辽宁鞍山市第三中学2025-2026学年高二下学期5月期中考试数学试题

2027届高二下学期期中考试数学试题 考试时间：120分钟考试分值：150分 注：本试卷分第I卷（选择题）、第Ⅱ卷（非选择题）两部分。 第I卷（选择题，共60分） 一、单项选择题：（本题共8个小题，每小题5分，共40分，每小题有4个选项，其中只 有一项是正确的。) 1.若▣-212=6，则rb= △x A.3 B.-3C.6 D.-6 2.已知等比数列{an}的公比不为1，且a4,4,45成等差数列，则数列{a}的公比为() A.-2 B.-1 C. D.2 3.记等差数列{an}的前n项和为Sn,43+a,=6,41=17,则$= A.140 B.150 C.160 D.170 4.若数列{a}的前n项和为Sn,且满足a=2,4=3,a,+a2=aH,则Ss的值为( A.0 B.3 C.4 D.5 5.已知函数y=(x)的图象如图所示（其中∫(x)是函数f(x)的导函数），下面四个图象 中y=f(x)的图象大致是 2 第1页共4页 D 2 2寸可123若 6设3是等差数列红，}的首：项和，者意-片则受。 A号 B品 c D 7.已知函数f(x)=ae-hx在区间(1,2)上单调递增，则a的最小值为 A.e2 B.e C.e D.e2 8.已知e+sinx≥ax+1对任意xe[0,+o∞)恒成立，则实数a的取值范围为 A.[,+o) B.（-,] c.[2,+oo) D.（-0,2] 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有 多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，.有选错的得0分) 9设{a,}是等差数列，Sn是其前n项的和，且S<S6,S。=S,>S,则下面结论正确的是( A.a7=0 B.d20 C.品与S,均为Sn的最大值 D.满足Sn<0的n的最小值为14 10.记Sn为数列{a.}的前n项和.已知Sn=2an+n,则 A.4=1 B.数列{a,-1为等比数列 C.S2ms=2026+4z2a6 D.a<aa+ 11.已知函数f(x)=e-lh(x+l)-l,g(x)=lnx-a匹，对%∈(-l,+o),3∈(0，o),使得 f(:)之g(,)成立.下列结论正确的是 () A.3∈0,2]，使得f'()=0 B.函数y=f(x)的最小值为0 Ca的取值范图为卡+和 D.过(0,0)作y=f(x)的切线，有且只有一条 第2页共4页 Q夸克扫描王 极速扫描，就是高效 第Ⅱ卷（非选择题共92分） 三、填空题（本题共3小题，每外题5分，共15分） 12.已知数列{a}满足4=la1-an=2n,则a5= 13.已知函数f(x)=x3-2m2+a2在x=1处取得极小值，则a= 14.已知函数=e2-x+-北-少，若对任意，∈0，+o),且名≠名，都有 飞上f>na恒成立，则实数a的取值范围是 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15.(本小题13分)某影视数据平台对最近上映的电影《飞驰人生3》进行票房调研，记录 了其上映后的累计票房情况.累计票房y(单位：千万元)与上映天数x(单位：天)的数 据如下表所示： 上映天数x o 15 累计票房y 20 40 60 80 100 (1)利用表中的数据，计算相关系数，（结果精确到0.01），并推断两个变量的线性相关程度： (2)求y关于x的经验回归方程，并预测上映40天时的累计票房（结果精确到0.01）. xy-nxy 参考公式：经验回归方程)=x+à，其中方= a=y-,相关系数 参考数据： 2秘=20，=41，=20， √165≈12.845. 16.(本小题15分)已知等差数列红，}的前n项和为S,且S4=4S2,a2n=2a+10∈N） bn}是正项等比数列，且a1=b，45=b3, (1)求数列{4}，色}的通项公式： (2)令cn=an+bn,求数列{Cn}的前n项和Tn 第3页共4页 17.(本小题15分)已知函数f(x)=2x-3x-12x+5(xeR) (I)求函数f(x)的图象在点(1，f(1)处的切线方程； (2)求函数f(x)在区间[0,3]的最大值和最小值： (3)若曲线y=f(x)与直线y=c有3个不同的交点，求实数c的取值范围. 18.(本小题17分)已知公差不为零的等差数列{4，}满足4=1，且a2,a4,4成等比数列. (1)求数列{an}的通项公式； (2)证明：nan≤an-1; 3)诺数列色，}满足五=g型，证明： 2 +++}+日ee为自对数 的底) 19.(本小题17分)已知函数f(x)=ax2+(a-2)x-血x. (1)讨论f(x)的单调性： (2)若(x)有两个零点，()为fx)的导函数。 (i)求实数a的取值范围： ()记fx)较小的一个零点为o,证明：f(xo)>-2 第4页共4页 Q夸克扫描王 极速扫描，就是高效2027届高二下学期期中考试数学试题 答案 一、单选题 1-4 BABC 5-8 CDBD 二、多选题 9.ACD 10.BC 11.ABD 三、填空题 12.21】 3.14 四、解答题 15. 【详解)1)由题意得，x-4+7+9+10+15-9,y=20+40+60+80+10-60, 5 5 ---2分 期=320 ∑=471， y=22000, xy-xy =1 3200-5×9×60 则”= ∑y- V471-5×92×√22000-5×60 =l 500 500 25 V66×√400040W1652×12.845 0.97,--5分 所以两个变量具有很强的线性相关程度.---6分 (2)由题意得，=可 xy-my 3200-5×9×60500250 471-5×92 6633，-8分 a=y-6证=60-250× 33 9=、90 11 -9分 所以经验回归方程为立=250x-90， 33 11 --10分 令x=40,得方=20×40-90-9780气29485〈千万元.…12分 33 1133 所以预测上映40天时的累计票房为294.85千万元.-13分 16. 【详解】(1)设等差数列{an}的公差为d,则 18+(2m-0d=24+2a-)4+r解得) 4a+6d=4(2a,+d) 1d=21 所以an=1+(n-1)×2=2n-1:--5分 么=4=1，么=4，=9，所以g2-么=3，有g>0,所以9=3，b,=3一9分 b (2)cn=an+bn=(2n-1)+3-1 -10分 Tn=(1+3+3+…+2n-1)+1+3+32+.+3-） 1+2n-1n10-3"） 2 1-3 =n2+ 3”-1 2 -15分 17.【详解】 (1)f'(x)=6x2-6x-12,f'(1)=-12,f(1)=-8,---2分 所以函数f(x)的图象在点(1，f(1)处的切线方程为：y+8=-12(x-1),即 y=-12x+4.---4分 (2)f'(x)=6x2-6x-12=6(x-2)(x+1),令f'(x)=0得x=2或x=-1.-6分 当x在区间0,3上变化时，∫'(x),f(x)的变化情况如表所示： 0 (0,2) (2,3) '(x) 0 0 单调递 单调递 f(x) 5 -15 减 增 当x=0时，x)在区间[0,3]上取得最大值，最大值为5，当x=2时，f(x)在区间[0,3] 上取得最小值，最小值为-15.-10分 (3)f'(x)=6x2-6x-12=6(x-2)(x+1),令f'(x)=0得x=2或x=-1. 当x<-1时，f'(x)>0,y=f(x)单调递增：当-1<x<2时，f'(x)<0,y=f(x)单调递 减： 当x>2时，f'(x)>0,y=f(x)单调递增.-12分 由函数单调性可知：f(x)在x=-1处取得极大值，且极大值为，f(-1)=12, f(x)在x=2处取得极小值，且极小值为f(2)=-15,-14分 又x→-0时，f(x)→-0，x→+0时，f(x)→+0， 若曲线y=f(x)与直线y=c有3个不同的交点，则C需介于极大值和极小值之间， 所以-15<c<12,即c的取值范围是：（-15,12).--15分 18. 【详解】(1)设等差数列{an}公差为d(d≠0)，a1=1,a2,a4,ag成等比数列，则a=a2·as, -1分 所以(1+3d)2=(1+d)1+7d),解得d=1或d=0（舍去)，-3分 所以an=n(neN);-4分 (2)设fo=nx-x+1fm=1=0,当x≥1时，f')≤0，f)单调递减， f(x)x=f0)=0,所以nx-x+1≤0，--7分 由（1)可知an≥1， 则有nan-an+1≤0，所以不等式lnan≤an-l恒立.-9分 9因为}千安}0，所以要名+公}e, 只需证： 08】2一0分 根据(2)可知lnan≤a-1,那么ln(1+an)≤a, 》号 =2g4-42.-6分 所以+安安}-+安一分 19【详解1a爵致的定义线为Q+.了创=2ax4(u-习@-2x+型， ①当a≤0时，f'(x)<0,函数f(x)在(0，+∞)单调递减：---1分 1 ②当a>0时，令f'(x)=0,解得x=二， a 当x0,时，f(<0,函数（单调递减： a 1 当x∈一，+o时，f'(x)>0,函数f(x)单调递增-3分 a 综上所述，当a≤0时，函数f(x)在(0，+o)单调递减； 当a>0时.函数（在( 上单调递减， 单调递增.-4分 (2)(i)若a≤0，由(1)知，f(x)至多有一个零点，不满足题意；5分 若a>0,由(1)知.当x=后时，f)取得最小值，最小值为/日1启+m。 因为当x后j时，fe)-+ha小 所以重数/有两个等点当且议当侣}0一7分 设g(a)=na-+l,函数g(a)在(0，+o)单调递增， 因为g(1)=0,g(a)<0的解集为a∈(0,1)： 综上所述，a的取值范围是(0,1).-9分 (i)因为f(x)=(x2+x)a-2x-nx,由f(①=2a-2<0,结合(i)知0<x<1,-10 分 要证xf'(x)>-2,即证(2x+1)(ax,-1)>-2,即ax(2x。+1)>2x。-1, 当0<七号时，因为心，(2s+1>0,25-1s0,不等式恒成立-11分 当<1时，自化)=0得6+)=+2 即证(2x。+1)(nx,+2x)>(2x-1)(x+1) 即证w22x=2线1”2x 2x+1 2x+1 即证lnx+,+2x,+1 1 >0.-14分 2 2 -+1- 设p(x)=lnc+x+ 12>0 2 所以p()在兮单调递增所以p()>p)-h2+0,故原不等式成立 所以xf'(x）>-2.-17分