湖南长沙市第一中学2025-2026学年高二下学期5月期中数学试题

**基本信息** 高二数学期中试卷聚焦核心素养，以新能源续航、系统可靠度等真实情境为载体，融合数学文化（等腰四面体）与逻辑推理，梯度覆盖基础与综合应用。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|11/58|复数、正态分布、双曲线|单选第3题结合新能源车型续航考查正态分布，多选第11题以等腰四面体体现空间观念| |填空题|3/15|二项式系数、线性回归|第13题通过残差计算强化数据应用意识| |解答题|5/77|概率统计（系统可靠度）、导数应用、椭圆|第18题系统可靠度问题培养数学建模能力，第19题椭圆切线与面积综合考查逻辑推理|

高二数学期中参考答案 一、二、选择题 题号 1 23 4 5 6 8 9 10 11 答案 A DA C B ACD BCD ABD 1.A【解析】因为名十2=5-i十(-1十2i)=4十i,对应的点(4,1)位于第一象限。 2.D【解析】由|x一1≥2，解得x≥3或x≤-1，所以M=(xx≤-1或x≥3)， 由z千2<1，所以 +21-二21 x+2<09(-x-1)(x+2)<0,解得x<-2或x>-1, 所以N=(xx<-2或x>-1},所以M∩N=(xx<-2或x≥3). 3.A【解析】因为续航里程X服从正态分布N(400,d),即4=400， 由题意P(360≤X≤440)=0.95，又P(u-2≤X≤u十2a)≈0.95， 所以4一20~360,4十2o≈440，所以o~≈20， 所以P(X420)≈P(X+a)≈0.5-号×0.68=0.16. 4.C【解析】函数f(x十1)的定义域为(0,2)，则1<x十1<3，所以函数f(x)的定义域为(1,3)；若西数f(x)十f(x2一 1)有意义，则 1<3,解得2<<2.则函数f)+fd-1)的定义城为E,2). 1<x2-1<3, 5.B【解析】因为f(x)在R上单调递增，且x≥0时，f(x)=c+ln(x十1)单调递增， -2a 则需满足 2X≥0'解得-1≤<0，即a的取值范国是[-1,0]， -a≤e+lnl, 6.C【解折】因为a+≥2V品，所以a+b>2,V历>1不-定成立，例知a=0.5,b=2,故A不正确；因为日+合 ®一a。年6若a叶>2→。6<2，日十号≥。6不一定小于2，比如a=0.1,6=2,故B不正确；周为 &+Q十b-4 4 √≥乡，若a+6>2,则√1，藏c正确：国为√受≥6士6，若a+6>2√>1，不 一定大于1，例如a=2,b=0.01,故D不正确. 7.B【解析】如图所示： A Y A 以F,F为直径的圆的方程为x2十=2，双曲线的渐近线为y= a't, 联立圆的方程与浙近线方程得r+号=， 化简得后=，解得Ma,b),所以MAg⊥z轴， 又因为MN与A1A2相互平分，所以四边形MA1NA2为平行四边形， 又因为∠NAM=-经，所以∠AA=学所以流=5，即号-， 所以哈后片以=1叶号-子从而= 3 高二数学参考答案(Q)一1 8.D【解析】采用描，点法作出草图如下表： 1 2 3 4 5 6 f(r) 3 6 11 20 37 70 g(x) 3 8 15 24 35 48 h(x) 3 6+ln2 9+ln3 12+2ln2 15+1n5 18+ln6 函数图象如下； 30 y=f(x) 24 y=g(￥ y=h(x) 18 142 8 6 4 2 州 510x 令f(a)=g(b)=h(c)=k,当k=40时，c>b>a,故A正确； 当k=4时，a>c>b,故C正确；当=12时，c>a>b,故B正确.故选D. ACD【解析】选项A:ac>blcl,所以|cl≠0，所以|c>0,故a>b,故A正确； 选项B:a>b>0,c>d>0才有ac>bd,例a=3,b=-2,c=1,d=-2,ac<bd,故B错误； 对于C:因为b>0,所以a,b同号，故a>b时，}<右故C正确； 对于D:由游水不等支0名<牛，所以号>号，故D正瑰 10.BCD【解析】y=f(2x+1)为偶函数，所以f(2x+1)=f(-2x十1)，即f(t+1)=f(-+1),所以y=f(t)的图象 关于直线1=1对称，即函数f(x)的图象关于直线x=1轴对称，故A错误；又因为f(x十2)=一f(x),f(x)= f(2-x),所以f(2-x)十f(2十x)=0,所以函数f(x)关于(2,0)中心对称，故C正确；而函数f(x)有对称轴x=1, 有对称中心点(2,0)，由对称性可得函数f(x)关于直线x=3轴对称，故B正确；又因为f(x十2)=一f(x),所以函 数f(x)为周期函数，周期是4，f(2026)=f(2)=0,故D正确. 11.ABD【解析】如图所示，可将“等腰四面体”放入长方体内， D (6+y=25、 选项A,长方体的三条面对角线分别为5,6,7，设长方体的长宽高分别为x0,%,0,所以有{后十=36， 6+号=49， x0=√6， 累加得2(x6十6十6)=110，解得为=√1， %=√30， 高二数学参考答案(Q)一2 所以“等腰四面体”的体积V=V-(VDne十VAa马十VGm4十Va,)=号VaD45马A 所以V=2√95，故A正确； 选项B,“等腰四面体”的每个面的三条棱长分别为√品十，√场十看，√6十石，故四个面全等， (√6+)2+（√6+6）2=2品十6十>（√6+）， 而（√6+36）+(56+石)=2十品十>(6十)2， √56+)+（√6+话）=2好+8十>（√6十话）， 廿"等腰四面体”的每个面均为锐角三角形，故B正确； x号十=a2, 选项C,可知x6+始=6，累加得2(+十)=a2+b2+c, 十始=2， 所 ‘接球的直径2R=√+6+名=√ ++2,故C错误； 2 选项D,因为“等腰四面体”的外接球球心O为体对角线的中，点，故OA=OC=OD=OB=R(R为外接球的半径)， 从而四面体O-ACD1,O-ACB1,O-CB1D,O-AB1D1是全等的四面体，故O到面ACD1,面ACB1,面CB1D,面 ABD的距离相等，故O也为“等腰四面体”的内切球球心，故D正确。 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12.一80【解析】由题意知，2=32，所以n=5, 故展开式的通项为T+=C(G)-(-品)广=(-2Cx学(=01,23,45， 令5张=一2，可得=3，所以展开式中x2的系数是(-2)°C=一80. 2 13.8.2【解析】由已知得x=7,y=5,所以5=76十a,① 又因为x=9时，残差为一0.1，故6.5十0.1=96十a,② 联立①②得=0.8，a=一0.6；所以经验回归直线方程为y=0.8x一0.6， 所以，当x=11时，y=0.8×11-0.6=8.2. 14.36【解析】对a1,a2,a的大小进行讨论，设M=a2一al十|a一a2|+|ag一al, ①a1<a2<aa时，M=(a2-a1)+(aa-a2)+(aa-a)=2(ag-a1); ②a1<as<a2时，M=(a2-a:)+(a2-ag)+(ag-a)=2(a2-a1)j ③a2<a1<ag时，M=(a1-a2)+(ag-az)+(ag-a)=2(ag-a2); ④a2<ag<a时，M=(a1-a2)+(aa-a2)+(a1-ag)=2(a1-a2); ⑤a<a1<a2时，M=(a2-a1)+(a2-aa)+(a1-a)=2(a2-ag) ⑥ag<a2<a1时，M=(a1-az)+(a2-ag)+(a1-a3)=2(a1-aa). 综上：M=2(max{a1,a2,ag）-min(a1,a2,a3}). 不妨设min{a,a2,ag}=x,则max{a,a,ag}=x十4，还有-个数为x十d, 显然x∈(1,2}，d∈(1,2,3)，对于任意x取值，都有如下情况： 当d=1时，三个数为x,x十1，x十4，有A8=6种方法； 当d=2时，三个数为x,x十2，x十4，有A=6种方法； 当d=3时，三个数为x,x十3，x十4，有A8=6种方法. 所以一共有2×(6十6十6)=36种. 四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） l5.【解析】因为m∥n,所以asin B=√3 bcos A,…2分 由正弦定理，得sin Asin B=√5 sin Bcos A,…4分 又因为A,B∈(0，π)，所以sinB≠0，所以tanA=√3， 所以A=晋 ……6分 (2)由(1)知：asin B=√3 bcos A, 所以√7sinB=23cos餐=/3，所以sinB=号，eosB=土号 7 高二数学参考答案(Q)3 又因为a,所以B<A,所以cosB=是 …9分 所以sinC=sin(A+B)=-sin Acos B+cos AsinB=号X2+X号-2号，一 21 所以Se=名snC-合x7x2x语-39 272 ………004…13分 16.【解析】(1)因为a=1时，f(x)=2x2+3x2+1, 所以f(x)=6x2+6x=6x(x+1), 令f(x)=0,解得x=0,x2=一1， 所以x∈（一oo,一1），(0，千o)时，f(x)>0;x∈（-1,0)时，f(x)<0, 所以f(x)的单调递增区间为（一o,一1），(0，十∞)，单调递减区间为（一1,0）.…4分 (2)①当一a=0,即a=0时， f(x)=6x≥0，f(x)在R上单调递增；所以f(x)m=f(0)=1; …6分 ②当-a<0,即a>0时， x∈(-∞，-a)时，f(x)>0,f(x)单调递增； x∈(-a,0)时，f(x)<0,f(x)单调递减； x∈(0，十∞)时，f(x)>0,J(x)单调递增， 所以f(x)m=f(0)=1;… …………9分 ③当-a>0,即a<0时， x∈（一o∞，0）时，f(x)>0,f(x)单调递增； x∈(0，一a)时，f(x)<0,f(x)单调递减； x∈(-a,十oo)时，f(x)>0,f(x)单调递增， 若-a≥2，即a≤-2，则f(x)在[0,2]上单调递减，所以f(x)m=f(2)=17+12a; 若-a<2,即一2<a<0,则f(x)在[0，一a]上单调递减，[-a,2]上单调递增， 所以f(x)m=f(-a)=a2十1.…14分 综上：当a≥0时，f(x)m=f(0)=1; 当a≤-2时，f(x)mn=f(2)=17+12a; 当-2<a<0时，f(x)m=f(-a)=a3+1.…15分 17.【解析】(1)设等差数列(an)的公差为d,因为a=1,Sg=6, 可得S2=3a2=6,所以a2=2,解得d=a2一a1=l,… …2分 所以an=a十(n-1)d=n,… …3分 则6=a2=2,a4=4,ag=8, ag是a4和b,的等比中项，可得a6=ab,所以b,=16, 设等比数列(bn）的公比为q,则b=bg3=2g=16,解得q=2,…5分 所以bn=b1=2X21=2m，…7分 所以数列(an的通项公式为an=n,数列(b,}的通项公式为bn=2 1 （23a.-13ah-d+（-1）1og6.=3m-3m+②+（-10n..8分 又因为ao-8n十-吉(3六3)， 1 所以{8n-8a十可}的布H=号（侵-吉+片-合+…+3点3）-日n十66n…10分 1 n 记(-1)”n)的前n项和为Gn, 当n为偶数时，G。=(-1十2)十(-3+4)+…+(-n+1+m)=乞； 当n奇数时，G.=6-十（一10%=”公-n=-出， 2…14分 ∫登十6千4m为偶教)， 综上：T,= …15分 空+6a为奇数。 2 高二数学参考答案(Q)一4 18.【解析】(1)(()甲型部件的总数为6×9=54，根据题中表格统计指标在[30,60)的甲型部件个数为7+7+7+6+8 十7=42，放甲型存件的可家度=号-子 …3分 (I)因为一个甲型部件的可靠度为P,一个乙型部件的可靠度为q,且十g=号； 故乙型部件的可靠度为g一号一g=号，…。 …。4分 设“系统试验成功”为事件A,“两个甲型部件同时工作”为事件B, 设“两个甲型部件两个乙型部件同时正常工作”为事件C, 则P(O=号×号×号×号-8， …5分 设“两个甲型部件一个乙型部件同时正常工作”为事件D, 则PD=Cx号×号×号x号-l6X2, …6分 设“一个甲型部件两个乙型部件同时正常工作”为事件E、 则P(E=×号×号×号×号-28, 94 …7分 P(A)=P(C+P(D)+P(E)=8X72+16X7+28X8 9 …8分 P(AB)=P(C)+P(D)=8X72+16X2 …9分 94 P-提x￥6产x容票器-品 3920_35 …10分 (2)优化后系统可靠度提高了。 原因：原系统需要四个部件正常工作或三个部件正常工作，系统才能正常运行，新系统除了在四个部件正常工作或 三个部件正常工作时，系统能正常运行以外，只有两个部件正常工作，系统也可能正常运行，所以可靠度提高了。… 11分 按照这个优化方案安排原有的四个部件可以有两种方法： 方法一：(1)(2)放同型部件，(3)(4)放同型部件，不妨设(1)(2)放甲型部件，(3)(4)放乙型部件，设此时可靠度 为Pa； 方法二：(1)(2)放不同型部件，(3)(4)放不同型部件，不妨设(1)(3)放甲型部件，(2)(4)放乙型部件，设此时可靠度 为P4。 P。=[1-(1-p)2][1-(1-q)2]=(2p-)(2q-4)=9(2-p)(2-q) =9(4-2p-2g+9)=号9十Pg1… ………。13分 B=[1-（1-p1-g0]P=(p+g-92=5-9g+r, 14分 R-R,=4g-5=4n(号-p）-5=-4+292-5=-4(e-吾》月， 因为p计g=号，所以号≤长1，R-R=-4(-音)°<0， 即Pg≤P%,… …16分 所以当=g=吾时，两个方法率可以； 当≠q时，方法二可靠度更高。 …17分 19.【獬折1当>0时y=√-号号(1-)（一）=号 故R点处的切线的斜率=一器 当0时--舌=-1-)(-)=-云 故R点处的切线的斜率=一品 高二数学参考答案(Q)一5 筛上可知，R处的切线L的斜率为，%=一别 404…4分 (2)(1)①当PQ的斜率不存在时，不妨设PQ,x=(>0)。 联立捕国方程 2=2,整理得y-2, x2+2y2=2, 因此PQ=2√写-反，2，当R为精国的左瑞成（当1=0时，由箱圆的对称性取左端点）时，△P0R的面软 取最大， 此时s=+2)Ev2=7=E/后+1(1-后) …5分 设f=(+1)1-x),x∈[o,1),则f)=2(x+11-2x,藏f)<f(合）-器。 国此5%a-√2信)<，当旦仅音R(-2,0y=号时取最大位， …7分 2 ②当PQ的斛率存在时，设PQ:y=x十m,由对称性，不妨设≥0，m≤0， 联立x2+2y=2得(1+2k)x2+4kx+2m2-2=0, 则△=16km2-4(1+22)(2m2-2)=8(2k+1-m2)>0, 半0汤西=2浪，8分 4km x1十x2=- 故|PQ=√1千及1x-=1+2E2级+1-证 1+2k 先固定P,Q,要使得△PQR的面积最大，即R(x0,%),点处的切线l与PQ平行， 即=亿，…9分 由(1)可知k=一 =，则=一2，代入捕图方程：6十+23=2，解得=2克 报据≥0，m≤0，可知为>0，故为=一，（当m=0时，由描圆的对称性，取6>0） √J2k2+1 则点R到直线PQ的距离d=|+m-为-m-(2k+1)bl=√2+-m √/1十 √1+？ V1+k 此时56m-=d1Q1-号，2.21聚+亚_2B五-v2正 V√1+ 1+2k2 1+2k2 令n=√2k+I, 则sw-Ea-m-立-a+-元/0-2'(+贾， n 由△>0可知，2k+1>m2,即>-m,故-∈[0,1). 由函数a=(x+1r1-z)≤器xe[o,10,可知Sa=(-)<3, 当且仅当6=一2k%,且-=2时取等，即2及2+1=4m时取等..14分 （)(1)可知，当PQ斜率不存在时，R(-E,0),PQ的中点M(受，0)，0R=20M, 所以O是△PQR的重心；…15分 当PQ斜率存在时，当S△o取最大值时，2+1=4m2,且R(x0,%)坐标满足x=一2k%, 设PQ的中点为M,(1)中由韦达定理可知，w=士=一7=一祭=一六 2 则y=x4+m=二2多+m=2m=是 29n4m1 路-兴县%南点一六- 1 1 1 即R,O,M三点共线，且满足|RO=2|OM,因此O(0,0)为△PQR的重心。…17分 高二数学参考答案(Q)一6 高二数学期中 命题人：余希 审题人：吴海波、命题研究中心 时量:120分钟 满分:150分 一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1.设复数 i为虚数单位，则复数 在复平面内对应的点位于 A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 2.已知集合 则M∩N= A.(-∞,-1]∪(3,+∞) B.(-∞,-1]∪[3,+∞) C.(-∞,-2]∪(3,+∞) D.(-∞,-2)∪[3,+∞) 3.某新能源车型的续航里程X(单位：公里)服从正态分布 N(400，0²).若该车型中95%的车续航里程介于360公里与440公里之间，则续航里程超过420公里的车在该车型中的占比约为(参考数据：P(μ-σ≤X≤μ+σ)≈0.68,P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)≈0.95,P(μ-3σ≤X≤μ+3σ)≈0.99) A.16% B.34% C.66% D.84% 4.已知函数 f(x+1)的定义域为(0,2),则函数 的定义域为 A.(1, B.(1, C.( ,2) D.(1,8) 5.已知函数 在 R 上单调递增，则实数a的取值范围是 A.(-∞,0] B.[-1,0] C.[-1,1] D.[0,+∞) 6.若a,b>0,且a+b>2,则下列说法正确的是 A. ab>1 B. C. D. 7.双曲线 的左、右焦点分别为F₁，F₂，左、右顶点分别为A1 ,A₂，以F1F₂为直径的圆与C的一条渐近线交于M，N两点，且 则C的离心率为 A. B. C.2 D. 8.定义在(0,+∞)上的三个函数 h(x)= lnx+3x,若f(a)=g(b)=h(c),则a,b,c的大小关系不可能是 A. c>b>a B. c>a>b C. a>c>b D. b>a>c 二、选择题(本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9.已知a，b，c∈R，下列命题为真命题的是 A.若a|c|>b|c|,则a>b B.若a>b,c>d,则 ac> bd C.若 ab>0,且a>b,则 D.若a>b>c>0,则 10.定义在R上的函数f(x)满足 f(2x+1)为偶函数,且 f(x+2)=-f(x)，则下列说法中正确的有 A.函数 f(x)的图象关于直线 轴对称 B.函数 f(x)的图象关于直线x=3轴对称 C.函数 f(x)的图象关于(2,0)成中心对称 D. f(2026)=0 11.数学中有许多形状优美、寓意独特的几何体，“等腰四面体”就是其中之一，所谓等腰四面体，就是指三组对棱分别相等的四面体.关于“等腰四面体”，以下结论正确的是 A.三组对棱长度分别为5，6，7的“等腰四面体”的体积为 B.“等腰四面体”的四个面均为全等的锐角三角形 C.三组对棱长度分别为a，b，c的“等腰四面体”的外接球直径为 D.“等腰四面体”的外接球与内切球的球心重合 选择题答题卡 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 得分 答案 三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分) 12.若 的展开式的二项式系数和为32，x-2的系数为 13.已知变量x，y的统计数据如下表，对表中数据作分析，发现y与x之间具有线性相关关系，利用最小二乘法，计算得到经验回归直线方程为 且当x=9时,残差为-0.1.则当x=11时，y的预测值为 . 30 5 6 7 8 9 y 3.5 4 5 6 6.5 14. 现有一盒子里装有序号分别为1，2，3，4，5，6的六个大小、质地完全相同的小球，甲、乙、丙三人依次不放回地从盒子里各随机抽取一次(每个球被抽取的可能性相同)，记录被抽取的球的序号分别为a₁,a₂,a₃,则满足 的情况有 种. 四、解答题(本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15.(本小题满分13分) 已知△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,向量=(a, b),=(cosA,sin B),且m∥n. (1)求角A; (2)若 求△ABC的面积. 16.(本小题满分15分) 已知函数 (1)当a=1时，求f(x)的单调区间； (2)求 f(x)在区间[0,2]上的最小值. 17.(本小题满分15分) 已知 是等差数列，其前n项和为 是等比数列，已知 和 的等比中项. (1)求 和 的通项公式； (2)求数列 的前n项和 18.(本小题满分17分) 在一个系统中，每一个部件能正常工作的概率称为部件的可靠度，而系统能正常运行的概率称为系统的可靠度.某系统有四个核心部件，其中甲型两个，乙型两个，四个部件至少有三个正常工作时，系统才能正常运行，且各部件是否正常工作相互独立，一个甲型部件的可靠度为 p，一个乙型部件的可靠度为q，且 系统能正常运行称为试验成功. (1)在一批产品中随机抽取六盒甲型部件，每盒9件，经逐个检测部件指标可以整理成下表，已知指标在[30，60)内甲型部件可以正常工作. 盒一 31 45 28 55 58 66 57 39 42 盒二 48 67 42 46 56 35 29 53 34 盒三 31 53 48 37 29 34 45 58 64 盒四 55 28 44 36 61 47 56 61 57 盒五 30 49 54 43 35 62 32 56 59 盒六 54 52 29 37 56 47 60 38 44 ( )请根据抽样结果估计甲型部件的可靠度 p； (jì)若p取(i)中的估计值，在一个系统试验成功的条件下，求这个系统中两个甲型部件同时正常工作的概率. (2)研发人员计划按照右图结构优化系统，①②位置上的部件中至少有一个能正常工作并且③④位置上的部件中至少有一个能正常工作，系统就能正常运行.优化后系统比优化前可靠度是否有提高?按照这个优化方案怎么安排原有的四个部件使新系统可靠度最大，请说明理由. 19.(本小题满分17分) 已知 是椭圆 上的左、右焦点，P，Q，R是椭圆上三点. (1)设 点 R 处的切线l 的斜率为 请用R的坐标表示 (2)(i)求 的面积的最大值； ( ii)当 的面积取最大值时，求 的重心的坐标. 学科网（北京）股份有限公司 $