精品解析：山东济宁市第一中学2025-2026学年高一下学期期中考试数学试题

高一数学 注意事项： 1.答题前，考生先将自己的姓名、考生号、座号填写在相应位置，认真核对条形码上的姓名、考生号和座号，并将条形码粘贴在指定位置上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号. 3.回答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔书写，按照题号在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸，试题卷上答题无效.保持卡面清洁，不折叠，不破损. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设，则z在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2. 已知圆锥的高为4，底面半径为3，则其侧面积为（ ） A. B. C. D. 3. 在中，，，，则的解的个数是（ ） A. 0个 B. 2个 C. 1个 D. 无法确定 4. 如图，三棱柱中，点E，F，G，H分别为，，，的中点，则下列说法错误的是（ ）． A. E，F，G，H四点共面 B. 与是异面直线 C. ，，三线共点 D. 5. 用斜二测画法画出的水平放置的平面图形的直观图为如图所示的，已知是边长为2的等边三角形，则顶点到轴的距离是（ ） A. B. 4 C. D. 6. 已知正四棱台的上、下底面分别是边长为2和4的正方形，高为，则该四棱台的表面积为（ ） A. B. 34 C. D. 68 7. 如图，圆为的外接圆，，为边的中点，则（ ） A. 10 B. 13 C. 18 D. 26 8. 已知函数，若将其图象向左平移个单位得到函数的图象.在钝角中，内角的对边分别是，若，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 若z是复数，其在复平面内对应的点为Z，下列说法正确的是（ ） A. 为纯虚数 B. 若，则Z的轨迹是以为圆心，半径为1的圆 C. 若，则 D. 若，则 10. 如图所示的几何体是一个棱长为2的正八面体，则（ ） A. 为线段上的动点，则最小值为 B. 该正八面体的表面积是 C. 该正八面体的体积是 D. 平面 截该正八面体的外接球所得截面的面积为 11. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则下列判断正确的是（ ） A. 若，则为钝角三角形 B. 若，则为等腰三角形 C. 若的三条高分别为，，，则为钝角三角形 D. 若，则为直角三角形 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 设向量，，若与共线，则实数a的值为_______． 13. 甲船在B岛的南偏东方向A处，两地相距100千米．甲船向北偏西方向航行，同时乙船自B岛出发向北偏东的方向航行，两船均以每小时30千米的速度航行．则两小时后，甲、乙两船的距离为_______千米． 14. 如图，在正四面体ABCD中，放置1大、4中、4小共9个球，其中，大球为正四面体ABCD的内切球，中球与大球及正四面体三个面均相切，小球与中球及正四面体三个面均相切.若正四面体ABCD的表面积，则9个球的表面积之和为______. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 设复数，． （1）若是实数，求； （2）若是纯虚数，求的共轭复数． 16. 已知向量与的夹角为，且，，若，． （1）当时，求实数的值； （2）当取最小值时，求向量与夹角的大小． 17. 已知a，b，c分别为斜三个内角A，B，C的对边，且满足. （1）求角A的值； （2）记BC边上的高为h，若，求的值. 18. 如图，长方体的长、宽、高分别为x，y，2且，. （1）当底面ABCD为正方形时， （i）求长方体的表面积； （ii）求三棱锥体积和外接球体积； （2）取、的中点分别为M、N，求三棱锥的体积的最大值. 19. 如图，设中角，，所对的边分别为，，，为边上的中线，已知且，. （1）求边的长度； （2）求的面积； （3）点为上一点，，过点的直线与边，（不含端点）分别交于，.若，求的值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高一数学 注意事项： 1.答题前，考生先将自己的姓名、考生号、座号填写在相应位置，认真核对条形码上的姓名、考生号和座号，并将条形码粘贴在指定位置上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号. 3.回答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔书写，按照题号在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸，试题卷上答题无效.保持卡面清洁，不折叠，不破损. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设，则z在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】C 【解析】 【分析】求出复数z在复平面内对应的点的坐标，即可得 【详解】因为， 所以z在复平面内对应的点的坐标为，位于第三象限. 2. 已知圆锥的高为4，底面半径为3，则其侧面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】圆锥的高为，底面半径为， 则圆锥的母线长， 可得圆锥的侧面积为. 3. 在中，，，，则的解的个数是（ ） A. 0个 B. 2个 C. 1个 D. 无法确定 【答案】B 【解析】 【分析】根据与的大小关系确定解的个数. 【详解】由于， 所以， 所以的解的个数是. 4. 如图，三棱柱中，点E，F，G，H分别为，，，的中点，则下列说法错误的是（ ）． A. E，F，G，H四点共面 B. 与是异面直线 C. ，，三线共点 D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用线线平行的传递性与平面公理的推论即可判断AB；利用平面的基本事实推理判断C；举反例即可判断D. 【详解】对于A，在三棱柱中，分别为的中点， 连接， 由是的中位线，得， 由，且，得四边形是平行四边形， 则，，因此四点共面，A正确； 对于B，因为平面，平面，， 所以与是异面直线，正确； 对于C，延长，相交于点， 由，平面，得平面， 由，平面，得平面， 而平面平面，则，三线共点，C正确； 对于D，由，且可知，四边形是梯形， 若∠=∠，则梯形是等腰梯形，而题设条件无法得出， 所以D不一定正确. 5. 用斜二测画法画出的水平放置的平面图形的直观图为如图所示的，已知是边长为2的等边三角形，则顶点到轴的距离是（ ） A. B. 4 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】过点作交轴于点，利用正弦定理求得，再由斜二测画法规则即可得到结果. 【详解】 过点作交轴于点，如图所示， 在中，， 由正弦定理可得，，所以， 由斜二测画法可知，在原平面图形中，点B到x轴的距离是. 故选：A. 6. 已知正四棱台的上、下底面分别是边长为2和4的正方形，高为，则该四棱台的表面积为（ ） A. B. 34 C. D. 68 【答案】C 【解析】 【分析】求出棱台侧面的高，即可求出该四棱台的表面积 【详解】由题意，在正四棱台中，上、下底面分别是边长为2和4的正方形，高为， 作出立体图如下图所示， 过点作，面于点，连接， 由几何知识得， ， 在中，由勾股定理得，， 设该四棱台的一个侧面面积为 ∴该四棱台的表面积为： ， 故选：C. 7. 如图，圆为的外接圆，，为边的中点，则（ ） A. 10 B. 13 C. 18 D. 26 【答案】B 【解析】 【分析】根据三角形外接圆的性质，结合数量积的几何意义求解可得可得与，再根据平面向量的运算可得出结论． 【详解】是边的中点，可得， 是的外接圆的圆心， ， 同理可得， ． 故选：B． 8. 已知函数，若将其图象向左平移个单位得到函数的图象.在钝角中，内角的对边分别是，若，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】首先求出的解析式，由，可得，从而得，，结合正弦定理及三角恒等变换，可得，利用换元法及对勾函数的性质求解即可. 【详解】由题意可知， 又因为， 即， 因为是钝角三角形， 所以或, 即或（舍去）， 所以， 所以，， 所以， ， 令， 所以， 则原式即为， 令，则即为， 由对勾函数的性质可知在上单调递增， 又因为， 所以， 即. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 若z是复数，其在复平面内对应的点为Z，下列说法正确的是（ ） A. 为纯虚数 B. 若，则Z的轨迹是以为圆心，半径为1的圆 C. 若，则 D. 若，则 【答案】BC 【解析】 【分析】A.取判断；B.设（x，），由得到x，y的方程判断；C.根据，由复数模的运算判断；D.由复数的乘方运算判断. 【详解】A.若，，不是纯虚数，故A错误. B.设（），，即， 表示圆心在，半径为1的圆，故B正确. C.因为，所以，故C正确. D.，故D错误. 10. 如图所示的几何体是一个棱长为2的正八面体，则（ ） A. 为线段上的动点，则最小值为 B. 该正八面体的表面积是 C. 该正八面体的体积是 D. 平面 截该正八面体的外接球所得截面的面积为 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A：将与沿展开到同一平面，根据两点间线段最短，结合余弦定理求解即可；对于B：正八面体由八个全等的正三角形组成，求出每个三角形面积再求和即可；对于C：正八面体可以看做两个全等的正四棱锥，结合棱锥的体积公式求解即可；对于D：由球的截面性质求出截面圆的半径，再求出面积即可. 【详解】将沿翻折到，使得与共面， 则，当三点共线时等号成立， 所以的最小值为， 此时，， ， 所以，故最小值为，A正确. 因为正八面体由八个全等的正三角形组成，且棱长为2， 由三角形面积公式可得八面体的表面积为，故B正确. 连接，，交点设为，连接， 因为四边形为正方形，所以对角线长度的一半， 由勾股定理可得， 所以八面体的体积为，故C错误. 取的中点，连接，，在中，， 因为，所以正八面体外接球的球心为O，半径为， 作于，则， 平面截该正八面体的外接球的截面是圆，与平面所截得的面积相等， 其半径， 所以截面圆的面积为，故D正确. 11. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则下列判断正确的是（ ） A. 若，则为钝角三角形 B. 若，则为等腰三角形 C. 若的三条高分别为，，，则为钝角三角形 D. 若，则为直角三角形 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A，由，从而得到，进而得到，即可判断；对于B，由可得或，从而可判断；对于C，设的面积为，根据面积公式可得，从而可得，即可判断；对于D，利用正弦定理边化角可得，再结合基本不等式可得，即可判断. 【详解】对于A，因为， 所以， 所以， 又因为，所以， 所以只有一个小于 0 ， 所以是钝角三角形，选项A正确； 对于B，若，则或， 所以或，所以为等腰三角形或直角三角形，选项B错误； 对于C，设的面积为，由面积公式知 ，解得， 所以为最大角， 所以 所以为钝角，为钝角三角形，选项C正确； 对于D，由，得， 而，当且仅当时等号成立， 所以，解得，即， 所以为直角三角形，选项D正确. 故选：ACD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 设向量，，若与共线，则实数a的值为_______． 【答案】 【解析】 【分析】由向量共线的坐标表示即可求解. 【详解】因为与共线， 所以， 得， 故答案为： 13. 甲船在B岛的南偏东方向A处，两地相距100千米．甲船向北偏西方向航行，同时乙船自B岛出发向北偏东的方向航行，两船均以每小时30千米的速度航行．则两小时后，甲、乙两船的距离为_______千米． 【答案】 【解析】 【分析】画出简图，由余弦定理即可求解. 【详解】 设两小时后，甲、乙两船的位置分别为处， 由题意可知， 所以， 由余弦定理可得：， 即， 所以， 故答案为： 14. 如图，在正四面体ABCD中，放置1大、4中、4小共9个球，其中，大球为正四面体ABCD的内切球，中球与大球及正四面体三个面均相切，小球与中球及正四面体三个面均相切.若正四面体ABCD的表面积，则9个球的表面积之和为______. 【答案】 【解析】 【分析】首先根据正四面体表面积求出棱长，高，再通过几何关系求出大球半径（也可以使用等体积法）．中球，小球也可以看成是内接于正四面体的球，求出外切正四面体的高，根据相似关系，得到中球，小球半径，最终求出个球的表面积之和． 【详解】在正四面体中，设棱长为，高为，为正四面体内切球的球心， 延长交底面于，是等边三角形的中心，延长线交于， 连接，则点是的中点，为正四面体内切球的半径， ，，，， 由正四面体ABCD的表面积为，即，解得， 由，解得， 由图知最大球内切于高的正四面体，最大球半径， 因此最大球的表面积为； 中等球内切于高的正四面体，中等球半径， 因此中等球的表面积为； 最小球内切于高的正四面体，最小球半径， 因此最小球的表面积为， 所以九个球的表面积为． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 设复数，． （1）若是实数，求； （2）若是纯虚数，求的共轭复数． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由已知求得a，再由复数代数形式的乘除运算化简求得； （2）利用复数代数形式的乘除运算化简，再由其实部为0且虚部不为0求得a值，进一步得到的共轭复数． 【小问1详解】 ，是实数， ，即， ． 【小问2详解】 ． 是纯虚数， ，即， ，的共轭复数为． 16. 已知向量与的夹角为，且，，若，． （1）当时，求实数的值； （2）当取最小值时，求向量与夹角的大小． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由，结合数量积的运算律即可求解； （2）由可确定时，得到，再由向量夹角公式即可求解. 【小问1详解】 ∴ ∴ 【小问2详解】 当时，，此时 所以向量与夹角的大小为30°． 17. 已知a，b，c分别为斜三个内角A，B，C的对边，且满足. （1）求角A的值； （2）记BC边上的高为h，若，求的值. 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）由正弦定理边化角可得：，在中，根据代入上式化简，再利用辅助角公式和角的范围即可求解； （2）由（1）知，根据三角形面积公式及余弦定理可求得的值，再利用正弦定理边化角即可求解. 【小问1详解】 由及正弦定理可得： ， 在中，， ， 代入上式化简可得：， ，，即， ， 又，，或，即或. 又为斜三角形知，； 【小问2详解】 由（1）知， 面积，BC边上的高，， 由余弦定理可知：，即， 即，或， 所以或. 18. 如图，长方体的长、宽、高分别为x，y，2且，. （1）当底面ABCD为正方形时， （i）求长方体的表面积； （ii）求三棱锥体积和外接球体积； （2）取、的中点分别为M、N，求三棱锥的体积的最大值. 【答案】（1）（i）10（ii）； （2） 【解析】 【分析】（1）（i）易得，再根据长方体的表面积公式求解即可； （ii）根据即可求出三棱锥的体积，易得三棱锥的外接球即长方体的外接球，求出半径，再根据球的体积公式求解即可； （2）由题意可得，从而可得，再结合基本不等式求解即可. 【小问1详解】 （i）因为底面ABCD为正方形，所以， 则长方体的表面积为； （ii）由图和已知， ， 故三棱锥体积为， 由题可知，三棱锥的外接球即长方体的外接球， 设该外接球的半径为R，则， 因此三棱锥外接球体积； 【小问2详解】 因为M、N分别为、的中点， 所以， 则 ， 当且仅当时，等号成立，即三棱锥的体积的最大值为. 19. 如图，设中角，，所对的边分别为，，，为边上的中线，已知且，. （1）求边的长度； （2）求的面积； （3）点为上一点，，过点的直线与边，（不含端点）分别交于，.若，求的值. 【答案】（1）4 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据和正弦定理可得，由余弦定理可得，进而，即可求解； （2）设，根据平面向量的线性运算可得，则结合数量积的运算律和定义可得，由得，化简得，利用同角三角函数关系和三角形面积公式计算即可求解； （3）设，，、.由向量的线性运算可得.结合得，解得，，利用三角形面积公式计算即可求解. 【小问1详解】 由题意得：， 在中，由正弦定理，得， 在中，由余弦定理，所以， 得，又∵，∴. 【小问2详解】 设，∵AD为边上的中线，∴， 则， ， ，① 整理得，即， 得或， 由①，得，∴，∴， ∴，∴. 【小问3详解】 由（2）知，， D为BC的中点，则， 设，，、. 所以，得， 又E、G、F三点共线，所以，即. 由，得， 又，所以， 化简得，解得，， ∴，， ∴. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $