2026年四川省成都市中考数学模拟练习（二）

2026四川省成都市中考数学模拟练习（二） 注意事项： 1．全卷分A卷和B卷，A卷满分100分，B卷满分50分；考试时间120分钟． 2．考生使用答题卡作答． 3．在作答前，考生务必将自己的姓名、准考证号涂写在答题卡上．考试结束，监考人员将试卷和答题卡一并收回． 4．选择题部分必须使用2B铅笔填涂；非选择题部分必须使用0.5毫米黑色墨水签字笔书写，字体工整、笔迹清楚． 5．请按照题号在答题卡上各题目对应的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效． 6．保持答题卡面清洁，不得折叠、污染、破损等． A卷（共100分） 第I卷（选择题，共32分） 一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求） 1. 的相反数是（    ） A．2026 B． C． D． 2. 如图，古代的“斗”，是官仓、粮栈、米行、家庭中必备的粮食度量用具．下列图形是“斗”的主视图的是（    ） A． B． C． D． 3. 下列运算结果正确的是（    ） A． B． C． D． 4. 如图，要使成为矩形，需要添加的条件可以是（    ） A． B． C． D． 5. 为弘扬中华优秀传统文化，某校举办了“非遗进校园”活动，展示了三种非物质文化遗产：京剧脸谱、剪纸、皮影戏．现将正面分别印有这三种非物质文化遗产图案的三张卡片（除正面图案不同外其他完全相同）背面朝上洗匀，从中随机抽取一张，放回洗匀后，再从中随机抽取一张，则两次抽取的卡片正面图案相同的概率为（    ） A． B． C． D． 6. 我国古代《算法统宗》里有这样一首诗：“我问开店李三公，众客都来到店中，一房七客多七客，一房九客一房空．”诗中后两句的意思是：如果每一间客房都住7人，那么7人无房可住；如果每一间客房都住9人，那么就空出一间房．求该店有客房多少间？住店房客有多少人？设该店有客房间，住店房客有人，依题意列方程组（    ） A． B． C． D． 7. 如图，在中，，点为边上一点，且，连接并延长，交的延长线于点，则的长为（   ） A．6 B．5.5 C．5 D．4.5 8. 抛物线与直线在同一坐标系内的图象可能是（    ） A． B． C． D． 第II卷（非选择题，共68分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分） 9. 若二次根式在实数范围内有意义，则的取值范围是_______． 10. 已知点，当点P在第一三象限的角平分线上时，则________． 11. 分式方程的解是________． 12. 若二次函数的图象经过点，，，则，，的大小关系是_____．（用“”连接） 13. 如图，在平行四边形中，，，以点B为圆心，取一段长度小于的线段为半径画弧，分别交于点M，N，再分别以M，N为圆心，以大于的长度为半径画弧，两弧交于点P，连接交于点E，连接，与的延长线交于点F，则的长等于________． 三、解答题（本大题共5个小题，共48分） 14. 按要求完成下列计算： (1)计算：； (2)解不等式组：． 15. 随着快递行业在农村的深入发展，全国各地的特色农产品有了更广阔的销售空间，不同的快递公司在配送、服务、收费和投递范围等方面各具优势、某农产品种植户经过前期调研，打算从甲、乙两家快递公司中选择一家合作．为此，该种植户收集了10家农产品种植户对两家公司的相关评价，并整理、描述、分析如图： 配选速度和服务质量得分统计表： 项目统计量快递公司 配送速度得分 服务质量得分 平均数 中位数 平均数 方差 甲 8 7 乙 8 8 7 (1)表格中的m＝______，______（填“＞”“＝”或“＜”）； (2)补全频数分布直方图，并求出扇形统计图中圆心角α的度数； (3)综合上表中的统计量，你认为该农产品种植户应选择______公司； (4)如果A，B两家农产品种植户分别从甲、乙两个快递公司中任选一个公司合作，请用列表法或树状图求两家种植户选择同一快递公司的概率． 16. 某中学校园教学楼前一尊孔子雕像矗立于萋萋芳草间，小明站在雕像前，自C处测得雕像顶A的仰角为，小红站在教学楼门前的台阶上，自D处测得雕像顶A的仰角为，此时两人的水平距离为，已知教学楼门前台阶斜坡的坡比为．（参考数据：，，） (1)请计算台阶的高度． (2)求出孔子雕像的高度． 17. 如图，是的一条弦，是的中点，过点作于点，过点作直线交的延长线于点，且． (1)求证：是⊙的切线； (2)若，，求的半径． 18. 如图1，一次函数与反比例函数在第一象限交于、两点，点P是x轴负半轴上一动点，连接，． (1)求反比例函数及一次函数的表达式； (2)若的面积为12，求点P的坐标； (3)如图2，在（2）的条件下，若点E为直线上一点，点F为y轴上一点，是否存在这样的点E和点F，使得以点E、F、M、N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出点E的坐标；若不存在，请说明理由． B卷（共50分） 一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分） 19. 若，则____． 20. 已知关于的一元二次方程有两个实数根，则的取值范围是______． 21. 如图所示的网格中，每个小正方形的边长均为1，点均在网格线的交点上，设经过三点的圆弧与相交于点，则图中阴影部分的面积_____．（结果保留） 22. 若一个四位自然数的各个数位数字互不相等且均不为零，满足百位数字大于个位数字，且百位数字与个位数字的和为偶数，则称这个四位数为“偶合数”．按照这个规定，最小的“偶合数”是__________    ，对于“偶合数”，记，，若为完全平方数，能被9整除，则所有满足条件的M的最小数为__________． 23. 如图，在中，，，，于点D，点E是边上的动点，连接，作，点F在下方，连接，，若，则的最小值为____________． 二、解答题（本大题共3个小题，共30分） 24. 某非遗文创工坊生产两种壮乡特色手工艺品：壮锦挂件与铜鼓摆件．已知生产个壮锦挂件和个铜鼓摆件共需成本元；生产个壮锦挂件和个铜鼓摆件共需成本元． (1)每个壮锦挂件、铜鼓摆件的生产成本各是多少元？ (2)该工坊计划一批订单共生产这两种手工艺品个，要求铜鼓摆件的数量不超过壮锦挂件数量的倍．设生产壮锦挂件个，总利润为元．已知每个壮锦挂件利润为元，每个铜鼓摆件利润为元． 求与的函数关系式； 如何安排生产可获得最大利润？最大利润是多少元？ 25. 如图，在平面直角坐标系中，直线与抛物线交于A，B两点，与x轴交于点C． (1)求抛物线的顶点坐标； (2)当时，直线与y轴交于点D，与直线交于点E．若抛物线与线段有公共点，求h的取值范围； (3)当k变化时，抛物线的对称轴上是否存在定点T，使得总是平分？若存在，求出点T的坐标；若不存在，请说明理由． 26. 综合与探究 问题情境： 矩形中，，，的平分线交于点．将绕点顺时针旋转，得到点，的对应点分别为点，点与点不重合． 深入探究： (1)如图，当点在边上时，求证：； (2)如图，当点在线段上时，连接，，①求证：；②求四边形的面积； (3)当点在矩形的对角线上时，连接，直接写出的长． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026四川省成都市中考数学模拟练习（二） 注意事项： 1．全卷分A卷和B卷，A卷满分100分，B卷满分50分；考试时间120分钟． 2．考生使用答题卡作答． 3．在作答前，考生务必将自己的姓名、准考证号涂写在答题卡上．考试结束，监考人员将试卷和答题卡一并收回． 4．选择题部分必须使用2B铅笔填涂；非选择题部分必须使用0.5毫米黑色墨水签字笔书写，字体工整、笔迹清楚． 5．请按照题号在答题卡上各题目对应的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效． 6．保持答题卡面清洁，不得折叠、污染、破损等． A卷（共100分） 第I卷（选择题，共32分） 一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求） 1. 的相反数是（    ） A．2026 B． C． D． 【答案】A 【详解】解：． 2. 如图，古代的“斗”，是官仓、粮栈、米行、家庭中必备的粮食度量用具．下列图形是“斗”的主视图的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：“斗”的主视图是： ． 3. 下列运算结果正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】运用合并同类项法则，同底数幂的乘除运算法则，完全平方公式逐一判断选项正误即可． 【详解】解：A、，该选项不符合题意； B、，该选项符合题意； C、，该选项不符合题意； D、，该选项不符合题意． 4. 如图，要使成为矩形，需要添加的条件可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据矩形的判定方法即可解决问题．   【详解】解：根据有一个角是直角的平行四边形是矩形，可知选项D正确，  故选：D． 5. 为弘扬中华优秀传统文化，某校举办了“非遗进校园”活动，展示了三种非物质文化遗产：京剧脸谱、剪纸、皮影戏．现将正面分别印有这三种非物质文化遗产图案的三张卡片（除正面图案不同外其他完全相同）背面朝上洗匀，从中随机抽取一张，放回洗匀后，再从中随机抽取一张，则两次抽取的卡片正面图案相同的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】画树状图法或列表法，可得所有的结果，利用概率计算公式，进行计算即可． 【详解】解：：京剧脸谱，：剪纸， ：皮影戏， 列表如下： 共有种等可能结果，两次抽取的卡片正面图案相同的结果有种， 两次抽取的卡片正面图案相同的概率为． 6. 我国古代《算法统宗》里有这样一首诗：“我问开店李三公，众客都来到店中，一房七客多七客，一房九客一房空．”诗中后两句的意思是：如果每一间客房都住7人，那么7人无房可住；如果每一间客房都住9人，那么就空出一间房．求该店有客房多少间？住店房客有多少人？设该店有客房间，住店房客有人，依题意列方程组（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意找出两个等量关系，即可列出正确方程组. 【详解】解：∵设该店有客房间，住店房客有人， 根据“每一间客房住7人，7人无房可住”，可得总人数，即； 根据“每一间客房住9人，空出一间房”，可得实际入住客房为间，总人数，即； ∴列方程组得. 7. 如图，在中，，点为边上一点，且，连接并延长，交的延长线于点，则的长为（   ） A．6 B．5.5 C．5 D．4.5 【答案】A 【分析】证明可得，再进一步求解即可. 【详解】解：四边形是平行四边形， ∴，， ∴，而， ∴， ∴， ∴. 8. 抛物线与直线在同一坐标系内的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了二次函数与一次函数的知识，关键是熟练掌握二次函数与一次函数的图象及性质； 根据二次函数图象开口方向确定a的正负，再根据对称轴的位置确定b的正负，根据一次函数经过的象限，确定a的正负、b的正负，逐一判断即可得到答案. 【详解】解：对于A，由二次函数的图象可知，， ∴， 由直线经过一、三、四象限知，，， a、b都矛盾， ∴A不可能； 对于B，由二次函数的图象可知，， ∴， 由直线应经过一、二、三象限知， ，， ∴B可能： 对于C，由二次函数的图象可知，， ∴， ∵二次函数的图象交y轴于负半轴， ∴，a矛盾， ∴故C不可能； 对于D，由二次函数的图象可知，， ∴， 与轴交于， 由直线应经过一、二、四象限知，，， 与轴交于， 但两个图象与y轴交点不同， ∴故D不可能． 故选：B． 第II卷（非选择题，共68分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分） 9. 若二次根式在实数范围内有意义，则的取值范围是_______． 【答案】 【分析】要使二次根式有意义，被开方数必须是非负数，进一步列不等式求解即可． 【详解】解：∵二次根式在实数范围内有意义， ∴， 解得． 10. 已知点，当点P在第一三象限的角平分线上时，则________． 【答案】1 【分析】根据一、三象限角平分线上的点的横纵坐标相等，列出方程，即可解出． 【详解】解：根据题意可知，在一、三象限上的点的横纵坐标相等， ∴ 解得：. 11. 分式方程的解是________． 【答案】 【分析】先将分式方程去分母转化为整式方程，求解整式方程后检验，即可得到原分式方程的解． 【详解】解： 去分母，两边同乘最简公分母，得 去括号，得 合并同类项，得 解得 检验：当时， 因此是原分式方程的解． 12. 若二次函数的图象经过点，，，则，，的大小关系是_____．（用“”连接） 【答案】 【分析】先根据二次函数解析式确定开口方向和对称轴，利用开口向下的二次函数的性质，比较各点到对称轴的距离，即可得到函数值的大小关系． 【详解】解：二次函数中，， 抛物线开口向下，对称轴为直线， 点到对称轴的距离越大，对应的函数值越小， 点到对称轴的距离为， 点到对称轴的距离为， 点到对称轴的距离为， ， ． 13. 如图，在平行四边形中，，，以点B为圆心，取一段长度小于的线段为半径画弧，分别交于点M，N，再分别以M，N为圆心，以大于的长度为半径画弧，两弧交于点P，连接交于点E，连接，与的延长线交于点F，则的长等于________． 【答案】3 【分析】根据平行四边形的性质先证明，再根据相似三角形的性质得出，求解即可． 【详解】解：由作图得，平分， ∴， ∵四边形为平行四边形， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， 解得． 三、解答题（本大题共5个小题，共48分） 14. 按要求完成下列计算： (1)计算：； (2)解不等式组：． 【答案】(1)2 (2) 【分析】（1）先计算绝对值、零指数幂以及特殊角的正弦值，再根据实数的混合运算法则计算即可； （2）先求出每一个不等式的解集，再取两个解集的公共部分，即可作答． 【详解】（1）解： ； （2）解：解不等式①得， 解不等式②得， ∴不等式组的解集为． 15. 随着快递行业在农村的深入发展，全国各地的特色农产品有了更广阔的销售空间，不同的快递公司在配送、服务、收费和投递范围等方面各具优势、某农产品种植户经过前期调研，打算从甲、乙两家快递公司中选择一家合作．为此，该种植户收集了10家农产品种植户对两家公司的相关评价，并整理、描述、分析如图： 配选速度和服务质量得分统计表： 项目统计量快递公司 配送速度得分 服务质量得分 平均数 中位数 平均数 方差 甲 8 7 乙 8 8 7 (1)表格中的m＝______，______（填“＞”“＝”或“＜”）； (2)补全频数分布直方图，并求出扇形统计图中圆心角α的度数； (3)综合上表中的统计量，你认为该农产品种植户应选择______公司； (4)如果A，B两家农产品种植户分别从甲、乙两个快递公司中任选一个公司合作，请用列表法或树状图求两家种植户选择同一快递公司的概率． 【答案】(1)8.5， (2)图见解析， (3)甲 (4) 【分析】（1）根据中位数与方差的定义即可求解； （2）计算甲快递公司在配送速度得9分的人数可补全频数直方图；用乘7分的占比，即可求解； （3）根据平均数、中位数和方差的意义进行选择即可； （4）用表格展示所有4种等可能的结果数，然后利用概率公式求解． 【详解】（1）解：甲快递公司在配送速度得分为9的人数为：（人） 甲公司配送速度得分从小到大排列为：6，6，7，7，8，9，9，9，9，10， 故中位数为： 根据题意得： ，， ∴； （2）解：补全频数直方图如图， ； （3）解：配送速度得分甲和乙的得分相差不大，服务质量得分甲和乙的平均数相同，但是甲的方差明显小于乙的方差， 所以甲更加稳定； （4）解：列表如下： A种植户 B种植户 甲 乙 甲 （甲，甲） （甲，乙） 乙 （乙，甲） （乙，乙） 由图中可知，共有4种等可能的结果，其中两家种植户选择同一快递公司的结果有2种， 所以． 16. 某中学校园教学楼前一尊孔子雕像矗立于萋萋芳草间，小明站在雕像前，自C处测得雕像顶A的仰角为，小红站在教学楼门前的台阶上，自D处测得雕像顶A的仰角为，此时两人的水平距离为，已知教学楼门前台阶斜坡的坡比为．（参考数据：，，） (1)请计算台阶的高度． (2)求出孔子雕像的高度． 【答案】(1)台阶的高度为 (2)孔子雕像的高度为 【分析】（1）作于，结合可得答案； （2）设，则，表示，，可得，再进一步求解即可. 【详解】（1）解：作于， 由题意，得，，，，， ∵教学楼门前台阶斜坡的坡比为， ∴， ∴， ∴台阶的高度为． （2）解：设，则， 在中，， ∴， 在中，， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴． ∴孔子雕像的高度为． 17. 如图，是的一条弦，是的中点，过点作于点，过点作直线交的延长线于点，且． (1)求证：是⊙的切线； (2)若，，求的半径． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）由得到，再利用角的互余关系和对顶角证明，再由为半径，则切线可证； （2）过点作于点，由已知求出，，再证明再求的半径即可． 【详解】（1）证明：， ， ， ． 又， ． ， ． ． ． ． 又为半径， 是的切线． （2）解：如图所示，过点作于点， 连接， 是的中点， ，， 又，， ． ， ， ，， ． 在和中， ，． ． ． ． 得． 18. 如图1，一次函数与反比例函数在第一象限交于、两点，点P是x轴负半轴上一动点，连接，． (1)求反比例函数及一次函数的表达式； (2)若的面积为12，求点P的坐标； (3)如图2，在（2）的条件下，若点E为直线上一点，点F为y轴上一点，是否存在这样的点E和点F，使得以点E、F、M、N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出点E的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)反比例函为，一次函数表达式为 (2) (3)存在，点E的坐标为或或 【分析】本题是反比例函数综合题，考查了待定系数法求函数解析式，三角形面积，平行四边形性质等，解题关键是运用分类讨论思想解决问题， （1）将点的坐标代入反比例函数解析式可求得，进而可得，再利用待定系数法即可求得一次函数解析式; （2）如图，设直线交x轴于H，过点M作轴于D，过点N作轴于E，设，根据三角形的面积，建立方程求解即可，得出答案; （3）利用待定系数法可直线PM的解析式为，设，分三种情况∶ 当、为平行四边形对角线时； 当、为平行四边形对角线时，当、为平行四边形对角线时；分别建立方程求解即可得出答案． 【详解】（1）∵反比例函数 的图象经过、两点， ， 解得：， ， 由点M、N的坐标得，直线的表达式为：； 反比例函数表达式为，一次函数表达式为； （2）如图，设直线交x轴于H，过点M作轴于D，过点N作轴于E， 设， ，， ， 直线的表达式为：， 则， ， ， 解得：， ； （3）存在，点E的坐标为或或． 由点P、M的坐标得，直线PM的解析式为， 设， ，， 当、为平行四边形对角线时，与的中点重合， 则，解得：， ，； 当、为平行四边形对角线时，与的中点重合， 则，解得：， ，； 当、为平行四边形对角线时，与的中点重合， 则，解得：， ，； 综上所述，点E的坐标为或或． B卷（共50分） 一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分） 19. 若，则____． 【答案】 【分析】本题考查的知识点是分式的化简求值，解题关键是熟练掌握分式的混合运算． 由已知比例设参数，代入表达式化简求值． 【详解】解：， ， ， ， 由 ，设 ，（），代入原式， 则原式． 故答案为：． 20. 已知关于的一元二次方程有两个实数根，则的取值范围是______． 【答案】且 【详解】解：∵关于的方程是一元二次方程， ∴， ∵关于的一元二次方程有两个实数根， ∴， 即， 解得：， ∴的取值范围是且． 21. 如图所示的网格中，每个小正方形的边长均为1，点均在网格线的交点上，设经过三点的圆弧与相交于点，则图中阴影部分的面积_____．（结果保留） 【答案】 【分析】设的中点为点O，连接，可证明是经过三点的圆的直径，则可证明，利用勾股定理及其逆定理可证明，则可得到为的中点，由三角形中位线定理得到，则，再根据列式求解即可． 【详解】解：如图所示，设的中点为点O，连接， 由网格的特点可得， ∴是经过三点的圆的直径， ∴，即， 由网格的特点和勾股定理可得，， ∴，， ∴， ∴， ∵，， ∴为的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴， ∴． 22. 若一个四位自然数的各个数位数字互不相等且均不为零，满足百位数字大于个位数字，且百位数字与个位数字的和为偶数，则称这个四位数为“偶合数”．按照这个规定，最小的“偶合数”是__________    ，对于“偶合数”，记，，若为完全平方数，能被9整除，则所有满足条件的M的最小数为__________． 【答案】 1432 8521 【分析】根据新定义，得到最小的偶合数为千位数字为1，根据百位数字大于个位数字，且百位数字与个位数字的和为偶数，得到个位数字为2，百位数字为4，进而确定十位数字为3，即可得出结果；根据为完全平方数，推出的值可能为、、， 分3种情况进行讨论，结合，能被9整除，进行求解即可. 【详解】解：要使“偶合数”最小，则， 由于，且为偶数，各个数位数字互不相等且均不为零， 故要使尽可能小， 则，， ， 故最小的“偶合数”是； ∵， ∴，， ∵为完全平方数， 故， ∵为偶数，且、不相等，故为个位数字为偶数的两位数， ∴的值可能为、、， 若，则，， ∴，， ∵， 故， ∴， ∵为整数， ∴为整数， ∵能被9整除，故，是的倍数， 故， ∴应为的倍数， 则， 若，则，，， 并非为9的倍数，故排除； 若，则，，， 此时，不满足题意要求； 若，则，，， 是9的倍数； 此时为； 若，则，， ∴，， ∵， 故， ∴， ∵是的倍数， 故， ∴应为的倍数， 则， 若，则，，， 并非为9的倍数，故排除； 若，则，，， 并非为9的倍数，故排除； 若，则，，（舍）， 此时不满足题意要求； 若，则，， ∴，， ∵， 故，， ∴， ∵是的倍数， 故， ∴应为的倍数， 则或， 若，则，（舍去）或，（舍）， 此时不满足题意要求； 若，则，或（舍去），， 是9的倍数； 此时为； 故满足条件的M的最小数为. 23. 如图，在中，，，，于点D，点E是边上的动点，连接，作，点F在下方，连接，，若，则的最小值为____________． 【答案】 【分析】连接，证明，可得，再证明，可得，即可证明，可得的度数固定，则点在直线上运动，根据垂线段最短，确定的最小值即可． 【详解】解：如图，连接， ，，， ，即， ， ， ， ， ， ， ，即， ， ， ， ，即， ， ， ， ， ∴的度数固定，则点在直线上运动， 如图，作， 根据垂线段最短，当点运动到处，最小， ， ， ，， ， 即的最小值为． 二、解答题（本大题共3个小题，共30分） 24. 某非遗文创工坊生产两种壮乡特色手工艺品：壮锦挂件与铜鼓摆件．已知生产个壮锦挂件和个铜鼓摆件共需成本元；生产个壮锦挂件和个铜鼓摆件共需成本元． (1)每个壮锦挂件、铜鼓摆件的生产成本各是多少元？ (2)该工坊计划一批订单共生产这两种手工艺品个，要求铜鼓摆件的数量不超过壮锦挂件数量的倍．设生产壮锦挂件个，总利润为元．已知每个壮锦挂件利润为元，每个铜鼓摆件利润为元． 求与的函数关系式； 如何安排生产可获得最大利润？最大利润是多少元？ 【答案】(1)每个壮锦挂件成本为元，每个铜鼓摆件成本为元； (2)；生产壮锦挂件个，铜鼓摆件个时利润最大，最大利润为元． 【分析】（）设每个壮锦挂件成本为元，每个铜鼓摆件成本为元，根据题意得，然后解方程组即可； （）根据题意列出函数关系式即可； 由题意得，解得，然后根据函数性质可得随的增大而减小，所以当时，最大，然后代入即可求解． 【详解】（1）解：设每个壮锦挂件成本为元，每个铜鼓摆件成本为元， 根据题意，得， 解得， 答：每个壮锦挂件成本为元，每个铜鼓摆件成本为元； （2）解：设生产壮锦挂件个，则生产铜鼓摆件个， 根据题意，得， ∴， 即与的函数关系式为； 根据题意，得， 解得， ∵在中，， ∴随的增大而减小， ∵为整数， ∴当时，最大，为， 此时铜鼓摆件：个， 即生产壮锦挂件个，铜鼓摆件个时利润最大，最大利润为元． 25. 如图，在平面直角坐标系中，直线与抛物线交于A，B两点，与x轴交于点C． (1)求抛物线的顶点坐标； (2)当时，直线与y轴交于点D，与直线交于点E．若抛物线与线段有公共点，求h的取值范围； (3)当k变化时，抛物线的对称轴上是否存在定点T，使得总是平分？若存在，求出点T的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)抛物线的对称轴上存在，使得总是平分． 【分析】 （1）把一般式化为顶点式即可得出抛物线顶点坐标； （2）求出点的坐标，得抛物线的顶点坐标在直线上移动，根据抛物线与线段有公共点，得到抛物线与直线有一个交点开始，将抛物线向右移动直至抛物线与线段只有一个交点为时，均满足题意，求出两个临界值即可得出结果； （3）先求出点坐标，联立抛物线与直线，根据根与系数的关系可得，，过点作，过点作，设，根据正切的定义，由列出比例式，整理后代入可得，根据等式成立与无关可得． 【详解】（1）解：∵； ∴抛物线的顶点坐标为； （2）解：当时，则：， ∴令，则，令，则， ∴， ∵， ∴顶点在直线上移动， ∵与线段有公共点， ∴联立，整理，得：， ∴，即：， 此时抛物线为，与直线的交点是，在线段上，满足题意， 将从开始向右移动，直至抛物线与线段只有一个交点为时，与线段均有公共点， ∴当过点时，， 解得：或， ∴当时，抛物线与线段有公共点； （3）结论：存在； ∵， ∴当时，， ∴， ∵抛物线的对称轴为直线， ∴点在抛物线的对称轴上， 设抛物线和直线交点，， 联立抛物线和直线解析式得，整理，得：， ∴，， 假设存在点，使得总是平分，则一定在下方，过点作，过点作， ∵平分， ∴， ∴， ∴， 设，则：，， ，， ∴， 整理得：， ∴， ∴， 当时，等式一定成立， ∴抛物线的对称轴上存在，使得总是平分． 26. 综合与探究 问题情境： 矩形中，，，的平分线交于点．将绕点顺时针旋转，得到点，的对应点分别为点，点与点不重合． 深入探究： (1)如图，当点在边上时，求证：； (2)如图，当点在线段上时，连接，，①求证：；②求四边形的面积； (3)当点在矩形的对角线上时，连接，直接写出的长． 【答案】(1)见解析 (2)①见解析；② (3)的长为或 【分析】（1）先根据旋转的性质可得，根据等腰三角形的性质可得，再根据三角形的内角和定理可得，然后根据矩形的性质可得，由此即可得证； （2）①设交于点O，先证出，根据全等三角形的性质可得，，则； ②先证出，根据相似三角形的性质可得的长，然后利用勾股定理求出的长，最后根据四边形的面积等于求解即可得； （3）分两种情况：①若点G在对角线上时，过点作于，先证出点A，G，C，F在同一条直线上，再求出，，的长，从而可得的长，然后利用勾股定理求解即可得；②若点G在对角线上时，过点F作于M，过点E作于N，先根据等腰三角形的性质、勾股定理求出，，的长，再证出，根据相似三角形的性质可得，的长，从而可得的长，然后利用勾股定理求解即可得． 【详解】（1）证明：绕点旋转得到， ， ， ， ， 在矩形中，， ， ， ； （2）①证明：如图，设交于点， 四边形是矩形，，， ， 在直角三角形中，由勾股定理得：， ， ，， 平分， ， 在和中， ， ， ，， ； ②解： ， 在和中， ， ， ，即， ， ， 在直角三角形中，由勾股定理得：， 四边形的面积为： ； （3）解：的长为或．理由如下： 点在矩形的对角线上时，分两种情况讨论： 如图，若点在对角线上时，过点作于． 平分， 点到的距离等于的长度， 由旋转的性质得：，，， ， ， ， 点，，，在同一条直线上， 在和中， ， ， ， ， 在矩形中，，， ，，， 由勾股定理得：， ， ， 由勾股定理得：， ， 由勾股定理得：； 如图，若点在对角线上时，过点作于，过点作于， 在矩形中，，， ，，， 由勾股定理得：， 由（1）②得：， 等腰三角形的三线合一， 在中，， 在中，， ，，， 由旋转的性质得：，， ， ，， ， ， ， 在和中， ， ， ， ，， ， 由勾股定理得：， 综上所述，的长为或． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $