共4页)· N过=x(。9)+(。2）)=0,(10分) 将1-产代入化简，得答+(2-2,4。=0 (￥)， 同理，8十(2-，y-4。=0(*), (*)-(*),得=2+日(0+3y:十， (12分) 由y2-4ty-24=0, 得y1+y2=4t,y1y2=-24, 故y?+y1y2+y3=(y1+y2)2-y1y2= 16t2+24, 故xo=2+2t2+3=2t2+5, (13分) 当t=0时，易知Q(5,0),ko0=0; (14分) 当t≠0时，AB的中点为H(2t2十6,2t),故由 @·kB=-1,得y,-21 1 x。-(212+6)·f =-1,得 yo=3t, (15分) 故ko=0=」 3t 日x。212+5≤22+5=0 5 -≤ 2l+ 2而0，当且仅当-四时等号度立 33V√10 综上所述，km的最大值为3 20 (17分) 19.证明：1)f(x)=4nx+4红+2-(2x十4)= x 4n+2-2z, (1分) x 令(x)=了x),则r(x)=兰是-2 _2(x-1)≤0，故f(x)为减函数，在(0,1D上， f'(x)>f'(1)=0, 在(1，+∞)上，f'(x)<f'(1)=0, (3分) 故f(x)在(0,1)上单调递增，在(1，+∞)上单调 递减， 故f(x)≤f(1)=0. (5分) (2)(1)要证g(x)有两个零点，即证2-1) In x ·数学答案（第 x十m=0有两个解， 即证2x一1D-1nx=0(x≠1)有两个解， x-m 令(x)-2-1n,则公(x) x-m z(x=m),对x2-2x十m2-0,4=4 -(x2-2x+m2) 4m2>0,则x2-2x十m2=0有不同的两个解t1, t2,则t1十t2=2,t1t2=m2∈(0,1)，不妨令0< 41<1<2,则h'(x)=-(x-t)(x-t) x(x-m2,(8分) 在(0，t1)上，h'(x)<0,在(t1,t2)上，h'(x)>0, 在(t2,+∞)上，h′(x)<0,其中，在(t1,t2)上， h(x)单调递增，又h(1)=0,故h(t1)<0, h(t2)>0,在(0，t1)上，当x→0时，h(x)→+∞， 又h(t1)<0,故h(x)在(0，t1)上存在唯一零 点x1: 在(t2,十∞)上，当x→十∞时，h(x)→一∞，又 h(t2)>0,故h(x)在(t2,十o∞)上存在唯一零 点x2· 综上所述，g(x)有两个零点x1,x2,且若x1<x2, 则x1<1<x2· (11分) (i)f(x1)=(4z1+2)lnx1-(x1+5)(x1-1)< 0,即2-14x1+2 即nx1x1十5’由g(x1)=0,得1= 合红-m放a-m)<红十. x1十5’ 即x-(3+m)x1-5m-4<0,即-x+(3+m)· x1+5m+4>0(￥). (14分) f(x2)=(4x2+2)lnx2-(x2+5)(x2-1)<0, 即之-1、4红十2 In z2 由8)-0，得后 -m）,故号(：-m)> 即对 (3+m)x2-5m-4>0(￥￥)， (*)十()，得 x-x-(3+m)(x2-x1)>0, 所以x1十x2>3十m. (17分) 4页，共4页)·