2026年中考数学二轮复习《圆综合压轴题》解答题专题提升训练

2026年中考数学二轮复习 《圆综合压轴题》解答题专题提升训练 1．如图，是的直径，点C在上，D为的中点，过点D作的切线，交的延长线于点E，连接． (1)求证：； (2)若的半径为3，，求的长． 2．如图，为的内接三角形，．过点作，且．连接，交于，交于． (1)求证：是的切线； (2)若，求的半径及的长． 3．如下图，等腰三角形内接于，点D是上一点，连接，连接并延长，交的延长线于点E． (1)求证：； (2)在线段上找一点G，连接，交于点H，使得．求证：； (3)若，，，求的面积． 4．如图，为的直径，射线交于点，过上点作直线于点，交的延长线于点．直线是切线，连接并延长交于点． (1)求证：平分； (2)若，请判断和的数量关系．并证明结论； (3)在（2）的条件下，若半径为1，求图中阴影部分面积_________． 5．已知点，在以为直径的上，，过点作的切线与的延长线相交于点． (1)如图①，连接，若，求的大小； (2)如图②，连接与相交于点，若四边形是平行四边形，，求线段的长． 6．如图，为直径，为上一点，平分交于，过作的切线交延长线于点． (1)求证：； (2)若，，求的长． 7．如图1，为的弦，经过圆心交于点，，若，长为． (1)试判断直线与的位置关系，并说明理由； (2)如图2，在原有条件下，若，连接，求的长． 8．如图，是的一条弦，是的中点，过点作于点，过点作直线交的延长线于点，且． (1)求证：是⊙的切线； (2)若，，求的半径． 9．已知，在中，直径弦，垂足为点，连接是的弦． (1)如图①，连接，若，求的大小； (2)如图2，直线切于点，与的延长线交于点，连接，若，，，求的大小和线段的长． 10．如图，是的直径，射线与相切于点是射线上一点，交于点，射线交于点． (1)求证：； (2)若，求的度数； (3)若，求的值． 11．如图1，内接于的平分线与和分别交于点D和E，F是延长线上一点，连接，且． (1)求证：点F到三边所在直线的距离相等； (2)若经过点O，连接，如图2，求证：； (3)若，请用等式表示线段之间的数量关系，并证明． 12．如图，是的直径，是的弦，且，垂足为，过点作的切线，交的延长线于点，连接． (1)若，求的度数； (2)若，． ①求弦的长； ②求阴影部分的面积． 13．如图①，在圆内接四边形中，点E是四边形中对角线上的一点，且满足，分别延长，交于点M，N，连接． (1)求证：是的直径． (2)如图②，若．求的长． (3)在内是否存在其他点G，使？若存在，请给出证明；若不存在，请说明理由． 14．如图，，为的直径，为上与，，，均不重合的点，于点，于点，．连接． (1)如图1，若的延长线经过点，，求的大小； (2)如图2，若，求线段的长． 15．已知线段是的一条弦，点C是上的一点． (1)连接、，如图1，如果，，且，求的半径长； (2)当圆心在线段上时． ①如图2，已知点D在上，满足，且，如果，求的长． ②如图3，已知点E在线段上，满足，如果沿着弦翻折后的弧线恰好经过点，求的值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《2026年中考数学二轮复习《圆综合压轴题》解答题专题提升训练》参考答案 1．(1)见解析 (2) 【分析】（1）连接，交于点F，求出，，即可判断； （2）过点D作于点H，求出，，，最后求出，由为的中点即可求出的长． 【详解】（1）证明：连接，交于点F， 是的切线， ， ， 为的中点， ， ， ， ， ， ， ． （2）解：过点D作于点H， ∵在中，，， ， ， ， ， ， ， 为的中点， ， ． 2．(1)见解析 (2)的半径为5；的长为 【分析】（1）连接，并延长交于点M，根据垂径定理推论可推出，结合平行线的性质，即可证得结论； （2）连接，根据同弧所对的圆周角相等得到，然后由等弧所对的弦相等以及三线合一求得，进而由正切值求得，接着利用勾股定理建立方程即可求得半径和，得到，最后由，利用相似三角形对应边成比例即可求解． 【详解】（1）解：如图，连接，并延长交于点M， ∵，过圆心， ∴， ∵， ∴， ∵是半径， ∴是的切线； （2）解：如图，连接， ∵和都是所对的圆周角，， ∴， ∴， ∵，， ∴， 又∵由（1）可知，， ∴， ∴，即， 设的半径为r，则，， ∵在中，， ∴， ∴，即的半径为5； 在中，， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵点E在上， ∴， ∴． 3．