山东省济南市章丘区2025-2026学年七年级下学期期中数学试卷

2025-2026学年山东省济南市章丘区七年级（下）期中数学试卷 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分。在每题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1．（4分）在中国传统文化中，古人常用纹样装饰生活，这些纹样既美观，其中不是轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 2．（4分）科学家在深海发现了一种新型浮游生物，其单个个体的质量仅为0.00000000025千克．数据“0.00000000025”用科学记数法可表示为（　　） A．2.5×10﹣9 B．2.5×10﹣10 C．25×10﹣10 D．0.25×10﹣11 3．（4分）掷一枚质地均匀的骰子，骰子的六个面上分别刻有1到6的点数．下列事件是必然事件的是（　　） A．向上一面的点数等于7 B．向上一面的点数大于0 C．向上一面的点数等于4 D．向上一面的点数小于5 4．（4分）如图，直线AB与CD被CE和BF所截，则下列条件中：①∠AEC＝∠C，③∠BEC+∠B＝180°．能判断AB∥CD的条件个数为（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 5．（4分）如图，已知△ABC≌△DCB，∠A＝80°，则∠2＝（　　） A．30° B．40° C．50° D．60° 6．（4分）下列计算正确的是（　　） A．3x+3y＝9xy B．（xy4）4＝xy8 C．（x﹣y）2＝x2﹣y2 D．（x﹣2y）（x+2y）＝x2﹣4y2 7．（4分）如果一个角的补角比这个角的2倍大30°，那么这个角的余角为（　　） A．20° B．70° C．40° D．50° 8．（4分）如图，在△ABC中，∠B＝∠C，BD＝CE，∠FDE＝65°（　　） A．50° B．55° C．60° D．65° 9．（4分）如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，AC＝8，则S△ABD：S△ACD＝（　　） A．25：16 B．5：4 C．16：25 D．4：5 10．（4分）如图，在等边△ABC中，AD⊥BC，连接BE，CE，将△ABE沿BE折叠，使点A落在点F处，BF，CF．下列结论：①BE⊥AF；③AF＝CF；④△AEF是等腰直角三角形△ABF＝2S△EFC．其中，正确的结论个数是（　　） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分） 11．（4分）某校兴趣小组对二维码开展数学实验，已知某二维码的边长为2，同学们通过计算机随机点作了大量的重复实验后，由此可以估计二维码黑色部分的面积约为　 　 ． 12．（4分）如图，直线EF∥MN，点A在EF上，点D在线段AC上．若∠ADB＝110°，∠CAF＝40°　 　 度． 13．（4分）如果关于x，y的二次三项式4x2﹣（m﹣1）xy+9y2是一个完全平方式，那么常数m的值是　 　 ． 14．（4分）若am＝3，an＝6，则a2m﹣n＝　 　 ． 15．（4分）如图，AE与BD相交于点C，AC＝EC，AB＝4cm，点P从点A出发，点Q从点D出发，沿D→E方向以1cm/s的速度运动，P、Q两点同时停止运动．设点P的运动时间为t（s）．连接PQ，t的值为 　 　 s． 三、解答题：（本题共10小题，共90分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。） 16．（8分）计算： （1）； （2）（12x4y3﹣8x3y2﹣4x2y2）÷（﹣4x2y2）． 17．（7分）先化简，再求值：（a﹣b）2﹣2a（a﹣2b）+（a+b）（a﹣b），其中，b＝2026． 18．