考点16 向量与几何 练习-2025-2026学年高二下学期数学学考复习

考点16 向量与几何 基础巩固 1.已知向量a=(0,1),b=(2,x),若b⊥(b-4a),则x=(　　) A.-2 B.-1 C.1 D.2 2.在△ABC中,A=90°,=(2-k,2),=(2,3),则k的值是(　　) A.5 B.-5 C. D.- 3.如图,四边形ABCD为直角梯形,∠D=90°,AB∥CD,AB=2CD,M,N分别为AB,CD的中点,则下列结论错误的是(　　) A. B. C. D. 4.(2025浙江阶段练习)已知向量a,b满足a·(a-2b)=0,则b在a上的投影向量为(　　) A.-2a B.a C.-a D.2a 5.若平面向量a与b满足|a|=2,|b|=1,|a+b|=,则a与b的夹角为(　　) A.30° B.45° C.60° D.120° 6.(2024浙江杭州高二开学考试)已知向量a=(),b=(),若(a+λb)∥(μa+b),λ,μ∈R,则(　　) A.λμ=1 B.λμ=-1 C.λ+μ=-1 D.λ+μ=1 7.(多选)已知a,b是单位向量,则下列说法正确的有(　　) A.若a=(-,t),则t= B.若a,b不共线,则(a+b)⊥(a-b) C.若|a-b|≥,则a,b夹角的最小值是 D.若a,b的夹角是,则b在a上的投影向量是a 8.(多选)已知e1,e2是单位向量,且e1·e2=,若该平面内的向量a满足a·e1=a·e2=1,则下列说法正确的有(　　) A.<e1,e2>= B.a⊥(e1-e2) C.a=(e1+e2) D.|a|= 9.已知平面向量a,b满足|a|=2,|b|=1,a·b=-1,则|a+b|=　　　　　.  10.(2025浙江宁波期末)已知向量a=(1,2),b=(2,0),c=a+λb,若a⊥c,则λ=　　　　　.  11.已知平面向量a,b,c满足|a|=1,|b|=2,c=ta+b(t∈R). (1)若向量a,b的夹角为,且b⊥c,求t的值; (2)若|c|的最小值为,求向量a,b的夹角. 12.在平面四边形ABCD中,向量a==(4,1),b==(3,-1),c==(-1,-2). (1)若向量a+2b与向量b-kc垂直,求实数k的值; (2)若=m+n,求实数m,n. 能力提升 13.(2025浙江7月学考)在矩形ABCD中,AB=6,AD=4,F为AB上靠近点B的三等分点,E为BC上的中点,连接DF,AE交于点M,则cos∠EMF=(　　) A. B.- C. D.- 14.(多选)已知向量a=(-3,2),b=(2,1),c=(λ,-1),λ∈R,μ∈R,则下列说法正确的有(　　) A.若λ=1,则a+2b在c上的投影向量为-c B.与b共线的单位向量的坐标为() C.若a=tb+c,t∈R,则λ+t=-4 D.|a+μb|的最小值为 15.已知△ABC内接于圆O,且AB=4,AC=2,则=　　　　　;若,则圆O的半径等于　　　　　.  16.在菱形ABCD中,,记=a,=b. (1)用a,b表示; (2)若,求cos A的值. 参考答案 基础巩固 1.D　解析 ∵a=(0,1),b=(2,x),∴b-4a=(2,x)-4(0,1)=(2,x-4).∵b⊥(b-4a),∴b·(b-4a)=0,即(2,x)·(2,x-4)=4+x(x-4)=0,∴x=2. 2.A　解析 ∵A=90°,即AB⊥AC,∴=4-2k+6=0,解得k=5.故选A. 3.D　解析 由,知A正确;由),得),知B正确;由,知C正确;由N为线段DC的中点,得,知D错误. 4.B　解析 设向量a,b的夹角为θ,因为a·(a-2b)=a2-2a·b=0,可得a·b=a2, 所以b在a的投影向量为a=a. 故选B. 5.C　解析 |a+b|=,解得cos<a,b>=,<a,b>=60°.故选C. 6.A　解析 a+λb=()+λ()=(λ,λ), μa+b=μ()+()=(μ,μ),由(a+λb)∥(μa+b), 则(λ)(μ)=(μ)(λ), 化简得λμ=1.故选A. 7.BC　解析 对于A,因为向量a是单位向量,所以|a|==1,得t=±,故A错误;对于B,(a+b)·(a-b)=a2-b2=1-1=0,所以(a+b)⊥(a-b),故B正确;对于C,|a-b|=,得cos<a,b>≤-,则<a,b>∈[,π],所以a,b夹角的最小值是,故C正确;对于D,b在a上的投影向量是|b|cos<a,b>a=-a,故D错误.故选BC. 8.BCD　解析 因为e1,e2是单位向量,且e1·e2=,所以e1·e2=|e1||e2|cos<e1,e2>=cos<e1,e2>=,因为<e1,e2>∈[0,π],所以<e1,e2>=,故A错误;因为a·e1=a·e2,所以a·(e1-e2)=0,即a⊥(e1-e2),故B正确;设a=me1+ne2,m,n∈R,因为a·e1=a·e2=1,所以解得m=n=,所以a=(e1+e2),故C正确;因为|e1+e2|=,所以|a|=|e1+e2|=,故D正确.故选BCD. 9.　解析 ∵|a+b|2=4+2×(-1)+1=3,∴|a+b|=. 10.-　解析 ∵a=(1,2),b=(2,0), ∴c=a+λb=(2λ+1,2). ∵a⊥c,∴a·c=2λ+1+4=0,解得λ=-. 11.解 (1)因为b⊥c,所以b·c=b·(ta+b)=0, 即ta·b+b2=0,所以t|a||b|cos+|b|2=0, 代入|a|=1,|b|=2得t+4=0,故t=-4. (2)设a,b的夹角为θ,由c=ta+b得|c|2=(ta+b)2=t2a2+2ta·b+b2=t2+4cos θ·t+4=(t+2cos θ)2+4-4cos2θ,故当t=-2cos θ时,|c|2有最小值4-4cos2θ.由题意4-4cos2θ=3,解得cos θ=±,又θ∈[0,π],所以θ=. 12.解 (1)∵向量a+2b与向量b-kc垂直, ∴(a+2b)·(b-kc)=0. ∴(10,-1)·(3+k,-1+2k)=0. ∴30+10k+1-2k=0,∴k=-. (2)∵=(2,-3),∴=(-2,3). ∵=(6,-2), ∴=(-6,2),=(1,2). ∵=m+n,∴(-2,3)=m(-6,2)+n(1,2), ∴解得 能力提升 13.A　解析 如图,作AG∥DF,AG=DF,则∠EMF=∠GAE=<>, 又=0,则cos∠EMF=cos<>=.故选A. 14.AD　解析 对于A,当λ=1时,c=(1,-1),a+2b=(1,4),(a+2b)·c=1-4=-3,|c|=,∴a+2b在c上的投影向量为=-c,故A正确;对于B,与b共线的单位向量的坐标为=()和-=(-,-),故B错误;对于C,∵a=tb+c,∴(-3,2)=(2t+λ,t-1),∴解得∴λ+t=-6,故C错误;对于D,∵a+μb=(2μ-3,μ+2),∴|a+μb|=,∴|a+μb|的最小值为,故D正确.故选AD. 15.-6　2　解析 ·()=)=(4-16)=-6.由得,,两边平方得,cos∠BOC=-,∴∠BOC=,∴∠BAC=,∴△ABC是以AB为斜边的直角三角形,∴圆O的半径等于2. 16.解 (1)因为, 所以=-b+a. (2)设菱形ABCD的边长为t. 因为=b-a,所以(b-a)·(b+a)=a·(-b),即b2-a2=-a·b,t2-t2=-t2cos A,解得cos A=. 学科网（北京）股份有限公司 $