(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】（1）连接，由等边对等角并结合圆周角定理可得，再结合三角形外角的定义及性质即可得证； （2）由（1）可得，由等边对等角可得，从而可得，结合圆周角定理可得，即可得证； （3）先由题意求出，作于点，，设，则，，解直角三角形得出，再结合勾股定理计算即可得出的值，最后由三角形面积公式计算即可得出结果． 【详解】（1）证明：如图：连接， ， ∵， ∴ 由圆周角定理可得：， ∴， ∵， ∴； （2）证明：由（1）可得：， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）解：∵， ∴， ∴， 如图，作于点， ， ∵， ∴， 设，则，， ∵， ∴， ∴， 由勾股定理可得：， ∴， 解得：或（不符合题意，舍去）， ∴，， ∴的面积． 4．(1)见解析 (2)，证明见解析 (3) 【分析】（1）连接，由切线的性质得出，证出，则可得出结论； （2）证明是等边三角形，得出，由直角三角形的性质可得出结论； （3）由（2）得，，由勾股定理求出的长，由三角形的面积及扇形的面积可得出答案． 【详解】（1）证明：如图，连接， 直线是的切线， ， ， ， ， ， ， ， ， 平分； （2）解：， 证明：直线是的切线， ， ， ， ， 是等边三角形， ， ， ， ， ； （3）解：由（2）得，， 半径为1， ， ， 图中阴影部分面积． 5．(1) (2) 【分析】（1）利用切线的性质求得，得到，再利用等边对等角，结合直径所对的圆周角是直角求解即可； （2）证明和是等边三角形，从而得到四边形是菱形，进而求得，，最后解直角三角形即可求解． 【详解】（1）解：连接， 与相切， ，即， ， ， ， ， ， ， 为的直径， ， ； （2）解：四边形是平行四边形， ， ， ，， ， ，， 是等边三角形，同理也是等边三角形， ， 四边形是菱形， ，， ，即， ， 又与相切，即， ， ． 6．(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）连接，由圆周角定理可得，结合角平分线的性质可得，则，由切线的性质可得，因此； （2）延长交于点，由勾股定理可得，则，容易证明，计算得，则，由平行可判定，计算得． 【详解】（1）证明：如图，连接， ∵为直径， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵与相切， ∴， ∴， ∴； （2）解：如图，延长交于点， 在中，， ∴， ∵， 又∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴． 7．(1)直线与相切，理由见解析 (2) 【分析】（1）连接，由，，推出，根据弧长公式可得，利用三角形的外角性质可得，即可判断； （2）连接，根据含的直角三角形的性质可求出，进而得到，由可得，根据勾股定理求出，即可求解． 【详解】（1）解：直线与相切，理由如下： 如图，连接， ，， ，， ， ， 的半径为， 长为，   ， ， ， ， ， ， 为的半径， 直线与相切； （2）如图，连接， 由（1）得，，， ， ， ， ， ， ， ， ． 8．(1)见解析 (2) 【分析】（1）由得到，再利用角的互余关系和对顶角证明，再由为半径，则切线可证； （2）过点作于点，由已知求出，，再证明再求的半径即可． 【详解】（1）证明： ， ， ， ． 又， ． ， ． ． ． ． 又为半径， 是的切线． （2）解：如图所示，过点作于点， 连接， 是的中点， ，， 又，， ． ， ， ，， ． 在和中， ，． ． ． ． 得． 9．(1) (2)， 【分析】（1）由题可知，进而得到，结合圆周角定理即可求解； （2）根据平行线的性质及等边对等角，先求出，进而得到，再根据求解，在中，根据计算边长即可． 【详解】（1）解：在中，直径弦于点， ，即， 又， ， ， ； （2）如图，连接， 直线切于点， ， ， ， ， ，， ， ， 在中，， ． 10．(1)见解析 (2) (3) 【分析】（1）由，可得，又根据切线的性质及圆周角定理可得，进而得到； （2）设，利用相似三角形的判定得到，继而可得，求解即可； （3）通过论证，可得，进而计算的值即可. 【详解】（1）证明：， ， 是的直径， ， ， 是的切线， ， ， ， ； （2）解：设， 由（1）得， ， ， ， . 由（1）得， ， ， ， 即； （3）证明：由（1）得， ， ， 又， ， ， 由（1）得， ， ， ， ， ， ， . 11．(1)见解析 (2)见解析 (3)，理由见解析 【分析】（1）延长到点M，先推导出点F到所在直线的距离相等，，得到点F到所在直线的距离相等，即可解答； （2）过点F，作的延长线于点N，先推导出，得到，，，继而推导出，得到，则，即可推导出； （3）连接，过点作的延长线于点，作于点，作的延长线于点，推导出，，继而推导出，得到，证明出，，得到，，推导出，，则． 【详解】（1）证明：延长到点M，如图 ∵是的平分线，F是延长线上一点， ∴点F到所在直线的距离相等， ∵，， ∴， ∴点F到所在直线的距离相等， ∴点F到三边所在直线的距离相等； （2）证明：过点F，作的延长线于点N，如图 ∴， ∵是的平分线， ∴， ∴， ∵是的直径， ∴，， 又∵点F到三边所在直线的距离相等； ∴，， ∵， ∴， ∴， 即， ∴． （3）解：，理由如下： 如图，连接，过点作的延长线于点，作于点，作的延长线于点， 由(1)可知，，， ，， ，， ，， ，，， ． ，， ， ． ∵， ∴，即， ，，， ，， ，， 即，， ，， ． 12．(1) (2)①；② 【分析】本题考查切线的性质、垂径定理、圆周角定理、解直角三角形、扇形面积公式、勾股定理，熟练掌握相关性质定理、数形结合的思想方法的运用是解题的关键． （1）连接，根据切线的性质得到，进而求出的度数，利用圆周角定理求出的度数； （2）①设的半径为，则，在中，根据勾股定理列出关于的方程，求出的值，利用垂径定理得到，在中， ，据此求解即可； ②连接，由①得，且，由垂径定理得到，进而求出，在中，，进而求出，利用阴影部分的面积为求解即可． 【详解】（1）解：如图，连接， 是的切线， ， ， 在中，， ， ， ； （2）解：①设的半径为，则， ， ， 由（1）知，， 在中，由勾股定理得：， 即， 解得：， ， ， 是的直径且， ， 在中，，， ， ； ②如图，连接，由①得，且， 是的直径且， ， ， 在中， ，， ， 由①得， ， 阴影部分的面积为． 13．(1)证明见详解 (2)5，过程见详解 (3)存在其他点G，理由见详解 【分析】（1）结合已知条件，利用直径所对的圆心角为即可证明； （2）由题意可知是等边三角形，而是已知的，因此将绕点C逆时针旋转得，连接，则使建立联系，进而求解； （3）参照第（1）问的解题思路，点G需要满足这两个角所对的圆心角和为，因此从构造直径入手即可解决． 【详解】（1）证明：如图1，连接，，，则有 ，． ∵， ∴， ∴三点在同一直线上， ∴  是的直径 ； （2）解：如图2，将绕点C逆时针旋转得，连接，则是等边三角形． 所以，． ∵， ∴即 ∴， ∴． ∵， ∴ ， ∴ ， ∴． 在中，，，由勾股定理，得 ． ∴； （3）解：存在其他点G，使，证明： 如图3，在下方任作直径，连接，，，与相交于 G，则有，． ∵ ∴． 14．(1) (2) 【分析】（1）连接，，证明，得，再证明，即可得出结论； （2）延长，与分别交于点，，连接，，．得，由勾股定理求出，证明为的中位线，即可得出结论． 【详解】（1）解：如图，连接，， 因为， 所以， 从而， 而， 所以，， 所以为的中点， 又， 所以是线段的垂直平分线， 所以，， 故， 又是直径， 所以， 又已知， 因为， 所以，， 因为， 所以， 即， 所以． （2）解：如图，延长，，分别交于点，，连接，，． 因为， 所以， 而， 所以． 因为， 所以为的中点， 同理为的中点， 所以为的中位线， 故． 15．(1)4 (2)①；② 【分析】（1）连接、，根据圆周角定理得到，进而得到是等腰直角三角形，利用勾股定理求解即可； （2）①连接，根据垂径定理得到、，由三角形中位线的性质得到，根据圆周角定理得到，利用求出长，进而求出长，在中，根据勾股定理求出长，利用求解即可； ②过点E作交于点，连接、、、，设、，则，由翻折的性质得：、、，证明，则，再证明，进而得到、，证明，得到，据此解答即可． 【详解】（1）解：如图，连接、， 、， 是等腰直角三角形， 在中，， ， 解得或（舍去）， 的半径长为4； （2）①解：如图，连接， 、是的半径， 、， 点是的中点， 是的中位线， ， 是的直径， ， ， ， ， ， 在中，由勾股定理得：， ； ②解：如图，过点E作交于点，连接、、、，设交于点， ， ， 设、，则， 由翻折的性质得：、、， 是的直径， ， 在中，由勾股定理得：， 、， ， ， 、， ， ， ， 、， ，， ， ， ， ， 在中，． 【点睛】本题考查圆周角定理、垂径定理、等腰直角三角形的性质、勾股定理、相似三角形的判定与性质、翻折的性质，熟练掌握相关性质定理，数形结合的思想方法的运用是解题的关键． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $