精品解析：河北沧州市肃宁县第一中学2025-2026学年高二下学期5月期中考试数学试题

高二数学 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 如图，在某城市中两地之间有整齐的方格形道路网，是道路网中的一个交汇处，小明要从道路网的处出发，途经处到达处，则小明可以选择的最短路径条数为（ ） A. 6 B. 9 C. 12 D. 18 2. 一个口袋内有个不同的红球，个不同的白球，若取一个红球记分，取一个白球记分，从中任取个球，使总分不少于分的取法有（ ） A. 种 B. 种 C. 种 D. 种 3. 设n为自然数，（ ） A. B. 0 C. D. 1 4. 已知离散型随机变量的分布列如下表所示，则的值为（ ） 0 1 2 3 0.12 0.16 A. 0.16 B. 0.09 C. 0.59 D. 5. 程序每运行一次都随机出现一个五位的二进制数，其中A的各位数中，，（2，3，4，5）出现0的概率为，出现1的概率为，记，当程序运行一次时，ξ的数学期望为（ ） A. B. C. D. 6. 某同学为了解记忆成语的个数与花费的时间单位：秒的关系，做了次试验，收集到的数据如表所示，由最小二乘法求得的回归直线方程为 ，则的值为（ ） 成语个数个 记忆时间秒 A. B. C. D. 7. 用数字组成没有重复数字且大于的四位数，这样的四位数有（ ） A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 8. 某工厂生产甲、乙、丙三种不同型号的产品，产量分别为80件、60件、60件.为了检验产品的质量，现按分层抽样的方法从以上所有产品中抽取50件进行检验，则应从丙型号产品中抽取（ ） A. 10件 B. 15件 C. 20件 D. 30件 二、多选题：本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求． 9. 已知正态分布的密度曲线是，的图象．则下列命题正确的是（ ） A. 对任意，成立 B. 如果随机变量，且，那么是上的增函数 C. 如果随机变量，那么的期望是，标准差是 D. 随机变量，，，则 10. 进入21世纪以来，全球二氧化碳排放量增长迅速，自2000年至今，全球二氧化碳排放量增加了约40%，我国作为发展中国家，经济发展仍需要大量的煤炭能源消耗．下图是2016—2020年中国二氧化碳排放量的统计图表（以2016年为第1年）．利用图表中数据计算可得，采用某非线性回归模型拟合时，；采用一元线性回归模型拟合时，线性回归方程为，．则下列说法正确的是（ ） A. 由图表可知，二氧化碳排放量y与时间x正相关 B. 由决定系数可以看出，线性回归模型的拟合程度更好 C. 利用线性回归方程计算2019年所对应的样本点的残差为-0.30 D. 利用线性回归方程预计2025年中国二氧化碳排放量为107.24亿吨 11. （多选）现安排甲、乙、丙、丁、戊5名同学参加志愿者服务活动，有翻译、导游、礼仪、司机四项工作可以安排，则以下说法错误的是（ ） A. 若每人都安排一项工作，则不同的方法数为 B. 若每人都要安排一项工作，每项工作至少有1人参加，则不同的方法数为 C. 每项工作至少有1人参加，甲、乙不会开车但能从事其他三项工作，丙、丁、戊都能胜任四项工作，则这5名同学全部被安排的方案数是 D. 若司机工作不安排，其余三项工作至少安排1人，则这5名同学全部被安排的不同方法数为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知的展开式中，的系数为，则常数的值为_________． 13. 某班有40名学生，一次考试后数学成绩，若，则估计该班学生数学成绩超过120分的人数为______． 14. 为了探究电离辐射的剂量与人体的受损程度是否有关，用两种不同剂量的电离辐射照射小白鼠在照射后天的结果如表所示： 电离辐射剂量 存活情况 合计 死亡 存活 第一种剂量 第二种剂量 合计 由表中数据算得：__________精确到 ，说明两种电离辐射剂量对小白鼠的致死作用__________填“相同”或“不相同”．(已知) 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 在道题中有道理科题和道文科题，如果不放回的依次抽取道题，求： （1）第次抽到理科题的概率； （2）第次和第次都抽到理科题的概率； （3）在第次抽到理科题的条件下，第次抽到理科题的概率． 16. 袋子中装有形状，大小完全相同的小球若干，其中红球个，黄球个，蓝球1个.现从中随机取球，规定：取出一个红球得1分，取出一个黄球得2分，取出一个蓝球得3分.若从该袋子中任取一个球，所得分数的数学期望为. （1）求正整数的值； （2）从该袋中一次性任取3个球，求所得分数之和等于5的概率. 17. 已知的展开式中各项系数之和等于的展开式的常数项，并且的展开式中系数最大的项等于54，求的值． 18. 某商场采用派发抵用券的方式刺激消费，设计了两个抽奖方案.方案一：客户一次性抛掷两个质地均匀的骰子，若点数之积为12，获得900元的抵用券，若点数相同，获得600元的抵用券，其他情况获得180元的抵用券.方案二：盒子中有编号为的小球各一个（除编号外其他均相同），客户从中有放回地摸球两次，若两次摸球的编号相同，获得600元的抵用券，若两次摸球的编号之和为奇数，获得元的抵用券，其他情况获得100元的抵用券. （1）若客户甲从两个方案中随机选择一个抽奖，求甲能获得不低于600元抵用券的概率； （2）客户乙选择方案二的抽奖方式，记乙获得的抵用券金额为X，若，求a的取值范围. 19. 设，且已知展开式中所有二项式系数之和为. （1）求的值以及二项式系数最大的项； （2）求的值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高二数学 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 如图，在某城市中两地之间有整齐的方格形道路网，是道路网中的一个交汇处，小明要从道路网的处出发，途经处到达处，则小明可以选择的最短路径条数为（ ） A. 6 B. 9 C. 12 D. 18 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定条件，利用分步乘法计数原理及组合计数问题，列式计算即得. 【详解】依题意，从到的最短路径是共行3段，向右2段向上1段，有种方法， 同理从处到达处有种方法， 由分步乘法计数原理得小明可以选择的最短路径条数为. 故选：B 2. 一个口袋内有个不同的红球，个不同的白球，若取一个红球记分，取一个白球记分，从中任取个球，使总分不少于分的取法有（ ） A. 种 B. 种 C. 种 D. 种 【答案】C 【解析】 【分析】设取出红球个，白球个，依题意列出不等式组，根据整数解分析即得. 【详解】设取出红球个，白球个，依题意， 分析可得或或， 故取法有种. 3. 设n为自然数，（ ） A. B. 0 C. D. 1 【答案】D 【解析】 【分析】直接按照二项展开式进行计算即可. 【详解】. 故选：D. 4. 已知离散型随机变量的分布列如下表所示，则的值为（ ） 0 1 2 3 0.12 0.16 A. 0.16 B. 0.09 C. 0.59 D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据概率之和为1即可求解. 【详解】由表可得，所以， 满足，故. 故选：A. 5. 程序每运行一次都随机出现一个五位的二进制数，其中A的各位数中，，（2，3，4，5）出现0的概率为，出现1的概率为，记，当程序运行一次时，ξ的数学期望为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 由题意知的可能取值是1，2，3，4，5，结合变量对应的事件和独立重复试验公式求出概率（以为例，当时，表示后四个数字中恰好出现了3个，然后算出期望． 【详解】由题意知的可能取值是1，2，3，4，5 当时，表示后四个数字都是0，， 当时，表示后四个数字中有一个1， 同理可得： ， 故选：B 【点睛】本题考查离散型随机变量的分布列和期望，考查独立重复试验的概率公式，是一个综合题，解题的关键是读懂题意． 6. 某同学为了解记忆成语的个数与花费的时间单位：秒的关系，做了次试验，收集到的数据如表所示，由最小二乘法求得的回归直线方程为 ，则的值为（ ） 成语个数个 记忆时间秒 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用回归直线过样本中心点的性质，将成语个数与记忆时间的平均值代入回归直线方程即可求解. 【详解】根据表中数据可得，， 将代入回归直线方程可得， 解得. 7. 用数字组成没有重复数字且大于的四位数，这样的四位数有（ ） A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 【答案】C 【解析】 【详解】当千位为或时，所组成的四位数一定大于；当千位为或时，所组成的四位数一定小于， 满足题意的四位数有个. 8. 某工厂生产甲、乙、丙三种不同型号的产品，产量分别为80件、60件、60件.为了检验产品的质量，现按分层抽样的方法从以上所有产品中抽取50件进行检验，则应从丙型号产品中抽取（ ） A. 10件 B. 15件 C. 20件 D. 30件 【答案】B 【解析】 【分析】根据条件求出分层抽样的抽样比，由此可求出丙型号的产品中抽取的件数. 【详解】依题意，丙型号产品在分层抽样中的抽样比为， 所以，从丙型号的产品中抽取的件数是：. 故选：B 二、多选题：本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求． 9. 已知正态分布的密度曲线是，的图象．则下列命题正确的是（ ） A. 对任意，成立 B. 如果随机变量，且，那么是上的增函数 C. 如果随机变量，那么的期望是，标准差是 D. 随机变量，，，则 【答案】ABD 【解析】 【详解】对于A，由知：图象关于对称，即，A正确； 对于B，若，则当增大时，密度曲线与轴围成的区域面积增大，即增大，是上的增函数，B正确； 对于C，若，则的期望为，方差为，标准差为，C错误； 对于D，，，图象关于对称， ，D正确. 10. 进入21世纪以来，全球二氧化碳排放量增长迅速，自2000年至今，全球二氧化碳排放量增加了约40%，我国作为发展中国家，经济发展仍需要大量的煤炭能源消耗．下图是2016—2020年中国二氧化碳排放量的统计图表（以2016年为第1年）．利用图表中数据计算可得，采用某非线性回归模型拟合时，；采用一元线性回归模型拟合时，线性回归方程为，．则下列说法正确的是（ ） A. 由图表可知，二氧化碳排放量y与时间x正相关 B. 由决定系数可以看出，线性回归模型的拟合程度更好 C. 利用线性回归方程计算2019年所对应的样本点的残差为-0.30 D. 利用线性回归方程预计2025年中国二氧化碳排放量为107.24亿吨 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据散点图即可判断A；根据决定系数越接近于1，拟合效果越好即可判断B；求出2019年所对应的样本点的残差即可判断C；由回归方程求出当时的估计值即可判断D. 【详解】解：由散点图可得二氧化碳排放量y与时间x正相关，故A正确； 因为，所以线性回归模型的拟合程度更好，故B正确； 当时，， 而，故C错误； 当时，， 即利用线性回归方程预计2025年中国二氧化碳排放量为107.24亿吨，故D正确. 故选：ABD. 11. （多选）现安排甲、乙、丙、丁、戊5名同学参加志愿者服务活动，有翻译、导游、礼仪、司机四项工作可以安排，则以下说法错误的是（ ） A. 若每人都安排一项工作，则不同的方法数为 B. 若每人都要安排一项工作，每项工作至少有1人参加，则不同的方法数为 C. 每项工作至少有1人参加，甲、乙不会开车但能从事其他三项工作，丙、丁、戊都能胜任四项工作，则这5名同学全部被安排的方案数是 D. 若司机工作不安排，其余三项工作至少安排1人，则这5名同学全部被安排的不同方法数为 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据分组分配问题，即可结合排列组合以及选项逐一求解. 【详解】对于A，安排5人参加4项工作，若每人都安排一项工作，每人有4种安排方法，则有种安排方法，故A错误． 对于B，根据题意，先将5人分为4组，再将分好的4组全排列，安排4项工作，有种安排方法，故B错误． 对于C，根据题意，分2种情况讨论：①从丙、丁、戊中选出2人开车，则有种安排方法； ②从丙、丁、戊中选出1人开车，则有种安排方法，则共有种安排方法，故C正确． 对于D，分2步分析：需要先将5人分为3组，有种分组方法， 将分好的三组安排翻译、导游、礼仪三项工作，有种情况，则有种安排方法，故D错误． 故选:ABD． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知的展开式中，的系数为，则常数的值为_________． 【答案】 【解析】 【详解】 ， 所以由 得 ，从而 点睛：求二项展开式有关问题的常见类型及解题策略 (1)求展开式中的特定项.可依据条件写出第项，再由特定项的特点求出值即可. (2)已知展开式的某项，求特定项的系数.可由某项得出参数项，再由通项写出第项，由特定项得出值，最后求出其参数. 13. 某班有40名学生，一次考试后数学成绩，若，则估计该班学生数学成绩超过120分的人数为______． 【答案】10 【解析】 【分析】根据题意知正态曲线关于对称，然后由，从而可求得，从而可求解. 【详解】由题意得数学成绩， 所以由，可得， 所以， 所以估计该班学生数学成绩超过120分的人数为. 故答案为：10. 14. 为了探究电离辐射的剂量与人体的受损程度是否有关，用两种不同剂量的电离辐射照射小白鼠在照射后天的结果如表所示： 电离辐射剂量 存活情况 合计 死亡 存活 第一种剂量 第二种剂量 合计 由表中数据算得：__________精确到 ，说明两种电离辐射剂量对小白鼠的致死作用__________填“相同”或“不相同”．(已知) 【答案】 ①. . ②. 不相同 【解析】 【分析】根据给定的数表，求出的观测值，再与临界值表比对作答. 【详解】由列联表中数据，计算得， 所以在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为小白鼠的死亡与使用的电离辐射剂量有关， 即两种电离辐射剂量对小白鼠的致死作用不相同． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 在道题中有道理科题和道文科题，如果不放回的依次抽取道题，求： （1）第次抽到理科题的概率； （2）第次和第次都抽到理科题的概率； （3）在第次抽到理科题的条件下，第次抽到理科题的概率． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据古典概型的概率公式计算可得； （2）根据概率乘法公式计算可得； （3）根据古典概型的概率公式计算可得. 【小问1详解】 因为在道题中有道理课题和道文科题， 则第次抽到理科题的概率. 【小问2详解】 依题意可得第次和第次都抽到理科题的概率； 【小问3详解】 因为第次抽到理科题，此时还剩下道题，其中道理科题，道文科题， 故在第次抽到理科题的条件下，第次抽到理科题的概率． 16. 袋子中装有形状，大小完全相同的小球若干，其中红球个，黄球个，蓝球1个.现从中随机取球，规定：取出一个红球得1分，取出一个黄球得2分，取出一个蓝球得3分.若从该袋子中任取一个球，所得分数的数学期望为. （1）求正整数的值； （2）从该袋中一次性任取3个球，求所得分数之和等于5的概率. 【答案】（1）2 （2） 【解析】 【分析】（1）由分数的取值，求相应的概率，根据数学期望的公式求正整数的值； （2）从该袋中一次性任取3个球，得分之和为5，包括一个红球两个黄球和两个红球一个蓝球两种情况，利用古典概型结合组合数公式计算即可. 【小问1详解】 由题意有，，， 有 解得； 【小问2详解】 结合（1）知，袋子中红、黄、蓝球的个数分别是3，2，1， 共6个球，从中任取3个，得分之和为5，包括如下两种情况： ①一个红球，两个黄球，所求概率为； ②两个红球，一个蓝球，所求概率为， 故从该袋中一次性任取3个球，所得分数之和等于5的概率为. 17. 已知的展开式中各项系数之和等于的展开式的常数项，并且的展开式中系数最大的项等于54，求的值． 【答案】 【解析】 【分析】先根据展开式的通项公式求出展开式的常数项，即可求得的值，再根据的展开式中系数最大的项即为的展开式中二项式系数最大的项，可求出的值． 【详解】因为展开式的通项公式为，所以当，即时，常数项为：， 而展开式的系数之和，解得n= 4， ∴展开式中系数最大的项为，∴． 18. 某商场采用派发抵用券的方式刺激消费，设计了两个抽奖方案.方案一：客户一次性抛掷两个质地均匀的骰子，若点数之积为12，获得900元的抵用券，若点数相同，获得600元的抵用券，其他情况获得180元的抵用券.方案二：盒子中有编号为的小球各一个（除编号外其他均相同），客户从中有放回地摸球两次，若两次摸球的编号相同，获得600元的抵用券，若两次摸球的编号之和为奇数，获得元的抵用券，其他情况获得100元的抵用券. （1）若客户甲从两个方案中随机选择一个抽奖，求甲能获得不低于600元抵用券的概率； （2）客户乙选择方案二的抽奖方式，记乙获得的抵用券金额为X，若，求a的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）计算出每种方案能获得不低于600元抵用券的概率，即可求得答案； （2）确定X的可能取值，求出每个值对应的概率，根据，即可求得答案. 【小问1详解】 若客户选择方案一，则能获得不低于600元抵用券的概率为. 若客户选择方案二，则能获得不低于600元抵用券的概率为. 故甲从两个方案中随机选择一个抽奖,能获得不低于600元抵用券的概率为. 【小问2详解】 由题可知，X的取值可能为100，a，600. ，，， 则. 由，解得. 又因为，所以a的取值范围为. 19. 设，且已知展开式中所有二项式系数之和为. （1）求的值以及二项式系数最大的项； （2）求的值. 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】（1）利用二项式系数和为求得的值，根据二项式系数的性质，中间项系数最大，求得系数最大的项； （2）令，得；再令,即可求得. 【详解】（1）由题意，，. ，二项式展开式中共有项，所以二项式系数最大的项为第项， 即. （2）令，得. 令，得. 所以. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $