2026年中考数学二轮复习《圆综合压轴题》解答题专题提升训练

2026年春九年级数学中考二轮复习《圆综合压轴题》解答题专题提升训练（附答案） 1.如图，⊙O中，AB是直径，点C在AB的延长线上，CE⊥AD,交AD的延长线于 E,且∠BDC=∠A. (1)求证：CD是⊙O的切线： (2)求证：CE2=AEDE: 3B)取半圆AB的中点R连接FD,交AB于G,若CE=4,tan∠BDC=求DG的长. 2.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3,BC=4,延长BC至D使得BD=2BC, 设P为线段AB上一动点（异于点A、B),连结PD交直线AC于M点，过P、M、B三 点作⊙O交直线AC于另一点N. (1)求证：BN=PN: 2)设OO的半径为R,给出下列两个结论：①MN的长度不变，@M 的值不变.其中有 R 且只有一个结论是正确的，请你判断哪一个结论正确，证明正确的结论并求出其值， 3.如图，△ABC为⊙O内接三角形，AB为⊙O直径，点E在线段AB延长线上，线段 EM过点C,且MO⊥AB交AC于F,∠OFA+∠ECA=180°， B (1)若∠MFC=60°，求∠FOC的大小： (2)若CB=BE=1,求弧BC、线段BE、EC围成的阴影部分的外围周长. 4.如图，AB是OO的直径，点D是弧AE上一点，且∠BDE=∠CBE,BD与AE交于 点F E D 1)求证：BC是⊙O的切线： (2)若BD平分∠ABE,求证：DE=DF·DB: (3)在(2)的条件下，延长ED,BA交于点P,若PA=AO,DE=2,求PD的长和⊙O的 半径. 5.如图，AB是⊙O的直径，C:D是⊙0上两点，C是BD的中点，过点C作AD的垂线， 垂足为E,连接AC交BD于点F」 D (1)求证：CE是⊙O的切线： (2)求证：△CDF一△CAD: (3)若CF=3,DC=4,求⊙O的半径 6.如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB为⊙O的直径，在△ABC外侧作 ∠CAD=∠CAB,过点C作CD⊥AD于点D,交AB延长线于点P. D (1)求证：PC是⊙O的切线： (2)用无刻度的直尺和圆规作出∠ACB所对弧的中点F.(不写作法，保留作图痕迹)： B)在R基础上连接CP,交AB于点Z,连接BF=52,tan∠PCB求线段PB的长. 7.已知：如图，在⊙O中，∠PAD=∠AEP,AF=CF,AB是⊙O的直径， CD⊥AB于点G, (1)求证：AP是⊙O的切线， (2)若AG=4,tan∠DAG=2,求FG的长， (3)在(2)的条件下，求△ADE的面积. 8.如图，在⊙O中，直径BC=6,AB⊥BC,AD是⊙O的切线，点D为切点， 0 图1 图2 图3 (1)如图1，求证：AD=AB: (2)如图2，线段AO交⊙O于点E,连结DE,若DE‖BC,求AE的长： (3)如图3，线段AC交⊙O于点F,连结DF,若DF‖BC,求AF的长， 9.如图，已知等腰△ABC,AB=AC,作△ABC的外接圆为⊙O,小明同学利用尺规 按以下步骤作图： ①以点C为圆心，以任意长为半径画弧，分别交AC,BC于两点， ②再以点A为圆心，以相同长度为半径画弧交AC于点M, ③以点M为圆心，以AC,BC两弧交点间的距离为半径，交第一个弧于点N:过点C作 AC的垂线交射线AN于点D,AE为∠CAD的角平分线： (1)求证：AD是⊙O的切线： (2)若AB=AC=3,BC=2,求△AED的面积. 10.如图1，△ABC,△BCD均内接于⊙O,点A,D在弦BC的同侧，AC是⊙O的直 径，OD‖AB D 图1 图2 (1)求证：BD=CD (2)如图2，过点A作AF⊥BD交CD于点F,交OD于点G,点E为垂足. ①求证：△DFG一△BDA. ②若DF=m·CF,记sin∠ACB=n,求n与m之间的函数表达式. 11.四边形ABCD内接于⊙O,且BC=CD,连接对角线AC,BD相交于点E. 0 D 图1 图2 (1)如图1，若∠BCD=112°，求∠BAC的度数： (2)如图1，过点C的直线CF交AD的延长线于点F,且∠DCF=∠CBD.求证：CF是 ⊙O的切线： (3)如图2，点M在线段AD上，连接BM交AC于点N.若∠BNE=∠BEN,求证： 1+1=1 BD BM BE 12.已知：在△ABC中，以AC边为直径的⊙O交BC于点D,BH⊥AC,垂足为G,交 ⊙O于点E,连接DE,CE. B (1)求证：∠EBC=∠DEC: 2)点F为线段BE上一点，连接DF.若BF=DF,求证：FD是⊙O的切线： (3)若∠ABC=45°，⊙O的直径AC=5,BD=4,求CE的长， 13.如图1，Rt△ABC内接于半径为5的圆O,∠ABC=90°，点D为半圆AC上一动 点，连接BD交AC于点E, D D G F 图1 图2 图3 (1)如图2，连接AD,若AB=AD=2,求BD的长： 2如图3.过点C作BD的平行钱交射线AB于点FR,交圆O于点G,若an∠DBC=子求 DE·FG的值 14.己知∠MPN的两边与⊙O相切于点A,B,⊙O的半径为r. M M B B 图① 图② 备用图 (1)如图①，点C在点A,B之间的优弧上，∠MPN=80°，求∠ACB的度数： (2)如图②，点C在⊙O上运动，当∠APB=60°，PC最大时，求证：四边形APBC为菱 形 3)若PC交⊙O于点D,求第(2)问中对应的阴影部分的周长（用含r的式子表示）. 15.如图1，⊙O的半径为4，线段AB经过圆心O,与⊙O交于点A,E,CD是⊙O的一 条弦，CD⊥AB于点F,连接BC 图 图2 (1)如图1，连接AD,若CD平分AB ①求证：△ADF≌△BCF: ②若∠B=30°，求证：BC是⊙O的切线： (2)如图2，延长BC交⊙O于点P,当CP=CB=4时，求CD的长， 16.如图，AB是半圆O的直径，C是半圆上一点，连接AC并延长到D,使DC=CA,连 接BD,BC,BD交半圆O于点E,已知AB=4. 图① 图② 图③ (1)如图①，过点C作CM⊥BD于点M,求证：CM是半圆O的切线： (2)如图②，当AD=BD时，求△ABD与半圆O重合的面积： (3)如图③，若点P是△BCD的内心，则当点P在半圆O上时，求∠DPC的度数， 17.AB为⊙O直径，弦CD(不是直径)交AB于H,=. E B 图1 图2 图3 (1)如图1，求证：AB⊥CD: (2)如图2，E为AO上一点，F为CD延长线上一点，连接CE,EF,若DF=HD, ∠C+2∠F=90°，求tan∠ECH的值： (3)如图3，在(2)的条件下，延长CE交⊙O于点G,连接AG、DG,延长DC至K,使 CK=4DG,连接BK、AK,若AG=4,KB=4V10,求⊙0半径. 18.如图，已知二次函 y=ax2+bx+c(a<0,c>0)与x轴交于点AB与y轴交于点 C,且以AB为直径的圆经过点C, C 备用图 (1)若点A(-2,0),点B(8,0,求ac的值： (2)若点A(X1,0),B(x2,0),试探索ac是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说 明理由. 3)若点D是圆与抛物线的交点(D与A、B、C不重合)，在(1)的条件下，x轴上是否存在 一点P,使得以P、B、C为顶点的三角形与△CBD相似？若存在，请直接写出点P坐标： 若不存在，请说明理由， 19.如图，AB为圆O的直径，弦CD⊥AB,垂足为点E,点C在⊙O上，连接OC,过 点C作OC的垂线，交BA延长线于点P,连接BC 图1 图2 图3 (1)如图1，求证：∠PCD=2∠ABC: (2)如图2点F为BC上一点，∠BCF=2∠ABC,连接DO并延长交BF于点G,求证： BG=FG: (3)如图3在(2)的条件下，连接EG,若EG=7,△BCF的周长为20，求CF的长. 20.定义：与三角形的一个内角相邻的外角平分线和与另一个内角相邻的外角平分线相交 所成的锐角，我们称之为该三角形第三个内角的对望角. B D B 图1 图2 图3 (1)如图1，∠D是△ABC中∠B的对望角，若∠B=ax,请用含a的代数式表示∠D: (2)如图2，在四边形ABCD中，∠B=∠ADC=90°，DE垂直平分AB,延长CD交 △ABC的外角平分线AF于点F,求证：∠F是△ABC中∠B的对望角： (3)如图3，在△ABC中，AB=BC,BE⊥AC,交△ABC的外角平分线CE于点E,连 接AE,△ABC的外接圆交BE于F、交CE于D,连接AD、AF、DF, ∠ABC=4∠AEC,当AB=4时，求△i的面积. 参考答案 1.(1)证明：如图1， D B H 图1 作直径DH,连接BH, .∠HBD=90° .∠H+∠BDH=90, “BD=BD .∠A=∠H, :∠BDC=∠A, ∴.∠H=∠BDC, ∴.∠BDC+∠BDH=90°， 即∠ODC=90°， 即半径OD⊥CD, .CD是⊙O的切线 (2)证明：，AB是⊙O的直径， .BD⊥AD .CE⊥AE, BD‖CE .∠DCE=∠BDC, .∠BDC=∠A, .∠A=∠DCE. ,∠E=∠E, ∴.△ACE~△CDE, 器光 ..CE2=AE-DE. (3)解：如图2， 01G 图2 作GN⊥BD于N, .∠BNG=∠DNG=90°， ,点F是半圆AB的中点， ∴.∠BDF=45, ∴.DN=DGcos∠BDF=DGcos45°= 92 DG, .GN-DG-sin 45-DG, 2 ,tan∠BDC= 2:∠DCE=∠BDC, :DE=CE-tan∠DCE=CEan∠BDC=4×=2, 由（2)得， CE=AEDE, .42=2AE, .AE=8, .AD=AE-DE=6. 在R△BGN中，tan∠ABD=AD=2, BD ∴BN= GN nAnn=5GN=1×2DGs 2 2 4 DN+BN=BD. 要nc+2G-3. 4 .DG=22. 2.(1)解：证明：连结BM,则∠1=∠2， 图1 .BD=2BC, ..BC=CD, :MC⊥BD, .MB=MD, ∠2=∠3， .∠3+∠PMN=180°，∠PMN+∠NBP=180°， .∠3=∠NBP, .∠1=∠2， .∠1=∠NBP, ..NB=NP: (2)②M 的值不变，其值为 证明：作OH⊥MN于H,连接ON,PN,BM, M D 6 图2 则MN=2NH,且∠NOH=∠NPM, ÷MWN=2NH R ON =2sin∠NoH=2sin∠1， ,CB=CD=4,CM⊥BD, .MB=MD .∠2=∠3， 又∠2=∠4+∠5，∠3=∠1+∠6， ,∠5=∠6， .∠1=∠4=∠NOH, 在Rt△ABC中，.∠ACB=90°，AC=3,BC=4, 六AB=AC2+BC-3+4=5, :MWN=2sin∠4=2×BC=8 R AB 5 所以，公的值不变，共位为 8 3.(1)解：如图所示，连接OC,则OC=OA, ∴.∠OCA=∠A, .∠OFA+∠ECA=180°，∠MCF+∠ECA=180°， .∴.∠MCF=∠OFA, .MO⊥AB交AC于F, .∴.∠AOF=90°， .∴.∠OCM=∠OCA+∠MCF=∠A+∠OFA=90°， .∠MFC=60°， .∴.∠MCF=∠OFA=∠MFC=60°， ∴.∠M=180°-∠MCF-∠MFC=180°-60°-60°=60°， ∴.∠FOC=90°-∠M=30°， 即∠FOC的大小为30°： (2)解：CB=BE=1, ∴.∠BCE=∠E, .∠OCE=∠OCM=90, ∴.∠BCO+∠BCE=90°，∠BOC+∠E=90°， ∴.∠BCO=∠BOC ∴.OC=OB=CB=BE=1, .∴.△BOC是等边三角形，OE=2BE=2, .∠B0C=60,EC=VOE2-0C=22-12=31 .1.=60m×1-n Bc1803 .1、+BE+EC=+1+3, BC 即弧BC、线段BE、EC围成的阴影部分的外围周长为乃+1+3. 4.(1)证明：，∠BDE=∠EAB,∠BDE=∠CBE, .∠EAB=∠CBE, .AB是⊙O的直径， .∠AEB=90, .∠EAB+∠EBA=90°， .∠CBE+∠EBA=90°， 即∠ABC=90°， 又，AB是⊙O的直径， BC是⊙O的切线； (2)证明：“∠DEA和∠ABD都是AD所对的圆周角， .∠DEA=∠ABD, ,BD平分∠ABE, .∠ABD=∠DBE, .∠DEA=∠DBE, ,∠EDB=∠BDE,∠DEA=∠DBE, △g一△DBE DEDF DB DE .DE=DF·DB: (3)解：根据题意画出图形，连接DA、DO, .OD=OB, .∠ODB=∠OBD ,∠EBD=∠OBD, ∴，∠EBD=∠ODB. .OD‖BE PD_PO ∵PEPB .PA=AO. .PA=AO=OB. 品 PD2 PE3' PD 0-2 六PD+DE3' .DE=2, .PD=4」 :∠PDA+∠ADE=180°，∠ABE+∠ADE=180°， ,∠PDA=∠ABE, OD‖BE ∴.∠AOD=∠ABE, .∠PDA=∠AOD ∠P=∠P,∠PDA=∠AOD, .△PDA一△POD 器册 设OA=X,则PA=X,PO=2X, PD=4, PD_PA PO PD' 4=X 2x4 x=22, ..0A=22 5.(1)证明：如图，连接OC交BD于点G, E D B C BD 点是 的中点， ∴.BC=CD1 ∴.BG=DG ,OC为半径， .OC⊥BD .∠DGC=90°， ,AB是⊙O的直径， ∠ADB=90, ∴.∠EDB=90°， .CE⊥AE, ∴.∠E=90°， ∴.四边形EDGC是矩形， ∴.∠ECG=90, ∴.CE⊥OC, ∴.CE是⊙O的切线： (2)证明：C是BD的中点， ∴.BC=CD ∴.∠BAC=∠DAC 又“BC=BC ∴.∠BDC=∠BAC .∠BDC=∠DAC,即∠CDF=∠CAD 又：∠DCF=∠ACD ∴.△CDF一△CAD (3)解：设FG=X,OC=r, 由(1)得BC=CD=4, ,AB是⊙O的直径， .∠ACB=90°， 在Rt△CBF中，CF=3 BF-BC2+CF-42+32=5 ∠DAG=∠BAC,∠DAC=∠DBC ∴.ㄥFBC=∠CAB 又，∠ACB=∠BCF ·△BCF△ACB BF=CF 即 5_3 AB CB' AB 4 解得：AB=20 10 .∴.⊙O的半径为 3 6.(1)证明：连接OC, B .OA=OC, .∠OCA=∠CAB, ,∠CAD=∠CAB, ∴.∠CAD=∠OCA. .AD OC, CD⊥AD, .OC⊥DP, .OC是圆半径， PC是⊙O的切线： （2)解：如图所示为所求： (3)解：连接OF, ∠ACB=90°CF ∠ACB 平分 .∠BCF=45°， .∠BOF=90°， .OF=OB,BF=52. 在Rt△OBF中，OB=5=5, ,∠ACO+∠OCB=∠PCB+∠OCB, .∠ACO=∠PCB .∠CAO=∠PCB=∠CAD, :tan∠PCB=2 1 tan∠CAo= 2,an∠CAD=1 22V/5 :.cos∠CA0= =5,c0s∠CAD=2 5 AB=10, 4C=AB0s∠CA0=10×25=45, AD-AC cO5 CAO-4*25-8. 5 :AD‖OC, .△OCP△ADP, 器器 设BP=X,则OP=5+x,AP=10+X, :5-5+x 810+x 解得x=10 BP=10 7.(1)证明：如图1所示，连接AC, F 小 图1 .AB是⊙O的直径，CD⊥AB, .=, ∴.∠AEP=∠ADC, :∠PAD=∠AEP, ∴.∠PAD=∠ADC, AP‖CD, ∴.AP⊥AB, ,AB是⊙O的直径， ∴.AP是⊙O的切线： (2)解：如图所示，连接BD, AF=CF, ∴.∠FAC=∠FCA, ∴=， =, ==, .∴.∠ADG=∠QDG, .AB⊥CD, .∴∠AGD=∠QGD=90°， 又.QG=QG, ∴.△AGD≌△QGD ASA, .∴.QG=AG=4,∠DQG=∠DAG, 在Rt△ADG中，an∠DAG=DC=2, AG ∴.DG=2AG=8, :AB是⊙O的直径，CD⊥AB ∴.CG=DG=8, .AF2=AG2+FG2, .(8-FG)2=42+FG2 ∴FG=3: (3)解：.DG=8, ∴.QD=VDG+QG=4V5 如图2，连接OD,过点E作EH⊥AB于H, 设圆O的半径为r,则OG=r-4, 图2 在Rt△ODG中，由勾股定理得OD=OG2+DG2, ∴.r2=(r-42+82 解得r=10, ∴.AB=20, ∴.BQ=12,AQ=20-12=8, .∠AEQ=∠DBQ,∠EAQ=∠BDQ, .∴.△AQE一△DQB ..QE=AQ QE 8 B0D0,即124府 .QE=245 5 .∠EQH=∠DQG=∠DAG, 在Rt△EQH中，an∠EQH=E盟=2， QH ∴.EH=2QH, .EH2+QH2=QE2, .4QH2+QH=576 QH=24 1 .EH=48 , '.S△ADE=S△ADQ+S△ABO =3AQ-DG+号AQEH ×8×8+×8x48 2 =70.4 8.(1)证明：，BC是⊙O的直径，AB⊥BC, .AB是⊙O的切线， 又：AD是⊙O的切线， ..AB=AD (2)解：如图，连结OD, .AB=AD,AO=AO,BO=DO. ∴.△ABO≌△ADO, .∠AOB=∠AOD .DE BC, .∠DEO=∠AOB. EO=DO .∠EDO=∠DEO=∠AOD ∴.∠AOD=60 Cos∠AOD=OD=1 OA 2' ∴.A0=2D0=6, .AE=AO-OE=6-3=3. (3)解：如图，连结OA,OD,FB,BD, .BO=DO,且∠AOB=∠AOD ∴.OA⊥BD .∠AOB+∠OBD=90°， ,AB⊥BC, .∠BAO+∠AOB=90°， .∠BAO=∠OBD DF‖BC, ∴.∠DFC=∠FCB=∠CBD .∠BAO=∠ACB,且∠ABO=∠CBA, ∴△ABO△CBA, AB=CB ·BOAB ,AB2=B0·BC=3×6=18, ..AB=32 ·AC=32+62=3V6 ∴COS∠ACB= 6V6 3V63· :BC是⊙O的直径， .∠CFB=90, Cos∠ACB= CF 6 BC 3' CF=26, :.AF=3V6-2V6=V6 9.(1)证明：连接AO并延长，交BC于H, ,⊙O是△ABC的外接圆， ∴.AH平分∠BAC, ..AB=AC, .AH⊥BC, ∴.∠AHC=90, .∠ACB+∠HAC=90 由作图可知∠CAD=∠ACB, .∠CAD+∠HAC=∠HAD=90, .AH⊥AD, .OA是半径， .AD是⊙O的切线。 (2)解：过E作EF⊥AD交AD于F, ∴.∠AFE=∠ACD=90°， ,AE平分∠CAD, .∠CAE=∠FAE, .△AFE≌△ACE, ..AF=AC=3, .∠ACD=∠AHC=90°，∠CAD=∠ACB, .△ACD一△CHA, 6肥 .AB=AC,AH平分∠BAC, :.HC=BC=1. ..AD=A =9 HC .DF=AD-AF=6. ,Rt△EFD一Rt△ACD, .△EFD一△CHA, DE=AH ED AC “AH=VAC2-HC2=2R2 :D=92. 2 S,m号AC-D=平2 10.(1)证明：延长DO交BC于点E, AC⊙O 图1 是 的直径， ∴.∠ABC=90°， OD‖AB ∴.DE⊥BC、∠ABD=∠ODB, ,∠ABD=∠ACD, ∴.∠ODB=∠ACD, .OD=OC, ∴.∠OCD=∠ODC, ∴∠ODC=∠ODB, .DE=DE, ∴.△DEC≌△DEB ASA, ∴CD=BD: (2)①证明：.AC是⊙O的直径， .∠ADC=90°， ∴.∠ADE+∠FDE=90°， .AF⊥BD, ∠g=90°， .∠FDE+∠DFE=90, .∠ADE=∠DFE, .OC=OD .∠ACD=∠ODC, .·∠ABD=∠ACD, ∴∠ABD=∠ODC, ∴.△DFG△BDA: ②解：.△DFG一△BDA, 需哈 DG‖AB, ·DG_DE AB BE DF=DE CD BE .DF=m·CF, 0出 DE-m BE m+1' m BD2 ·DE _m+1 DF-2m+1' ,∠ADE=∠DFA,∠DAE=∠DAF, .∴.△ADE△AFD 怨 怨品 ,:∠ACB=∠ADB, sin∠ACB=sin∠ADB=AE AD n, ..n=m+1 2m+1 11.(1)解：，四边形ABCD内接于⊙0，∠BCD=112°， .∠BAD=180°-∠BCD=68, =, 1 .∠BAC=∠DAC=5∠BAD=34°， .∠BAC=34°. (2)证明：如图，连接OC,OD,延长DO交⊙O于点G,连接CG, A Eò .DG为⊙O的直径， ∴.∠DCG=90°， ,∠DCF=∠CBD,∠CBD=∠CGD, .∠DCF=∠CGD OG=OC. ∴.∠OGC=∠OCG ∴.∠DCF=∠OCG .∠OCF=∠DCF+∠OCD=∠OCG+∠OCD=∠DCG=90°， .OC⊥CF, .OC是⊙O的半径， .CF是⊙O的切线 (3)证明：如图，过点E作EH‖BM, :EH‖BM, .∠AEH=∠BNE, ,∠BNE=∠BEN, ∴∠AEH=∠BEN, 在△ABE和△AHE中， ∠BEA=∠AEH AE-AE ∠BAE=∠HAE .△ABE≌△AHE ASA, .BE=HE, :EH‖BM, .△DEH一△DBM, .DE-EH ·BDBM DE BE BD BM BE+BE-DE BE-DE+BE-BD-1. BM BDBDBDBD BD 1+ 1 1 ∴BD*BM BE 12.（1)证明：如图，连接AD, H B .AC为直径， .∴.∠ADC=90°， ∴.∠DAC+∠ACD=90°， .BH⊥AC, .∠GBC+∠ACD=90°， .∠GBC=∠DAC=∠DEC, 即∠EBC=∠DEC: (2)证明：如图，连接DO, .OD=OC, ∴.∠ODC=∠OCD, FD=FB, .∴∠FBD=∠FDB, .∠FDB+∠ODC=∠FBD+∠OCD=90°， ∴.∠FD0=180°-∠FDB+∠ODC=90°， ∴.∠ODF=90°， ∴.OD⊥DF, 又OD是半径， ∴.DF是⊙O的切线： (3)解：如图，连接EO, .:∠ABC=45°，∠ADC=90°， .∠BAD=90°-45°=45°， ∴.AD=BD=4, 根据勾股定理可得CD=VAC-AD2=3' ∴.BC=BD+DC=7, 根据三角形面积公式可得S6=号AD:BC=号AC~BG. BG=AD·BC=28 AC 5' 根据勾股定理可得CG=VBC2-BG=21 0G=CG-C0=1 0: ∴EG2=0E2-0G2=84 5 .∴.EC=VEG+CG=V21 13.(1)解：如图所示，连接CD, B ,AC为圆的直径， .∠ABC=∠ADC=90°， 在Rt△ABC与Rt△ADC中 AD=AB=2 AC=AC .∴Rt△ABC△Rt ADC(HL) .∴∠BAC=∠DAC ∴.AE⊥BD,BE=ED :⊙0半径为V5 ..AC=25 ∴.在Rt△ABC中，BC=VAC2-AB=25-22=4 “cos∠ACB=BC=425 AC 25 5 ”∠ACB∠ADB都是AB所对的圆周角 ∴.∠ACB=∠ADB COs∠ADB=cos∠ACB=25=ED 5 AD 即ED=2S 25 解得ED=45 5 ·BD=2ED=8 5 (2)解：如图所示，连接AD、DC、BG :∠DBC∠DAC都是DC所对的圆周角 ∴.∠DBC=∠DAC tan∠DAC=tan∠DBC=l ,AC为圆的直径， .∠ADC=90, tan∠DAC=DC=1 AD 3 即AD=3DC 设DC=k,则AD=3k,k>0 又AC=2V5 ∴在Rt△ADC中，k2+3k?=25 解得k=V2或-V2(舍去) ∴.CD=2 BD‖CF .∴.∠DBC=∠BCG 又∠DBC、∠BCG都是⊙O的圆周角，CD、BG分别是它们所对的弦 ∴.CD=BG=RV2 ,四边形ABGC是⊙O的内接四边形 .∠BGF=∠BAC,∠FBG=∠ACF, :∠BAC∠BDC都是BC所对的圆周角 ∴.∠BAC=∠BDC ∴.∠BGF=∠BDC 'BD‖CF .∠AEB=∠ACF 又∠FBG=∠ACF,∠AEB=∠DEC ∴.∠FBG=∠DEC 在△FBG与△CED中 ∠FBG=∠DEC,∠BGF=∠BDC ∴·△FBG一△CED FG_BG “CDDE .DEFG=CD×BG=V2×V2=2 14.(1)解：(1)如图①，连接0A,OB .PAPB⊙O B N 图① 为 的切线， .∴.∠PAO=∠PBO=90°， .∴.∠AOB+∠MPN=180° .∠MPN=80°， ∴.∠AOB=100°， ∴.∠ACB=50 (2)证明：当PC最大时，PC经过圆心O. 如图②，连接OA,OB」 M A B 图② 由(1)可知，∠AOB+∠APB=180°， .∴当∠APB=60°时，∠AOB=120°， ∴.∠ACB=60°=∠APB PA,PB为⊙O的切线，PC经过圆心O, .'PA=PB 又.OA=OB,OP=OP, ∴.△AOP≌△BOP SSS, .∠AP0=∠BP0=号∠APB=30° 又PC=PC, .∴.△APC≌△BPC SAS, ∠ACP=∠BCP=∠ACB=30, 2 ∴.∠APO=∠BPO=∠ACP=∠BCP=30°， ∴.PA=PB=CA=CB, ∴.四边形APBC为菱形. (3)解：.'∠APO=30°，∠PAO=90°， ∴.∠AOD=60° .⊙O的半径为r, ∴.OA=OD=r, ∴.OP=2r,PA=3r, ∴.PD=OP-OD=r :的长=60m=m 1803 :阴影部分的周长=A+PD+AD的长=3+1+号 15.(1)解：①证明：.CD平分AB, ∴.AF=BF, ,CD⊥AB,线段AB经过圆心O, ∴.CF=DF,∠AFD=∠CFB=90°， .∴△ADF≌△BCF|SAS ②连接OC,OD, B F :△ADF≌△BCF .∠B=∠A=30°， ,∠EOD=2∠A=60°， .OG=OD,AB⊥CD, .∠EOC=∠EOD=60° .∠OCB=180°-∠EOC-∠B=90°， ∴.OC⊥BC,点C在圆上， .BC是⊙O的切线： (2)解：作OG⊥PC于G,连接OC, G A D 则GC=GP=2CP=2, ∴.BG=2+4=6'0G=V0C2-GC2=23 OB-0G2+BG2-43 sinB=OG、1 OB2则∠B=30°， .CF-BC2, AB⊥CD, ∴.CD=2CF=4. 16.(1)解：如下图所示，连接0C, D M ·.'DC=CAAO=BO B ○ .∴点O,点C分别为AB,AD的中点， ∴.OC‖BD, .CM⊥BD, ∴.OC⊥CM, .OC是半圆O的半径， .CM是半圆O的切线： (2)解：如下图所示，连接OC,OD,OE, D E B 过点C作CF⊥AB于点F, .AB是半圆O的直径， .∴.∠ACB=90°， DC=CA, .BA=BD, AD=BD, AD=BD=BA,∴△ABD是等边三角形， ∴∠CAB=∠ABD=60°， .OA=OC,OB=OE, ∴.△AOC和△BOE是等边三角形， .∴.∠AOC=∠E0B=60°， ∴.∠C0E=180°-60°-60°=60°， .AB=4, .AC-AO-AB-2.AF-1. ∴.CF=VAC2-AF2=22-12=3 ∴.△ABD与半圆O重合的面积 =56ac+SaoE+S0cae=号×3×2+5×3×2+60rx2=2Rg+2 360 3 (3)解：当点P在半圆O上时， :点P是△BCD的内心，AB是半圆O的直径， ∴.∠ACB=∠DCB=90°，∠BCP=∠DCP=45°，∠CBP=∠DBP, ∴.∠ACP=90°+45°=135°，∠ABP=180°-∠ACP=45°， .DC=CA,∠ACB=90°， .'BA=BD, ∴.∠ADB=∠DAB. 设∠CBP=∠DBP=X, 则∠DAB=180-∠ABP-∠DBP=180°-45°-x ∠CPB=180°-∠BCP-∠CBP=180°-45°-X, .四边形ABPC的内角和为360°， ∠ACP+2CPB+∠AB即+∠DBP=1350+180-45-X+45+号180-45-N=360 解得，X=15°， .∴.∠ABD=∠ABP+∠DBP=60° ∴.△ABD为等边三角形，∠ADB=60 ∠CDP=号ADB=30, ∴.∠DPC=180°-30°-45°=105. 答：当点P在半圆O上时，∠DPC的度数为105°. 17.(1)解：连接0C、OD, H D B =, ∴.∠COB=∠DOB, .OC=OD,OH=OH, ,△COH≌△DOH, .∠CHO=∠DHO=90, .AB⊥CD (2)解：作FM⊥CE垂足为M,设∠EFD=Q, E B 则∠ECD=90°-2a, .∠EFM=a, ,EF=EF,∠EHD=∠M=90°， .△EHF≌△EMF, .HF=MF, 设DF=a,则HD=CH=2a, .MF=HF=3a,CF=5a, ∴CM=CF2-FM2=4a tan∠ECH=3 (3)解：作AP⊥CG交⊙O于N,连接BN、GN, ∴.∠APE=∠CHE=90°， ,∠AEP=∠CEH, ∴.∠EAP=∠ECH, =, ..BN=GD :tan∠BAW=tan∠GCD=3 AN-号BN-号DG=CK, 3 :AB为⊙O的直径， .∠ANB=90°=∠CPA, CG‖BN,=, ∴.BC=NG,∠NAG=∠BCD, 延长BC至Q,使CQ=AG,连接GN, .△CQK≌△AGN, ∴.GN=QK=CB,∠KQC=∠AGN, 作KT⊥CQ延长线于T, ∵四边形ABNG内接于⊙O, .∠AGN+∠ABN=180, ,∠KQC+∠KQT=180°， .∠KQT=∠ABN, ∴tan∠KQT=tan∠ABN= 3 设TQ=3k, .KT=4k,KQ=BC=5k,在Rt△TKB中，KT2+BT2=BK2, 4k2+3k+4+5k2=4/102, k=1成k=号（合） .KT=4k=4,TC=3k+4=7, ∴KC=/72+4=R65=AW ..AB= AN =5y65 cos∠BAN4 A0=5V65. 8 图3 18.(1)解：设圆心为点M, A(-2,0),B(8,0 .M(3,0),⊙M的半径为5， .0C=VMC2-0M=4 .C0,4, 设抛物线解析式为y=a(x+2)(x-8), ,点C在抛物线上， ∴.a×2×(-8=4, ..a=-1 4 y=-子x*2x-8=-苦+3+4， 4 年b=4, ∴.ac=-1: (2)ac的值是定值，为-1， 理由：.点A(X1,0,B(x2,0), ∴.OA=X1,OB=X2,OC=c, ∠OAC+∠OCA=90,∠OCB+∠OCA=90°， .∠OAC=∠OCB, .∠AOC=∠BOC=90°， ∴.△OAC~△OCB, 光8器 ∴.OC2=OA·OB, .c2=-X1°x2' 令y=0时，0=ax2+bx+c, 。C X .c2=-9 a .ac=-1: (3),点D是圆与抛物线的交点(D与A、B、C不重合)，C(0,4), .D(6,4),即：CD‖AB, 当点P在x轴上时，如图1，设点P的坐标为m,0), D .C(0,4)D(6,4)B8,0) 图1 ∴.BC=82+42=49V5'CD=6'BP=8-m CD‖AB, ∴.∠BCD=∠ABC, ,以P、B、C为顶点的三角形与△CBD相似， ∴OBC=BC CD BP :45_46 68-m .m=2, ∴.P2,0 或②BC=Bp CD BC' 45_8-m 6451 m=-16 P吗9o 当点P在y轴上时，如图2， P D .'CD‖AB E 图2 .AC=BD' .BC=BE .BE=AD ∴.∠ABD=∠BCO, CD‖AB, .∴.∠BDC+∠ABC=180°， .∠BCO+∠BCy=180°， ∴.∠BDC=∠BGy, 设P(0,n), C(0,4),D(6,4),B(8,0) .BC=45,CD=6,BD=2/5,CP=n-4, ,以P、B、C为顶点的三角形与△CBD相似， 品器 6-4/5 285n-41 受 0号 或② CD CP BD BC' 6-n-4 2545' .n=16, .P40,16） 32或0,16. 综上所述，满足条件的点P的业标为201政-901或0， 19.(1)证明：，CD⊥AB,OC⊥CP, .∠PCO=∠CEO=90°， .∠PCD+∠OCE=∠OCE+∠POC=90°， ∴.∠PCD=∠POC, .OC=OB. .∠ABC=∠OCB, .∠POC=2∠ABC=∠PCD: (2)证明：连接OF,如图所示： A B .OC=OD,CD⊥AB, :∠A0C=∠A0D=克∠C0D, 由(1)可知：∠AOD=∠AOC=2∠ABC, :∠BCF=2∠ABC,∠AOD=∠BOG, ∴.∠BCF=∠BOG, ∠BCF=2∠BOF=∠BoG+∠FOG, .∠BOG=∠FOG, .OB=OF, .GF (3)解：连接OF,BD,CG,并延长DB,CG,交于一点H,过点C、F分别作 CM⊥BD,FN⊥BD,垂足分别为点MN,如图所示： D .CD⊥AB, ∴=， .BC=BD. .∠DBC=2∠ABC=∠BCF, .CF‖BD, .∠FCG=∠H. :∠CGF=∠HGB,FG=BG, ∴.△CGF≌△HGBAAS, ∴，CF=HB .CE=DE, .EG是△CDH的中位线 ∴.DH=2EG=14,即BH+BD=CF+BD=CF+BC=14, :△BCF的周长为20， .BF=20-CF+BC=6, 由(2)可知：∠BOF=∠COD=4∠ABC, =, ∴CD=BF=6, .DE=3, CM⊥BD,FN⊥BD,CF‖BD ∴.∠CMN=∠CMD=∠FNM=∠FNB=∠CFN=90°=∠BED ∴.四边形CMNF是矩形， ..CM=FN,CF=MN, .Rt△CMD≌Rt△FNB HL, .DM=BN. 设CF=MN=x,则有BD=14-x, :.DM=BD-MN=7-x, .∠CDM=∠BDE,∠CMD=∠BED=90° .△CDM一△BDE, 8品7g4 314-x 解得：x1=5,X2=16(不符合题意，舍去)， .CF=5 20.(1)解：：∠B=a, .∠BAC+∠BCA=180°-C, .∠CAE+∠ACF=360°-∠BAC+∠ACB =360°-180°-a =360°-180°+a =180°+， ,∠D是△ABC中∠B的对望角， .AD平分∠CAE,CD平分∠ACF, ∠CAD<CAE,∠ACD=号∠ACF, ∠CAD+∠ACD=2CAE+∠ACPF3XI80+a=90+a zD=180-zcD+∠AcD=-180-90+=90- B (2)解：连接BD,延长BC,如图所示： H ,DE垂直平分AB, .AD=BD. .∠BAD=∠ABD」 :∠ADC+∠ABC=90°+90°=180°， A、B、C、D四点共圆， ∴.∠DCB+∠BAD=180°，∠ACD=∠ABD, ∴.∠ACD=∠BAD, :∠DCB+∠DCH=180, .∠BAD=∠DCH, ∴.∠DCH=∠ACD. .CF平分∠ACH, ,AF是∠BAC的外角平分线， .∠F是∠B的对望角 (3)解：设AE交△ABC的外接圆于点G,连接BG、BD、DG、CF,则DG与BE交于 点H,如图所示： G :AB=BC,BE⊥AC, ∴.EB平分AC, .BE为AC的垂直平分线， ∴.AE=CE,BF是圆的直径， .∠EAC=∠ECA, 设∠BAC=∠BCA=2X,则∠ABC=180°-∠BAC-∠BCA=180°-4x, ,∠ABC=4∠AEC, :∠AEC=∠ABC=45°-X, 4 ∴∠EAC=∠ECA=180°-∠AEC=180°-45+X ,CE是△ABC外角的平分线，∠ACB=2x, :∠EAC=∠ECA=)180-2x=90°X :1800-45°+X=900-X, 2 解得：x=15°， .∠ABC=180°-4x=120°，∠AEC=45°-15°=30°， ·∠CBE=∠ABE= 1 2 ∠ABC=60°，∠BEC=∠BEA= 2 ∠AEC=15°， ,BF为圆的直径， ∴.∠BCF=90°， ∴.∠BFC=90°-∠CBE=30°， .∠FCE=∠BFC-∠CEB=30°-15°=15°， ∴.∠FCE=∠BEC, ∴.EF=CF=BC×tan∠CBE=4×tan60°=4V3, 同理可得：∠AFB=30°，∠FAE=15°， =,=, .∠DBF=∠FCE=15°，∠GBF=∠FAE=15, ∴.∠DBG=∠DBF+∠GBF=30°， :∠BFC=30°， ∠DBG=∠BFC, =, .DG=BC=4, .∠GBF=∠DBF=15°， =, :BF为圆的直径， BF⊥DG, :.DH=GH=-DG=2, : △兰=号EF,DH=号x43x2=438