高二数学第三次月考试卷（命题范围：选择性必修第二册）高二数学湘教版选择性必修第二册

2025-2026学年高二数学第三次月考试卷 命题范围：选择性必修第二册 建议用时：120分钟，满分：150分 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知，，，四组成对样本数据对应的线性相关系数分别为-0.95，-0.82，0.86，0.93，则线性相关程度最弱的是（    ） A．组 B．组 C．组 D．组 2．已知函数，则（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 3．如图，在空间四边形中，，连接，则（    ）    A． B． C． D． 4．已知函数在区间上单调递减，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 5．已知 ，，且和的分布密度曲线如图所示，则（    ） A． B． C． D． 6．若是曲线上任意一点，则曲线在点处的切线倾斜角的最小值为（    ） A． B． C． D． 7．在次伯努利试验中，设每次成功的概率为，则失败的概率为，将试验进行到恰好出现次成功时结束试验，用随机变量表示试验次数，则称服从以、为参数的帕斯卡分布，记为．已知，若，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 8．设正方形与正方形的边长都是1，若对角线与所成角的余弦值为，则二面角的大小为（    ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．某设备的使用年限（年）和所支出的维修费用（万元）有如下表的统计资料： 2 3 4 5 6 2.2 3.8 6.5 7.0 已知根据表中原始数据得回归直线方程为．某位工作人员在查阅资料时发现表中有个数据模糊不清了，下列说法正确的是（   ） A．所支出的维修费用与使用年限正相关 B．估计使用10年维修费用是12.38万元 C．根据回归方程可推断出模糊不清的数据的值为5 D．第3年维修费用的残差为0.03万元 10．下列说法正确的有（    ） A． B．两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数的绝对值越接近于1 C．设随机变量服从正态分布，若，则 D．甲、乙、丙、丁4个人到4个景点旅游，每人只去一个景点，设事件“4个人去的景点各不相同”，事件“甲独自去一个景点”，则 11．已知定义在上的函数的导函数为，若，且，则下列说法正确的是（    ） A． B．在处取得最小值 C．时，恒成立 D． 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．函数的严格增区间为__________. 13．在名女生和名男生中任选人参加一项交流活动，设为抽到男生的人数，则为__________． 14．在正方体中，为侧面内的一个动点，且，记与平面所成的角为，则的最大值为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分）为深入落实“健康第一”的教育理念，某高中为了解高三学生每天运动时间，从2000名学生中随机抽取了100名学生进行调查，得到的数据如表所示 日均运动时间（小时） 男生人数 5 20 20 10 女生人数 15 20 6 4 (1)该校高三2000名学生中，日均运动时间不足1小时的学生约为多少人？ (2)填写下面列联表，并根据小概率值的独立性检验，分析能否认为“该校高三学生日均运动时间不小于1.5小时”与“性别”有关联？ 日均运动时间 合计 男 女 合计 附：，其中. 0.05 0.01 0.005 0.001 3.841 6.635 7.879 10.828 16．（15分）在如图所示的几何体中，四边形为矩形，平面，，，.    (1)求直线与平面所成角的正弦值； (2)求点D到平面的距离. 17．(15分）某产品当月的销售额（单位：千元）与当月的宣传费（单位：千元）有关，且与的成对数据如下表： 1 4 9 16 25 20 40 50 60 80 (1)判断与是正相关还是负相关； (2)由散点图发现可以用函数模型拟合与的关系，求关于的回归方程； (3)已知该产品每个月除宣传费外的其他成本（单位：千元）为，请你预测该产品月利润的最大值，并求当月的宣传费.（月利润=月销售额-月成本） 附：在线性回归方程中，，，其中，为样本平均值. 18．（17分）已知函数 (1)若，讨论的单调性； (2)若的极小值点为 求的值； (3)若，且 证明：. 19．（17分）某农家乐园为增加客流量，计划在五一期间举行农产品的团购活动，每位参与团购且购买金额不低于100元的顾客均可以参加抽奖活动.抽奖方案如下：开始时箱子中放有除颜色外完全相同的4个红球与12个白球，每位参与抽奖的顾客均可抽取2次，每次从箱子中随机取1个球，第1次顾客从箱子中随机取出1个球，确定颜色后放回箱子，同时往箱子中放入2个与第1次取出的球颜色相同的球，然后进行第2次抽取.已知顾客每次取出白球没有奖励，取出红球奖励20元. (1)求顾客第2次取出红球的概率. (2)记每位参与抽奖的顾客获得奖励的总金额为X元，求E(X). (3)该农家乐园计划增加一种抽奖方案，此方案要求参与抽奖的顾客通过扫描二维码进入小程序回答问题，每位顾客最少回答 2个问题，最多回答 3个问题，若前 2个问题至少回答正确 1个，则不再回答第 3个问题，若前2个问题都回答错误，则需回答第 3个问题，且第 1个问题回答正确奖励 6元，第 2个和第3个问题回答正确均奖励 12元.已知顾客甲正确回答这 3个问题的概率依次为 且这3个问题回答正确与否相互独立.为使顾客甲获得奖励的总金额的数学期望最大，顾客甲应该选择原抽奖方案还是新增抽奖方案?请说明理由. 1 / 9 学科网（北京）股份有限公 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高二数学第三次月考试卷 命题范围：选择性必修第二册（参考答案） 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1 2 3 4 5 6 7 8 B D D B C B C B 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9 10 11 ABD BCD ACD 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12． 13．/ 14． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） （1）解：因为抽取的100人中日均运动时间不足1小时的人数占比为， 所以该校2000名学生中日均运动时间不足1小时人数约为人；……3分 （2）解：作出列联表如表所示 日均运动时间 合计 男 25 30 55 女 35 10 45 合计 60 40 100 零假设：“日均运动时间不小于1.5小时”与“性别”无关联，……6分 ， 根据小概率值的独立性检验，推断不成立， 即认为“日均运动时间不小于1.5小时”与“性别”有关联，此推断犯错误的概率不大于0.005. .....................13分16．（15分） （1）因平面，平面， 则，又四边形为矩形，则.……3分 如图建立以A为原点的空间直角坐标系，    则， ，，. 设平面法向量为，则， 取，则. 设直线与平面夹角为， 则……10分 （2）由（1）解析可得， 所以到平面的距离为：.....................15分 17．(15分） （1）当逐渐增大时，逐渐增大，所以与是正相关.……3分 （2）设，则， ， 则， 故关于的回归方程为……10分 （3）由题意得该产品的月成本， 则月利润为， 当，即时，该产品的月利润最大，且最大值为， 故预测该产品月利润的最大值为24000元，当月的宣传费为16000元……15分 18． （17分） （1）的定义域为， ， 令： 判别式， 若即，，恒成立，故，单调递增； 若，，令，得，两根均为负数， 因此时，，故，单调递增. 综上，当时，在上单调递增.……6分 （2）极小值点是的正根，即满足，将代入得： ，化简得，验证可知确为极小值点，故 ……10分 （3）对已知等式两边取自然对数得： ，整理得：， 令，若则，右边，矛盾，故， 则，代入得： ， 要证，即证，代入得： ， 由（1）知，当时，在单调递增， 因此时，，不等式成立， 故成立.....................17分 19． （17分） （1）设＂第1次取出红球＂为事件 ，则 ， 设＂第2次取出红球＂为事件 ， 若第1次取出红球，则箱子中有 6 红 12 白，共 18 个球，此时 ， 若第1次取出白球，则箱子中有4红14白，共18个球，此时 ， 由全概率公式得： 答：顾客第2次取出红球的概率为 .……5分 （2）由题意知， 的可能取值为0,20,40； ， ， 所以 的分布列为： 0 20 40 ,……10分 （3）设顾客甲获得奖励的总金额为 元。 由题意， 的可能取值为。 ， ， ， ， 所以 的分布列为： 0 6 12 18 ， 因为 ， 所以顾客甲应该选择新增抽奖方案.......................17分 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高二数学第三次月考试卷 命题范围：选择性必修第二册 建议用时：120分钟，满分：150分 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知，，，四组成对样本数据对应的线性相关系数分别为-0.95，-0.82，0.86，0.93，则线性相关程度最弱的是（    ） A．组 B．组 C．组 D．组 【答案】B 【分析】由线性相关系数的性质判断即可得. 【详解】因为，所以线性相关程度最弱的是组. 2．已知函数，则（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【详解】因为函数，所以，则． 3．如图，在空间四边形中，，连接，则（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【详解】在空间四边形中，， 则. 4．已知函数在区间上单调递减，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意可知，对任意的，恒成立，即，求出函数在上的值域，即可得出实数的取值范围. 【详解】因为，则， 由题意可知，对任意的，恒成立，即， 因为函数在上单调递减，故，所以. 5．已知 ，，且和的分布密度曲线如图所示，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由密度曲线结合正态分布性质求解即可. 【详解】由题图可知，，则，即，所以A错误； 根据正态曲线的性质，越大图象越矮胖，则，即，所以B错误； 由图可知，，所以C正确； 由图可知，，所以D错误． 6．若是曲线上任意一点，则曲线在点处的切线倾斜角的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据导数的几何意义，求得，即可得到答案. 【详解】已知曲线，求导得， 设曲线在点处的切线倾斜角为，其中， 根据直线斜率与倾斜角的关系，有斜率， 因此，由于，得，解得， 因此的最小值为，故B正确. 7．在次伯努利试验中，设每次成功的概率为，则失败的概率为，将试验进行到恰好出现次成功时结束试验，用随机变量表示试验次数，则称服从以、为参数的帕斯卡分布，记为．已知，若，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意求出、的表达式，根据题干条件可得出关于的不等式，解之即可. 【详解】因为，根据题意得， ， 因为，所以， 因为，化简可得，解得，故， 所以的最大值为. 8．设正方形与正方形的边长都是1，若对角线与所成角的余弦值为，则二面角的大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据给定条件，利用空间向量数量积的运算律及夹角公式列式求解. 【详解】设二面角的大小为，由， 得，， 则， 而，由对角线与所成角的余弦值为，得， 解得，又，解得， 所以二面角的大小为. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．某设备的使用年限（年）和所支出的维修费用（万元）有如下表的统计资料： 2 3 4 5 6 2.2 3.8 6.5 7.0 已知根据表中原始数据得回归直线方程为．某位工作人员在查阅资料时发现表中有个数据模糊不清了，下列说法正确的是（   ） A．所支出的维修费用与使用年限正相关 B．估计使用10年维修费用是12.38万元 C．根据回归方程可推断出模糊不清的数据的值为5 D．第3年维修费用的残差为0.03万元 【答案】ABD 【分析】根据线性回归方程斜率判断A;利用线性回归方程预测的情况判断B；由可求出模糊数据判断C；根据残差公式计算即可判断D． 【详解】解：因为回归直线斜率大于0，所以所支出的维修费用与使用年限正相关，A正确； 将代入回归直线方程得，B正确： ，， 则模糊数据为，C错； 时，估计值，而实际值为， 则第3年维修费用的残差为0.03万元，故D正确． 10．下列说法正确的有（    ） A． B．两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数的绝对值越接近于1 C．设随机变量服从正态分布，若，则 D．甲、乙、丙、丁4个人到4个景点旅游，每人只去一个景点，设事件“4个人去的景点各不相同”，事件“甲独自去一个景点”，则 【答案】BCD 【详解】对于A，，，A错误； 对于B，两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数的绝对值越接近于1，B正确； 对于C，因为随机变量服从正态分布，所以， 所以， 所以，C正确； 对于D，，D正确. 11．已知定义在上的函数的导函数为，若，且，则下列说法正确的是（    ） A． B．在处取得最小值 C．时，恒成立 D． 【答案】ACD 【分析】令，利用导数求出的单调性，即可判断A；结合A，可得，为常数，进而可得，利用导数确定其单调性及最值，即可判断B；利用对数函数的性质可判断C；根据函数的解析式，利用放缩或图象法判断D. 【详解】因为， 所以， 令， 则， 令，得，解得， 所以当时，单调递增； 当时，单调递减. 对于A，因为， 所以，即， 所以，故A正确； 对于B，由A可知， 所以，为常数， 所以， 又因为，所以， 所以，所以， 令，得， 所以当时，单调递增； 当时，单调递减， 所以在处取得最大值，故B错误； 对于C，因为， 所以当时，恒成立，故C正确； 对于D，由B可知，且在处取得最大值， 又因为， ， 所以，故D正确. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．函数的严格增区间为__________. 【答案】 【分析】利用函数的单调性与导数的关系可求得函数的严格增区间. 【详解】函数的定义域为，， 由可得，故函数的严格增区间为. 13．在名女生和名男生中任选人参加一项交流活动，设为抽到男生的人数，则为__________． 【答案】/ 【详解】∵ 从名学生（女男）中任选人，总选法数为 ， ∴ 随机变量 （抽到男生的人数）的可能取值为 . ∴ ，，. ∴ . 14．在正方体中，为侧面内的一个动点，且，记与平面所成的角为，则的最大值为______． 【答案】 【分析】先利用线线垂直确定动点的轨迹，再结合线面角的定义与向量法，将转化为动点坐标的函数，最后求出的最大值，进而得到的的最大值. 【详解】设正方体的棱长为1，以为原点建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 已知点是侧面内的一个动点，可设， 因为， 由，得，即，所以， 又因为， 设平面的一个法向量为，则， 令，可得， 又因为，设直线与平面所成的角为， 所以， 因为，所以当达到最大值时，也达到最大值， 所以，当时，，此时， 所以. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分）为深入落实“健康第一”的教育理念，某高中为了解高三学生每天运动时间，从2000名学生中随机抽取了100名学生进行调查，得到的数据如表所示 日均运动时间（小时） 男生人数 5 20 20 10 女生人数 15 20 6 4 (1)该校高三2000名学生中，日均运动时间不足1小时的学生约为多少人？ (2)填写下面列联表，并根据小概率值的独立性检验，分析能否认为“该校高三学生日均运动时间不小于1.5小时”与“性别”有关联？ 日均运动时间 合计 男 女 合计 附：，其中. 0.05 0.01 0.005 0.001 3.841 6.635 7.879 10.828 【答案】(1)人 (2)根据小概率值的独立性检验，能认为“日均运动时间不小于1.5小时”与“性别”有关联 【分析】（1）应用已知比例关系计算求解； （2）先列表格计算，再与临界值比较判断求解. 【详解】（1）解：因为抽取的100人中日均运动时间不足1小时的人数占比为， 所以该校2000名学生中日均运动时间不足1小时人数约为人；……3分 （2）解：作出列联表如表所示 日均运动时间 合计 男 25 30 55 女 35 10 45 合计 60 40 100 零假设：“日均运动时间不小于1.5小时”与“性别”无关联，……6分 ， 根据小概率值的独立性检验，推断不成立， 即认为“日均运动时间不小于1.5小时”与“性别”有关联，此推断犯错误的概率不大于0.005. .....................13分 16．（15分）在如图所示的几何体中，四边形为矩形，平面，，，.    (1)求直线与平面所成角的正弦值； (2)求点D到平面的距离. 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，根据线面角的向量求法求解即可； （2）利用点到平面距离的向量求法求解即可. 【详解】（1）因平面，平面， 则，又四边形为矩形，则.……3分 如图建立以A为原点的空间直角坐标系，    则， ，，. 设平面法向量为，则， 取，则. 设直线与平面夹角为， 则……10分 （2）由（1）解析可得， 所以到平面的距离为：.....................15分 17．(15分）某产品当月的销售额（单位：千元）与当月的宣传费（单位：千元）有关，且与的成对数据如下表： 1 4 9 16 25 20 40 50 60 80 (1)判断与是正相关还是负相关； (2)由散点图发现可以用函数模型拟合与的关系，求关于的回归方程； (3)已知该产品每个月除宣传费外的其他成本（单位：千元）为，请你预测该产品月利润的最大值，并求当月的宣传费.（月利润=月销售额-月成本） 附：在线性回归方程中，，，其中，为样本平均值. 【答案】(1)与是正相关 (2) (3)最大值为24000元，当月的宣传费为16000元 【分析】（1）根据正、负相关的概念求解； （2）利用线性回归方程的公式求解即可； （3）根据所求线性回归方程，利用函数单调性求最值即可. 【详解】（1）当逐渐增大时，逐渐增大，所以与是正相关.……3分 （2）设，则， ， 则， 故关于的回归方程为……10分 （3）由题意得该产品的月成本， 则月利润为， 当，即时，该产品的月利润最大，且最大值为， 故预测该产品月利润的最大值为24000元，当月的宣传费为16000元……15分 18．（17分）已知函数 (1)若，讨论的单调性； (2)若的极小值点为 求的值； (3)若，且 证明：. 【答案】(1)在上单调递增. (2) (3)证明见解析 【分析】（1）分和两种情况讨论即可； （2）利用极小值点的必要条件求出，然后检验充分性即可； （3）等式变形为，利用比值代换法把转化为证明，最后利用（1）的结论即可证明. 【详解】（1）的定义域为， ， 令： 判别式， 若即，，恒成立，故，单调递增； 若，，令，得，两根均为负数， 因此时，，故，单调递增. 综上，当时，在上单调递增.……6分 （2）极小值点是的正根，即满足，将代入得： ，化简得，验证可知确为极小值点，故 ……10分 （3）对已知等式两边取自然对数得： ，整理得：， 令，若则，右边，矛盾，故， 则，代入得： ， 要证，即证，代入得： ， 由（1）知，当时，在单调递增， 因此时，，不等式成立， 故成立.....................17分 19．（17分）某农家乐园为增加客流量，计划在五一期间举行农产品的团购活动，每位参与团购且购买金额不低于100元的顾客均可以参加抽奖活动.抽奖方案如下：开始时箱子中放有除颜色外完全相同的4个红球与12个白球，每位参与抽奖的顾客均可抽取2次，每次从箱子中随机取1个球，第1次顾客从箱子中随机取出1个球，确定颜色后放回箱子，同时往箱子中放入2个与第1次取出的球颜色相同的球，然后进行第2次抽取.已知顾客每次取出白球没有奖励，取出红球奖励20元. (1)求顾客第2次取出红球的概率. (2)记每位参与抽奖的顾客获得奖励的总金额为X元，求E(X). (3)该农家乐园计划增加一种抽奖方案，此方案要求参与抽奖的顾客通过扫描二维码进入小程序回答问题，每位顾客最少回答 2个问题，最多回答 3个问题，若前 2个问题至少回答正确 1个，则不再回答第 3个问题，若前2个问题都回答错误，则需回答第 3个问题，且第 1个问题回答正确奖励 6元，第 2个和第3个问题回答正确均奖励 12元.已知顾客甲正确回答这 3个问题的概率依次为 且这3个问题回答正确与否相互独立.为使顾客甲获得奖励的总金额的数学期望最大，顾客甲应该选择原抽奖方案还是新增抽奖方案?请说明理由. 【答案】(1) (2)10 (3)顾客甲应该选择新增抽奖方案，理由见解析. 【分析】（1）根据全概率公式即可求解； （2）根据题意，写出离散型随机变量求出 的分布列，从而利用期望公式即可求解. （3）设顾客甲获得奖励的总金额为 元，写出离散型随机变量求出的分布列，求得关于的期望，比较即可. 【详解】（1）设＂第1次取出红球＂为事件 ，则 ， 设＂第2次取出红球＂为事件 ， 若第1次取出红球，则箱子中有 6 红 12 白，共 18 个球，此时 ， 若第1次取出白球，则箱子中有4红14白，共18个球，此时 ， 由全概率公式得： 答：顾客第2次取出红球的概率为 .……5分 （2）由题意知， 的可能取值为0,20,40； ， ， 所以 的分布列为： 0 20 40 ,……10分 （3）设顾客甲获得奖励的总金额为 元。 由题意， 的可能取值为。 ， ， ， ， 所以 的分布列为： 0 6 12 18 ， 因为 ， 所以顾客甲应该选择新增抽奖方案.......................17分 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $