精品解析：黑龙江牡丹江市第二高级中学2025-2026学年高二下学期期中数学试卷

2025—2026学年度第二学期期中考试试题 数学试题 考生注意 1．本试卷满分150分，考试时间120分钟. 2．考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效. 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 五一假期，某人准备前往云南大理旅行，计划从苍山、洱海、大理古城、双廊古镇、崇圣寺这5个景点中选3个景点去游玩，则不同的选择方法种数为（ ） A. 5 B. 10 C. 20 D. 60 2. 某产品的广告费用与销售额的统计数据如下表： 广告费用x/万元 1.8 2.2 3 5 销售额y/万元 t 7 14 16 根据上表数据得到y与x的回归直线方程为，则t的值（ ） A. 3 B. 5.5 C. 4 D. 6.5 3. 已知，若，则（ ） A. B. C. D. 4. 袋中有6个红球、4个白球，从袋中任取4个球，则至少有2个白球的概率是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，为了出黑板报，某班级为黑板四个区域进行涂色装饰，每个区域涂一种颜色，相邻区域（有公共边）不能用同一种颜色，若只有四种颜色可供使用，则恰好使用了3种颜色的涂色方法共有（ ） A. 24种 B. 48种 C. 72种 D. 84种 6. 若随机变量服从两点分布，其中，则（ ） A. B. C. D. 7. 一批零件共有个，其中有个不合格随机抽取个零件进行检测，恰好有件不合格的概率是（ ） A. B. C. D. 8. 小明高考结束后出去游玩，帽子和墨镜每天至少戴一件，他每天戴帽子的概率为，戴墨镜的概率为，各天穿戴的情况独立，表示他在20天的游玩时间中只戴帽子的天数，则其期望（ ） A. 4天 B. 8天 C. 10天 D. 16天 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分. 9. 设离散型随机变量的分布列为 4 6 8 0.3 0.4 若，则（ ） A. B. C. D. 10. 已知的展开式共有13项，则下列说法中错误的有（ ） A. 所有奇数项的二项式系数和为 B. 所有项的系数和为 C. 二项式系数最大的项为第6项或第7项 D. 有理项共5项 11. 下列命题中，正确的命题是（ ） A. 已知随机变量服从二项分布，若，，则 B. 某人在10次射击中，击中目标的次数为，，当时概率最大 C. 样本相关系数越大，两个变量的线性相关性越强；反之，线性相关性越弱 D. 已知，，，则 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 比2000小且没有重复数字的四位偶数有________个．（用数字表示） 13. 设，是一个随机试验中的两个事件，若，，，则________. 14. 如图，在由二项式系数所构成的杨辉三角形中，第______行中从左至右第8与第9个数的比为. 四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知，求 （1）求，的值； （2）求的值. 16. 春节将至，某商家统计了去年某商品的日营销费用x（单位：百元）与日销售量y（单位：百件），为今年的营销方案制定提供相关的数据参考，得到的数据如下表： 日营销费用x/百元 2 3 4 5 6 日销售量y/百件 1 1.1 1.5 1.8 2.1 已知y与x线性相关. （1）根据上表数据，求y关于x的经验回归方程； （2）请利用（1）中的经验回归方程，试估计当今的日销售费用为1000元时，日销售量为多少百件. 参考公式：对于一组具有线性相关关系的数据（）.其经验回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，. 17. 某新能源汽车公司对其销售的、两款汽车的售后服务向消费者进行满意度调查，从购买这两款汽车的消费者中各随机抽取了名，调查结果统计如下表： 满意程度 汽车款式 合计 款 款 满意 不满意 合计 （1）补全列联表，并根据小概率值的独立性检验，能否认为消费者对A、B两款汽车的售后服务的满意度有差异？ （2）用频率估计概率，现从购买、款汽车的消费者中随机抽取人，表示这名消费者中对款汽车的售后服务持满意态度的人数，求的分布列和数学期望． 附：，. 18. 设新能源车性能测试分为实验室检测和路面检测两个阶段.实验室检测合格后才能进入路面检测，路面检测合格后该车才可投入量产，这两个检测阶段是否合格相互独立.其中实验室检测阶段包括环节I和环节II，两个环节至少通过一个才算实验室检测合格，且这两个环节检测结果相互独立.某公司汽车研发出甲､乙两款车型，现对其进行性能检测.实验室检测阶段中甲车通过I､II环节的概率分别为，乙车通过I､II环节的概率分别为，路面测试环节中甲､乙款车合格的概率分别为. （1）求甲，乙两款车型中恰有一款车进入路面检测的概率； （2）设甲，乙两款车型可投入量产的种数为，求的分布列与均值. 19. 某篮球运动员进行定点投篮训练，据以往训练结果，第一次投篮命中的概率为．若前一次投篮命中，那么下次投篮命中的概率为；若前一次投篮未命中，那么下次投篮命中的概率为． （1）求该运动员第二次投篮命中的概率； （2）记该运动员前两次投篮命中的次数为，求的分布列和数学期望； （3）设第次投篮命中的概率为，求证：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年度第二学期期中考试试题 数学试题 考生注意 1．本试卷满分150分，考试时间120分钟. 2．考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效. 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 五一假期，某人准备前往云南大理旅行，计划从苍山、洱海、大理古城、双廊古镇、崇圣寺这5个景点中选3个景点去游玩，则不同的选择方法种数为（ ） A. 5 B. 10 C. 20 D. 60 【答案】B 【解析】 【详解】从5个景点中选3个景点去游玩，是组合问题， 不同的选择方法种数为种. 2. 某产品的广告费用与销售额的统计数据如下表： 广告费用x/万元 1.8 2.2 3 5 销售额y/万元 t 7 14 16 根据上表数据得到y与x的回归直线方程为，则t的值（ ） A. 3 B. 5.5 C. 4 D. 6.5 【答案】A 【解析】 【详解】依题意，得，， 所以，解得. 3. 已知，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】因为，因此对应的正态曲线的对称轴为 由对称性可知 所以 所以  4. 袋中有6个红球、4个白球，从袋中任取4个球，则至少有2个白球的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】方法一：设取出的白球个数为离散型随机变量，直接求出的概率，由加法公式求解；方法二：先求出至多有1个白球的概率，间接法求解. 【详解】方法一：设取出的白球个数为离散型随机变量，则的所有可能取值为0，1，2，3，4， 则． 故至少有2个白球的概率为． 方法二：设“至少有2个白球”，则“至多有1个白球”， 所以． 故选：D 5. 如图，为了出黑板报，某班级为黑板四个区域进行涂色装饰，每个区域涂一种颜色，相邻区域（有公共边）不能用同一种颜色，若只有四种颜色可供使用，则恰好使用了3种颜色的涂色方法共有（ ） A. 24种 B. 48种 C. 72种 D. 84种 【答案】B 【解析】 【分析】根据组合的定义，结合分类计数原理进行求解即可. 【详解】由题意可知，使用了3种颜色则只有和颜色相同，或只有和颜色相同， 则涂色方法共有种. 故选：B 6. 若随机变量服从两点分布，其中，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据两点分布的定义明确变量的分布，从而求出，再根据定义计算结果 【详解】因随机变量服从两点分布，且，所以； 所以； 所以. 7. 一批零件共有个，其中有个不合格随机抽取个零件进行检测，恰好有件不合格的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】从个零件中随机抽取个，总的抽取方法数为组合数， 要求恰好件不合格，即从个不合格零件中抽1个， 从个合格零件中抽个，符合条件的方法数为， 故​恰好件不合格的概率为. 8. 小明高考结束后出去游玩，帽子和墨镜每天至少戴一件，他每天戴帽子的概率为，戴墨镜的概率为，各天穿戴的情况独立，表示他在20天的游玩时间中只戴帽子的天数，则其期望（ ） A. 4天 B. 8天 C. 10天 D. 16天 【答案】A 【解析】 【详解】记为事件“小明戴帽子”，记为事件“小明戴墨镜”， ，， ， 所以，，（天）. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分. 9. 设离散型随机变量的分布列为 4 6 8 0.3 0.4 若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据分布列的性质得出.进而根据期望方差公式得出的值，根据对应关系，得出的值. 【详解】对于A、B项，由表格可得，所以. 则， .故A正确，B正确； 对于C、D项，因为，，， 所以，，，故C错误，D正确. 故选：ABD. 10. 已知的展开式共有13项，则下列说法中错误的有（ ） A. 所有奇数项的二项式系数和为 B. 所有项的系数和为 C. 二项式系数最大的项为第6项或第7项 D. 有理项共5项 【答案】AC 【解析】 【详解】，，所有奇数项的二项式系数和为，故A错误； 令，所有项的系数和为，故B正确； 由二项式系数的性质可知二项式系数最大的项为第7项，故C错误； 展开式通项为，， 要使展开式中的项为有理项，则为整数，即，共有项，故D正确. 11. 下列命题中，正确的命题是（ ） A. 已知随机变量服从二项分布，若，，则 B. 某人在10次射击中，击中目标的次数为，，当时概率最大 C. 样本相关系数越大，两个变量的线性相关性越强；反之，线性相关性越弱 D. 已知，，，则 【答案】BD 【解析】 【分析】应用二项分布的期望、方差公式列方程求参数判断A，应用不等式法解决二项分布概率最大问题判断B，根据相关系数的实际意义判断C，应用全概率公式求概率判断D. 【详解】A：随机变量服从二项分布， 若，则，解得，即，错误； B：由，则， 当时概率最大，则有, 即，解得， 由，所以时概率最大，正确； C：因为相关系数的绝对值的大小越接近，两个变量的线性相关性越强；反之线性相关性越弱，错误； D：已知，则， 由全概率公式，， 即，解得，正确. 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 比2000小且没有重复数字的四位偶数有________个．（用数字表示） 【答案】280 【解析】 【分析】分析可得千位为1，个位数字有5种选择，百位数字有8种选择，十位数字有7种选择，列式计算，即可得答案. 【详解】当千位数字为1时，个位数字可以为0，2，4，6，8，有5种选择， 百位数字从剩下8个数字中选择，十位数字从剩下7个数字中选择， 共有个． 故答案为：280 13. 设，是一个随机试验中的两个事件，若，，，则________. 【答案】##0.3 【解析】 【分析】利用条件概率和和事件的概率公式进行计算即可. 【详解】由条件概率的公式：， 计算和事件的概率：， 可得. 故答案为：. 14. 如图，在由二项式系数所构成的杨辉三角形中，第______行中从左至右第8与第9个数的比为. 【答案】31 【解析】 【分析】根据第行中从左至右第8个数与第9个数的比为，可以列出关于的等式，进而可解得正整数的值. 【详解】第行从左到右第8个数为，第9个数为， 依题意得，即，解得. 故答案为：31. 四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知，求 （1）求，的值； （2）求的值. 【答案】（1），； （2）513. 【解析】 【分析】（1）令求，应用二项式的展开式求系数； （2）令求出所有项系数和，结合（1），即可得. 【小问1详解】 令，得，又，， 所以，有. 【小问2详解】 令，得， 又，所以. 16. 春节将至，某商家统计了去年某商品的日营销费用x（单位：百元）与日销售量y（单位：百件），为今年的营销方案制定提供相关的数据参考，得到的数据如下表： 日营销费用x/百元 2 3 4 5 6 日销售量y/百件 1 1.1 1.5 1.8 2.1 已知y与x线性相关. （1）根据上表数据，求y关于x的经验回归方程； （2）请利用（1）中的经验回归方程，试估计当今的日销售费用为1000元时，日销售量为多少百件. 参考公式：对于一组具有线性相关关系的数据（）.其经验回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，. 【答案】（1） （2）3.24百件 【解析】 【分析】（1）求出的平均值，利用给定公式计算可求出y关于x的经验回归方程； （2）将代入回归方程即可估算出结果. 【小问1详解】 ， ， 则， 所以 故关于的经验回归方程为. 【小问2详解】 将代入，得， 故当今年的日营销费用为1000元时，日销售量约为3.24百件. 17. 某新能源汽车公司对其销售的、两款汽车的售后服务向消费者进行满意度调查，从购买这两款汽车的消费者中各随机抽取了名，调查结果统计如下表： 满意程度 汽车款式 合计 款 款 满意 不满意 合计 （1）补全列联表，并根据小概率值的独立性检验，能否认为消费者对A、B两款汽车的售后服务的满意度有差异？ （2）用频率估计概率，现从购买、款汽车的消费者中随机抽取人，表示这名消费者中对款汽车的售后服务持满意态度的人数，求的分布列和数学期望． 附：，. 【答案】（1） 满意程度 汽车款式 合计 款 款 满意 不满意 合计 无差异 （2） 【解析】 【分析】（1）完善列联表，提出零假设消费者对、款汽车售后服务的满意度无差异， 计算出的观测值，结合临界值表可得出结论； （2）分析可知，利用二项分布可得出随机变量的分布列，进一步可求得的值. 【小问1详解】 列联表为： 满意程度 汽车款式 合计 款 款 满意 不满意 合计 零假设消费者对、款汽车售后服务的满意度无差异， 根据列联表中的数据，计算得，， 根据小概率值的独立性检验，没有充分理由推断不成立， 故消费者对、款汽车的售后服务的满意度无差异． 【小问2详解】 从名消费者中随机抽人，对款车的售后服务持满意态度的频率为， 所以从购买、款汽车的消费者中随机抽取人， 则该人对款汽车的售后服务持满意态度的概率为， X的可能取值为、、、、，且， ，， ，， ， 所以的分布列为： （或）． 18. 设新能源车性能测试分为实验室检测和路面检测两个阶段.实验室检测合格后才能进入路面检测，路面检测合格后该车才可投入量产，这两个检测阶段是否合格相互独立.其中实验室检测阶段包括环节I和环节II，两个环节至少通过一个才算实验室检测合格，且这两个环节检测结果相互独立.某公司汽车研发出甲､乙两款车型，现对其进行性能检测.实验室检测阶段中甲车通过I､II环节的概率分别为，乙车通过I､II环节的概率分别为，路面测试环节中甲､乙款车合格的概率分别为. （1）求甲，乙两款车型中恰有一款车进入路面检测的概率； （2）设甲，乙两款车型可投入量产的种数为，求的分布列与均值. 【答案】（1） （2）分布列如下： X 0 1 2 P 【解析】 【分析】（1）设事件A表示甲车通过实验室测试，事件B表示乙车通过实验室测试，求出、，求出甲、乙中恰有一款车通过实验室测试的概率； （2）求出随机变量可能的取值，分别求出概率，求出数学期望. 【小问1详解】 设事件A表示甲车通过实验室测试，事件B表示乙车通过实验室测试， 则，， 则甲、乙中恰有一款车进入路面测试的概率为： ； 【小问2详解】 随机变量可能的取值为：， 由题意，甲、乙车投产的概率分别为， 所以， ， ， X 0 1 2 P 所以数学期望． 19. 某篮球运动员进行定点投篮训练，据以往训练结果，第一次投篮命中的概率为．若前一次投篮命中，那么下次投篮命中的概率为；若前一次投篮未命中，那么下次投篮命中的概率为． （1）求该运动员第二次投篮命中的概率； （2）记该运动员前两次投篮命中的次数为，求的分布列和数学期望； （3）设第次投篮命中的概率为，求证：． 【答案】（1） （2） 0 1 2 数学期望为 （3） 由题意得，； 当时， 即， 变形为，所以数列是以为公比的等比数列， 又，于是， 即，所以． 【解析】 【分析】（1）设事件“第次投篮命中”，再根据全概率公式求解即可； （2）由题意的所有取值为0,1,2，再求分布列与数学期望即可； （3）由题意得，；再根据题意得出递推公式，进而构造数列求解即可. 【小问1详解】 设事件“第次投篮命中”，则“第次投篮未命中”，， 易知与是互斥事件， 所以由全概率公式得 该运动员第二次投篮命中的概率为． 【小问2详解】 由题意得，， 的所有取值为0,1,2， , 所以的分布列为 0 1 2 ……所以． 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $