学易金卷：高一数学下学期第三次月考（人教B版，范围：必修第三册+第四册第九、十章）

**基本信息** 高一数学月考卷融合数学文化（刘徽割圆术）与现实情境（索菲亚教堂高度估算），覆盖复数、向量、三角函数等核心知识，通过多梯度问题设计，培养数学眼光观察现实与逻辑推理能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|11题58分|复数运算、三角函数图像变换、向量夹角|第6题以割圆术考三角恒等变换，第5题用仰角测量建模| |填空题|3题15分|复数方程、几何面积计算|第13题正方形与圆弧结合，考查空间观念与运算| |解答题|5题77分|解三角形、三角函数性质、函数恒成立|第15题向量表示与数量积综合，第18题图像变换与方程求解，体现模型意识与推理能力|

学校__________________班级__________________姓名__________________准考证号__________________ ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍密﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍封﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍线﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 2025-2026学年高一数学下学期第三次月考卷 答题卡 准考证号： 姓 名：_________________________________________ 贴条形码区 此栏考生禁填 缺考 标记 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 注意事项 一、选择题（每小题5分，共40分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 二、选择题（全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分，共18分） 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 11 [A] [B] [C] [D] 三、填空题（每小题5分，共15分） 12．____________________ 13．____________________ 14．____________________ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 四、解答题（共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（13分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 16．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18．（17分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19．（17分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学 第4页（共6页） 数学 第5页（共6页） 数学 第6页（共6页） 数学 第1页（共6页） 数学 第2页（共6页） 数学 第3页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $■■ 2025-2026学年高一数学下学期第三次月考卷 答题卡 姓 名： 准考证号： 注意事项 1.答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清 贴条形码区 楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2.选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用 n 0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答 题：字体工整、笔迹清晰。 3.请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出 巢 区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题 缺考 无效。 此栏考生禁填 4. 保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 标记 5.正确填涂■ 一、 选择题（每小题5分，共40分） 1[A][B][C[D] 5[A][B][CD] 2 [A][B][C][D] 6[A[B][CD] 3[A][B][C][D] 7[A[B][C[D] 双阙 4[A]B][C]D] 8[A][B][CD] 二、选择题（全部选对的得6分，部分选对的得部分分， 有选错的得0 分，共18分) 9[A][B][C][D] 10[A]B][C][D] 11[A]B][C][D] 三、填空题（每小题5分，共15分） 12 妇 13 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第1页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 四、解答题（共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15.(13分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第2页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 16.(15分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第3页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17.(15分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第4页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18.(17分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第5页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19.(17分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第6页（共6页） ( ………………○……………… 外 ………………○……………… 装 ………………○……………… 订 ………………○……………… 线 ………………○……………… ) ( ………………○……………… 内 ………………○……………… 装 ………………○……………… 订 ………………○……………… 线 ………………○……………… ) ( 此卷只装订 不密封 ) ( ………………○……………… 内 ………………○……………… 装 ………………○……………… 订 ………………○……………… 线 ………………○……………… ………………○……………… 外 ………………○……………… 装 ………………○……………… 订 ………………○……………… 线 ………………○……………… … 学校： ______________ 姓名： _____________ 班级： _______________ 考号： ______________________ ) 2025-2026学年高一数学下学期第三次月考卷 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教B版必修第三册+第四册第九、十章。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知复数，则（    ） A． B． C． D． 2．为得到函数的图象，只需将函数的图象向（    ） A．左平移个单位长度 B．右平移个单位长度 C．左平移个单位长度 D．右平移个单位长度 3．已知非零向量的夹角为，且满足，则与的夹角为（   ） A． B． C． D． 4．在中，、是方程的两个实根，则的值为（   ） A． B． C． D． 5．圣·索菲亚教堂是哈尔滨的标志性建筑，其中央主体建筑集球、圆柱、棱柱于一体，极具对称之美.某同学为了估算索菲亚教堂的高度，在教堂的正东方找到一座建筑物，高为，在它们之间的地面上的点（，，三点共线）处测得楼顶、教堂塔尖的仰角分别是和，在楼顶处测得教堂塔尖的仰角为，则该同学计算索菲亚教堂的高度为（   ） A． B． C． D． 6．三国时期的数学家刘徽在对《九章算术》作注时，给出了“割圆术”求圆周率的方法；魏晋南北朝时期，祖冲之利用割圆术求出圆周率约为，这一数值与的误差小于八亿分之一.现已知的近似值还可表示为，则的值为（    ） A． B． C．4 D． 7．在中，，，，D为AB的中点，点P在线段CD上，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 8．设，若对任意，都有恒成立，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．若，，则（   ） A． B． C．与的夹角为 D．在方向上的投影向量为 10．已知为虚数单位，以下四个说法中正确的是（    ） A． B．的虚部为1 C．若，则的最大值为2 D．若是关于的方程的根，则 11．关于函数，有下述四个结论，则正确的有（    ） A．是的一个周期 B．的最小值为 C．在区间上单调递减 D．在上有4052个零点 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知复数满足，则___________． 13．如图，在正方形中，分别以为圆心，的长为半径画弧，两弧交于点E，若的长为，则图中阴影部分的面积为________． 14．当时，不等式成立，则的取值范围是_____. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分）已知是边长为6的等边三角形，D是上靠近A的三等分点，点E在边上. (1)用、表示； (2)若，求的值； (3)设与交于点，且，求. 16．（15分）已知. (1)求函数的最小正周期和单调递增区间； (2)求函数在区间上的最大值和最小值以及相应的的取值； (3)若为锐角，，求. 17．（15分）在中，内角对应的边分别是，且 (1)求角的大小； (2)若，求的面积； (3)若为锐角三角形，求的取值范围. 18．（17分）已知函数的两条相邻对称轴的距离为. (1)求的解析式； (2)将函数的图象向右平移个单位长度，再将所有点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变)，得到函数的图象. ①若，且，求的值； ②若关于的方程在区间上恰有两个不同的实数解，求实数的取值范围. 19．（17分）已知中，角的对边分别是，且. (1)若，求； (2)若且B为钝角. （i）若，求的面积. （ii）若D为线段上一点，且满足，求的值. 试题 第3页（共6页） 试题 第4页（共6页） 试题 第5页（共6页） 试题 第6页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高一数学下学期第三次月考卷 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教B版必修第三册+第四册第九、十章。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知复数，则（    ） A． B． C． D． 2．为得到函数的图象，只需将函数的图象向（    ） A．左平移个单位长度 B．右平移个单位长度 C．左平移个单位长度 D．右平移个单位长度 3．已知非零向量的夹角为，且满足，则与的夹角为（   ） A． B． C． D． 4．在中，、是方程的两个实根，则的值为（   ） A． B． C． D． 5．圣·索菲亚教堂是哈尔滨的标志性建筑，其中央主体建筑集球、圆柱、棱柱于一体，极具对称之美.某同学为了估算索菲亚教堂的高度，在教堂的正东方找到一座建筑物，高为，在它们之间的地面上的点（，，三点共线）处测得楼顶、教堂塔尖的仰角分别是和，在楼顶处测得教堂塔尖的仰角为，则该同学计算索菲亚教堂的高度为（   ） A． B． C． D． 6．三国时期的数学家刘徽在对《九章算术》作注时，给出了“割圆术”求圆周率的方法；魏晋南北朝时期，祖冲之利用割圆术求出圆周率约为，这一数值与的误差小于八亿分之一.现已知的近似值还可表示为，则的值为（    ） A． B． C．4 D． 7．在中，，，，D为AB的中点，点P在线段CD上，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 8．设，若对任意，都有恒成立，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．若，，则（   ） A． B． C．与的夹角为 D．在方向上的投影向量为 10．已知为虚数单位，以下四个说法中正确的是（    ） A． B．的虚部为1 C．若，则的最大值为2 D．若是关于的方程的根，则 11．关于函数，有下述四个结论，则正确的有（    ） A．是的一个周期 B．的最小值为 C．在区间上单调递减 D．在上有4052个零点 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知复数满足，则___________． 13．如图，在正方形中，分别以为圆心，的长为半径画弧，两弧交于点E，若的长为，则图中阴影部分的面积为________． 14．当时，不等式成立，则的取值范围是_____. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分）已知是边长为6的等边三角形，D是上靠近A的三等分点，点E在边上. (1)用、表示； (2)若，求的值； (3)设与交于点，且，求. 16．（15分）已知. (1)求函数的最小正周期和单调递增区间； (2)求函数在区间上的最大值和最小值以及相应的的取值； (3)若为锐角，，求. 17．（15分）在中，内角对应的边分别是，且 (1)求角的大小； (2)若，求的面积； (3)若为锐角三角形，求的取值范围. 18．（17分）已知函数的两条相邻对称轴的距离为. (1)求的解析式； (2)将函数的图象向右平移个单位长度，再将所有点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变)，得到函数的图象. ①若，且，求的值； ②若关于的方程在区间上恰有两个不同的实数解，求实数的取值范围. 19．（17分）已知中，角的对边分别是，且. (1)若，求； (2)若且B为钝角. （i）若，求的面积. （ii）若D为线段上一点，且满足，求的值. / 学科网（北京）股份有限公司 $画学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 2025-2026学年高一数学下学期第三次月考卷 参考答案 第一部分（选择题共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要 求的。 5 7 D C D D B C A C 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部 选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 0 10 11 AC ABC BD 第二部分（非选择题共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.-1+3i 13.12π-9V5 14.(-0,24 4 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.【详解】(1) D=而-丽=}4C-6(8c-网列+丽-子+8c 2 3 2分 (2)因为BE=4, 故征=c+E=4c+6。项=4c+}丽=C+B-4C-写0+号4C .4分 所以正-丽+号C-+号c-6+号6x6c-24 7分 (3)由D,P,B三点共线，可设AP=1AD+(1-t)AB, 由D是AC上靠近A的三等分点， 可得-号元+1-而=背而+C列+1-小而-（-得）亚+号元，9分 1/6 窗学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 所以入=1-211-2 3'39 解得入=3 91 所以4P=+2BC, 11分 9 又AB=BC=6,AB,BC=120°， 所以AP=、 25 62cos120°+4x6 9 62+20 81 2W19 3 …13分 16.【详解】1f=snm2x++sm2x-)-2cosx+1 -sinin2-)-co2s =sin 2xcos+cos2xsin+sin 2xcos-cos2xsin-cos 2x 6 6 6 6 =3sin 2x-cos2x=2 21 …2分 所以(x)的最小正周期T=2 =兀， 3分 2 令2版-受≤2x-君≤2版+受keZ,解得如名5x≤m+骨keZ, 6 所以函数)的单调递增区间为a-工k gkeZmmmmmmmm 5分 (2)因为x∈ 元5π 12'12' 所以2x-∈厂元2π7 633 根据正弦函数的图象可知， 当2x-元-时，即x=时，f八刘取最大值，f)=2sin分-2. 6分 62 2 当2x-音-号时，即x=时，f八取最小值，=2m智}=-5 63 综上，当x=时，∫x)最大值为2，当x=-亚时，∫x最小值为-3 12 8分 则sin-）=3 …………………10分 451 因为为领角，则0-（引所以oy0-0， 2/6 画学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 .12分 X 15分 17.【详解】(1)因为ABC中，bcosC+ccosB=2 a cos A,由正弦定理得 sin B cosC+sin C cos B=2sin A cos A,.................... 2分 所以Sin(B+C)=2 sin Ac0sA,即sinA=2 sin Ac0SA, 3分 又Ae@,如40，则cos4=分所以4=号： …4分 (2)由余弦定理a2=B+c2-2 bccosA得13=9+c2-6ccos7,即c2-3c-4=0, 解得C=4（C=-1舍去)，…6分 所以5ac=besin=x3x4×s血=35， 2 8分 (3)sin C-sin()sin()sin 加8+nC=n8++=sn8+cs分5如分 2sin B+3 2 sin B+cos B)=3sin(B+, 1 11分 0<B<π 因为ABC是锐角三角形，所以 2 ,解得工<B< 2π 0< 3 -B< 6 2 2 所以<B+亚<2, <sin(B+)s1, 13分 3 63’ 2 6 所以sinB+-sin Ce(V的 15分 18.【详解】)由x=6snox+写}2sin(g+-1=5smox+-coox+ 2分 6 因为函数1的打两条对称维的距离为号 所以函数f(x)的周期T=2×元=元，则@= 头=2，即=2m2x+ T .3分 2 2》指两数闪的到象向有平移个单位长度，得y=2s如(-君引22-君引 6 5分 再将所有点的纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变），得到g(x)=4sim2x-元】 6 …6分 3/6 画学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 @为1=42君-号所以n24君引 又%引则2后[引，所以w2,-sm2月-号 …8分 4531_45-3 10分 525210 @由题知，方程g=+1在0引 上恰有两个不同的实数解， 可转化为函数g(x)=4sin2x- 和函数y=k+1的图象在区间 上有且只有2个交点， 6 令1=2x- 6,xE 则1∈-π5 g(x)=h(t)=4sint, 66 则可转化为函数h(t)=4sint和函数y=k+1的图象在区间 π57 二元上有且只有2个交点，…12分 66 当t=-元时，gxn=h0nn=4sin 6 6 =-2; 当1=5时，g)m=h0)=4sin=4 2 =4sin 5-2, 14分 6 6 作出函数045int在石6 上的图象如图： y=h() 4 y=k+1 2 6 5π7 6 -2 由图可知，2≤k+1<4,则1≤k<3, 所以实数k的取值范围是[1,3).… 17分 19.【详解】(1)B=时，anB=l=2sinC-sinA 4 2 cos C-cos A 即V2sinC-sinA=V2cosC-cosA台√2(sinC-cosC)=sinA-cosA,.1分 由辅助角公式，2sinC-孕=sin4-cosA, 4/6 窗学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 结合C=3江-4可得，2sin(C-乃=2sin-A0=2cosA=sinA-cosA, 4 4 则tanA=3, ……….3分 结合sin2A+cos2A=1,0<A<π可得sinA= tan2 4 310 V1+tan2 4 10 ……4分 (2)(i)tan B=- 2sinC-sinA sin B √2cosC-cosA cosB 整理可得√2(sin BcosC-sin Ccos B)=sin BcosA-sin Acos B, 即√2sin(B-C)=sin(B-A), 由C=号可知A--6, 3 代入上式可得，2sin(B-孕=sin(B-+, 3 即2sm(B-3=sn28-3-2sm(B-3os(B-孕， 7分 31 3 由题知<B< 2r,可知<B-π。π 6 331 则mB-孕0，得到cosB-马=5 3 2 放0骨子解58-沿 44 9分 2 由正弦定理， m60m15,则c=260-v56+2. sin15 由面积公式可知5.c-acsin B=)×2×56+2x6+5-3+25, 1 11分 2 2 4 B 157 (i)设∠ACD=x, CD AC AC 在△CAD中，由正弦定理， sinl5°sin(180°-(x+l5)sin(x+15) CD CB 在△CBD中，由正弦定理， sinl05°sin(x+15)' 13分 CD2 CA.CB 两式相乘可得 inl5°sinl05° sin2(r+15)’ 由题干CA·CB=2CD2可得 CD2 2CD2 in15'sin105sin'(x+15)' 则2sin15°sin105°=sin2(x+15), 5/6 @学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 则2sin15cos15=m(x+15)-方，则sin+15)=号 （负值舍去)，…15分 由于x<60,只可能x+15=45,得到x=30=5∠4CB, 2 即CD是∠ACB的平分线， √6+√2 根据角平分线定理结合正弦定理， AD_AC_sin105° BD BC sinIs2+3 4 17分 4 6/6 2025-2026学年高一数学下学期第三次月考卷 全解全析 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教B版必修第三册+第四册第九、十章。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知复数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为， 所以， 所以， 所以. 2．为得到函数的图象，只需将函数的图象向（    ） A．左平移个单位长度 B．右平移个单位长度 C．左平移个单位长度 D．右平移个单位长度 【答案】C 【详解】由，故只需将函数的图象向左平移个单位长度得到. 3．已知非零向量的夹角为，且满足，则与的夹角为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由，得，化简得：，即 ，有， 设与的夹角为，，所以. 4．在中，、是方程的两个实根，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】∵、是方程的两个实根， ∴，， ∴， 中. 5．圣·索菲亚教堂是哈尔滨的标志性建筑，其中央主体建筑集球、圆柱、棱柱于一体，极具对称之美.某同学为了估算索菲亚教堂的高度，在教堂的正东方找到一座建筑物，高为，在它们之间的地面上的点（，，三点共线）处测得楼顶、教堂塔尖的仰角分别是和，在楼顶处测得教堂塔尖的仰角为，则该同学计算索菲亚教堂的高度为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】在中，，， 故，， 在中，，， ， 由正弦定理得，， 所以. 6．三国时期的数学家刘徽在对《九章算术》作注时，给出了“割圆术”求圆周率的方法；魏晋南北朝时期，祖冲之利用割圆术求出圆周率约为，这一数值与的误差小于八亿分之一.现已知的近似值还可表示为，则的值为（    ） A． B． C．4 D． 【答案】C 【详解】由题意，将代入， 可得 . 7．在中，，，，D为AB的中点，点P在线段CD上，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】以为坐标原点，分别为轴的正方向建立平面直角坐标系， 所以，因为D为AB的中点，所以， ，设，所以， 所以，可得，， 所以， 因为，所以. 8．设，若对任意，都有恒成立，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】 ． 因为，所以， 因为在上单调递增，在上单调递减， 又，， 所以， 令， 则， 易知在 上单调递增，且， 所以， 所以， 所以当时，取得最大值， 因为对任意的，都有恒成立，所以， 解得或，即的取值范围是． 故选：C． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．若，，则（   ） A． B． C．与的夹角为 D．在方向上的投影向量为 【答案】AC 【详解】对于选项A，，故选项A正确； 对于选项B，，，，故选项B错误； 对于选项C，，结合与的夹角范围为，故与的夹角为，选项C正确； 对于选项D，在方向上的投影向量为，故选项D错误. 故答案为：AC. 10．已知为虚数单位，以下四个说法中正确的是（    ） A． B．的虚部为1 C．若，则的最大值为2 D．若是关于的方程的根，则 【答案】ABC 【详解】对于A，，故A正确; 对于B，对于复数，叫做复数的实部，叫做复数的虚部；则复数的虚部为1，故B正确; 对于C， 设 ，，即的轨迹是以为圆心，1为半径的圆； ，其几何意义是圆上的点到的距离. 圆心到点的距离为1，圆的半径为1， 圆上的点到点的最大距离为1+1=2，即的最大值为2，故C正确; 对于D，是关于的方程的根，，整理得； ，解得，； ，故D错误. 11．关于函数，有下述四个结论，则正确的有（    ） A．是的一个周期 B．的最小值为 C．在区间上单调递减 D．在上有4052个零点 【答案】BD 【详解】A选项，， ， 故不是的一个周期，A错误； B选项，因为，所以， 当时，，故的最小值为，B正确； C选项，当时，， ，故， 由于在上单调递增，故在区间上单调递增，C错误； D选项，的定义域为R， 且， 故为偶函数， 当时，， 由于， 所以时，的一个周期为， 先考虑， 此时， 令，可得，， 故上有个零点，同理可得上有2026个零点， 综上，在上有4052个零点，D正确. 故选：BD 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知复数满足，则___________． 【答案】 【详解】设，则， ， 代入原式得， ，即，解得， ． 13．如图，在正方形中，分别以为圆心，的长为半径画弧，两弧交于点E，若的长为，则图中阴影部分的面积为________． 【答案】 【详解】连接，，因为在正方形中，分别以为圆心，的长为半径画弧，两弧交于点E， 设，则，所以， 因为的长为，所以，即正方形的边长为， 所以的面积，扇形的面积为， 由图形的对称性知，扇形与扇形的面积相等， 所以图中阴影部分的面积. 故答案为： 14．当时，不等式成立，则的取值范围是_____. 【答案】 【详解】因为，所以. 原不等式可化为成立， 即，即. 令 因为关于的函数在上单调递减， 所以的最小值为12，所以， 解得，即的取值范围是. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分）已知是边长为6的等边三角形，D是上靠近A的三等分点，点E在边上. (1)用、表示； (2)若，求的值； (3)设与交于点，且，求. 【详解】（1） 2分 （2）因为， 故, 4分 所以. 7分 （3）由三点共线，可设， 由D是上靠近A的三等分点， 可得， 9分 所以，解得， 所以， 11分 又， 所以 . 13分 16．（15分）已知. (1)求函数的最小正周期和单调递增区间； (2)求函数在区间上的最大值和最小值以及相应的的取值； (3)若为锐角，，求. 【详解】（1） ， 2分 所以的最小正周期， 3分 令，解得， 所以函数的单调递增区间为. 5分 （2）因为，所以， 根据正弦函数的图象可知， 当时，即时，取最大值，， 6分 当时，即时，取最小值，. 综上，当时，最大值为，当时，最小值为. 8分 （3）， 则， 10分 因为为锐角，则，所以， 所以， 12分 所以. 15分 17．（15分）在中，内角对应的边分别是，且 (1)求角的大小； (2)若，求的面积； (3)若为锐角三角形，求的取值范围. 【详解】（1）因为中，，由正弦定理得， 2分 所以，即， 3分 又，，则，所以； 4分 （2）由余弦定理得，即， 解得（舍去）， 6分 所以； 8分 （3）, ， 11分 因为是锐角三角形，所以，解得， 所以，， 13分 所以. 15分 18．（17分）已知函数的两条相邻对称轴的距离为. (1)求的解析式； (2)将函数的图象向右平移个单位长度，再将所有点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变)，得到函数的图象. ①若，且，求的值； ②若关于的方程在区间上恰有两个不同的实数解，求实数的取值范围. 【详解】（1）由 ， 2分 因为函数的相邻两条对称轴的距离为， 所以函数的周期，则，即． 3分 （2）将函数的图象向右平移个单位长度，得， 5分 再将所有点的纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变），得到． 6分 ①因为，所以， 又，则，所以， 8分 则 ． 10分 ②由题知，方程在上恰有两个不同的实数解， 可转化为函数和函数的图象在区间上有且只有2个交点， 令，，则，， 则可转化为函数和函数的图象在区间上有且只有2个交点， 12分 当时，； 当时， ； 当时，， 14分 作出函数在上的图象如图： 由图可知，，则， 所以实数的取值范围是． 17分 19．（17分）已知中，角的对边分别是，且. (1)若，求； (2)若且B为钝角. （i）若，求的面积. （ii）若D为线段上一点，且满足，求的值. 【详解】（1）时，， 即， 1分 由辅助角公式，， 结合可得，， 则， 3分 结合，可得 4分 （2）（i）， 整理可得， 即， 由可知， 代入上式可得，， 即， 7分 由题知，可知， 则，得到， 故，解得， 9分 由正弦定理，，则， 由面积公式可知； 11分 （ii）设， 在中，由正弦定理，， 在中，由正弦定理，， 13分 两式相乘可得， 由题干可得， 则， 则，则（负值舍去）， 15分 由于，只可能，得到， 即是的平分线， 根据角平分线定理结合正弦定理， 17分 / 学科网（北京）股份有限公司 $