2026年中考数学中考必考知识点专题特训-二次函数与线段周长综合题

2026年九年级中考数学中考必考知识点专题特训-二次函数与线段周长综合题 1．如图，抛物线与x轴交于点A，B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，N是抛物线上一个动点且在第三象限，设点N的横坐标为m，过点N作x轴的垂线，交x轴于点M，交于点P． (1)用含m的代数式表示线段的长度，并求出其最大值； (2)若，求点P的坐标． 2．如图，抛物线经过，，三点． (1)求抛物线的解析式； (2)点P是线段上方抛物线上一动点，过点P作x轴的垂线，交直线于点D，设点P的横坐标为m，当m为何值时，线段的长度最大？最大值是多少？ (3)在（2）的条件下，当线段的长度最大时，在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得以P，D，Q为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 3．如图，抛物线与轴交于两点，点在轴负半轴，点在轴正半轴，与轴交于点，且． (1)求点、点的坐标； (2)求抛物线的解析式； (3)在（2）中抛物线的对称轴上是否存在一个点，使的周长最小？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 4．如图，已知二次函数的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，其中，． (1)求二次函数的表达式； (2)若P是二次函数图象上的一点，且点P在第二象限，线段交x轴于点D，的面积是的面积的2倍． ①求点P的坐标． ②抛物线的对称轴上有一动点Q，求的周长最小值． 5．如图，一次函数与二次函数的图象交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)点C为抛物线对称轴上一动点，当与的和最小时，点C的坐标为_______； (3)点D为抛物线位于线段下方图象上一动点，过点D作轴，交线段于点E，求线段长度的最大值并求出此时点D的坐标． (4)在（2）条件下，点M为y轴上一点，点F为直线上一点，点N为平面直角坐标系内一点，若以C，M，F，N为顶点的四边形是正方形，请直接写出点N的坐标． 6．如图，抛物线经过点， (1)求该抛物线的解析式； (2)若是y轴正半轴上的一点，且，将点A绕点C逆时针旋转得到点D，且点D在该抛物线上． ①求点D的坐标； ②连接并延长交x轴于点E，作轴交该抛物线于点F，若点F与点D间的抛物线上有一点G，当点G到直线的距离最大时，求点G的坐标． 7．已知二次函数（为常数，且）． (1)如图，若此二次函数的图像经过点和点． ①求二次函数的解析式； ②抛物线对称轴上是否存在一点，使得有最小值，若存在，请求出的最小值与点的坐标；若不存在，说明理由； ③当时，二次函数的最大值与最小值的差为，求的取值范围； (2)当时，已知点，若二次函数的图像与线段只有个交点，请直接写出的取值范围． 8．如图，抛物线经过三点． (1)求此抛物线的解析式； (2)点是直线上方的抛物线上的一个动点（不与点B、C重合），过点作轴的垂线，垂足为，交直线于点，作于点，当动点在什么位置时，线段的长最大，求线段的最大值，并求此时点的坐标； 9．如图（1），抛物线与x轴交于A，B两点(A在B的左边)，与y轴交于点C，连接，点P是第一象限内抛物线上的动点． (1)直接写出点A，B，C的坐标； (2)过点P作x轴的平行线，交直线于点E． ①若，求点P的坐标； ②直接写出的最大值． (3)如图(2)，D为抛物线的顶点，过点P作的平行线交抛物线于另一点G，连接，，满足，若点M在直线上运动，求的最小值． 10．已知，如图，抛物线与轴正半轴交于、两点，与轴交于点，直线经过、两点． (1)求抛物线的解析式； (2)为抛物线上一点，若点关于直线对称点落在轴上，直接写出点坐标； (3)现将抛物线平移，保持顶点在直线上，若平移后的抛物线与直线交于、两点，求证：的长度为定值． 11．在平面直角坐标系中，已知抛物线（，为常数）的顶点为，等腰直角三角形的顶点的坐标为，的坐标为，直角顶点在第四象限． (1)如图，若该抛物线过，两点，求该抛物线的函数表达式； (2)平移（1）中的抛物线，使顶点在直线上滑动，且与直线交于另一点． ①若点在直线下方，且为平移前（1）中的抛物线上的点，当以、、三点为顶点的三角形是等腰直角三角形时，求出所有符合条件的点的横坐标； ②取的中点，连接，，试探究是否存在最大值？若存在，直接写出该最大值；若不存在，请说明理由． 12．如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点，与x轴交于A，B两点，交y轴于点C，抛物线的对称轴是直线． (1)求抛物线的表达式； (2)点M是直线下方对称轴右侧抛物线上一动点，过点M作轴交直线于点D，点P是线段上一动点，垂直对称轴，垂足为Q，连接，当线段长度取得最大值时，求的最小值； (3)将该抛物线沿射线方向平移，使得新抛物线经过（2）中线段长度取得最大值时的点D，且与直线相交于另一点E．点F为新抛物线上的一个动点，当时，直接写出所有符合条件的点F的坐标． 13．如图，二次函数的图象与轴交于，两点（点在点的左侧），与轴交于点，连接，二次函数上第一象限内有一点，第三象限有一点，线段上有一点，连接交于，连接． (1)请求出直线对应函数的表达式； (2)当四边形的面积最大时，求点的坐标． (3)在（2）的条件下，当和的面积比为时，猜想有没有最小值？如果有，请求出这个最小值，如果没有，请说明理由． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 1．(1)，最大值为 (2)点P的坐标为 【分析】本题主要考查了一次函数和二次函数的结合，待定系数法求函数解析式，二次函数的图象和性质，解一元二次方程，解题的关键是掌握二次函数的图象和性质． （1）根据二次函数的解析式求出抛物线与坐标轴的交点坐标，利用待定系数法求出一次函数的解析式，表示出点的坐标，然后表示出线段的长度，最后根据二次函数的性质求出最值即可； （2）根据线段的数量关系列出一元二次方程，然后进行求解即可． 【详解】（1）解：当时，， ． 当时，有， 解得：，． ，． 设直线的解析式为，将，代入得， ， 解得， 直线的解析式为． 点N的横坐标为m， ，． ， ， ， 当时，取最大值； （2）解：轴，， ． ， 或（舍去）． 此时点P的坐标为． 2．(1) (2)当时，线段的长度最大，最大值是 (3)或或或或． 【分析】（1）利用待定系数法解答即可； （2）求出直线的解析式为，可得点，从而得到，即可求解； （3）根据等腰三角形的定义，分五种情况讨论，即可求解． 【详解】（1）解：∵抛物线经过，，三点， ∴，解得：， ∴抛物线的解析式为； （2）解：如图， 设直线的解析式为， 把点，代入得： ，解得：， ∴直线的解析式为， ∵点P的横坐标为m，轴， ∴点， ∴， ∵， ∴当时，线段的长度最大，最大值是， （3）解：由（1）得：点， 设抛物线的对称轴为直线l， ∵， ∴抛物线的对称轴为直线， ∴可设点， 当时，如图，过点P作于点E，则， 在中，， ∴点； 当时，如图，过点P作于点E，则， 在中，， ∴点； 当时，如图，过点D作于点F，则， 在中，， ∴点； 当时，如图，过点D作于点F，则， 在中，， ∴点； 当时，如图， 此时点Q在的垂直平分线上， ∴点Q的纵坐标为， ∴点； 综上所述，点Q的坐标为或或或或． 【点睛】本题主要考查了二次函数的综合题，涉及了求二次函数的解析式，求一次函数的解析式，等腰三角形的定义，勾股定理等知识，利用数形结合思想和分类讨论思想解答是解题的关键． 3．(1)， (2) (3)存在，点的坐标为 【分析】本题考查了二次函数的应用、正切、勾股定理、轴对称的性质等知识，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题关键． （1）先求出，，再根据正切的定义可得，然后根据可得的值，则可得的长，由此即可得； （2）根据点的坐标，利用待定系数法求解即可得； （3）先求出抛物线的对称轴为直线，，再作点关于抛物线对称轴的对称点，连接，则当点共线时，的长最小，即的周长最小，然后利用待定系数法求出直线的解析式，将代入求解即可得． 【详解】（1）解：将代入抛物线得：， ∴，， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴， ∴，． （2）解：将点，代入得：， 解得， ∴抛物线的解析式为． （3）解：将二次函数化成顶点式为， ∴抛物线的对称轴为直线， 由上已得：，，， ∴， 如图，作点关于抛物线对称轴的对称点，连接， 则，， ∴的周长为， 由两点之间线段最短可知，当点共线时，的长最小，即的周长最小， 设直线的解析式为， 将点，代入得：， 解得， ∴直线的解析式为， 将代入函数得：， ∴在（2）中抛物线的对称轴上存在一个点，使的周长最小，点的坐标为． 4．(1) (2)①；② 【分析】本题考查二次函数表达式、二次函数的图象与性质、一元二次方程、三角形面积等基础知识，考查运算能力、推理能力、几何直观等. （1）根据待定系数法求解即可； （2）①过点P作轴于E，则，根据，即可求出；②先求出，抛物线的对称轴为直线，可得A点与B点关于对称轴对称，由题意得直线与对称轴交点为Q，此时最小，求出，，，，，即可解答． 【详解】（1）解：∵二次函数过，两点，则， ∴， 解得， ∴； （2）解：①过点P作垂直x轴于E，则， ∵． ∴，即， ∵， ∴， 令， 解得，（P在第二象限舍去）， ∴； ②∵抛物线与x轴相交于A、B两点， ∴令， 解得，， ∴， ∵抛物线的对称轴为直线，， ∴A点与B点关于对称轴对称， ∵点Q在对称轴上运动， ∴直线与对称轴交点为Q，此时最小； ∵， ∴， ∴，，， ∴，， ∴周长的最小值为． 5．(1) (2) (3)有最大值为， (4) 【分析】（1）将，代入得到关于，的二元一次方程组求解即可； （2）抛物线的对称轴为，求出直线与对称轴的交点即可求解； （3）设，则，则，根据二次函数的性质得出的最大值，即可求解此时点坐标； （4）根据题意画出图形，分情况求解即可． 【详解】（1）解：将，代入得， ，解得， 抛物线的解析式为：； （2）解：如图，设直线的解析式为：， 把点 ，代入， 得，解得 ， 直线的解析式为： ， 由（1）知抛物线的对称轴为， 点为抛物线对称轴上一动点，， 当点在上时，最小， 把代入，得， 点的坐标为， 故答案为：； （3）解：如图，由（2）知 直线的解析式为，    设，则， 则， 当时，有最大值为， ∴ （4）解：如图，直线的解析式为：， 直线与轴的交点为， ， ， ， ， 若以点C，M，F，N为顶点的四边形是正方形，分情况讨论： ①过点C作轴于点，则为等腰直角三角形，过点C作 ，则四边形为正方形， 依题意，知D与F重合，点的坐标为；    ②以为中心分别作点F，点C的对称点 ，连接，则四边形是正方形， ∵， ∴点的坐标为；    ③延长到使，作于点，则四边形是正方形，    ∵点的坐标为，即，且为中点， ∴的坐标为； ④取的中点，的中点，则为正方形， ∵， ∴的坐标为，    综上所述，点N的坐标为： 【点睛】本题考查了二次函数综合问题，用待定系数法求一次函数和二次函数的解析式，二次函数的性质，三角形面积问题，特殊四边形问题，正方形的性质，根据题意正确画图是解本题的关键． 6．(1) (2)①；② 【分析】（1）利用待定系数法即可求解； （2）①由旋转可构造一线三垂直，证全等，从而将D坐标用m表示出来，再代入二次函数表达式即可得解； ②在函数中求斜线的最值问题，首先考虑化斜为直，所以过G作于点M，作轴交于点J，过A作轴，过D作轴，两直线交于点K，其中交于点P，证，将长度转化为竖直高的长度，进而求解即可． 【详解】（1）解：将，代入得， ， 解得， ； （2）解：①如图，过C作轴，过A作于点G，过D作于点H， ，， ，， ， ， ，， ， ，， ， 点D在该抛物线上， ， 解得或， ， ， ； ②如图，过G作于点M，作轴交于点J，过A作轴，过D作轴，两直线交于点K，其中交于点P， 由①知， ， 设直线解析式为，将A和C代入得， ，解得， 直线解析式为， 令得， ， 同理可得直线解析式为， 设，则， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， 当时，由最大值， 此时， . 【点睛】本题主要考查了二次函数的图象和性质、二次函数点的坐标特征、相似三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． 7．(1)①；②的最小值为，；③ (2)或或 【分析】（）①利用待定系数法解答即可求解； ②由函数解析式可得抛物线的对称轴为直线，作点关于对称轴的对称点为，连接交对称轴于点，连接，可得，由两点之间线段最短，可知此时的值最小，最小值为的长，利用两点间距离公式求出的长可得的最小值，求出直线的解析式可求出点的坐标； ③利用二次函数的性质解答即可求解； （）当时，，即得该二次函数的图像的对称轴为直线，顶点坐标为，又可得抛物线与轴的交点坐标为，当时，，再分和两种情况解答即可求解． 本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的应用，轴对称的性质等，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】（1）解：①∵二次函数的图像经过点和点， ∴， 解得， ∴二次函数的解析式为； ②抛物线对称轴上存在一点，使得有最小值，理由如下： ∵， ∴抛物线的对称轴为直线， 如图，作点关于对称轴的对称点为，连接交对称轴于点，连接， 则， ∴， 由两点之间线段最短，可知此时的值最小，最小值为的长， ∴， ∴的最小值为， 设直线的解析式为，把和代入得， ， 解得， ∴直线的解析式为， 把代入，得， ∴； ③∵， ∴抛物线开口向下，顶点坐标为， ∵时，；时，， 又∵当时，二次函数的最大值与最小值的差为，， ∴； （2）解：当时，， ∴该二次函数的图像的对称轴为直线，顶点坐标为， 当时，， ∴抛物线与轴的交点坐标为， 当时，， 当时，二次函数的图像的开口向上，且，， 若二次函数的图像与线段只有个交点，则， 解得； 当时，二次函数的图像的开口向下，且，， 当，即时，该二次函数的图像与线段只有个交点； 当，即时， 若二次函数的图像与线段只有个交点，则， 解得； 综上，当二次函数的图像与线段只有个交点时，的取值范围为或或． 8．(1) (2)， 【分析】本题考查的是二次函数的性质、相似三角形的判定和性质． （1）运用待定系数法即可求得答案； （2）利用等腰直角三角形性质可得，即越大，越大，利用待定系数法可得直线的解析式为，设，则，，证明，求出，再运用二次函数的性质即可求得答案． 【详解】（1）解：抛物线过， 设抛物线表达式为， 将代入上式，， ， ； （2）解：设， 设直线表达式为， 将代入上式，得： ， 解得， ， 轴，交于点， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 当时，有最大值， ， 此时． 9．(1) (2)①或② (3) 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，相似的性质和判定，解题的关键是根据相似的性质求出直线的解析式； （1）分别令，即可得解； （2）①先求出直线的解析式，设，根据列方程求解即可； ②根据求解最值即可． （3）过D作轴于H，过G作于M，过P作于N，则，设，则，设直线的解析式为，证明，可得，即可求出直线的解析式，设，求出的最小值，进而求出的最小值． 【详解】（1）解：当时，， ， 当时，， 解得：， ， ； （2）解：①设直线的解析式为， 把代入得， 解得， 直线的解析式为， 设，则， 把代入得， 解得， ， ， ， 解得：或， 或； ②， ， ∴当时，有最大值，此时， 的最大值为； （3）解：过D作轴于H，过G作于M，过P作于N，则， 设，则， ， ∴设直线的解析式为， 把P代入得， 解得， ， 联立得， 整理得， 解得或， 当时，， ， ， ，，，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 或或， 当时，，此时P与D重合，不符合题意， 当时，，此时G与D重合，不符合题意， ，即， 直线的解析式为， 设，则， ， 当时，取最小值，的最小值， 的最小值为． 10．(1) (2) (3)见解析 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质. （1）求出A，C点的坐标，再将点坐标代入，即可得解； （2）先求出，再由对称性可知轴，即可求出点P的纵坐标，最后利用二次函数的解析式求出结果； （3）先求出平移后的抛物线，再利用，得，，最后利用两点间的距离公式求解即可. 【详解】（1）解：在中，令，得，令，得， ∴，； ∵抛物线与x轴正半轴交于A、B两点，与y轴交于点C， ∴将点，坐标代入得： ， 解得， ∴抛物线的解析式为； （2）解：如图， ∵， ∴， ∵点P关于的对称点Q在y轴上， ∴， ∴,即轴， ∴点P的纵坐标为， 令， 解得或（舍去）， ∴； （3）解：设平移后的抛物线的顶点为， ∴平移后的抛物线的解析式为， 令， 整理得， 设，， ∴，， ∴， ∴的长度为． 11．(1) (2)①或或或；②存在最大值，最大值为 【分析】（1）利用两点距离计算公式可得，则根据等腰直角三角形的定义和勾股定理可推出，设，则，解方程组可求出点B的坐标，再利用待定系数法可求出对应的函数解析式； （2）①求出直线解析式为；设平移后点P的坐标为，则平移后的抛物线解析式为，则可求出，得到；可求出点B到直线的距离为；当点P为直角顶点时，，则可得到此时点M和点B到直线的距离都为，故，求出直线的解析式为，联立，解得或，则点M的坐标为或；同理可得当点Q为直角顶点时， 点M的坐标为或；当点M为直角顶点时，可求出，则可求出点M到的距离为；取的中点F，连接，则，可证明点F到的距离等于点M到的距离，则，同理可求出点M的坐标为 ②如图所示，取的中点F，连接，则，由三角形中位线定理可得，可证明四边形是平行四边形，得到；作点B关于直线的对称点，连接，可证明点在y轴上，则；要使有最大值，则有最小值，即要有最小值，当三点共线时，有最小值，即此时有最小值，最小值为线段的长，据此求出的长即可得到答案． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵是等腰直角三角形，且点B为直角顶点， ∴， ∴， ∴， 设， ∴， 解得或， ∵点B在第四象限， ∴， ∴， ∵抛物线过，两点， ∴， ∴， ∴抛物线解析式为； （2）解：①设直线解析式为， ∴， ∴， ∴直线解析式为； ∵顶点在直线上滑动， ∴可设平移后点P的坐标为， ∴平移后的抛物线解析式为， 联立，解得或， ∴， ∴； 由（1）可知， ∴， 设点B到直线的距离为h， ∴， ∴， ∴， 当点P为直角顶点时，， ∴此时点M和点B到直线的距离都为， ∴， 设直线的解析式为， ∴， ∴， ∴直线的解析式为， 联立，解得或， ∴点M的坐标为或； 当点Q为直角顶点时，， ∴此时点M和点B到直线的距离都为， ∴， 同理可得点M的坐标为或； 当点M为直角顶点时，则， ∴， ∴， 设点M到的距离为， ∴ ∴， ∴， ∴点M到的距离为； 如图所示，取的中点F，连接，则， ∴， ∴点F到的距离等于点B到的距离的一半， ∴点F到的距离等于， ∴点F到的距离等于点M到的距离， ∴， 同理可得直线的解析式为， 联立，解得或， ∴点M的坐标为或； 综上所述，点M的坐标为或或或； ②如图所示，取的中点F，连接，则， ∵点N为的中点， ∴为的中位线， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴； 如图所示，作点B关于直线的对称点，连接， ∵， ∴， 由对称性可得， ∴， ∴， ∴点在y轴上， ∴； ∵， ∴要使有最大值， ∴有最小值， ∴要有最小值， ∵， ∴当三点共线时，有最小值，即此时有最小值，最小值为线段的长， ∵，， ∴， ∴的最大值为． 【点睛】本题主要考查了二次函数综合，一次函数与几何综合，平行四边形的性质与判定，勾股定理，等腰直角三角形的性质，轴对称的性质等等，利用分类讨论的思想求解是解题的关键． 12．(1)抛物线的表达式为 (2)线段长度取得最大值时，求的最小值为 (3)点F的坐标为或 【分析】（1）首先由题意将点代入，再利用对称轴为直线得到系数间的关系即可求解； （2）首先将线段表述出并求出其最大值时的值，此时发现的值为定值，即将的最小值转化为取最小值，进而将与放入一条直线中，所以构造点C向右平移个单位得到点，连接，即可求解的最小值； （3）首先写出平移后新的抛物线的表达式，再分点F在上方与下方两种情况进行讨论，在上方时，利用直线求出直线的表达式，再与抛物线的表达式联立即可求解点；在下方时，利用直线与直线关于直线对称，找到此时点关于直线的对称点M，再求解直线的表达式，最后与抛物线的表达式联立即可求解点． 【详解】（1）解：（1）由题意得：， 解得， ∴抛物线的表达式为：； （2）解：由抛物线的表达式知，点、、， ∴直线的表达式为：， 设点，则点， ∴， ∴当时，取得最大值，此时点， ∴， ∵为定值， ∴取最小值时，即为取最小值即可， ∴如图，将点C向右平移个单位得到点，连接交于点P，作垂直直线交于点Q，连接，则此时的值最小， ∵且， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴的最小值为； （3）解：将该抛物线沿射线方向平移，则设抛物线向右向上平移了个单位，则新抛物线的表达式为：， ∴将点D的坐标代入得：，解得：（负值已舍去）， ∴新抛物线的表达式为：， 当点在上方时， ∵， ∴直线， ∵、， ∴直线的斜率k为， ∴直线的表达式为， 联立直线和抛物线的表达式得：， 解得（舍去）或， ∴点； 当点在下方时， ∵， ∴直线与直线关于直线对称， ∴设点关于直线：对称点为点， 则直线的表达式为：， ∴联立，解得，， ∴点与点的中点坐标为， ∴点， 设直线的表达式为：， ∴将点代入直线的表达式中，解得， ∴直线的表达式为：， 联立直线和抛物线的表达式得：， 解得（舍去）或， ∴点； ∴点F的坐标为或． 【点睛】本题主要考查二次函数的表达式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养，学会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系是解题的关键． 13．(1) (2) (3)有最小值为 【分析】本题考查二次函数的综合应用，熟练掌握二次函数的图象和性质，利用数形结合的思想进行求解，是解题的关键： （1）求出点的坐标，待定系数法求出函数解析式即可； （2）过作轴于点，设，则，根据，列出二次函数关系式，求最值即可； （3）过作于点，于点，求出点坐标，过作于点，得到，进而得到，利用轴对称结合垂线段最短，进行求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴令，得，令，得或3， ，，， 设直线的解析式为， 将点、点坐标代入可得， 解得， 直线的解析式为； （2）解：如图，过作轴于点， 设，则， ， ， 当时，四边形的面积最大值为， 此时； （3）解：如图，过作于点，于点， 则，， ∴， ， ，， ， △为等腰直角三角形， ，， ∴， 作，则为等腰直角三角形， ∴， ∴， ， 过作于点， 则△为等腰直角三角形， ， ， 要求的最小值，则可求的最小值， 作关于轴对称点，则，， ，当且仅当、、三点共线时取等， 另根据垂线段最短可知，当时，最小， ， ， △是等腰直角三角形， ， ，故有最小值为． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $