第15讲 实际问题与一次函数（知识详解+6典例分析+习题巩固）2025-2026学年人教版八年级数学下册同步讲义与测试

第15讲 实际问题与一次函数（知识详解+6典例分析+习题巩固） 【知识点01】建立一次函数模型解决实际问题 利用一次函数解决实际问题，关键是找到题目中的两个变量之间的数量关系，把实际问题抽象、升华为一次函数模型，即建模，再利用一次函数的相关性质解决实际问题.常见类型如下： 1. 题目中已知一次函数的解析式，可直接运用一次函数的性质求解； 2. 题目中没有给出一次函数的解析式，而是通过语言、表格或图象给出一次函数的情境，这时需要先根据题目给出的信息求出一次函数的解析式，再利用一次函数的性质解决实际问题. 【知识点02】运用一次函数选择最佳方案 1. 选择最佳方案是指在某一问题中，符合条件的方案有多种，一般要利用数学知识经过分析、猜想、判断，筛选出最佳方案. 常涉及的问题类型有利润最大、路程最短、费用最少、效率最高等，常通过建立函数模型，运用方程(组)或不等式的知识进行求解. 2. 【题型一】分配方案问题(一次函数的实际应用) 例1．（23-24八年级下·全国·课后作业）已知某租车公司有A，B两种租车方案：A方案为先支付500元，再按每千米元收费；B方案直接按每千米1元收费，已知小明租车花费了800元，若他使用的是最优租车方案，则他的行驶里程是（　　） A．600千米 B．700千米 C．800千米 D．900千米 例2．（25-26八年级下·四川成都·期中）张先生准备购买一套小户型商品房，他去某楼盘了解情况得知，该户型商品房的单价是1万元，面积如图所示（单位：米，卫生间的宽未定，设宽为米），售房部为张先生提供了以下两种优惠方案： 方案一：整套房的单价是1万元，其中厨房可免费赠送的面积； 方案二：整套房按原销售总金额的9折出售． (1)用表示方案一中购买一套该户型商品房的总金额，用表示方案二中购买一套该户型商品房的总金额，分别求出，与的关系式： (2)求取何值时，选用方案一更优惠？ 变式1．（22-23八年级下·广西南宁·月考）某学校计划租用甲、乙两种客车送240名师生（其中学生233名、教师7名）集体外出活动，要求每辆客车上至少要有1名教师．甲、乙两种客车的载客量和租金如下表： 甲种客车 乙种客车 载客量（单位：人/辆） 45 30 租金（单位：元/辆） 400 280 则最节省费用的租车方案是（    ） A．租甲种车4辆，租乙种车2辆 B．租甲种车5辆，租乙种车1辆 C．租甲种车2辆，租乙种车5辆 D．租甲种车3辆，租乙种车4辆 变式2．我国很多城市水资源缺乏，为了加强居民的节水意识，某自来水公司采取分段收费标准，某市居民月交水费(元)与用水量(吨)之间的关系如图所示，若某户居民4月份用水吨，则应交水费________元．    变式3．（25-26八年级下·甘肃白银·期中）暑假期间，两位家长计划带领若干名学生到白银旅游，探访黄河石林和火焰山矿山公园，并体验当地非遗文化．他们咨询了两家旅行社，报价均为每人500元（含景区门票及特色活动）． 甲旅行社：两位家长全额收费，学生享受七折优惠． 乙旅行社：全体成员（含家长）均享八折优惠． 请解答以下问题： (1)设学生数为人，甲旅行社收费为元，则函数关系式______； 设学生数为人，乙旅行社收费为元，则函数关系式______． (2)若家长希望学生深入了解白银的生态保护与非遗传承，应如何根据学生人数选择旅行社？通过计算说明理由． 【题型二】最大利润问题(一次函数的实际应用) 例3．（23-24八年级下·广西桂林·期末）某商场在促销活动中，计划销售型和型两种饮水机共20台．若每台型饮水机可盈利150元，每台型饮水机可盈利200元，型饮水机的销售量不小于型饮水机的3倍．则该商场在本次促销活动中销售这两种饮水机能获得的最大利润是（   ） A．3400元 B．3250元 C．4600元 D．4750元 例4．（24-25八年级下·北京丰台·期末）某工厂安排80名工人在规定时段内全部参与加工三种零件．在该时段内，每名工人只能加工零件2件，或零件1件，或零件4件．工厂要求加工零件的总数至少8件，零件的总数至少11件，零件和零件的总数相等．若加工零件总数不超过20件时，每件获利360元，超过20件时，超过的部分每件少获利30元；加工零件每件获利700元；加工零件每件获利180元． （1）当安排2名工人加工零件时，安排加工零件的工人人数为___________； （2）当安排___________名工人加工零件时，在规定时段内工厂获利最大，最大利润为___________元． 例5．（25-26八年级下·河北石家庄·期中）某无人机配件销售公司有和两种配件，其进价和售价如表． 种类 A配件 B配件 进价/（元/件） 260 80 售价/（元/件） 300 100 已知该无人机配件销售公司购进配件和配件共件，并全部售出，设购买配件个，本次销售完件配件获得的总利润为元． (1)求关于函数关系式． (2)若配件购进件数不低于配件购进件数的倍，求购进多少件配件时，总利润最大？最大为多少？ 变式1．“五一”期间，一体育用品商店搞优惠促销活动，其活动内容是：“凡在该商店一次性购物超过100元者，超过100元的部分按九折优惠”在此活动中，小东到该商店为学校一次性购买单价为70元的篮球个（），则小东应付货款（元）与篮球个数（个）的函数关系式是（    ） A． B． C． D． 变式2．（24-25八年级下·福建厦门·期中）某市在城中村改造中，需要种植、两种不同的树苗共棵，经招标，承包商以万元的报价中标承包了这项工程，根据调查及相关资料表明，、两种树苗的购买价及成活率如表： 品种 购买价（元/棵） 成活率 政府要求栽植这批树苗的成活率不低于．则承包商购买种树苗_____棵时才能获得最大利润，最大利润是_____元． 变式3．（25-26八年级下·广东深圳·期中）某商店销售每台A型电脑的利润为100元，销售每台B型电脑的利润为150元，该商店计划同时购进A，B两种型号的电脑共100台（两种型号的电脑都要购买），设购进A型电脑x台，这100台电脑的销售总利润为y元． (1)求y与x的函数关系式； (2)该商店计划一次购进A，B两种型号的电脑共100台，其中B型电脑的进货量不超过A型电脑的2倍 ①共有多少种购买方案？ ②商店购进A型、B型电脑各多少台，才能使销售总利润最大？并求出最大利润． 【题型三】行程问题(一次函数的实际应用) 例6．（25-26八年级下·重庆·期中）小华和小明是同班同学，也是邻居，某日早晨，小明先出发去学校，走了一段后，在途中停下吃了早餐，后来发现上学时间快到了，就跑步到学校；小华离家后直接乘公共汽车到了学校，如图是他们从家到学校已走的路程S（米）和所用时间t（分钟）的关系图，则下列说法中错误的是（   ） A．小明家和学校距离1200米 B．小华乘公共汽车的速度是240米/分 C．小华乘坐公共汽车后与小明相遇 D．小明从家到学校的平均速度为60米/分 例7．（25-26八年级下·山东菏泽·期中）春节期间，小明跟爸爸妈妈一起自驾去外地旅游，出发前将油箱加满油．如表记录了轿车行驶的路程与油箱剩余油量之间的部分数据如下表： 轿车行驶的路程 油箱剩余油量 则油箱剩余油量与行驶的路程之间的函数关系式为______． 例8．（25-26八年级下·北京通州·期中）小明和同学们组建一个骑行队，周日小明率领骑行队的队员们一起从通州区的绿心公园出发，骑行去怀柔区的雁栖湖的国际会议中心．从通州区的绿心公园到雁栖湖国际会议中心的骑行路线全长约69千米，如果他们早上从通州区绿心公园出发，骑行速度是12千米／小时，骑行队计划在骑行到全路程处，休息20分钟，然后按照原速度继续骑行，出发小时后，距雁栖湖国际会议中心还有千米． (1)求（千米）与（小时）的函数表达式； (2)在平面直角坐标系中，画出函数图像． 变式1．（25-26八年级下·全国·课后作业）小明从东江湖游客中心出发，渔夫从东江大坝出发，两人走同一条航线且相向而行，他们与东江大坝的距离s（单位：km）与时间t（单位：h）之间的函数关系如图所示，则下列说法错误的是（    ） A．东江湖游客中心与东江大坝相距12km B．渔夫与东江大坝的距离s关于时间t的函数表达式为 C．两函数图象的交点表示小明和渔夫相遇 D．渔夫的速度比小明快0.8km/h 变式2．（25-26八年级下·北京通州·期中）为落实“健康第一”的理念，实施学生体质强健计划，学校体育课上加强了学生的长跑训练．在一次女子1000米耐力测试中，小蕊和小敏在校园内200米的环形跑道上同时同向起跑，同时到达终点．所跑的路程（米）与所用的时间（秒）之间的函数图象，如图所示，则她们第一次相遇的时间是在起跑后的第____________秒． 变式3．（25-26八年级下·江苏南通·期中）“一盔一带、注意安全！”某天小华乘坐妈妈骑的电瓶车上学，骑行一段时间后，小华发现自己没戴头盔，于是她们又原路返回到刚经过的头盔售卖点，买到头盔后继续赶往学校．以下是她们本次行程中离家距离（米）与所用时间（分钟）之间的关系示意图．根据图中提供的信息回答下列问题： (1)小华家到学校的距离是__________米，她们中途停留了_________分钟． (2)本次上学途中，她们一共用了__________分钟，一共骑行了_________米． (3)按照《道路交通安全法》的规定，骑电瓶车的速度超过250米/分就超越了安全限度．问：在整个上学的途中哪个时间段她们骑行的速度最快，最快速度在安全限度内吗？从遵守交通法规的角度，请你写一条好的建议． 【题型四】梯度计价问题 例9．（2026·江苏苏州·模拟预测）某市出租车收费标准：起步价10元（内），超过3公里后每公里加收2元．小明乘坐出租车行驶了公里，费用为元，则与的函数关系式为（   ） A． B． C． D． 例10．（25-26八年级下·福建南平·期中）某水果批发市场香蕉的价格如下表： 一次购买香蕉数（千克） 不超过千克 千克以上但不超过千克 千克以上 每千克价格 元 元 元 若小强购买香蕉千克（大于）付了元，则关于的函数关系式为__________． 例11．（25-26八年级下·河南周口·期中）为响应绿色出行，某共享单车公司收费标准如下：骑行不超过1小时收费3元；超过1小时的部分，每小时收费2元(不足1小时按1小时算)．设骑行时间为x小时(，且x为正整数)，总费用为y元． (1)求y与x之间的函数关系式； (2)若小明骑行3.5小时，应付多少元？ (3)若小明付费11元．他最多骑行了几小时？ 变式1．（24-25八年级下·山西阳泉·期末）某市出租车收费标准如下：起步价元（以内，包含），超出部分每千米加收元（不足按计算）．设乘坐出租车行驶（为正整数且）的费用为元，则关于的函数关系式是（    ） A． B． C． D． 变式2．（24-25八年级下·辽宁大连·期末）从大连发快递到北京，某快递公司收费标准如下：快递物品不超过千克收费元，超过千克的部分每千克收费元，设快递物品的重量为千克，那么从大连发快递到北京的快递费（元）与物品重量（千克）的函数表达式为___________． 变式3．（25-26八年级下·全国·课后作业）某风景区集体门票的收费标准如下：30人以内（含30人），每人35元；超过30人，超出的人数每人20元． (1)写出应收门票费用y（单位：元）关于游览人数的函数表达式． (2)如果某单位有45人去该风景区游览，那么购买门票的费用为多少元？ (3)若某单位购买门票花了1650元，则该单位组织了多少人去该风景区游览？ 【题型五】其他问题(一次函数的实际应用) 例12．（25-26八年级下·福建泉州·期中）一根蜡烛长，点燃后每小时燃烧，这根蜡烛点燃后剩下的长度h（单位：）与点燃时间t（单位：h）之间的关系式是（    ） A． B． C． D． 例13．（25-26八年级下·广东广州·期中）张华有元零花钱去购买个单价为元的书包，剩余的钱数为元．则关于的函数解析式______． 例14．（25-26八年级下·陕西西安·期中）人工智能被称为世界三大尖端技术之一，近年来得到了迅猛发展，某校积极响应国家“科教兴国”战略，开设智能机器人编程的校本课程，学校计划购买、两种型号的机器人模型共50个，型号、型号机器人模型的单价分别为400元、240元，设学校购买型号机器人模型个，购买这两种型号机器人模型共花费元． (1)求与之间的函数关系式（无需写出取值范围）； (2)若购买型号机器人模型的数量不超过型号机器人模型数量的，问购买型号机器人模型多少个时花费最少？最少费用是多少元？ 变式1．（25-26八年级下·河北衡水·期中）某游泳馆更换了游泳池的循环水设备，现需要给游泳池注水检测设备，已知游泳池的容积为，打开进水口注水时，游泳池的蓄水量与注水时间之间满足一次函数关系，其图象如图所示，下列说法错误的是（    ） A．该游泳池内开始注水前已经蓄水 B．与之间的函数关系式为 C．当注水时，游泳池的蓄水量为 D．当游泳池注满水时，所需时间为 变式2．（25-26八年级下·福建福州·期中）小王在学习了摩擦力的相关知识后，在斜面拉动木块实验：如图用弹簧测力计拉着重为的木块分别沿倾斜程度不同的斜面向上做匀速直线运动．经测算，在弹性范围内，沿斜面的拉力近似是高度的一次函数．当斜面水平放置在地面上时，弹簧测力计的读数为，高度h每增加，弹簧测力计的读数增加，若弹簧测力计的最大量程是，则装置高度h的最大值为________． 变式3．（25-26八年级下·云南昆明·阶段检测）小星在家做家务时发现纸杯的个数和叠放的高度有一定的规律，于是就想用学过的数学知识进行探究，如图是个纸杯和个叠放在一起的纸杯的示意图，小星通过测量纸杯的数据得到如下表格： 纸杯的个数/个 纸杯叠放的总高度 请你帮他完成相关问题的探究． (1)表中 ， ； (2)写出满足表格中数据的一个函数解析式，并计算出个纸杯叠放的总高度． 【题型六】一次函数与几何综合 例15．（2026·广东惠州·一模）如图，位于第二象限，已知，，点的坐标为，点的坐标为．若直线与有交点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 例16．（25-26八年级下·重庆·期中）如图，直线的解析式是，点C在直线上，其坐标是．连接，D为一次函数图象上的一点，过点D分别作轴，轴，垂足分别为E，F；若，则点D的坐标是______________． 例17．（25-26八年级下·河北唐山·期中）如图，点从原点出发，每次向上平移个单位长度或向右平移个单位长度． (1)【操作】在图中分别描出点从点出发平移次和平移次后可能到达的所有点． (2)【探究】 ①观察图象，判断平移次后可能到达的所有点是否在同一条直线上，若是，求出直线的解析式，并证明，若不是，请说明理由； ②直接写出平移次后可能到达的点所在图象的解析式． (3)【应用】 若点从点出发经过次平移后，到达直线上的点，且平移的路径长满足，直接写出点的坐标． 变式1．（25-26八年级下·河北秦皇岛·月考）如图，点在直线上且位于第一象限，点，为坐标原点．若的面积为，则下列图象中，能正确反映与之间的函数关系的是（    ）（注：不包含的点用空心圆圈表示） A． B． C． D． 变式2．（25-26八年级下·四川成都·期中）如图，把放在平面直角坐标系内，其中，，点A，B的坐标分别为，，将沿x轴向右平移，当线段扫过的面积为16时，点C落在直线上，则k的值为______． 变式3．（25-26八年级下·北京海淀·期中）在平面直角坐标系中，为矩形内（不包括边界）一点，过点分别作轴和轴的平行线，这两条平行线分矩形为四个小矩形，若这四个小矩形中有一个矩形的周长等于，则称为矩形的矩宽点． 例如：下图中的为矩形的一个矩宽点． (1)在点中，矩形的矩宽点是_____； (2)若为矩形的矩宽点，求的值； (3)已知点的坐标为，点的坐标为．若直线上存在矩形的矩宽点，直接写出的取值范围_____． 一、单选题 1．某市规定每户每月用水量不超过吨，每吨价格元；用水量超过吨时，超过部分每吨水价为元．下图中能表示每月水费与用水量关系的示意图是（　　） A． B． C． D． 2．如图，直线分别与轴，轴交于，两点，是线段上任意一点（不包括端点），过点分别作两坐标轴的垂线与两坐标轴围成的长方形的周长为，则该直线的函数表达式是（    ） A． B． C． D． 3．已知A，B两地相距，甲，乙两车分别匀速从A，B两地出发，相向而行．甲车先出发，甲，乙两车离B地的路程与甲车行驶时间之间的函数图象如图所示．下列结论：①甲车的平均速度是60千米/小时；②乙车的平均速度是80千米/小时；③乙车从B地到A地用了小时，正确的是（    ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 4．经验表明，树在一定的成长阶段，其胸径（树主干的直径）越大，树就越高．通过测量某种树，得到如表： 胸径 树高 已知树高是其胸径的一次函数．如表几对数值中不能满足与的函数关系式的是（   ） A． B． C． D． 5．随着暑假临近，某游泳馆推出了甲、乙两种消费卡，设消费次数为时，所需费用为元，且与的函数关系如图所示．根据图中信息判断，下列说法错误的是（   ） A．消费次数为时，选择甲、乙两种消费卡所需费用一样 B．消费次数为6时，选择甲种消费卡划算 C．消费次数为时，选择乙种消费卡划算 D．消费次数为2时，选择乙种消费卡所需费用为元 6．某商店销售一种进价为40元/千克的海鲜产品，据调查发现，月销售量y（千克）与售价x（元/千克）之间满足一次函数关系，部分信息如下表： 售价x（元/千克） 50 60 70 80 … 销售量y（千克） 250 240 230 220 … ①y与x之间的函数关系式为； ②当售价为72元时，月销售利润为7296元； ③当每月购进这种海鲜的总进价不超过5000元时，最大利润可达到16900元； ④销售这种海鲜产品，每月最高可获得利润16900元； 其中正确结论的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 7．网语期印，李明同学在老家学习生活，为缓解线上学习疲劳，在某个周末和爸爸进行登山锻炼，登山过程中，两人距地面的高度y(米)与登山时间x(分钟)之间的函数图像如图所示(甲为爸爸，乙为李明)，李明提速后，李明的登山速度是原来速度的2倍，并先到达山顶.根据图象所提供的信息，下列说法错误的是（  ） A．甲登山的速度是每分钟米 B．乙在A地时距地面的高度b为米 C．乙登山分钟时追上甲 D．登山时间为5分钟、8分钟、分钟时，甲、乙两人距地面的高度差为米 8．直线与y轴交于点A，与x轴交于点B，直线与直线关于x轴对称且过点（2，－1），则△ABO的面积为（    ） A．8 B．1 C．2 D．4 9．如图1所示，在平面直角坐标系中，将放置在第一象限，且轴．直线从原点出发沿x轴正方向平移，在平移过程中直线被平行四边形截得的线段长度l与直线在x轴上平移的距离m的函数图象如图2所示，则的面积为（    ） A．5 B．10 C． D． 二、填空题 10．汽车邮箱中有汽油，如果不再加油，那么邮箱中的油量（单位：）随行驶路程（单位：）的增加而减少，耗油量为请写出与的函数关系式______ ． 11．在化学实验中，将一定质量的锌粒放入足量的稀硫酸中，发生反应： ． 反应过程中，生成氢气的质量随时间变化的图象如图（横坐标表示反应时间，单位：分钟；纵坐标表示生成氢气的质量，单位：克）． 若该图象是一条过原点的直线，且当分钟时，克，则该倾斜直线的函数表达式为_________（用含的代数式表示不写t取值范围）；当生成氢气质量为克时，反应进行了_________分钟． 在第12分钟内，生成氢气的质量是_________克．   12．如图，矩形两边与坐标轴正半轴重合，是边上的一个动点，是经过，两点的直线上的一个动点，则的最小值是______．    13．在平面直角坐标系中，一次函数的图象分别与x轴、y轴交于点A，B，若C为平面直角坐标系内一点，是以线段为底边的等腰直角三角形，则点C的坐标为______． 14．如图，在平面直角坐标系中，一次函数与坐标轴交于点A，B，点C为线段OA上一动点，过点C作于点D，过点D作轴，交y轴于点E，在直线DE上找一点F，使得，连接OF，则最小值为______． 三、解答题 15．某商店销售A，B两种商品，售价与成本如表所示： A，B商品售价与成本 A种商品 B种商品 售价（元/件） 120 80 成本（元/件） 110 65 该商店销售A，B两种商品共200件，设其中A种商品销售x件，总利润为y元． (1)求y与x的函数关系式； (2)为了开拓市场，该商店购进A种商品不得少于50件．为了获得最大利润，应购进A，B两种商品各多少件?可获得的最大利润为多少元? 16．已知：一次函数 (1)在直角坐标系中画出一次函数的图象； (2)求函数图象与坐标轴围成的三角形的面积． 17．现提供一居民家某月电费发票的部分信息如下表所示： 市居民电费专用发票 计费期限：一个月 用电量（度） 单价（元/度） 阶梯一： 阶梯二：（超出部分） 本月实付金额（元） 根据以上提供的信息解答下列问题： (1)如果月用电量用x（单位：度）来表示，实付金额用y（单位：元）来表示，请你写出这两种情况实付金额y与月用电量x之间的函数关系式； (2)请你根据表中本月实付金额计算一下，这个家庭一个月的实际用电量． 18．如图，已知中，，，直线的函数解析式是． (1)求证：； (2)求的面积． 19．供销商场购进甲、乙两种洗衣机共80台进行销售，其中乙洗衣机的数量不超过甲洗衣机的3倍，甲洗衣机每台利润为500元，乙洗衣机每台利润为600元．设购进甲洗衣机（台），这80台洗衣机全部售出的总利润为（元）． （1）求关于的函数表达式； （2）当甲洗衣机购进多少台时，销售总利润最大？最大利润是多少？ 20．如图，在正方形中，点是边上一点（不与点重合），过点作于点，交延长线于点． (1)求证：． (2)点从点向点运动过程中，设，，求与的函数表达式，并写出自变量的取值范围． 21．研学活动被称为“行走的课堂”，可以促进学生全面发展．某校组织学生从学校出发，乘坐大巴车前往基地进行研学活动．大巴车出发后，学校因事派人乘坐轿车沿相同路线追赶．已知轿车出发后追上大巴车，此时两车与学校相距．如图，，分别表示大巴车、轿车离开学校的路程与大巴车行驶的时间之间的函数图象． (1)分别求，所在直线的函数解析式； (2)求轿车出发多长时间后，轿车与大巴车首次相距． 22．学校6名教师和234名学生外出黄冈遗爱湖湿地公园春游一天，计划租车总费用不超过2300元，每辆车上至少要有1名教师跟车．现有甲、乙两种客车可供租用，甲种车每车限载45人，乙种车每车限载30人，限载量均不含司机．按天计算，租1辆甲种车和2辆乙种车，共需租金1000元；租2辆甲种车和1辆乙种车，共需租金1100元． (1)求甲、乙两种车每天每车的租金； (2)求最省钱的租车方案． 23．八上数学课本69页，数学活动《折纸与证明》中告诉我们：折纸常常能为证明一个命题提供思路和方法，请用所学知识解决下列问题． （1）如图1，一个三角形的纸片中，，证明：． 小龙同学通过折叠纸片，将折叠到上，点与点重合，展开后得到折痕，如图2，折痕交于点，连接． 帮助小龙同学写出证明过程． （2）如图3，在平面直角坐标系中，点，点．直线交轴于点． ①求点坐标； ②直线过点，交轴于点，且，直线沿轴翻折恰好经过点，只用圆规在直线上求作点，使与直线所夹的锐角等于．（不写作法，保留作图痕迹） ③直接写出（2）中点的坐标． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第15讲 实际问题与一次函数（知识详解+6典例分析+习题巩固） 【知识点01】建立一次函数模型解决实际问题 利用一次函数解决实际问题，关键是找到题目中的两个变量之间的数量关系，把实际问题抽象、升华为一次函数模型，即建模，再利用一次函数的相关性质解决实际问题.常见类型如下： 1. 题目中已知一次函数的解析式，可直接运用一次函数的性质求解； 2. 题目中没有给出一次函数的解析式，而是通过语言、表格或图象给出一次函数的情境，这时需要先根据题目给出的信息求出一次函数的解析式，再利用一次函数的性质解决实际问题. 【知识点02】运用一次函数选择最佳方案 1. 选择最佳方案是指在某一问题中，符合条件的方案有多种，一般要利用数学知识经过分析、猜想、判断，筛选出最佳方案. 常涉及的问题类型有利润最大、路程最短、费用最少、效率最高等，常通过建立函数模型，运用方程(组)或不等式的知识进行求解. 2. 【题型一】分配方案问题(一次函数的实际应用) 例1．（23-24八年级下·全国·课后作业）已知某租车公司有A，B两种租车方案：A方案为先支付500元，再按每千米元收费；B方案直接按每千米1元收费，已知小明租车花费了800元，若他使用的是最优租车方案，则他的行驶里程是（　　） A．600千米 B．700千米 C．800千米 D．900千米 【答案】C 【知识点】分配方案问题(一次函数的实际应用) 【分析】本题主要考查了一次函数的应用，设小明行驶里程是x千米，需要花费y元，分别列出A方案和B方案的费用，分别求出选择A方案和B方案行驶的里程，进而可判断出最优方案． 【详解】解：设小明行驶里程是x千米，需要花费y元， A方案：一共需要花费：， B方案∶ 一共需要花费：， 若选择A方案，，解得：， 若选择B方案，得， 由于，则选择B方案是最优租车方案，行驶里程为800千米， 故选：C． 例2．（25-26八年级下·四川成都·期中）张先生准备购买一套小户型商品房，他去某楼盘了解情况得知，该户型商品房的单价是1万元，面积如图所示（单位：米，卫生间的宽未定，设宽为米），售房部为张先生提供了以下两种优惠方案： 方案一：整套房的单价是1万元，其中厨房可免费赠送的面积； 方案二：整套房按原销售总金额的9折出售． (1)用表示方案一中购买一套该户型商品房的总金额，用表示方案二中购买一套该户型商品房的总金额，分别求出，与的关系式： (2)求取何值时，选用方案一更优惠？ 【答案】(1)， (2)当时，选用方案一更优惠 【知识点】用一元一次不等式解决实际问题、分配方案问题(一次函数的实际应用) 【分析】（1）先计算总面积及厨房面积，再依据两种方案的优惠规则，分别建立总金额，与卫生间宽度的一次函数关系式并根据卫生间宽度的实际意义确定的取值范围； （2）根据“方案一更优惠”等价于列出一元一次不等式，求解后结合的实际意义，得出最终的取值范围． 【详解】（1）解：整套房总面积为：， 厨房面积为：， ∴， ； （2）解：方案一更优惠，即，代入关系式，得 ， 解得， 又∵， ∴， 即当时，选用方案一更优惠． 变式1．（22-23八年级下·广西南宁·月考）某学校计划租用甲、乙两种客车送240名师生（其中学生233名、教师7名）集体外出活动，要求每辆客车上至少要有1名教师．甲、乙两种客车的载客量和租金如下表： 甲种客车 乙种客车 载客量（单位：人/辆） 45 30 租金（单位：元/辆） 400 280 则最节省费用的租车方案是（    ） A．租甲种车4辆，租乙种车2辆 B．租甲种车5辆，租乙种车1辆 C．租甲种车2辆，租乙种车5辆 D．租甲种车3辆，租乙种车4辆 【答案】A 【知识点】用一元一次不等式解决实际问题、分配方案问题(一次函数的实际应用) 【分析】设租用甲客车x辆，租车总费用y元，由每辆客车上至少要有1名教师可知客车总数不能大于7辆，要保证240名师生有车坐，客车总数不能小于，客车总数不能小于6，可得客车总数为6，，根据题意列出一次函数和一元一次不等式，找到x的取值范围，再结合一次函数的增减性即可求解． 【详解】解：设租用甲客车x辆，租车总费用y元，由每辆客车上至少要有1名教师可知客车总数不能大于7辆， 要保证240名师生有车坐，客车总数不能小于，客车总数不能小于6， ∴客车总数为6，， 由题意可得，， 整理可得， 由题意，， 解得， ∵， ∴， ∵中，，y随x的增大而增大， ∴x取最小值时，即，y有最小值， 即当租甲种车4辆，租乙种车2辆，费用最少， 故选：A． 【点睛】本题考查一次函数和一元一次不等式的实际应用，利用题中的不等关系找到x的取值范围是解题的关键． 变式2．我国很多城市水资源缺乏，为了加强居民的节水意识，某自来水公司采取分段收费标准，某市居民月交水费(元)与用水量(吨)之间的关系如图所示，若某户居民4月份用水吨，则应交水费________元．    【答案】44 【知识点】分配方案问题(一次函数的实际应用) 【分析】根据函数图象中的数据，可以求得超出10吨水时，每吨水的价格，从而可以计算出某户居民4月份用水20吨，则应交水费多少元． 【详解】解：由图象可知， 超出10吨的部分，每吨水的价格是（31-18）÷（15-10）=2.6（元）， 当用水20吨时，应交水费：18+（20-10）×2.6=44（元）， 故答案为：44． 【点睛】本题考查了一次函数的应用，解题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 变式3．（25-26八年级下·甘肃白银·期中）暑假期间，两位家长计划带领若干名学生到白银旅游，探访黄河石林和火焰山矿山公园，并体验当地非遗文化．他们咨询了两家旅行社，报价均为每人500元（含景区门票及特色活动）． 甲旅行社：两位家长全额收费，学生享受七折优惠． 乙旅行社：全体成员（含家长）均享八折优惠． 请解答以下问题： (1)设学生数为人，甲旅行社收费为元，则函数关系式______； 设学生数为人，乙旅行社收费为元，则函数关系式______． (2)若家长希望学生深入了解白银的生态保护与非遗传承，应如何根据学生人数选择旅行社？通过计算说明理由． 【答案】(1)； (2)学生数人时，两家旅行社均可；学生数人时，选甲旅行社；学生数人时，选乙旅行社，理由见解析 【知识点】分配方案问题(一次函数的实际应用) 【分析】（1）根据甲旅行社的收费两名家长的全额费用学生的七折费用，可得到与x的函数关系式；再根据乙旅行社的收费两名家长的八折费用学生的八折费用，可得到与x的函数关系式； （2）首先分三种情况讨论：①，②，③，针对每一种情况，分别求出对应的x的取值范围，然后比较哪种情况下选谁更合适，即可判断选择哪家旅行社． 【详解】（1）解：学生数为人，甲旅行社收费为元，则， 即； 学生数为人，乙旅行社收费为元，则，即． 故答案为：；； （2）解：分三种情况比较费用： 当时，，解得； 当时，，解得； 当时，，解得． 综上所述，学生数人时，两家旅行社均可；学生数人时，选甲旅行社；学生数人时，选乙旅行社． 【题型二】最大利润问题(一次函数的实际应用) 例3．（23-24八年级下·广西桂林·期末）某商场在促销活动中，计划销售型和型两种饮水机共20台．若每台型饮水机可盈利150元，每台型饮水机可盈利200元，型饮水机的销售量不小于型饮水机的3倍．则该商场在本次促销活动中销售这两种饮水机能获得的最大利润是（   ） A．3400元 B．3250元 C．4600元 D．4750元 【答案】B 【知识点】用一元一次不等式解决实际问题、最大利润问题(一次函数的实际应用) 【分析】本题考查一元一次不等式的应用，涉及一次函数的应用，解题的关键是读懂题意，列出不等式求出的范围． 设该商场在这一时期内销售获得的利润是元，销售型饮水机台，则销售型饮水机台，根据在同一时期内，型饮水机的销售量不小于型饮水机销售量的3倍可得：，而，由一次函数性质可得答案． 【详解】解：设该商场在这一时期内销售获得的利润是元，销售型饮水机台，则销售型饮水机台， 根据题意得：． 解得：， ， ∴随的增大而减小， ∴当时，取最大值，最大值为(元)， 答：该商场在这一时期内销售这两种饮水机能获得的最大利润是元． 故选：B． 例4．（24-25八年级下·北京丰台·期末）某工厂安排80名工人在规定时段内全部参与加工三种零件．在该时段内，每名工人只能加工零件2件，或零件1件，或零件4件．工厂要求加工零件的总数至少8件，零件的总数至少11件，零件和零件的总数相等．若加工零件总数不超过20件时，每件获利360元，超过20件时，超过的部分每件少获利30元；加工零件每件获利700元；加工零件每件获利180元． （1）当安排2名工人加工零件时，安排加工零件的工人人数为___________； （2）当安排___________名工人加工零件时，在规定时段内工厂获利最大，最大利润为___________元． 【答案】 74 5 56300 【知识点】最大利润问题(一次函数的实际应用) 【分析】本题考查了一次函数的应用．设加工C零件的工人为人，则加工A零件的工人为人，则加工B零件的人数为人，设利润为P，根据题意列出一次函数，利用一次函数的性质求解即可． 【详解】解：设加工C零件的工人为人，则C零件总数为件，A零件总数也为件，则加工A零件的工人为人，则加工B零件的人数为人， （1）当时，人， 此时B零件总数，符合条件， ∴当安排2名工人加工C零件时，加工B零件的有74人； （2）利润分段计算：当 (即)时，A零件利润为； 当时，A零件利润为：； 设利润为P，则 当时，， ∵， ∴为增函数，最大值在时取得，； 当时， ， ∵， ∴为减函数，最大值在时取得，元； 综上所述，当，即安排5名工人生产C零件时，利润最大，最大利润为56300元． 故答案为：74；5；56300． 例5．（25-26八年级下·河北石家庄·期中）某无人机配件销售公司有和两种配件，其进价和售价如表． 种类 A配件 B配件 进价/（元/件） 260 80 售价/（元/件） 300 100 已知该无人机配件销售公司购进配件和配件共件，并全部售出，设购买配件个，本次销售完件配件获得的总利润为元． (1)求关于函数关系式． (2)若配件购进件数不低于配件购进件数的倍，求购进多少件配件时，总利润最大？最大为多少？ 【答案】(1)(，且为整数) (2)购进100件A配件时总利润最大．最大总利润为8000元． 【知识点】求一次函数解析式、最大利润问题(一次函数的实际应用) 【分析】（1）先分别计算单个A、B配件的利润，再根据A配件的数量，表示出B配件的数量，最后根据总利润=单个利润×数量列出函数关系式，并注明自变量的取值范围． （2）先根据B配件购进件数不低于A配件的2倍列出不等式，求出的取值范围，再结合一次函数的增减性，确定利润最大时的值及最大利润． 【详解】（1）解：配件单件利润：(元) 配件单件利润： (元)． 配件数量： ， ∴ (，且x为整数)． （2）解：， ， ， 中，， 随的增大而增大． 当时，取得最大值．． ∴购进100件A配件时总利润最大．最大总利润为8000元． 变式1．“五一”期间，一体育用品商店搞优惠促销活动，其活动内容是：“凡在该商店一次性购物超过100元者，超过100元的部分按九折优惠”在此活动中，小东到该商店为学校一次性购买单价为70元的篮球个（），则小东应付货款（元）与篮球个数（个）的函数关系式是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】最大利润问题(一次函数的实际应用) 【分析】根据已知表示出买x个篮球的总钱数以及优惠后价格，进而得出等式即可． 【详解】解：∵凡在该商店一次性购物超过 100元者，超过100元的部分按九折优惠， ∴小东到该商店为学校一次性购买单价为70元的篮球x个（x＞2）， 则小东应付货款y（元）与篮球个数x（个）的函数关系式是： y=（70x-100）×0.9+100=63x+10（x＞2）， 故选：C． 【点睛】此题主要考查了根据实际问题列一次函数解析式，根据已知得出货款与篮球个数的等式是解题关键． 变式2．（24-25八年级下·福建厦门·期中）某市在城中村改造中，需要种植、两种不同的树苗共棵，经招标，承包商以万元的报价中标承包了这项工程，根据调查及相关资料表明，、两种树苗的购买价及成活率如表： 品种 购买价（元/棵） 成活率 政府要求栽植这批树苗的成活率不低于．则承包商购买种树苗_____棵时才能获得最大利润，最大利润是_____元． 【答案】 【知识点】最大利润问题(一次函数的实际应用)、用一元一次不等式解决实际问题 【分析】本题考查一次函数的应用，一元一次不等式的应用，熟练根据题意正确列出式子是解题的关键．先根据题意和表格中的数据可以得到与的函数关系式，再根据题意可以的得到相应的不等式，从而可以解答本题． 【详解】解：设承包商购买种树苗棵，承包商获得的利润为元， 根据题意可得， 即与之间的函数关系式是； ∵政府要求栽植这批树苗的成活率不低于， ∴， 解得， ∵，随的增大而增大， ∴当时，取得最大值，此时， 即承包商购买种树苗棵，能获得最大利润，最大利润是元， 故答案为：；． 变式3．（25-26八年级下·广东深圳·期中）某商店销售每台A型电脑的利润为100元，销售每台B型电脑的利润为150元，该商店计划同时购进A，B两种型号的电脑共100台（两种型号的电脑都要购买），设购进A型电脑x台，这100台电脑的销售总利润为y元． (1)求y与x的函数关系式； (2)该商店计划一次购进A，B两种型号的电脑共100台，其中B型电脑的进货量不超过A型电脑的2倍 ①共有多少种购买方案？ ②商店购进A型、B型电脑各多少台，才能使销售总利润最大？并求出最大利润． 【答案】(1) (2)①共有66种购买方案；②购进A型34台，B型66台时销售总利润最大，最大利润为13300元 【知识点】最大利润问题(一次函数的实际应用)、用一元一次不等式解决实际问题 【分析】（1）设购进A型电脑x台，则可得B型电脑为台，再写出y与x的函数关系式即可； （2）①根据题意求得的取值范围即可解答； ②利用一次函数的增减性，可得当时，取最大值． 【详解】（1）解：设购进A型电脑x台，则可得B型电脑为台， 根据题意； （2）①解：根据题意可得， 解得， ∵， ∴， ∵x为正整数， ∴共有种情况， 即共有66种购买方案； ②解：， 随的增大而减小， 当时，取最大值， （台） 答：购进A型34台，B型66台时销售总利润最大，最大利润为13300元． 【题型三】行程问题(一次函数的实际应用) 例6．（25-26八年级下·重庆·期中）小华和小明是同班同学，也是邻居，某日早晨，小明先出发去学校，走了一段后，在途中停下吃了早餐，后来发现上学时间快到了，就跑步到学校；小华离家后直接乘公共汽车到了学校，如图是他们从家到学校已走的路程S（米）和所用时间t（分钟）的关系图，则下列说法中错误的是（   ） A．小明家和学校距离1200米 B．小华乘公共汽车的速度是240米/分 C．小华乘坐公共汽车后与小明相遇 D．小明从家到学校的平均速度为60米/分 【答案】C 【知识点】行程问题(一次函数的实际应用) 【分析】通过图像可得小明家距离学校1200米，小华家也是，得知距离时间即可算出速度． 【详解】解：A．由图可得小明家距离学校1200米，故A正确，不符合题意； B．小华从家到学校用时分钟， 小华乘公共汽车的速度为米/分，故B正确，不符合题意； C．（分钟）， （分钟）， ∴小华乘坐公共汽车后与小明相遇的时间为，故C错误，符合题意； D．小明从家到学校的平均速度为米/分． 例7．（25-26八年级下·山东菏泽·期中）春节期间，小明跟爸爸妈妈一起自驾去外地旅游，出发前将油箱加满油．如表记录了轿车行驶的路程与油箱剩余油量之间的部分数据如下表： 轿车行驶的路程 油箱剩余油量 则油箱剩余油量与行驶的路程之间的函数关系式为______． 【答案】 【知识点】求一次函数解析式、行程问题(一次函数的实际应用) 【分析】由表格数据变化规律可知，油箱剩余油量与行驶路程满足一次函数关系，利用待定系数法解答即可求解． 【详解】解：由表中数据的变化规律可知，是的一次函数，设与的函数关系式为， 将，代入，得， 解得， ∴与之间的函数关系式为． 例8．（25-26八年级下·北京通州·期中）小明和同学们组建一个骑行队，周日小明率领骑行队的队员们一起从通州区的绿心公园出发，骑行去怀柔区的雁栖湖的国际会议中心．从通州区的绿心公园到雁栖湖国际会议中心的骑行路线全长约69千米，如果他们早上从通州区绿心公园出发，骑行速度是12千米／小时，骑行队计划在骑行到全路程处，休息20分钟，然后按照原速度继续骑行，出发小时后，距雁栖湖国际会议中心还有千米． (1)求（千米）与（小时）的函数表达式； (2)在平面直角坐标系中，画出函数图像． 【答案】(1) (2)见解析 【知识点】画一次函数图象、行程问题(一次函数的实际应用) 【分析】（1）分三个阶段分别求出函数解析式即可； （2）根据（1）的函数解析式画出函数图像即可． 【详解】（1）解：休息时骑行的路程千米，剩余距离为千米 休息时出发后的时间为， ∴当时，（千米）与（小时）的函数表达式为； 当，（千米）与（小时）的函数表达式为； 当，（千米）与（小时）的函数表达式为； 综上，． （2）解：根据题意画出函数图像如下： ． 变式1．（25-26八年级下·全国·课后作业）小明从东江湖游客中心出发，渔夫从东江大坝出发，两人走同一条航线且相向而行，他们与东江大坝的距离s（单位：km）与时间t（单位：h）之间的函数关系如图所示，则下列说法错误的是（    ） A．东江湖游客中心与东江大坝相距12km B．渔夫与东江大坝的距离s关于时间t的函数表达式为 C．两函数图象的交点表示小明和渔夫相遇 D．渔夫的速度比小明快0.8km/h 【答案】D 【知识点】行程问题(一次函数的实际应用) 【分析】本题主要考查了一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 由图可直接判断选项A；由图可直接求得关系式即可判断选项B；交点表示两人相遇即可判断选项C；由图求得各自的速度再相减即可判断选项D． 【详解】解：A、由图可知，东江湖游客中心与东江大坝相距，A选项说法正确，不符合题意； B、设渔夫与东江大坝的距离关于时间的函数表达式为，将代入，得，解得，所以，B选项说法正确，不符合题意； C、两函数图象的交点表示小明和渔夫与东江大坝的距离相等，故也表示两人相遇，C选项说法正确，不符合题意； D、，，小明的速度比渔夫快，D选项说法错误，符合题意． 故选：D． 变式2．（25-26八年级下·北京通州·期中）为落实“健康第一”的理念，实施学生体质强健计划，学校体育课上加强了学生的长跑训练．在一次女子1000米耐力测试中，小蕊和小敏在校园内200米的环形跑道上同时同向起跑，同时到达终点．所跑的路程（米）与所用的时间（秒）之间的函数图象，如图所示，则她们第一次相遇的时间是在起跑后的第____________秒． 【答案】 【知识点】行程问题(一次函数的实际应用) 【分析】根据函数图象，分别求得直线，的解析式，联立解析式求得交点坐标，即可求解． 【详解】解：如图， 设直线的解析式为，代入 得， 解得， 故直线的解析式为， 设的解析式为， 由题意得：， 解得：， ∴的解析式为， 当时，， 解得：． 则她们第一次相遇的时间是起跑后的第秒． 变式3．（25-26八年级下·江苏南通·期中）“一盔一带、注意安全！”某天小华乘坐妈妈骑的电瓶车上学，骑行一段时间后，小华发现自己没戴头盔，于是她们又原路返回到刚经过的头盔售卖点，买到头盔后继续赶往学校．以下是她们本次行程中离家距离（米）与所用时间（分钟）之间的关系示意图．根据图中提供的信息回答下列问题： (1)小华家到学校的距离是__________米，她们中途停留了_________分钟． (2)本次上学途中，她们一共用了__________分钟，一共骑行了_________米． (3)按照《道路交通安全法》的规定，骑电瓶车的速度超过250米/分就超越了安全限度．问：在整个上学的途中哪个时间段她们骑行的速度最快，最快速度在安全限度内吗？从遵守交通法规的角度，请你写一条好的建议． 【答案】(1)1500； (2)18；2700 (3)分钟她们骑行的速度最快，最快速度不在安全限度内；建议骑电瓶车时不超速行驶，自觉遵守交通法规． 【知识点】从函数的图象获取信息、行程问题(一次函数的实际应用) 【分析】本题考查了一次函数的实际应用（行程问题的函数图像解读），解题的关键是理解图像中横、纵坐标的含义，分析每一段图像对应的行程状态（行驶、停留、往返），结合速度公式进行计算与分析． （1） 家到学校的距离为图像终点的纵坐标值；停留时间为图像中水平线段对应的时间差； （2） 总用时为图像终点的横坐标值；总骑行路程为各段行驶路程之和（含往返）； （3） 分段计算各时间段的速度，比较大小判断最快速度，再与安全限度250米/分比较，最后提出合理建议． 【详解】（1）解：由图像可知， 小华家到学校的距离为图像终点纵坐标：1500 米．中途停留时间为水平线段对应的时间差： 分钟． 故答案为：1500；． （2）解：总用时为图像终点横坐标：18分钟． 总骑行路程为各段行驶路程之和： 米． 故答案为：18；2700 （3）解：分段计算各时间段速度: 0～6分钟:米/分． 分钟:米/分． 分钟:米/分． ， 分钟速度最快，为300米/分, ∵， 超过安全限度，不在安全限度内． 建议：骑电瓶车时要控制车速，不超速行驶，自觉遵守交通法规． 答：分钟她们骑行的速度最快，最快速度不在安全限度内；建议骑电瓶车时不超速行驶，自觉遵守交通法规． 【题型四】梯度计价问题 例9．（2026·江苏苏州·模拟预测）某市出租车收费标准：起步价10元（内），超过3公里后每公里加收2元．小明乘坐出租车行驶了公里，费用为元，则与的函数关系式为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】梯度计价问题 【分析】本题主要考查了一次函数解分段计费问题，熟练掌握运用一次函数解分段计费问题的方法是解题的关键． 根据出租车收费标准，起步价10元覆盖，超过后每公里加收2元，当时，总费用由起步价和超过部分的费用组成． 【详解】解：∵起步价10元覆盖，则超过部分为， 根据题意得：． 故选：A． 例10．（25-26八年级下·福建南平·期中）某水果批发市场香蕉的价格如下表： 一次购买香蕉数（千克） 不超过千克 千克以上但不超过千克 千克以上 每千克价格 元 元 元 若小强购买香蕉千克（大于）付了元，则关于的函数关系式为__________． 【答案】 【知识点】梯度计价问题 【详解】解：大于千克，单价为元， 数量为千克， ． 例11．（25-26八年级下·河南周口·期中）为响应绿色出行，某共享单车公司收费标准如下：骑行不超过1小时收费3元；超过1小时的部分，每小时收费2元(不足1小时按1小时算)．设骑行时间为x小时(，且x为正整数)，总费用为y元． (1)求y与x之间的函数关系式； (2)若小明骑行3.5小时，应付多少元？ (3)若小明付费11元．他最多骑行了几小时？ 【答案】(1) (2)9元 (3)最多骑行5小时 【知识点】梯度计价问题 【分析】（1）根据收费标准求解即可； （2）将代入求解； （3）将代入求解． 【详解】（1）解：根据题意得，； （2）解：骑行3.5小时按4小时算， ∴将代入得，（元） ∴应付9元； （3）解：令，得 解得 答：最多骑行5小时． 变式1．（24-25八年级下·山西阳泉·期末）某市出租车收费标准如下：起步价元（以内，包含），超出部分每千米加收元（不足按计算）．设乘坐出租车行驶（为正整数且）的费用为元，则关于的函数关系式是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】梯度计价问题 【详解】本题考查了一次函数的应用，根据出租车收费标准，建立费用与行驶里程的函数关系式即可，读懂题意，列出函数关系式是解题的关键． 【分析】解：当行驶里程（为正整数）时，费用由起步价和超出部分费用组成： 起步价：以内，包含为元， 超出部分：超出部分每千米加收元，超出里程为，费用为元， ∴关于的函数关系式是， 故选：． 变式2．（24-25八年级下·辽宁大连·期末）从大连发快递到北京，某快递公司收费标准如下：快递物品不超过千克收费元，超过千克的部分每千克收费元，设快递物品的重量为千克，那么从大连发快递到北京的快递费（元）与物品重量（千克）的函数表达式为___________． 【答案】 【知识点】梯度计价问题 【分析】本题考查一次函数的应用，依据题意得，从而可以判断得解．解题时要能读懂题意，列出关系式是解题的关键． 【详解】解：由题意得：， ∴． 故答案为：． 变式3．（25-26八年级下·全国·课后作业）某风景区集体门票的收费标准如下：30人以内（含30人），每人35元；超过30人，超出的人数每人20元． (1)写出应收门票费用y（单位：元）关于游览人数的函数表达式． (2)如果某单位有45人去该风景区游览，那么购买门票的费用为多少元？ (3)若某单位购买门票花了1650元，则该单位组织了多少人去该风景区游览？ 【答案】(1) (2)1350元． (3)该单位组织了60人去该风景区游览． 【知识点】梯度计价问题、求一次函数解析式 【分析】（1）当人数时，门票费用由人基础费用和超出人的额外费用两部分组成，将两部分相加并整理成函数表达式． （2）已知人数，直接代入（1）中得到的函数表达式计算费用． （3）先判断费用元对应的人数是否超过人，再代入函数表达式解方程求人数． 【详解】（1）解：． （2）解：将代入，得． 故购买门票的费用为元． （3）解：由题意知，该单位组织去该风景区游览的人数超过． 将代入，得， 解得． 故该单位组织了人去该风景区游览． 【点睛】本题考查了分段函数的实际应用，掌握分段收费问题需先判断区间，再代入对应表达式计算是解题的关键． 【题型五】其他问题(一次函数的实际应用) 例12．（25-26八年级下·福建泉州·期中）一根蜡烛长，点燃后每小时燃烧，这根蜡烛点燃后剩下的长度h（单位：）与点燃时间t（单位：h）之间的关系式是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】其他问题(一次函数的实际应用) 【详解】解：∵蜡烛原长为，点燃后每小时燃烧， ∴小时燃烧的长度为， 又∵剩下长度 = 原长 燃烧的长度， ∴，整理得． 例13．（25-26八年级下·广东广州·期中）张华有元零花钱去购买个单价为元的书包，剩余的钱数为元．则关于的函数解析式______． 【答案】（，且为整数） 【知识点】其他问题(一次函数的实际应用) 【分析】根据剩余的钱数等于总钱数减去购买书包所花费的钱数即可得到函数解析式，并根据实际意义确定的取值范围． 【详解】解：根据题意得，． 令，解得， ，且为整数， 关于的函数解析式为（，且为整数）． 例14．（25-26八年级下·陕西西安·期中）人工智能被称为世界三大尖端技术之一，近年来得到了迅猛发展，某校积极响应国家“科教兴国”战略，开设智能机器人编程的校本课程，学校计划购买、两种型号的机器人模型共50个，型号、型号机器人模型的单价分别为400元、240元，设学校购买型号机器人模型个，购买这两种型号机器人模型共花费元． (1)求与之间的函数关系式（无需写出取值范围）； (2)若购买型号机器人模型的数量不超过型号机器人模型数量的，问购买型号机器人模型多少个时花费最少？最少费用是多少元？ 【答案】(1) (2)购买A型号机器人模型30个时花费最少，最少费用是16800元 【知识点】用一元一次不等式解决实际问题、其他问题(一次函数的实际应用) 【分析】（1）根据总费用为两种机器人费用之和，代入数量和单价列出函数关系式，化简即可； （2）先根据B型数量的限制条件列出不等式，求得x的取值范围，再根据一次函数的增减性，即可求出最小花费和对应的购买数量． 【详解】（1）解：学校购买A型号机器人模型个，则购买B型号机器人模型个． 根据题意，总花费， 化简得， 即与之间的函数关系式为； （2）解：根据题意，得， 解得． 在函数中，， 因此随的增大而增大， 所以当时，取得最小值， 代入得（元）． 答：购买A型号机器人模型30个时花费最少，最少费用是16800元． 变式1．（25-26八年级下·河北衡水·期中）某游泳馆更换了游泳池的循环水设备，现需要给游泳池注水检测设备，已知游泳池的容积为，打开进水口注水时，游泳池的蓄水量与注水时间之间满足一次函数关系，其图象如图所示，下列说法错误的是（    ） A．该游泳池内开始注水前已经蓄水 B．与之间的函数关系式为 C．当注水时，游泳池的蓄水量为 D．当游泳池注满水时，所需时间为 【答案】D 【知识点】其他问题(一次函数的实际应用) 【分析】从函数图象中获取信息，待定系数法求出一次函数的解析式，逐一进行判断即可. 【详解】解：由图象可得，该游泳池内开始注水前已经蓄水，故 A 选项不符合题意； 设与之间的函数关系式为，将点代入，得，将点代入，得， ∴，故 B 选项不符合题意； 当时，，故 C 选项不符合题意； 当时，， ∴当时，游泳池并未注满水，故 D 选项符合题意. 变式2．（25-26八年级下·福建福州·期中）小王在学习了摩擦力的相关知识后，在斜面拉动木块实验：如图用弹簧测力计拉着重为的木块分别沿倾斜程度不同的斜面向上做匀速直线运动．经测算，在弹性范围内，沿斜面的拉力近似是高度的一次函数．当斜面水平放置在地面上时，弹簧测力计的读数为，高度h每增加，弹簧测力计的读数增加，若弹簧测力计的最大量程是，则装置高度h的最大值为________． 【答案】0.875 【知识点】其他问题(一次函数的实际应用) 【分析】根据题意利用待定系数法求出与的函数关系式，根据弹簧测力计的最大量程列出一元一次方程，解方程即可求出装置高度的最大值． 【详解】解：设拉力与高度的函数关系式为 由题意可知，当时，，则 ∵高度每增加，拉力增加 ∴ ∴函数关系式为 当时， 解得 ∴装置高度的最大值为 变式3．（25-26八年级下·云南昆明·阶段检测）小星在家做家务时发现纸杯的个数和叠放的高度有一定的规律，于是就想用学过的数学知识进行探究，如图是个纸杯和个叠放在一起的纸杯的示意图，小星通过测量纸杯的数据得到如下表格： 纸杯的个数/个 纸杯叠放的总高度 请你帮他完成相关问题的探究． (1)表中 ， ； (2)写出满足表格中数据的一个函数解析式，并计算出个纸杯叠放的总高度． 【答案】(1)， (2)， 【知识点】其他问题(一次函数的实际应用) 【分析】（）根据表格数据的变化规律解答即可求解； （）根据表格数据的变化规律求出与的函数解析式，再把代入计算即可求解； 本题考查了一次函数的应用，由表格数据找出变化规律是解题的关键． 【详解】（1）解：由表格数据可知，增加一个纸杯高度增加， ∴， ∵ ，， ∴， 故答案为：，； （2）解：∵增加一个纸杯高度增加 ∴， ∴满足表格中数据的函数解析式为， ∴当时，，即个纸杯叠放的总高度为． 【题型六】一次函数与几何综合 例15．（2026·广东惠州·一模）如图，位于第二象限，已知，，点的坐标为，点的坐标为．若直线与有交点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】一次函数与几何综合 【分析】先根据已知求出点B的坐标，再将A、B的坐标代入直线， 分别求出对应的b的值，即可得解． 【详解】解：∵点的坐标为，点的坐标为， ∴， ∵，，点的坐标为， ∴点的坐标为， 分别将点和点的坐标代入直线，得到和， 则的取值范围为． 故选：D． 例16．（25-26八年级下·重庆·期中）如图，直线的解析式是，点C在直线上，其坐标是．连接，D为一次函数图象上的一点，过点D分别作轴，轴，垂足分别为E，F；若，则点D的坐标是______________． 【答案】 【知识点】一次函数与几何综合、利用平方根解方程、求一次函数解析式 【分析】将点的坐标代入直线解析式即可求出的值，根据勾股定理求出，结合已知条件求出的值，设点的坐标，利用两点间距离公式列方程求解，最后根据确定点的位置． 【详解】解：∵点在直线上， ， 解得：， ∴直线的解析式为， ∵，， ， ， ，即， 设点的坐标为， ， ， ， 解得，， 当时，，此时点坐标为， 当时，，此时点坐标为， 直线与轴交于点，与轴交于点， 点为线段的中点， 若点为，则点在线段上，此时，不符合题意． ∴． 例17．（25-26八年级下·河北唐山·期中）如图，点从原点出发，每次向上平移个单位长度或向右平移个单位长度． (1)【操作】在图中分别描出点从点出发平移次和平移次后可能到达的所有点． (2)【探究】 ①观察图象，判断平移次后可能到达的所有点是否在同一条直线上，若是，求出直线的解析式，并证明，若不是，请说明理由； ②直接写出平移次后可能到达的点所在图象的解析式． (3)【应用】 若点从点出发经过次平移后，到达直线上的点，且平移的路径长满足，直接写出点的坐标． 【答案】(1)描点见解析 (2)①是，，证明见解析；② (3)或 【知识点】求一次函数解析式、由平移方式确定点的坐标、一次函数与几何综合 【分析】（1）分别列举平移次和次的所有方向组合，计算对应坐标后在坐标系中描点； （2）①先取平移次的两个端点用待定系数法求直线解析式，再验证第三个点满足该解析式；②设向右平移次，则向上平移次，用表示横纵坐标，消去参数得到次平移的通用解析式； （3）设向右平移次、向上平移次，由点在上得，结合路径长的范围求整数解，进而得到点坐标． 【详解】（1）解：平移次后可能到达的点：向右平移次：；向上平移次：； 平移次后可能到达的点：两次都向右：；一次向右一次向上：；两次都向上：； 在坐标系中描点如下： （2）解：①是，平移次后可能到达的所有点在同一条直线上； 设直线的解析式为，把、代入，得 ， 解得， ∴直线的解析式为， 当时，， ∴在直线上， ∴、、在同一条直线上； ②； 平移次后，设向右平移了次（为整数，），则向上平移了次， 横坐标为，纵坐标为， 因此，平移次后可能到达的点所在图象的解析式为：； （3）解：点的坐标为或； 设向右平移次，向上平移次（，为非负整数），总平移次数， 点在直线上，故横坐标等于纵坐标，即， 路径长为总移动距离：， 代入得， 由，得， 因为是整数，所以或： 当时，，点； 当时，，点， 综上，点的坐标为或． 变式1．（25-26八年级下·河北秦皇岛·月考）如图，点在直线上且位于第一象限，点，为坐标原点．若的面积为，则下列图象中，能正确反映与之间的函数关系的是（    ）（注：不包含的点用空心圆圈表示） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】一次函数与几何综合 【分析】根据点的坐标求出的长，利用三角形面积公式得出与的关系，再代入得到与的函数解析式，最后根据点在第一象限确定自变量的取值范围，结合函数性质判断图象即可． 【详解】解：∵点的坐标为，为坐标原点， ∴， ∵点在第一象限， ∴，边上的高为， ∴， ∵点在直线上， ∴， ∵点在第一象限， ∴， 即， 解得， 能正确反映与之间的函数关系的只有D． 变式2．（25-26八年级下·四川成都·期中）如图，把放在平面直角坐标系内，其中，，点A，B的坐标分别为，，将沿x轴向右平移，当线段扫过的面积为16时，点C落在直线上，则k的值为______． 【答案】2 【知识点】一次函数与几何综合、利用平移的性质求解 【分析】根据题意得出，，再由题意得出，即向右平移4个单位长度，确定，代入函数解析式即可． 【详解】解：如图所示： ， ∵点A、B的坐标分别为，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵线段扫过的面积为16， ∴， ∴，即向右平移4个单位长度， ∴， ∵点在直线上， ∴，解得． 变式3．（25-26八年级下·北京海淀·期中）在平面直角坐标系中，为矩形内（不包括边界）一点，过点分别作轴和轴的平行线，这两条平行线分矩形为四个小矩形，若这四个小矩形中有一个矩形的周长等于，则称为矩形的矩宽点． 例如：下图中的为矩形的一个矩宽点． (1)在点中，矩形的矩宽点是_____； (2)若为矩形的矩宽点，求的值； (3)已知点的坐标为，点的坐标为．若直线上存在矩形的矩宽点，直接写出的取值范围_____． 【答案】(1)D、F； (2)或； (3)或 【知识点】一次函数与几何综合、根据矩形的性质求线段长 【分析】（1）根据矩宽点的定义即可判断； （2）根据矩宽点的定义分四种情况构建方程，再解方程，即可解决问题； （3）由题意先求解矩形的矩宽点满足的方程及函数解析式，可得矩形的矩宽点只能在线段，，，上（不包括端点），其中，，，，，，分别求出直线经过D、E、Q、R、K时的n的值即可解决问题． 【详解】（1）解：∵， ∴点D是矩宽点， 如图，显然不是矩宽点， 如图， ∴， ∴点F是矩宽点； （2）解：如图， ∵为矩形ABCO的矩宽点， ∴或或或， 解得或或或， 经检验不符合题意，舍去，不符合题意，舍去， ∴或； （3）解：如图中由题意可知，矩形的矩宽点满足的方程为： 或或或 整理得： 所以矩形的矩宽点只能在线段，，，上（不包括端点），其中，，，，，， 观察图象可知当直线与线段、、、有交点时，直线上存在矩形的矩宽点， 设直线解析式为， 则， 解得， ∴， 当直线经过点E时，，解得， 当直线经过点Q时，，解得， 当直线经过点K时，，解得， 当直线经过点R时，，解得， 当直线经过点D时，，解得， 综上所述，满足条件的n的值为或． 一、单选题 1．某市规定每户每月用水量不超过吨，每吨价格元；用水量超过吨时，超过部分每吨水价为元．下图中能表示每月水费与用水量关系的示意图是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数的图像，根据选项依次判断即可． 【详解】A、图像表示每吨的价格不变，不符合题意； B、图像表示用水到一定量后，每吨的价格下降，不符合题意； C、图像表示用水到一定量后，每吨的价格上升，符合题意； D、图像表示用水量在一定量以前，总价不变，用水到一定量后，每吨的价格上升，不符合题意． 故选：C． 2．如图，直线分别与轴，轴交于，两点，是线段上任意一点（不包括端点），过点分别作两坐标轴的垂线与两坐标轴围成的长方形的周长为，则该直线的函数表达式是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】一次函数的应用，设 P点坐标为，由坐标的意义可知 ，，根据围成的矩形的周长为，可得到 x、y之间的关系式． 【详解】解：如图，过点分别作轴，轴，垂足分别为、， 设点坐标为， 点在第一象限， ，， 矩形的周长为， ， ， 即直线的函数表达式是， 故选择：B． 3．已知A，B两地相距，甲，乙两车分别匀速从A，B两地出发，相向而行．甲车先出发，甲，乙两车离B地的路程与甲车行驶时间之间的函数图象如图所示．下列结论：①甲车的平均速度是60千米/小时；②乙车的平均速度是80千米/小时；③乙车从B地到A地用了小时，正确的是（    ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【答案】A 【分析】本题考查了一次函数的应用，解题的关键是根据题意结合图象说出其图象表示的实际意义，这样便于理解题意及正确的解题．利用图象信息以及速度，时间，路程之间的关系一一判断即可 【详解】解：由图象可得，甲车从A地到B地共用时4小时， ∴甲车的平均速度为（千米/小时）， 两地相距，甲车行驶时间， ∴甲车离B地的路程s与t之间的函数关系式为． 由图可知：当时，两车相遇，此时， ∴乙车的速度为（千米/小时）， 乙车从B地到A地用了（小时）， 故正确的是①②， 故选：A． 4．经验表明，树在一定的成长阶段，其胸径（树主干的直径）越大，树就越高．通过测量某种树，得到如表： 胸径 树高 已知树高是其胸径的一次函数．如表几对数值中不能满足与的函数关系式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查一次函数的实际运用，掌握待定系数法求函数解析式，一次函数性质，是解决问题的关键． 设，将，代入解方程组，得到，把代入，得． 【详解】解：设， 将，代入， 得， 解得， ∴； 当时，． 当时，． 当时，． ∴不能满足y与x的函数关系式的是． 故选：C 5．随着暑假临近，某游泳馆推出了甲、乙两种消费卡，设消费次数为时，所需费用为元，且与的函数关系如图所示．根据图中信息判断，下列说法错误的是（   ） A．消费次数为时，选择甲、乙两种消费卡所需费用一样 B．消费次数为6时，选择甲种消费卡划算 C．消费次数为时，选择乙种消费卡划算 D．消费次数为2时，选择乙种消费卡所需费用为元 【答案】D 【分析】先根据图象的交点和不同区间内两条直线的上下位置关系，直接判断不同消费次数下甲、乙两种消费卡的费用高低，对于无法直接从图象判断具体费用的选项，通过待定系数法求出乙消费卡对应的一次函数解析式，代入消费次数计算出具体费用后再进行正误判断． 【详解】解：由图象可知，甲、乙两条直线在处相交，交点纵坐标为；在时，甲的直线在乙的下方；在时，乙的直线在甲的下方． 对于选项A，当时，甲、乙两直线交于同一点，说明此时两种消费卡所需费用一样，选项A正确； 对于选项B，当时，此时甲的直线位置低于乙的直线，说明甲种消费卡的费用更低，选择甲种消费卡划算，选项B正确； 对于选项C，当时，此时乙的直线位置低于甲的直线，说明乙种消费卡的费用更低，选择乙种消费卡划算，选项C正确； 对于选项D，设乙消费卡的费用函数为，由图象可知该函数过点和， 将，代入得，解得， ． 当时，，不是元，选项D错误； 综上，错误的说法是D． 6．某商店销售一种进价为40元/千克的海鲜产品，据调查发现，月销售量y（千克）与售价x（元/千克）之间满足一次函数关系，部分信息如下表： 售价x（元/千克） 50 60 70 80 … 销售量y（千克） 250 240 230 220 … ①y与x之间的函数关系式为； ②当售价为72元时，月销售利润为7296元； ③当每月购进这种海鲜的总进价不超过5000元时，最大利润可达到16900元； ④销售这种海鲜产品，每月最高可获得利润16900元； 其中正确结论的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题主要考查了一次函数的应用，二次函数的应用，一元一次不等式的应用，根据题意，可设与之间的函数关系式为，再把将、代入，联立方程组，并解出，得出与之间的函数关系式，即可判断选项①；再根据一次函数的性质，得出当时，月销售量为千克，然后算出月销售利润，即可判断选项②；设月销售利润为，根据月销售利润等于每千克的利润乘以数量，得出，再根据题意，得出月销售量不超过千克，再根据一次函数，得出售价，然后代入，计算即可判断选项③；再根据二次函数的性质，即可判断选项④，综合即可得出答案． 【详解】解：设y与x之间的函数关系式为, 把代入到中得：， ∴， ∴y与x之间的函数关系式为,故①正确； 当时，，则此时利润为元，故②正确； 设月销售利润为元， ∴， ∵每月购进这种海鲜的总进价不超过元， ∴（千克），即月销售量不超过千克， ∴当时，即， 解得：， ∴（元），故③错误； ∵， ∴当时，有最大值，最大值为，即最高利润为元，故④正确． ∴正确的有3个， 故选：C。 7．网语期印，李明同学在老家学习生活，为缓解线上学习疲劳，在某个周末和爸爸进行登山锻炼，登山过程中，两人距地面的高度y(米)与登山时间x(分钟)之间的函数图像如图所示(甲为爸爸，乙为李明)，李明提速后，李明的登山速度是原来速度的2倍，并先到达山顶.根据图象所提供的信息，下列说法错误的是（  ） A．甲登山的速度是每分钟米 B．乙在A地时距地面的高度b为米 C．乙登山分钟时追上甲 D．登山时间为5分钟、8分钟、分钟时，甲、乙两人距地面的高度差为米 【答案】C 【分析】根据图像直接可求甲的速度，根据待定系数法找点代入即可得到解析式及b的值，根据交点问题联立求解即可得到相遇时时间，分别讨论高度差30时的方程即可解得时间． 【详解】解：由题意可得，，故A正确； 设 段解析式为，将代入即可得到，， ∴，将代入即可得到：，故B正确； 由上述可得甲的速度为，乙的速度为， ∵李明提速后，李明的登山速度是原来速度的2倍， ∴李明后来的登山速度是， 结合图像及路程=速度时间可得， 甲的解析式为：，乙的解析式为：， 当乙追上甲时有：， 解得：，故C错误； 当时，； 当时，； 当时，；故D正确； 故选C． 【点睛】本题考查一次函数的应用，解题的关键是根据题意找到相应的等量关系式列方程或方程组求解． 8．直线与y轴交于点A，与x轴交于点B，直线与直线关于x轴对称且过点（2，－1），则△ABO的面积为（    ） A．8 B．1 C．2 D．4 【答案】D 【分析】先根据轴对称可得直线经过点，再利用待定系数法可得直线的解析式，从而可得点的坐标，然后利用三角形的面积公式即可得． 【详解】解：直线与直线关于轴对称且过点， 直线经过点， 将点代入直线得：，解得， 则直线的解析式为， 当时，，即， 当时，，解得，即， 则的面积为， 故选：D． 【点睛】本题考查了点坐标与轴对称、求一次函数的解析式等知识，熟练掌握待定系数法是解题关键． 9．如图1所示，在平面直角坐标系中，将放置在第一象限，且轴．直线从原点出发沿x轴正方向平移，在平移过程中直线被平行四边形截得的线段长度l与直线在x轴上平移的距离m的函数图象如图2所示，则的面积为（    ） A．5 B．10 C． D． 【答案】B 【分析】根据函数图象中的数据可以分别求得平行四边形的边的长和边边上的高的长，从而可以求得平行四边形的面积． 【详解】解：作于点M，如图1所示， 由图象和题意可得，，，， ∴， ∵直线平行直线， ∴， ∴， ∴平行四边形的面积是：． 二、填空题 10．汽车邮箱中有汽油，如果不再加油，那么邮箱中的油量（单位：）随行驶路程（单位：）的增加而减少，耗油量为请写出与的函数关系式______ ． 【答案】 【分析】本题考查一次函数的实际应用，读懂题意，根据题意求出函数关系式即可得到答案． 【详解】解：由题意可知， 故答案为： ． 11．在化学实验中，将一定质量的锌粒放入足量的稀硫酸中，发生反应： ． 反应过程中，生成氢气的质量随时间变化的图象如图（横坐标表示反应时间，单位：分钟；纵坐标表示生成氢气的质量，单位：克）． 若该图象是一条过原点的直线，且当分钟时，克，则该倾斜直线的函数表达式为_________（用含的代数式表示不写t取值范围）；当生成氢气质量为克时，反应进行了_________分钟． 在第12分钟内，生成氢气的质量是_________克．   【答案】 7.5 【分析】本题考查一次函数的实际应用，从图象中有效的获取信息，正确的求出函数解析式，是解题的关键，待定系数法求出函数解析式，进而求出时的自变量的值，求出时的自变量的值，得到反应停止的时间，进而求出第12分钟内，生成氢气的质量． 【详解】解：设，把代入，得：， ∴， ∴； 当时，，解得：； 当时，，解得：； ∴第10分钟，反应结束， ∴在第12分钟内，生成氢气的质量是0克； 故答案为：；7.5；0 12．如图，矩形两边与坐标轴正半轴重合，是边上的一个动点，是经过，两点的直线上的一个动点，则的最小值是______．    【答案】8 【分析】先求解一次函数与坐标轴的交点坐标，再利用P的位置进行讨论，结合勾股定理可得答案． 【详解】解：∵， 当时，， ∴， 当时，， ∴， ∴， ∵是边上的一个动点， 如图，当在第二象限时，，则，    当在第四象限时，如图，，，    此时， ∴取得最小值时，在线段上，即； 此时当时，最小，P，Q重合时，P，Q之间距离为0， 设， 此时，如图，    ∴； 故答案为：8 【点睛】本题考查的是一次函数与坐标轴的交点坐标，垂线段最短的含义，勾股定理的应用，矩形的定义，坐标与图形，二次根式的除法运算，清晰的分类讨论是解本题的关键． 13．在平面直角坐标系中，一次函数的图象分别与x轴、y轴交于点A，B，若C为平面直角坐标系内一点，是以线段为底边的等腰直角三角形，则点C的坐标为______． 【答案】或 【分析】本题考查一次函数图象与坐标轴的交点问题，坐标与图形．求出的坐标，分点在直线的两侧，进行讨论求解即可．利用数形结合和分类讨论的思想进行求解，是解题的关键． 【详解】解：∵，当时，，当时，， ∴， 当点C在的右侧时，如图，过点作轴于点，轴于点，则，四边形为长方形， ∴， ∵为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴，即：， ∴， ∴， ∴； 当点在左侧时，同法可得：； 故答案为：或． 14．如图，在平面直角坐标系中，一次函数与坐标轴交于点A，B，点C为线段OA上一动点，过点C作于点D，过点D作轴，交y轴于点E，在直线DE上找一点F，使得，连接OF，则最小值为______． 【答案】 【分析】先求出点，可得，从而得到是等腰直角三角形，过点D作轴于点M，则，可得，设点C的坐标为，则，从而得到点，作点O关于直线的对称点，连接，则时，，则当点N，F，C共线时，的值最小，最小值为的长，再根据，可求出m的值，即可求解． 【详解】解：∵一次函数与坐标轴交于点A，B，， ∴当时，，当时，， ∴点， ∴， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， 如图，过点D作轴于点M，则， ∴， 设点C的坐标为，则， ∴， ∴， ∴点， ∵，， ∴， ∴， ∵轴， ∴， 作点O关于直线的对称点，连接，则时，， ∴当点N，F，C共线时，的值最小，最小值为的长， ∵轴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，解得：， ∴， ∴． 故答案为： 【点睛】本题主要考查了一次函数的几何应用，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，利用数形结合思想解答是解题的关键． 三、解答题 15．某商店销售A，B两种商品，售价与成本如表所示： A，B商品售价与成本 A种商品 B种商品 售价（元/件） 120 80 成本（元/件） 110 65 该商店销售A，B两种商品共200件，设其中A种商品销售x件，总利润为y元． (1)求y与x的函数关系式； (2)为了开拓市场，该商店购进A种商品不得少于50件．为了获得最大利润，应购进A，B两种商品各多少件?可获得的最大利润为多少元? 【答案】(1) (2)为了获得最大利润，应购进A，B两种商品各50件，150件，可获得的最大利润为2750元． 【分析】（1）根据利润=（售价-成本）×数量进行求解即可； （2）根据一次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：由题意得 （2）解：∵该商店购进A种商品不得少于50件， ∴， ∵， ∴y随x增大而减小， ∴当时，y有最大值，最大值为， 200-50=150件， ∴为了获得最大利润，应分别购进A，B两种商品50件，150件，可获得的最大利润为2750元． 【点睛】本题主要考查了一次函数的实际应用，列函数关系式，熟知一次函数的相关知识是解题的关键． 16．已知：一次函数 (1)在直角坐标系中画出一次函数的图象； (2)求函数图象与坐标轴围成的三角形的面积． 【答案】(1)见解析 (2)4 【分析】本题考查一次函数的图象的画法和三角形的面积．掌握数形结合思想是解题关键． （1）确定一次函数与坐标轴的交点，过这两点作直线即可画出函数图象； （2）图象与坐标轴围成的三角形为直角三角形，根据（1）中的交点坐标即可求得三角形面积． 【详解】（1）解：当时，， 当时，，解得， ∴一次函数的图象与坐标轴交于，， 画图如下： （2）解：由图象可知：三角形的面积． 17．现提供一居民家某月电费发票的部分信息如下表所示： 市居民电费专用发票 计费期限：一个月 用电量（度） 单价（元/度） 阶梯一： 阶梯二：（超出部分） 本月实付金额（元） 根据以上提供的信息解答下列问题： (1)如果月用电量用x（单位：度）来表示，实付金额用y（单位：元）来表示，请你写出这两种情况实付金额y与月用电量x之间的函数关系式； (2)请你根据表中本月实付金额计算一下，这个家庭一个月的实际用电量． 【答案】(1)， (2)200度 【分析】（1）分用电量小于130度时，成正比例函数关系，实付金额等于单价乘以用电度数，度时，成一次函数关系，实付金额等于130度内的用电付出金额与超出130度的用电付出金额的和，然后即可得到与的函数关系式； （2）先计算出元的用电量超出130度，然后把实付金额代入函数关系式进行计算即可得解． 【详解】（1）解：当时，； 当时，； （2）， 用电量多于130度， ， 答：这个家庭一个月的实际用电量为200度． 【点睛】本题考查了一次函数的应用，解题的关键是要根据用电量的多少分阶梯求出实付电费与用电量之间的函数关系． 18．如图，已知中，，，直线的函数解析式是． (1)求证：； (2)求的面积． 【答案】(1)见解析 (2)6 【分析】求出，，根据全等三角形的判定定理可证明≌； 由全等三角形的性质得出，根据三角形面积公式可得出答案． 【详解】（1）证明：令， ， ， 令，， ， ，， ，， 在和中， ， ； （2）解：， ， ，， ． 19．供销商场购进甲、乙两种洗衣机共80台进行销售，其中乙洗衣机的数量不超过甲洗衣机的3倍，甲洗衣机每台利润为500元，乙洗衣机每台利润为600元．设购进甲洗衣机（台），这80台洗衣机全部售出的总利润为（元）． （1）求关于的函数表达式； （2）当甲洗衣机购进多少台时，销售总利润最大？最大利润是多少？ 【答案】（1）；（2）当甲洗衣机购进20台时，销售总利润最大，最大利润是46000元 【分析】（1）设购进甲洗衣机台，则购进乙洗衣机台，根据题意即可列出函数表达式； （2）根据“乙洗衣机的数量不超过甲洗衣机的3倍”列出不等式，可得，利用一次函数的性质即可求解． 【详解】解：（1）设购进甲洗衣机台，则购进乙洗衣机台， ∴； （2）∵乙洗衣机的数量不超过甲洗衣机的3倍， ∴，解得， ∵，W随x的增大而减小， ∴时，的值最大，最大值（元）， 答：当甲洗衣机购进20台时，销售总利润最大，最大利润是46000元． 【点睛】本题考查一次函数的应用，根据题意列出一次函数关系式是解题的关键． 20．如图，在正方形中，点是边上一点（不与点重合），过点作于点，交延长线于点． (1)求证：． (2)点从点向点运动过程中，设，，求与的函数表达式，并写出自变量的取值范围． 【答案】(1)见解析 (2)（） 【分析】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形外角的定义和性质，一次函数的应用： （1）通过导角证明，进而证明，即可得出； （2）由可得，由三角形外角的性质可得，进而可得． 【详解】（1）证明：四边形是正方形， ，， ， 于点， ， ， 在和中， ， ， ； （2）解：四边形是正方形， ， ， ， ， ，即， 点是边上一点（不与点重合）， ， ， 与的函数表达式为（）． 21．研学活动被称为“行走的课堂”，可以促进学生全面发展．某校组织学生从学校出发，乘坐大巴车前往基地进行研学活动．大巴车出发后，学校因事派人乘坐轿车沿相同路线追赶．已知轿车出发后追上大巴车，此时两车与学校相距．如图，，分别表示大巴车、轿车离开学校的路程与大巴车行驶的时间之间的函数图象． (1)分别求，所在直线的函数解析式； (2)求轿车出发多长时间后，轿车与大巴车首次相距． 【答案】(1)所在直线的函数解析式为；所在直线的函数解析式为 (2)轿车出发后，轿车与大巴车首次相距 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，一次函数的图象，一元一次方程的应用，看懂函数图象是解题的关键． （）由题意可得，再利用待定系数法解答即可求解； （）分别求出大巴和轿车的速度，再根据题意列出方程解答即可求解． 【详解】（1）解：由题意，得． 设所在直线的函数解析式为． 将代入上式，得， 解得． 所在直线的函数解析式为． 设所在直线的函数解析式为． 将代入上式，得， 解得， 所在直线的函数解析式为； （2）解：由题意，得大巴车的速度为． 轿车的速度为． 设轿车出发后，轿车与大巴车首次相距． 由题意，得， 解得． 答：轿车出发后，轿车与大巴车首次相距． 22．学校6名教师和234名学生外出黄冈遗爱湖湿地公园春游一天，计划租车总费用不超过2300元，每辆车上至少要有1名教师跟车．现有甲、乙两种客车可供租用，甲种车每车限载45人，乙种车每车限载30人，限载量均不含司机．按天计算，租1辆甲种车和2辆乙种车，共需租金1000元；租2辆甲种车和1辆乙种车，共需租金1100元． (1)求甲、乙两种车每天每车的租金； (2)求最省钱的租车方案． 【答案】(1)甲种车日租金为400元，乙种车日租金为300元 (2)租甲种车4辆，乙种车2辆，总租金最少，为2200元 【分析】（1）设甲种车日租金为a元/天，乙种车日租金为b元/天．根据题意：“租1辆甲种车和2辆乙种车，共需租金1000元”；“租2辆甲种车和1辆乙种车，共需租金1100元”；列出方程组，求解即可； （2）根据客车总数不能小于（取整为6）辆，即可求出共需租客车的辆数；设租甲种车x辆，乙种车（6﹣x）辆，由题意得出400x+300（6﹣x）≤2300，得出取值范围，分析得出即可． 【详解】（1）解：设甲种车日租金为a元/天，乙种车日租金为b元/天，则 ， 解得． 即甲种车日租金为400元，乙种车日租金为300元． （2）解：由每辆客车上至少要有1名老师，客车总数不能大于6辆， 又要保证所有师生有车坐，客车总数不能小于辆， 综合起来可知客车总数为6辆． 设共租车n辆，则＜n≤6， ∵n为正整数， ∴n＝6， 设租甲种车x辆，乙种车（6﹣x）辆，总费用记为y元，则 ， ∴4≤x≤5，x为整数， y＝400x+300（6﹣x）＝100x+1800， ∵k＝100＞0， ∴y随x增大而增大， ∴x=4时y取得最小值， ∴＝100×4+1800＝2200． 即租甲种车4辆，乙种车2辆，总租金最少，为2200元． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用和理解题意的能力及一次函数的应用，关键是根据题目所提供的等量关系和不等量关系，列出方程组和不等式求解． 23．八上数学课本69页，数学活动《折纸与证明》中告诉我们：折纸常常能为证明一个命题提供思路和方法，请用所学知识解决下列问题． （1）如图1，一个三角形的纸片中，，证明：． 小龙同学通过折叠纸片，将折叠到上，点与点重合，展开后得到折痕，如图2，折痕交于点，连接． 帮助小龙同学写出证明过程． （2）如图3，在平面直角坐标系中，点，点．直线交轴于点． ①求点坐标； ②直线过点，交轴于点，且，直线沿轴翻折恰好经过点，只用圆规在直线上求作点，使与直线所夹的锐角等于．（不写作法，保留作图痕迹） ③直接写出（2）中点的坐标． 【答案】（1）见解析；（2）①；②见解析；③，． 【分析】（1）由折叠的性质得到，再根据三角形外角的性质即可证明； （2）①先利用待定系数法求出直线的解析式，令，求出y的值，即可得到点E的坐标；②以点E为圆心，为半径画弧，交直线于点G，点，点G，点为所求；③先利用对称的性质求出点G的坐标，再利用待定系数法求出直线的解析式为，根据，利用两点的距离求解即可． 【详解】（1）证明：由折叠的性质得：， ， ， ； （2）解：①设直线的解析式为， 将，代入得：， 解得：， 直线的解析式为， 令，则， ； ②如图所示，以点E为圆心，为半径画弧，交直线于点G，点，点G，点为所求； 直线沿轴翻折恰好经过点， 直线与直线关于y轴对称， 点C与点G关于y轴对称， ， ， ； ③由②知点C与点G关于y轴对称，且，由①知， ， ， 设直线的解析式为， 将，代入得：， 解得：， 直线的解析式为， 设， ， ， ，即， 解得：，或， ， ， 综上，点G的坐标为，． 【点睛】本题考查了对称作图，对称的性质，一次函数综合问题，等腰三角形的性质，两点的距离，掌握对称的性质是解题的关键. 1 学科网（北京）股份有限公司 $