辽宁鞍山市海城市高级中学2025-2026学年高二下学期期中数学复习卷三

**基本信息** 高二下期中复习卷，聚焦数列、导数、统计核心知识，通过解答题（如游泳馆优惠券销售回归分析）考查数学建模与逻辑推理，适配期中复习的知识巩固与能力提升需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选|8/40|等差等比、导数瞬时速度|基础概念辨析| |多选|3/18|数列单调性、导数图像|多维度思维考查| |填空|3/15|数列前n项和、函数极值点|抽象问题转化| |解答|5/60|数列与导数综合、统计回归|实际情境建模（如第19题）|

高二下期中复习三 一、单项选择题：本大题共8小题，共40分。 1.已知等差数列的首项为1，若，，成等比数列，则的第5项为(    ) A. 1 B. C. 或1 D. 或1 2.在一次高台跳水运动中，某运动员在运动过程中的重心相对于水面的高度单位：与起跳后的时间单位：存在函数关系，则该运动员在时的瞬时速度为     A. B. C. D. 3.若数列满足且，，则     A. B. C. D. 4.若函数无极值，则a的取值范围是(    ) A. B. C. D. 5.下表为某外来生物物种入侵某河流生态后的前3个月繁殖数量单位：百只的数据，通过相关理论进行分析，知可用回归模型对y与t的关系进行拟合，则根据该回归模型，预测第7个月该物种的繁殖数量为(    ) 第t个月 1 2 3 繁殖数量y A. 百只 B. 百只 C. 百只 D. 百只 6.已知定义在的函数，满足，且，则的值为(    ) A. B. C. D. 7.已知函数，过点可向曲线引3条切线，则实数a的取值范围为     A. B. C. D. 8.已知是函数的导函数，对于任意实数x都有，，则不等式的解集为(    ) A. B. C. D. 二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。 9.设等差数列的公差为d，前n项和为，若，，，则下列结论正确的是(    ) A. 数列是递增数列 B. C. D. ，，⋯，中最大的是 10.已知函数的导函数的图象如图所示，则下列说法正确的是     A. 函数在上单调递增 B. 函数至少有2个极值点 C. 函数在上单调递减 D. 函数在处取得极大值 11.已知数列的前n项和为，则下列说法正确的有(    ) A. 若是等比数列，，，则 B. 若，则… C. 若是等差数列，，若，则 D. 若，，则 三、填空题：本大题共3小题，共15分。 12.设为等差数列的前n项和，且，，则          . 13.函数的极小值点为          . 14.已知曲线，第一象限内的点和第二象限内的点都在曲线C上，且直线过点按照如下方式依次构造点…：过点作曲线C的切线与x轴交于点，过点作x轴的垂线与曲线C相交于点，设点的横坐标为用同样的方式构造点…，设点的坐标为，则数列的前n项和为      . 四、解答题：本大题共5小题，共60分。 15.已知数列为等差数列，，，等比数列的公比为，， 求数列和的通项公式； 设，求数列的前n项和 16.设函数 若，求在处的切线方程； 讨论函数的单调性； 若恒成立，求实数a的取值范围. 17.已知数列满足 证明：数列为等差数列； 设，记数列的前n项和为 求； 若成立，求m的取值范围． 18.已知函数 讨论函数的单调性； 若，求证：对且，都有 19.某市一室内游泳馆，为给顾客更好的体验，推出了A、B两个套餐服务，顾客可自由选择A、B两个套餐之一，该游泳馆在App上推出了优惠券活动，如表是App平台统计某周内周一至周六销售优惠券情况. 星期t 1 2 3 4 5 6 销售量张 218 224 230 232 236 90 经计算可得： 参考公式： 因为优惠券销售火爆，App平台在周六时出现系统异常，导致当天顾客购买优惠券数量大幅减少，现剔除周六数据，求y关于t的经验回归方程； 若购买优惠券的顾客选择A套餐的概率为，选择B套餐的概率为，并且A套餐包含两张优惠券，B套餐包含一张优惠券，记App平台累计销售优惠券为n张的概率为，求； 请根据下列定义，解决下列问题： 定义：如果对于任意给定的正数，总存在正整数，使得当时，是一个确定的实数，则称数列收敛于 运用：记中所得概率的值构成数列求的最值，并证明数列收敛. 答案和解析 1.【答案】A  【解析】解：设等差数列的公差为d， 由于，，成等比数列， 则，即，解得， 故 故选： 2.【答案】C  【解析】【分析】利用导数来求瞬时速度即可求解. 【详解】因为，所以，令，得， 即该运动员在时的瞬时速度为 故选： 3.【答案】D  【解析】【分析】利用递推思想，结合累加法和裂项相消法即可求解. 【详解】由，可得： ，累计可得：， 故选： 4.【答案】D  【解析】解：若函数无极值， 则没有变号零点，即， 解得 故选： 5.【答案】D  【解析】解：由两边取自然对数得， 令，则， ，， 回归直线必过样本点的中心，， ， ， 则， 当时， 故选： 6.【答案】B  【解析】解：根据题意，设， 定义在的函数满足，即， 变形可得， 由于，则， 则数列是首项为0，公差为的等差数列， 则， 则有，即 故选： 7.【答案】B  【解析】【分析】设切点后由导数的意义得到切线方程，代入转化为三次方程有三个不同实数根问题，构造函数求导得到极值点和极值，再根据三次方程有三个不同根的条件计算. 【详解】设切点为， 由可得，所以切线的斜率为， 所以切线方程为， 由点在切线上代入可得， 即三次方程有三个不同的实数根， 令，则， 所以极值点为和， 又极值点处函数值为， 三次方程有三个不同实数根的充要条件是极值点处函数值异号， 所以，解得 故选：B 8.【答案】A  【解析】解：令，① 则， 因为， 所以， 即， 所以，② 由①②得， 所以， 又， 所以， 所以， 所以， 所以不等式， 可得， 解得或 故选： 9.【答案】BD  【解析】解：根据题意，依次分析选项： 对于A，因为，即， 且， 所以，， 则，数列是递减数列，故A错误； 对于B，因为，，故B正确； 对于C，，，， 则有，解得，故C错误； 对于D：因为等差数列是递减数列， 且，，则，， 所以……，……，故D正确． 故选： 10.【答案】ABC  【解析】【分析】利用导函数的正负来判断原函数的单调性，利用导函数的变号零点来判断原函数的极值点即可． 【详解】 根据的图象可知：函数在上单调递增，故A正确； 根据的图象可知：有三个解，其中和是导函数的变号零点， 而是不是导函数的变号零点，故函数有2个极值点，故B正确； 根据的图象可知：在时，，所以函数在上单调递减，故C正确； 根据的图象可知：有三个解，其中和是导函数的变号零点， 而是不是导函数的变号零点，故函数在处无极值，故D错误； 故选： 11.【答案】BCD  【解析】解：对于A，因为若是等比数列，，， 所以，，成等比数列， 所以， 所以，所以，所以A选项错误； 对于B，因为，所以是等差数列， 令，得， 所以… ，所以B选项正确； 对于C，因为，所以， 所以，所以C选项正确； 对于D，因为， 所以， 所以，又， 所以是首项与公差均为1的等差数列， 所以， 所以，所以，故D正确． 故选： 12.【答案】  【解析】【分析】根据题意，由等差数列前n项和的性质，代入计算，即可得到结果. 【详解】因为为等差数列的前n项和，则成等差数列， 且，，则，则其公差为， 所以， 所以 故答案为： 13.【答案】  【解析】【分析】根据题意，求导可得，令，再由极值点的定义，即可得到结果. 【详解】由可得， 令可得，即，解得， 当时，，即单调递减， 当时，，即单调递增， 所以是的极小值点. 故答案为： 14.【答案】  【解析】解：因为第一象限内的点和第二象限内的点都在曲线C上，且直线过点， 设直线方程为，联立方程消去y得， 所以， 由求导可得， 由题意可得点在曲线C上，则， 过点的切线方程为，代入整理得， 令解得，根据题意可得，即， 所以数列是公比为的等比数列，同理可得也是公比为的等比数列， 所以，所以， 所以数列是首项为，公比为的等比数列， 所以数列的前n项和 故答案为： 先设出直线方程为，与曲线方程联立利用韦达定理可得，再利用导数的几何意义求点的坐标得到数列的递推关系式，进而得到通项公式，最后根据等比数列的前n项和公式求解即可． 本题考查了数列和抛物线的综合应用，属于中档题． 15.【答案】解：在等差数列中，，，公差， 所以数列的通项公式为； 在等比数列中，，由，得， 解得，，而，因此， 所以数列的通项公式是 由知，   【解析】根据给定条件，求出公差得数列的通项；利用等比数列性质求出得数列的通项. 由的结论，利用分组求和法，结合公式法求得解. 16.【答案】解：若，则，得， 则，， 所以在处的切线方程为， 整理得； 由，则， 当时，恒成立，则在上单调递增； 当时，令，解得， 时，，则在上单调递增； 时，，则在上单调递减． 综上，当时，在上单调递增； 当时，在上单调递增，在上单调递减． 由题意恒成立， 因为，即得恒成立，即， 记，则， 令，得， 令，得，令，可得， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以， 所以，即实数a的取值范围为  【解析】详细解答和解析过程见【答案】 17.【答案】解：证明：因为，即， 所以数列是以为首项，3为公差的等差数列； 由知， 所以， 所以， 所以， ， 所以 ， 所以； 因为， 所以， 令， 不妨设的第n项取得最大值， 所以，解得， 所以的最大值为， 所以，即m的取值范围是   【解析】详细解答和解析过程见【答案】 18.【答案】解： 因为，定义域为， 所以 当时，令，得或，令，得， 所以函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增． 当时，恒成立，所以函数在上单调递增． 当时，令，得或，令，得， 所以函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增． 不妨设，则，要证对，都有， 只需证，即需证 构造函数，则要证，需证函数在上为增函数， 因为， 所以函数在上为增函数成立， 所以当时，对且，都有   【解析】，根据a与1的大小关系分类讨论，根据导数的正负判断函数的单调性； 设，要证，即证，构造新函数，证明函数在上单调递增即可． 19.【答案】解：由题意，，， ， ， 关于t的经验回归方程为 解：由题意，可知，， 当时，，即， 当时，数列为各项都为1的常数列， 即， ，，又， 数列为首项为，公比为的等比数列， ，即 证明：由第二问可知，， 当n为奇数时，，且随n的增大而增大， 的最小值为， 当n为偶数时，，且随n的增大而减小， 的最大值为； 综上，的最小值为，最大值为 对于任意，总存在正整数，其中表示不超过x的最大整数， 当时，， 数列收敛于  【解析】计算出新数据的相关数值，代入公式求出的值，进而得到经验回归方程； 由题意可知时，，其中，，构造等比数列，再利用等比数列的通项公式求解； 分n为偶数和奇数两种情况讨论，结合指数函数的单调性求解；利用数列收敛的定义，准确推理、运算，即可得证． 本题主要考查经验回归方程的求法，概率的求法，数列的应用，考查运算求解能力，属于难题． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $