期末真题专项训练05 概率8大考点【满分全攻略备考系列】-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册重难点讲义与测试

期末真题专项训练05 概率 【考点一】判断所给事件是否是互斥关系和互斥事件与对立事件关系的辨析 【考点五】利用对立事件的概率公式求概率 【考点二】计算古典概型问题的概率 【考点六】独立事件的乘法公式 【考点三】有放回与无放回问题的概率 【考点七】独立事件的判断 【考点四】互斥事件的概率加法公式 【考点八】用频率估计概率 【考点一】判断所给事件是否是互斥关系和互斥事件与对立事件关系的辨析 1.（24-25高一下·河北秦皇岛·期末）投掷两枚质地均匀的骰子，记事件A为两枚骰子朝上的点数均为偶数，事件B为两枚骰子朝上的点数均为奇数，则（    ） A．A为必然事件 B．B为不可能事件 C．A与B为互斥但不对立事件 D．A与B互为对立事件 【答案】C 【分析】由必然事件、不可能事件、互斥和对立事件的概念可判断. 【详解】显然A与B都是随机事件，且A与B不能同时发生，但可能同时不发生，故A与B为互斥但不对立事件. 故选：C. 2．（24-25高一下·贵州贵阳·期末）一个盒子中装有6支圆珠笔，其中3支一等品，2支二等品和1支三等品，若从中任取2支.记事件A=“恰有1支一等品”，事件B=“2支都是二等品”，事件C=“没有三等品”，下列说法正确的是（    ） A．事件A与事件B互斥 B．事件B与事件C互斥 C．事件A与事件C对立 D．事件B 与事件C对立 【答案】A 【分析】利用互斥事件与对立事件的概念逐项判断即可. 【详解】对于A，事件A与事件B不会同时发生，所以事件A与事件B互斥，故A正确； 对于B，若取到的两支笔都是二等品，则事件B与事件C同时发生， 所以事件B与事件C不是互斥事件，故B错误； 对于C，若取到的两支笔是一支二等品，一支三等品，则事件A与事件C都没有发生， 所以事件A与事件C不是对立事件，故C错误； 对于D，若取到的两支笔是一支一等品，一支三等品，则事件B与事件C都没有发生， 所以事件B与事件C不是对立事件，故D错误； 故选：A. 3．（23-24高一下·福建福州·期末）某小组有名男生和名女生，从中任选名学生参加比赛，事件“至少有名男生”与事件“至少有名女生” （    ） A．是对立事件 B．都是不可能事件 C．是互斥事件但不是对立事件 D．不是互斥事件 【答案】D 【分析】根据题意，由随机事件的定义分析选项，综合可得答案． 【详解】解：根据题意，从2名男生和1名女生中任选2名学生参加比赛，有“2名男生”和“1名男生和1名女生”两种情况， 易得“至少有1名女生”即“1名男生和1名女生”，是“至少有1名男生”的子事件， 故事件“至少有1名男生”与事件“至少有1名女生”不是互斥事件． 故选：D． 4. （多选）（23-24高一下·山东青岛·期末）某小组有2名男生和3名女生，从中任选2名学生去参加唱歌比赛，在下列各组事件中，不是互斥事件的是（    ） A．恰有1名女生和恰有2名女生 B．至少有1名男生和至少有1名女生 C．至少有1名女生和全是女生 D．至少有1名女生和至多有1名男生 【答案】BCD 【分析】根据互斥事件的概念，一一判断各选项，即可得答案. 【详解】依题意可能出现名男生、名男生名女生、名女生； 对于A：恰有1名女生即选出的两名学生中有一名男生一名女生和恰有2名女生，他们不可能同时发生，故是互斥事件，故A正确； 对于B：当选出的两名学生中有一名男生一名女生，则至少有1名男生和至少有1名女生都发生了，故不是互斥事件，故B错误； 对于C：至少有1名女生包含有一名男生一名女生与全是女生， 所以当全是女生时，至少有1名女生和全是女生都发生了，故不是互斥事件，故C错误； 对于D：至少有1名女生包含有一名男生一名女生与全是女生， 至多有1名男生包含有一名男生一名女生与全是女生， 故至少有1名女生和至多有1名男生是相等事件，故D错误. 故选：BCD 5．（多选）（23-24高一下·福建福州·期末）从装有3个红球和3个黑球的口袋内任取两个球，则下列说法正确的是（    ） A．“至少有一个黑球”与“都是黑球”是互斥而不对立的事件 B．“至少有一个黑球”与“至少有一个红球”不是互斥事件 C．“恰好有一个黑球”与“恰好有两个黑球”是互斥而且是对立的事件 D．“至少有一个黑球”与“都是红球”是对立事件 【答案】BD 【分析】由互斥事件及对立事件的定义进行依次判断． 【详解】“至少有一个黑球”等价于“一个黑球和一个红球或两个黑球”与“都是黑球”可以同时发生，不是互斥事件，故A错误； “至少有一个黑球”等价于“一个黑球和一个红球或两个黑球”，“至少有一个红球”等价于“一个黑球和一个红球或两个红球”，可以同时发生，故B正确； “恰好有一个黑球”等价于“一个黑球和一个红球”，与“恰好有两个黑球”，不同时发生，还有可能都是红球，不是对立事件，故C错误； “至少有一个黑球”等价于“一个黑球和一个红球或两个黑球”，与“都是红球”，不同时发生，但一定会有一个发生，是对立事件，故D正确． 故选：BD． 6．（多选）（23-24高一下·广东清远·期末）抛掷一枚质地均匀的骰子，记随机事件：“点数为奇数”，“点数为偶数”，“点数大于2”，“点数不大于2”，“点数为1”．则下列结论正确的是（    ） A．，为对立事件 B．，为互斥不对立事件 C．，不是互斥事件 D．，是互斥事件 【答案】ACD 【分析】根据对立事件、互斥事件的概念及事件之间的关系，可得答案. 【详解】点数为奇数与点数为偶数不可能同时发生，且必有一个发生，所以E，F是对立事件，选项A正确； 点数大于2与点数不大于2不可能同时发生，且必有一个发生，G，H为互斥且对立事件，选项B不正确； 点数为奇数与点数大于2可能同时发生，E，G不互斥，选项C正确； 点数大于2与点数为1不可能同时发生，G，R为互斥事件，选项D正确. 故选：ACD. 7．（多选）（23-24高一上·安徽亳州·期末）中国四大名楼是一种泛称，特指山西永济鹳雀楼、江西南昌滕王阁、湖北武汉黄鹤楼、湖南岳阳岳阳楼．记事件“只去黄鹤楼”，事件“至少去两个名楼”，事件“只去一个名楼”，事件“一个名楼也不去”，事件“至多去一个名楼”，则下列命题正确的是（    ） A．E与H是互斥事件 B．F与I是互斥事件，且是对立事件 C． D． 【答案】ABC 【分析】根据互斥事件、对立事件的定义和事件间的运算即可得出答案. 【详解】对于A，事件E，H不可能同时发生，是互斥事件，故A正确； 对于B，事件F与I不可能同时发生，且发生的概率之和为1，是互斥事件，且为对立事件，故B正确； 事件“至多去一个名楼”刚好包含事件“只去一个名楼”与事件“一个名楼也不去”，所以，，故C正确，D错误 故选：ABC． 【考点二】计算古典概型问题的概率 8.（24-25高一下·吉林·期末）某中学为了解学生课外阅读的情况，随机抽取了该校部分学生，对他们每周的课外阅读时间（单位：小时）进行调查，统计数据如下表所示： 阅读时间 [8,10] 学生人数 6 9 15 12 8 则从该校随机抽取1名学生，估计其每周的课外阅读时间少于4小时的概率为（    ） A．0.3 B．0.2 C．0.4 D．0.5 【答案】A 【分析】根据古典概型的概率公式求解． 【详解】由统计表可知，共抽取了50名学生，阅读时间少于4小时有人， 所以随机抽取1名学生，估计阅读时间少于4小时的概率为. 故选：A. 9．（24-25高一下·湖南邵阳·期末）现有5人（其中男性有2人，女性有3人）去某公司应聘，但该公司只录用2人．假设这5人被录用的机会相同，则被录用的2人性别不同的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由列举法可得录取总情况数及录用的2人性别不同的情况数，据此可得答案. 【详解】记男性应聘者分别为，女性应聘者分别为， 从这5人中随机抽取2人的情况有，，，，，，，，，，共10种， 其中2人性别不同的情况有，，，，，，共6种，故所求概率． 故选：C 10．（24-25高一下·吉林·期末）我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，如．在不超过20的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于30的概率是（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据古典概型概率公式计算. 【详解】不超过20的素数有2，3，5，7，11，13，17，19，随机选取两个不同的数共有28种情况， 其中和等于30的有，这两种情况， 所以所求概率为． 故选：C. 11. （多选）（23-24高一下·甘肃白银·期末）先后抛掷一枚质地均匀的骰子两次，第一次出现的点数记为a，第二次出现的点数记为b，则下列事件发生的概率为的是（    ） A． B． C． D．方程有实数解 【答案】BCD 【分析】利用列举法及古典概型概率公式逐项分析可得答案. 【详解】先后抛掷一枚骰子两次，得到基本事件总数有36种. 对于选项A，满足的有，，，，，共5种， 故概率为，故A错误； 对于选项B，满足的有，，，，，，共6种， 故概率为，故B正确； 对于选项C，满足，即的有，，，，， ，共6种，故概率为，故C正确； 对于选项D，方程有实数解，则，即， 符合题意的有，，，，，，共6种，故概率为，故D正确. 故选：BCD. 12．（多选）（23-24高一下·陕西宝鸡·期末）某年级有12个班，现要从2班到12班中选1个班的学生参加一项活动，有人提议：掷两个骰子，把得到的点数之和是几就选几班，针对这种选法下面说法不正确的有（    ） A．公平，每个班被选到的概率都为 B．公平，每个班被选到的概率都为 C．不公平，6班被选到的概率最大 D．不公平，7班被选到的概率最大 【答案】ABC 【分析】求出每个班被选到的概率，如果概率不相等，则不公平. 【详解】列表如下： 和 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 7 2 3 4 5 6 7 8 3 4 5 6 7 8 9 4 5 6 7 8 9 10 5 6 7 8 9 10 11 6 7 8 9 10 11 12 点数之和为，点数之和为点数之和为， 点数之和为点数之和为， 点数之和为点数之和为， 点数之和为点数之和为， 点数之和为点数之和为，点数之和为， 所以不公平，7班被选到的概率最大. 故选： 13．（多选）（23-24高一下·新疆·期末）在抛掷一个质地均匀的骰子的试验中，事件A表示“出现小于5的奇数点数”，事件B表示“出现不小于5的点数”，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D．事件或至少有一个发生的概率为 【答案】BCD 【分析】根据各事件包含的点数，然后由概率公式计算出概率后判断各选项． 【详解】事件A表示“出现的点数为1，3”，事件表示“出现的点数为5，6”，可知互斥，所以错误. 事件表示“出现的点数为1，3”，所以，而，B正确. 由上知，所以，C正确. 因为，所以D正确. 故选：BCD． 14.（25-26高一上·山西忻州·期末）从10，11，12，13，14，15这6个正整数中任取两个数，其中恰有1个质数的概率为__________. 【答案】 【分析】列举样本点个数，由古典概型进行计算即可得解. 【详解】10，11，12，13，14，15这6个正整数中质数有11和13两个， 则从中任取两个数，所有样本点构成的空间为，共15个样本点， 记事件“从中任取两个数，恰有1个质数”， 则共有8个样本点， 所以从中任取两个数，恰有1个质数的概率为. 故答案为： 15．（25-26高一上·内蒙古呼和浩特·期末）一袋子中有大小相同，质地均匀的3个红球，2个白球，从中取出两个球，则至少取到一个白球的概率为______． 【答案】/0.7 【分析】列举出基本事件，利用古典概型的概率公式求解. 【详解】袋子中有大小相同，质地均匀的3个红球，记为；2个白球，记为， 从中随机抽取2个球，基本事件为，共有10种， 其中取出的2个球中至少有1个白球的事件有7种，故取出的2个球中至少有1个白球的概率为. 故答案为：. 16．（24-25高一下·湖南娄底·期末）将一枚质地均匀的骰子连续抛掷次，向上的点数分别记为，则事件“”的概率为_______. 【答案】 【分析】求出基本事件的个数和事件“”包含的基本事件的个数，再由古典概率公式，即可求解. 【详解】连续抛掷骰子次，基本事件的个数为， 由知，当时，；当时，； 当时，；当时，；当时，；当时，； 则事件“”包含的基本事件的个数为， 所以事件“”的概率为， 故答案为：. 17．（24-25高一下·黑龙江·期末）甲乙两人玩猜数字游戏，先由甲心中想一个数字，记为，再由乙猜甲刚才所想的数字，把乙猜的数字记为，其中，若，就称甲乙“心有灵犀”.现任意找两人玩这个游戏，则他们“心有灵犀”的概率为__________. 【答案】 【分析】根据已知确定所有可能情况，再列举出的对应情况，应用古典概型的概率求法求概率. 【详解】由题设，所有可能的有序数对共有个， 而的情况有，共有16个， 所以任意找两人玩这个游戏，他们“心有灵犀”的概率为. 故答案为： 18.（25-26高一上·陕西渭南·期末）某商场周年庆，进行抽奖活动，规则如下：从装有除颜色之外完全相同的5个小球（其中3个红球2个白球）的抽奖箱中，随机一次性摸出2个球，若取到2个白球，则获得一等奖；若取到1个白球和1个红球，则获得二等奖；其他情况，不获奖.记3个红球为，2个白球为，样本空间. (1)求样本空间； (2)某顾客进行一次抽奖，设事件表示随机事件“该顾客不获奖”，求. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）将从个球中一次性摸出个球的所有可能组合全部列出，得到样本空间. （2）先确定 “不获奖” 即取到个红球的事件数，再用古典概型公式，用事件数除以样本空间总事件数求概率. 【详解】（1）从这个小球中抽取个的情况有，故样本空间 （2）事件表示“不获奖”，即取到的个球都是红球（因为一等奖是个白球，二等奖是白红，其余情况为红，不获奖）, 红球为，取个红球的组合有：，共3种， 由小问一可知，样本空间的基本事件总数为， 所以事件的概率. 【考点三】有放回与无放回问题的概率 19.（23-24高一下·河南郑州·期末）现有6个相同的盒子，里面均装有6张除图案外其它无区别的卡片，第个盒子中有k张龙形图案的卡片，张兔形图案的卡片．现将这些盒子混合后，任选其中一个盒子，并且从中连续取出两张卡片，每次取后不放回，若第二次取出的卡片为兔形图案的概率为，则（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【分析】分第一次取到龙形图案的卡片，第二次取到兔形图案的卡片和第一次和第二次都取到兔形图案的卡片两种情况，然后求概率即可. 【详解】第个盒子中第一次取到龙形图案的卡片，第二次取到兔形图案的卡片的概率为； 第一次和第二次都取到兔形图案的卡片的概率为， 所以第二次取到的卡片为兔形图案的概率， 解得. 故选：A. 20. （多选）（23-24高一下·内蒙古通辽·期末）袋中有大小相同的黄、红、白球各一个，每次任取一个，有放回地取3次，则下列说法正确的是（    ） A．取出的3个球颜色相同的概率为 B．取出的3个球颜色不全相同的概率为 C．取出的3个球颜色全不相同的概率为 D．取出的3个球无红球的概率为 【答案】BC 【分析】应用古典概型计算各个选项即可. 【详解】设取得黄、红、白球分别为， 有放回地取球3次， 共 27种等可能结果， 其中颜色相同的结果有3种，其概率为，故A错误； 颜色不全相同的结果有24种， ,其概率为，故B正确； 颜色全不相同的结果有6种，其概率为，故C正确； 无红球的结果有8种，其概率为，故D错误． 故选：BC. 21．（多选）一个口袋中有除颜色外完全相同的2个红球和3个白球，从中取出2个球，则（    ） A．若不放回地抽取，则“取出2个红球”和“取出2个白球”是对立事件 B．若不放回地抽取，则第2次取到红球的概率与第1次取到红球的概率相等 C．若有放回地抽取，则取出1个红球和1个白球的概率是 D．若有放回地抽取，则至少取出一个红球的概率是 【答案】BD 【分析】根据对立事件的概念判断A选项即可；结合古典概型，列举基本事件，分别求对应的概率即可判断BCD. 【详解】对A，由题知，不放回地抽取2个球包括2个都是红球、2个都是白球和1个红球1个白球，共3种情况， 所以“取出2个红球”和“取出2个白球”是互斥事件，但不是对立事件，故A错误； 对B，记2个红球分别为，3个白球分别为1，2，3， 不放回地从中取2个球的样本空间 共20种， 记事件为“第1次取到红球”，事件为“第2次取到红球”， 则， 所以，故B正确； 对C，有放回地从中取2个球的样本空间 ，共25种； 记事件为“取出1个红球和1个白球”，则 ，共12种， 所以，故C错误； 对D，记事件为“取出2个白球”，则，共9种； 所以， 所以至少取出1个红球的概率为，故D正确. 故选：BD 22.（23-24高一下·陕西咸阳·期末）从分别写有1，2，3，4的4张卡片中有放回的随机抽取2次，每次抽取1张，则2次抽到的卡片上的数字之和为5的概率为______． 【答案】/ 【分析】利用列举法结合古典概型概率公式求解即可. 【详解】把第一次抽取的卡片为，第二次抽取的卡片为，记为. 则4张卡片中有放回的随机抽取2次所有情况为： ， ，共16种. 其中数字之和为5的有4种，则所求概率为. 故答案为： 23.一个袋子中有大小和质地相同的5个小球，其中有3个红色球、2个绿色球，从袋中不放回地依次随机摸出2个球，则两个球颜色相同的概率为_________. 【答案】/0.4 【分析】根据题意写出从袋中不放回地依次随机摸出2个球的所以可能结果结合两个球颜色相同的结果，利用古典概型概率计算公式计算即可. 【详解】用1、2、3表示3个红色球，4、5表示2个绿色球，用数组表示可能的结果，x是第一次摸到球的标号，y是第二次摸到球的标号，则样本空间所包含的样本点为： ，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，共20个. 其中两个球颜色相同的事件有：，，，，，，，，共8种，故所求事件的概率为. 24.（24-25高一下·山东泰安·期末）袋子中有5个大小质地完全相同的球，其中2个红球，3个黄球． (1)若这5个球分别标有数字，，，，，现从袋中每次任取一个球，每次取出后不放回，连续取两次，求两个小球所标数字之和为3的倍数的概率； (2)若从中摸出一个球，观察颜色后放回，再摸出一个球，求两球颜色恰好不同的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据不放回的随机抽样问题，列出样本空间，利用古典概型求概率即可； （2）根据有放回的随机抽样问题，列出样本空间，利用古典概型求概率即可； 【详解】（1）不放回连续取两次的样本空间，，，，， ，，，，，，，，，，， ，，， 记“两数之和为3的倍数”为事件，则事件，，，，， ，， （2）设5个球记为，，，，，则有放回地取出两个的样本空间 ，，，，，，， ，，，，，，，， ，，，，，，，， 记“两球颜色恰好不同的概率”为事件，则，，， ，，，，，，，， ， 25.已知袋中有8个大小质地相同，颜色不全相同的小球，分别为黑球、白球、红球，从中任意取一球，取到黑球或白球的概率是，取到白球或红球的概率是． (1)从中任取两个球，求取出的两个球颜色不相同的概率； (2)若有放回的取球，求取出的两个球一个是白色一个是红色的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由概率公式列方程组求得黑球、白球、红球的个数后，再计算两个球颜色不相同的概率； （2）利用古典概型概率公式计算． 【详解】（1）设黑球、白球、红球的个数分别是，则 ，解得， 所以从中任取两个球，求取出的两个球颜色不相同的概率为； （2）若有放回的取球，求取出的两个球一个是白色一个是红色的概率是． 【考点四】互斥事件的概率加法公式 26.（24-25高一下·福建莆田·期末）若，则（    ） A．0.5 B．0.4 C．0.3 D．0.2 【答案】B 【分析】首先求得，然后结合即可求解. 【详解】由题意， 所以. 故选：B. 27．（24-25高一下·河北沧州·期末）已知事件A，B，C两两互斥，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意结合互斥事件概率加法公式可得，进而可得结果. 【详解】因为事件A，B，C两两互斥， 则． 又因为， 可得，解得， 所以． 故选：B. 28．（24-25高一下·新疆巴州·期末）某射击运动员平时训练成绩的统计结果如下： 命中环数 6 7 8 9 10 频率 0.1 0.2 0.25 0.3 0.15 若这名运动员只射击一次，则命中的环数大于8环的概率为（    ） A．0.3 B．0.45 C．0.55 D．0.7 【答案】B 【分析】利用互斥事件的概率加法公式可求得所求事件的概率. 【详解】由互斥事件的概率加法公式可知，事件命中的环数大于8环的概率为. 故选：B 29.若随机事件，互斥，且，，则（    ） A．0 B．0.18 C．0.6 D．0.9 【答案】D 【分析】由互斥事件概率加法公式计算. 【详解】随机事件，互斥，且，， 所以， 故选：D. 30.（24-25高一下·贵州贵阳·期末）已知事件A与事件B互斥，若，则______ 【答案】/ 【分析】利用互斥事件的概率加法公式求解即可. 【详解】因为事件A与事件B互斥，， 所以. 故答案为：0.7 31.已知事件与事件发生的概率分别为，，且，则______. 【答案】0.7/ 【分析】根据概率的加法公式代入求解即可. 【详解】因为事件与事件发生的概率分别为 ，，且， 所以. 故答案为：0.7. 32.（24-25高一上·安徽蚌埠·期末）某班元旦联欢会上开展趣味抽奖小游戏，在不透明的盒子里装有标号为1，2的两个红球和标号为3，4，5的三个白球，五个小球除颜色外完全相同，参与游戏的同学从中任取1个，有放回的抽取2次，根据抽到小球的情形分别设置一，二，三等奖.班委会讨论了以下两种规则： 规则一：若抽到两个红球且标号和为偶数获一等奖，抽到两个白球且标号和为偶数获二等奖，抽到两个球标号和为奇数获三等奖，其余不获奖； 规则二：若抽到两个红球且标号和为奇数获一等奖，抽到两个球的标号和为5的倍数获二等奖，抽到两个球标号和为偶数获三等奖，其余不获奖. (1)请以标号写出两次抽取小球的所有结果（其中x，y分别为第一、第二次抽到的小球标号）； (2)求两种规则下获得二等奖的概率； (3)请问哪种规则获奖概率更大，并说明理由. 【答案】(1)答案见解析 (2) (3)两种规则获奖的概率一样大，理由见解析 【分析】（1）直接列举所有结果； （2）（3）根据古典概型求解概率即可. 【详解】（1）两次抽取小球的所有可能结果为： ，，，，， ，，，，， ，，，，， ，，，，， ，，，，， （2）记规则一中获得二等奖为事件，记规则二中获得二等奖为事件， 事件包含，，，，五个样本点， 故， 事件包含，，，，五个样本点， 故. （3）两种规则获奖的概率一样大. 三等奖分别为事件，，, 事件包含，两个样本点，. 事件包含，，，，，，，，，，，十二个样本点， . 所以规则一获奖的概率 ， 事件包含，两个样本点，； 事件包含，，，，，，，，，，，，（在中已经记录，不再计算），十二个样本点，. 所以规则二获奖的概率 ， ∴所以两种规则获奖的概率一样大. 【考点五】利用对立事件的概率公式求概率 33.（24-25高一下·内蒙古呼伦贝尔·期末）已知事件互斥，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据互斥事件以及对立事件得概率公式计算即可. 【详解】由题可知：事件互斥，则，又， 所以，则. 故选：D 34．（24-25高一下·河北雄安·期末）已知事件，互斥，，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用互斥事件的加法公式，结合已知及对立事件的概率公式求解. 【详解】由事件，互斥，，得，而， 联立解得，故. 故选：B 35. （多选）（25-26高一上·辽宁·期末）在学校运动会开幕式上，100名学生组成一个方阵进行表演，他们按照性别（M（男）、F（女））及年级（（高一）、（高二）、（高三））分类统计的人数如下表，若从这100名学生中随机选一名学生，则下列概率正确的是（   ） 性别 M 14 20 18 F 17 21 10 A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】根据频数，结合古典概型公式依次求概率即可. 【详解】对于A，，故错误； 对于B，因为从这100名学生中随机选一名学生，不是男生就是女生，故事件与互为对立事件，故，正确； 对于C，，故正确； 对于D，由题， 所以，故错误 故选：BC 36．（多选）（25-26高一上·辽宁抚顺·期末）已知事件满足，，则下列结论正确的是（   ） A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果与互斥，那么 D．如果与相互独立，那么 【答案】CD 【分析】由互斥事件的概率，相互独立事件的概率公式逐项判断即可. 【详解】对于选项A，设一个盒子里有标号为 1 到 10 的小球, 从中摸出一个小球, 记下球的编号, 记事件A=“球的编号是偶数”， 事件B=“球的编号是1，2，3” ，事件C=“球的编号是奇数” 满足 , 但是 选项A错误; 对于选项B，如果 , 那么 ，选项B错误; 对于选项C， 如果与互斥，那么 , 所以选项C正确; 对于选项D，如果与相互独立，那么 ，所以选项D正确。 故选：CD 37.（24-25高一下·福建福州·期末）设是一个随机试验中的两个事件，且，则_______. 【答案】 【分析】利用对立事件的概率公式求出，再利用互斥事件的加法公式求出，最后结合并事件的概率公式求解即可. 【详解】由对立事件的概率公式得， 由互斥事件的加法公式得， 而，得到，解得， 由并事件的性质得. 故答案为： 38．（24-25高一下·福建福州·期末）已知事件A的对立事件为，，．若，则______，______ 【答案】 0.6 0.3 【分析】根据事件A的对立事件为求出，因为，则，，从而求出相应概率值. 【详解】已知事件A的对立事件为，则, 因为，根据并事件的性质： 所以; 因为，根据交事件的性质：. 所以. 故答案为：；. 39.从1~30这30个整数中随机选择一个数，设事件M表示选到的数能被2整除，事件N表示选到的数能被3整除．求下列事件的概率： (1)这个数既能被2整除也能被3整除； (2)这个数能被2整除或能被3整除； (3)这个数既不能被2整除也不能被3整除． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）求出既能被2整除也能被3整除的数的个数，再由古典概型求解即可； （2）先由古典概型求出，再由求解即可； （3）由对立事件的概率公式求解即可. 【详解】（1）1~30这30个整数中既能被2整除也能被3整除的有5个，∴； （2）1~30这30个整数中能被2整除的有15个，能被3整除的有10个，所以，， ； （3）由于事件“这个数既不能被2整除也不能被3整除”与事件“这个数能被2整除或能被3整除”互为对立事件， 则． 【考点六】独立事件的乘法公式 40.（25-26高一上·江西景德镇·期末）口袋里共有5个球，其中3个是白球，2个是黑球，这5个球除了颜色之外完全相同.若2个人依次不放回地摸球，则第二个人摸到白球的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分第一个人摸到白球和第一个人摸到黑球两种情况，利用概率乘法公式和加法公式求解. 【详解】若第二个人摸到白球，则有2种可能：第一个人摸到白球或第一个人摸到黑球， 所以第二个人摸到白球的概率是. 故选：B. 41．（25-26高一上·湖南邵阳·期末）已知甲、乙两名运动员进行射击比赛，各射击一次，是否中靶相互独立.若恰好一人中靶的概率为0.26，至少一人中靶的概率为0.98，则甲、乙两人都中靶的概率是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设甲射击一次中靶的概率为，乙射击一次中靶的概率为，根据题意建立方程组，整体法可求得，即甲、乙两人都中靶的概率. 【详解】设甲射击一次中靶的概率为，乙射击一次中靶的概率为， 因为甲、乙是否中靶相互独立，且恰好一人中靶的概率为， 所以， 展开得.① 又至少有一人中靶的概率为，即，所以， 展开得.② 由①+②得，解得，即甲、乙两人都中靶的概率是. 故选：C 42. （多选）（24-25高一下·黑龙江绥化·期末）已知随机事件A和B，若，，则下列结论正确的是（   ） A．若A与B相互独立，则 B． C．若，则 D．若，则 【答案】BC 【分析】根据给定条件，利用相互独立事件判断A；比较大小判断B；利用事件关系判断C；利用概率的基本性质判断D. 【详解】对于A，A与B相互独立，，A错误； 对于B，，则，B正确； 对于C，，则，C正确； 对于D，由，得，而， 因此，D错误. 故选：BC 43．（多选）（24-25高一下·甘肃白银·期末）从甲袋中摸出一个红球的概率是，从乙袋中摸出一个红球的概率是，现从甲、乙两袋中各摸出一个球，且相互独立，则（    ） A．2个球都是红球的概率为 B．2个球都不是红球的概率为 C．至少有1个红球的概率为 D．2个球中恰有1个红球的概率 【答案】ABD 【分析】根据独立事件乘法公式计算，逐一判断即可. 【详解】对A，2个球都是红球的概率是，正确； 对B，2个球都不是红球的概率是，正确； 对C，至少有1个红球的概率是，错误； 对D，2个球中恰有1个红球的概率是，正确. 故选：ABD 44.（25-26高一上·河南驻马店·期末）已知事件，发生的概率分别为，，若与相互独立，则______. 【答案】0.44 【分析】利用并事件的概率公式即可. 【详解】. 故答案为：0.44. 45．（25-26高一上·辽宁鞍山·期末）甲、乙两人进行投篮比赛，甲每次投中的概率为，乙每次投中的概率为，且甲、乙两人投中与否互不影响．若甲、乙各投一次，则两人至少有一人投中的概率是______． 【答案】 【分析】根据题意，应用独立事件概率乘积公式先求出两人都没有命中的概率，由对立事件的性质计算得答案. 【详解】根据题意，则甲､乙两人各投一次，两人都没有投中的概率为， 则至少有一人投中的概率； 故答案为：. 46.（25-26高一上·辽宁大连·期末）在一次数学练习中，甲､乙两人同时独立做同一道数学题，已知甲､乙能做对的概率分别是0.7和0.6. (1)求两人都做对此数学题的概率； (2)求恰有一人做对此数学题的概率. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据概率的乘法公式求解即可； （2）根据概率的加法与乘法公式求解即可. 【详解】（1）设事件：“甲做对”，事件：“乙做对”，则“两人都做对”为事件， 因为相互独立，故； （2）恰有一人做对为事件，事件互斥, 相互独立，相互独立， 所以. 【考点七】独立事件的判断 47.（24-25高一下·吉林·期末）依次抛掷两枚质地均匀的骰子，表示事件“第一次抛掷骰子的点数为奇数”，表示事件“第一次抛掷骰子的点数为”，表示事件“两次抛掷骰子的点数之和为”，表示事件“两次抛掷骰子的点数之和为”，则（    ）． A．与为对立事件 B．与为相互独立事件 C．与为相互独立事件 D．与为互斥事件 【答案】B 【分析】对立事件是指两个事件不能同时发生且必有一个发生；互斥事件是指两个事件不能同时发生；相互独立事件是指一个事件的发生与否对另一个事件的发生没有影响，即. 【详解】对于A，，所以与不为对立事件． 对于B，，，，相互独立． 对于C，，，，不相互独立． 对于D，事件为，所以与不为互斥事件． 故选：B. 48．（24-25高一上·山东潍坊·期末）一个袋子中有标号分别为1，2，3，4的4个小球，除标号外无差异.不放回地取两次，每次取出一个.事件“两次取出球的标号为1和4”，事件“第二次取出球的标号为4”，事件“两次取出球的标号之和为5”，则（   ） A． B． C．事件与互斥 D．事件与相互独立 【答案】D 【分析】利用古典概率公式分别计算，，，，再利用互斥事件的定义和相互独立事件的概率公式逐一判断四个选项即可得正确选项. 【详解】设采用不放回方式从中任意摸球两次，每次取出一个球， 全部的基本事件有：，共个， 事件发生包含的基本事件有：，有个，，A错误； 事件发生包含的基本事件有：，有3个，， 事件发生包含的基本事件：，有4个，， 事件发生包含的基本事件：有个，，B错误； 事件发生包含的基本事件：，有2个，事件与不互斥，C错误； 由，与相互独立，D正确. 故选：D 49. （多选）（24-25高一下·山西吕梁·期末）分别抛掷两枚质地均匀的硬币，设事件A =“第一枚硬币反面朝上”，事件B =“第二枚硬币反面朝上”，则下列结论中正确的是（    ） A． B． C．A与B互斥 D．A与B相互独立 【答案】AD 【分析】由古典概型概率公式计算可判断A、B，C；根据独立事件的定义计算可判断D. 【详解】对于A、C选项，，故A正确，C错误； 对于B选项，因为，， 所以，故B错误； 对于D选项，由，得A与B相互独立，故D正确. 故选：AD. 50．（多选）（25-26高一上·江西新余·期末）下列命题中正确的是（    ） A．数据27，12，14，30，15，17，19，24的第70百分位数是24 B．若A，B是互斥事件，则 C．若，，则事件A，B相互独立与A，B互斥一定不能同时成立 D．若样本的平均数和标准差分别为2和3，则的平均数和标准差分别为8和9. 【答案】ACD 【分析】A选项，将数据从小到大排列，又，即第70百分位数为第6个数为24，故A正确；B选项，互斥事件与独立事件没有必然联系，故B错误；C选项，根据独立得到，事件A，B互斥，则，矛盾，C正确；D选项，根据公式求出标准差为9，故D正确. 【详解】对于A选项：该组数据从小到大排列为12，14，15，17，19，24，27，30， 又，即第70百分位数为第6个数24，故A正确； 对于B选项：由互斥事件的定义知，而仅在A，B独立时成立，互斥与独立没有必然联系，故B错误； 对于C选项，若事件A，B相互独立，则， 若事件A，B互斥，则，矛盾， 故事件A，B相互独立与A，B互斥不能同时成立，故C正确； 对于D选项，因样本的平均数和标准差分别为2和3， 则的平均数为，方差为，标准差为9，故D正确. 故选：ACD. 51.设样本空间含有等可能的样本点，且事件，事件，事件，使得，且满足两两不独立，则______. 【答案】 【分析】根据古典概型概率计算及相互独立性推测即可. 【详解】由题意，，所以， 所以是共同的唯一的样本点，又两两不独立，即，，， 可见不可以为或，所以为或，即. 故答案为： 52．（25-26高一上·贵州遵义·期末）如图，元件通过电流的概率均为，且各元件是否通过电流相互独立，则电流能在，之间通过的概率是__________. 【答案】 【分析】先分析电流通过的路径情况，再利用独立事件概率公式分别计算各路径概率，最后求和得到总概率. 【详解】串联，只有两者都通过电流时，该支路才能导通， ， 并联部分导通的条件是串联支路导通或导通（至少一个导通）， 先计算该并联部分不导通的概率：， 因此，并联部分导通的概率为：， 整个电路导通的条件是并联部分导通且导通，， 最终，电流能在之间通过的概率是. 故答案为：. 53.（24-25高一上·贵州遵义·期末）随机从0，1，2，3，4五个数字中任取两个不同的数字组成一个两位数. (1)请写出样本空间并求样本点个数； (2)设事件：所得的两位数为奇数，事件：所得的两位数大于40，判断事件与是否相互独立. 【答案】(1)样本空间为；16个样本点 (2)事件与不相互独立 【分析】（1）根据题意列举出符合要求的样本空间及样本点的个数即可； （2）分别列举出事件所包含的样本点，并分别求出各个事件的概率，验证是否成立，即可判断事件与是否相互独立. 【详解】（1）由题意可知，样本空间为， 共16个样本点； （2）由题意知事件包含共6个样本点，所以； 事件包含共3个样本点，所以； 既是奇数又大于40的事件包含共2个样本点，所以， 因为，即， 所以事件与不相互独立. 【考点八】用频率估计概率 54.（23-24高一上·陕西汉中·期末）我国古代数学名著《九章算术》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来石（古代容量单位），验得米内夹谷（假设一粒米与一粒谷的体积相等），抽样取米一把，数得254粒内夹谷28粒，则这批米内夹谷约为（    ） A．213石 B．152石 C．169石 D．196石 【答案】C 【分析】根据抽样取米一把，数得254粒内夹谷28粒，可计算出夹谷的频率，从而可解． 【详解】根据题意，抽样取米一把，数得254粒内夹谷28粒，则样本中夹谷的频率为， 则这批米内夹谷约为（石， 故选：C 55.天气预报说，在今后的三天中，每天下雨的概率都为60%．现采用随机模拟的方法估计这三天中恰有两天下雨的概率．用1，2，3，4，5，6表示下雨，用计算机产生了10组随机数180，792，454，417，165，809，798，386，196，206据此估计这三天中恰有两天下雨的概率近似为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用频率和概率的关系得到答案. 【详解】10组数据中，恰有两天下雨的有417，386，196，206，共4个， 故此估计这三天中恰有两天下雨的概率近似为. 故选：B 56.给出下列四个命题： ①设有一批产品，其次品率为0.05，则从中任取200件，必有10件是次品； ②做100次抛硬币的试验，结果51次出现正面朝上，因此，出现正面朝上的概率是； ③随机事件发生的频率就是这个随机事件发生的概率； ④抛掷骰子100次，得点数是1的结果有18次，则出现1点的频率是. 其中正确命题有（　　） A．① B．② C．③ D．④ 【答案】D 【分析】根据频率与概率的区别，概率的定义和性质进行判断． 【详解】对于①，实验中，出现的某种事件的频率总在一个固定的值的附近波动，并不是一个确定的值， 一批产品次品率为0.05，则从中任取200件，次品的件数在10件左右，而不一定是10件，①错误； 对于②，100次并不是无穷多次，只能说明这100次试验出现正面朝上的频率为，故②错误； 对于③，根据定义，随机事件的频率只是概率的近似值，它并不等于概率，③错误； 对于④，频率估计概率，频率为出现的次数与重复试验的次数的比值， 抛掷骰子100次，得点数是1的结果有18次，则出现1点的频率是，④正确. 故选：D. 57.长时间玩手机可能影响视力，据调查，某校学生大约30%的人近视，而该校大约有40%的学生每天玩手机超过，这些人的近视率约为60%．现从每天玩手机不超过的学生中任意调查一名学生，则他近视的概率为___________． 【答案】/0.1 【分析】设该校有a名同学，根据已知条件，求出每天玩手机不超过的学生的人数及其中近视的人数，再利用频率估计概率即可得答案． 【详解】解：设该校有a名同学，则约有0.3a的学生近视，约有0.4a的学生每天玩手机超过， 且每天玩手机超过2的学生中近视的有的学生， 所以有0.6a的学生每天玩手机不超过2且其中有的学生近视， 所以从每天玩手机不超过2的学生中任意调查一名学生，则他近视的概率为． 故答案为：． 58.在一次全运会男子羽毛球单打比赛中，运动员甲和乙进入了决赛．羽毛球的比赛规则是3局2胜制，假设每局比赛甲获胜的概率为0.6，乙获胜的概率为0.4，利用计算机模拟试验，估计甲获得冠军的概率．为此，用计算机产生1～5之间的随机数，当出现随机数1，2或3时，表示一局比赛甲获胜，其概率为0.6．由于要比赛三局，所以每3个随机数为一组．例如，产生了20组随机数： 423  231  423  344  114  453  525  323  152  342 345  443  512  541  125  342  334  252  324  254 相当于做了20次重复试验，用频率估计甲获得冠军的概率的近似值为_____． 【答案】 【分析】由20组随机数中先求出甲获胜的频数，从而可求出甲获胜的频率，进而可得答案 【详解】解：由题意可知，20组随机数中甲获胜的有：423  231  423  114  323  152  342  512  125  342  334  252  324有13组， 所以甲获胜的频率为， 所以甲获得冠军的概率的近似值约为， 故答案为： 【点睛】此题考查频率与概率的关系，属于基础题 59.在一个不透明的布袋中，红色、黑色、白色的玻璃球共有50个，除颜色外其他完全相同，小明通过多次摸球试验后发现其中摸到红色球，黑色球的频率稳定在30%和40%，则口袋中白色球的个数可能是__________个． 【答案】15 【分析】求出摸到白球的频率，从而得到白色球的可能个数. 【详解】∵摸到红色球、黑色球的频率稳定在30%和40%， ∴摸到白球的频率为， 故口袋中白色球的个数可能是个． 故答案为：15 60.某个制药厂正在测试一种减肥药的疗效，有500名志愿者服用此药，结果如下： 体重变化 体重减轻 体重不变 体重增加 人数 276 144 80 如果另有一人服用此药，估计下列事件发生的概率： （1）这个人的体重减轻了； （2）这个人的体重不变； （3）这个人的体重增加了. 【答案】（1）；（2）；（3）. 【解析】（1）由频率估计概率运算即可得解； （2）由频率估计概率运算即可得解； （3）由频率估计概率运算即可得解. 【详解】解：（1）由频率估计概率可得：体重减轻了的概率估计值为； （2）由频率估计概率可得：体重不变的概率估计值为； （3）由频率估计概率可得：体重增加了的概率估计值为. 【点睛】本题考查了利用频率估计概率，重点考查了运算能力，属基础题. 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 期末真题专项训练05 概率 【考点一】判断所给事件是否是互斥关系和互斥事件与对立事件关系的辨析 【考点五】利用对立事件的概率公式求概率 【考点二】计算古典概型问题的概率 【考点六】独立事件的乘法公式 【考点三】有放回与无放回问题的概率 【考点七】独立事件的判断 【考点四】互斥事件的概率加法公式 【考点八】用频率估计概率 【考点一】判断所给事件是否是互斥关系和互斥事件与对立事件关系的辨析 1.（24-25高一下·河北秦皇岛·期末）投掷两枚质地均匀的骰子，记事件A为两枚骰子朝上的点数均为偶数，事件B为两枚骰子朝上的点数均为奇数，则（    ） A．A为必然事件 B．B为不可能事件 C．A与B为互斥但不对立事件 D．A与B互为对立事件 2．（24-25高一下·贵州贵阳·期末）一个盒子中装有6支圆珠笔，其中3支一等品，2支二等品和1支三等品，若从中任取2支.记事件A=“恰有1支一等品”，事件B=“2支都是二等品”，事件C=“没有三等品”，下列说法正确的是（    ） A．事件A与事件B互斥 B．事件B与事件C互斥 C．事件A与事件C对立 D．事件B 与事件C对立 3．（23-24高一下·福建福州·期末）某小组有名男生和名女生，从中任选名学生参加比赛，事件“至少有名男生”与事件“至少有名女生” （    ） A．是对立事件 B．都是不可能事件 C．是互斥事件但不是对立事件 D．不是互斥事件 4. （多选）（23-24高一下·山东青岛·期末）某小组有2名男生和3名女生，从中任选2名学生去参加唱歌比赛，在下列各组事件中，不是互斥事件的是（    ） A．恰有1名女生和恰有2名女生 B．至少有1名男生和至少有1名女生 C．至少有1名女生和全是女生 D．至少有1名女生和至多有1名男生 5．（多选）（23-24高一下·福建福州·期末）从装有3个红球和3个黑球的口袋内任取两个球，则下列说法正确的是（    ） A．“至少有一个黑球”与“都是黑球”是互斥而不对立的事件 B．“至少有一个黑球”与“至少有一个红球”不是互斥事件 C．“恰好有一个黑球”与“恰好有两个黑球”是互斥而且是对立的事件 D．“至少有一个黑球”与“都是红球”是对立事件 6．（多选）（23-24高一下·广东清远·期末）抛掷一枚质地均匀的骰子，记随机事件：“点数为奇数”，“点数为偶数”，“点数大于2”，“点数不大于2”，“点数为1”．则下列结论正确的是（    ） A．，为对立事件 B．，为互斥不对立事件 C．，不是互斥事件 D．，是互斥事件 7．（多选）（23-24高一上·安徽亳州·期末）中国四大名楼是一种泛称，特指山西永济鹳雀楼、江西南昌滕王阁、湖北武汉黄鹤楼、湖南岳阳岳阳楼．记事件“只去黄鹤楼”，事件“至少去两个名楼”，事件“只去一个名楼”，事件“一个名楼也不去”，事件“至多去一个名楼”，则下列命题正确的是（    ） A．E与H是互斥事件 B．F与I是互斥事件，且是对立事件 C． D． 【考点二】计算古典概型问题的概率 8.（24-25高一下·吉林·期末）某中学为了解学生课外阅读的情况，随机抽取了该校部分学生，对他们每周的课外阅读时间（单位：小时）进行调查，统计数据如下表所示： 阅读时间 [8,10] 学生人数 6 9 15 12 8 则从该校随机抽取1名学生，估计其每周的课外阅读时间少于4小时的概率为（    ） A．0.3 B．0.2 C．0.4 D．0.5 9．（24-25高一下·湖南邵阳·期末）现有5人（其中男性有2人，女性有3人）去某公司应聘，但该公司只录用2人．假设这5人被录用的机会相同，则被录用的2人性别不同的概率是（    ） A． B． C． D． 10．（24-25高一下·吉林·期末）我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，如．在不超过20的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于30的概率是（    ）． A． B． C． D． 11.（23-24高一下·甘肃白银·期末）（多选）先后抛掷一枚质地均匀的骰子两次，第一次出现的点数记为a，第二次出现的点数记为b，则下列事件发生的概率为的是（    ） A． B． C． D．方程有实数解 12．（多选）（23-24高一下·陕西宝鸡·期末）某年级有12个班，现要从2班到12班中选1个班的学生参加一项活动，有人提议：掷两个骰子，把得到的点数之和是几就选几班，针对这种选法下面说法不正确的有（    ） A．公平，每个班被选到的概率都为 B．公平，每个班被选到的概率都为 C．不公平，6班被选到的概率最大 D．不公平，7班被选到的概率最大 13．（多选）（23-24高一下·新疆·期末）在抛掷一个质地均匀的骰子的试验中，事件A表示“出现小于5的奇数点数”，事件B表示“出现不小于5的点数”，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D．事件或至少有一个发生的概率为 14.（25-26高一上·山西忻州·期末）从10，11，12，13，14，15这6个正整数中任取两个数，其中恰有1个质数的概率为__________. 15．（25-26高一上·内蒙古呼和浩特·期末）一袋子中有大小相同，质地均匀的3个红球，2个白球，从中取出两个球，则至少取到一个白球的概率为______． 16．（24-25高一下·湖南娄底·期末）将一枚质地均匀的骰子连续抛掷次，向上的点数分别记为，则事件“”的概率为_______. 17．（24-25高一下·黑龙江·期末）甲乙两人玩猜数字游戏，先由甲心中想一个数字，记为，再由乙猜甲刚才所想的数字，把乙猜的数字记为，其中，若，就称甲乙“心有灵犀”.现任意找两人玩这个游戏，则他们“心有灵犀”的概率为__________. 18.（25-26高一上·陕西渭南·期末）某商场周年庆，进行抽奖活动，规则如下：从装有除颜色之外完全相同的5个小球（其中3个红球2个白球）的抽奖箱中，随机一次性摸出2个球，若取到2个白球，则获得一等奖；若取到1个白球和1个红球，则获得二等奖；其他情况，不获奖.记3个红球为，2个白球为，样本空间. (1)求样本空间； (2)某顾客进行一次抽奖，设事件表示随机事件“该顾客不获奖”，求. 【考点三】有放回与无放回问题的概率 19.（23-24高一下·河南郑州·期末）现有6个相同的盒子，里面均装有6张除图案外其它无区别的卡片，第个盒子中有k张龙形图案的卡片，张兔形图案的卡片．现将这些盒子混合后，任选其中一个盒子，并且从中连续取出两张卡片，每次取后不放回，若第二次取出的卡片为兔形图案的概率为，则（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 20. （多选）（23-24高一下·内蒙古通辽·期末）袋中有大小相同的黄、红、白球各一个，每次任取一个，有放回地取3次，则下列说法正确的是（    ） A．取出的3个球颜色相同的概率为 B．取出的3个球颜色不全相同的概率为 C．取出的3个球颜色全不相同的概率为 D．取出的3个球无红球的概率为 21．（多选）一个口袋中有除颜色外完全相同的2个红球和3个白球，从中取出2个球，则（    ） A．若不放回地抽取，则“取出2个红球”和“取出2个白球”是对立事件 B．若不放回地抽取，则第2次取到红球的概率与第1次取到红球的概率相等 C．若有放回地抽取，则取出1个红球和1个白球的概率是 D．若有放回地抽取，则至少取出一个红球的概率是 22.（23-24高一下·陕西咸阳·期末）从分别写有1，2，3，4的4张卡片中有放回的随机抽取2次，每次抽取1张，则2次抽到的卡片上的数字之和为5的概率为______． 23.一个袋子中有大小和质地相同的5个小球，其中有3个红色球、2个绿色球，从袋中不放回地依次随机摸出2个球，则两个球颜色相同的概率为_________. 24.（24-25高一下·山东泰安·期末）袋子中有5个大小质地完全相同的球，其中2个红球，3个黄球． (1)若这5个球分别标有数字，，，，，现从袋中每次任取一个球，每次取出后不放回，连续取两次，求两个小球所标数字之和为3的倍数的概率； (2)若从中摸出一个球，观察颜色后放回，再摸出一个球，求两球颜色恰好不同的概率． 25.已知袋中有8个大小质地相同，颜色不全相同的小球，分别为黑球、白球、红球，从中任意取一球，取到黑球或白球的概率是，取到白球或红球的概率是． (1)从中任取两个球，求取出的两个球颜色不相同的概率； (2)若有放回的取球，求取出的两个球一个是白色一个是红色的概率． 【考点四】互斥事件的概率加法公式 26.（24-25高一下·福建莆田·期末）若，则（    ） A．0.5 B．0.4 C．0.3 D．0.2 27．（24-25高一下·河北沧州·期末）已知事件A，B，C两两互斥，且，则（   ） A． B． C． D． 28．（24-25高一下·新疆巴州·期末）某射击运动员平时训练成绩的统计结果如下： 命中环数 6 7 8 9 10 频率 0.1 0.2 0.25 0.3 0.15 若这名运动员只射击一次，则命中的环数大于8环的概率为（    ） A．0.3 B．0.45 C．0.55 D．0.7 29.若随机事件，互斥，且，，则（    ） A．0 B．0.18 C．0.6 D．0.9 30.（24-25高一下·贵州贵阳·期末）已知事件A与事件B互斥，若，则______ 31.已知事件与事件发生的概率分别为，，且，则______. 32.（24-25高一上·安徽蚌埠·期末）某班元旦联欢会上开展趣味抽奖小游戏，在不透明的盒子里装有标号为1，2的两个红球和标号为3，4，5的三个白球，五个小球除颜色外完全相同，参与游戏的同学从中任取1个，有放回的抽取2次，根据抽到小球的情形分别设置一，二，三等奖.班委会讨论了以下两种规则： 规则一：若抽到两个红球且标号和为偶数获一等奖，抽到两个白球且标号和为偶数获二等奖，抽到两个球标号和为奇数获三等奖，其余不获奖； 规则二：若抽到两个红球且标号和为奇数获一等奖，抽到两个球的标号和为5的倍数获二等奖，抽到两个球标号和为偶数获三等奖，其余不获奖. (1)请以标号写出两次抽取小球的所有结果（其中x，y分别为第一、第二次抽到的小球标号）； (2)求两种规则下获得二等奖的概率； (3)请问哪种规则获奖概率更大，并说明理由. 【考点五】利用对立事件的概率公式求概率 33.（24-25高一下·内蒙古呼伦贝尔·期末）已知事件互斥，且，则（    ） A． B． C． D． 34．（24-25高一下·河北雄安·期末）已知事件，互斥，，且，则（   ） A． B． C． D． 35. （多选）（25-26高一上·辽宁·期末）在学校运动会开幕式上，100名学生组成一个方阵进行表演，他们按照性别（M（男）、F（女））及年级（（高一）、（高二）、（高三））分类统计的人数如下表，若从这100名学生中随机选一名学生，则下列概率正确的是（   ） 性别 M 14 20 18 F 17 21 10 A． B． C． D． 36．（多选）（25-26高一上·辽宁抚顺·期末）已知事件满足，，则下列结论正确的是（   ） A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果与互斥，那么 D．如果与相互独立，那么 37.（24-25高一下·福建福州·期末）设是一个随机试验中的两个事件，且，则_______. 38．（24-25高一下·福建福州·期末）已知事件A的对立事件为，，．若，则______，______ 39.从1~30这30个整数中随机选择一个数，设事件M表示选到的数能被2整除，事件N表示选到的数能被3整除．求下列事件的概率： (1)这个数既能被2整除也能被3整除； (2)这个数能被2整除或能被3整除； (3)这个数既不能被2整除也不能被3整除． 【考点六】独立事件的乘法公式 40.（25-26高一上·江西景德镇·期末）口袋里共有5个球，其中3个是白球，2个是黑球，这5个球除了颜色之外完全相同.若2个人依次不放回地摸球，则第二个人摸到白球的概率是（    ） A． B． C． D． 41．（25-26高一上·湖南邵阳·期末）已知甲、乙两名运动员进行射击比赛，各射击一次，是否中靶相互独立.若恰好一人中靶的概率为0.26，至少一人中靶的概率为0.98，则甲、乙两人都中靶的概率是（   ） A． B． C． D． 42. （多选）（24-25高一下·黑龙江绥化·期末）已知随机事件A和B，若，，则下列结论正确的是（   ） A．若A与B相互独立，则 B． C．若，则 D．若，则 43．（多选）（24-25高一下·甘肃白银·期末）从甲袋中摸出一个红球的概率是，从乙袋中摸出一个红球的概率是，现从甲、乙两袋中各摸出一个球，且相互独立，则（    ） A．2个球都是红球的概率为 B．2个球都不是红球的概率为 C．至少有1个红球的概率为 D．2个球中恰有1个红球的概率 44.（25-26高一上·河南驻马店·期末）已知事件，发生的概率分别为，，若与相互独立，则______. 45．（25-26高一上·辽宁鞍山·期末）甲、乙两人进行投篮比赛，甲每次投中的概率为，乙每次投中的概率为，且甲、乙两人投中与否互不影响．若甲、乙各投一次，则两人至少有一人投中的概率是______． 46.（25-26高一上·辽宁大连·期末）在一次数学练习中，甲､乙两人同时独立做同一道数学题，已知甲､乙能做对的概率分别是0.7和0.6. (1)求两人都做对此数学题的概率； (2)求恰有一人做对此数学题的概率. 【考点七】独立事件的判断 47.（24-25高一下·吉林·期末）依次抛掷两枚质地均匀的骰子，表示事件“第一次抛掷骰子的点数为奇数”，表示事件“第一次抛掷骰子的点数为”，表示事件“两次抛掷骰子的点数之和为”，表示事件“两次抛掷骰子的点数之和为”，则（    ）． A．与为对立事件 B．与为相互独立事件 C．与为相互独立事件 D．与为互斥事件 48．（24-25高一上·山东潍坊·期末）一个袋子中有标号分别为1，2，3，4的4个小球，除标号外无差异.不放回地取两次，每次取出一个.事件“两次取出球的标号为1和4”，事件“第二次取出球的标号为4”，事件“两次取出球的标号之和为5”，则（   ） A． B． C．事件与互斥 D．事件与相互独立 49. （多选）（24-25高一下·山西吕梁·期末）分别抛掷两枚质地均匀的硬币，设事件A =“第一枚硬币反面朝上”，事件B =“第二枚硬币反面朝上”，则下列结论中正确的是（    ） A． B． C．A与B互斥 D．A与B相互独立 50．（多选）（25-26高一上·江西新余·期末）下列命题中正确的是（    ） A．数据27，12，14，30，15，17，19，24的第70百分位数是24 B．若A，B是互斥事件，则 C．若，，则事件A，B相互独立与A，B互斥一定不能同时成立 D．若样本的平均数和标准差分别为2和3，则的平均数和标准差分别为8和9. 51.设样本空间含有等可能的样本点，且事件，事件，事件，使得，且满足两两不独立，则______. 52．（25-26高一上·贵州遵义·期末）如图，元件通过电流的概率均为，且各元件是否通过电流相互独立，则电流能在，之间通过的概率是__________. 53.（24-25高一上·贵州遵义·期末）随机从0，1，2，3，4五个数字中任取两个不同的数字组成一个两位数. (1)请写出样本空间并求样本点个数； (2)设事件：所得的两位数为奇数，事件：所得的两位数大于40，判断事件与是否相互独立. 【考点八】用频率估计概率 54.（23-24高一上·陕西汉中·期末）我国古代数学名著《九章算术》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来石（古代容量单位），验得米内夹谷（假设一粒米与一粒谷的体积相等），抽样取米一把，数得254粒内夹谷28粒，则这批米内夹谷约为（    ） A．213石 B．152石 C．169石 D．196石 55.天气预报说，在今后的三天中，每天下雨的概率都为60%．现采用随机模拟的方法估计这三天中恰有两天下雨的概率．用1，2，3，4，5，6表示下雨，用计算机产生了10组随机数180，792，454，417，165，809，798，386，196，206据此估计这三天中恰有两天下雨的概率近似为（    ） A． B． C． D． 56.给出下列四个命题： ①设有一批产品，其次品率为0.05，则从中任取200件，必有10件是次品； ②做100次抛硬币的试验，结果51次出现正面朝上，因此，出现正面朝上的概率是； ③随机事件发生的频率就是这个随机事件发生的概率； ④抛掷骰子100次，得点数是1的结果有18次，则出现1点的频率是. 其中正确命题有（　　） A．① B．② C．③ D．④ 57.长时间玩手机可能影响视力，据调查，某校学生大约30%的人近视，而该校大约有40%的学生每天玩手机超过，这些人的近视率约为60%．现从每天玩手机不超过的学生中任意调查一名学生，则他近视的概率为___________． 58.在一次全运会男子羽毛球单打比赛中，运动员甲和乙进入了决赛．羽毛球的比赛规则是3局2胜制，假设每局比赛甲获胜的概率为0.6，乙获胜的概率为0.4，利用计算机模拟试验，估计甲获得冠军的概率．为此，用计算机产生1～5之间的随机数，当出现随机数1，2或3时，表示一局比赛甲获胜，其概率为0.6．由于要比赛三局，所以每3个随机数为一组．例如，产生了20组随机数： 423  231  423  344  114  453  525  323  152  342 345  443  512  541  125  342  334  252  324  254 相当于做了20次重复试验，用频率估计甲获得冠军的概率的近似值为_____． 59.在一个不透明的布袋中，红色、黑色、白色的玻璃球共有50个，除颜色外其他完全相同，小明通过多次摸球试验后发现其中摸到红色球，黑色球的频率稳定在30%和40%，则口袋中白色球的个数可能是__________个． 60.某个制药厂正在测试一种减肥药的疗效，有500名志愿者服用此药，结果如下： 体重变化 体重减轻 体重不变 体重增加 人数 276 144 80 如果另有一人服用此药，估计下列事件发生的概率： （1）这个人的体重减轻了； （2）这个人的体重不变； （3）这个人的体重增加了. 1 学科网（北京）股份有限公司 $