（7分）中国汉字形意相生，方寸之间横竖藏乾坤，如图1是一个“九”字，其中AB∥CD，且∠AGH＝∠B 在下列括号内填写推理过程或依据： 证明：∵AB∥CD（已知）， ∴∠B＝∠C（ 　 　 ）， 又∵∠AGH＝∠B（已知）， ∴∠C＝ 　 　 （等量代换）， 又∵　 　 （已知）， ∴∠C+∠D＝180°（ 　 　 ）， 又∵∠AGH+　 　 ＝180°（平角的定义）， ∴∠AGF＝∠D（ 　 　 ）． 19．（8分）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，连接AE并延长交BC的延长线于点F，连接BE （1）FC＝AD； （2）BC＝AB﹣AD． 20．（8分）在一只不透明的口袋里，装有若干个除了颜色外均相同的小球，某数学学习小组做摸球试验，再把它放回袋中，不断重复．如表是活动进行中的一组统计数据： 摸球的次数n 100 150 200 500 800 1000 摸到白球的次数m 59 96 b 295 480 601 摸到白球的频率 a 0.64 0.58 0.59 0.60 0.601 （1）表中的a＝　 　 ，b＝　 　 ； （2）“摸到白球的”的概率的估计值是　 　 （精确到0.1）； （3）如果袋中有18个白球，那么袋中除了白球外，还有多少个其它颜色的球？ （4）在（3）的条件下，如果再放入袋中若干个白球，那么袋中放入了多少个白球？ 21．（8分）如图，在每个小正方形的边长均为1个单位长度的网格中，△ABC的三个顶点都在其格点上． （1）△ABC的面积为　 　 ； （2）画出△ABC关于直线l的轴对称图形△A1B1C1； （3）在直线l上求作一点P，使PB+PA值最小．（保留作图痕迹，不写作法） 22．（10分）如图，在△ABC中，DM，交AB于M，N两点 （1）若∠ACB＝110°，则∠MCN的度数为 　 　 ； （2）若∠MCN＝α，则∠MFN的度数为 　 　 ；（用含α的代数式表示） （3）连接FA、FB、FC，△CMN的周长为6cm，△FAB的周长为16cm 23．（10分）构造辅助线是解决几何问题的核心方法，它能够实现角的转移与转化，是初中几何从直观识图迈向逻辑推理的关键一步． 【感知发现】 （1）如图1，AB∥CD，请探究∠B，∠D三者之间的数量关系，并说明理由： 【迁移应用】 （2）某数学兴趣小组以“一个含30°角的直角三角尺和直尺”为背景开展数学活动． ①将直角三角尺与直尺按如图2所示的位置摆放，请直接写出∠α与∠β之间的数量关系； ②将直角三角尺与直尺按如图3所示的位置摆放，请写出∠1与∠2之间的数量关系并说明理由． 24．（12分）如图1的两个长方形可以按不同的形式拼成图2和图3两个图形． （1）在图2中的阴影部分的面积S1可表示为 　 　 （写成多项式乘法的形式）；在图3中的阴影部分的面积S2可表示为 　 　 ；（写成两数平方差的形式）； （2）比较图2与图3的阴影部分面积，可以得到的等式是 　 　 ； A．（a+b）2＝a2+2ab+b2 B．（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2 C．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2 （3）请利用所得等式解决下面的问题： ①已知4m2﹣n2＝12，2m+n＝4，则2m﹣n＝　 　 ； ②计算（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）⋯（232+1）+1的值，并直接写出该值的个位数字． 25．（12分）如图，在△ABC中，∠ACB为锐角，在AD的右侧作等腰直角△ADE，∠DAE＝90°，连接CE． （1）若AB＝AC，∠BAC＝90°． ①当点D在线段BC上时，如图1，线段CE　 　 ，数量关系为　 　 ； ②当点D在线段BC的延长线上时，如图2，①中的结论是否仍然成立 （2）如图3，若AB≠AC，∠BAC≠90°，探究：当∠ACB等于多少度时，CE⊥BD？请说明理由． 2025-2026学年山东省济南市章丘区七年级（下）期中数学试卷 参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分。在每题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1．（4分）在中国传统文化中，古人常用纹样装饰生活，这些纹样既美观，其中不是轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 【分析】明确轴对称图形的定义：如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，那么这个图形就是轴对称图形．依次对每个选项中的图形，尝试寻找是否存在这样的一条直线，使得图形沿该直线对折后完全重合．因为要找出不是轴对称图形的选项，所以只需判断出哪个图形不存在这样的对称轴即可． 【解答】解：A．沿图形中间竖直直线折叠，是轴对称图形； B．沿图形中间竖直直线折叠，是轴对称图形； C．不存在能让图形折叠后完全重合的直线，符合题意； D．沿图形中间竖直直线折叠，是轴对称图形． 故选：C． 2．（4分）科学家在深海发现了一种新型浮游生物，其单个个体的质量仅为0.00000000025千克．数据“0.00000000025”用科学记数法可表示为（　　） A．2.5×10﹣9 B．2.5×10﹣10 C．25×10﹣10 D．0.25×10﹣11 【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数． 【解答】解：0.00000000025＝2.4×10﹣10． 故选：B． 3．（4分）掷一枚质地均匀的骰子，骰子的六个面上分别刻有1到6的点数．下列事件是必然事件的是（　　） A．向上一面的点数等于7 B．向上一面的点数大于0 C．向上一面的点数等于4 D．向上一面的点数小于5 【分析】事先能肯定它一定会发生的事件称为必然事件，事先能肯定它一定不会发生的事件称为不可能事件，必然事件和不可能事件都是确定的；在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，称为随机事件；据此进行判断即可． 【解答】解：掷一枚质地均匀的骰子，骰子的六个面上分别刻有1到6的点数， 向上一面的点数等于3是不可能事件，则A不符合题意， 向上一面的点数大于0是必然事件，则B符合题意， 向上一面的点数等于4是随机事件，则C不符合题意， 向上一面的点数小于6是随机事件，则D不符合题意， 故选：B． 4．（4分）如图，直线AB与CD被CE和BF所截，则下列条件中：①∠AEC＝∠C，③∠BEC+∠B＝180°．能判断AB∥CD的条件个数为（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 【分析】运用同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行的方法进行判定即可求解． 【解答】解：①∠AEC＝∠C，则AB∥CD，符合题意； ②∠C＝∠BFD，则CE∥BF，不符合题意； ③∠BEC+∠B＝180°，则CE∥BF，不符合题意； 故选：B． 5．（4分）如图，已知△ABC≌△DCB，∠A＝80°，则∠2＝（　　） A．30° B．40° C．50° D．60° 【分析】根据全等三角形的性质得到∠D＝∠A＝80°，∠ACB＝∠1＝30°，再利用三角形内角和定理即可求出答案． 【解答】解：∵△ABC≌△DCB，∠A＝80°， ∴∠D＝∠A＝80°，∠ACB＝∠1＝30°（全等三角形对应角相等）， ∵∠1+∠3+∠ACB+∠D＝180°， ∴∠2＝180°﹣∠1﹣∠ACB﹣∠D＝180°﹣30°﹣30°﹣80°＝40°， 则∠2的度数为40°， 故选：B． 6．（4分）下列计算正确的是（　　） A．3x+3y＝9xy B．（xy4）4＝xy8 C．（x﹣y）2＝x2﹣y2 D．（x﹣2y）（x+2y）＝x2﹣4y2 【分析】根据合并同类项法则，幂的乘方与积的乘方法则，完全平方公式和平方差公式，逐一判断选项即可． 【解答】解：A、3x，不能合并，不符合题意； B、（xy4）6＝x4y16，原计算错误，不符合题意； C、（x﹣y）2＝x7﹣2xy+y2，原计算错误，不符合题意； D、（x﹣4y）（x+2y）＝x2﹣（2y）2＝x2﹣6y2，等式成立，正确． 故选：D． 7．（4分）如果一个角的补角比这个角的2倍大30°，那么这个角的余角为（　　） A．20° B．70° C．40° D．50° 【分析】根据题意，列出方程，解出x，再根据余角的定义，进行解答，即可． 【解答】解：设这个角的度数为x，则补角为180°﹣x 180°﹣x＝2x+30°， x＝50°， ∴该角的余角为40°． 故选：C． 8．（4分）如图，在△ABC中，∠B＝∠C，BD＝CE，∠FDE＝65°（　　） A．50° B．55° C．60° D．65° 【分析】由“SAS”可证△BFD≌△CDE，可得∠BFD＝∠CDE，由三角形的外角性质可得∠B＝∠FDE＝65°＝∠C，由三角形内角和定理可求解． 【解答】解：∵BF＝CD，∠B＝∠C， ∴△BFD≌△CDE（SAS） ∴∠BFD＝∠CDE， ∵∠FDC＝∠B+∠BFD＝∠FDE+∠CDE， ∴∠B＝∠FDE＝65°＝∠C， ∴∠A＝180°﹣∠B﹣∠C＝50°， 故选：A． 9．（4分）如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，AC＝8，则S△ABD：S△ACD＝（　　） A．25：16 B．5：4 C．16：25 D．4：5 【分析】先根据角平分线性质得到点D到AB和AC的距离相等，然后根据三角形面积公式得到S△ABD：S△ACD＝AB：AC． 【解答】解：∵AD平分∠BAC， ∴点D到AB和AC的距离相等， ∴S△ABD：S△ACD＝AB：AC＝10：8＝5：7， 故选：B． 10．（4分）如图，在等边△ABC中，AD⊥BC，连接BE，CE，将△ABE沿BE折叠，使点A落在点F处，BF，CF．下列结论：①BE⊥AF；③AF＝CF；④△AEF是等腰直角三角形△ABF＝2S△EFC．其中，正确的结论个数是（　　） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 【分析】①由折叠性质得FB＝AB，AE＝FE，∠FBE＝∠ABE，∠FEB＝∠AEB，进而得△ABF是等腰三角形，BE是∠FBA的平分线，由此得BE⊥AF，据此可对结论①进行判断； ②根据等边三角形性质得AB＝CB＝AC＝FB，BD＝CD，∠ABC＝60°，∠BAD＝30°，进而得EC＝EB，由此可依据“SSS”判定△AEC和△FEB全等，据此可对结论②进行判断； ③先证明∠ABF＝∠CBF＝30°，进而依据“SAS”判定△ABF和△CBF全等得AF＝CF，据此可对结论③进行判断； ④根据AE＝FE得△AEF是等腰直角三角形，据此可对结论④进行判断； ⑤先求出∠FEB＝∠AEB＝135°，进而得∠AEF＝90°，由此得EF∥BC，则S△EFC＝S△EFB，由折叠性质得S△EFB＝S△EAB，则S△EFB+S△EAB＝2S△EFC，再根据S△ABF＞S△EFB+S△EAB得S△ABF＞2S△EFC，据此可对结论⑤进行判断，综上所述即可得出答案． 【解答】解：①由折叠性质得：FB＝AB，AE＝FE，∠FEB＝∠AEB， ∴△ABF是等腰三角形，BE是∠FBA的平分线， 根据等腰三角形的性质得：BE⊥AF， 故结论①正确； ②∵△ABC是等边三角形，且AD⊥BC， ∴AB＝CB＝AC＝FB，BD＝CD，∠BAD＝， ∴AD是BC的垂直平分线， ∴EC＝EB， 在△AEC和△FEB中， ， ∴△AEC≌△FEB（SSS）， 故结论②正确； ③∵∠ABE＝15°， ∴∠FBE＝∠ABE＝15°， ∴∠ABF＝∠FBE+∠ABE＝30°， ∴∠CBF＝∠ABC﹣∠ABF＝30°， ∴∠ABF＝∠CBF＝30°， 在△ABF和△CBF中， ， ∴△ABF≌△CBF（SAS）， ∴AF＝CF， 故结论③正确； ④∵AE＝FE， ∴△AEF是等腰直角三角形， 故结论④正确； ⑤在△ABE中，∠ABE＝15°， ∴∠AEB＝180°﹣（∠ABE+∠BAD）＝135°， ∴∠FEB＝∠AEB＝135°， ∴∠AEF＝360°﹣（∠FEB+∠AEB）＝90°， ∴FE⊥AD， ∵AD⊥BC， ∴EF∥BC， ∴△EFC和△EFB等底同高， ∴S△EFC＝S△EFB， 由折叠性质得：△EFB≌△EAB， ∴S△EFB＝S△EAB， ∴S△EFB+S△EAB＝8S△EFB＝2S△EFC， ∵S△ABF＞S△EFB+S△EAB， ∴S△ABF＞2S△EFC， 故结论⑤不正确， 综上所述：正确的结论是①②③④，共8个． 故选：B． 二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分） 11．（4分）某校兴趣小组对二维码开展数学实验，已知某二维码的边长为2，同学们通过计算机随机点作了大量的重复实验后，由此可以估计二维码黑色部分的面积约为　1.4　 ． 【分析】根据落点落在黑色区域的频率稳定在0.35左右，再乘以大正方形的面积即可解答． 【解答】解：根据题意，落点落在黑色区域的频率稳定在0.35左右， 因为大正方形的面积为2×5＝4， 所以由此可以估计二维码黑色部分的面积约为4×8.35＝1.4， 故答案为：7.4． 12．（4分）如图，直线EF∥MN，点A在EF上，点D在线段AC上．若∠ADB＝110°，∠CAF＝40°　70　 度． 【分析】根据平行线的性质，由EF∥MN，∠CAF＝40°，得∠ACB＝∠CAF＝40°．再根据三角形外角的性质，得∠DBC＝∠ADB﹣∠ACB＝70°． 【解答】解：∵EF∥MN，∠CAF＝40°， ∴∠ACB＝∠CAF＝40°． ∴∠DBC＝∠ADB﹣∠ACB＝110°﹣40°＝70°． 故答案为：70． 13．（4分）如果关于x，y的二次三项式4x2﹣（m﹣1）xy+9y2是一个完全平方式，那么常数m的值是　13或﹣11　 ． 【分析】根据完全平方式的结构特征进行计算即可． 【解答】解：∵关于x，y的二次三项式4x2﹣（m﹣8）xy+9y2是一个完全平方式， ∴m﹣2＝±2×2×7＝±12， 解得m＝13或m＝﹣11．  故答案为：13或﹣11． 14．（4分）若am＝3，an＝6，则a2m﹣n＝　　 ． 【分析】根据同底数幂的除法法则，幂的乘方法则把原式变形，代入计算即可． 【解答】解：a2m﹣n＝a2m÷an＝（am）6÷an， 当am＝3，an＝6时，原式＝62÷6＝， 故答案为：． 15．（4分）如图，AE与BD相交于点C，AC＝EC，AB＝4cm，点P从点A出发，点Q从点D出发，沿D→E方向以1cm/s的速度运动，P、Q两点同时停止运动．设点P的运动时间为t（s）．连接PQ，t的值为 　1或2　 s． 【分析】先证△ACP≌△ECQ（ASA），得AP＝EQ，再分两种情况，当0≤t≤时，3t＝4﹣t，解得t＝1；当＜t≤时，8﹣3t＝4﹣t，解得t＝2即可． 【解答】解：在△ABC和△EDC中， ， ∴△ABC≌△EDC（SAS）， ∴∠A＝∠E，ED＝AB＝4cm， 在△ACP和△ECQ中， ， ∴△ACP≌△ECQ（ASA）， ∴AP＝EQ， 当0≤t≤时，3t＝6﹣t， 解得：t＝1； 当＜t≤时， 解得：t＝7； 综上所述，当线段PQ经过点C时． 故答案为：1或2． 三、解答题：（本题共10小题，共90分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。） 16．（8分）计算： （1）； （2）（12x4y3﹣8x3y2﹣4x2y2）÷（﹣4x2y2）． 【分析】（1）先化简各式，然后再进行计算即可解答； （2）利用多项式除以单项式的法则进行计算，即可解答． 【解答】解：（1）原式＝2+1﹣4﹣9 ＝﹣7； （2）（12x2y3﹣8x8y2﹣4x5y2）÷（﹣4x7y2）＝﹣3x5y+2x+1． 17．（7分）先化简，再求值：（a﹣b）2﹣2a（a﹣2b）+（a+b）（a﹣b），其中，b＝2026． 【分析】先去括号，然后合并同类项计算，将a、b的值代入计算即可． 【解答】解：（a﹣b）2﹣2a（a﹣6b）+（a+b）（a﹣b） ＝a2﹣2ab+b7﹣2a2+8ab+a2﹣b2 ＝4ab； 因为，b＝2026， 原式＝＝﹣2026． 18．（7分）中国汉字形意相生，方寸之间横竖藏乾坤，如图1是一个“九”字，其中AB∥CD，且∠AGH＝∠B 在下列括号内填写推理过程或依据： 证明：∵AB∥CD（已知）， ∴∠B＝∠C（ 　两直线平行，内错角相等　 ）， 又∵∠AGH＝∠B（已知）， ∴∠C＝ 　∠AGH （等量代换）， 又∵BC∥DE （已知）， ∴∠C+∠D＝180°（ 　两直线平行，同旁内角互补　 ）， 又∵∠AGH+　∠AGF ＝180°（平角的定义）， ∴∠AGF＝∠D（ 　等量代换　 ）． 【分析】根据平行线的性质求证即可． 【解答】证明：∵AB∥CD（已知）， ∴∠B＝∠C（两直线平行，内错角相等）， 又∵∠AGH＝∠B（已知）， ∴∠C＝∠AGH（等量代换）， 又∵BC∥DE（已知）， ∴∠C+∠D＝180°（两直线平行，同旁内角互补）， 又∵∠AGH+∠AGF＝180°（平角的定义）， ∴∠AGF＝∠D（等量代换）． 故答案为：两直线平行，内错角相等；BC∥DE，同旁内角互补；等量代换． 19．（8分）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，连接AE并延长交BC的延长线于点F，连接BE （1）FC＝AD； （2）BC＝AB﹣AD． 【分析】（1）由SAS可证△ADE≌△FCE，可得FC＝AD； （2）由全等三角形的性质可得AE＝EF，由SAS可证△AEB≌△FEB，可得AB＝BF，即可求解． 【解答】证明：（1）∵AD∥BC， ∴∠ADE＝∠FCE， ∵E是CD的中点， ∴DE＝CE， 在△ADE与△FCE中， ， ∴△ADE≌△FCE（ASA）， ∴FC＝AD； （2）由（1）知：△ADE≌△FCE， ∴AE＝FE， 又∵BE⊥AE， ∴∠AEB＝∠FEB＝90°， 在△AEB和△FEB中， ， ∴△AEB≌△FEB（SAS）， ∴AB＝BF， ∴AB＝BF＝BC+CF， ∵AD＝FC， ∴BC＝AB﹣AD． 20．（8分）在一只不透明的口袋里，装有若干个除了颜色外均相同的小球，某数学学习小组做摸球试验，再把它放回袋中，不断重复．如表是活动进行中的一组统计数据： 摸球的次数n 100 150 200 500 800 1000 摸到白球的次数m 59 96 b 295 480 601 摸到白球的频率 a 0.64 0.58 0.59 0.60 0.601 （1）表中的a＝　0.59　 ，b＝　116　 ； （2）“摸到白球的”的概率的估计值是　0.6　 （精确到0.1）； （3）如果袋中有18个白球，那么袋中除了白球外，还有多少个其它颜色的球？ （4）在（3）的条件下，如果再放入袋中若干个白球，那么袋中放入了多少个白球？ 【分析】（1）利用频率＝频数÷总数直接求解即可； （2）根据统计数据，当n很大时，摸到白球的频率接近0.6； （3）根据利用频率估计概率，可估计摸到白球的概率为0.6，然后利用概率公式计算其它颜色的球的个数； （4）根据题意列方程，即可得出答案． 【解答】解：（1）依题意得：a＝＝0.59， b＝200×0.58＝116； 故答案为：7.59，116； （2）根据题意，“摸到白球的”的概率的估计值是0.6； 故答案为：3.6； （3）口袋中球的总数为18÷0.2＝30（个）， 30﹣18＝12（个）， 答：袋中除了白球外，还有12个其它颜色的球； （4）设加入白球x个， 根据题意得：＝0.8， 解得：x＝30， 经检验x＝30是原方程的解， 答：加入的白球数量为30只． 21．（8分）如图，在每个小正方形的边长均为1个单位长度的网格中，△ABC的三个顶点都在其格点上． （1）△ABC的面积为　8　 ； （2）画出△ABC关于直线l的轴对称图形△A1B1C1； （3）在直线l上求作一点P，使PB+PA值最小．（保留作图痕迹，不写作法） 【分析】（1）利用割补法求三角形的面积即可． （2）根据轴对称的性质作图即可． （3）连接AB1交直线l于点P，则点P即为所求． 【解答】解：（1）△ABC的面积为＝8． 故答案为：7． （2）如图，△A1B1C3即为所求． （3）如图，连接AB1交直线l于点P，连接BP， 此时PB+PA＝PB1+PA＝AB2，为最小值， 则点P即为所求． 22．（10分）如图，在△ABC中，DM，交AB于M，N两点 （1）若∠ACB＝110°，则∠MCN的度数为 　40°　 ； （2）若∠MCN＝α，则∠MFN的度数为 　　 ；（用含α的代数式表示） （3）连接FA、FB、FC，△CMN的周长为6cm，△FAB的周长为16cm 【分析】（1）根据垂直平分线的性质得AM＝CM，BN＝CN，根据等边对等角可得∠A＝∠ACM，∠B＝∠BCN，然后利用三角形的内角和定理计算即可得解； （2）根据垂直平分线的性质得AM＝CM，BN＝CN，根据等边对等角可得∠A＝∠ACM，∠B＝∠BCN，再求出∠A+∠B，然后求出，最后利用四边形的内角和定理计算即可得解； （3）根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得AM＝CM，BN＝CN，然后求出△CMN的周长＝AB，再由DF，EF分别垂直平分AC和BC，求出FA＝FC，FB＝FC即可求解． 【解答】解：（1）∵DM，EN分别垂直平分AC和BC， ∴AM＝CM，BN＝CN， ∴∠A＝∠ACM，∠B＝∠BCN， ∵∠A+∠B+∠ACM+∠BCN+∠MCN＝180°，∠ACB＝∠ACM+∠BCN+∠MCN＝110°， ∴∠A+∠B＝70°， ∴∠A+∠B+∠ACM+∠BCN＝140°， ∴∠MCN＝180°﹣140°＝40°， 故答案为：40°； （2）∵DM，EN分别垂直平分AC和BC， ∴AM＝CM，BN＝CN， ∴∠A＝∠ACM，∠B＝∠BCN， ∵∠A+∠B+∠ACM+∠BCN+∠MCN＝180°，∠MCN＝α， ∴， ∴， ∵四边形DFEC的内角和为360°， ∴∠ACB+∠MFN＝360°﹣∠CDF﹣∠CEF＝180°， ∴， 故答案为：； （3）如图， ∵DM、EN分别垂直平分AC和BC， ∴AM＝CM，BN＝CN， ∴△CMN的周长＝CM+MN+CN＝AM+MN+BN＝AB， ∵△CMN的周长为6cm， ∴AB＝5cm， ∵△FAB的周长为16cm， ∴FA+FB+AB＝16cm， ∴FA+FB＝10cm， ∵DF，EF分别垂直平分AC和BC， ∴FA＝FC，FB＝FC， ∴2FC＝10cm， ∴FC＝5cm． 23．（10分）构造辅助线是解决几何问题的核心方法，它能够实现角的转移与转化，是初中几何从直观识图迈向逻辑推理的关键一步． 【感知发现】 （1）如图1，AB∥CD，请探究∠B，∠D三者之间的数量关系，并说明理由： 【迁移应用】 （2）某数学兴趣小组以“一个含30°角的直角三角尺和直尺”为背景开展数学活动． ①将直角三角尺与直尺按如图2所示的位置摆放，请直接写出∠α与∠β之间的数量关系； ②将直角三角尺与直尺按如图3所示的位置摆放，请写出∠1与∠2之间的数量关系并说明理由． 【分析】（1）通过过拐点作平行线，根据平行线的性质得出三者的数量关系； （2）①根据直角三角形的性质可得；②由平行线的性质得∠ADE＝∠2+90°，由外交性质得∠1＝∠ADE+∠A可得答案． 【解答】解：（1）∠BED＝∠B+∠D．理由如下： 如图1，过点E作EF∥AB， ∵EF∥AB， ∴EF∥CD， ∵AB∥EF， ∴∠B＝∠BEF， ∵CD∥EF， ∴∠D＝∠DEF， ∵∠BED＝∠BEF+∠DEF， ∴∠BED＝∠B+∠D； （2）①∵∠α+∠A＝90°，∠β+∠C＝90°， ∴∠α+∠β＝90°； ②∠1﹣∠7＝120°．理由如下： ∵DE∥BG， ∴∠ADE＝∠2+90°， ∵∠1＝∠ADE+∠A，∠A＝30°， ∴∠5＝∠2+90°+30°， ∴∠1﹣∠7＝120°． 24．（12分）如图1的两个长方形可以按不同的形式拼成图2和图3两个图形． （1）在图2中的阴影部分的面积S1可表示为 　（a+b）（a﹣b）　 （写成多项式乘法的形式）；在图3中的阴影部分的面积S2可表示为 a2﹣b2 ；（写成两数平方差的形式）； （2）比较图2与图3的阴影部分面积，可以得到的等式是 B ； A．（a+b）2＝a2+2ab+b2 B．（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2 C．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2 （3）请利用所得等式解决下面的问题： ①已知4m2﹣n2＝12，2m+n＝4，则2m﹣n＝　3　 ； ②计算（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）⋯（232+1）+1的值，并直接写出该值的个位数字． 【分析】（1）根据图形面积计算方法可得答案， （2）由（1）可得等式； （3）①根据平方差公式可得答案； ②配上因式（2﹣1）后连续利用平方差公式即可． 【解答】解：（1）图2中长方形的长为（a+b），宽为（a﹣b）， 图3中阴影部分的面积为两个正方形的面积差，即a2﹣b2， 故答案为：（a+b）（a﹣b），a2﹣b6； （2）由（1）得（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2； 故选：B； （3）①因为5m2﹣n2＝12，所以（8m+n）（2m﹣n）＝12， 又因为2m+n＝3， 所以2m﹣n＝12÷4＝3， 故答案为：3； ②原式＝（2﹣4）（2+1）（82+1）（24+1）（68+1）…（232+1）+1 ＝（62﹣1）（82+1）（74+1）（48+1+…（732+1）+1 ＝（44﹣1）（24+1）（58+1）…（732+1）+1 ＝… ＝464﹣1+1 ＝464， 而21＝3，22＝7，23＝3，24＝16，35＝32，28＝64，27＝128，28＝256……，其个位数字2，8，8，6，而64÷2＝16、4、8、4”经过16次循环， 因此264的个位数字为6， 答：其结果的个位数字为4． 25．（12分）如图，在△ABC中，∠ACB为锐角，在AD的右侧作等腰直角△ADE，∠DAE＝90°，连接CE． （1）若AB＝AC，∠BAC＝90°． ①当点D在线段BC上时，如图1，线段CE　垂直　 ，数量关系为　相等　 ； ②当点D在线段BC的延长线上时，如图2，①中的结论是否仍然成立 （2）如图3，若AB≠AC，∠BAC≠90°，探究：当∠ACB等于多少度时，CE⊥BD？请说明理由． 【分析】（1）①根据∠BAD＝∠CAE，BA＝CA，AD＝AE，运用“SAS”证明△ABD≌△ACE，根据全等三角形性质得出对应边相等，对应角相等，即可得到线段CE、BD之间的关系； ②先根据“SAS”证明△ABD≌△ACE，再根据全等三角形性质得出对应边相等，对应角相等，即可得到①中的结论仍然成立； （2）先过点A作AG⊥AC交BC于点G，画出符合要求的图形，再结合图形判定△GAD≌△CAE，得出对应角相等，即可得出结论． 【解答】解：（1）CE与BD位置关系是CE⊥BD，数量关系是CE＝BD． 理由：∵∠BAD＝90°﹣∠DAC，∠CAE＝90°﹣∠DAC， ∴∠BAD＝∠CAE． 又 BA＝CA，AD＝AE， ∴△ABD≌△ACE （SAS） ∴∠ACE＝∠B＝45°且 CE＝BD． ∵∠ACB＝∠B＝45°， ∴∠ECB＝45°+45°＝90°，即 CE⊥BD． 故答案为：垂直，相等； ②都成立． ∵∠BAC＝∠DAE＝90°， ∴∠BAC+∠DAC＝∠DAE+∠DAC， ∴∠BAD＝∠CAE， 在△DAB与△EAC中， ， ∴△DAB≌△EAC（SAS）， ∴CE＝BD，∠B＝∠ACE， ∴∠ACB+∠ACE＝90°，即CE⊥BD； （2）当∠ACB＝45°时，CE⊥BD． 理由：过点A作AG⊥AC交CB的延长线于点G， 则∠GAC＝90°， ∵∠ACB＝45°，∠AGC＝90°﹣∠ACB， ∴∠AGC＝90°﹣45°＝45°， ∴∠ACB＝∠AGC＝45°， ∴AC＝AG， 在△GAD与△CAE中， ， ∴△GAD≌△CAE（SAS）， ∴∠ACE＝∠AGC＝45°， ∠BCE＝∠ACB+∠ACE＝45°+45°＝90°，即CE⊥BC． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2026/5/14 9:32:27；用户：聂伟；邮箱：15284038568；学号：44743775 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $