山东省济宁市育才中学2024-2025学年高一下学期期中数学试卷

2024-2025学年山东省济宁市育才中学高一（下）期中数学试卷 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.=（2，1），=（x，3），⊥，则x=（　　） A. B. C. - D. - 2.已知复数1-2i是关于x的方程x2+ax+b=0（a,b∈R）的一个根，则a-b=（　　） A. 7 B. 3 C. -3 D. -7 3.在△ABC中，∠B=60°，AB=6，BC=5，则=（　　） A. B. -30 C. -15 D. 15 4.记△ABC的三个内角A、B、C所对的边分别为a、b、c,已知a=3，c=7，，则△ABC的面积为（　　） A. B. C. D. 5.已知，则=（　　） A. B. C. D. 6.底面半径为3的圆锥被平行底面的平面所截，截去一个底面半径为1、高为2的圆锥，所得圆台的侧面积为（　　） A. B. C. D. 16π 7.定义运算：，将函数的图像向左平移个单位，所得图像对应的函数为偶函数，则ω的可能取值是（　　） A. B. C. D. 8.已知三棱锥S-ABC底面是边长为的正三角形，SA⊥平面ABC，且，则该三棱锥的外接球的体积为（　　） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分。 9.已知复数z,z1，z2，是z的共轭复数，则下列说法正确的是（　　） A. z•=|z|2 B. 若|z|=1，则z=±1 C. |z1•z2|=|z1|•|z2| D. 若|z-1|=1，则|z+1|的最小值为1 10.已知函数，则下列说法正确的是（　　） A. f（x）的最小正周期为2π B. 若f（x）在区间（0，m）恰有两个零点，则m的取值范围为 C. 若f（x）≥-1，且0≤x≤2π，则 D. 若f（x）在区间（0，m）恰有两个极值点，则m的取值范围为 11.已知点O在△ABC所在的平面内，则下列命题正确的是（　　） A. 若O为△ABC的外心，AB=6，AC=4，则 B. 若O为△ABC的垂心，，则 C. 若，则△AOB与△ABC的面积之比为1：4 D. 若，△ABO的面积为8，则△ABC的面积为14 三、填空题：本题共2小题，每小题5分，共10分。 12.已知一个△ABC利用斜二测画法画出直观图如图所示，其中B′O′=2，O′C′=5，O′A′=3，则原△ABC的面积为______. 13.如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，E是AB的三等分点（靠近点A），D是AA1的中点，则三棱锥D-B1C1E的体积与三棱柱ABC-A1B1C1的体积之比是______. 四、解答题：本题共6小题，共82分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 14.(本小题5分) 已知，与的夹角为，则在方向上的投影向量坐标为______. 15.(本小题13分) 已知向量. （1）若∥，求实数k； （2）若向量与所成角为锐角，求实数k的范围. 16.(本小题15分) 如图，半球内有一内接正四棱锥S-ABCD，该四棱锥的体积为. （1）求该半球的体积； （2）若从半球中把正四棱锥S-ABCD挖去，求所得几何体的表面积. 17.(本小题15分) 已知，函数. （1）求函数f（x）的解析式； （2）若，且，求sinα的值； （3）在锐角△ABC中，角A，B，C分别为a,b,c三边所对的角，若，求△ABC周长l的取值范围. 18.(本小题17分) 如图，在梯形ABCD中，已知AB=2CD，AD=CD=1，∠DAB=60°，点E、F分别在直线DC和BC上，且，连接BD交AF于点P. （1）设，用和表示，并求实数t的值； （2）求的取值范围. 19.(本小题17分) “费马点”是由十七世纪法国数学家费马提出并征解的一个问题.该问题是：“在一个三角形内求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小.”意大利数学家托里拆利给出了解答，当△ABC的三个内角均小于120°时，使得∠AOB=∠BOC=∠COA=120°的点O即为费马点；当△ABC有一个内角大于或等于120°时，最大内角的顶点为费马点.试用以上知识解决下面问题：已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a,b,c, （1）若csinC-asinA=（c-b）sinB， ①求A； ②若bc=2，设点P为△ABC的费马点，求； （2）若cos2B+cos2C-cos2A=1，设点P为△ABC的费马点，|PB|+|PC|=t|PA|，求实数t的最小值. 1.【答案】  【解析】解：∵； ∴； ∴． 故选：D． 根据即可得出，进行数量积的坐标运算即可求出x的值． 考查向量垂直的充要条件，以及向量数量积的坐标运算． 2.【答案】  【解析】解：因为1-2i是关于x的方程x2+ax+b=0的一个根， 所以1+2i是关于x的方程x2+ax+b=0的另一个根， 由韦达定理得，， 解得， 所以a-b=-7． 故选：D． 由题意可知1+2i是关于x的方程x2+ax+b=0的另一个根，再结合韦达定理求解即可． 本题主要考查实系数一元二次方程虚根成对定理的应用，考查了韦达定理的应用，属于基础题． 3.【答案】  【解析】解：在△ABC中，∠B=60°，AB=6，BC=5， 则==6×=-15， 故选：C． 由平面向量数量积运算，结合向量的夹角求解即可． 本题考查了平面向量数量积运算，重点考查了向量的夹角，属基础题． 4.【答案】  【解析】解：因为a=3，c=7，， 由余弦定理可得，cos=-==， 解得b=5， 则△ABC的面积S===． 故选：A． 由已知结合余弦定理先求出b,然后结合三角形面积公式即可求解． 本题主要考查了余弦定理及三角形面积公式的应用，属于基础题． 5.【答案】  【解析】解：由， 可得． 故选：D． 应用诱导公式及二倍角余弦公式即可求值． 本题主要考查了二倍角公式及诱导公式的应用，属于基础题． 6.【答案】  【解析】解：底面半径为3的圆锥被平行底面的平面所截，截去一个底面半径为1、高为2的圆锥， 如图，设截面圆的圆心为C，截面圆的半径CD=1，底面圆半径OB=3，PC=2， 由于OB∥CD，所以， 所以， 所以原圆台的侧面积为． 故选：A． 画出图形，由三角形相似比得到PO，再由两圆锥的侧面积之差计算可得． 本题主要考查圆台的侧面积，属于基础题． 7.【答案】  【解析】解：由题可知，， 将f（x）的图像向左平移个单位，所得函数为， 因为所得图像对应的函数为偶函数， 所以，解得， 因为k∈Z，所以． 故选：C． 根据三角函数图象的变换求得变换后的解析式，再根据偶函数的定义求解． 本题主要考查三角函数的图象与性质，属于基础题． 8.【答案】  【解析】解：因为三棱锥S-ABC底面是边长为的正三角形，SA⊥平面ABC，且， 所以可将三棱锥S-ABC补成三棱柱ABC-A1B1C1，点S与A1重合， 所以正三棱柱ABC-A1B1C1外接球也为三棱锥S-ABC的外接球， 设球心为O，半径为R， 设△ABC和△A1B1C1外接圆的圆心分别为O1和O2，其半径为r, 由正弦定理得：，由O为O1O2的中点， 所以==2， 所以该三棱锥的外接球的体积为． 故选：A． 将三棱锥补形成正三棱柱，利用它们有相同的外接球，结合正三棱柱的结构特征求出球半径即可． 本题考查三棱锥的外接球问题，分割补形法的应用，属中档题． 9.【答案】  【解析】解：对于A，设z=a+bi（a,b∈R）， 则，故A正确； 对于B，令z=i,满足|z|=|i|=1，故B错误； 对于C，结合复数模的性质可知，|z1z2|=|z1||z2|，故C正确； 对于D，设z=c+di（c,d∈R）， |z-1|=1， 则|c-1+di|=，即（c-1）2+d2=1，表示以（1，0）为圆心，半径为1的圆， |z+1|=表示圆上的点到点（-1，0）的距离， 故|z+1|的最小值为，故D正确． 故选：ACD． 对于A，结合复数的四则运算，共轭复数的定义，复数模公式，即可求解； 对于B，结合特殊值法，即可求解； 对于C，结合复数模的性质，即可求解； 对于D，结合复数的几何意义，即可求解． 本题主要考查复数的四则运算，考查转化能力，属于中档题． 10.【答案】  【解析】解：对于A，f（x）最小正周期为π，故A错误； 对于B，x∈（0，m）时，2x-∈（-，2m-）， 若f（x）在区间（0，m）恰有两个零点，则π＜2m-≤2π，解得m∈，故B正确； 对于C，当x=2π时，f（x）=sin（-）=-1，满足不等式f（x）≥-1，故C错误； 对于D，x∈（0，m）时，2x-∈（-，2m-）， 若f（x）在区间（0，m）恰有两个极值点，则＜2m-≤，解得m∈，故D正确． 故选：BD． 根据三角函数的图象与性质，对各选项逐项分析． 本题主要考查三角函数的周期性、三角函数的图象和性质，属于中档题． 11.【答案】  【解析】解：对于A，由，则， ∴ = =，故A错误； 对于B，由，又， 所以，故B正确； 对于C，因为，由奔驰定理可得，故C错误； 对于D，由，则， 即，由奔驰定理可得， 又S△ABO=8，则S△ABC=14，故D正确． 故选：BD． 对A，利用向量线性运算可得，根据向量数量积运算律求解判断；对B，由，结合得解；对C，由奔驰定理得解；对D，将条件式利用向量运算转化为，再由奔驰定理得解． 本题考查了平面向量的线性运算和奔驰定理的应用，属于中档题． 12.【答案】  【解析】解：根据题意，根据斜二测画法，由直观图还原原图形△ABC， 如图，△ABC中，OB=2，OC=5，OA=2O′A′=6， 则， 故答案为：21． 由直观图还原出原图形，并得出相应线段的长度，然后计算三角形面积． 本题考查平面图形的直观图，涉及斜二测画法，属于基础题． 13.【答案】  【解析】解：∵， 又E是AB的中点，D是AA1的中点， ∴， ， ， ， ∴， ∴三棱锥D-B1C1E的体积与三棱柱ABC-A1B1C1的体积之比为1：4． 故答案为：1：4． 根据，求得，再根据三棱锥的换底性可得，由此可得答案． 本题考查了棱锥的体积计算，考查了棱柱与棱锥的体积的量化关系，属于中档题． 14.【答案】  【解析】解：因为，故， 所以在方向上的投影为||•cos＜，＞=1×=-=． 故答案为：． 直接根据向量的投影公式求解即可． 本题主要考查平面向量的投影向量，属于基础题． 15.【答案】  【解析】（1）先根据向量坐标运算得，结合∥，求得实数k； （2）根据向量与所成角为锐角，，解得k＜3．结合时∥，可得实数k的范围． 本题考查了平面向量数量积的运算，属中档题． 16.【答案】  【解析】（1）根据球的半径与正四棱锥棱长关系，求出球的半径，进而求出半球的体积． （2）根据几何体的特征，求出半球的表面积，求出棱锥的侧面积和底面积，即可求得几何体的表面积． 本题考查球的体积的求解，组合体的表面积的求解，属中档题． 17.【答案】  【解析】（1）由，， 所以 =， 即； （2）因为， 即， 化简得， 因为，所以， 所以， 则 =； （3）因为f（B）=1，即， 即， 又0＜B＜，则， 所以，所以， 由正弦定理有， 所以 = =， 因为△ABC为锐角三角形，所以， 解得，所以， 则， 所以，则， 所以△ABC的周长的取值范围为． （1）根据向量数量积的定义，二倍角公式及辅助角公式化简即可求解； （2）由得出，再根据两角差的正弦公式计算即可； （3）由f（B）=1得出，根据正弦定理边化角，结合两角和的正弦公式及辅助角公式，将a+c转化为三角函数，根据△ABC为锐角三角形得出A的范围，结合三角函数的性质得出a+c范围即可求解． 本题考查平面向量的坐标运算，正弦定理，余弦定理及三角恒等变换的综合应用，属中档题． 18.【答案】  【解析】（1）以A为坐标原点，AB所在直线为x轴，过点A作AB的垂线为y轴，建立平面直角坐标系， 则A（0，0），B（2，0），C（，），D（，）， 可得=（2，0），=（，），=（-，），则==（-，）， 根据平面向量的加法法则，可得==（，）， 设=x+y=（2x+y,y），可得，解得x=y=，所以=+； 若=（t,t）， 则根据B、P、D三点共线，可知存在实数m,使=m+（1-m）=（，）， 所以，解得t=． （2）因为=（，），=+=（，）+λ（1，0）=（+λ，）， 可得+=（，）， 所以|+|==≥， 即|+|≥，当且仅当λ=时，等号成立，所以|+|的取值范围为[，+∞）． （1）建立平面直角坐标系，结合题意求得、、的坐标，然后求出=（-，），==（，），结合平面向量基本定理求出和表示的式子，再根据B、P、D三点共线，列式算出实数t的值； （2）根据平面向量的坐标运算法则求出+=（，），然后根据向量模的公式，结合二次函数的性质求出求的取值范围． 本题考查了平面向量的线性运算与坐标运算法则、平面向量数量积的性质及其运算等知识，属于中档题． 19.【答案】  【解析】（1）①利用正弦定理角化边，然后利用余弦定理来求解；②利用等面积法列方程，结合向量数量积运算求得正确答案； （2）由（1）结论可得，设|PB|=m|PA|，|PC|=n|PA|，|PA|=x,推出m+n=t,利用余弦定理以及勾股定理即可推出m+n+2=mn,再结合基本不等式即可求得答案． 本题主要考查平面向量的数量积运算，考查转化能力，属于中档题． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$