精品解析：黑龙江省牡丹江市第一高级中学2024-2025学年高二下学期期中考试数学试题

2023级高二年级下学期期中考试 数学试题 分值：150分 时长：120分钟 一､单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 从4名男生和2名女生中选出2名男生和1名女生担任元旦联欢晚会的主持人，则不同的选法共有（ ） A. 6种 B. 12种 C. 24种 D. 18种 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意可分两步：先从4名男生中选出2人，再从2名女生中选出1人，结合分步计数原理，即可求解. 【详解】由题意，从4名男生和2名女生中选出2名男生和1名女生担任元旦联欢晚会的主持人， 可分两步：先从4名男生中选出2人，有种选法， 再从2名女生中选出1人，有种选法， 由分步计数原理可得，共有种不同的选法. 故选：B. 2. 已知函数，则的极小值点是（ ） A. B. 2 C. D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】首先求函数的导数，并判断函数的单调区间，根据函数极值点的定义，即可判断. 【详解】 ， 当 ，解得：或，当 ，解得：或， 所以函数的单调递增区间是和，函数的单调递减区间是和， 所以函数的极小值点是2. 故选：B 3. 某公司为庆祝新中国成立73周年，计划举行庆祝活动，共有5个节目，要求A节目不排在第一个且C、D节目相邻，则节目安排的方法总数为（ ） A. 18 B. 24 C. 36 D. 60 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件，利用分步乘法计数原理，结合特殊元素问题及相邻问题，列式计算作答. 【详解】因为C、D节目相邻，则视C、D节目为一个整体与其它3个节目排列， 又A节目不排在第一个，则从后面三个位置中取一个排A，再排余下3个，有种， 其中的每一种排法，C、D节目的排列有， 所以节目安排的方法总数为（种）. 故选：C 4. 为调查禽类某种病菌感染情况，某养殖场每周都定期抽样检测禽类血液中指标的值，通过长期调查分析可知，该养殖场家禽血液中指标的值 服从正态分布．且，则（ ） A. 0.2 B. 0.3 C. 0.4 D. 0.6 【答案】A 【解析】 【分析】由正态分布的对称性即可求解. 【详解】因为随机变量 服从正态分布，且, 所以均值，密度曲线关于对称， 所以, 所以. 故选：A. 5. 甲､乙两位学生心仪某中学已久，所以这两名学生准备分别从教学南楼､教学北楼､活动中心和学生劳动实践基地四个地点中随机选择一个考察参观，事件甲和乙至少一人选择活动中心考察参观，事件：甲和乙选择的地点不同，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据条件概率的计算公式即可求解. 【详解】甲乙两人从四个地点中随机选择一个考察参观，共有种选择， 甲和乙均不选择活动中心考察参观共有种选择，所以甲和乙至少一人选择活动中心考察参观有 种选择，所以， 事件AB：甲乙只有一人选择青少年活动中心考察参观，故共有种选择， 所以,因此. 故选：A． 6. 若从0，2，4中任取2个数字，从1，3中任取1个数字，则可以组成没有重复数字的三位数的个数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意,分从0，2，4中任取2个数字中不含0和不含0两种情况讨论求解即可得答案. 【详解】解：根据题意，分2种情况讨论： ①从0，2，4中任取2个数字中不含0，其取法有1种，从1，3中任取1个数字，其取法有2种，将选出的3个数字全排列，组成三位数，有种情况，此时有个没有重复数字的三位数， ②从0，2，4中任取2个数字中含有0，其取法有2种，从1，3中任取1个数字，其取法有2种，用选出的3个数字组成三位数，有种情况，此时有个没有重复数字的三位数， 故有 个符合题意的三位数； 故选：C． 7. 设函数是奇函数 （ ）的导函数，，当时，，则使得成立的的取值范围是 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】构造新函数,，当时. 所以在上单减，又，即. 所以可得,此时 ， 又为奇函数，所以 在上的解集为：. 故选A. 点睛：本题主要考查利用导数研究函数的单调性，需要构造函数，例如，想到构造.一般：（1）条件含有，就构造,（2）若，就构造，（3），就构造，（4）就构造，等便于给出导数时联想构造函数. 8. 如图，在两行三列的网格中放入标有数字 的六张卡片，每格只放一张卡片，则“只有中间一列两个数字之和为7”的不同的排法有（ ） A. 16种 B. 32种 C. 64种 D. 96种 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意按照分步计数原理对表格中的数据分步填写并保证符合题意即可得出结果. 【详解】根据题意，分三步进行； 第一步，要求“只有中间一列两个数字之和为7”，则中间的数字为三组数1，6或2，5或3，4中的一组，共有种排法； 第二步，排第一步中剩余的两组数，且这两数字之和不为7，共有种排法； 第三步，排剩下的两个数字，共有种排法. 由分步计数原理知，共有不同的排法种数为. 故选：D. 二､多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得6分，选对但不全的得3分，有选错的得0分. 9. 已知的展开式的二项式系数和为128，则下列说法正确的是（ ） A. B. 展开式中各项系数的和为 C. 展开式中只有第4项的二项式系数最大 D. 展开式中含项的系数为84 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据展开式的二项式系数和的性质求出，可判断A正确；令，求出展开式中各项系数的和，可判断B正确；根据展开式中二项式系数的单调性，可判断C错误；利用展开式的通项公式计算，可判断D正确． 【详解】对于A，因为的展开式的二项式系数和为，所以，则，故A正确； 对于B，令，则，所以展开式中各项系数的和为，故B正确； 对于C，因为第4项的二项式系数为，第5项的二项式系数， 所以，又， 所以展开式中第4项和第5项的二项式系数最大，故C错误； 对于D，因为的展开通项为， 令，得，则，所以含项的系数为84，故D正确． 故选：ABD． 10. 甲、乙两人进行趣味篮球对抗赛，约定比赛规则如下：每局比赛获胜的一方积1分，负者积0分，无平局，积分首先达到3分的一方获得最终胜利，比赛结束．若甲每局比赛获胜的概率为，且每局比赛相互独立， 表示比赛结束时两人的积分之和，则（ ） A. 服从二项分布 B. C. 比赛结束时，甲、乙的积分之比为的概率为 D. 随机变量 的数学期望为 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用二项分布的特征判断A；计算概率判断BC；求出分布列及期望判断D. 【详解】对于A， 的可能取值为 ，而二项分布的随机变量取值是从0开始的连续自然数， 因此 不服从二项分布，A错误； 对于B，表示比赛结束时，赛了3局，要么是甲胜3局，要么是乙胜3局， 因此，B正确； 对于C，比赛结束时，甲、乙的积分之比为，则甲乙共赛4局，第4局甲胜，前3局甲输1局， 概率为，C正确； 对于D，，， ，，D正确. 故选：BCD 11. 已知函数，则下列结论正确的是（ ） A. 函数存在三个不同的零点 B. 函数既存在极大值又存在极小值 C. 若时，，则的最小值为 D. 若方程有两个实根，则 【答案】BD 【解析】 【分析】求导后，结合正负可得单调性；利用零点存在定理可说明零点个数，知A错误；根据极值定义可知B正确；采用数形结合的方式可求得CD正误. 【详解】定义域为 ，， 当时， ；当时， ； 在，上单调递减，在上单调递增； 对于A，，，， 在区间和内各存在一个零点； 当时， ， ，恒成立； 有且仅有两个不同的零点，A错误； 对于B，由单调性可知：的极小值为，极大值为，B正确； 对于C，，作出图象如下图所示，可知方程存在另一个解， 若当时，，则，C错误； 对于D，方程有两个实根等价于与有两个不同交点， 作出图象如下图所示， 结合图象可知：，D正确. 故选：BD. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知 的分布列如表，设，则 的数学期望的值是______. －1 0 1 【答案】 【解析】 【分析】根据所给的分布列和分布列的性质，写出关于的等式，解出的值，算出 的期望，根据 与 之间期望的关系，即可求出结果． 【详解】由已知得 ， ∴， ， ． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了离散型随机变量的分布列性质和期望，本题属于基础题． 13. 已知函数有两个极值点，则的取值范围是__________. 【答案】 【解析】 【分析】利用函数的极值点与导数的关系可知关于的方程在时有两个不等的实根，利用二次方程根的分布可得出关于实数的不等式组，即可解得实数的取值范围. 【详解】函数的定义域为，且， 所以，关于的方程在时有两个不等的实根、， 所以，解得. 因此，实数的取值范围是. 故答案为：. 14. 2025年春晚，一场别开生面的机器人舞蹈表演震撼了观众．现在编排一个动作，机器人从原点O出发，每一次等可能地向左或向右或向上或向下移动一个单位，共移动3次．求该机器人在有且仅有一次经过（含到达）点位置的条件下，水平方向移动2次的概率为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据相互独立时间的概率乘法公式，结合分类讨论以及条件概率的计算公式即可求解. 【详解】设事件“有且仅有一次经过”，事件“水平方向移动2次”， 按到位置需要1步，3步分类讨论． 记 向左， 向右，向上， 向下， ①若1步到位为事件，则满足要求的是LU（L或U或R），LL（L或U或D），LD（L或R或D）， LR（U或D或R），所以； ②若3步到位为事件，则满足要求的是ULD，DLU，RLL，UDL，DUL 所以；所以， 满足AB的情况有：LU（L或R），LD（L或R），LL（U或D），LR（U或D）． 所以，所以． 故答案为:． 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答时应写出必要的文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 小张准备在某县城开一家文具店，为经营需要，小张对该县城另一家文具店中的某种水笔的单支售价及相应的日销售量进行了调查，单支售价（元）和日销售量（支）之间的数据如表所示； 单支售价（元） 1.4 1.6 1.8 2 2.2 日销售量（支） 13 11 7 6 3 （1）根据表格中的数据，求出关于的回归直线方程； （2）请由（1）所得的回归直线方程预测日销售量为18支时.单支售价应定为多少元？ 参考公式：.参考数据：. 【答案】（1） （2）1 【解析】 【分析】（1）需要先计算样本数据的均值和，再根据给定公式计算回归系数和截距，从而得到关于的回归直线方程. （2）将销售量代入回归直线方程求出对应的单支售价. 【小问1详解】 对于给定的单支售价的数据1.4， 1.6， 1.8，2， 2.2，其均值； 对于销售量的数据13， 11，7，6，3，其均值. 已知，且，，，. 将这些值代入公式可得： 由，将，，代入可得： . 所以，关于的回归直线方程为. 【小问2详解】 当时，将其代入回归直线方程中，得到，解得. 所以，销售量为18支时，单支售价应定为元. 16. 已知函数. （1）当 时，求的最小值； （2）当 时，证明：. 【答案】（1）1 （2）证明见详解 【解析】 【分析】（1）利用导数研究函数的单调性，进而可求最小值； （2）只需证明的最小值大于等于即可，利用导数研究的单调性，进而可求的最小值，通过构造函数证明即可. 【小问1详解】 当时，． 若 ，则，若 ，则， 所以函数 在上单调递增，在 上单调递减． 故． 【小问2详解】 ， 当时，若，则，若，则， 所以函数 在上单调递增，在上单调递减． 所以当时，． 要证，只需证，即证． 令函数，则， 当 时，，当 时，， 所以在 上单调递减，在上单调递增， 所以． 所以恒成立，所以． 17. 某学校参加某项竞赛仅有一个名额，结合平时训练成绩，甲、乙两名学生进入最后选拔，学校为此设计了如下选拔方案：设计6道题进行测试，若这6道题中，甲能正确解答其中的4道，乙能正确解答每个题目的概率均为，假设甲、乙两名学生解答每道测试题都相互独立、互不影响，现甲、乙从这6道测试题中分别随机抽取3题进行解答 （1）求甲、乙共答对2道题目的概率； （2）设甲答对题数为随机变量X，求X的分布列、数学期望和方差； （3）从数学期望和方差的角度分析，应选拔哪个学生代表学校参加竞赛？ 【答案】（1） （2）答案见解析 （3）应选拔甲学生代表学校参加竞赛 【解析】 【分析】（1）甲、乙两名学生共答对2个问题分为：甲2个乙0个，甲1个乙1个，分别计算概率相加得答案. （2）设学生甲答对的题数为 ，则 的所有可能取值为1，2，3，分别求出相应的概率，从而求出，； （3）设学生乙答对题数为 ，则 所有可能的取值为0，1，2，3，由题意知 ～B（3，），从而求出，，由=，＜，得到甲代表学校参加竞赛的可能性更大． 【小问1详解】 由题意得甲、乙两名学生共答对2个问题的概率： ． 【小问2详解】 设学生甲答对的题数为 ，则 的所有可能取值为1,2,3． ， ， ． X 1 2 3 P 的分布列为： 所以，． 【小问3详解】 设学生乙答对的题数为 ，则 的所有可能取值为0，1，2，3．则． 所以，． 因为，，即甲、乙答对的题目数一样，但甲较稳定， 所以应选拔甲学生代表学校参加竞赛． 18. 学校举办学生与智能机器人的围棋比赛，现有来自两个班的学生报名表，分别装入两袋，第一袋有5名男生和4名女生的报名表，第二袋有6名男生和5名女生的报名表，现随机选择一袋，然后从中随机抽取2名学生，让他们参加比赛. （1）求恰好抽到一名男生和一名女生的概率； （2）比赛记分规则如下：在一轮比赛中，两人同时赢积2分，一赢一输积0分，两人同时输积分.现抽中甲、乙两位同学，每轮比赛甲赢概率为，乙赢概率为，比赛共进行二轮. （i）在一轮比赛中，求这两名学生得分的分布列； （ii）在两轮比赛中，求这两名学生得分的分布列和均值. 【答案】（1） （2）（i）分布列见解析（ii）分布列见解析，均值为0 【解析】 【分析】（1）设“抽到第一袋”，“抽到第二袋”，B＝“随机抽取2张，恰好抽到一名男生和一名女生的报名表”，由条件概率公式结合全概率公式求解； （2）（i） 的可能取值为－2，0，2，计算出相应概率，即得分布列；（ii） 的可能取值为－4，－2，0，2，4，计算出相应概率，即得分布列和均值； 【小问1详解】 设“抽到第一袋”，“抽到第二袋”， B＝“随机抽取2张，恰好抽到一名男生和一名女生的报名表” 由全概率公式得 【小问2详解】 （i）设在一轮比赛中得分为 ，则 的可能取值为－2，0，2，则 得分为 的分布列用表格表示 －2 0 2 P （ii）设在二轮比赛中得分为 ，则 的可能取值为－4，－2，0，2，4，则 得分为 的分布列用表格表示为 －4 －2 0 2 4 P 19. 已知函数 ，． （1）当时，求函数的图象在点处的切线方程； （2）讨论函数的单调性； （3）设 ，若，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） 当 时，在单调递减，在单调递增； 当时，在和上单调递增，在上单调递减； 当时，在 上递增； 当时，在和上单调递增，在上单调递减； （3） 【解析】 【分析】（1）利用导数的几何意义求解即可； （2）利用导数与函数单调性的关系，分类讨论即可求解； （3）由参变分离得恒成立，设，，则，令 ，利用导数证明 即可求出. 【小问1详解】 ， 当时， ，， 当时， ， ， 函数在处的切线方程为 ； 【小问2详解】 函数的定义域为，， ①当 时， 恒成立，令 ，则 ， 若 ，则；若 ，则 ， 所以在单调递减，在单调递增； ②当 时，， 令 ，则 或， （ⅰ）当 ，即时， 若 ，则或；若 ，则 ， 所以在和上单调递增，在上单调递减； （ⅱ）当 ，即时， 恒成立，在上递增； （ⅲ）当 ，即时， 若 ，则 或，若 ，则， 所以在和上单调递增，在上单调递减. 综上所述，当 时，在单调递减，在单调递增； 当时，在和上单调递增，在上单调递减； 当时，在上递增； 当时，在和上单调递增，在上单调递减； 【小问3详解】 的定义域为， 由得恒成立，即恒成立， 设，，则， 因为，同构可得， 令 ，因为，所以 ， 下面证 ． 设 ， ，于是 ， 令 ，则，当 时，；当 时， ， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以 ，即 ，当且仅当时等号成立． 所以 ，即 ， 所以 ， 所以 ，即， 所以实数的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2023级高二年级下学期期中考试 数学试题 分值：150分 时长：120分钟 一､单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 从4名男生和2名女生中选出2名男生和1名女生担任元旦联欢晚会的主持人，则不同的选法共有（ ） A. 6种 B. 12种 C. 24种 D. 18种 2. 已知函数，则的极小值点是（ ） A. B. 2 C. D. 1 3. 某公司为庆祝新中国成立73周年，计划举行庆祝活动，共有5个节目，要求A节目不排在第一个且C、D节目相邻，则节目安排的方法总数为（ ） A. 18 B. 24 C. 36 D. 60 4. 为调查禽类某种病菌感染情况，某养殖场每周都定期抽样检测禽类血液中指标的值，通过长期调查分析可知，该养殖场家禽血液中指标的值 服从正态分布．且，则（ ） A. 0.2 B. 0.3 C. 0.4 D. 0.6 5. 甲､乙两位学生心仪某中学已久，所以这两名学生准备分别从教学南楼､教学北楼､活动中心和学生劳动实践基地四个地点中随机选择一个考察参观，事件甲和乙至少一人选择活动中心考察参观，事件：甲和乙选择的地点不同，则（ ） A. B. C. D. 6. 若从0，2，4中任取2个数字，从1，3中任取1个数字，则可以组成没有重复数字的三位数的个数为（ ） A. B. C. D. 7. 设函数是奇函数 （ ）的导函数，，当时，，则使得成立的的取值范围是 A. B. C. D. 8. 如图，在两行三列的网格中放入标有数字 的六张卡片，每格只放一张卡片，则“只有中间一列两个数字之和为7”的不同的排法有（ ） A. 16种 B. 32种 C. 64种 D. 96种 二､多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得6分，选对但不全的得3分，有选错的得0分. 9. 已知的展开式的二项式系数和为128，则下列说法正确的是（ ） A. B. 展开式中各项系数的和为 C. 展开式中只有第4项的二项式系数最大 D. 展开式中含项的系数为84 10. 甲、乙两人进行趣味篮球对抗赛，约定比赛规则如下：每局比赛获胜的一方积1分，负者积0分，无平局，积分首先达到3分的一方获得最终胜利，比赛结束．若甲每局比赛获胜的概率为，且每局比赛相互独立， 表示比赛结束时两人的积分之和，则（ ） A. 服从二项分布 B. C. 比赛结束时，甲、乙的积分之比为的概率为 D. 随机变量 的数学期望为 11. 已知函数，则下列结论正确的是（ ） A. 函数存在三个不同的零点 B. 函数既存在极大值又存在极小值 C. 若时，，则的最小值为 D. 若方程有两个实根，则 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知 的分布列如表，设，则 的数学期望的值是______. －1 0 1 13. 已知函数有两个极值点，则的取值范围是__________. 14. 2025年春晚，一场别开生面的机器人舞蹈表演震撼了观众．现在编排一个动作，机器人从原点O出发，每一次等可能地向左或向右或向上或向下移动一个单位，共移动3次．求该机器人在有且仅有一次经过（含到达）点位置的条件下，水平方向移动2次的概率为________． 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答时应写出必要的文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 小张准备在某县城开一家文具店，为经营需要，小张对该县城另一家文具店中的某种水笔的单支售价及相应的日销售量进行了调查，单支售价（元）和日销售量（支）之间的数据如表所示； 单支售价（元） 1.4 1.6 1.8 2 2.2 日销售量（支） 13 11 7 6 3 （1）根据表格中的数据，求出关于的回归直线方程； （2）请由（1）所得的回归直线方程预测日销售量为18支时.单支售价应定为多少元？ 参考公式：.参考数据：. 16. 已知函数. （1）当 时，求的最小值； （2）当 时，证明：. 17. 某学校参加某项竞赛仅有一个名额，结合平时训练成绩，甲、乙两名学生进入最后选拔，学校为此设计了如下选拔方案：设计6道题进行测试，若这6道题中，甲能正确解答其中的4道，乙能正确解答每个题目的概率均为，假设甲、乙两名学生解答每道测试题都相互独立、互不影响，现甲、乙从这6道测试题中分别随机抽取3题进行解答 （1）求甲、乙共答对2道题目的概率； （2）设甲答对题数为随机变量X，求X的分布列、数学期望和方差； （3）从数学期望和方差的角度分析，应选拔哪个学生代表学校参加竞赛？ 18. 学校举办学生与智能机器人的围棋比赛，现有来自两个班的学生报名表，分别装入两袋，第一袋有5名男生和4名女生的报名表，第二袋有6名男生和5名女生的报名表，现随机选择一袋，然后从中随机抽取2名学生，让他们参加比赛. （1）求恰好抽到一名男生和一名女生的概率； （2）比赛记分规则如下：在一轮比赛中，两人同时赢积2分，一赢一输积0分，两人同时输积分.现抽中甲、乙两位同学，每轮比赛甲赢概率为，乙赢概率为，比赛共进行二轮. （i）在一轮比赛中，求这两名学生得分的分布列； （ii）在两轮比赛中，求这两名学生得分的分布列和均值. 19. 已知函数 ，． （1）当时，求函数的图象在点处的切线方程； （2）讨论函数的单调性； （3）设 ，若，求实数的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $