精品解析：江西省赣州市大余县部分学校2024-2025学年下学期八年级期中考试数学试卷及答案

2024～2025学年第二学期期中质量检测八年级数学试卷 一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 1. 要使二次根式有意义，则x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了二次根式有意义的条件，二次根式的被开方数为非负数．根据二次根式有意义的条件，即可求解． 【详解】解：根据题意得，， 解得：． 故选：B ． 2. 下列二次根式中，能与合并的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题重点考查了二次根式的加减法则，只有同类二次根式才能相加减，清楚同类二次根式的定义是解此题的关键，同类二次根式是化为最简二次根式后，被开方数相同的二次根式称为同类二次根式，把每个根式化简即可确定． 【详解】解：A、=，故选项错误； B、，故选项正确； C、，故选项错误； D、，故选项错误； 故选：B． 3. 以下列长度的三条线段为边，能组成直角三角形的是（ ） A. 2，3，4 B. 3，，5 C. 5，12，13 D. 4，5，81 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查勾股定理逆定理的运用，掌握其计算是关键． 运用勾股定理逆定理的计算进行判定即可． 【详解】解：A．∵， ∴以2，3，4为边不能组成直角三角形，不符合题意； B．∵， ∴以3，，5为边不能组成直角三角形，不符合题意； C．∵， ∴以5，12，13为边能组成直角三角形，符合题意； D．∵， ∴以4，5，8为边不能组成直角三角形，不符合题意． 故选：C． 4. 下列命题的逆命题中，是假命题的是（ ） A. 平行四边形的对角线互相平分 B. 四个内角都相等的四边形是矩形 C. 四条边都相等的四边形是菱形 D. 正方形的对角线互相垂直且平分 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查正方形的性质，菱形的判定及性质定理，矩形的判定定理．以及命题与定理的概念等知识点．正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．根据平行四边形的性质对A进行判断；根据矩形的判定方法对B进行判断；根据菱形的判定方法对C进行判断；根据正方形的性质对D进行判断． 【详解】解：A、逆命题为对角线互相平分的四边形是平行四边形，是真命题，本选项不符合题意； B、逆命题为矩形的四个角相等，是真命题，本选项不符合题意； C、逆命题为菱形的四边相等，是真命题，本选项不符合题意， D、逆命题为对角线互相垂直且平分的四边形是正方形，是假命题，本选项符合题意． 故选：D． 5. 如图，菱形中，，，为边上的高，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了菱形面积的计算方法，勾股定理在直角三角形中的运用．对角线，交于点，则为直角三角形，在中，已知，根据勾股定理即可求得的长，根据菱形面积不同的计算方法可以求得的长度，即可解题． 【详解】解：∵四边形是菱形，对角线、交于点O， ，， ∴，，， ∴， ∴， ∵，是边上的高， ∴， 解得， ∴的长为． 故选：A． 6. 如图，正方形的边长为8，在上，且，是上一动点，则的最小值为( ) A. 6 B. 8 C. 10 D. 12 【答案】C 【解析】 【分析】连接BN，BD，BM，BM交AC于点E，根据正方形的对角线互相垂直平分可得ND=NB，由三角形三边关系可得NB+NM≥BM，再由勾股定理求得BM即可； 【详解】解：如图，连接BN，BD，BM，BM交AC于点E， ABCD是正方形，则AC、BD互相垂直平分， ∴ND=NB， 当点N与点E不重合时，△NBM中NB+NM＞BM， 当点N与点E重合时，NB+NM=BM， ∴NB+NM≥BM，即DN+MN的最小值为BM， ABCD是正方形，则BC=CD=8，∠BCD=90°， ∴CM=CD-DM=8-2=6， ∴BM=， ∴DN+MN的最小值为10， 故选： C． 【点睛】本题考查了正方形的性质，垂直平分线的性质，三角形的三边关系，勾股定理；正确作出辅助线是解题关键． 二、填空题（本大题6小题，每小题3分，共18分） 7. 计算：________． 【答案】 【解析】 【分析】根据二次根式的性质，将被开方数分解为完全平方数与剩余因数的乘积，即可完成化简． 【详解】解：= ． 8. 在中，，则________． 【答案】100 【解析】 【分析】此题考查了平行四边形的性质，熟练掌握平行四边形对角相等是解题的关键．根据平行四边形对角相等求出，再根据，即可得到答案． 【详解】解：如图， 在中，，，， ∴，， ∴， 故答案为：． 9. 《九章算术》“勾股”章有一题：“今有户高多于广六尺，两隅相去适一丈，问户高、广各几何？”大意是说：已知矩形门的高比宽多6尺，门的对角线长1丈，那么门的高和宽各是多少？（1丈=10尺），如果设门的宽为x尺，那么这个门的高为（x+6）尺，根据题意得方程：_____． 【答案】x2+（x+6）2=102 【解析】 【分析】直接利用勾股定理进而得出等式方程即可． 【详解】设门的宽为x尺，那么这个门的高为（x+6）尺，根据题意得方程： x2+（x+6）2=102 故答案为x2+（x+6）2=102 【点睛】本题考查了勾股定理的应用，正确应用勾股定理是解题的关键． 10. 如图，在▱ABCD中，对角线AC、BD相交于点O．如果AC=8，BD=14，AB=x，那么x的取值范围是____． 【答案】3＜x＜11 【解析】 【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AO=CO，BO=DO， ∵AC=8，BD=14， ∴AO=4，BO=7， ∵AB=x， ∴7﹣4＜x＜7+4， 解得3＜x＜11． 故答案为：3＜x＜11． 11. 如图，中，，，，点D在边上，将沿折叠，使点C落在边上的点处，则的长为______． 【答案】1.5 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，折叠的性质，掌握折叠的不变性是解题的关键． 先由勾股定理求出，由折叠得到，，然后设，在中，由勾股定理建立方程求解． 【详解】解：中，，，， ∴， 由翻折变换的性质可知，， ∴，， 设，则有， ∴， ∴． 故答案为：1.5． 12. 如图，矩形中，，，连接，若点在图中任意线段上，当，则的长为________． 【答案】3或或 【解析】 【分析】根据矩形的性质可得，，，，当时，分情况讨论：①当点P在边上，②点P在的中点，③点P在边上，分别求解即可． 【详解】解：在矩形中，，，， ∵，， 根据勾股定理，得， 当时，分情况讨论： ①当点P在边上，如图所示：在图1中， 设， 则， 在中，根据勾股定理，得， 解得，则； ②点P在的中点，如图所示：在图2中， ， ③点P在边上，如图所示：在图3中， 设， 则， 在中，根据勾股定理，得， 解得，则； 在中，根据勾股定理，得； 综上所述：当，则的长为3或或， 故答案为：3或或． 【点睛】本题考查了矩形的性质，勾股定理，熟练掌握矩形的性质是解题的关键，注意分情况讨论． 三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 13. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的性质、二次根式的加减运算、二次根式的混合运算、零次幂等知识点，灵活运用相关运算法则成为解题的关键． （1）先根据二次根式的性质化简，然后再合并同类二次根式即可； （2）先根据二次根式的性质、零次幂、绝对值化简，然后再合并同类二次根式即可． 【小问1详解】 解： ． 【小问2详解】 解： ． 14. 已知，，求下列各式的值． （1）和； （2）． 【答案】（1）4，； （2）17 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，完全平方公式，熟练掌握二次根式的运算法则以及乘法公式是解题的关键； （1）直接把x，y的值代入和即可求解； （2）根据完全平方公式变形，再代入求值，即可求解 【小问1详解】 ∵，， ∴，； 【小问2详解】 15. 如图，在平行四边形中，，，，已知实数，满足式子．求四边形的周长． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了平行四边形的判定和性质，熟练掌握平行四边形的判定和性质是解题的关键．根据题意证明四边形是平行四边形即可得到答案． 【详解】解：， 根据二次根式有意义的条件可知，， 解得， ， 平行四边形， ， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， 四边形的周长． 16. 若a、b、c是的三边长，且a、b、c满足． （1）求a、b、c的值； （2）是直角三角形吗？请说明理由． 【答案】（1），，； （2） 解：是直角三角形，理由： ，， ， 是直角三角形． 【解析】 【分析】本题考查了非负数的性质，勾股定理逆定理，掌握利用勾股定理逆定理判定直角三角形的方法是解题关键． （1）根据平方、绝对值以及算术平方根的非负性求解即可； （2）根据勾股定理的逆定理求解即可 【小问1详解】 解：， ，，， ，，； 【小问2详解】 略 17. 如图，已知四边形是平行四边形，点E在上，请仅用无刻度直尺按要求作图（保留作图痕迹，不写作法） （1）在图1中，过点E作直线，将平行四边形分成形状、大小相同的两部分； （2）在图2中，若，请作出的平分线． 【答案】（1） 如图1，直线即为所作 （2） 如图2，射线即为所作 【解析】 【分析】（1）作的对角线，，交于点，作直线交于点，直线即为所作； （2）作射线即可得的平分线． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【点睛】本题主要考查作图—基本作图，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键． 四、解答题（本大题3小题，每题8分，共24分） 18. 某居民小区有块形状为长方形的绿地，长方形绿地的长为米，宽AB为米，现要在长方形绿地中修建一个长方形花坛(即图中阴影部分)，长方形花坛的长为米，宽为米. （1）长方形的周长是多少? （2）除去修建花坛的地方. 其它地方全修建成通道，通道上要铺上造价为6元的地砖，要铺完整个通道，则购买地砖需要花费多少元? 【答案】（1）米 （2）元 【解析】 【分析】本题考查二次根式的应用，长方形的周长和面积，平方差公式． （1）根据长方形的周长列出算式，再利用二次根式的混合运算顺序和运算法则计算即可； （2）先计算出空白部分的面积，然后再用空白部分的面积乘以单价即可得出结论． 【小问1详解】 解：米 答：长方形的周长为米． 【小问2详解】 解：通道的面积平方米 购买地砖需要花费元 答：购买地砖需要花费元． 19. 已知：如图，在四边形ABCD中，，，点是CD的中点． （1）求证：四边形ABCE是平行四边形； （2）若，，求四边形ABCE的面积． 【答案】 （1）证明：∵， ∴ AB∥EC， ∵点是CD的中点， ∴， ∵， ∴AB=EC， ∴四边形ABCE是平行四边形； （2）8 【解析】 【分析】（1）可证得AB∥EC，AB=EC，根据对边平行且相等的四边形是平行四边形即可判断； （2）利用勾股定理可求得CD的长，继而求得AB的长，即可求出四边形ABCE的面积． 【详解】（1）略 （2）∵，，， ∴， ∵， ∴AB=2， ∴． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定和性质，勾股定理的应用，平行四边形的面积计算，熟练掌握平行四边形的判定定理是解题的关键． 20. 阅读下列一段文字，回答问题． 【材料阅读】平面内两点则由勾股定理可得，这两点间的距离． 例如，如图1，，则． 【直接应用】 （1）已知，求P、Q两点间的距离； （2）如图2，在平面直角坐标系中，，，与x轴正半轴的夹角是． ①求点B的坐标； ②试判断的形状． 【答案】（1） （2）①；②直角三角形 【解析】 【分析】本题主要考查勾股定理及逆定理，两点间的距离等知识，解题的关键是理解题意，准确计算并熟练掌握勾股定理及逆定理． （1）根据题意，把两点坐标代入到公式中计算即可； （2）①过点作轴于点，根据题意得出，即可得到最终结果；②根据题意，计算出的长，从而得出，即可得到最终结论． 【小问1详解】 解：∵， ∴； 【小问2详解】 ①过点B作轴于点F， ∵与x轴正半轴的夹角是， ∴， ∵， ∴， ∴； ②∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴是直角三角形． 五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分） 21. 【特例感知】 化简：； 解：． （1）请在横线上直接写出化简的结果： ①__________； ②__________． 【观察发现】（2）第n个式子是（n为正整数），请求出该式子化简的结果（需要写出推理步骤）． 【拓展应用】（3）从上述结果中找出规律，并利用这一规律计算：． 【答案】（1）①；②； （2）， ， ∴的化简结果为． （3）2023 【解析】 【分析】本题考查了分母有理化，平方差公式，二次根式的混合运算，熟练掌握分母有理化，平方差公式，二次根式的混合运算是解题的关键． （1）利用分母有理化求解作答即可； （2）根据，求解作答即可； （3）①利用（2）的结论，结合平方差公式计算即可；②先分母有理化，再逆用同分母的加减法则变形后，结合互为相反数的和为零，计算即可． 【详解】（1）①解：． 故答案为：． ②解：． 故答案为：． （2） 略 （3）解： ． 22. 课本再现 思考 我们知道，矩形的对角线相等．反过来，对角线相等的平行四边形是矩形吗？ 可以发现并证明矩形的一个判定定理：对角线相等的平行四边形是矩形． 定理证明 （1）为了证明该定理，小贤同学画出了图形（如图1），并写出了“已知”和“求证”，请你从矩形的定义出发完成证明过程． 已知：在中，对角线，交点为． 求证：是矩形． 应用定理 （2）如图2，在菱形中，，，，分别为，，，的中点． 求证：四边形是矩形（用“课本再现”中的矩形判定定理证明）． 拓展迁移 （3）如图3，四边形的对角线，相交于点，且，，，，分别为，，，的中点．若，，求四边形的面积． 【答案】 （1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， 在与中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是矩形； （2）证明：在菱形中，，，， ∵，，，分别为，，，的中点， ∴， ∴， ∴， 同理，，则， ∴四边形是平行四边形， 连接，， 在菱形中，，则， ∴四边形是平行四边形，则， 同理，四边形是平行四边形，则， ∴， ∴四边形是矩形； （3）12 【解析】 【分析】本题考查了中位线定理，平行四边形的判定，矩形的判定，菱形的性质，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． （1）根据平行四边形的性质和已知条件判定，推出，利用平行线的性质得到，即可判定是矩形； （2）先根据中点结合菱形的性质证明，得，同理，，则，可知四边形是平行四边形，连接，，再证四边形是平行四边形，则，同理，四边形是平行四边形，则，得，即可证明四边形是矩形； （3）由中位线定理可得，， ，，即可证明四边形是平行四边形，由即可得出，从而证明四边形是矩形，利用面积公式即可求解． 【详解】解：（1）略 （2）略 （3）∵，，，分别为，，，的中点， ∴，， ，， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∴四边形的面积， 即四边形的面积是． 六、解答题（本大题共1题，共12分） 23. 菱形、矩形与正方形的形状有差异，我们将菱形、矩形与正方形的接近程度称为菱形或矩形的“接近度”． （1）如图1，已知菱形ABCD的边长为2，设菱形ABCD的对角线AC，BD的长分别为m，n．若我们将菱形的“接近度”定义为（即“接近度”＝），于是越小，菱形就越接近正方形． ①若菱形的“接近度”＝_____________，菱形就是正方形； ②若菱形的一个内角为60°，则“接近度”＝________________． （2）如图2，已知矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，设AB，BC的长分别为m，n，我们将矩形的“接近度”定义为（即“接近度”＝）． ①若矩形的“接近度”＝______________，矩形就是正方形； ②若∠AOD＝45°，求矩形的“接近度”． 【答案】（1）①0；② （2）①1；② 【解析】 【分析】（1）①当AC＝BD时，菱形ABCD为正方形，由定义求解即可，②若菱形的一个内角为60°，根据菱形对角线的性质得，求得∠ABO＝30°，∠AOB＝90°，利用勾股定理求解； （2）当AB＝BC时，矩形ABCD为正方形．此时，即可得出；②根据∠AOD＝∠OAB＋∠OBA＝45°，OA＝OB，得出∠OAB＝∠OBA＝22.5°在AB上取点E，使BC＝BE，连接CE，可得∠CEB＝45°，得出∠ACE＝∠CEB－∠OAB＝22.5°，再利用勾股定理求解即可． 【小问1详解】 解：①若菱形的“接近度”＝0，菱形就是正方形； 理由：当AC＝BD时，菱形ABCD为正方形， 此时＝0． 故答案为：0； ②如题图1，若菱形的一个内角为60°， 根据菱形对角线的性质得， ∠ABO＝30°，∠AOB＝90°， ∴AO＝1，AC＝2． 由勾股定理可得， ， 故答案为：； 【小问2详解】 解：①当AB＝BC时，矩形ABCD为正方形． 此时， 故答案为：1； ②∵∠AOD＝∠OAB＋∠OBA＝45°，OA＝OB， ∴∠OAB＝∠OBA＝22.5° 如图，在AB上取点E，使BC＝BE，连接CE，可得∠CEB＝45°， ∴∠ACE＝∠CEB－∠OAB＝22.5°， ∴AE＝CE． 设BC＝a，可得BE＝a， 由勾股定理可得， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了菱形的性质、正方形的判定及性质、勾股定理、新定义问题，解题的关键是掌握菱形的性质． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024～2025学年第二学期期中质量检测八年级数学试卷 一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 1. 要使二次根式有意义，则x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 2. 下列二次根式中，能与合并的是（　　） A. B. C. D. 3. 以下列长度的三条线段为边，能组成直角三角形的是（ ） A. 2，3，4 B. 3，，5 C. 5，12，13 D. 4，5，81 4. 下列命题的逆命题中，是假命题的是（ ） A. 平行四边形的对角线互相平分 B. 四个内角都相等的四边形是矩形 C. 四条边都相等的四边形是菱形 D. 正方形的对角线互相垂直且平分 5. 如图，菱形中，，，为边上的高，则的长为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，正方形的边长为8，在上，且，是上一动点，则的最小值为( ) A. 6 B. 8 C. 10 D. 12 二、填空题（本大题6小题，每小题3分，共18分） 7. 计算：________． 8. 在中，，则________． 9. 《九章算术》“勾股”章有一题：“今有户高多于广六尺，两隅相去适一丈，问户高、广各几何？”大意是说：已知矩形门的高比宽多6尺，门的对角线长1丈，那么门的高和宽各是多少？（1丈=10尺），如果设门的宽为x尺，那么这个门的高为（x+6）尺，根据题意得方程：_____． 10. 如图，在▱ABCD中，对角线AC、BD相交于点O．如果AC=8，BD=14，AB=x，那么x的取值范围是____． 11. 如图，中，，，，点D在边上，将沿折叠，使点C落在边上的点处，则的长为______． 12. 如图，矩形中，，，连接，若点在图中任意线段上，当，则的长为________． 三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 13. 计算： （1）； （2）． 14. 已知，，求下列各式的值． （1）和； （2）． 15. 如图，在平行四边形中，，，，已知实数，满足式子．求四边形的周长． 16. 若a、b、c是的三边长，且a、b、c满足． （1）求a、b、c的值； （2）是直角三角形吗？请说明理由． 17. 如图，已知四边形是平行四边形，点E在上，请仅用无刻度直尺按要求作图（保留作图痕迹，不写作法） （1）在图1中，过点E作直线，将平行四边形分成形状、大小相同的两部分； （2）在图2中，若，请作出的平分线． 四、解答题（本大题3小题，每题8分，共24分） 18. 某居民小区有块形状为长方形的绿地，长方形绿地的长为米，宽AB为米，现要在长方形绿地中修建一个长方形花坛(即图中阴影部分)，长方形花坛的长为米，宽为米. （1）长方形的周长是多少? （2）除去修建花坛的地方. 其它地方全修建成通道，通道上要铺上造价为6元的地砖，要铺完整个通道，则购买地砖需要花费多少元? 19. 已知：如图，在四边形ABCD中，，，点是CD的中点． （1）求证：四边形ABCE是平行四边形； （2）若，，求四边形ABCE的面积． 20. 阅读下列一段文字，回答问题． 【材料阅读】平面内两点则由勾股定理可得，这两点间的距离． 例如，如图1，，则． 【直接应用】 （1）已知，求P、Q两点间的距离； （2）如图2，在平面直角坐标系中，，，与x轴正半轴的夹角是． ①求点B的坐标； ②试判断的形状． 五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分） 21. 【特例感知】 化简：； 解：． （1）请在横线上直接写出化简的结果： ①__________； ②__________． 【观察发现】（2）第n个式子是（n为正整数），请求出该式子化简的结果（需要写出推理步骤）． 【拓展应用】（3）从上述结果中找出规律，并利用这一规律计算：． 22. 课本再现 思考 我们知道，矩形的对角线相等．反过来，对角线相等的平行四边形是矩形吗？ 可以发现并证明矩形的一个判定定理：对角线相等的平行四边形是矩形． 定理证明 （1）为了证明该定理，小贤同学画出了图形（如图1），并写出了“已知”和“求证”，请你从矩形的定义出发完成证明过程． 已知：在中，对角线，交点为． 求证：是矩形． 应用定理 （2）如图2，在菱形中，，，，分别为，，，的中点． 求证：四边形是矩形（用“课本再现”中的矩形判定定理证明）． 拓展迁移 （3）如图3，四边形的对角线，相交于点，且，，，，分别为，，，的中点．若，，求四边形的面积． 六、解答题（本大题共1题，共12分） 23. 菱形、矩形与正方形的形状有差异，我们将菱形、矩形与正方形的接近程度称为菱形或矩形的“接近度”． （1）如图1，已知菱形ABCD的边长为2，设菱形ABCD的对角线AC，BD的长分别为m，n．若我们将菱形的“接近度”定义为（即“接近度”＝），于是越小，菱形就越接近正方形． ①若菱形的“接近度”＝_____________，菱形就是正方形； ②若菱形的一个内角为60°，则“接近度”＝________________． （2）如图2，已知矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，设AB，BC的长分别为m，n，我们将矩形的“接近度”定义为（即“接近度”＝）． ①若矩形的“接近度”＝______________，矩形就是正方形； ②若∠AOD＝45°，求矩形的“接近度”． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $