2026年中考数学热门考点通关练——解直角三角形的应用

2026年中考数学热门考点通关练——解直角三角形的应用 1．某兴趣小组想利用测角仪测量一古塔的高度.如图，塔前有一座高为的观景台，已知，，点E，C，A在同一条水平直线上．图中所出现的点均在同一平面内.该兴趣小组在观景台C处测得塔顶部B的仰角为，在观景台D处测得塔顶部B的仰角为． (1)求的长； (2)求塔的高度．（取0.5，取1.7，结果取整数）． 2．如图，某风景区为方便游客登山，在某观景台处修建一条登山索道．已知观景台到出发点构成的坡面，的坡度，于点，于点，测绘人员在观景台处测得坡底处的俯角为，测得坡顶处的仰角为．求山峰的高度（结果精确到）．参考数据：． 3．某景区建有观光索道，如图，是其中一段索道，支架垂直于水平地面，为了实时监控索道运行状况，在斜坡上安装了一个监控探头，已知斜坡的坡比，从测得点的俯角为，点正下方的地面基准点为，即于点，从测得点的俯角为．（参考数据：） (1)求的长度；（结果保留小数点后一位） (2)检修员甲乘坐索道缆车从沿向匀速巡检，速度为；同时检修员乙从处沿斜坡步行，速度为，两人准备协同操作悬挂安全警示牌．他们随身携带高精度激光测距仪，可实时监测彼此的直线距离．根据作业规范，当测距仪显示两人之间的直线距离恰好为时，视为进入“关键作业区”，此时甲、乙需协同操作悬挂警示牌，求此时检修员乙走过的路程？（结果保留小数点后一位） 4．如下图，两条互相垂直的道路m，n交于点M，道路m上有相距的A，B两个观察点，同时观察到道路n上有一辆汽车C．此时汽车C位于观察点B的北偏东方向上，位于观察点A的北偏东方向上． (1)求C到M的距离； (2)汽车C突然加速，后到达点D，位于观察点B的北偏东方向上．问汽车C是否超速？（限速，） 5．金柱塔是安徽省马鞍山市当涂县标志性古建筑之一（如图1），在综合实践活动中，为了测得金柱塔的高度，如图2，在处用高为0.9米的测角仪测得金柱塔顶端的仰角，再向金柱塔方向前进18米至处，又测得金柱塔顶端的仰角．求金柱塔的高度． （结果精确到1米，参考数据：，，，，，）    6．小星利用测角仪测量古建筑的高度．如图，古建筑前有一座高为3米的斜坡（米），在斜坡顶端处测得古建筑顶部的仰角为，沿斜坡走5米到达斜坡底部处（米），此时测得古建筑的仰角为于点在同一条直线上，涉及到的所有点在同一平面内，设的高度为米．（参考数据：．） (1)直接写出的长为__________，的长为__________（用含的代数式表示）； (2)求古建筑的高度． 7．如图1是钓鱼迷们的必备神器——多功能晴雨伞，其设计巧妙地体现了轴对称之美．伞柄的支杆垂直于地面固定，仿佛一道无形的对称轴．使用者巧妙地用绳索将伞拉直，固定在树干的点处，使得、、三点恰成一条直线，宛如自然与智慧的完美结合．其中，． (1)垂钓时打开“晴雨伞”，若，求遮蔽宽度（结果保留根号）； (2)若由（1）中的位置收合“晴雨伞”，使得，求点下降的高度（结果精确到）．（参考数据：，，，） 8．如图，大坝横截面的迎水坡的坡比（）为，背水坡的坡比（）为，大坝高，坝顶宽． (1)求的长； (2)求大坝横截面的面积． 9．某学校计划修建地下车库，一数学兴趣小组根据《车库建筑设计规范》与所学知识，为学校地下车库设计并绘制了入库坡道示意图（如图），相关信息如下： （i）直线主坡道的水平距离为，坡度为0.12； （ii）左、右两段缓坡道为，，水平距离均为； （iii）和车库地面均与水平方向平行． 已知坡度，试根据上述信息解决以下问题： (1)求主坡道的铅直高度； (2)根据《车库建筑设计规范》：缓坡道坡度为主坡道坡度的，坡道的最小净高不低于．（坡道的净高为车库上方横梁到坡道的垂直距离） ①求车库高度； ②若，判断该坡道的最小净高是否符合设计规范，并说明理由． 参考数据：当时，，． 10．实验是培养学生创新能力的重要途径．如图1是小鸣同学安装的化学实验装置，安装要求为试管口略向下倾斜，铁夹应固定在距试管口的三分之一处．现将左侧的实验装置图1抽象成右侧示意图2，已知试管，，试管倾斜角为．（参考数据：，） (1)求试管口与铁杆的水平距离的长度； (2)实验时，导气管紧靠水槽壁，延长交的延长线于点，且上于点（点，，，在一条直线上），经测得：，，，求线段的长度． 11．如图①是渭北革命根据地烈士纪念碑，是陕西省省级重点烈士纪念设施保护单位，被列入陕西省不可移动革命文物名录．小张计划测量纪念碑的通高（碑顶到水平地面的距离），测量方案如下：如图②，小张在水平地面上的点处垂直竖立一根高度为的标杆，再沿方向前进到达点处，发现此时自己的眼睛、标杆顶点和纪念碑的最高点恰好在同一直线上，小张利用无人机在点的正上方的点处测得点的俯角为．已知，点P，F，E在同一直线上，，求纪念碑的通高．（参考数据： ） 12．科技赋能环保，智慧守护自然，嘉陵江重庆段的某一水域采用智能船进行水质监测．如图，，，，在同一平面内，，是智能船的水质监测基站．位于的正东方向，位于的正北方向20米处，位于的北偏东方向20米处，且位于的北偏西方向上．（参考数据：，） (1)求，之间的距离；（结果保留小数点后一位） (2)甲，乙两船同时分别从，出发沿，方向进行水质监测，甲，乙两船的速度之比是．当两船相距20米时，甲船检测到疑似被污染的水样，准备立即返回基站，求此时甲船距离基站有多远？（结果保留小数点后一位） 13．《淮南万毕术》记载：“取大镜高悬，悬水盆于其下，则见四邻矣．”这是世界上最早的潜望镜应用，其原理利用了光的反射定律（入射角等于反射角），如图1所示．其简易图如图2所示：，呈水平状态，在点上方处放置一面小镜，从目标射来的光线经点反射后到达点，再经过点反射到达观察者眼中．图中，为法线（即，镜面）． (1)如图2，若，，求的度数． (2)在（1）的条件下，若米，求点到点的距离（答案保留根号）． 14．某数学实践活动小组测量某电视塔的高度，如图，是长为的斜坡，坡角为，坡底到塔底的距离为．是垂直地面的测角仪，从点测得塔顶的仰角为，已知测角仪的高为，试求电视塔的高度．（已知图上所有的点都在同一平面，参考数据：，，，，，） 15．为加大科技进校园的力度，某市举办了机器狗越障大赛．如图，每个得分点，，，，都在同一平面内，点位于点的南偏东方向及点的正西方向上，点位于点的东北方向米及点正东方向100米处，点位于点的北偏西方向及点的东北方向上．（参考数据：，，） (1)求点到点的距离（结果保留小数点后一位）； (2)小中与小华是这次比赛的队友，小中的机器狗“梦想”从点出发，沿路线到达补给点．同时，小华的机器狗“成真”从点出发，沿路线到达点为“梦想”补给．机器狗“梦想”到达点的同时，机器狗“成真”也到达点，这时机器狗“成真”出现小故障，小华立即开启修复模式，此模式下，机器狗“成真”的速度只有机器狗“梦想”速度的一半．当机器狗“梦想”位于机器狗“成真”的北偏西方向时，机器狗“成真”恢复正常．求此时机器狗“成真”与点的距离（结果保留小数点后一位）． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《2026年中考数学热门考点通关练——解直角三角形的应用》参考答案 1．(1) (2) 【分析】（1）根据含角的直角三角形的性质求解即可； （2）过点作交于点，则得到矩形，根据，可设设，，，在中，利用锐角三角函数求解即可． 【详解】（1）解：∵在中，， ∴； （2）解：过点作交于点， ∵， ∴四边形为矩形， ∴，， ∵在中，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴设，则，， 则在中，，解得， 故． 答：塔的高度约为11米． 2．山峰的高度约为 【分析】作于点，连接，由坡度的定义可计算出，容易证明四边形是矩形，则．由题意可得，，，利用三角函数可计算出，最后求和即可． 【详解】解：如图，作于点，连接， 由题意可得，，， ∵的坡度， ∴， ∴， 在中， ， ∵，，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， 在中，， 在中，， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴． 答：山峰的高度约为． 3．(1) (2) 【分析】（1）由斜坡的坡比，得到，则，过作于，即可得到，再根据，解得，最后根据求解即可； （2）先证明是等边三角形，得到，，设进入“关键作业区”时，甲在处，乙在处，则，过作于，由速度关系设，则，即可求出，，接着根据中，列方程求解即可． 【详解】（1）解：由题意得，，， ∵斜坡的坡比， ∴， ∴， ∴， 过作于， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴； （2）解：∵， ∴是等边三角形， ∴，， 设进入“关键作业区”时，甲在处，乙在处，则，过作于 ∵检修员甲乘坐索道缆车从沿向匀速巡检，速度为；同时检修员乙从处沿斜坡步行，速度为， ∴， 设，则， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∵中，， ∴， 解得， ∵， ∴， ∴， ∴检修员乙走过的路程． 4．(1) (2)汽车C没有超速 【分析】（1）设，解得到，解得到，再根据建立方程求解即可； （2）根据（1）可得的长，解直角三角形求出的长，进而求出的长，再求出汽车的速度即可得到答案． 【详解】（1）解：设， 由题意得，，， 在中，， 在中，， ∵， ∴， 解得， ∴， 答：C到M的距离为； （2）解：由（1）得， 在中，， ∴， ∴， ∴汽车的速度为， ∵， ∴汽车C没有超速． 答：汽车C没有超速． 5．金柱塔的高度约为37米 【分析】延长交于点，由题意易得四边形和四边形是矩形，则有米，米．设米，然后根据三角函数可进行求解． 【详解】解：延长交于点， ． ，，， 四边形和四边形是矩形， 米，米． 设米， 在中，， ， ． 在中，， ， 解得，经检验是方程的解， （米）． 答：金柱塔的高度约为37米． 6．(1)4米；米 (2)古建筑的高度为24米 【分析】（1）由勾股定理得米，再证明是等腰直角三角形，可得米，从而可得米； （2）过点的水平线交于点，则四边形为矩形，得 ，在中得 ，求出即可解决问题． 【详解】（1）解：在中， 根据勾股定理得：； 在中， ， ∴， 米； （2）解：过点的水平线交于点， ， ， 四边形为矩形， ， ， 在中，， ， 解得 经检验，是原分式方程的解，且符合题意， 古建筑的高度为24米． 7．(1)遮蔽宽度为； (2)点下降的高度约为． 【分析】（1）由对称性可知，，根据正切的定义求出，即可得出答案； （2）过作于点，证明四边形是矩形，得出，分别求出，时，对应的值，然后相减即可求解． 【详解】（1）解：由对称性可知，， 在中，， ， ∵， ， ． 答：遮蔽宽度为； （2）解：如图，过点作于点． ，，， ， ∴四边形是矩形， ， 在中，， 当时，； 当时，， ． 答：点下降的高度约为． 8．(1) (2) 【分析】（1）先根据坡度的定义求解，再由勾股定理求解； （2）先根据坡度的定义求解，再由梯形面积公式求解即可． 【详解】（1）解：由题意得，， ∵的坡比（）为， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵的坡比（）为 ∴， ∴， ∴， ∴， ∴大坝横截面的面积， 答：大坝横截面的面积为． 9．(1) (2)①；②该坡道的最小净高符合设计规范，理由见解析 【分析】（1）根据坡度定义求解即可； （2）①根据坡度定义和坡度间的关系求解即可； ②如图，过E作于P，交于M，过M作于S，根据锐角三角函数，结合已知数据求解即可． 【详解】（1）解：∵直线主坡道的水平距离为，坡度为， ∴在中，， ∴， 答：主坡道的铅直高度为； （2）解：①∵缓坡道的坡度为主坡道的坡度的， ∴在中，， 解得， 在中， 解得：， ， 答：车库高度为； ②该坡道的最小净高符合设计规范．理由如下： 如图，过E作于P，交于M，过M作于S， 则，，， ∴，， 在中，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴, ∵， ∴该坡道的最小净高符合设计规范． 10．(1) (2) 【分析】（1）由题意可求得的长，再由余弦函数定义即可求得的长； （2）如图，延长，交于点，由正弦函数求得，得四边形是矩形，求得，，再解直角三角形求出，最后由即可求解． 【详解】（1）解：，， ， ∵， ∴， ； （2）解：如图，延长，交于点， ， ， ∴， ∵，，， ∴四边形是矩形， ，， ， ∵， ∴ ∴ ∴ ∴． 11．纪念碑的通高为 【分析】本题考查了解直角三角形与相似三角形的实际应用，解题的关键是通过作辅助线构造直角三角形与相似三角形，利用三角函数与相似三角形的性质建立方程求解． 先过点作于，利用俯角构造的直角三角形求出（即的长度；再利用，设未知数建立方程求解的高度． 【详解】解：过点作于点， 设，由题意得：，， ， ，在中，， ， ， ， 过点作于，交于点，四边形与均是矩形, 则，,， ,, ，， ， ， . . 化简得：, 交叉相乘：, , , ． 答：纪念碑的通高为． 12．(1)34.6米 (2)11.5米 【分析】（1）过点作交的延长线于点，在中，分别求出米，米．可得米，在中，由勾股定理可得米； （2）如图，甲、乙两船分别在，处时，连接，当时，过点作于点．根据米可得，得出可判断是等边三角形，得到米；设，则，，，在中求出，．得出．在中根据勾股定理列方程求解即可． 【详解】（1）解：如图，过点作交的延长线于点， 则， 在中，，米， （米），（米）， 米， （米）， 在中，（米）， 答：之间的距离约为34.6米． （2）解：如图，甲、乙两船分别在，处时，连接，当时，过点作于点． ， ， ， ． ， 又， ∴， 是等边三角形， 米， 设，则，，， 在中，，， ． 在中，， ． 解这个方程，得， （不合题意，舍去）． 答：此时甲船距离基站约为11.5米． 13．(1) (2)点到点的距离为米 【分析】（1）由题意可得，则，求出，再结合三角形内角和定理计算即可得出结果； （2）作于点，则米，由正弦的定义计算即可得出结果． 【详解】（1）解：由题意可得：， ∴， ∵，， ∴， ∴； （2）解：如图，作于点， 由（1）可得：，， ∴（米）， ∵， ∴（米）， ∴点到点的距离为米． 14．电视塔的高度约为 【分析】如图，解求出、，进而可求、，再解，进而求出，根据即可求解． 【详解】解：如答图，过点和点分别作于点，于点，延长交的延长线于点，则， 四边形和四边形是矩形， ，，， 在中，，，， ， ， 又， ，， 在中，，， ， ， 答：电视塔的高度约为． 15．(1)米 (2)米 【分析】（1）过作于，过作于，在，中，分别求得，进而根据，即可求解； （2）设机器狗“梦想”的位置为，机器狗“成真”的位置为时满足题意，连接，过作于点，于点，设，，在中，根据得出在，在，中，分别表示出，进而求得的值，即可求解． 【详解】（1）解：如答图： 过作于，过作于， ， 由、都是东西方向，即，则， 四边形是矩形，即，， 由题意，得，， 在中，，， ，， 在中，，， ． ， ， （米）， 答：点到点的距离为米． （2）设机器狗“梦想”的位置为，机器狗“成真”的位置为时满足题意，连接，过作于点，于点， ， 由题可得，．故 设． 在中，，， ， 在中，，， ， ， ， ，即， ，， 设，由修复模式下机器狗“成真”的速度只有机器狗“梦想”速度的一半可得， 由题意可知，， ，， 在中，，得， 在中，，得， ， 解得，（米）， 答：此时机器狗“成真”与点的距离约为米． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $