考点17 正弦定理、余弦定理 练习-2025-2026学年高二下学期数学学考复习

考点17 正弦定理、余弦定理 基础巩固 1.在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知2bsin A=a,则B=(　　) A. B. C. D. 2.已知△ABC的三个内角A,B,C所对的三条边分别为a,b,c,若A∶B∶C=1∶1∶4,则a∶b∶c=(　　) A.1∶1∶4 B.1∶1∶2 C.1∶1∶3 D.1∶1∶ 3.(2025浙江7月学考)已知△ABC的三个内角为A,B,C,则“cos C=0”是“△ABC为直角三角形”的(　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 4.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知csin C-(2a+b)sin B=(a-b)sin A,则C=(　　) A. B. C. D. 5.已知△ABC的三边分别为,且a2+b2=c2,则△ABC是(　　) A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.不确定 6.(多选)(2024浙江杭州六县九校期中)在△ABC中,角A,B,C的对边分别是a,b,c,下列说法正确的有(　　) A.若A>B,则cos A<cos B B.若A=30°,b=5,a=2,则△ABC有两解 C.若cos Acos Bcos C>0,则△ABC为锐角三角形 D.若a-c·cos B=a·cos C,则△ABC为等腰三角形或直角三角形 7.(多选)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,下列说法正确的有(　　) A.若A=60°,a=,则△ABC外接圆的半径等于1 B.若cos2,则此三角形为直角三角形 C.若a=3,b=4,B=,则此三角形必有两解 D.若△ABC是锐角三角形,则sin A+sin B>cos A+cos B 8.(2025浙江温州期末)已知△ABC内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若sin A=,sin C=,a=1,则c=　　　　　.  9.在△ABC中,若sin A∶sin B∶sin C=2∶3∶4,则cos C=　　　　　;当BC=1时,△ABC的面积等于　　　　　.  10.在锐角三角形ABC中,角A,B,C对应的边分别为a,b,c,△ABC的面积S=(a2+b2-c2).若24(bc-a)=btan B,则c的最小值是　　　　　.  11.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别是a,b,c,若B=,且(a-b+c)(a+b-c)=bc. (1)求cos A的值; (2)若a=5,求b的值. 12.(2024新高考Ⅰ卷)记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知sin C=cos B,a2+b2-c2=ab. (1)求角B; (2)若△ABC的面积为3+,求c. 能力提升 13.在锐角三角形ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且满足c-b=2bcos A.若λsin A-cos(C-B)<2恒成立,则实数λ的取值范围为(　　) A.(-∞,) B.(-∞,] C.(-∞,2) D.(-∞,2] 14.(多选)在锐角三角形ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,cos C=,则下列选项正确的有(　　) A.b>a B.∈(1,2) C.C=2A D.tan C> 15.在等腰三角形ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,AB=AC,D为AC的中点,BD=1,则△ABC面积的最大值为　 .  16.记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知sin A+cos A=2. (1)求A; (2)若a=2,bsin C=csin 2B,求△ABC的周长. 参考答案 基础巩固 1.D 2.D　解析 设A=x,则B=x,C=4x,所以x+x+4x=180°,解得x=30°,则A=30°,B=30°,C=120°,则a∶b∶c=sin A∶sin B∶sin C=sin 30°∶sin 30°∶sin 120°=1∶1∶. 3.A　解析 若cos C=0,在△ABC中,0°<C<180°,则C=90°,可得△ABC是直角三角形; 反之,若△ABC是直角三角形,只有当c为斜边时,才满足cos C=0. 所以“cos C=0”是“△ABC是直角三角形”的充分不必要条件. 故选A. 4.C　解析 依题意,由正弦定理得c2-(2a+b)b=(a-b)a,c2-2ab-b2=a2-ab,a2+b2-c2=-ab,=-,即cos C=-. 因为0<C<π,所以C=.故选C. 5.A　解析 设△ABC的内角A,B,C所对的边分别为,由a2+b2=c2可知,c>a且c>b,C为最大角. 因为a2+b2=c2,所以a2+b2+2ab>c2,即(a+b)2>c2,得a+b>c. 在△ABC中,由余弦定理得cos C=>0,所以C是锐角,故△ABC是锐角三角形.故选A. 6.ACD　解析 对于A,∵π>A>B>0,函数y=cos x在区间(0,π)上单调递减, ∴cos A<cos B,故A正确. 对于B,由正弦定理可得,∴sin B=>1,此时△ABC无解,故B错误. 对于C,∵cos Acos Bcos C>0,A,B,C为三角形的内角, ∴可知A,B,C均为锐角,故△ABC为锐角三角形,故C正确. 对于D,∵a-c·cos B=a·cos C,∴由正弦定理可得sin A=sin Acos C+sin Ccos B,又sin A=sin(B+C)=sin Bcos C+sin Ccos B, 因此sin Bcos C+sin Ccos B=sin Acos C+sin Ccos B⇒sin Bcos C=sin Acos C, ∴bcos C=acos C, ∴(b-a)cos C=0, ∴b=a或cos C=0,即三角形为等腰三角形或直角三角形,故D正确. 故选ACD. 7.ABD　解析 设△ABC外接圆的半径为R, 根据正弦定理,2R==2,所以R=1, 则△ABC外接圆的半径等于1,故A正确. cos2, 所以2sin C+2cos Asin C=2sin B+2sin C, 所以cos Asin C=sin B=sin[π-(A+C)]=sin(A+C)=sin Acos C+cos Asin C,所以sin Acos C=0, 在三角形中,sin A>0,所以cos C=0,所以C=,则此三角形为直角三角形,故B正确. 因为a=3,b=4,B=,所以asin B=,所以asin B<a<b,则此三角形只有一解,故C错误. 因为△ABC是锐角三角形,所以0<C<,所以<A+B<π, 所以0<-B<A<,所以sin(-B)<sin A,即cos B<sin A,同理,cos A<sin B,则sin A+sin B>cos A+cos B,故D正确.故选ABD. 8.　解析 根据正弦定理可知,,即,解得c=. 9.-　解析 设△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c, ∵在△ABC中,sin A∶sin B∶sin C=2∶3∶4, ∴a∶b∶c=2∶3∶4,设a=2k,则b=3k,c=4k,k>0, ∴cos C==-. 当BC=1时,AC=,∴△ABC的面积S=×1×sin C=. 10.　解析 由面积公式得absin C=(a2+b2-c2), 即sin C=, 所以sin C=cos C,tan C=. 因为C∈(0,),所以C=. 24(bc-a)=btan B变形得到c=. 因为B∈(0,),所以tan B>0. 由基本不等式得c=≥2,当且仅当且tan B>0,即tan B=2时,等号成立. 11.解 (1)由(a-b+c)(a+b-c)=bc, 可得a2-(b-c)2=a2-b2-c2+2bc=bc, 即a2=b2+c2-bc,即b2+c2-a2=bc, 由余弦定理可得cos A=. (2)由(1)及三角函数的基本关系式,可得sin A=,在△ABC中,由正弦定理可得,所以b==7. 12.解 (1)∵a2+b2-c2=ab, ∴cos C=. 又C∈(0,π),∴C=. ∵sin C=cos B,即sincos B, 即cos B,解得cos B=. 又B∈(0,π),∴B=. (2)由(1)知B=,C=, ∵, 即,∴b=c. 又sin A=sin(π-B-C)=sin(π-)=sin()=sincos+cossin, △ABC的面积为3+, ∴bcsin A=c2·=3+, ∴c2=8,∴c=2. 能力提升 13.B　解析 因为c-b=2bcos A,所以sin C-sin B=2sin Bcos A, 即sin Acos B+cos Asin B-sin B=2sin Bcos A,sin Acos B-sin B=sin Bcos A,sin Acos B-sin Bcos A=sin B,即sin(A-B)=sin B. 又因为A,B,C均为锐角,所以A-B∈(-),所以A-B=B,A=2B. C=π-A-B=π-3B,所以cos(C-B)=cos(π-4B)=-cos 4B=-(1-2sin22B)=2sin22B-1. 因为所以<B<. λsin A-cos(C-B)<2恒成立, 即λsin 2B-(2sin22B-1)<2⇔-2sin22B+λsin 2B+1<2⇔2sin22B-λsin 2B+1>0恒成立,其中B∈(). 因为B∈(),所以2B∈(),sin 2B∈(,1). 设t=sin 2B,t∈(,1),则有2t2-λt+1>0在(,1)内恒成立,则有λ<2t+对t∈(,1)恒成立. 又当t∈(,1)时,2t+,所以λ≤. 故选B. 14.ACD　解析 ∵△ABC为锐角三角形,∴cos C=>0,即,可得b>a,故A正确. 由正弦定理可知,2cos C=-1,即2sin Acos C+sin A=sin B=sin(A+C)=sin Acos C+cos Asin C, ∴sin A=sin(C-A),又三角形为锐角三角形, ∴C-A=A,即C=2A,故C正确. 由C知,解得<A<, ∴<C=2A<, ∴<tan C,故D正确. ∵=2cos A,而<A<, ∴2cos A∈(),故B错误.故选ACD. 15.　解析 由题意易知<b<2.在△ABD中,由余弦定理可得cos A=,可得sin A=, ∴△ABC的面积S=b2sin A=b2·,当且仅当b2=,即b=时,等号成立. 16.解 (1)由题得2=2,即sin=1. 又A+,所以A+,即A=. (2)因为bsin C=csin 2B, 所以由正弦定理可得sin Bsin C=sin C·2sin Bcos B, 又sin B≠0,sin C≠0,所以cos B=. 又0<B<π,所以B=,则C=. 由正弦定理得,则b=2,c=, 所以△ABC的周长为a+b+c=2++3. 学科网（北京）股份有限公司 $