精品解析：广东省广州市番禺中学2023-2024学年高二下学期期中考试数学试题

2023-2024学年第二学期广东番禺中学期中考试 高二年级数学科试题 考试时间：共120分钟.满分：150分.命题人：李雪婷 审题人：黄殷 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 1. 设是虚数单位，则复数在复平面内所对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】A 【解析】 【分析】根据复数除法化简，然后由复数几何意义可得答案. 【详解】因为， 所以，复数对应点为，位于第一象限. 故选：A 2. 已知集合，若，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先求出一元二次不等式的解集，依题借助于数轴得到关于的不等式组，解之即得. 【详解】或，或， 又，解得. 故选:D. 3. 已知角顶点在原点，始边与轴的非负半轴重合，终边与单位圆相交于点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用三角函数的定义求出，，再由两角和的余弦公式计算可得. 【详解】因为角的终边与单位圆相交于点， 所以，， 所以. 故选：C 4. 中国救援力量在国际自然灾害中为拯救生命作出了重要贡献，很好地展示了国际形象，增进了国际友谊，多次为祖国赢得了荣誉．现有5支救援队前往三个受灾点执行救援任务，若每支救援队只能去其中的一个受灾点，且每个受灾点至少安排1支救援队，其中甲和乙两支救援队必须去同一个受灾点，则不同的安排方法数是（ ） A. 18 B. 24 C. 36 D. 48 【答案】C 【解析】 【分析】分两情况：一是仅有甲和乙两支救援队去同一个受灾点，二是甲和乙两支救援队和其中一个救援队去同一个受灾点，然后根据分类加法原理求解即可. 【详解】若仅有甲和乙两支救援去队同一个受灾点，则有种不同的安排方法； 若甲和乙两支救援队和其中一个救援队去同一个受灾点，则有种不同的安排方法， 所以由分类加法原理可知共有种不同的安排方法， 故选：C 5. 已知离散型随机变量X 的 分布列如下表：若离散型随机变量，则（ ） X 0 1 2 3 P a 5a A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由分布列中各概率之和为1求得参数，进一步将所求变形为即可求解. 【详解】由题意，解得， 而. 故选：A. 6. 若偶函数定义域为在上的图象如图所示，则不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据偶函数的性质判断出函数图象在y轴左侧的情况，然后结合导数的意义，不难求出等式的解集. 【详解】由图可知：在区间上单调递增，则在区间上. 又由为偶函数，则在区间上单调递减，则在区间上. 由可得在区间上，， 在区间上，，在区间上，， 在区间上，. 故不等式的解集为. 故选：B 7. 下列命题正确的是（ ） A. 已知随机变量，若，则 B. 若随机变量满足，则 C. 已知随机变量，若，则 D. 已知随机变量，则 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，结合二项分布的期望与方差，以及期望与方差的性质，逐项判定，即可求解. 【详解】对于A中，由随机变量，因为， 可得，可得，所以A错误； 对于B中，由变量满足，可得，所以B错误； 对于C中，由随机变量，可得， 则，解得，所以C错误； 对于D中，由随机变量，可得，所以D正确. 故选：D. 8. 设，，，则的大小顺序为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，构造函数，利用导数求得函数在上为单调递减函数，结合，即可求解. 【详解】由，且， 构造函数，可得， 当时，，单调递减， 又由，故，即. 选选：C. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 关于的展开式，下列判断正确的是（ ） A. 展开式共有项 B. 展开式的各二项式系数的和为128 C. 展开式的第项的二项式系数为49 D. 展开式的各项系数的和为 【答案】BD 【解析】 【分析】根据二项式定理的性质逐项判断即可. 【详解】对于A,二项式展开式共有项，故A错误； 对于B，展开式的各二项式系数的和为，故B正确； 对于C，展开式的第项的二项式系数为，故C错误； 对于D，令可得展开式的各项系数的和为，故D正确. 故选：BD. 10. 甲盒中有3个红球和2个白球，乙盒中有2个红球和3个白球．先从甲盒中随机取出一球放入乙盒，用事件表示“从甲盒中取出的是红球”；用事件表示“从甲盒中取出的是白球”，再从乙盒中随机取出一球，用事件表示“从乙盒中取出的是红球”，则下列结论中正确的是（　　） A. 事件与是互斥事件 B. 事件与事件不相互独立 C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】对于A：根据互斥事件的概念判断；对于B：求出，判断是否相等即可；对于C：分从甲盒中取出的是红球和从甲盒中取出的是白球两种情况来求概率；对于D：根据条件概率的公式求解. 【详解】对于A，事件与不是互斥事件，A错误； 对于C，，故C正确； 对于D，，故D正确； 对于B，因为，，则，所以事件E与事件G不相互独立，故B正确． 故选：BCD. 11. 已知函数，，下列结论正确的有（ ） A. 函数有极大值，且极大值点 B. C. 函数的最小值为2 D. 若、分别是曲线，上的动点，则的最小值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A，求导后令，只需考虑的极值点情况即可；对于B，由对数运算公式变形即可判断；对于C，由不等式放缩结合取等条件即可判断；对于D，通过分析可知当过点的切线的斜率都是1时，它们的距离最小，由此即可判断. 【详解】对于A，，，令， 则，所以单调递减， 注意到与同号，且， 所以存在，使得， 且当时，，即，关于单调递增， 当时，，即，关于单调递减， 所以函数有极大值，且极大值点，故A正确； 对于B，，故B正确； 对于C，我们有， 我们首先来看从左到右第一个不等式，只需证明即可， ，当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 所以， 从而说明了从左到右第一个不等式成立，等号成立当且仅当； 现在我们来看从左到右第二个不等式，我们只需证明当单调递增即可， 而，所以也成立， 综上所述，函数的最小值大于2，故C错误； 对于D，注意到曲线，互为反函数， 所以它们的图象关于对称， 从而，， 所以曲线与相切于点，曲线与相切于点， 所以的最小值为，故D正确. 故选：ABD. 【点睛】关键点点睛：判断C选项的关键是得到，由此即可顺利得解. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 的展开式中的系数为____________（用数字作答）． 【答案】 【解析】 【分析】将拆为和,分别求其展开式中的系数，再求和即可. 【详解】由题意可得：， 可知其展开式中含的项为:， 因此展开式中的系数为. 故答案为：. 13. 某小区有5个区域要种上鲜花（如图），现有四种不同品种的鲜花可供选择，每个区域只能种一种鲜花，要求相邻区域不能种同一种鲜花，则符合条件的方案有__________种． 【答案】 【解析】 【分析】给每个区域编上号码后，这个区域确定种数即可得，其中区域受区域影响，故需在区域处进行分类. 【详解】如图，给每个区域编上号码， 则对区域，共有四种不同方案可选择， 区域与区域相邻，故有三种不同方案可选择； 区域与区域、区域相邻，故有两种不同方案可选择； 区域与区域、区域相邻，则其可能与区域相同，有一种， 此时区域与区域、区域、区域相邻，由区域与区域相同， 故有两种不同方案选择， 区域也可能与区域不同，此时区域只可选择一种； 故共有种方案符合条件. 故答案为：. 14. 若函数的图象上存在与直线平行的切线，则实数a的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】函数存在与直线平行的切线，等价于在上有解，分离出参数，转化为求函数值域问题即可求得答案． 【详解】解：函数存在与直线平行的切线， 即在上有解， 而， 即在上有解， 得在上有解， ，当且仅当时“＝”成立． ， 的取值范围是． 故答案为： 【点睛】关键点点睛：本题先把问题转化为在上有解，从而用分离参数法再转化为求函数的值域． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知是数列的前 项和，，是公差为1的等差数列. （1）求数列的通项公式； （2）证明：. 【答案】（1） （2）证明：由（1）知：， 所以 . 【解析】 【分析】（1）求出给定的等差数列通项公式，再利用前n项和求通项的方法求解作答即可； （2）利用（1）的结论，结合裂项相消法即可得解. 【小问1详解】 因是公差为1的等差数列，而，则， 因此，即， 当时，， 经检验，满足上式， 所以的通项公式是. 【小问2详解】 略 16. 为降低工厂废气排放量，某厂生产甲、乙两种不同型号的减排器，现分别从甲、乙两种减排器中各抽取100件进行性能质量评估检测，综合得分的频率分布直方图如图所示： 减排器等级及利润率如下表，其中． 综合得分的范围 减排器等级 减排器利润率 一级品 二级品 三级品 （1）若从这100件甲型号减排器中按等级用按比例分配的分层随机抽样的方法抽取10件，再从这10件产品中随机抽取5件，求抽取的5件中至少有3件一级品的概率； （2）将频率分布直方图中的频率近似地看作概率，用样本估计总体，则： ①若从乙型号减排器中随机抽取4件，记为其中二级品的个数，求的分布列及数学期望； ②从数学期望来看，投资哪种型号的减排器利润率较大？ 【答案】（1） 0 1 2 3 4 （2），；②乙型号【解析】 【分析】（1）由已知及频率分布直方图中的信息知，甲型号减排器中的一级品的概率为0.6，根据分层抽样，计算10件减排器中一级品的个数，再利用互斥事件概率加法公式能求出至少 3件一级品的概率； （2）①由已知及频率分布直方图中的信息知，乙型号减排器中的一级品的概率为，二级品的概率为，三级品的概率为，若从乙型号减排器随机抽取4件，则二级品数所有可能的取值为，且，由此能求出的分布列和数学期望.②由题意分别求出甲型号减排器的利润的平均值和乙型号减排器的利润的平均值，由此求出投资乙型号减排器的平均利润率较大. 【小问1详解】 由已知及频率分布直方图中的信息知，甲型号减排器中的一级品的频率为， 按等级用分层抽样的方法抽取10件， 则抽取一级品为（件）， 记“抽取的5件中至少有3件一级品”为事件，则． 【小问2详解】 ①由已知及频率分布直方图中的信息知，乙型号减排器中的一级品的概率为， 二级品的概率为，三级品的概率为， 由题意，的所有可能的取值为， 所以， ， ， ， 分布列如下表： 0 1 2 3 4 所以； ②由题意知，甲型号减排器的利润率的平均值： ； 乙型号减排器的利润率的平均值： ； ，又， 则，所以投资乙型号减排器的平均利润率较大． 17. 如图，在斜三棱柱中，是边长为2的正三角形，是以AC为斜边的等腰直角三角形且侧面底面，点为中点，点为的中点． （1）求证：平面； （2）求平面与平面夹角的正弦值． （3）过作与垂直的平面，交直线于点，求的长度． 【答案】（1）因为是等腰直角三角形，，为中点， ， 又侧面底面，侧面底面，侧面， 所以平面. （2） （3）1 【解析】 【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质得到，再由面面垂直的性质得证； （2）首先可得，从而建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，利用向量法求出夹角的余弦值，再求出其正弦值即可； （3）设，，即可表示出点坐标，由线面垂直的性质得到，则，即可求出，再求出即可得解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为△为正三角形，为中点，， 由（1）知，平面，平面，所以，， 如图以为原点建立空间直角坐标系， 则， 由（1）知，面，所以平面的一个法向量为， 设面的一个法向量，，， ，不妨设，则， 设平面与平面的夹角为， 又，即， ，即平面与平面夹角的正弦值为. . 【小问3详解】 设，，则，， 所以，， 又为中点，， 所以，， 因为过作与垂直的平面，交直线于点，所以，则， 所以，解得， 所以，则，所以， 即. 18. 已知椭圆C：过点，且它的长轴长是短轴长的3倍．斜率为的直线l与椭圆C交于A，B两点（如图所示，点P在直线l的上方）． （1）求椭圆C的方程； （2）试判断直线PA，PB的斜率和是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由． 【答案】（1） （2）是定值，0 【解析】 【分析】（1）由题意列出关于的方程组，求出它们的值，即可求得答案； （2）设直线l的方程为，联立椭圆方程，可得根与系数的关系式，由此化简直线PA，PB的斜率和的表达式，即可得出结论. 【小问1详解】 由题意知椭圆C：过点，且它的长轴长是短轴长的3倍， 故，解得， 故椭圆C的方程为； 【小问2详解】 由题意设直线l的方程为，当l经过时， ， 由于点P在直线l的上方，故； 联立，得，需满足 即， 设，，则， 则， 而 即，故直线PA，PB的斜率和为定值,定值为0. 19. 已知函数，． （1）讨论的单调性； （2）证明：当时，． 【答案】（1） 在上单调递增，在上单调递减 （2） 证明：由（1）知，当时，， 所以． 令， 则． 令， 则． 因为，所以， 所以在上单调递增． 又，所以， 所以在上单调递减． 因为，所以， 所以， 即当时，． 【解析】 【分析】（1）求导得，再分和两种情况讨论即可． （2）由（1）知，从而，即证明，再构造新函数，利用导数得证． 【小问1详解】 ， 当在上恒成立，故在上单调递增； 当时，令得； 令得， 故在上单调递增，在上单调递减． 【小问2详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2023-2024学年第二学期广东番禺中学期中考试 高二年级数学科试题 考试时间：共120分钟.满分：150分.命题人：李雪婷 审题人：黄殷 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 1. 设是虚数单位，则复数在复平面内所对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2. 已知集合，若，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 3. 已知角顶点在原点，始边与轴的非负半轴重合，终边与单位圆相交于点，则（ ） A. B. C. D. 4. 中国救援力量在国际自然灾害中为拯救生命作出了重要贡献，很好地展示了国际形象，增进了国际友谊，多次为祖国赢得了荣誉．现有5支救援队前往三个受灾点执行救援任务，若每支救援队只能去其中的一个受灾点，且每个受灾点至少安排1支救援队，其中甲和乙两支救援队必须去同一个受灾点，则不同的安排方法数是（ ） A. 18 B. 24 C. 36 D. 48 5. 已知离散型随机变量X 的 分布列如下表：若离散型随机变量，则（ ） X 0 1 2 3 P a 5a A. B. C. D. 6. 若偶函数定义域为在上的图象如图所示，则不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 7. 下列命题正确的是（ ） A. 已知随机变量，若，则 B. 若随机变量满足，则 C. 已知随机变量，若，则 D. 已知随机变量，则 8. 设，，，则的大小顺序为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 关于的展开式，下列判断正确的是（ ） A. 展开式共有项 B. 展开式的各二项式系数的和为128 C. 展开式的第项的二项式系数为49 D. 展开式的各项系数的和为 10. 甲盒中有3个红球和2个白球，乙盒中有2个红球和3个白球．先从甲盒中随机取出一球放入乙盒，用事件表示“从甲盒中取出的是红球”；用事件表示“从甲盒中取出的是白球”，再从乙盒中随机取出一球，用事件表示“从乙盒中取出的是红球”，则下列结论中正确的是（　　） A. 事件与是互斥事件 B. 事件与事件不相互独立 C. D. 11. 已知函数，，下列结论正确的有（ ） A. 函数有极大值，且极大值点 B. C. 函数的最小值为2 D. 若、分别是曲线，上的动点，则的最小值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 的展开式中的系数为____________（用数字作答）． 13. 某小区有5个区域要种上鲜花（如图），现有四种不同品种的鲜花可供选择，每个区域只能种一种鲜花，要求相邻区域不能种同一种鲜花，则符合条件的方案有__________种． 14. 若函数的图象上存在与直线平行的切线，则实数a的取值范围是________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知是数列的前 项和，，是公差为1的等差数列. （1）求数列的通项公式； （2）证明：. 16. 为降低工厂废气排放量，某厂生产甲、乙两种不同型号的减排器，现分别从甲、乙两种减排器中各抽取100件进行性能质量评估检测，综合得分的频率分布直方图如图所示： 减排器等级及利润率如下表，其中． 综合得分的范围 减排器等级 减排器利润率 一级品 二级品 三级品 （1）若从这100件甲型号减排器中按等级用按比例分配的分层随机抽样的方法抽取10件，再从这10件产品中随机抽取5件，求抽取的5件中至少有3件一级品的概率； （2）将频率分布直方图中的频率近似地看作概率，用样本估计总体，则： ①若从乙型号减排器中随机抽取4件，记为其中二级品的个数，求的分布列及数学期望； ②从数学期望来看，投资哪种型号的减排器利润率较大？ 17. 如图，在斜三棱柱中，是边长为2的正三角形，是以AC为斜边的等腰直角三角形且侧面底面，点为中点，点为的中点． （1）求证：平面； （2）求平面与平面夹角的正弦值． （3）过作与垂直的平面，交直线于点，求的长度． 18. 已知椭圆C：过点，且它的长轴长是短轴长的3倍．斜率为的直线l与椭圆C交于A，B两点（如图所示，点P在直线l的上方）． （1）求椭圆C的方程； （2）试判断直线PA，PB的斜率和是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由． 19. 已知函数，． （1）讨论的单调性； （2）证明：当时，． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $