2026届高考数学考前概率统计保温抢分练

**基本信息** 2026高考概率统计保温抢分练，35分钟72分，以春晚机器人、信息熵、医疗数据等真实情境为载体，强化三轮冲刺阶段的实战应用与核心素养提升。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|6题/32分|正态分布、互斥事件概率、信息熵、统计量|单选结合春晚机器人落地概率，多选融入草莓销售数据，考查数据意识| |填空题|2题/10分|古典概型、随机变量分布|抛掷骰子事件关系与硬币游戏终止条件，体现数学思维的逻辑性| |解答题|2题/30分|独立性检验、分布列、分层抽样|治疗方案疗效研究（列联表+分层抽样）、景区游客调查（分布列+概率计算），强化模型观念与应用意识|

2026高考考前概率统计保温抢分练 （建议35分钟完成 总分72分） 一、选择题：题共4题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知随机变量，且，则（ ） A. 0.2 B. 0.3 C. 0.4 D. 0.6 2. 2026年央视春晚舞蹈机器人节目《武Bot》惊艳全球！其中，机器人以“似倒非倒”的姿态将醉拳的飘逸与力量完美融合.根据系统日志，一个机器人执行“后空翻”任务时，落地状态仅存在三种互斥的情况： ①平稳落地（概率为0.7）：动作精准，必定能站稳； ②踉跄落地（概率为0.2）：重心略偏，能站稳； ③近乎倒地（概率为0.1）：姿态失衡，能站稳. 则这个机器人执行后空翻任务时能站稳的概率为（ ） A. 0.9 B. 0.91 C. 0.92 D. 0.93 3. 已知随机事件A、B，表示事件B的对立事件，，，则下面结论正确的是（ ） A. 事件A与B一定是对立事件 B. C. D. 若事件A、B相互独立，则 4. 当今社会，每天都有海量信息通过网络等渠道快速传播，虽提供了丰富知识和多样视角，但也存在信息过载、虚假信息等问题，需要我们谨慎筛选辨别.信息熵是信息论中的一个重要概念，它是由克劳德·艾尔伍德·香农在20世纪40年代提出，借鉴了热力学的概念，信息熵的数学定义为，其中表示随机变量的信息熵，随机变量所有可能的取值为，，且.若随机变量所有可能的取值为1，2，，若，则的信息熵的值所在的区间为（ ）（参考数据：，） A. B. C. D. 二、选择题：本题共2题，每小题6分，共12在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 5. 草莓是深受广大消费者喜爱的水果之一.一家水果店的老板为了了解本店草莓的日销售情况，记录了过去一周（7天）的日销售量，结果如下（单位：kg）：43，52，46，55，45，53，49，则下列说法正确的有（ ） A. 该水果店过去7天草莓的平均日销售量为 B. 这组数据的上四分位数（即75%分位数）是52 C. 从这7天中任选两天，则这两天的草莓日销售量均大于平均日销售量的概率为 D. 已知第8天的日销售量为，若将49加入这组数据，则这组数据的方差会变小 6. 已知相关系数，y关于x的经验回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，，残差平方和为.已知变量x与变量y的部分数据，建立由最小二乘法得到的两个回归模型：以x为自变量，y为因变量，得出的经验回归方程为；以y为自变量，x为因变量，得出的经验回归方程为.若两个模型的计算均无误，则下列判断正确的是（ ） A. 若已知变量x的方差，则可知变量y的标准差 B. 若不给定其他信息，则也可得知变量x与变量y各自的平均值 C. 若不给定其他信息，则也可得知变量x与变量y的相关系数 D. 若已知变量x的标准差，则可知以y为自变量的回归模型的残差平方和 三、填空题：本题共2题，每小题5分，共10分. 7. 抛掷一枚骰子一次，观察向上一面的点数，将结果记作．若事件，事件，事件C满足，则事件C的个数为____ 8.. 连续抛掷一枚质地均匀的硬币（正面向上和反面向上的概率均为），当向上的结果出现“正面-反面”或“反面-正面”时，游戏结束.若抛掷50次，向上的结果没有出现“正面-反面”或“反面-正面”，游戏也结束.游戏结束时，记抛掷总次数为，若（为正整数），则的最小值为__________. 四、解答题：本题共2小题，共30分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 9. 为研究甲、乙两种治疗方案的疗效，从选择甲、乙方案进行治疗的患者中随机抽取2000名得到如下列联表： 效果明显 效果不明显 合计 甲方案 1000 200 1200 乙方案 600 200 800 合计 1600 400 2000 （1）根据小概率值的独立性检验，分析治疗效果与选择甲、乙方案是否有关联； （2）在800名选择乙方案的患者中按效果是否明显用分层随机抽样的方法抽取8人，再从这8名患者中随机抽取4人，设表示4名患者中效果不明显的人数，求的分布列和数学期望． 附：． 0.1 0.01 0.001 2.706 6.635 10.828 10. 近几年，我国旅游兴起.某个知名景区为提高服务质量，随机抽取了300名到该景区旅游的游客做问卷调查，其中甲、乙、丙三个省的游客人数恰好分别为：30，90，60，其他省的有120人．假设景区中的每名游客都对应一个随机的不同的景区票号． （1）按省份进行分层随机抽样，从调查的这些游客景区票号中随机抽取10个号，再从这10个中随机选4个，该景区奖励这4个号对应的游客每人一份大礼包，记抽取到乙、丙两个省的人数分别为，，设，求X的分布列与期望； （2）若景区邀请这些被抽到的甲、乙、丙三省的游客按照票号从小到大的顺序参加一项游戏，且每一个游客都参加，做完游戏后每人可领取一份纪念品，求甲省游客先于乙、丙两省游客完成游戏（甲省被抽到的所有游客完成游戏后，乙、丙两个省都还有被抽到的游客未完成游戏）的概率； （3）若这次问卷调查抽取的各省游客作为样本，把样本中丙省游客的频率作为景区所有游客中丙省游客的概率，从该景区所有游客票号中随机抽取30个，给予这30人全年免票游玩，丙省游客最有可能被抽取到多少人？ 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026高考考前概率统计保温抢分练 （建议35分钟完成 总分72分） 一、选择题：本题共4题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知随机变量，且，则（ ） A. 0.2 B. 0.3 C. 0.4 D. 0.6 【答案】B 【解析】因为，由正态分布的对称性可知，关于对称， 又因为，所以， 则 所以 2. 2026年央视春晚舞蹈机器人节目《武Bot》惊艳全球！其中，机器人以“似倒非倒”的姿态将醉拳的飘逸与力量完美融合.根据系统日志，一个机器人执行“后空翻”任务时，落地状态仅存在三种互斥的情况： ①平稳落地（概率为0.7）：动作精准，必定能站稳； ②踉跄落地（概率为0.2）：重心略偏，能站稳； ③近乎倒地（概率为0.1）：姿态失衡，能站稳. 则这个机器人执行后空翻任务时能站稳的概率为（ ） A. 0.9 B. 0.91 C. 0.92 D. 0.93 【答案】D 【解析】. 3. 已知随机事件A、B，表示事件B的对立事件，，，则下面结论正确的是（ ） A. 事件A与B一定是对立事件 B. C. D. 若事件A、B相互独立，则 【答案】D 【解析】对于AB，一个密封的盒子中有标号为1,2，3,4,5的5个小球从中任取1球， 记事件A：从中取出球的标号为1,2，事件：从中取出球的标号为1,2,3， 则，满足，但不是对立事件，故A错误； 由上例可知，故B错误； 对于C，仅在事件A、B相互独立时才成立，而不知道事件A、B的关系，故不确定的值，故C错误. 对于D，若事件A、B相互独立，则事件A、也相互独立， 所以，故D正确. 4. 当今社会，每天都有海量信息通过网络等渠道快速传播，虽提供了丰富知识和多样视角，但也存在信息过载、虚假信息等问题，需要我们谨慎筛选辨别.信息熵是信息论中的一个重要概念，它是由克劳德·艾尔伍德·香农在20世纪40年代提出，借鉴了热力学的概念，信息熵的数学定义为，其中表示随机变量的信息熵，随机变量所有可能的取值为，，且.若随机变量所有可能的取值为1，2，，若，则的信息熵的值所在的区间为（ ）（参考数据：，） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】因为随机变量 服从两点分布，所以 ，由题意： ， 所以 ， ， 所以 设 ， 则 ， ， 因为当，，当，， 所以 在 上递增， 上递减， 所以 ，且 ， 显然 ， 又 ， 代入： ，得 ，所以 ， 综上： ，即 . 二、选择题：本题共2题，每小题6分，共12分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 5. 草莓是深受广大消费者喜爱的水果之一.一家水果店的老板为了了解本店草莓的日销售情况，记录了过去一周（7天）的日销售量，结果如下（单位：kg）：43，52，46，55，45，53，49，则下列说法正确的有（ ） A. 该水果店过去7天草莓的平均日销售量为 B. 这组数据的上四分位数（即75%分位数）是52 C. 从这7天中任选两天，则这两天的草莓日销售量均大于平均日销售量的概率为 D. 已知第8天的日销售量为，若将49加入这组数据，则这组数据的方差会变小 【答案】ACD 【解析】对于A，易知一周平均日销售量为，即A正确； 对于B，这组数据从小到大排列为43，45，46，49，52，53，55， 又，因此这组数据的上四分位数为第6个数，即53，因此B错误； 对于C，七日销售量中大于平均日销售量的天数为3天， 因此从这7天中任选两天共有种组合，所求概率为，即C正确； 对于D，易知这组数据的方差为； 若将49加入这组数据可知其方差为，可得D正确. 6. 已知相关系数，y关于x的经验回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，，残差平方和为.已知变量x与变量y的部分数据，建立由最小二乘法得到的两个回归模型：以x为自变量，y为因变量，得出的经验回归方程为；以y为自变量，x为因变量，得出的经验回归方程为.若两个模型的计算均无误，则下列判断正确的是（ ） A. 若已知变量x的方差，则可知变量y的标准差 B. 若不给定其他信息，则也可得知变量x与变量y各自的平均值 C. 若不给定其他信息，则也可得知变量x与变量y的相关系数 D. 若已知变量x的标准差，则可知以y为自变量的回归模型的残差平方和 【答案】ABC 【解析】对于C，由所给公式得，且回归系数为负数，故相关系数，C正确. 对于A，设变量x与变量y的标准差分别为，， ，， 标准差， 变形可得， 将其代入到得， 整理得，将其代入到， 整理得，代入已知数据得， 即，若已知变量x的方差，即可求得，进而代入上式求得，A正确. 对于B，经验回归直线经过样本中心点， 代入两个回归方程得与，解得，， 故不给定其他信息也可得知变量x与变量y各自的平均值，B正确. 对于D，设以y为自变量的经验回归方程为（其中）， 则变量x的残差平方和为 ，由于样本量n未知，故无法算出残差平方和的具体数值，D错误. 三、填空题：本题共2题，每小题5分，共10分. 7. 抛掷一枚骰子一次，观察向上一面的点数，将结果记作．若事件，事件，事件C满足，则事件C的个数为____ 【答案】9 【解析】根据题意，得到,,则，当，，等式成立； 当，，； C中含6，从1,2,3,5的4个元素中选3个，共种. 同理，当也有4种，共种. 8.. 连续抛掷一枚质地均匀的硬币（正面向上和反面向上的概率均为），当向上的结果出现“正面-反面”或“反面-正面”时，游戏结束.若抛掷50次，向上的结果没有出现“正面-反面”或“反面-正面”，游戏也结束.游戏结束时，记抛掷总次数为，若（为正整数），则的最小值为__________. 【答案】3 【解析】抛掷总次数 ，其中， . 所以 相减得 . 所以，所以正整数的最小值为3． 故答案为：3. 四、解答题：本题共2小题，共30分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 9. 为研究甲、乙两种治疗方案的疗效，从选择甲、乙方案进行治疗的患者中随机抽取2000名得到如下列联表： 效果明显 效果不明显 合计 甲方案 1000 200 1200 乙方案 600 200 800 合计 1600 400 2000 （1）根据小概率值的独立性检验，分析治疗效果与选择甲、乙方案是否有关联； （2）在800名选择乙方案的患者中按效果是否明显用分层随机抽样的方法抽取8人，再从这8名患者中随机抽取4人，设表示4名患者中效果不明显的人数，求的分布列和数学期望． 附：． 0.1 0.01 0.001 2.706 6.635 10.828 【解】（1）零假设为：治疗效果与选择甲、乙方案无关联， ， 根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，故治疗效果与选择甲、乙方案有关联． （2）根据分层随机抽样方法可知，从效果明显的患者中抽取名，从效果不明显的患者中抽取名， 的取值分别为0，1，2， 则， 所以的分布列为 0 1 2 ． 10. 近几年，我国旅游兴起.某个知名景区为提高服务质量，随机抽取了300名到该景区旅游的游客做问卷调查，其中甲、乙、丙三个省的游客人数恰好分别为：30，90，60，其他省的有120人．假设景区中的每名游客都对应一个随机的不同的景区票号． （1）按省份进行分层随机抽样，从调查的这些游客景区票号中随机抽取10个号，再从这10个中随机选4个，该景区奖励这4个号对应的游客每人一份大礼包，记抽取到乙、丙两个省的人数分别为，，设，求X的分布列与期望； （2）若景区邀请这些被抽到的甲、乙、丙三省的游客按照票号从小到大的顺序参加一项游戏，且每一个游客都参加，做完游戏后每人可领取一份纪念品，求甲省游客先于乙、丙两省游客完成游戏（甲省被抽到的所有游客完成游戏后，乙、丙两个省都还有被抽到的游客未完成游戏）的概率； （3）若这次问卷调查抽取的各省游客作为样本，把样本中丙省游客的频率作为景区所有游客中丙省游客的概率，从该景区所有游客票号中随机抽取30个，给予这30人全年免票游玩，丙省游客最有可能被抽取到多少人？ 【解】（1）分层抽样比例为，因此，甲省抽取人，乙省抽取人， 丙省抽取人，其他省抽取人，从10人中选4人，设乙省人数为， 丙省人数为，，可取，可取，且. 时，； 时，； 时，； 时，； 所以分布列为： 0 1 2 3 所以数学期望为. （2）记事件：表示甲省游客先于乙、丙两省游客完成游戏； 事件：表示最后完成游戏的游客是乙省游客； 事件：表示最后完成游戏的游客是丙省游客； 所以. . （3）设丙省游客被抽到的人数为，丙省游客的概率是， 则， 当，即时，， 当，即时，， 所以 所以当时，最大. 故丙省游客最有可能被抽取到6人. 学科网（北京）股份有限公司 $