专题02 排列组合中六类必考问题（举一反三专项训练）高二数学苏教版选择性必修第二册

专题02 排列组合中六类必考问题（举一反三专项训练） 【苏教版】 【类型1 排列数、组合数的计算与证明】 2 【类型2 元素（位置）有限制的排列问题】 5 【类型3 相邻、不相邻排列问题】 8 【类型4 组合计数问题】 10 【类型5 分组、分配问题】 13 【类型6 涂色问题】 17 知识点1 排列数与组合数 1．排列数与组合数 (1)排列数 从n个不同元素中取出m(m≤n,n,m∈N*)个元素的所有不同排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号表示. (2)组合数 从n个不同元素中取出m(m≤n,n,m∈N*)个元素的所有不同组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用符号表示. 2．排列数、组合数的公式及性质 (1)排列数公式 n(n-1)(n-2)…(n-m+1).这里，n,m∈N*，并且m≤n. (2)组合数公式 ①连乘表示： . 这里，n,m∈N*，并且m≤n. ②阶乘表示：. 规定：. (3)组合数的性质 ①性质1：； ②性质2：. 知识点2 排列组合必考问题的分类与解题策略 1．排列应用问题的分类与解法 (1)有限制条件的排列问题：对于有限制条件的排列问题，分析问题时有位置分析法、元素分析法，在实际进行排列时一般采用特殊元素优先原则，即先安排有限制条件的元素或有限制条件的位置，对于分类过多的问题可以采用间接法. (2)相邻问题：对相邻问题采用捆绑法；相邻元素看作一个整体与其他元素一起排列，注意捆绑元素的内部排列. (3)不相邻问题：不相邻问题采用插空法；先考虑不受限制的元素的排列，再将不相邻的元素插在前面元素排列的空档中. (4)定序问题：定序问题有两种求解策略，一是定序倍除法：全部排列后，除以有顺序要求的排列；二是定序排他法：有顺序要求部分只有一种排法，只要把剩下部分排列即可. (5)间接法：正面分类太多从反面入手. 2．组合问题的分类与解法 组合问题常有以下两类题型变化： (1)“含有”或“不含有”某些元素的组合题型：“含”，则先将这些元素取出，再由另外元素补足；“不含”，则先将这些元素剔除，再从剩下的元素中去选取. (2)“至少”或“至多”含有几个元素的组合题型：解这类题必须十分重视“至少”与“至多”这两个关键词的含义，谨防重复与漏解.用直接法和间接法都可以求解，通常用直接法分类复杂时，考虑逆向思维，用间接法处理. 3．分组分配问题 (1)解题思路：先分组后分配，分组是组合问题，分配是排列问题. (2)分组方法：①完全均匀分组，分组后除以组数的阶乘；②部分均匀分组，有m组元素个数相同，则分组后除以m!；③完全非均匀分组，只要分组即可. (3)分配方法：①相同元素的分配问题，常用“挡板法”；②不同元素的分配问题，利用分步乘法计数原理，先分组后分配；③有限制条件的分配问题，采用分类求解. 【方法技巧与总结】 1．解决排列、组合问题的八种技巧 (1)特殊元素优先安排. (2)合理分类与准确分步. (3)排列、组合混合问题要先选后排. (4)相邻问题捆绑处理. (5)不相邻问题插空处理. (6)定序问题倍缩法处理. (7)分排问题直排处理. (8)正难则反，等价转化. 【类型1 排列数、组合数的计算与证明】 1．（24-25高二下·山东菏泽·期末）（   ） A．10 B．15 C．20 D．25 【答案】D 【解题思路】根据组合数公式和排列数公式直接计算可得. 【解答过程】由组合数公式和排列数公式可得. 故选：D. 2．（24-25高二下·江苏淮安·期末）下列选项正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据排列数计算公式判断AB，根据组合数计算公式判断CD. 【解答过程】对于A，因为，所以，错误； 对于B，因为，所以，错误； 对于C，因为， 所以，错误； 对于D，因为，所以，正确. 故选：D. 3．（24-25高二下·广西百色·期末）若，则（   ） A．5 B．6或5 C．7 D．7或8 【答案】B 【解题思路】根据组合数的性质即可求解. 【解答过程】∵， ∴由组合数的性质可得或，则或5. 故选：B. 4．（24-25高二下·吉林长春·月考）已知，则 ． 【答案】3 【解题思路】根据题意结合组合数性质运算求解即可. 【解答过程】因为，则或，解得或， 且，所以. 故答案为：3. 5．（24-25高二下·海南省直辖县级单位·期中）计算下列各式. (1)； (2). 【答案】(1)600 (2)13 【解题思路】利用排列数与组合数的计算公式直接计算即可得结果. 【解答过程】（1）； （2）. 6．（24-25高二下·重庆九龙坡·期中）计算下列各小题，结果用数字作答，写出必要过程. (1)求值：； (2)解方程：； (3)已知，求. 【答案】(1)165 (2)或 (3) 【解题思路】（1）首先根据组合数的性质将原式进行化简，然后根据求出原式的值. （2）根据组合数的性质：，则或进行求解方程. （3）首先根据组合数的计算公式化简等式，得到关于的等式，最后求出的值. 【解答过程】（1）根据组合数的性质，且， 所以. 根据可求得：. 所以. （2）因为，所以或者. 当时，； 当时，. 所以或. （3），. 因为， 所以，化简得： ，即. 解得或者. 又在中，，即，所以. 【类型2 元素（位置）有限制的排列问题】 7．（24-25高二下·黑龙江鸡西·期中）用0、1、2、3、4、5这六个数组成无重复数字的四位数，其中偶数有（    ）个. A．156 B．300 C．180 D．120 【答案】A 【解题思路】根据分类加法和分步乘法计数原理，计算不同结果有多少. 【解答过程】组成四位偶数，分为两种情况： 第一类：个位数是0，则十位、百位、千位没有其他要求，共有种. 第二类：个位不是0，则个位有两个选择，千位有除0外的4个选择，十位、百位没有要求，共有种，则所有偶数有种. 故选：A. 8．（24-25高二下·广东阳江·期中）从包含甲、乙两人的人中选出人分别担任学习委员、宣传委员、体育委员，则甲、乙两人都入选的不同选法共有（ ）种 A． B． C．30 D．20 【答案】C 【解题思路】从除了甲乙外的人中任选一人，再将甲，乙和所选的人进行全排列，即可求出甲、乙两人都入选的不同选法的种数. 【解答过程】由题意， 甲乙两人都入选，还要先在其他5人里选一人有种，再和甲乙一起全排列有， ∴甲乙两人都入选的不同选法有（种）. 故选：C. 9．（24-25高二下·重庆·期中）甲、乙、丙、丁、戊五名同学站成一排参加文艺汇演，最左端不能排甲和乙，最右端不能排乙，则不同的排法共有（   ） A．27种 B．36种 C．54种 D．72种 【答案】C 【解题思路】分类讨论甲是否排最右端，结合排列数组合数分析求解. 【解答过程】若最右端排甲，则最左端不能排乙，不同的排法共有种； 若最右端不排甲，则甲、乙不能排两端，不同的排法共有种； 所以不同的排法共有种. 故选：C. 10．（24-25高二下·四川雅安·期末）某班级周一的课程表要排入语文、数学、英语、物理、化学、体育共6节课，其中要求体育课不能排在第一节，且数学课不能排在最后一节，则共有 种不同的排法.（用数字作答） 【答案】 【解题思路】根据题意，分为体育课排在最后一节和体育课不排在第一节和最后一节，两种情况，分别求得相应的排法数，结合分类计算原理，即可求解. 【解答过程】根据题意，可分为两类： （1）若体育课排在最后一节，则有种不同的排法； （2）若体育课不排在第一节和最后一节，则有种不同的排法， 由分类计数原理得，共有种不同的排法. 故答案为：. 11．（24-25高二下·全国·课后作业）让6名学生排成一排，按下列条件，求分别有多少种不同的排法． (1)甲必须在排头； (2)甲不在排头也不在排尾； (3)甲不在排头，乙不在排尾． 【答案】(1)120 (2)480 (3)504 【解题思路】（1）甲必须在排头，其他人全排即可； （2）方法一：甲不在排头也不在排尾，甲有种排法，其他全排即可；方法二：先排排头和排尾，其他全排即可； （3）分甲在排尾和甲不在排尾进行讨论排列即可. 【解答过程】（1）先排甲，有1种排法，再排其他5人，有种排法，所以共有（种）排法． （2）方法一：特殊元素法：先排甲，有种排法，再排其他5人，有种排法， 所以共有（种）排法． 方法二：特殊位置法：先排排头和排尾，有种排法，再排其他4个位置，有种排法， 所以共有（种）排法． （3）对甲进行分类，第一类，甲在排尾，有（种）排法； 第二类，甲不在排尾，有（种）排法， 所以共有（种）排法． 12．（24-25高二下·河南洛阳·期中）用0，1，2，3，4组成无重复数字的五位数． (1)偶数共有多少个？ (2)比30000大的偶数共有多少个？ (3)1，2相邻的偶数共有多少个？ 【答案】(1)60 (2)30 (3)24 【解题思路】（1）根据特殊元素0是否在个位分成两类，再根据分类加法计数原理相加即可； （2）根据特殊位置，即万位是3或4分类，再根据分类加法计数原理相加即可； （3）根据特殊位置，即个位是0或2或4分类，其中个位是4的情况可以用剔除法解决，再根据分类加法计数原理相加即可； 【解答过程】（1）当个位是0时，共有种情况； 当个位是2或4时，共有种情况； 根据分类加法计数原理得：符合题意的偶数有个. （2）当万位是3时，共有种情况； 当万位是4时，共有种情况； 根据分类加法计数原理得：符合题意的偶数有个. （3）当个位是0时，共有种情况； 当个位是2时，则十位是1，共有种情况； 当个位是4时，共有种情况； 根据分类加法计数原理得：符合题意的偶数有个. 【类型3 相邻、不相邻排列问题】 13．（24-25高二下·河南郑州·期末）现有3名男生和2名女生并排站成一排，2名女生相邻，男生甲不站排头，则不同的排法种数为（    ） A．24 B．36 C．48 D．60 【答案】B 【解题思路】相邻问题捆绑法，将两名女生“捆绑”，算出总的排法减去男生甲站排头的排法，得解. 【解答过程】将两名女生“捆绑”，看成整体，总的排法有种， 其中男生甲站排头的排法有种， 所以男生甲不站排头的不同排法种数为种. 故选：B. 14．（24-25高二下·四川绵阳·期中）甲、乙、丙、丁、戊、己等六人站成一排，要求甲、乙必须相邻，丙、丁不相邻，则不同的安排方法有（   ） A． 种 B． 种 C． 种 D．种 【答案】D 【解题思路】根据相邻捆绑，不相邻插空和分步乘法计数原理即可分析计算求解. 【解答过程】甲、乙必须相邻，先将甲、乙两人捆绑作为一人有种排列方法， 接着和除丙、丁外的2人一起进行排列有种排列方法， 最后上述排列种形成的4个空中选出两个空给丙、丁插入排列有种方法， 所以总的不同的安排方法有种. 故选：D. 15．（24-25高二下·重庆·期中）2025年春节档电影《哪吒之魔童闹海》成为中国影史票房最高的电影，某班甲、乙、丙、丁、戊这5位同学相约一起去电影院观看，要求5人坐在同一排相邻的5个位置，甲、乙、丙这三人相邻，且丙不与丁相邻，则不同的座位排列方法有（    ）种. A．32 B．28 C．24 D．20 【答案】B 【解题思路】根据给定条件，利用相邻问题捆绑法，结合排除法列式计算. 【解答过程】将甲乙丙三人视为整体与丁戊排列，有种， 当甲乙丙相邻，丙不在甲乙的中间，丙丁相邻时，甲乙丙丁视为一个整体与戊排列，有种， 所以不同的座位排列方法的种数是. 故选：B. 16．（24-25高二下·云南·期中）5名学生和2位老师站成一排照相，则2位老师不相邻且不排在两端的排法有 种． 【答案】1440 【解题思路】先排两端，再利用插空法排剩余位置即可. 【解答过程】先排两端，可知两端必为学生，则不同的排法种数为； 再排剩余位置，则不同的排法种数为； 所以不同的排法种数为. 故答案为：1440. 17．（24-25高二下·河北沧州·月考）某次文艺晚会上计划演出7个节目，其中2个歌曲节目，3个舞蹈节目，2个小品节目，需要制作节目单： (1)唱歌节目排在两头，有多少种排法? (2)三个舞蹈节目相邻且不排两端，有多少种排法? (3)唱歌节目、舞蹈节目相邻，两个小品节目不相邻，有多少种排法? 【答案】(1) (2) (3) 【解题思路】(1)先排唱歌节目再排其他节目由分步乘法计数原理计算即可. (2)(3)利用捆绑法插空法计算即可. 【解答过程】（1）先排唱歌节目有种排法，再将剩下的5个节目全排列有种方法，故共有种排法. （2）将三个舞蹈节目看成一个整体，优先排列有种排法， 在将剩下4个节目全排列，有种排法， 最后将舞蹈节目整体放入剩下4个节目排列时产生的不含两端的3个空中，有种排法， 故共有种方法. （3）将唱歌节目、舞蹈节目分别看成整体优先安排有种排法， 再将小品分别放入排舞蹈，歌曲时产生的三个空中有种排法， 则共有种排法. 18．（24-25高二下·河北衡水·月考）某种产品的加工需要经过5道工序. (1)如果其中某2道工序既不能放在最前，也不能放在最后，那么有多少种加工顺序？ (2)如果其中某2道工序必须相邻，那么有多少种加工顺序？ (3)如果其中某2道工序不能相邻，那么有多少种加工顺序？ 【答案】(1)36 (2)48 (3)72 【解题思路】（1）先从另外3道工序中任选2道工序放在最前和最后，再将剩余的3道工序全排列； （2）先排这2道工序，再将它们看做一个整体，与剩余的工序全排列； （3）先排其余的3道工序，出现4个空位，再将这2道工序插空即可. 【解答过程】（1）先从另外3道工序中任选2道工序放在最前和最后，有种不同的排法， 再将剩余的3道工序全排列，有种不同的排法， 故由分步乘法原理可得，共有种加工顺序； （2）先排这2道工序，有种不同的排法，再将它们看作一个整体， 与剩余的工序全排列，有种不同的排法， 故由分步乘法原理可得，共有种加工顺序； （3）先排其余的3道工序，有种不同的排法，出现4个空位，再将这2道工序插空， 有种不同的排法，所以由分步乘法原理可得，共有种加工顺序. 【类型4 组合计数问题】 19．（25-26高二上·甘肃白银·期末）某学校拟派5名教师去甲、乙、丙这3所不同的学校参观学习，每名教师只去一所学校，每个学校至少要派遣1名教师，若去甲校的人数不得少于丙校，则不同的派遣方案有（    ） A．110种 B．100种 C．90种 D．80种 【答案】B 【解题思路】根据丙校派遣的人数进行讨论，结合计数原理即可求解． 【解答过程】若丙校派遣1人，则甲校可以派遣1或2或3人，派遣方案有种； 若丙校派遣2人，则甲校必须派遣2人，派遣方案有种； 所以满足条件的不同的派遣方案有种． 故选：B． 20．（2025·安徽·模拟预测）在三棱锥的顶点和各棱中点中取个不共面的点，不同的取法共有（   ） A．种 B．种 C．种 D．种 【答案】D 【解题思路】根据棱锥的结构特征，应用组合数及列举法确定所有选取方法数、共面情况的选取方法数，即可得. 【解答过程】如下图，共有个点任选个有种， 每个侧面的个点都共面，任选个有种，共个面，则有种共面情况， 如、、分别构成一个平面，有种， 如、、、、、分别构成一个平面，有种， 综上，在三棱锥的顶点和各棱中点取个不共面的点，不同的取法共有种. 故选：D. 21．（24-25高二下·江苏徐州·月考）用，，，，，，这七个数字组成没有重复数字的三位数，其中偶数共有（   ） A．105个 B．42个 C．146个 D．52个 【答案】A 【解题思路】对个位数字分四种情况讨论，按照分类加法计数原理及组合数公式计算可得. 【解答过程】若个位数字为，则有个； 若个位数字为，则有个； 若个位数字为，则有个； 若个位数字为，则有个； 综上可得一共有个. 故选：A. 22．（25-26高三上·上海·开学考试）一份考卷有10道考题，分别为两组，每组5道．现要求考生选答6道，但每组最多选4道，有 种选法． 【答案】200 【解题思路】利用分类加法计数原理，即可求得答案. 【解答过程】由题意可分3类考虑： 第一类：A组选4题，B组选2题，有种选法； 第二类：A组选3题，B组选3题，有种选法； 第三类：A组选2题，B组选4题，有种选法； 故共有（种）选法， 故答案为：200. 23．（24-25高二下·安徽亳州·开学考试）现有如下定义：除最高数位上的数字外，其余每一个数字均比其左边的数字大的正整数叫“幸福数”（如346和157都是三位“幸福数”）. (1)求三位“幸福数”的个数； (2)如果把所有的三位“幸福数”按照从小到大的顺序排列，求第80个三位“幸福数”. 【答案】(1)个 (2)589 【解题思路】（1）由幸福数的定义结合组合公式求解即可； （2）分类讨论最高位数字，由组合公式结合分类加法计数原理得出第80个三位“幸福数”. 【解答过程】（1）根据题意，可知三位“幸福数”中不能有0， 故只需在数字1，2，3，…，9中任取3个，将其从小到大排列，即可得到一个三位“幸福数”，每种取法对应1个“幸福数”，则三位“幸福数”共有个. （2）对于所有的三位“幸福数”，1在最高数位上的有个， 2在最高数位上的有个， 3在最高数位上的有个， 4在最高数位上的有个， 5在最高数位上的有个. 因为， 所以第80个三位“幸福数”是最高数位为5的最大的三位“幸福数”，为589. 24．（24-25高二下·安徽·期中）某社团共有学生9名，其中有5名男生和4名女生，现从中选出4人去参加一项创新大赛．（列式表明计算过程，结果用数字表示） (1)如果4人中男生女生各选2人，那么有多少种选法? (2)如果男生中的甲和女生中的乙必须在内，那么有多少种选法？ (3)如果男生中的甲和女生中的乙至少要有1人在内，那么有多少种选法？ (4)如果4人中必须既有男生又有女生，那么有多少种选法？ 【答案】(1) (2) (3) (4) 【解题思路】（1）根据要求直接选取即可； （2）在剩下的7人中任选2人即可； （3）利用间接法可求得总的方法数； （4）从所有9人中选4人，去掉只有男生和只有女生的情况. 【解答过程】（1）如果4人中男生女生各选2人，有种选法． （2）如果男生中的甲和女生中的乙必须在内， 则在剩下的7人中任选2人，有种选法． （3）如果男生中的甲和女生中的乙至少要有1人在内， 共有种选法． （4）如果4人中必须既有男生又有女生， 先从所有9人中选4人，去掉只有男生和只有女生的情况， 故有种选法． 【类型5 分组、分配问题】 25．（24-25高二下·广西桂林·开学考试）将小文等5名大学生安排到三家企业进行实践学习，每名大学生只能安排去一家企业，每家企业至少安排1名大学生，且安排小文独自去其中一家企业进行实践学习，则不同的安排方法种数为（    ） A．48 B．60 C．42 D．14 【答案】C 【解题思路】本题考查分步计数原理，利用特殊元素优先安排法和分组分配问题原理进行求解即可. 【解答过程】先安排小文选择一家企业，有种选择方式. 然后将剩余人安排到两家企业，每家企业至少安排1人，所以将人分为组，再安排企业，有两种分组方式： 第一种：人去一家企业，其余人去一家企业，有种方式； 第二种：每家企业各人，有种方式. 所以不同的安排种数为. 故选：C. 26．（24-25高二下·福建福州·期末）某学术协会收到5篇论文，需要分配给3名专家进行评审，每名专家至少评审1篇，每篇论文由1名专家独立评审，则不同的分配方式共有（ ） A．60种 B．90种 C．120种 D．150种 【答案】D 【解题思路】先将论文分成3组，再分配给专家. 【解答过程】先将5篇论文分成3组且每组至少一篇，只有两种分组方法：和 若5篇论文分成三份.总共有种方法，再将这三份论文分配给三名专家，因此总计种方法； 若5篇论文分成三份.总共有种方法，再将这三份论文分配给三名专家，因此总计种方法. 因此总计种分配方式. 故选：D. 27．（24-25高二下·江苏南通·月考）某市为了实施教育振兴计划，依托本市一些优质教育资源，每年都对本市所有在高校就读的定向师范生实施教育教学技能培训，以提高定向师范生的毕业质量.现有5名即将毕业的定向师范生拟分配到3所学校进行跟岗培训，每名师范生只能跟岗1所学校，每所学校至少分配1名师范生，则不同的跟岗分配方案共有（ ） A．90种 B．150种 C．300种 D．360种 【答案】B 【解题思路】分类讨论人数的配比，结合捆绑法和部分平均分组法运算求解. 【解答过程】若3所学校分配1名师范生的人数为时，先取3人看成一个整体，再进行排列， 所以不同的跟岗分配方案有种； 若3所学校分配1名师范生的人数为时，注意到有2个学校均分配2名师范生， 所以不同的跟岗分配方案有种； 综上所述：不同的跟岗分配方案共有种. 故选：B. 28．（24-25高二下·湖北武汉·期末）分会场模式是央视春晚的长期传统，旨在扩大节目覆盖面，增加观众互动性，同时展示各城市独特的历史人文亮点，今年央视春晚的四个分会场分别是武汉､重庆､无锡和拉萨，中央电视台选派6名记者去四个分会场进行现场报道，每个分会场至少分配一名记者，则所有不同的分配方案有 种. 【答案】1560 【解题思路】先将6名记者分成4组，再分配到四个会场，利用分步分类计数原理即可得解. 【解答过程】先将6名记者分成4组，有和两种分法， 共种， 再将4组分配到四个会场，共种， 则有种. 故答案为：1560. 29．（24-25高二下·贵州铜仁·月考）现在4本不同的书，按以下方式进行分配． (1)分成两堆，每堆2本，则有多少种分法； (2)分成两堆，一堆3本、一堆1本，则有多少种分法； (3)分给甲、乙两人，每人2本，则有多少种分法； 【答案】(1)3 (2)4 (3)6 【解题思路】（1）根据题意，结合分组、分配的解法，由平均分组计算结合排列组合数的计算公式； （2）根据题意，结合分组、分配的解法，由不平均分组计算结合组合数的计算公式； （3）根据题意，结合分组、分配的解法，由平均分组分配计算结合组合数的计算公式. 【解答过程】（1）先将4本书分成有顺序的2堆，其中第1堆有2本书，第2堆有2本书，则有种情况， 由于这两堆书数量相同并无实际的顺序，因此需要除以来去序， 综上所述，不同分法的种数为． （2）先将4本书分成有顺序的2堆，其中第1堆为3本书，第2堆为1本书，则有种情况， 由于这两堆书数量不同因此确实有顺序．综上所述，不同分法的种数为． （3）先将4本书平均分成有顺序的2堆，则有种情况， 再分给甲、乙两人，不同分法的种数为． 30．（24-25高二下·安徽蚌埠·期中）国家教育部为了发展贫困地区教育，在全国重点师范大学免费培养教育专业师范生，毕业后要分到相应的地区任教.现有6个免费培养的教育专业师范毕业生要按照以下要求到3所学校去任教，有多少种不同的分派方法. (1)6人分配到三所学校甲学校1人、乙学校2人、丙学校3人； (2)6人分配到三所学校一校1人、一校1人、一校4人； (3)6人分配到三所学校每所学校至少一人； 【答案】(1)60 (2)90 (3)540 【解题思路】（1）利用分步计数原理可求得方法数； （2）先将名学生按分为三个组有种方法，则可求人分配到分配到三所学校方法数； （3）分为三个组可分为三类，即①分组；②分组；③分组；再将再分好的三个组安排到三所学校可求总的方法数. 【解答过程】（1）名学生选名到甲学校任教有种方法；从剩余的名学生中选名到乙学校有种方法；剩余名学生都分配到丙学校去任教有种方法， 则人分配到三所学校甲学校人、乙学校人、丙学校人共有 种分配方法； （2）名学生按分为三个组有种方法，则人分配到三所学校一学校人、一学校人、一学校人共有种分配方法； （3）由题可得学生的分配方案可以有：①；②；③； ①名学生按分为三个组有 种方法， 则人分配到三所学校共有 种分配方法； ②名学生按分为三个组有种分法，则人分配到三所学校一学校人、一学校人、一学校人共有种分配方法； ③名学生平均分配到所学校有种方法； 则人分配到三所学校每所学校至少一人一共有：种方法. 【类型6 涂色问题】 31．（24-25高二下·天津东丽·月考）现给如图所示的五个区域A，B，C，D，E涂色，有5种不同的颜色可供选择，每个区域只涂一种颜色，相邻区域颜色不相同，则不同的涂色方案种数为（   ）    A．420 B．340 C．260 D．120 【答案】A 【解题思路】讨论同色、同色，、一组同色一组不同色，的颜色互不相同，结合排列组合数求对应涂色方法，应用分类加法求不同涂色方案数. 【解答过程】若同色、同色，有，此时有3种涂法，共有种， 若同色、不同色，有，此时有种涂法，共有种， 同理同色、不同色也有120种， 若的颜色互不相同，则有种， 综上，共有种. 故选：A. 32．（24-25高二下·江苏无锡·期中）在一个具有五个行政区域的地图上（如图），用5种颜色给这五个行政区着色，若相邻的区域不能用同一颜色，则不同的着色方法共有（   ） A．420种 B．360种 C．540种 D．300种 【答案】A 【解题思路】先分类，再分步进行.先分颜色种类为3,4,5，再分步计算. 【解答过程】选用三种颜色时，必须1,5同色，2，4同色，此时有种； 选用四种颜色时，必须1,5同色或2，4同色，此时有种； 选用五种颜色时，有种， 所以一共有种， 故选：A. 33．（24-25高三下·湖南·开学考试）提供四种不同颜色的颜料给图中六个区域涂色，要求每个区域涂一种颜色，有公共边的两个区域不能涂相同的颜色，则不同的涂色方法共有（    ） A．288种 B．296种 C．362种 D．384种 【答案】D 【解题思路】分2号区域和6号区域同色，2号区域与4号区域同色，2号区域与4号区域，6号区域均不同色三种情况讨论，进而可得出答案. 【解答过程】首先三个区域有种涂法， 当2号区域和6号区域同色时，有种涂法； 当2号区域与4号区域同色时，有种涂法； 当2号区域与4号区域，6号区域均不同色时，有种涂法， 综上，共有384种涂法. 故选：D. 34．（24-25高二下·福建莆田·期中）春天来了，万物复苏，合肥六中乐之楼楼下的花坛里种了不同颜色的花．如图，花坛内有五个花池，有五种不同颜色的花卉可供栽种，每个花池内只能种同种颜色的花卉，相邻两池的花色不同，则最多有几种栽种方案数有 ． 【答案】420 【解题思路】根据题意，按所使用的花卉颜色种数进行分类，三种颜色共有种方案，四种颜色共有种方案，五种颜色共有种方案，相加即可. 【解答过程】由题意知，最少用三种颜色的花卉，按照花卉选种的颜色可分为三类方案，即用三种颜色、四种颜色、五种颜色. （1）当用三种颜色时，花池2,4同色和3,5同色，此时共有种方案； （2）当用四种颜色时，花池2,4同色或3,5同色，此时共有种方案； （3）当用五种颜色时，花池都不同色，此时共有种方案； 因此，所有栽种方案共有种. 故答案为：420. 35．（24-25高二下·河南周口·月考）现要用红、橙、黄、绿、青、蓝、紫7种颜色对某市的如图的四个区域进行着色，有公共边的两个区域不涂同一种颜色，则共有几种不同的涂色方法？ 【答案】1050 【解题思路】依题意可得Ⅰ与Ⅳ可以同色，因此涂四个区域可用3种颜色，也可用4种颜色，利用分类加法计数原理计算可得. 【解答过程】由图形知，Ⅰ与Ⅳ可以同色，因此涂四个区域可用3种颜色，也可用4种颜色， 用3种颜色涂色，即Ⅰ与Ⅳ同色，有种方法， 用4种颜色涂有种方法， 所以不同的涂色方法种数是. 36．（24-25高二下·江苏苏州·期中）如图，一个正方形花圃被分成5份． (1)若给这5个部分种植花，要求相邻两部分种植不同颜色的花，已知现有5种颜色不同的花，求有多少种不同的种植方法？ (2)若向这5个部分放入7个不同的盆栽，要求每个部分都有盆栽，问有多少种不同的放法？ 【答案】(1)； (2). 【解题思路】（1）分种3、4、5种颜色的花，应用分步计数及组合排列数求种植方法数； （2）分、两种分组，结合不平均分组、全排列求不同的放法. 【解答过程】（1）当种5种颜色的花，作全排列，则有种； 当种4种颜色的花，5种颜色选4种，中选一组种同颜色的花，余下3种颜色作全排列，则有种； 当种3种颜色的花，5种颜色选3种，位置任选一种，余下2种颜色在分别种相同颜色，则有种； 所以共有种不同种植方法. （2）将7个盆栽有、两种分组方式， 以分组，则种； 以分组，则种； 所以共有种不同的放法. 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 排列组合中六类必考问题（举一反三专项训练） 【苏教版】 【类型1 排列数、组合数的计算与证明】 2 【类型2 元素（位置）有限制的排列问题】 3 【类型3 相邻、不相邻排列问题】 4 【类型4 组合计数问题】 5 【类型5 分组、分配问题】 6 【类型6 涂色问题】 8 知识点1 排列数与组合数 1．排列数与组合数 (1)排列数 从n个不同元素中取出m(m≤n,n,m∈N*)个元素的所有不同排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号表示. (2)组合数 从n个不同元素中取出m(m≤n,n,m∈N*)个元素的所有不同组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用符号表示. 2．排列数、组合数的公式及性质 (1)排列数公式 n(n-1)(n-2)…(n-m+1).这里，n,m∈N*，并且m≤n. (2)组合数公式 ①连乘表示： . 这里，n,m∈N*，并且m≤n. ②阶乘表示：. 规定：. (3)组合数的性质 ①性质1：； ②性质2：. 知识点2 排列组合必考问题的分类与解题策略 1．排列应用问题的分类与解法 (1)有限制条件的排列问题：对于有限制条件的排列问题，分析问题时有位置分析法、元素分析法，在实际进行排列时一般采用特殊元素优先原则，即先安排有限制条件的元素或有限制条件的位置，对于分类过多的问题可以采用间接法. (2)相邻问题：对相邻问题采用捆绑法；相邻元素看作一个整体与其他元素一起排列，注意捆绑元素的内部排列. (3)不相邻问题：不相邻问题采用插空法；先考虑不受限制的元素的排列，再将不相邻的元素插在前面元素排列的空档中. (4)定序问题：定序问题有两种求解策略，一是定序倍除法：全部排列后，除以有顺序要求的排列；二是定序排他法：有顺序要求部分只有一种排法，只要把剩下部分排列即可. (5)间接法：正面分类太多从反面入手. 2．组合问题的分类与解法 组合问题常有以下两类题型变化： (1)“含有”或“不含有”某些元素的组合题型：“含”，则先将这些元素取出，再由另外元素补足；“不含”，则先将这些元素剔除，再从剩下的元素中去选取. (2)“至少”或“至多”含有几个元素的组合题型：解这类题必须十分重视“至少”与“至多”这两个关键词的含义，谨防重复与漏解.用直接法和间接法都可以求解，通常用直接法分类复杂时，考虑逆向思维，用间接法处理. 3．分组分配问题 (1)解题思路：先分组后分配，分组是组合问题，分配是排列问题. (2)分组方法：①完全均匀分组，分组后除以组数的阶乘；②部分均匀分组，有m组元素个数相同，则分组后除以m!；③完全非均匀分组，只要分组即可. (3)分配方法：①相同元素的分配问题，常用“挡板法”；②不同元素的分配问题，利用分步乘法计数原理，先分组后分配；③有限制条件的分配问题，采用分类求解. 【方法技巧与总结】 1．解决排列、组合问题的八种技巧 (1)特殊元素优先安排. (2)合理分类与准确分步. (3)排列、组合混合问题要先选后排. (4)相邻问题捆绑处理. (5)不相邻问题插空处理. (6)定序问题倍缩法处理. (7)分排问题直排处理. (8)正难则反，等价转化. 【类型1 排列数、组合数的计算与证明】 1．（24-25高二下·山东菏泽·期末）（   ） A．10 B．15 C．20 D．25 2．（24-25高二下·江苏淮安·期末）下列选项正确的是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高二下·广西百色·期末）若，则（   ） A．5 B．6或5 C．7 D．7或8 4．（24-25高二下·吉林长春·月考）已知，则 ． 5．（24-25高二下·海南省直辖县级单位·期中）计算下列各式. (1)； (2). 6．（24-25高二下·重庆九龙坡·期中）计算下列各小题，结果用数字作答，写出必要过程. (1)求值：； (2)解方程：； (3)已知，求. 【类型2 元素（位置）有限制的排列问题】 7．（24-25高二下·黑龙江鸡西·期中）用0、1、2、3、4、5这六个数组成无重复数字的四位数，其中偶数有（    ）个. A．156 B．300 C．180 D．120 8．（24-25高二下·广东阳江·期中）从包含甲、乙两人的人中选出人分别担任学习委员、宣传委员、体育委员，则甲、乙两人都入选的不同选法共有（ ）种 A． B． C．30 D．20 9．（24-25高二下·重庆·期中）甲、乙、丙、丁、戊五名同学站成一排参加文艺汇演，最左端不能排甲和乙，最右端不能排乙，则不同的排法共有（   ） A．27种 B．36种 C．54种 D．72种 10．（24-25高二下·四川雅安·期末）某班级周一的课程表要排入语文、数学、英语、物理、化学、体育共6节课，其中要求体育课不能排在第一节，且数学课不能排在最后一节，则共有 种不同的排法.（用数字作答） 11．（24-25高二下·全国·课后作业）让6名学生排成一排，按下列条件，求分别有多少种不同的排法． (1)甲必须在排头； (2)甲不在排头也不在排尾； (3)甲不在排头，乙不在排尾． 12．（24-25高二下·河南洛阳·期中）用0，1，2，3，4组成无重复数字的五位数． (1)偶数共有多少个？ (2)比30000大的偶数共有多少个？ (3)1，2相邻的偶数共有多少个？ 【类型3 相邻、不相邻排列问题】 13．（24-25高二下·河南郑州·期末）现有3名男生和2名女生并排站成一排，2名女生相邻，男生甲不站排头，则不同的排法种数为（    ） A．24 B．36 C．48 D．60 14．（24-25高二下·四川绵阳·期中）甲、乙、丙、丁、戊、己等六人站成一排，要求甲、乙必须相邻，丙、丁不相邻，则不同的安排方法有（   ） A． 种 B． 种 C． 种 D．种 15．（24-25高二下·重庆·期中）2025年春节档电影《哪吒之魔童闹海》成为中国影史票房最高的电影，某班甲、乙、丙、丁、戊这5位同学相约一起去电影院观看，要求5人坐在同一排相邻的5个位置，甲、乙、丙这三人相邻，且丙不与丁相邻，则不同的座位排列方法有（    ）种. A．32 B．28 C．24 D．20 16．（24-25高二下·云南·期中）5名学生和2位老师站成一排照相，则2位老师不相邻且不排在两端的排法有 种． 17．（24-25高二下·河北沧州·月考）某次文艺晚会上计划演出7个节目，其中2个歌曲节目，3个舞蹈节目，2个小品节目，需要制作节目单： (1)唱歌节目排在两头，有多少种排法? (2)三个舞蹈节目相邻且不排两端，有多少种排法? (3)唱歌节目、舞蹈节目相邻，两个小品节目不相邻，有多少种排法? 18．（24-25高二下·河北衡水·月考）某种产品的加工需要经过5道工序. (1)如果其中某2道工序既不能放在最前，也不能放在最后，那么有多少种加工顺序？ (2)如果其中某2道工序必须相邻，那么有多少种加工顺序？ (3)如果其中某2道工序不能相邻，那么有多少种加工顺序？ 【类型4 组合计数问题】 19．（25-26高二上·甘肃白银·期末）某学校拟派5名教师去甲、乙、丙这3所不同的学校参观学习，每名教师只去一所学校，每个学校至少要派遣1名教师，若去甲校的人数不得少于丙校，则不同的派遣方案有（    ） A．110种 B．100种 C．90种 D．80种 20．（2025·安徽·模拟预测）在三棱锥的顶点和各棱中点中取个不共面的点，不同的取法共有（   ） A．种 B．种 C．种 D．种 21．（24-25高二下·江苏徐州·月考）用，，，，，，这七个数字组成没有重复数字的三位数，其中偶数共有（   ） A．105个 B．42个 C．146个 D．52个 22．（25-26高三上·上海·开学考试）一份考卷有10道考题，分别为两组，每组5道．现要求考生选答6道，但每组最多选4道，有 种选法． 23．（24-25高二下·安徽亳州·开学考试）现有如下定义：除最高数位上的数字外，其余每一个数字均比其左边的数字大的正整数叫“幸福数”（如346和157都是三位“幸福数”）. (1)求三位“幸福数”的个数； (2)如果把所有的三位“幸福数”按照从小到大的顺序排列，求第80个三位“幸福数”. 24．（24-25高二下·安徽·期中）某社团共有学生9名，其中有5名男生和4名女生，现从中选出4人去参加一项创新大赛．（列式表明计算过程，结果用数字表示） (1)如果4人中男生女生各选2人，那么有多少种选法? (2)如果男生中的甲和女生中的乙必须在内，那么有多少种选法？ (3)如果男生中的甲和女生中的乙至少要有1人在内，那么有多少种选法？ (4)如果4人中必须既有男生又有女生，那么有多少种选法？ 【类型5 分组、分配问题】 25．（24-25高二下·广西桂林·开学考试）将小文等5名大学生安排到三家企业进行实践学习，每名大学生只能安排去一家企业，每家企业至少安排1名大学生，且安排小文独自去其中一家企业进行实践学习，则不同的安排方法种数为（    ） A．48 B．60 C．42 D．14 26．（24-25高二下·福建福州·期末）某学术协会收到5篇论文，需要分配给3名专家进行评审，每名专家至少评审1篇，每篇论文由1名专家独立评审，则不同的分配方式共有（ ） A．60种 B．90种 C．120种 D．150种 27．（24-25高二下·江苏南通·月考）某市为了实施教育振兴计划，依托本市一些优质教育资源，每年都对本市所有在高校就读的定向师范生实施教育教学技能培训，以提高定向师范生的毕业质量.现有5名即将毕业的定向师范生拟分配到3所学校进行跟岗培训，每名师范生只能跟岗1所学校，每所学校至少分配1名师范生，则不同的跟岗分配方案共有（ ） A．90种 B．150种 C．300种 D．360种 28．（24-25高二下·湖北武汉·期末）分会场模式是央视春晚的长期传统，旨在扩大节目覆盖面，增加观众互动性，同时展示各城市独特的历史人文亮点，今年央视春晚的四个分会场分别是武汉､重庆､无锡和拉萨，中央电视台选派6名记者去四个分会场进行现场报道，每个分会场至少分配一名记者，则所有不同的分配方案有 种. 29．（24-25高二下·贵州铜仁·月考）现在4本不同的书，按以下方式进行分配． (1)分成两堆，每堆2本，则有多少种分法； (2)分成两堆，一堆3本、一堆1本，则有多少种分法； (3)分给甲、乙两人，每人2本，则有多少种分法； 30．（24-25高二下·安徽蚌埠·期中）国家教育部为了发展贫困地区教育，在全国重点师范大学免费培养教育专业师范生，毕业后要分到相应的地区任教.现有6个免费培养的教育专业师范毕业生要按照以下要求到3所学校去任教，有多少种不同的分派方法. (1)6人分配到三所学校甲学校1人、乙学校2人、丙学校3人； (2)6人分配到三所学校一校1人、一校1人、一校4人； (3)6人分配到三所学校每所学校至少一人； 【类型6 涂色问题】 31．（24-25高二下·天津东丽·月考）现给如图所示的五个区域A，B，C，D，E涂色，有5种不同的颜色可供选择，每个区域只涂一种颜色，相邻区域颜色不相同，则不同的涂色方案种数为（   ）    A．420 B．340 C．260 D．120 32．（24-25高二下·江苏无锡·期中）在一个具有五个行政区域的地图上（如图），用5种颜色给这五个行政区着色，若相邻的区域不能用同一颜色，则不同的着色方法共有（   ） A．420种 B．360种 C．540种 D．300种 33．（24-25高三下·湖南·开学考试）提供四种不同颜色的颜料给图中六个区域涂色，要求每个区域涂一种颜色，有公共边的两个区域不能涂相同的颜色，则不同的涂色方法共有（    ） A．288种 B．296种 C．362种 D．384种 34．（24-25高二下·福建莆田·期中）春天来了，万物复苏，合肥六中乐之楼楼下的花坛里种了不同颜色的花．如图，花坛内有五个花池，有五种不同颜色的花卉可供栽种，每个花池内只能种同种颜色的花卉，相邻两池的花色不同，则最多有几种栽种方案数有 ． 35．（24-25高二下·河南周口·月考）现要用红、橙、黄、绿、青、蓝、紫7种颜色对某市的如图的四个区域进行着色，有公共边的两个区域不涂同一种颜色，则共有几种不同的涂色方法？ 36．（24-25高二下·江苏苏州·期中）如图，一个正方形花圃被分成5份． (1)若给这5个部分种植花，要求相邻两部分种植不同颜色的花，已知现有5种颜色不同的花，求有多少种不同的种植方法？ (2)若向这5个部分放入7个不同的盆栽，要求每个部分都有盆栽，问有多少种不同的放法？ 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $