考点19 简单几何体的表面积与体积练习-2025-2026学年高二下学期数学学考复习

考点19 简单几何体的表面积与体积 基础巩固 1.(2024浙江嘉兴模拟预测)已知四面体P-ABC的每条棱长都为2,若球O与它的每条棱都相切,则球O的体积为(　　) A.π B.π C.π D.2π 2.如图,梯形A1B1C1D1是一水平放置的平面图形ABCD在斜二测画法下的直观图.若A1D1平行于y1轴,A1B1∥C1D1,A1B1=C1D1=3,A1D1=1,则四边形ABCD的面积是(　　) A.14 B.7 C.7 D.14 3.(2024新高考Ⅰ卷)已知圆柱和圆锥的底面半径相等,侧面积相等,且它们的高均为,则圆锥的体积为(　　) A.2π B.3π C.6π D.9π 4.如图,三棱锥D'-A'CD的体积与长方体ABCD-A'B'C'D'体积的比值为(　　) A. B. C. D. 5.已知轴截面是正方形的圆柱的高与球的直径相等,则圆柱的表面积与球的表面积的比是(　　) A.1∶1 B.5∶4 C.4∶3 D.3∶2 6.在三棱锥P-ABC中,PA,AB,AC两两垂直,AP=3,BC=6,则三棱锥外接球的表面积为(　　) A.57π B.63π C.45π D.84π 7.(多选)(2025浙江7月学考)用一个平面截取一个正方体,所得截面的形状可能是(　　) A.六边形 B.五边形 C.直角三角形 D.矩形 8.(多选)如图,AC为圆锥底面圆的直径,点B是圆O上异于A,C的点,SO=OC=2,则下列结论正确的是(　　) A.圆锥SO的侧面积为8π B.三棱锥S-ABC体积的最大值为 C.∠SAB的取值范围是() D.若AB=BC,E为线段AB上的动点,则SE+CE的最小值为2(+1) 9.(多选)直三棱柱ABC-A1B1C1的六个顶点均位于一个半径为1的球的球面上,已知三棱柱的底面为锐角三角形,∠BAC=,BC=1,那么该直三棱柱的体积可能是(　　) A. B. C. D. 10.(2025浙江7月学考)若长方体的长、宽、高分别为3,4,5,则此长方体的外接球直径长为　　　　.  11.在圆柱内有一个球O,该球与圆柱的上、下底面及母线均相切.记圆柱的体积为V1,球O的体积为V2,则的值是　　　　.  12.如图,在长方体ABCD-A'B'C'D'中,AB=12,BC=10,AA'=6,过A'D'作长方体的截面A'D'EF使它成为正方形. (1)求三棱柱AA'F-DD'E的外接球的表面积; (2)求VB-A'D'EF. 能力提升 13.已知球的半径为R,一等边圆锥(圆锥母线长与圆锥底面圆直径相等)位于球内,圆锥顶点在球上,底面与球相接,则该圆锥的表面积为(　　) A.R2 B.R2 C.R2 D.R2 14.(多选)已知正三棱锥的侧棱长为4,底面边长为6,则(　　) A.正三棱锥的表面积为9+27 B.正三棱锥的高为6 C.正三棱锥的体积为18 D.正三棱锥的外接球的表面积为64π 15.如图,平面ABC⊥平面BCDE,四边形BCDE为矩形,BE=2,BC=4,△ABC的面积为2,点P为线段DE上一点,当三棱锥P-ACE的体积为时,=　　　　　.  16.如图,在三棱锥P-ABC中,PC=4,PC⊥底面ABC,AB=BC=3,∠ABC=120°. (1)求三棱锥P-ABC的体积; (2)求三棱锥P-ABC外接球的表面积. 参考答案 基础巩固 1.B　解析 将正四面体P-ABC补成如图所示的正方体.因为球O与正四面体的每条棱都相切,则球O为正方体的内切球.设正方体的棱长为a,则正四面体P-ABC的棱长为=2,则a2=2,解得a=,故球O的半径r=,所以球O的体积为V=πr3=π.故选B. 2.B　解析 因为A1D1平行于y1轴,则在平面图形中,AD平行于y轴,则AD⊥DC,且AD=2A1D1=2. 因为在直观图中,A1B1∥C1D1,A1B1=C1D1=3,则在平面图形ABCD中,AB∥CD,AB=CD=3, 即四边形ABCD是上底和下底边长分别为3,4,高为2的直角梯形,如图所示,故其面积S=×(3+4)×2=7. 故选B. 3.B　解析 ∵圆柱和圆锥的底面半径相等,∴可设圆柱和圆锥的底面半径为r.又圆柱和圆锥的高均为,∴圆柱的侧面积为2πr·,圆锥的侧面积为πr·=πr·.又圆柱和圆锥的侧面积相等,∴2πr·=πr·,∴r2=9.∴圆锥的体积为·πr2··π·9·=3π. 4.C　解析 设AB=a,AD=b,AA'=c,因为A'D'⊥平面D'DC,所以VD'-A'CD=VA'-D'DC=abc=abc. 因为V长方体ABCD-A'B'C'D'=abc,所以棱锥D'-A'CD的体积与长方体ABCD-A'B'C'D'体积的比值为,故选C. 5.D　解析 由题意,圆柱的轴截面是正方形,假设圆柱的高为a,则底面圆的直径也为a,则圆柱的表面积为2×π×()2+2π××a=πa2,因为球的直径也为a,所以球的表面积为4×π×()2=πa2,则圆柱的表面积与球的表面积的比为3∶2,故选D. 6.C　解析 由于PA,AB,AC两两垂直,故该三棱锥可补全为一个长方体,该三棱锥的外接球也是该长方体的外接球. 因为长方体外接球的半径为长方体体对角线的一半,所以R=,故三棱锥外接球的表面积为S=4πR2=45π,故选C. 7.ABD　解析 如图1,用一个平面去截正方体,截面为六边形,故A正确; 图1 如图2,用一个平面去截正方体,截面为五边形,故B正确; 图2 如图3,截面为△ABC,点O为正方体的顶点,在三棱锥O-ABC中,OA,OB,OC两两垂直. 图3 若△ABC为直角三角形,不妨令∠BAC=90°,则BC2=AB2+AC2,又AC2=OA2+OC2,AB2=OA2+OB2,BC2=OB2+OC2,化简得2OA2=0,故矛盾,则△ABC不为直角三角形,故C错误; 如图4,用一个平面去截正方体,截面ACC1A1为矩形,故D正确. 图4 故选ABD. 8.BD　解析 由题得,SC=2,故圆锥侧面积为S=π·OC·SC=π×2×2=4π,故A错误; 因为点B在圆周上,故当AB=BC时,△ABC的面积取最大值,为×4×2=4,则三棱锥S-ABC体积的最大值为×4×2=,故B正确; cos∠SAB=. 又在△ABC中,0<AB<4,所以0<cos∠SAB<,所以<∠SAB<,故C错误; 当AB=BC时,把△SAB和△ABC展开,使这两个三角形共面,如图. 连接SC,得SE+CE的最小值是SC,此时,AB=BC=2=SA=SB,AB⊥BC,∠SBC=150°, 故SC===2(+1),故D正确. 故选BD. 9.BCD　解析 设△ABC外接圆的半径为r,则2r=,则r=.设直三棱柱ABC-A1B1C1的高为h,则r2+()2=12,即()2+()2=12,则h=.在锐角三角形ABC中,A=,BC=1,由正弦定理,得,则AC=sin B,AB=sin C,则AC·AB=sin Bsin C=sin Bsin(A+B)=sin B(cos B+sin B)=sin Bcos B+sin2B=sin 2B-cos 2B+sin(2B-)+. 因为解得<B<, 所以2B-∈(),所以sin(2B-)∈(,1],所以AC·AB∈(,1],所以S△ABC=AC·ABsin A=AC·AB∈(],所以=S△ABC·h=S△ABC∈(].故选BCD. 10.5　解析 长方体的体对角线长度为=5,又根据长方体的几何特征,可得此长方体的外接球直径长为5. 11.　解析 设球O的半径为r,因为球O与圆柱的上、下底面及母线均相切,所以圆柱的底面半径为r、高为2r,所以. 12.解 (1)因为截面A'D'EF为正方形,所以A'D'=A'F=BC=10.在Rt△A'AF中,AA'2+AF2=A'F2,即62+AF2=102,解得AF=8.在直三棱柱AA'F-DD'E中,底面三角形A'AF的外接圆半径为A'F=×10=5,直三棱柱AA'F-DD'E的外接球球心到平面A'AF的距离为×10=5.设三棱柱的外接球半径为R,则R==5,所以S=4πR2=200π. (2)因为VB-A'D'EF=2VB-A'EF=2VA'-BEF, 又在长方体中,AA'⊥平面BEF,所以三棱锥A'-BEF的高为AA'=6,所以VB-A'D'EF=2××S△BEF×A'A=2××(×EF×BF)×6=2××10×4×6=80. 能力提升 13.B　解析 如图,设圆锥的底面半径为r,母线长为2r,则圆锥的高为r,则R2=r2+(r-R)2,解得r=R,则圆锥的表面积为S=πr2+πr·2r=3πr2=3π(R)2=R2,故选B. 14.BCD　解析 如图,在正三棱锥P-ABC中,过点P作PD⊥AB交AB于点D,过点P作PO⊥平面ABC,H为其外接球球心,则点H在PO上,连接CH. 对于A,PD=,故正三棱锥的表面积为3××6××6×6×=9+9,故A错误; 对于B,CD==3,DO=CD=,故PO==6,故B正确; 对于C,正三棱锥的体积为×6××6×6×=18,故C正确; 对于D,设外接球半径为R,CO=CD=2,由CH2=CO2+OH2,可得R2=(2)2+(6-R)2,解得R=4,故外接球表面积为4πR2=64π,故D正确.故选BCD. 15.　解析 如图,过点A作AF⊥BC,交CB的延长线于点F. ∵平面ABC⊥平面BCDE,平面ABC∩平面BCDE=BC,AF⊂平面ABC, ∴AF⊥平面BCDE. 由BE=2,BC=4,△ABC的面积为2,得BC·AF=×4AF=2,∴AF=,则VD-ACE=VA-CDE=×DE×BE×AF=×4×2×. ∵VP-ACE=VA-PCE=×PE×BE×AF=, ∴,则. 16.解 (1)由题意知,AB=BC=3,∠ABC=120°,PC⊥底面ABC,故S△ABC=×AB×BC×sin 120°=×3×3×,故VP-ABC=S△ABC×PC=×4=3. (2)由AB=BC=3,∠ABC=120°,可得∠ACB=30°. 设△ABC的外接圆半径为r,则2r==6,故r=3. 设△ABC的外接圆圆心为O',过点O'作平面ABC的垂线O'O,则O'O∥PC,设PC的中点为D,过点D作PC的垂线交O'O于点O,则四边形OO'CD为矩形,则点O即为三棱锥P-ABC外接球的球心, 设外接球半径为R,则R2=OC2=O'O2+O'C2=22+32=13,故三棱锥P-ABC外接球的表面积为4πR2=52π. 学科网（北京）股份有限公司 $