查漏补缺07 锐角三角函数易错专练4大考点12题型（专项训练）（全国通用）2026年中考数学二轮复习讲练测

查漏补缺07 锐角三角函数易错专练 内容导航 漏洞扫描 通法锤炼 能力强化 考点查缺 漏洞扫描 精准补漏：系统扫描知识图谱，精准定位知识薄弱环节，实施靶向弥补，夯实基础 题型突破 考点精研 通法锤炼：淬炼以简驭繁的通用解题方法，实现从“会一题”到“通一类”的能力跃迁 融会贯通 实战淬炼 能力强化：打破单一知识点壁垒，强化知识联动与思维迁移，完成高阶能力整合 考点01 锐角三角函数 掌握锐角三角函数的定义，明确正弦、余弦、正切的表达式与对应边关系；能在直角三角形中正确判断对边、邻边、斜边，熟练进行比值计算。 题型一：正弦 在直角三角形中，锐角的正弦等于对边比斜边，即sin A＝；先确定直角，再找准角的对边与斜边，代入计算。 混淆对边与邻边；比值写反；无直角时强行使用；忽略边长单位统一。 1．（2026·福建三明·二模）如图，在平面直角坐标系中，M是x轴正半轴上一点，若，则的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】如图：过P作于N，利用点P的坐标以及勾股定理可得，再利用正弦的定义求解即可． 【详解】解：如图：过P作于N， ∵， ∴， ∴， ∴． 2．（2026·四川广元·二模）如图，网格图中每个小正方形的边长都为1．A，B，C是网格线的交点，的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】在中，利用勾股定理求出的长，再求出的值即可得到答案． 【详解】解：如图所示，在中，， ∴， ∴，即． 3．（2026·湖南长沙·模拟预测）如图，在矩形中，，，E是边的中点．连接，过点E作交于点F，连接，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】证明，列出比例式求出的长，进而得到的长，利用勾股定理求出，的长，再利用正弦的定义即可求解． 【详解】解：∵矩形， ∴， ∵点E是边的中点， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴，即：， ∴， ∴，， ∴， ∴． 4．（2026·江苏无锡·二模）如图所示为一张矩形纸片，点为边的中点，点在边上，把该纸片沿折叠，点，的对应点分别为，，与交于点，的延长线过点．若，则____． 【答案】 【分析】连接，由折叠得，，，，，，证明，得，， ，即可得，最终可求出的值． 【详解】解：连接，由题意可得：，，，， 由折叠得，，， ，，， ∵的延长线过点， ∴， 在和中， ，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 5．（2026·河北沧州·一模）如图，在菱形中，，对角线的长为16，是的中点，点是上一点，连接．若，则______． 【答案】 【分析】连接，交于点，过点作于点，利用四边形是菱形，得出，，，得出，，即可证明，即可计算出，，求出，再利用勾股定理求出，最后根据正弦定义求解即可． 【详解】解：连接，交于点，过点作于点， ∵四边形是菱形， ∴，，， ∴，， ∴， ∴， ∵是的中点， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴． 题型二：余弦 在直角三角形中，锐角的余弦等于邻边比斜边，即cos A＝；找准邻边与斜边，直接代入求值。 与正弦比值混淆；邻边判断错误；忽略必须在 Rt△中使用。 1．（2026·云南大理·一模）如图，在中，．若，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：在中，，，， ∴． 2．（2026·云南·一模）在中，，，，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先利用勾股定理求出斜边的长度，再根据余弦的定义计算的值即可． 【详解】解：由题可得图， ∵在中，，，， ∴由勾股定理得 ， 根据余弦定义可得 ． 3．（2026·广西·一模）如图，在边长为1的正方形网格中，，，，，是正方形网格上的五个点，若半径为1的与线段交于点，则的余弦值是（    ） A． B．2 C． D． 【答案】D 【分析】先在中，利用勾股定理可得，从而可得，，再根据圆周角定理可得，即可求解． 【详解】解：由题意得：是直角三角形，，， ∴， ∴， 由圆周角定理得，， ∴． 4．（25-26九年级下·广东广州·月考）如图，在正方形中，点E在的延长线上，点F是的中点，连接并延长交于点G，连接，，则的余弦值为（   ）． A． B． C． D．2 【答案】C 【分析】先根据正方形边长和已知条件求出各线段长度，通过证明三角形全等得到的长度，再利用勾股定理求出、、的长度，最后通过勾股定理逆定理判断三角形形状，进而求出的余弦值． 【详解】解：∵正方形中，， ∴，． ∵， ∴． ∵点F是的中点， ∴． ∵，，， ∴， ∴，． 在中，，， ∴． 在中，，， ∴． 在中，，， ∴． ∵， ∴是直角三角形，且． ∴，即C选项符合题意． 5．（2026·广西南宁·二模）如图，在中，，是斜边上的中线，过点作交于点．若，的面积为5，则的值为______． 【答案】 【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边一半可得，进而得到，根据三角形的面积公式求出，由勾股定理，在中，求出，再根据锐角三角函数的定义求解即可． 【详解】解：如图，连接， 是斜边上的中线，， 是的垂直平分线， ，， ， ， ， 在中，，， ， ， ， 又， ，， ， ． 题型三：正切 在直角三角形中，锐角的正切等于对边比邻边，即tan A＝；只与两条直角边有关，与斜边无关。 对边、邻边搞反；与正弦余弦混淆；无直角乱用公式。 1．（2026·云南保山·二模）如图，是的边上的高，若，，则边的长为（   ） A．4 B．8 C．12 D．16 【答案】C 【分析】由可求出，由可求出的长． 【详解】解：， ， ， ， ． 2．如图，的三个顶点均在正方形网格的格点上，则的值为（   ） A．1 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了锐角三角函数定义，熟练掌握锐角三角函数定义是解本题的关键． 根据正切函数的定义，可得答案． 【详解】解：如图： 在中，，，， ， 故选D． 3．（2026·广西梧州·一模）如图，是的直径，弦，垂足为点，连接，．若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】连接，根据圆周角定理可得，由垂径定理可得，再根据，即可求解． 【详解】解：如图，连接， ，， ， 是的直径，弦， ， ， 故选：B． 4．（2026·广东茂名·一模）如图，在中，延长斜边到点C，使，连接．若，，则的值为（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了勾股定理、正切的定义以及相似三角形等知识点，合理画出辅助线是解题的关键． 法一：过点C作，交的延长线于点E，由相似求出和的长，即可求解； 法二：过点D作，交于点F，由比例关系得出的长，即可得到解． 【详解】解： 在中，，， ， ∴， 方法一：如图，过点C作，交的延长线于点E， ， ， ， ，， ， 在中，； 方法二，如图，过点D作，交于点F， ， ， ，，， ， ， ， 在中，． 5．（2026·黑龙江哈尔滨·一模）如图，为的内接三角形，，，则的半径为（   ） A． B．5 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查圆周角定理和三角函数的应用，根据题意作出辅助线构造直角三角形是解题关键． 连接并延长交于点，连接，根据三角函数求出，再由勾股定理得，即可求解． 【详解】解：如图，连接并延长交于点，连接， ∵， ∴， ∵是直径， ∴， ∴， ∵， ∴， 在中，由勾股定理得，， ∴的半径为． 考点02 特殊角的三角函数值 熟记 30°、45°、60° 的正弦、余弦、正切值；能进行特殊角三角函数混合运算；会由函数值反求锐角；掌握互余两角的三角函数转化关系。 题型四：特殊角三角函数值的混合运算 先准确代入30°、45°、60°的三角函数值，再按运算顺序计算，最后化简结果。 特殊角数值记混；符号看错；运算顺序错误；结果未化简。 1．（2026·天津宁河·二模）的值等于（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：． 2．（2026·河南周口·一模）计算： 【答案】 4 【详解】解：原式． 3．（2026·山东济南·二模）计算：． 【答案】 【分析】先计算乘方，绝对值，零次幂，特殊角的正弦值，化简二次根式，再合并即可． 【详解】解： ． 4．（2026·云南昆明·模拟预测）计算：． 【答案】 【详解】解： ． 5．（2025·四川广安·中考真题）计算：． 【答案】； 【分析】先计算特殊角三角函数值，再计算零指数幂，负整数指数幂，接着去绝对值后计算加减法即可得到答案； 【详解】解：原式 ； 题型五：由特殊三角函数值求锐角 根据正弦、余弦、正切的特殊值反向对应角度，限定在锐角范围内确定唯一答案。 数值与角度对应错误；漏写 “°”；忽略锐角范围。 1．（2025·山东菏泽·模拟预测）在锐角中，，则的度数是（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查算术平方根和平方根的非负性，特殊角三角函数值，三角形内角和定理等．根据非负数的性质，两个非负数的和为零，则每个部分均为零．结合三角函数可求出和的度数，再利用三角形内角和计算． 【详解】解：由题意得：，， ，， 在锐角范围内，，， ． 故选A． 2．（2025·上海·一模）在中，、都是锐角，且，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查非负数的性质、特殊角的三角函数值、三角形的内角和定理，熟记特殊角的三角函数值是解答的关键． 利用绝对值和平方的非负性，得到和的值，再根据特殊角的三角函数值得到和的度数，最后利用三角形的内角和定理求即可． 【详解】解：∵，且绝对值和平方均非负， ∴且， ∴，， ∵、都是锐角， ∴，， ∴， 故选：C． 3．（2025·湖南长沙·二模）在中，A、B都是锐角，，，下列说法正确的是（    ） A． B． C．是等边三角形 D．是直角三角形 【答案】C 【分析】本题考查的是特殊角的三角函数值，熟记、、角的各种三角函数值是解题的关键． 根据特殊角的三角函数值分别求出、，根据等边三角形的判定定理判断即可． 【详解】解： ，， ，， ∴． 是等边三角形． 故选项C说法正确，符合题意；选项A、B、D说法错误，不符合题意． 故选：C． 4．在中，若，则是 三角形． 【答案】等边 【分析】直接绝对值的性质以及偶次方的性质得出，，再利用特殊角的三角函数值求出答案． 【详解】解：， ，， ，， 是等边三角形． 故答案为：等边． 【点睛】此题主要考查了特殊角的三角函数值，正确记忆相关数据是解题关键． 5．在中，若，，则 度． 【答案】 【分析】根据等腰三角形的性质和锐角三角函数可求得，即可求得 【详解】∵在中，， ∴是等腰三角形， 过点作， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为： 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质和锐角三角函数，能够结合等腰三角形的性质求解锐角三角函数是解决本题的关键 题型六：互余角的三角函数关系 若∠A+∠B=90∘，则sin A=cos B，cos A=sin B，可直接转化简化计算。 互余关系用反；正弦余弦写混；不会灵活转化。 1．在△ABC中，∠C＝90°，sinA=，则sinB等于(    ) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据互余两角三角函数的关系：sin2A+sin2B=1解答． 【详解】∵在Rt△ABC,∠C=90°， ∴∠A+∠B=90°， ∴sin2A+sin2B=1，sinB>0， ∵sinA=， ∴sinB==. 故选C. 【点睛】本题考查的是三角函数，熟练掌握三角函数是解题的关键. 2．已知，则（   ） A． B． C．4 D．2 【答案】B 【分析】本题考查了锐角三角函数的混合运算，掌握锐角三角函数的计算方法是解题的关键． 根据锐角三角函数的计算得到，将原式的分子、分母同时除以，再代入求值即可． 【详解】解：∵， ∴， 故选：B ． 3．若α为锐角，且cosα＝，则sin(90°－α)的值是(　　) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据：若，则cosα=sinβ. 【详解】由锐角三角函数性质可知：sin(90°－α)= cosα＝ 故选B 【点睛】本题考查两角和的余弦公式的应用，利用已知条件对角进行分解是解题关键． 4．已知，都是锐角，且，，则________． 【答案】 【分析】根据互余两角的三角函数的关系得出，求出，即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ，， ∴锐角. 故答案为：. 【点睛】本题考查了互余两角的三角函数的关系，特殊角的三角函数值的应用，解此题的关键是求出的值． 5．如图，在中，，于点，，，则的值______． 【答案】 【分析】由角度等量代换可得，即可得出结果． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴． 考点03 解直角三角形 掌握解直角三角形的基本方法：已知两边用勾股定理，已知一边一角用三角函数；能正确求解边长与角度；会通过作高将非直角三角形转化为直角三角形求解。 题型七：解直角三角形的计算 已知两边：用勾股定理求第三边；已知一边一角：用三角函数求其余边；两锐角互余求角。 勾股定理计算错误；边与角不对应；比值用错。 1．（2026·安徽合肥·二模）如图，在中，，，边的中点为，于点，于点，若，则的长是（    ） A． B．3 C．4 D．5 【答案】A 【分析】根据等边三角形的判定和性质得出为等边三角形，，，再由题意确定，利用含30度角的直角三角形的性质得出，再由余弦函数求解即可 【详解】解：∵，， ∴为等边三角形， ∴， ∵边的中点为， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ 2．（2025·四川攀枝花·中考真题）如图，中，为BC的中点，于点与相交于点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查三线合一，解直角三角形，根据三线合一可得，，导角得到，根据得到，即可得出结果． 【详解】解：∵为BC的中点， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在中，，在中，， ∴； 故选B． 3．（2025·陕西·一模）如图，在矩形中，对角线相交于点O，于点E，且，若，则的长为（    ） A． B．2 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了解直角三角形的应用．先求得，得到，利用正弦函数的定义求得，，再利用勾股定理求解即可． 【详解】解：∵矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 4．（2024秋•工业园区校级月考）在Rt△ABC中，AC＝2BC，求： （1）cosA； （2）当AB＝10时，求BC的长． 【分析】（1）根据在Rt△ABC中，AC＝2BC，得出BC是直角边，分为当AC是斜边时和当AC是直角边时根据勾股定理和余弦的定义求解即可； （2）分为当AC是斜边时和当AC是直角边时，根据勾股定理求解即可． 【详解】解：（1）∵在Rt△ABC中，AC＝2BC， 设BC＝x，则AC＝2x， 当AC是斜边时，， 则； 当AC是直角边时，， 则； 综上，cosA的值为或； （2）∵在Rt△ABC中，AC＝2BC， 设BC＝x，则AC＝2x， 当AC是直角边时，（2x）2+x2＝100，解得：（负值已经舍去）； 当AC是斜边时，（2x）2＝x2+100，解得：（负值已经舍去）； 综上，或． 