精品解析：河北雄安容西容兴高级中学2026届高三下学期考前适应性训练(一) 数学试题

2026届高三考前适应性训练（一） 数学试题 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考场号、座位号、准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 考试时间为120分钟，满分150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知（其中为虚数单位）是纯虚数，则实数的值为（ ） A. -2 B. -1 C. 2 D. 3 3. 已知函数为奇函数，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知圆台的高为，侧面积为，下底面半径是上底面半径的2倍，则该圆台的体积为（ ） A. B. C. D. 5. 某党校派了名讲师到个单位去讲党课，每个单位只能安排一位讲师授课，而每位讲师至少要去一个单位且至多只能去两个单位，则不同的选派方法的种数为（ ） A. B. C. D. 6. 已知椭圆的左、右焦点分别为分别为椭圆的左、右顶点，直线过与椭圆交于两点（不同于点），的周长为，直线与的斜率分别为，且，则椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 7. 早在西周时期，中国就有对勾股定理探讨的实例，数学家商高曾经和周公讨论过“勾3股4弦5”的问题.“勾股弦”指的是直角三角形的两条直角边长分别是，斜边长为c.如图，已知在长方形中，满足“勾3股4弦5”，为上一点，且，则向量可用向量表示为（ ） A. B. C. D. 8. 已知为圆上的不同两点，过两点分别作圆的切线，且两切线的交点在直线上，则的最小值为（ ） A. B. 4 C. 6 D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法正确的是（ ） A. B. 若，则“”是“”的充要条件 C. 的最小值为3 D. 若，则 10. 在中，角所对的边分别为，则下列结论正确的是（ ） A. B. 若，则符合条件的三角形有两个 C. D. ， 11. 已知函数，则下列结论正确的是（ ） A. 函数的极大值为 B. 函数的极小值为 C. 直线是函数图象的一条切线 D. 若关于的不等式有唯一的整数解，则实数的取值范围是 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知函数则___________. 13. 在期中考试后，某小学五年级统计了学生的数学成绩（满分：100分），将所有学生的数学成绩按分为6组，画出频率分布直方图如图所示，则该校五年级学生期中考试的数学成绩的中位数为___________.（保留到小数点后两位） 14. 已知函数.若，且，，则___________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知数列满足，，. （1）求数列的通项公式； （2）设，求数列的前项和. 16. 如图，在直三棱柱中，，，，是线段上的一个动点，分别是线段的中点. （1）若平面平面，求证：； （2）若，求二面角的大小. 17. 已知双曲线的左、右焦点分别为，直线过点且与双曲线交于第一象限的点. （1）若直线与双曲线的左半支交于点，，且，求实数的值； （2）若点的横坐标为，且满足，证明：直线的斜率为定值. 18. 已知函数的定义域为. （1）求函数的值域； （2）若不等式在上恒成立，求实数的最大值. 19. 当下有许多人喜欢以爬山作为锻炼身体的运动方式，有一座山，上山有①②两条路径. （1）小李、小王、小张三人经常组队去爬这座山锻炼身体，三人选择①路径爬山的概率分别为，求小李、小王、小张三人中恰有两人选择②路径爬山的概率. （2）若小刘决定连续两天去爬山，事件“小刘第一天选择①路径爬山”，“小刘第二天选择②路径爬山”，且.若小刘第一天选择①路径爬山，第二天仍选择①路径爬山的概率为；若小刘第一天选择②路径爬山，则第二天选择①路径爬山的概率为.求. （3）有一支登山队，经过一段时间的爬山锻炼后，可对每人的登山速度的提高做出评定为“有效”和“无效”.在对全体登山队员的登山速度的提高做出评定后，从中随机抽取一人，登山速度的提高为“有效”的概率为0.88.现从全体登山队员中随机抽取一人，若此人登山速度的提高为“有效”，则继续抽取下一人，直到抽取到登山速度的提高为“无效”的人为止.若抽取的次数为，且（且），求的最大值. （参考数据：） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026届高三考前适应性训练（一） 数学试题 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考场号、座位号、准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 考试时间为120分钟，满分150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】解不等式确定集合，再由交集定义计算． 【详解】， 又，所以， 故选：D． 2. 已知（其中为虚数单位）是纯虚数，则实数的值为（ ） A. -2 B. -1 C. 2 D. 3 【答案】C 【解析】 【详解】， 是纯虚数，，. 3. 已知函数为奇函数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】由函数为奇函数，得， 即，解得， 因此，所以. 4. 已知圆台的高为，侧面积为，下底面半径是上底面半径的2倍，则该圆台的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】设圆台的母线长为，上底面的半径为，则下底面的半径为. 因为圆台的侧面积为，所以，得， 又，所以， 则上底面和下底面的面积分别为， 则该圆台的体积为. 5. 某党校派了名讲师到个单位去讲党课，每个单位只能安排一位讲师授课，而每位讲师至少要去一个单位且至多只能去两个单位，则不同的选派方法的种数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】由题意知，必有一位讲师去两个单位，另外两个单位各去一位讲师. 第一步：先将个单位按分成三组，共有种方法； 第二步：再把三名讲师分配到三个小组，有种分配方法， 故共有种选派方法. 6. 已知椭圆的左、右焦点分别为分别为椭圆的左、右顶点，直线过与椭圆交于两点（不同于点），的周长为，直线与的斜率分别为，且，则椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】 的周长为， 则，.设点 ， 整理得.又，解得， 椭圆的离心率. 7. 早在西周时期，中国就有对勾股定理探讨的实例，数学家商高曾经和周公讨论过“勾3股4弦5”的问题.“勾股弦”指的是直角三角形的两条直角边长分别是，斜边长为c.如图，已知在长方形中，满足“勾3股4弦5”，为上一点，且，则向量可用向量表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先建立平面直角坐标系，再结合，计算得出，结合向量的坐标运算求解. 【详解】以为坐标原点，所在直线分别为轴、轴建立如图所示的平面直角坐标系. ， 设， ，解得. 设，则， ，解得. 8. 已知为圆上的不同两点，过两点分别作圆的切线，且两切线的交点在直线上，则的最小值为（ ） A. B. 4 C. 6 D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题意可得当的值最小，即时，取得最小值. 【详解】圆，圆心，半径是圆的两条切线， ，由圆的知识可知四点共圆，且， . 又当的值最小，即时，取得最小值. 的最小值为. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法正确的是（ ） A. B. 若，则“”是“”的充要条件 C. 的最小值为3 D. 若，则 【答案】AC 【解析】 【分析】利用存在量词命题的定义判断A；利用充要条件的定义判断B；利用基本不等式求出最小值判断C；利用不等式的性质判断D. 【详解】对于A，解不等式，得，因此，A正确； 对于B，当时，或，即能推出，但不能推出， 因此“”是“”的充分不必要条件，B错误； 对于C，， 当且仅当，即时取等号，因此的最小值为3，C正确； 对于D，，当时，，D错误. 10. 在中，角所对的边分别为，则下列结论正确的是（ ） A. B. 若，则符合条件的三角形有两个 C. D. ， 【答案】ACD 【解析】 【分析】代入余弦定理计算判断A；利用正弦定理判断B；利用余弦定理及基本不等式判断C；先利用两角和余弦公式得，然后利用正切函数性质求解即可判断D. 【详解】A，由余弦定理，得，故A正确. B，由正弦定理得，，解得，故符合条件的三角形不存在，故B错误. C，由余弦定理得，即， ，当且仅当时，等号成立，故C正确. D，. 且， ， ， 即，故D正确. 11. 已知函数，则下列结论正确的是（ ） A. 函数的极大值为 B. 函数的极小值为 C. 直线是函数图象的一条切线 D. 若关于的不等式有唯一的整数解，则实数的取值范围是 【答案】ACD 【解析】 【分析】求出的定义域和，对于AB，利用导数法得到的单调性，结合单调性得到的极值，从而得到结论.对于C，设切点为，利用导数的几何意义求出切线的斜率和切点的坐标，利用点斜式得到切线方程.对于D，利用的单调性和极值，结合图像求解. 【详解】的定义域为. 对于AB，当时，在上单调递增； 当时，，在上单调递减. 在定义域内只有极大值，没有极小值，极大值为，故A正确，B错误. 对于C，设切点为， 显然， 是方程的一个根，切点为切线方程为， 即，故C正确. 对于D在上单调递增，在上单调递减， 且在定义域内有极大值， 又， 即由此作出函数的大致图象，如图. 不等式有唯一的整数解， ，即，故D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知函数则___________. 【答案】3 【解析】 【分析】根据分段函数的解析式分别代入计算即可得出结果. 【详解】 13. 在期中考试后，某小学五年级统计了学生的数学成绩（满分：100分），将所有学生的数学成绩按分为6组，画出频率分布直方图如图所示，则该校五年级学生期中考试的数学成绩的中位数为___________.（保留到小数点后两位） 【答案】 【解析】 【详解】设该校五年级学生期中考试的数学成绩的中位数的估计值为. 第一组、第二组、第三组数据的频率之和为， 第一组、第二组、第三组、第四组数据的频率之和为，所以. 由，解得. 14. 已知函数.若，且，，则___________. 【答案】## 【解析】 【分析】利用三角恒等变换可得，结合函数对称性分析可知，代入即可得结果. 【详解】由题意可知： ， 时，， 而，，， 可知是函数相邻最近的两个零点，且是函数的对称轴， 若，且，，则， 所以. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知数列满足，，. （1）求数列的通项公式； （2）设，求数列的前项和. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）分析可知数列是首项为1，公比为3的等比数列，结合等比数列通项公式运算求解； （2）可得，结合等差数列求和公式运算求解. 【小问1详解】 因为，则，即， 且，可知数列是首项为1，公比为3的等比数列， 所以. 【小问2详解】 因为，则， 可得数列为等差数列， 所以数列的前项和. 16. 如图，在直三棱柱中，，，，是线段上的一个动点，分别是线段的中点. （1）若平面平面，求证：； （2）若，求二面角的大小. 【答案】（1） 分别是线段的中点，. 在三棱柱中，四边形为平行四边形，则. 又平面平面， 平面. 平面，平面平面， . （2） 【解析】 【分析】（1）先应用线面平行判定定理证明平面，再应用线面平行性质定理证明； （2）建立空间直角坐标系，再分别求出平面的法向量和平面的一个法向量，再应用二面角余弦公式计算求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 平面平面. 又两两相互垂直. 以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立如图所示的空间直角坐标系. 则， . 设平面的法向量为，则 令，则，得. 平面的一个法向量为. 设二面角的大小为，则. 由题图可知，为钝角，则二面角的大小为. 17. 已知双曲线的左、右焦点分别为，直线过点且与双曲线交于第一象限的点. （1）若直线与双曲线的左半支交于点，，且，求实数的值； （2）若点的横坐标为，且满足，证明：直线的斜率为定值. 【答案】（1） （2） 方法一：设直线的斜率为，则直线， 联立，整理得. 因为点的横坐标为，所以恰是该方程的解， ， 整理得，即. 又，所以， 直线过点且与双曲线交于第一象限的点， ，即直线的斜率为定值. 方法二：点的横坐标为，在第一象限，且在双曲线上， ，解得，故， 因为直线过点，所以直线的斜率为. 因为，所以直线的斜率为，即直线的斜率为定值. 【解析】 【分析】（1）利用双曲线的定义求出，再在中由余弦定理即可求出； （2）方法一：设，与双曲线方程联立，将代入方程中化简即可；方法二：求出点坐标，再化简直线的斜率即可. 【小问1详解】 点在双曲线右支上，， 由，得. 又直线与双曲线的左半支交于点，所以，得， 在中由余弦定理得 ， 整理得，解得或（舍去）. 实数的值为. 【小问2详解】 略 18. 已知函数的定义域为. （1）求函数的值域； （2）若不等式在上恒成立，求实数的最大值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用导数求出函数 在 上的最小值，从而得到值域； （2）设，将原不等式转化为关于 的恒成立问题，进一步转化为函数最值问题求解. 【小问1详解】 由可知，当时，；当时，. 所以函数在上单调递减，在 上单调递增， 故当时取得最小值，且. 又因为当 且 时，；当 时，， 所以函数 的值域为. 【小问2详解】 设由第（1）问可知，. 原不等式可化为. 再设则由 可得 ，且. 于是原不等式可化为. 即，对一切恒成立. 设，其中，的最大值等于函数在区间上的最小值. 由. 设 ，则 所以在上单调递增. 又因为，所以当时，，从而 ；当 时，，从而 . 故函数在处取得最小值，且. 因此，实数的最大值为. 19. 当下有许多人喜欢以爬山作为锻炼身体的运动方式，有一座山，上山有①②两条路径. （1）小李、小王、小张三人经常组队去爬这座山锻炼身体，三人选择①路径爬山的概率分别为，求小李、小王、小张三人中恰有两人选择②路径爬山的概率. （2）若小刘决定连续两天去爬山，事件“小刘第一天选择①路径爬山”，“小刘第二天选择②路径爬山”，且.若小刘第一天选择①路径爬山，第二天仍选择①路径爬山的概率为；若小刘第一天选择②路径爬山，则第二天选择①路径爬山的概率为.求. （3）有一支登山队，经过一段时间的爬山锻炼后，可对每人的登山速度的提高做出评定为“有效”和“无效”.在对全体登山队员的登山速度的提高做出评定后，从中随机抽取一人，登山速度的提高为“有效”的概率为0.88.现从全体登山队员中随机抽取一人，若此人登山速度的提高为“有效”，则继续抽取下一人，直到抽取到登山速度的提高为“无效”的人为止.若抽取的次数为，且（且），求的最大值. （参考数据：） 【答案】（1） （2） （3）29 【解析】 【分析】（1）根据独立事件的乘法公式求解即可； （2）根据条件概率公式以及全概率公式求解即可； （3）列出分布列，写出的表达式，利用错位相减求和，最后解不等式即可. 【小问1详解】 由题意得小李、小王、小张三人中恰有两人选择②路径爬山的概率为 【小问2详解】 由题意得，. . 【小问3详解】 设从全体登山队员中随机抽取1人，抽取到的人是“无效”的概率为，则. 抽取的次数为的分布列为 1 2 3 ... ... 故. 又， 两式相减得 . . ，即， 解得， 的最大值为29. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $