广东广州市番禺区石楼镇三校2025-2026学年高二下学期期中教学质量监测数学试题

《2025学年第二学期期中考高二级教学质量监测 数学》评分标准 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 B D C C A D B A ABC ABD BC 12．24 13． 14． 15.解：（1）由题得： ………………………… 1分 结合题意知:，解得 ………………………… 3分 所以， 当，，在上单调递增，当，， 在上单调递减， 当，，在上单调递增， ……………………………6分 所以当时，函数取得极大值，当时，函数取得极小值，故函数取得极大值为，极小值为. ……8分 （2）由（1）可知在上单调递增，在上单调递减， 又因为，所以在时有最小值， …………11分 所以要使不等式能成立，则，所以 故取值范围是． ………………………………13分 16.解：（1）因为各项均不相等，所以公差， ……………………1分 由所以， ……………………3分 又，即 …………………5分 化简得， …………………6分 所以即，故，即……8分 （2）由（1）可得 …………………11分 故 ………………13分 ………………15分 17.解：（1）取中点，连接，因为为中点，所， 且，又，所以， 所以四边形为平行四边形， …………………2分 即，又平面，平面，所以平面；…………4分 （2）（i）因为平面，，以点为原点，建立如图所示空间直角坐标系： …………5分 易知平面的一个法向量为， …………6分 因为，所以， 设平面的法向量为， 则不妨取，则， …………8分 则， …………9分 所以平面与平面夹角的正弦值为； …………10分 （ii）存在点满足题意，易知，，假设存在点满足题意， 设，所以， …………11分 设平面的法向量为，则， 令，则， …………13分 所以点到平面的距离， …………14分 化简可得，解得或（舍去）， 即. …………15分 18.解：（1）（i），， …………2分 . …………3分 （ii）事件M与N不相互独立，理由如下： …………4分 法1：利用条件概率： ，，，所以，不相互独立. …………7分 法2：利用独立性定义： ，，， 所以，不相互独立. …………7分 （2）这7家企业中，专利产出数大于6的企业有4家，所以的所有可能取值为， …………8分 ，， ，， …………16分 X 0 1 2 3 P 故的分布列为： …………17分 19. 解：（1）当时，.定义域为. …………1分 . …………2分 因为恒成立，所以当时，；当时，. 所以在上单调递减；在上单调递增. …………4分 所以在处取得极小值，极小值为. …………5分 （2）函数.的定义域为. . …………6分 当，恒成立，所以恒成立，在上单调递减………7分 当，当时，；当时，. 所以在上单调递减，在上单调递增. …………9分 综上所述，若，在上单调递减；若，在上单调递减，在上单调递增. …………10分 （3）由（2）知，若，则是减函数，函数不可能有两个零点…………11分 若，则在上单调递减，在上单调递增，在处取得极小值，即最小值，最小值为. …………13分 此时，当时，；当时，； …………14分 要使函数有两个零点，只需使，即. …………15分 令，则恒成立，所以是增函数. 又，所以当且仅当时，. 所以a的取值范围是. …………17分 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 《2025学年第二学期期中考高二级教学质量监测 数学》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 B D C C A D B A ABC ABD BC 1．B【详解】由题意，，即. 2．D【详解】由基本初等函数的导数公式，有，，， 由复合函数的求导法则，有，ABC选项错误，D选项正确． 3．C【详解】当这个三位数的末尾数字为0时，只需从1，2，3，4，5，这5个数字选两个数字排到百位与十位上，有个没有重复的三位数；当这个三位数的末尾数字不为0时，先从2，4，这两个数字中选一个排在个位，有种情况；再排百位，由于百位不能为0且不能与个位数字重复，有种情况；最后排十位，从剩下的4个数字中任选一个，有种情况；所以，根据分步乘法计数原理，共有个没有重复的三位数，综上，满足题意的偶数有52个. 4．C【详解】因为从人中选人一共有种不同的选法，若选中的人均为专家人员的有种不同的选法，所以至少有一名工程师被选中的选法共有种不同的选法. 5．A【详解】因为，且等号仅在 时成立， 所以在上严格单调递增，由可得，解得或， 所以不等式的解集为. 6．D【详解】对于A，将全部的书放到6个不同的抽屉里，一个抽屉可放多本书，每本书均有6种不同的放法，根据分步计数乘法原理，共有种放法，所以A不正确；对于B，将全部的书放在同一层书架上，要求《本草纲目》和《九章算术》相邻，可把《本草纲目》和《九章算术》看成一本书，共有种放法，所以B不正确；对于C，将五本书并排成一排，，则《天工开物》、《梦溪笔谈》按从左到右（可以不相邻）的顺序排列的排法有种，所以C不正确；对于D，将5本不同的书分给3位不同的学生，其中一人1本，一人2本，一人2本，有种分组方法，再将其分给三人，共有种分法，所以D正确. 7． B【详解】对于A：令得：；令，得．，因此A错误；对于B，因此B正确；对于C：因为二项展开式的通项公式为， 由通项公式知，二项展开式中偶数项的系数为负数，所以， 由，令，得到，令，得到，所以，因此C错误；对于D：对原表达式的两边同时对求导，得到，令， 得到，令，得所以，，所以选项D错误．故选：B 8．A【详解】如图，因为椭圆关于原点对称，直线过原点， 所以，关于原点对称，设椭圆的左焦点为，连接，，由椭圆的对称性可得，所以四边形为平行四边形，又因为，所以平行四边形是矩形， 所以，，所以点在圆上，则，解得，代入椭圆方程，又，可得： ，设（）， 则上式可化为，化简可得， 即， 因为，所以，解得.所以椭圆的离心率为.故选：A. 9．ABC【详解】因为，所以，故A正确； 因为，所以，故B正确； 因为，根据乘法公式得，，故C正确； 由全概率公式可得，，故D错误，故选：ABC． 10．ABD【详解】对于A，直线的方程变形为，过定点，记为点，A正确；对于B，圆方程变形为，圆心，半径为. 当与弦垂直时，此时直线被圆截得弦长取最小值，为， 当直线为所在的直线时，此时直线被圆截得弦长取最大值，为. 所以直线被圆截得弦长的最大值与最小值的和为，B正确； 对于C，因为圆上恰有三个点到直线l的距离等于1，则圆心到直线的距离为. 则，化简得，解得， 所以圆上恰有三个点到直线l的距离等于1，则这样的直线有1条，C错误； 对于D，设，因为，所以， 因为，所以，等式两边平方得，化简得，与圆的方程一致，所以D正确. 11．BC【详解】函数是定义在上的奇函数，当时，， 对于A，，错误；B、C，当时，求导得，当时，，当时，，函数在上单调递减，在上单调递增，当时，取得极小值，由奇函数的对称性得，在上单调递减，且时取得极大值，因此的极值点个数为2，B、C正确； 对于D，在坐标平面内作出函数的图象， 如图：观察图象得当且仅当或时， 函数的图象与直线有3个交点， 因此的取值范围是，D错误. 12．24【详解】二项式的展开式通项公式为. 令，则含项的系数为.故答案为：24 13．【详解】由题意得，所以， 所以，所以. 14． 【详解】由题意可得：，当时，， 所以曲线在点处的切线为：，即， 设切线与曲线的切点为，对求导可得：， 又因为切线的斜率等于曲线在切点处的导数，所以，即， 又因为在切线上，所以，所以在曲线上， 即，求解可得：.故答案为：. 15.（本小题满分13分）已知曲线在点处的切线的斜率为0，且当时，函数取得极值． (1)求函数的极值； (2)若存在，使得不等式成立，求m的取值范围． 解：（1）由题得： ……………………………… 1分 结合题意知:，解得 …………………………… 3分 所以， 当，，在上单调递增，当，， 在上单调递减， 当，，在上单调递增， ……………………………6分 所以当时，函数取得极大值，当时，函数取得极小值，故函数取得极大值为，极小值为. ……8分 （2）由（1）可知在上单调递增，在上单调递减， 又因为，所以在时有最小值， …………11分 所以要使不等式能成立，则，所以 故取值范围是． ………………………………13分 16.（本小题满分15分）各项均不相等的等差数列的前项和为，已知，且成等比数列. （1）求数列的通项公式； （2）令，求数列的前项和. 解：（1）因为各项均不相等，所以公差， ……………………1分 由所以， ……………………3分 又成等比数列，所以，即…………………5分 化简得， …………………6分 所以即， 故，即 …………………8分 （2）由（1）可得 …………………11分 故 ………………13分 ………………15分 17.（本小题满分15分）如图，在四棱锥中，平面，是的中点． (1)求证：平面； (2)若， （i）求平面与平面夹角的正弦值； （ii）在线段上是否存在点，使得点到平面的距离为1？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 解：（1）取中点，连接，因为为中点，所， 且，又，所以， 所以四边形为平行四边形， …………………2分 即，又平面，平面，所以平面；…………4分 （2）（i）因为平面，，以点为原点，建立如图所示空间直角坐标系： …………5分 易知平面的一个法向量为， …………6分 因为，所以， 设平面的法向量为， 则不妨取，则， …………8分 则， …………9分 所以平面与平面夹角的正弦值为； …………10分 （ii）存在点满足题意，易知，，假设存在点满足题意， 设，所以， …………11分 设平面的法向量为，则， 令，则， …………13分 所以点到平面的距离， …………14分 化简可得，解得或（舍去）， 即. …………15分 18.（本小题满分17分）某高新区对7家企业的研发投入与专利产出数进行调研，数据如下： 企业 研发投入（万元） 300 600 900 1200 2000 2800 4000 年度专利产出数（件） 3 5 7 6 9 10 11 (1)现从这7家企业中随机抽取1家.记事件：抽到的企业“研发投入不超过2000万元”；事件：抽到的企业“专利产出数超过8件”. （i）求条件概率的值； （ii）判断事件与是否相互独立，并说明理由； (2)从这7家企业中随机抽取3家企业进行重点扶持，记其中专利产出数大于6件的企业数为随机变量，求的分布列. 解：（1）（i），， …………2分 . …………3分 （ii）事件M与N不相互独立，理由如下： …………4分 法1：利用条件概率： ，，，所以，不相互独立. …………7分 法2：利用独立性定义： ，，， 所以，不相互独立. …………7分 （2）这7家企业中，专利产出数大于6的企业有4家，所以的所有可能取值为， …………8分 ，， ，， …………16分 X 0 1 2 3 P 故的分布列为： …………17分 19. （本小题满分17分）已知函数. (1)当时，求函数的极小值； (2)讨论函数的单调性； (3)若函数有两个零点，求a的取值范围. 解：（1）当时，.定义域为. …………1分 . …………2分 因为恒成立，所以当时，；当时，. 所以在上单调递减；在上单调递增. …………4分 所以在处取得极小值，极小值为. …………5分 （2）函数.的定义域为. . …………6分 当，恒成立，所以恒成立，在上单调递减………7分 当，当时，；当时，. 所以在上单调递减，在上单调递增. …………9分 综上所述，若，在上单调递减；若，在上单调递减，在上单调递增. …………10分 （3）由（2）知，若，则是减函数，函数不可能有两个零点…………11分 若，则在上单调递减，在上单调递增，在处取得极小值，即最小值，最小值为. …………13分 此时，当时，；当时，； …………14分 要使函数有两个零点，只需使，即. …………15分 令，则恒成立，所以是增函数. 又，所以当且仅当时，. 所以a的取值范围是. …………17分 1 学科网（北京）股份有限公司 $2025学年第二学期期中考高二级教学质量监测 数学 本试卷共19题，满分150分，考试用时120分钟。 注意事项： 1.答卷前，考生要务必填涂答题卷上的有关项目 2.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答案涂在答题卷相应的位置上. 3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卷各题目指定区域内： 如需改动，先划掉原来答案，然后再写上新的答案：不准使用铅笔和涂改液，不按以上要 求作答的答案无效。 一、选择题：本题共8题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的。 1.己知向量a=(L,-2,3),b=(x,2,1).若ā.万=0，则x=（) A.-7 B.1 C.4 D.-1 2.下列求导正确的是（) A.(π2）=3x2 B.(2)=2 C.[m(3x)D.(cosx)=-sinx 3.用0,1,2,3,4,5这六个数字，组成没有重复数字的三位数，其中偶数共有() A.24 B.32 C.52 D.60 4.某科技公司要组建一个3人的科研团队，现有2名工程师和4名专家可选，则至少有一 名工程师被选中的选法共有() A.8种 B.12种 C.16种 D.20种 5.已知f(x)=x-sinx,则不等式f(x2-1)>f(x-1)的解集是() A.（-00,0)U(1,+0) B.(1,+o) C.(0,1) D.（-0,1) 6.现有5本不同的书《天工开物》、《梦溪笔谈》、《齐民要术》、《本草纲目》、《九章算术》， 则下列说法正确的是() A.将全部的书放到6个不同的抽屉里，一个抽屉可放多本书，有56种不同的放法 B.将全部的书放在同一层书架上，要求《本草纲目》和《九章算术》相邻，有96种不 同的放法 数学试题第1页（共4页） C.将五本书排成一排，则《天工开物》、《梦溪笔谈》按从左到右（可以不相邻）的顺序排 列的不同的排法有120种 D.将书分给3位不同的学生，其中一人1本，一人2本，一人2本，有90种不同的分法 7.已知f(x)=(2-x)°=a。+ax+a2x2+…+asx°，则下列描述正确的是 () A.a1+a2+…+ag=1 B.f(-1)除以5所得的余数是1 C.a +az+a3 +...+as =3 D.2a2+3a3+…+8a3=-8 &.已知P是椭圆C。+@>b>0的右焦点，直线y交C于4，B两点，君 3 AF⊥BF,则椭圆C的离心率为() A.5 C.3 D.② 3 3 3 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合 题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.设A,B为一次随机试验中的两个事件.若P(A)}P(8团=}P(B)名，则() A.P(回= B.P(8A)=月 c.P)】 D.() 10.己知直线：mx-y+2m+1=0,圆C:x2+y2+2x-3=0,则下列说法正确的是() A.直线1过定点(-2，) B.直线1被圆C截得弦长的最大值与最小值的和为4+2√2 C.若圆C上恰有三个点到直线I的距离等于1，则这样的直线1有两条 D.若P(-5,0),Q(-2,0),M是圆C上任意一点，则MP=2Mg 11.已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，f(x)=(x2-3)e,则() A.f(-1)=-2e B.f(x)在(-1,0)上单调递减 C.f(x)的极值点个数为2 D.若方程f(x)=t有三个实数根，则t的取值范围是(-2e,-3)U(3,2e) 数学试题第2页（共4页） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.(1+2x)4的展开式中x2的系数是 .(用数字作答) 13.已知双曲线香后=16>0)的左、右熊点分别为人5，P为右支上一点且直线所与 轴垂直，若PF=2PF引，则△PFE的面积为 14.若曲线y=x3+(x+1)2在点(0,1)处的切线也是曲线y=lnx+a的切线，则a= 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(本小题满分13分) 己知曲线y=f)=号x-ar2+br+1在点Q,f0)处的切线的斜率为0，且当x=3时， 函数f(x)取得极值. (1)求函数的极值： (2)若存在x∈[-l,2],使得不等式f(x)-m≤0成立，求m的取值范围. 16.(本小题满分15分) 各项均不相等的等差数列{an}的前n项和为Sn,已知S;=40,且a,a,a成等比数列. (1)求数列{an}的通项公式： （2》令.=4+1，求数列{b,}的前n项和7. a an+ 17.(本小题满分15分) 如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD,AD∥BC,PA=2, BC=1,AD=2,M是PD的中点. (1)求证：CM/平面PAB: (2)若AB⊥AD, (i)求平面PAB与平面PCD夹角的正弦值： ()在线段BD上是否存在点Q,使得点D到平面PA0的距离为1？若存在，求出品的 值：若不存在，请说明理由。 数学试题第3页（共4页） 18.(本小题满分17分) 某高新区对7家企业的研发投入与专利产出数进行调研，数据如下： 企业 A B D G 研发投入x(万元) 300 600 900 1200 2000 2800 4000 年度专利产出数y 3 5 6 9 10 11 (件) (1)现从这7家企业中随机抽取1家.记事件M:抽到的企业“研发投入不超过2000万元”： 事件N:抽到的企业“专利产出数超过8件” (i)求条件概率P(NM)的值； (ii)判断事件M与N是否相互独立，并说明理由： (2)从这7家企业中随机抽取3家企业进行重点扶持，记其中专利产出数大于6件的企业数 为随机变量X,求X的分布列 19.(本小题满分17分) 已知函数f(x)=ax2+(a-2)x-lnx,a∈R. (1)当a=1时，求函数f(x)的极小值 (2)讨论函数∫(x)的单调性： (3)若函数f(x)有两个零点，求a的取值范围。 数学试题第4页（共4页）