【点睛】本题考查解直角三角形、解一元二次方程及勾股定理，熟练掌握锐角三角函数值是解题关键． 5．如图，在△ABC中，CD⊥AB于点D，AC＝20，BC＝15，AD＝16． （1）求CD和AB的长； （2）求∠ACB的度数． 【分析】（1）在Rt△ACD和Rt△BCD中，利用勾股定理求出相应线段长即可得到答案； （2）在△ABC中，利用勾股定理的逆定理判定即可得到答案． 【详解】解：（1）∵CD⊥AB， ∴在Rt△ACD中，AD2+CD2＝AC2；在Rt△BCD中，BD2+CD2＝BC2， ∵AC＝20，AD＝16， ∴； ∵BC＝15，CD＝12， ∴； ∴AB＝AD+BD＝25； （2）由（1）知，AB＝25， ∴在△ABC中，AC＝20，BC＝15，AB＝25，则AC2＝400，BC2＝225，AB2＝625， ∴AC2+BC2＝AB2， ∴由勾股定理的逆定理可知△ABC是直角三角形，且∠ACB＝90°． 【点睛】本题考查勾股定理及勾股定理的逆定理，数形结合，准确运用勾股定理及勾股定理的逆定理是解决问题的关键． 题型八：解非直角三角形的计算 非直角三角形必须作高，分成两个直角三角形，再分别用三角函数求解。 不作高直接套用公式；高的位置画错；计算混乱。 1．（2025·江苏常州·一模）如图，在中，，，，则点到的距离是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了解直角三角形和点到直线的距离，解题的关键是掌握解直角三角形和点到直线的距离定义． 过点A作，通过三角形内角和定理求出的度数，再在直角三角形中利用正弦求出点A到的距离． 【详解】解：过点作，垂足为D， 在中，， ， 在中，， ， ∴点A到的距离为． 故选：A． 2．（2024·江西南昌·模拟预测）如图，在四边形中，，，，，，直线与直线所夹锐角的度数为_________．    【答案】 【分析】过点B作于点E，作于点F，构造直角三角形，利用锐角三角函数解直角三角形，求出BE、CF的长，利用的正弦值为，得到它是，即直线BC与直线AD所夹的锐角度数． 【详解】解：如图，过点B作于点E，作于点F， ∵AB=40，， ∴， ∵， ∴四边形BEDF是矩形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴直线BC与直线AD所夹的锐角度数等于的度数，是． 故答案是：．    【点睛】本题考查用锐角三角函数解直角三角形，解题的关键是掌握构造直角三角形的方法和特殊角的锐角三角函数值． 3．（2026·浙江台州·一模）如图，在平行四边形中，过点作于点，连接．若，，则的值为______． 【答案】 【分析】过作于点，则，由四边形是平行四边形，得，，证明，所以，，然后代入即可求解． 【详解】解：如图，过作于点，则， ∵， ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 4．如图，是的中线，    求： (1)的长； (2)的正弦值． 【答案】(1)6 (2) 【分析】本题考查解直角三角形的应用、锐角三角函数等知识，解题的关键是： （1）作于．在中，求出，在中，求出即可解决问题； （2）在中，求出，即可解决问题． 【详解】（1）解：如图，作于．        在中，，， ，， 在中，， ， ． （2）， ，，， 在中，． 的正弦值为． 5．（2025·浙江绍兴·二模）如图，在中，，点在边上，且，连结． (1)求的长． (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解直角三角形，等腰三角形的性质，勾股定理，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． （1）过点A作，垂足为E，根据已知易得，再利用等腰三角形的性质可得，从而可得，然后在中，利用勾股定理求出的长，再在中，利用勾股定理求出的长，即可解答； （2）过点D作，垂足为F，先利用面积法求出的长，然后在中，利用锐角三角函数的定义进行计算即可解答． 【详解】（1）解：过点作于点，如图． ， ， 又， ，． 在中，， 在中，． （2）解：过点作于点，如图． 由已知可得：， ， ， ， ． ． 考点04 解直角三角形的实际应用 能将仰角、俯角、方位角、坡度坡比等实际问题转化为数学模型；会画示意图、构造直角三角形；利用三角函数解决高度、距离、长度等实际应用问题。 题型九：仰角俯角问题 根据题意画示意图，确定仰角 / 俯角位置，构造直角三角形，用三角函数求高度或水平距离。 仰角俯角位置看错；直角构造错误；图形画错。 1．（2026·广东深圳·一模）图1是某住宅单元楼的人脸识别系统（整个头部需在摄像头视角范围内才能被识别），图2为其示意图，摄像头的仰角、俯角均为，高度为．某人笔直站在离摄像头水平距离的点处，若此人要能被摄像头识别，其身高不能超过（   ）（参考数据：，，） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】过点作，垂足为，延长交于点， 由题意得，，在中，利用解直角三角形得，则利用进而可求解． 【详解】解：过点作，垂足为，延长交于点，如图： ∵， ∴四边形是矩形， ∴，， 在中，， ， ， 若此人要能被摄像头识别，其身高不能超过． 2．（2026·河南周口·模拟预测）广州塔是中国第一高电视塔，俗称“小蛮腰”，享有“世界第二高电视塔”的美誉．在一次综合实践活动中，如图，某数学小组用无人机在离塔中心一定距离的处测得塔顶的仰角为，再将无人机垂直上升到离点距离为米的点处，此时测得塔顶点的仰角为，则测得小蛮腰的高度为__________米． 【答案】 600 【分析】过点作于点，证明四边形为矩形，得出，米，设米，则米，证明为等腰直角三角形，设米，根据，得出，根据，解方程即可． 【详解】解：如图，过点作于点． ∵， ∴四边形为矩形， ∴，米， 设米，则米， ，， ∴为等腰直角三角形， 米， ， 米， 米， 解得， （米） ∴小蛮腰的高度为米． 3．（2025·陕西·中考真题）小伟和小华想用所学数学知识测量小河的宽．测量示意图如图所示，他们在河边的山坡上的点处安装测角仪，测得河对岸点的俯角为与的夹角为，又测得点与河岸点之间的距离为．已知，点在同一平面上，点在同一水平直线上，且．求河宽．（参考数据：，，，） 【答案】 【分析】本题考查解直角三角形，掌握相关知识是解决问题的关键．延长交于点，则，在中，利用的三角函数可求，则可求，进而在中利用三角函数值可求， 则可求． 【详解】解：如解图，延长交于点，则， 在中，， ，， ， 在中，， ， ， 河宽约为． 4．（2026·山东临沂·一模）某校课外活动小组来到马头古镇进行参观研学，对位于马头古镇中心大街最北端的“北水门”高度进行了实地测量．操作过程如下： 如图，测试小组利用测角仪从点D处观测大门顶端A点的仰角为．在测角仪和大门之间水平光滑的地面放置一个平面镜，小组成员在平面镜上做好标记后，将平面镜在地面上来回移动，当平面镜上的标记位于点E处时，观测的同学恰好能从点D处看到大门顶端A在镜子中的像与平面镜上的标记重合，此时测得米．已知测角仪的高度米，点A，B，C，D，E在同一竖直平面内，且点B，E，C在同一条水平直线上．求北水门的高度．（结果精确到1米，参考数据：，，） 【答案】13米 【分析】根据光的反射定律，可得，结合相等的角的正切值相等，得到；过点D作于点F，构造矩形，得，在中利用角的正切值列方程求解． 【详解】解：如图，过点D作于点F． 根据题意可知， 在中，， ∴， 由题意可知四边形是矩形， 米， 设米，米，则米，米， 在中，，即， 解并检验得，所以北水门的高度约13米． 【点睛】本题关键是将实际测量问题转化为解直角三角形的数学模型，利用光的反射定律得到角相等是解决问题的关键；构造矩形和含仰角的直角三角形，建立水平距离与高度的等量关系，是解题的桥梁；此问题需注意结合参考数据进行近似计算，最终结果按题目要求取近似值． 5．（2025·山东滨州·中考真题）【活动背景】 如图，建筑物、的高度不可直接测量．为测量建筑物、的高度，技术员小李用皮尺测得A、B之间的水平距离为，用测角仪在C处测得D点的俯角为，测得B点的俯角为． 【问题解决】 (1)请运用技术员小李提供的数据求出建筑物、的高度（结果保留整数）；（参考数据：，，，，，） (2)请再设计一种测量建筑物、高度的方案（建筑物的宽度忽略不计），画出平面示意图，把应测数据在示意图中用字母标记出来，并用含字母的式子表示出建筑物、的高度．（可提供的测量工具：皮尺、测角仪） 【答案】(1)建筑物的高度约为，建筑物的高度约为； (2)图见解析，建筑物的高度为，建筑物的高度为． 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，掌握锐角三角函数是解题关键． （1）过点作于点，则四边形是矩形，由题意可知，，，，在直角三角形中，利用正切值求解即可； （2）画出示意图，用皮尺测得A、B之间的水平距离为，用测角仪在A处测得D点的仰角为，在B处测得C点的仰角为．再利用正切值求解即可． 【详解】（1）解：如图，过点作于点，则四边形是矩形， 由题意可知，，，， ，， 在中，， ， 在中，， ， ， ， 答：建筑物的高度约为，建筑物的高度约为； （2）解：平面示意图如下： 用皮尺测得A、B之间的水平距离为，用测角仪在A处测得D点的仰角为，在B处测得C点的仰角为． 在中，， 在中，， 题型十：方位角问题 按 “上北下南左西右东” 画方位图，确定直角三角形，利用三角函数求距离。 方位角理解错误；图形画错；角度找错。 1．（2026·内蒙古鄂尔多斯·一模）如图，港口在观测站的正东方向千米处，某船从港口出发，沿北偏东方向匀速航行小时后到达处，此时从观测站处测得该船位于北偏东的方向，求该船航行的速度是______千米/小时．（结果保留根号） 【答案】 【分析】过点作于，根据方向角的定义及三角形内角和定理可得出，，根据含角的直角三角形的性质得出千米，利用的正弦函数可求出千米，进而可求出该船航行的速度． 【详解】解：如图，过点作于， 由题意可知，，，千米， ∴，， ∴， ∵千米， ∴（千米）， ∴， ∴该船航行的速度是（千米/小时）． 2．（2026·辽宁抚顺·一模）如图，湖心岛上有一凉亭，在凉亭的正东湖边有一棵大树，在湖边的处测得在其北偏西方向上，在其北偏东方向上，测得，之间的距离为米，则，之间的距离为___米．（结果精确到米．参考数据：， ） 【答案】 【分析】过点作于点， 在中，求出、的值，然后在中，求出的长度，继而可求得的长度． 【详解】解：如图，过点作于点， 在中，，米， （米）， （米）， 在中，， （米）， （米）， 即，之间的距离约为米． 3．（2026·湖南益阳·二模）某环保监测员上午从湿地监测站出发，沿北偏西方向骑行到达鸟类观测点，观测50分钟后从处沿正南方向骑行一段距离，到达位于湿地监测站南偏西方向的水文监测点处，此时为上午，如图所示． (1)求该环保监测员从鸟类观测点骑行到水文监测点的途中，他与湿地监测站之间的最短距离； (2)上午，监测员完成工作后，若以20的平均速度从水文监测点骑行回湿地监测站，他能否在上午前到达？（参考数据：） 【答案】(1) (2)能在上午11:20前到达 【分析】(1) 过点作于点，利用及方向角求出的长，即为最短距离． (2) 在中，利用和求出的长，再计算骑行所需时间与 20分钟比较即可． 【详解】（1）解：如图，过点作于点， 监测员从处沿正南方向骑行到处， 为正南方向，为东西方向， 从到沿北偏西方向，， ， 在中，， ， 他与湿地监测站之间的最短距离为． （2）解：在中，，， 点位于的南偏西方向， ， ， 骑行速度为， 所需时间， 分钟， 从骑行回需要11.25分钟， 出发，经过11.25分钟后为11:11:15， 能在上午11:20前到达． 4．（2026·湖南长沙·二模）“珍爱生命，远离超速”．如图，某条东西走向的高速公路，车辆限速为120千米/时，在道路旁边的点A处建一个监测点，测得点A到公路的距离米．当一辆小汽车行驶到点B处时，测得小汽车在监测点A的南偏西53°方向，5秒后，小汽车匀速行驶到点C处，此时，测得小汽车在监测点A的东南方向．（参考数据：，，） (1)求BC段的长度（结果保留整数）； (2)判断小汽车在BC段行驶时是否超速，并说明理由． 【答案】(1)BC段的长度约为140米 (2)小汽车在BC段行驶时没有超速，理由见解析 【分析】（1）分别在和中求出求和，即可求出BC段的长度； （2）根据时间和BC段的长度计算出车速，与限速比较即可． 【详解】（1）解：在中，，， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴（米）， 答：段的长度约为140米； （2）解：小汽车没有超速，理由如下： 小汽车行驶的速度（米/秒）， ∵28米/秒=100.8千米/时<120千米/时， ∴小汽车在段行驶时没有超速． 5．（2025·河南焦作·一模）如图，一艘轮船位于灯塔的北偏东方向，距离灯塔海里的处，此时船长接到台风预警信息，台风将在小时后袭来，他计划立即沿正南方向航行，赶往位于灯塔的南偏东方向上的避风港处． (1)问避风港处距离灯塔有多远． (2)如果轮船的航速是海里时，问轮船能否在小时内赶到避风港处．参考数据：，，， 【答案】(1)海里 (2)能 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握三角函数的定义是解题的关键； （1）如图，过点作于点，则．解，，求得，即可求解； （2）解，得出，进而根据，求得的距离，根据路程除以速度，即可求解． 【详解】（1）由题意得，，海里． 如图，过点作于点，则． 在中，， 海里． 在中，， 海里． 答：避风港处距离灯塔约海里． （2）如图，在中， 海里． 在中，，海里， 海里， 海里． 小时， 故轮船能在小时内赶到避风港处． 题型十一：坡度坡比问题 坡度i=竖直高度:水平长度=tan α（α为坡角）；坡度越大，坡角越大，坡面越陡。 把坡度当成坡角；混淆i与tan α；比例写反。 1．（2026·江苏泰州·一模）某河堤横断面如图所示，堤高，迎水坡的坡比是，则的长为________m． 【答案】 【分析】先根据坡度的概念求出，再根据勾股定理计算，得到答案． 【详解】解：∵迎水坡的坡比是，， ∴， 由勾股定理得． 2．（2024·四川自贡·模拟预测）如图为一大坝的横截面图，，背水坡的坡度为，迎水坡的坡角为，若米，坝高为米，则坡底长为（   ）米．    A．17 B．18 C．19 D．20 【答案】D 【分析】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，矩形的性质与判定，过点A和点D分别作的垂线，垂足分别为E、F，则四边形是矩形，可得米，米，再分别解直角三角形求出的长即可得到答案． 【详解】解：如图所示，过点A和点D分别作的垂线，垂足分别为E、F， ∵，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴米，米， ∵背水坡的坡度为， ∴， ∴米， 在中，， ∴米， ∴米， 故选：D．    3．图为某拦河坝改造前后河床的横断面示意图，，坝高，将原坡度的迎水坡面改为坡角为的斜坡，此时，河床面的宽减少的长度等于（结果精确到，参考数据：）（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是解直角三角形的应用-坡度坡角问题，过点A作于F，过点E作于H，根据坡度的概念求出，根据正确的定义求出，进而求出． 【详解】解：如图，过点A作于F，过点E作于H， 则，， ∵斜坡的坡度，， ∴， 在中，，， ∴， ∴， 故选：B． 4．（2025·山东·模拟预测）如图是某地下停车库入口的设计示意图，延长与交于E点，已知坡道的坡比，的长为7.2米，的长为0.4米． (1)请求出的长； (2)按规定，车库坡道口上方需张贴限高标志，根据图中所给数据，确定该车库入口的限高数值（即点D到的距离）． 【答案】(1)2.6米 (2)该车库入口的限高数值为2.4米 【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用，勾股定理，解题的关键是数形结合，作出辅助线． （1）根据，得出，即，求出米，得出（米）； （2）过点D作于H，证明，得出，设，，根据勾股定理求出，根据米，得出，最后求出结果即可． 【详解】（1）解：由题意可知，， ∵， ∴， ∴， ∵米， ∴米．　　 ∵米， ∴（米）； （2）解：过点D作于点H，如图所示： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴设，， ∴， ∵米， ∴， 解得， ∴（米）， 答：该车库入口的限高数值为2.4米 5．（2026·湖南娄底·模拟预测）紫鹊界梯田（如图1）位于娄底市新化县，是苗瑶先民在山脊上用2000年时间雕刻出的8万亩壮丽画卷．如图2，梯田所在山坡的坡度为，山底有一条小路，几位同学在老师的指导下使用无人机在距离地面（小路所在平面）高度为的点D处，分别测得小路两端A、C的俯角为和，测得山顶B的仰角为．（结果保留整数，取，，，，） (1)求小路的长度； (2)求梯田坡面的长度． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）过点D作，由题意得：，然后根据三角函数可进行求解； （2）过点B作，延长交于点M，由题意得：，然后可得，设，则，，进而根据三角函数可进行求解． 【详解】（1）解：过点D作，如图， 由题意得：， ∴， 在中，， 在中，， ∴； 答：小路的长度为． （2）解：过点B作，延长交于点M，如图， 由题意得：， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴，设，则， ， 在中，，即， 解得：， ∴． 题型十二：其它应用问题 将实际问题转化为数学模型，找准直角三角形，合理作辅助线，列三角函数式求解。 题意理解不清；不会作高；模型建立错误。 1．（2024·河北·模拟预测）桑梯是我国古代发明的一种采桑工具．图1是明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘的桑梯，其示意图如图2所示，已知米，米，与的张角为，为保证安全，的调整范围是，为固定张角的绳索，则桑梯顶端D到地面的距离（单位：米）为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，等边三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 过点作，垂足为，利用等腰三角形的性质及三角形内角和定理可得，根据已知求得，再利用锐角三角函数的定义进行计算即可． 【详解】解：过点作，垂足为， ， ∵米，， ， ， 米， 在中， ， 故选：D． 2．（2025·广东深圳·三模）如图1是背肌训练器实物图，图2都是这个训练器在被使用过程中的示意图，立柱竖直固定在水平地面上，摆臂可绕点在一定范围内上下转动，的长为米．的长为米．小滨将摆臂绕点O往下拉，现小滨将摆臂下拉到图2位置，，则握手点B离水平地面的竖直高度为（　） （参考数据，，） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】B 【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用，作，先解直角三角形求出，再根据求出答案． 【详解】解：过点B作，垂足为E， 在中，， ∴（米）． ∵米， ∴（米）， 握手点B离水平地面的竖直高度约为米． 故选：B． 3．（2026·辽宁葫芦岛·一模）一种遮阳伞如图，遮阳伞支架垂直于地面，D在上，，D、E、F三点共线，．当太阳光线与垂直时，它与地面的夹角正好为，求落在地面上的投影的长．（精确到，，） 【答案】 【分析】作于M，于N，则，然后求出，故，从而得到，可得，再证明四边形是矩形，得，最后在中，根据求解即可． 【详解】解：作于M，于N， ∴． ∵， ∴． ∴． ∵， ∴． ∴． ∵． ∴， ∴， ∴． ∴． ∵， ∴四边形是矩形． ∴． 在中， ∵， ∴． 4．（2025·江苏镇江·一模）图1是一台手机支架，图2是其侧面示意图，可分别绕点A，C转动，测得．小明爸爸把支架调整到适合的位置，测得． (1)求点C到的距离； (2)求点D到的距离．(结果均保留一位小数，参考数据：，，，) 【答案】(1)点C到的距离为 (2)点D到的距离约为 【分析】本题考查了解直角三角形的应用等知识，熟练掌握锐角三角函数定义，添加适当的辅助线构造直角三角形是解题的关键． （1）过点C作于点E，由锐角三角函数定义求出的长即可； （2）过点D作于点F，过点D作于点G，则四边形是矩形，得，由（1）可知，，再由锐角三角函数定义求出的长，即可解决问题． 【详解】（1）解：如图2，过点C作于点E，则， 在中，， ， 答：点C到的距离为； （2）解：如图2，过点D作于点F，过点D作于点G， 则四边形是矩形， ， 由（1）可知，，， ， ， 在中，， ， ， 答：点D到的距离约为 ． 5．（2025·湖南·模拟预测）2025年春晚的机器人舞蹈《秧》展示了科技与文化的完美融合，机器人通过高精度技术实现精准动作，并与人类舞者默契配合，吸引了全球关注．某科技兴趣小组对此有着浓厚的兴趣，决定对机器人的动作进行研究，制作出一部动画作品． 活动主题 机器人舞蹈动画制作 活动流程 如图1，小组成员分别收集了一些春晚机器人舞蹈的视频，对其动作进行逐帧分解，利用测量所得的相关数据，对机器人进行初步建模，之后利用动画软件进行制作． 分解动作模型抽象    数据测量模型建立 机器人建模模型图形绘制可抽象为如图2所示，腰部平行于水平面，上半身腰部，大腿与腰部夹角，与小腿夹角，足部与水平面夹角，，，，，所有点均在同一平面内． 请根据表格中提供的信息，解决下列问题．（参考数据：，，，，，，） (1)过机器人腰部点C作垂直于水平面于点L，求机器人膝盖点F到机器人腰部点C的水平距离； (2)求机器人脖子点A到水平面的距离．（结果保留一位小数） 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查解直角三角形的实际应用，掌握三角函数的定义是解题的关键． （1）由平行线的性质得，用三角函数解即可； （2）过点H作交的延长线于点N，交于点M，得矩形，利用三角函数解，，，即可求解． 【详解】（1）解：由题意得，， ， 在中， ，， ， 即机器人膝盖点F到机器人腰部点C的水平距离为； （2）解：如图，过点H作交的延长线于点N，交于点M，    ，，， 四边形是矩形， ， ，， ， 在中， ，， ， 在中， ，， ， 在中， ，， ， ， ， 即点A到水平面的距离为． 1.（2025·广东深圳·一模）在中，，那么的值是（   ） A． B．1 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了特殊三角函数的值，三角形内角和定理，根据三角形内角和定义求出，再由特殊三角函数的值即可解答． 【详解】解：∵在中，， ∴， ∴， 故选：A． 2．（2026·吉林长春·二模）如图，山区公路管理处在山顶观景台处架设了监测设备，从处测得山下公路上事故点的俯角为．已知设备点到事故点的直线距离为米，观景台正下方的山脚点为，则事故点到山脚点的水平距离为（   ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】C 【分析】先由平行线的性质得到，在中，由余弦函数定义列式计算即可． 【详解】解：由平行线性质可知， 在中，，米，则， （米）． 3．（2025·陕西榆林·一模）如图，在中，是的高．若，，，则的长为（    ） A． B． C．5 D． 【答案】A 【分析】本题考查了解直角三角形和勾股定理，正确作辅助线构造直角三角形是解题的关键．解直角三角形得，由勾股定理得：，求得的长，在中，由勾股定理即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， 由勾股定理得：， ∴， 在中，由勾股定理得：， 故选：A． 4．（2026·云南·一模）如图，已知是的直径，是的弦，，垂足为．若，，则 （  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据垂径定理求出的长，由直径求出半径的长，利用勾股定理求出的长，再根据正切的定义求解即可． 【详解】解：是的直径，， ， ， ， 在中，由勾股定理得：， ． 5．（2026·湖南益阳·二模）如图，直尺的宽为，把含的三角板的直角顶点置于直尺的边上，两直角边与直尺的另一边交于点，若的长为，当斜边与平行时，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】过点C作于点H，则四边形是矩形，则，证明，解直角三角形求出的长，再证明，得到，解直角三角形求出的长即可得到答案． 【详解】解：如图所示，过点C作于点H，则四边形是矩形， ∴； ∵是等腰直角三角形，且点C为直角顶点， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 6．（2026·吉林延边·一模）在直角三角形中，，，，则_________ 【答案】 【分析】根据正弦的定义求解即可． 【详解】解：在直角三角形中，，，， ∴． 7．（2025·吉林长春·模拟预测）如图，是的外接圆，是的直径．若，弦，则的值为_________． 【答案】/ 【分析】连接，根据圆周角定理可得，，利用勾股定理计算出后，再结合余弦函数的定义进行计算即可． 【详解】解：如图，连接， ∵是的直径， ∴， 由勾股定理可得， 在直角中，， ∵， ∴， ∴． 8．（2026·江苏扬州·一模）在如图所示的小正方形网格中，均为小正方形的顶点，线段和相交于点，则的值为___________． 【答案】/ 【分析】如图标记格点，连接，，则，由此可得，所以，根据外角定理可得即可解答． 【详解】解：如图标记格点，连接，， 设小正方形的边长均为， 由勾股定理可知，， ， 中，， 中，， ， ， ，， ， ． 9．（2026·天津红桥·一模）在综合与实践活动中，要用测角仪测量公园里一个池塘两端的距离（如图）．某学习小组设计了一个方案：在池塘的一端A处测得B处在A处的北偏西方向，再沿正西方向前行220m到达C处，测得B处在C处的北偏东方向．根据该学习小组测得的数据，计算池塘两端的距离（结果保留整数）．参考数据：，，，． 【答案】 【分析】作辅助线构造直角三角形，过点B作于点H，由题意可推出，，在中，可利用正切函数表示出的长度；在中，可利用正弦函数表示出的长度．因为，所以可列出关系式，求解得到的值．在中，可利用正弦函数求出的长度． 【详解】解：如图，过B作，垂足为H． 根据题意，，，， 在中，， ， 在中，，， ， ， ， ， ． 答：池塘两端的距离约为． 10．（2026·天津滨海新区·一模）综合与实践活动中，要用测角仪测量校园附近一座信号塔的高度． 某校研究性学习小组设计了一个方案：如图，该信号塔垂直于水平地面，其前方有一段台阶，台阶顶端D距离地面的高度，点E，C，A在同一条水平直线上，且．在点C处测得塔顶B的仰角为，又在台阶顶端D处测得塔顶B的仰角为． (1)求线段的长； (2)求信号塔的高度（结果取整数）．参考数据：，． 【答案】(1)线段的长为 (2)信号塔的高度约为 【分析】（1）根据计算即可； （2）过点D作交于点F，在中，设，推出，，在中，结合计算即可． 【详解】（1）解：由题意得，， ∴， 在中，，，， ∴， ∴线段的长为． （2）解：如图，过点D作交于点F， 在中，设， ∵，， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， 在中，，， ∴， 即， 解得， 即， ∴信号塔的高度约为． 11．（2026·山东济南·二模）某工厂在斜坡上安装一块广告牌，其侧面结构如图所示，斜坡与水平线的夹角，广告牌长为，与水平线的夹角，三个支撑杆固定该广告牌（点C，M，B在同一条直线上，且），其中． (1)求广告牌的端点D到水平线的高度； (2)求水平支撑杆的长度． （结果精确到．参考数据：，，，，，） 【答案】(1)广告牌的端点D到水平线的高度约为米 (2)水平支撑杆的长度为米 【分析】（1）过点作于点，利用锐角三角函数求解； （2）判定出四边形为矩形，然后利用锐角三角函数求出相关线段的长度，最后利用线段的和差求解． 【详解】（1）解：如图所示，过点作于点， ， 在中，， ， ， 答：广告牌的端点D到水平线的高度约为米； （2）解：， 四边形为矩形， ，， ， ， ， 在中，， ， ． 答：水平支撑杆的长度为米． 12．（2026·山西运城·二模）在国家“双碳”目标与可再生能源发展规划的指引下，山西省大力推进风电等清洁能源项目建设，助力能源结构转型．图1是小陈在家乡看到的风力发电设备，他想利用所学知识估算风电架的高度，以加深对清洁能源基础设施的了解． 测量方案及数据：如图2，线段表示风电架，小陈在点（在同一直线上）处测得风电架顶部点的仰角为．他从点沿着小山坡走到点，此时测得风电架顶部点的仰角为，山坡的坡度，点到的距离为． 任务：若在观测过程中所有点都在同一竖直平面内，请根据小陈的测量数据计算风电架的高度（结果精确到，参考数据：）． 【答案】风电架的高度约为 【分析】延长与交于点，则，过点作交的延长线于点，根据坡度得出，设，则，利用正切分别得出，，然后根据线段的数量关系列出方程求解． 【详解】解：如答图，延长与交于点，则，过点作交的延长线于点． ∴四边形为矩形，， ， ， ， ， 设，则． 在中，， ， ． 在中，， ， ， ． ． ． 解得， 答：风电架的高度约为． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 查漏补缺07 锐角三角函数易错专练 内容导航 漏洞扫描 通法锤炼 能力强化 考点查缺 漏洞扫描 精准补漏：系统扫描知识图谱，精准定位知识薄弱环节，实施靶向弥补，夯实基础 题型突破 考点精研 通法锤炼：淬炼以简驭繁的通用解题方法，实现从“会一题”到“通一类”的能力跃迁 融会贯通 实战淬炼 能力强化：打破单一知识点壁垒，强化知识联动与思维迁移，完成高阶能力整合 考点01 锐角三角函数 掌握锐角三角函数的定义，明确正弦、余弦、正切的表达式与对应边关系；能在直角三角形中正确判断对边、邻边、斜边，熟练进行比值计算。 题型一：正弦 在直角三角形中，锐角的正弦等于对边比斜边，即sin A＝；先确定直角，再找准角的对边与斜边，代入计算。 混淆对边与邻边；比值写反；无直角时强行使用；忽略边长单位统一。 1．（2026·福建三明·二模）如图，在平面直角坐标系中，M是x轴正半轴上一点，若，则的值是（   ） A． B． C． D． 2．（2026·四川广元·二模）如图，网格图中每个小正方形的边长都为1．A，B，C是网格线的交点，的值为（   ） A． B． C． D． 3．（2026·湖南长沙·模拟预测）如图，在矩形中，，，E是边的中点．连接，过点E作交于点F，连接，则的值为（   ） A． B． C． D． 4．（2026·江苏无锡·二模）如图所示为一张矩形纸片，点为边的中点，点在边上，把该纸片沿折叠，点，的对应点分别为，，与交于点，的延长线过点．若，则____． 5．（2026·河北沧州·一模）如图，在菱形中，，对角线的长为16，是的中点，点是上一点，连接．若，则______． 题型二：余弦 在直角三角形中，锐角的余弦等于邻边比斜边，即cos A＝；找准邻边与斜边，直接代入求值。 与正弦比值混淆；邻边判断错误；忽略必须在 Rt△中使用。 1．（2026·云南大理·一模）如图，在中，．若，，则（   ） A． B． C． D． 2．（2026·云南·一模）在中，，，，则的值为（   ） A． B． C． D． 3．（2026·广西·一模）如图，在边长为1的正方形网格中，，，，，是正方形网格上的五个点，若半径为1的与线段交于点，则的余弦值是（    ） A． B．2 C． D． 4．（25-26九年级下·广东广州·月考）如图，在正方形中，点E在的延长线上，点F是的中点，连接并延长交于点G，连接，，则的余弦值为（   ）． A． B． C． D．2 5．（2026·广西南宁·二模）如图，在中，，是斜边上的中线，过点作交于点．若，的面积为5，则的值为______． 题型三：正切 在直角三角形中，锐角的正切等于对边比邻边，即tan A＝；只与两条直角边有关，与斜边无关。 对边、邻边搞反；与正弦余弦混淆；无直角乱用公式。 1．（2026·云南保山·二模）如图，是的边上的高，若，，则边的长为（   ） A．4 B．8 C．12 D．16 2．如图，的三个顶点均在正方形网格的格点上，则的值为（   ） A．1 B． C． D． 3．（2026·广西梧州·一模）如图，是的直径，弦，垂足为点，连接，．若，则（    ） A． B． C． D． 4．（2026·广东茂名·一模）如图，在中，延长斜边到点C，使，连接．若，，则的值为（    ）． A． B． C． D． 5．（2026·黑龙江哈尔滨·一模）如图，为的内接三角形，，，则的半径为（   ） A． B．5 C． D． B． 考点02 特殊角的三角函数值 熟记 30°、45°、60° 的正弦、余弦、正切值；能进行特殊角三角函数混合运算；会由函数值反求锐角；掌握互余两角的三角函数转化关系。 题型四：特殊角三角函数值的混合运算 先准确代入30°、45°、60°的三角函数值，再按运算顺序计算，最后化简结果。 特殊角数值记混；符号看错；运算顺序错误；结果未化简。 1．（2026·天津宁河·二模）的值等于（   ） A． B． C． D． 2．（2026·河南周口·一模）计算： 3．（2026·山东济南·二模）计算：． 4．（2026·云南昆明·模拟预测）计算：． 5．（2025·四川广安·中考真题）计算：． 题型五：由特殊三角函数值求锐角 根据正弦、余弦、正切的特殊值反向对应角度，限定在锐角范围内确定唯一答案。 数值与角度对应错误；漏写 “°”；忽略锐角范围。 1．（2025·山东菏泽·模拟预测）在锐角中，，则的度数是（  ） A． B． C． D． 2．（2025·上海·一模）在中，、都是锐角，且，则的度数为（   ） A． B． C． D． 3．（2025·湖南长沙·二模）在中，A、B都是锐角，，，下列说法正确的是（    ） A． B． C．是等边三角形 D．是直角三角形 4．在中，若，则是 三角形． 5．在中，若，，则 度． 题型六：互余角的三角函数关系 若∠A+∠B=90∘，则sin A=cos B，cos A=sin B，可直接转化简化计算。 互余关系用反；正弦余弦写混；不会灵活转化。 1．在△ABC中，∠C＝90°，sinA=，则sinB等于(    ) A． B． C． D． 2．已知，则（   ） A． B． C．4 D．2 3．若α为锐角，且cosα＝，则sin(90°－α)的值是(　　) A． B． C． D． 4．已知，都是锐角，且，，则________． 5．如图，在中，，于点，，，则的值______． 考点03 解直角三角形 掌握解直角三角形的基本方法：已知两边用勾股定理，已知一边一角用三角函数；能正确求解边长与角度；会通过作高将非直角三角形转化为直角三角形求解。 题型七：解直角三角形的计算 已知两边：用勾股定理求第三边；已知一边一角：用三角函数求其余边；两锐角互余求角。 勾股定理计算错误；边与角不对应；比值用错。 1．（2026·安徽合肥·二模）如图，在中，，，边的中点为，于点，于点，若，则的长是（    ） A． B．3 C．4 D．5 2．（2025·四川攀枝花·中考真题）如图，中，为BC的中点，于点与相交于点，则（   ） A． B． C． D． 3．（2025·陕西·一模）如图，在矩形中，对角线相交于点O，于点E，且，若，则的长为（    ） A． B．2 C． D． 4．（2024秋•工业园区校级月考）在Rt△ABC中，AC＝2BC，求： （1）cosA； （2）当AB＝10时，求BC的长． 5．如图，在△ABC中，CD⊥AB于点D，AC＝20，BC＝15，AD＝16． （1）求CD和AB的长； （2）求∠ACB的度数． 题型八：解非直角三角形的计算 非直角三角形必须作高，分成两个直角三角形，再分别用三角函数求解。 不作高直接套用公式；高的位置画错；计算混乱。 1．（2025·江苏常州·一模）如图，在中，，，，则点到的距离是（   ） A． B． C． D． 2．（2024·江西南昌·模拟预测）如图，在四边形中，，，，，，直线与直线所夹锐角的度数为_________．    3．（2026·浙江台州·一模）如图，在平行四边形中，过点作于点，连接．若，，则的值为______． 4．如图，是的中线，    求： (1)的长； (2)的正弦值． 5．（2025·浙江绍兴·二模）如图，在中，，点在边上，且，连结． (1)求的长． (2)求的值． 考点04 解直角三角形的实际应用 能将仰角、俯角、方位角、坡度坡比等实际问题转化为数学模型；会画示意图、构造直角三角形；利用三角函数解决高度、距离、长度等实际应用问题。 题型九：仰角俯角问题 根据题意画示意图，确定仰角 / 俯角位置，构造直角三角形，用三角函数求高度或水平距离。 仰角俯角位置看错；直角构造错误；图形画错。 1．（2026·广东深圳·一模）图1是某住宅单元楼的人脸识别系统（整个头部需在摄像头视角范围内才能被识别），图2为其示意图，摄像头的仰角、俯角均为，高度为．某人笔直站在离摄像头水平距离的点处，若此人要能被摄像头识别，其身高不能超过（   ）（参考数据：，，） A． B． C． D． 2．（2026·河南周口·模拟预测）广州塔是中国第一高电视塔，俗称“小蛮腰”，享有“世界第二高电视塔”的美誉．在一次综合实践活动中，如图，某数学小组用无人机在离塔中心一定距离的处测得塔顶的仰角为，再将无人机垂直上升到离点距离为米的点处，此时测得塔顶点的仰角为，则测得小蛮腰的高度为__________米． 3．（2025·陕西·中考真题）小伟和小华想用所学数学知识测量小河的宽．测量示意图如图所示，他们在河边的山坡上的点处安装测角仪，测得河对岸点的俯角为与的夹角为，又测得点与河岸点之间的距离为．已知，点在同一平面上，点在同一水平直线上，且．求河宽．（参考数据：，，，） 4．（2026·山东临沂·一模）某校课外活动小组来到马头古镇进行参观研学，对位于马头古镇中心大街最北端的“北水门”高度进行了实地测量．操作过程如下： 如图，测试小组利用测角仪从点D处观测大门顶端A点的仰角为．在测角仪和大门之间水平光滑的地面放置一个平面镜，小组成员在平面镜上做好标记后，将平面镜在地面上来回移动，当平面镜上的标记位于点E处时，观测的同学恰好能从点D处看到大门顶端A在镜子中的像与平面镜上的标记重合，此时测得米．已知测角仪的高度米，点A，B，C，D，E在同一竖直平面内，且点B，E，C在同一条水平直线上．求北水门的高度．（结果精确到1米，参考数据：，，） 5．（2025·山东滨州·中考真题）【活动背景】 如图，建筑物、的高度不可直接测量．为测量建筑物、的高度，技术员小李用皮尺测得A、B之间的水平距离为，用测角仪在C处测得D点的俯角为，测得B点的俯角为． 【问题解决】 (1)请运用技术员小李提供的数据求出建筑物、的高度（结果保留整数）；（参考数据：，，，，，） (2)请再设计一种测量建筑物、高度的方案（建筑物的宽度忽略不计），画出平面示意图，把应测数据在示意图中用字母标记出来，并用含字母的式子表示出建筑物、的高度．（可提供的测量工具：皮尺、测角仪） 题型十：方位角问题 按 “上北下南左西右东” 画方位图，确定直角三角形，利用三角函数求距离。 方位角理解错误；图形画错；角度找错。 1．（2026·内蒙古鄂尔多斯·一模）如图，港口在观测站的正东方向千米处，某船从港口出发，沿北偏东方向匀速航行小时后到达处，此时从观测站处测得该船位于北偏东的方向，求该船航行的速度是______千米/小时．（结果保留根号） 2．（2026·辽宁抚顺·一模）如图，湖心岛上有一凉亭，在凉亭的正东湖边有一棵大树，在湖边的处测得在其北偏西方向上，在其北偏东方向上，测得，之间的距离为米，则，之间的距离为___米．（结果精确到米．参考数据：， ） 3．（2026·湖南益阳·二模）某环保监测员上午从湿地监测站出发，沿北偏西方向骑行到达鸟类观测点，观测50分钟后从处沿正南方向骑行一段距离，到达位于湿地监测站南偏西方向的水文监测点处，此时为上午，如图所示． (1)求该环保监测员从鸟类观测点骑行到水文监测点的途中，他与湿地监测站之间的最短距离； (2)上午，监测员完成工作后，若以20的平均速度从水文监测点骑行回湿地监测站，他能否在上午前到达？（参考数据：） 4．（2026·湖南长沙·二模）“珍爱生命，远离超速”．如图，某条东西走向的高速公路，车辆限速为120千米/时，在道路旁边的点A处建一个监测点，测得点A到公路的距离米．当一辆小汽车行驶到点B处时，测得小汽车在监测点A的南偏西53°方向，5秒后，小汽车匀速行驶到点C处，此时，测得小汽车在监测点A的东南方向．（参考数据：，，） (1)求BC段的长度（结果保留整数）； (2)判断小汽车在BC段行驶时是否超速，并说明理由． 5．（2025·河南焦作·一模）如图，一艘轮船位于灯塔的北偏东方向，距离灯塔海里的处，此时船长接到台风预警信息，台风将在小时后袭来，他计划立即沿正南方向航行，赶往位于灯塔的南偏东方向上的避风港处． (1)问避风港处距离灯塔有多远． (2)如果轮船的航速是海里时，问轮船能否在小时内赶到避风港处．参考数据：，，， 题型十一：坡度坡比问题 坡度i=竖直高度:水平长度=tan α（α为坡角）；坡度越大，坡角越大，坡面越陡。 把坡度当成坡角；混淆i与tan α；比例写反。 1．（2026·江苏泰州·一模）某河堤横断面如图所示，堤高，迎水坡的坡比是，则的长为________m． 2．（2024·四川自贡·模拟预测）如图为一大坝的横截面图，，背水坡的坡度为，迎水坡的坡角为，若米，坝高为米，则坡底长为（   ）米．    A．17 B．18 C．19 D．20 3．图为某拦河坝改造前后河床的横断面示意图，，坝高，将原坡度的迎水坡面改为坡角为的斜坡，此时，河床面的宽减少的长度等于（结果精确到，参考数据：）（  ） A． B． C． D． 4．（2025·山东·模拟预测）如图是某地下停车库入口的设计示意图，延长与交于E点，已知坡道的坡比，的长为7.2米，的长为0.4米． (1)请求出的长； (2)按规定，车库坡道口上方需张贴限高标志，根据图中所给数据，确定该车库入口的限高数值（即点D到的距离）． 5．（2026·湖南娄底·模拟预测）紫鹊界梯田（如图1）位于娄底市新化县，是苗瑶先民在山脊上用2000年时间雕刻出的8万亩壮丽画卷．如图2，梯田所在山坡的坡度为，山底有一条小路，几位同学在老师的指导下使用无人机在距离地面（小路所在平面）高度为的点D处，分别测得小路两端A、C的俯角为和，测得山顶B的仰角为．（结果保留整数，取，，，，） (1)求小路的长度； (2)求梯田坡面的长度． 题型十二：其它应用问题 将实际问题转化为数学模型，找准直角三角形，合理作辅助线，列三角函数式求解。 题意理解不清；不会作高；模型建立错误。 1．（2024·河北·模拟预测）桑梯是我国古代发明的一种采桑工具．图1是明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘的桑梯，其示意图如图2所示，已知米，米，与的张角为，为保证安全，的调整范围是，为固定张角的绳索，则桑梯顶端D到地面的距离（单位：米）为（    ） A． B． C． D． 2．（2025·广东深圳·三模）如图1是背肌训练器实物图，图2都是这个训练器在被使用过程中的示意图，立柱竖直固定在水平地面上，摆臂可绕点在一定范围内上下转动，的长为米．的长为米．小滨将摆臂绕点O往下拉，现小滨将摆臂下拉到图2位置，，则握手点B离水平地面的竖直高度为（　） （参考数据，，） A．米 B．米 C．米 D．米 3．（2026·辽宁葫芦岛·一模）一种遮阳伞如图，遮阳伞支架垂直于地面，D在上，，D、E、F三点共线，．当太阳光线与垂直时，它与地面的夹角正好为，求落在地面上的投影的长．（精确到，，） 4．（2025·江苏镇江·一模）图1是一台手机支架，图2是其侧面示意图，可分别绕点A，C转动，测得．小明爸爸把支架调整到适合的位置，测得． (1)求点C到的距离； (2)求点D到的距离．(结果均保留一位小数，参考数据：，，，) 5．（2025·湖南·模拟预测）2025年春晚的机器人舞蹈《秧》展示了科技与文化的完美融合，机器人通过高精度技术实现精准动作，并与人类舞者默契配合，吸引了全球关注．某科技兴趣小组对此有着浓厚的兴趣，决定对机器人的动作进行研究，制作出一部动画作品． 活动主题 机器人舞蹈动画制作 活动流程 如图1，小组成员分别收集了一些春晚机器人舞蹈的视频，对其动作进行逐帧分解，利用测量所得的相关数据，对机器人进行初步建模，之后利用动画软件进行制作． 分解动作模型抽象    数据测量模型建立 机器人建模模型图形绘制可抽象为如图2所示，腰部平行于水平面，上半身腰部，大腿与腰部夹角，与小腿夹角，足部与水平面夹角，，，，，所有点均在同一平面内． 请根据表格中提供的信息，解决下列问题．（参考数据：，，，，，，） (1)过机器人腰部点C作垂直于水平面于点L，求机器人膝盖点F到机器人腰部点C的水平距离； (2)求机器人脖子点A到水平面的距离．（结果保留一位小数） 1.（2025·广东深圳·一模）在中，，那么的值是（   ） A． B．1 C． D． 2．（2026·吉林长春·二模）如图，山区公路管理处在山顶观景台处架设了监测设备，从处测得山下公路上事故点的俯角为．已知设备点到事故点的直线距离为米，观景台正下方的山脚点为，则事故点到山脚点的水平距离为（   ） A．米 B．米 C．米 D．米 3．（2025·陕西榆林·一模）如图，在中，是的高．若，，，则的长为（    ） A． B． C．5 D． 4．（2026·云南·一模）如图，已知是的直径，是的弦，，垂足为．若，，则 （  ） A． B． C． D． 5．（2026·湖南益阳·二模）如图，直尺的宽为，把含的三角板的直角顶点置于直尺的边上，两直角边与直尺的另一边交于点，若的长为，当斜边与平行时，则的长为（    ） A． B． C． D． 6．（2026·吉林延边·一模）在直角三角形中，，，，则_________ 7．（2025·吉林长春·模拟预测）如图，是的外接圆，是的直径．若，弦，则的值为_________． 8．（2026·江苏扬州·一模）在如图所示的小正方形网格中，均为小正方形的顶点，线段和相交于点，则的值为___________． 9．（2026·天津红桥·一模）在综合与实践活动中，要用测角仪测量公园里一个池塘两端的距离（如图）．某学习小组设计了一个方案：在池塘的一端A处测得B处在A处的北偏西方向，再沿正西方向前行220m到达C处，测得B处在C处的北偏东方向．根据该学习小组测得的数据，计算池塘两端的距离（结果保留整数）．参考数据：，，，． 10．（2026·天津滨海新区·一模）综合与实践活动中，要用测角仪测量校园附近一座信号塔的高度． 某校研究性学习小组设计了一个方案：如图，该信号塔垂直于水平地面，其前方有一段台阶，台阶顶端D距离地面的高度，点E，C，A在同一条水平直线上，且．在点C处测得塔顶B的仰角为，又在台阶顶端D处测得塔顶B的仰角为． (1)求线段的长； (2)求信号塔的高度（结果取整数）．参考数据：，． 11．（2026·山东济南·二模）某工厂在斜坡上安装一块广告牌，其侧面结构如图所示，斜坡与水平线的夹角，广告牌长为，与水平线的夹角，三个支撑杆固定该广告牌（点C，M，B在同一条直线上，且），其中． (1)求广告牌的端点D到水平线的高度； (2)求水平支撑杆的长度． （结果精确到．参考数据：，，，，，） 12．（2026·山西运城·二模）在国家“双碳”目标与可再生能源发展规划的指引下，山西省大力推进风电等清洁能源项目建设，助力能源结构转型．图1是小陈在家乡看到的风力发电设备，他想利用所学知识估算风电架的高度，以加深对清洁能源基础设施的了解． 测量方案及数据：如图2，线段表示风电架，小陈在点（在同一直线上）处测得风电架顶部点的仰角为．他从点沿着小山坡走到点，此时测得风电架顶部点的仰角为，山坡的坡度，点到的距离为． 任务：若在观测过程中所有点都在同一竖直平面内，请根据小陈的测量数据计算风电架的高度（结果精确到，参考数据：）． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $