第11讲 函数（知识详解+12典例分析+习题巩固）2025-2026学年人教版八年级数学下册同步讲义与测试

第11讲 函数（知识详解+12典例分析+习题巩固） 【知识点01】常量和变量 定义：一般地，在一个变化过程中，我们称数值始终不变的量为常量，数值发生变化的量为变量. 说明： (1)“常量”是已知数，是指在整个变化过程中保持不变的 量；但“常量”不等于“常数”，它可以是数值不变的字母. 如在匀速运动中的速度v 就是一个常量. (3)变量与字母的指数没有关系，如在y＝2x²中，x是变量，而不能说x²是变量. 【知识点02】函数的概念 函数的定义：一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量x与y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说x是自变量，y是x的函数. 例如：在s＝60t中，有两个变量s与t，当t变化时，s也随之发生变化，并且对于t在其取值范围内的每一个 值，s都有唯一确定的值与之对应，我们就称t是自变量. s是t的函数.注意此处不能说s是函数 说明： (1)函数研究的对象不是数，而是一个变化过程中的两个变量； (2)函数中两个变量之间的关系是单向对应关系，即对于x 的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，但是对于一个确定的y值，与其对应的x的值可以不唯一； (3)函数中两个变量具有相对性，如表示y是x的函数，而将其变形成x＝2y－6 后，则表示x 是y 的函数. 【知识点03】函数自变量的取值范围与函数值 1. 自变量的取值范围 (1)定义：使函数有意义的自变量的取值的全体叫做自变量的取值范围. (2)确定自变量取值范围的方法：其一，要使函数关系式有意义；其二，对实际问题中的函数关系，还应该使实际问题有意义. (3)不同类型的函数自变量取值范围的确定 类型 特征 举例 取值范围 整式型 等号右边是关于自变量的整式 y＝2x²＋3x-1 全体实数 分式型 等号右边是关于自变量的分式 使分母不为0的实数 续表 类型 特征 举例 取值范围 根式型 二次根式 等号右边是关于自变量的二次根式 使根号下的式子为大于或等于0 的数 三次根式 等号右边是关于自变量的三次根式 全体实数 续表 类型 特征 举例 取值范围 幂型 等号右边是关于自变量的0 指数幂(或负整数指数幂) y＝(x－2)或y＝2(x－3) 使底数不为0的实数 复合型 含有上述两种或多种形式 使各部分都有意义的实数的公共部分 2. 函数值 (1)定义：如果对于自变量x在取值范围内的某个确定的数值a，函数y所对应的值为b，即当x＝a时，y＝b, 那么b 叫作当自变量的值为a时的函数值. (2)求函数值及自变量值的方法 ①当已知关系是函数关系时，求函数值，实质就是利用代入法求代数式的值. ②当自变量的值确定时，函数值是唯一确定的；当函数值确定时，求相应的自变量的值，就是解方程，对应的自变量的值可以不止一个，如y＝x²－1中，当y＝0时，x＝±1. 【知识点04】函数解析式 1.定义：用关于自变量的数学式子表示函数与自变量之间的关系是表示函数的常用方法，这种式子叫作函数的解析式. 2. 特点：(1)函数解析式是等式. (2)函数解析式中指明了哪个是自变量，哪个是函数，通常等式右边的代数式中的变量是自变量，等式左边的变量表示函数. (3)书写函数的解析式是有顺序的. 如y＝2x－1表示y是x的函数，若x＝2y－1，则表示x是y的函数. 即求y关于x的函数解析式时，必须用含x的代数式表示y，也就是等式左边是一个变量y，右边是一个含x的代数式. 【知识点05】函数的图象 1. 函数的图象 一般地，对于一个函数，如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形，就是这个函数的图象．通过图象可以数形结合地研究函数 拓展：函数图象上的任意一点的坐标(x，y)中的x，y均满足函数解析式；满足函数解析式的任意一对x，y的值，所对应的点一定在这个函数的图象上. 2. 描点法画函数图象的一般步骤 步骤 描述 注意 列表 表中给出一些自变量的值及其对应的函数值 根据自变量的取值范围取值时，要从小到大或自中间向两边选取，并且取值要有代表性，以便全面地反映函数图象的全貌 描点 在平面直角坐标系中，以自变量的值为横坐标，相应的函数值为纵坐标，描出表格中数值对应的各点 描点时取点越多，图象就越准确 连线 按照横坐标由小到大的顺序，把所描出的各点用平滑曲线连接起来 连线时用光滑的曲线，不要出现明显的拐弯点 【知识点06】从函数图象中获取信息 审图题注意四“清”：一清楚横、纵坐标的含义；二清楚图象与不同对象的关系；三清楚不同图象的起点和终点的含义；四清楚不同图象的“折点”含义. 【知识点07】函数的表示方法 函数是从数量关系的角度反映变化规律的数学模型，函数的三种主要表示方法及其特点如下表： 表示方法 定义 优点 缺点 解析法 用数学式子表示函数关系的方法叫作解析法，其中的等式叫作函数解析式 能准确地反映整个变化过程中自变量与函数的对应关系 从函数解析式很难直观看出函数的变化规律，而且有些函数不能用解析式法表示出来 列表法 通过列出自变量的值与函数的对应值的表格来表示函数关系的方法叫作列表法 一目了然，对表格中已有自变量的每一个值，可直接查出函数的对应值 列出的对应值是有限的，而且在表格中也不容易看出自变量与函数的变化规律 图象法 用图象来表示两个变量间的函数关系的方法叫作图象法 直观、形象地反映出函数关系变化的趋势和某些性质 从自变量的值常常难以找到对应的函数的准确值 【题型一】用表格表示变量间的关系 例1．（2026八年级下·全国·专题练习）刘老师到加油站加油，如图，这是他所用的加油机上某一时刻的数据显示牌，则其中的常量是（ ） A．金额 B．单价 C．数量 D．金额和数量 【答案】B 【知识点】用表格表示变量间的关系 【分析】本题考查常量和变量，正确理解常量与变量的定义是解题的关键．常量是固定不变的量，变量是变化的量． 【详解】解：∵常量是固定不变的量，变量是变化的量， ∴单价是不变的量，而金额随着数量的变化而变化， ∴常量是单价． 故选B． 例2．（24-25八年级下·山东滨州·期末）张大妈购进一批柚子，在集贸市场零售，已知卖出的柚子重量与销售额y（元）之间的关系如表所示： 重量/ 1 2 3 4 … 销售额/元 6 10 14 18 … 根据表中数据进行统计、分析可知，若卖出柚子，则销售额为_____元． 【答案】62 【知识点】用表格表示变量间的关系 【分析】本题主要考查了用表格表示变量之间的关系，由表格可知，每多卖出柚子，销售额就增加4元，据此在卖出柚子的销售额基础上加上再卖出柚子的销售额即可得到答案． 【详解】解：由表格可知，每多卖出柚子，销售额就增加4元， ∴若卖出柚子，则销售额为元， 故答案为：． 变式1．（23-24八年级下·内蒙古鄂尔多斯·期末）司机师傅到加油站加油，加油结束后，加油机显示牌上的数据如图所示，其中的常量是（   ） A．金额 B．数量 C．单价 D．金额和数量 【答案】C 【知识点】用表格表示变量间的关系 【分析】本题考查常量与变量，解题的关键是正确理解常量与变量，本题属于基础题型．根据常量与变量的定义即可判断． 【详解】解：常量是固定不变的量，变量是变化的量， 单价是不变的量，而金额是随着数量的变化而变化， ∴常量是：单价． 故选：C． 变式2．（24-25八年级下·陕西延安·月考）一个蓄水池有水，打开放水闸门放水，水池里的水和放水时间的关系如下表： 放水时间/ 1 2 3 4 5 … 蓄水池中的水量 50 48 46 42 … 解答下面的问题： (1)将表格补充完整； (2)根据表格中的数据，说明在放完水前，蓄水池中的水量随放水时间的增长怎样变化？ (3)当放水时间为时，蓄水池中的水量是多少立方米？ 【答案】(1)见解析 (2)蓄水池中的水量随放水时间的增长而逐渐减少 (3)当放水时间为时，蓄水池中的水量是 【知识点】用表格表示变量间的关系 【分析】本题主要考查了用表格表示变量之间的关系，正确读懂表格是解题的关键． （1）由表格可知，放水时间每增加一分钟，蓄水池中的水量就减小，据此求解即可； （2）根据表格可得，蓄水池中的水量随放水时间的增长而逐渐减少； （3）根据放水时间每增加一分钟，蓄水池中的水量就减小，计算求解即可． 【详解】（1）解：由表格可知，放水时间每增加一分钟，蓄水池中的水量就减小， ∴放水时，蓄水池中的水量为， 补全表格如下； 放水时间/ 1 2 3 4 5 … 蓄水池中的水量 50 48 46 44 42 … （2）解：由表格中的数据可得，蓄水池中的水量随放水时间的增长而逐渐减少； （3）解：， 当放水时间为时，蓄水池中的水量是． 【题型二】用关系式表示变量间的关系 例3．（25-26八年级下·广西桂林·月考）在圆周长计算公式中，变量有（　　） A．L，π B．L，r C．L，π，r D．2π，r 【答案】B 【知识点】用关系式表示变量间的关系 【分析】常量是变化过程中保持不变的量，变量是变化过程中可以发生变化的量，根据概念判断即可． 【详解】解：∵在圆周长公式中，和都是常量，随半径的变化而变化， ∴变量为和，则B符合题意． 例4．（25-26八年级下·全国·课后作业）将长为，宽为的长方形白纸，按照如图所示的方法粘合起来，粘合部分宽为．设x张白纸粘合后的总长度为，则y与x之间的关系式为______，其中常量是______，变量是______． 【答案】 ，12 x，y 【知识点】用关系式表示变量间的关系 【详解】解：设x张白纸粘合后的总长度为， ∴， 其中常量是，12，变量是x，y． 变式1．（25-26八年级下·全国·课后作业）某款汽车紧急刹车后滑行的距离s（单位：）大致满足，其中v（单位：）表示刹车前汽车的速度，这个关系式中的自变量和因变量分别是（    ） A．300；s B．s；300 C．s；v D．v；s 【答案】D 【知识点】用关系式表示变量间的关系 【分析】自变量是主动变化的量，因变量是随自变量变化而变化的量，据此判断即可． 【详解】解：∵在关系式中，刹车前汽车的速度是主动变化的量，滑行距离随的变化而变化， ∴自变量是，因变量是． 变式2．（25-26八年级下·全国·课后作业）写出下列各问题中的常量与变量． (1)每本练习本元，晓雯购买练习本的本数为n，所需的钱数m（元）； (2)用总长度为的篱笆刚好围成一个矩形场地，其中一边的长度为，矩形的面积为． 【答案】(1)练习本的价格元是常量，购买数量n和所需钱数m是变量 (2)矩形篱笆的总长度为常量，矩形其中一边的长度x与面积S是变量 【知识点】用关系式表示变量间的关系 【详解】（1）解： 练习本的价格元是常量，购买数量n和所需钱数m是变量； （2）解：， 矩形篱笆的总长度为常量，矩形其中一边的长度x与面积S是变量． 【题型三】用图象表示变量间的关系 例5．（25-26八年级下·四川内江·月考）如图，瓶子里水位高度为a，乌鸦喝不着水，于是乌鸦衔来一个个小石子放入瓶中，水位上升至瓶口b处，乌鸦喝到了水．设放入瓶中的石子个数为x，水位高度为y，假设每一颗石子的体积一样，下列图象中最符合情境的大致图象是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】用图象表示变量间的关系 【分析】分析y随x的变化而变化的趋势，由于原来水位较低，乌鸦衔来一个个小石子放入瓶中，水位将会上升，结合下面容器截面面积大于上面，由此即可作出判断． 【详解】∵乌鸦衔来一个个小石子放入瓶中，水位将会上升，但是下面容器截面面积大于上面， ∴水位上升的幅度较慢，后面水位上升的较快， ∴A符合题意，B，C，D不符合题意． 故选：A． 变式1．某商场调查发现，一商品的销售量与销售单价之间存在如图所示的关系．当销售单价为150元时，销售量约为___________件． 【答案】30 【知识点】用图象表示变量间的关系 【分析】本题考查图象法表示两个变量的关系，观察图象找出销售单价和销售量之间的关系，由销售单价140元时的对应销售量为40即可解题． 【详解】解：由图象找出销售单价和销售量的对应数值， 可得销售单价每增加10元，销售量对应减少10件， 因为销售单价为140元时，销售量为40件， 所以销售单价为150元时，是在140的基础上再增加10元，所以销售量要在40的基础上减少10件，所以为30件． 故答案为：30． 变式2．在一场比赛中，龟和兔从同一个起点出发，乌龟的速度始终保持不变，兔子比乌龟晚出发；兔子在第一次追上乌龟时，觉得自己胜利在望，停下休息了几分钟；但兔子又害怕输给乌龟，休息之后便加快速度追赶乌龟，最终二者同时到达终点．比赛过程中龟兔之间的距离s与时间t之间的关系如图所示， 请根据图象回答下列问题： (1)乌龟的速度为__________米/分，兔子在休息后的速度为__________米/分，比赛全程__________米； (2)骄傲的兔子在离开起点__________米时停下休息，休息了__________分； (3)请解释图中点A的实际意义：__________； (4)若兔子中途不休息，一直以休息前的速度参与比赛，将比乌龟早到达终点多少分钟？ 【答案】(1)1，，10 (2)5，3 (3)兔子比乌龟晚出发2分钟，此时乌龟走了2米 (4)若兔子中途不休息，一直以休息前的速度参与比赛，将比乌龟早到达终点2分钟 【知识点】用图象表示变量间的关系 【分析】本题考查了用图象表示变量之间的关系，从图象上获取信息等知识，理解图象的转折点是解题的关键； （1）根据点的意义，可得乌龟的速度，当时，兔子第一次追上乌龟，此时路程为，当时，兔子休息完，时，二者同时到达终点，根据路程除以时间得到兔子休息后的速度，根据总时间乘以乌龟的速度得到路程，即可求解； （2）根据图象可得当时，兔子第一次追上乌龟，开始休息，当时，两者距离最大，兔子休息完，即可求解； （3）根据图象可得，兔子比乌龟晚出发2分钟，此时乌龟走了2米； （4）先求得兔子休息前的速度为米/分，进而求得所用时间，结合题意，即可求解． 【详解】（1）解：根据题意兔子比乌龟晚出发；由图象可得乌龟的速度为：米/分； 当时，兔子第一次追上乌龟，此时路程为，当时，兔子休息完，时，二者同时到达终点， ∴比赛全程为：米，兔子在休息后的速度为米/分， 故答案为：1，，10． （2）解：依题意，当时，兔子第一次追上乌龟，开始休息，当时，两者距离最大，兔子休息完， ∴骄傲的兔子在离开起点米时停下休息，休息了分钟 故答案为：，． （3）解：图中点A的实际意义：兔子比乌龟晚出发2分钟，此时乌龟走了2米 故答案为：兔子比乌龟晚出发2分钟，此时乌龟走了2米． （4）解：依题意，兔子休息前的速度为米/分 ∴兔子需要的时间为分钟， ∵兔子比乌龟晚出发2分钟， ∴兔子需要分钟完成比赛， 分钟 答：若兔子中途不休息，一直以休息前的速度参与比赛，将比乌龟早到达终点2分钟 【题型四】函数的概念 例6．（25-26八年级下·重庆北碚·月考）下列关系式中，不是的函数的是（） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】函数的概念 【分析】根据函数定义判断：对于的每一个确定值，必须有唯一确定的值与之对应，才是的函数，据此分析各选项即可． 【详解】解：∵根据函数的定义，对于的每一个确定值，必须有唯一确定的值与之对应，才是的函数， ∴、符合函数定义，不符合题意； 、符合函数定义，不符合题意； 、，当时，可得，解得或，即取一个确定值时，有两个不同的值与之对应，不满足函数定义，符合题意； 、符合函数定义，不符合题意． 例7．（25-26八年级下·北京·月考）如图，有一个球形容器，小厉在往容器里注水的过程中发现，水面的高度h、水面的面积S及注水量V是三个变量．下列说法：①S是V的函数；②V是S的函数；③h是V的函数；④V是h的函数，其中正确的是________．（填序号） 【答案】 ①③④ 【知识点】函数的概念 【分析】由函数的概念求解即可． 【详解】①：由题意可知，对于注水量V的每一个数值，水面的面积都有唯一值与之对应，所以是的函数，符合题意； ②：由题意可知，对于水面的面积的每一个数值，注水量的值不一定唯一，所以不是的函数，不符合题意； ③：由题意可知，对于注水量V的每一个数值，水面的高度h都有唯一值与之对应，所以h是V的函数，符合题意； ④：由题意可知，对于水面的高度h的每一个数值，注水量V都有唯一值与之对应，所以V是h的函数，符合题意； 所以正确的是①③④． 变式1．（25-26八年级下·河南鹤壁·月考）[新情境]作为2026年的首次发射，神舟二十三号飞船备受瞩目．在升天过程中，燃料的体积会随飞船飞行高度的增加而减少，在这一过程中，自变量是（   ） A．飞船的质量 B．飞船的飞行高度 C．燃料的体积 D．燃料的质量 【答案】B 【知识点】函数的概念 【分析】本题考查自变量的概念，在一个变化过程中，主动变化的量称为自变量，只需根据题意判断变化过程中主动变化的量即可得到答案. 【详解】解：∵燃料的体积随飞船飞行高度的变化而变化，飞行高度是主动变化的量，燃料体积是随之变化的量，根据自变量的定义，可得自变量是飞船的飞行高度. 变式2．（25-26八年级下·全国·周测）如图，有一个球形容器，小海在往容器里注水的过程中发现，水面的高度、水面的面积及注水量是三个变量．给出下列四种说法：①是的函数；②是的函数；③是的函数；④是的函数．其中正确的是____________（填序号）． 【答案】①④ 【知识点】函数的概念 【分析】此题考查了函数的概念，解题的关键是熟记函数的概念． 由函数的概念求解即可． 【详解】解：①：由题意可知，对于注水量的每一个数值，水面的面积都有唯一值与之对应，所以是自变量，是因变量，所以是的函数，符合题意； ②：由题意可知，对于水面的面积的每一个数值，注水量的值不一定唯一，所以不是的函数，不符合题意； ③：由题意可知，对于水面的面积的每一个数值，水面的高度的值不一定唯一，所以不是的函数，不符合题意； ④：由题意可知，对于水面的高度的每一个数值，水面的面积都有唯一值与之对应，是自变量，是因变量，所以是的函数，符合题意； 故答案为：①④． 变式3．（25-26八年级下·北京·课前预习）判断是否表示是的函数． 【答案】不是的函数 【知识点】函数的概念 【分析】根据初中函数的定义，判断对x的任意确定值，是否存在唯一确定的y与之对应，即可判断该命题正误． 【详解】解 根据函数的定义：在一个变化过程中，若对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与之对应，则y是x的函数． 对于等式，取x的一个确定正值，例如，可得，解得或． 即一个确定的x对应了两个不同的y值，不满足函数的定义，因此不表示y是x的函数，原说法错误． 【题型五】函数解析式 例8．（25-26八年级下·河北沧州·月考）某学校举办“春风拂面，书香浸润校园——爱读书，读好书”的校园文化活动，倡议同学们每天坚持阅读．小志同学挑选了一本喜爱的书籍来阅读，该书籍共270页，小志同学每天阅读此书籍30页．如果设小志同学阅读了此书籍x天后，该书籍剩余y页未读，则函数y关于x的关系式是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】函数解析式 【分析】根据剩余页数等于总页数减去已读页数的关系，列式即可得到正确结果． 【详解】解：∵书籍总页数为页，每天阅读页，阅读天后，已读页数为页，剩余页未读， ∴根据剩余页数的等量关系可得． 例9．（24-25八年级下·广东汕头·月考）长方形相邻两边长分别为x，y，面积为30，则用含x的式子表示y为___________． 【答案】 【知识点】函数解析式 【分析】本题考查了函数关系式，熟练掌握长方形的面积公式是解题关键．根据长方形的面积公式可得，由此即可得． 【详解】解：由题意得：， 则用含的式子表示为， 故答案为：． 变式1．（24-25八年级下·内蒙古赤峰·期末）有一个皮球从高处下落，第一次落地后反弹起，以后每次落地后的反弹高度都减半．则表示反弹高度（单位：）与落地次数的对应关系的函数解析式是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】函数解析式 【分析】本题主要考查了列函数关系式．由题意可知，每次落地后的反弹高度都减半，依次可得表示反弹高度与落地次数的对应函数关系． 【详解】解：根据题意得，表示反弹高度h（单位：）与落地次数n的对应关系的函数解析式：（n为正整数）． 故选：D 变式2．（24-25八年级下·广东江门·期中）一台拖拉机在开始工作前，油箱中有油40L，开始工作后，每小时耗油6L，写出油箱中的剩余油量（单位：L）与工作时间（单位：h）之间的关系式：____________． 【答案】 【知识点】函数解析式 【分析】本题考查的是列函数关系，由剩余油量等于总油量减去消耗的油量可得答案； 【详解】解：由题意可得：， ． 故答案为： ． 变式3．（25-26八年级下·全国·课后作业）下列问题中哪些量是自变量？哪些是自变量的函数？试写出函数的表达式 (1)小明每分钟走，他行走的路程随时间的变化而变化； (2)一根弹簧的原长为，挂上重物后弹簧的长度随所挂重物的质量的变化而变化，每挂物体，弹簧伸长； (3)一个长方体盒子的高为，底面是正方形，底面边长改变时，该长方体盒子的体积也随之改变． 【答案】(1)，t是自变量，s是t的函数 (2)，x是自变量，y是x的函数 (3)，a是自变量，V是a的函数 【知识点】函数解析式 【分析】（1）根据“路程速度时间”，即可求解； （2）根据“弹簧的长度原长伸长的长度”，即可求解； （3）根据“体积底面积高”，即可求解； 【详解】（1）解：根据题意可得，，其中t是自变量，s是t的函数； （2）解：根据题意可得，，其中x是自变量，y是x的函数； （3）解：根据题意可得，，其中a是自变量，V是a的函数． 【题型六】求自变量的取值范围 例10．（2025·黑龙江哈尔滨·一模）在函数中，自变量的取值范围是_____． 【答案】 【知识点】求自变量的取值范围 【分析】本题考查求函数自变量取值范围，根据分式有意义的条件，分母不能为零列式求解即可． 【详解】解：在函数中，分母， 解得． 故答案为：． 例11．通过学习，你认为确定一个函数的自变量的取值范围时，需要考虑哪些方面的因素？ 【答案】主要考虑两点：第一使函数解析式有意义，第二要符合问题的实际意义． 【知识点】求自变量的取值范围 【分析】通过举例说明确定一个函数的自变量的取值范围时，主要考虑两点：含有自变量的代数式必须有意义，必须符合实际意义，从而可得答案. 【详解】解：确定一个函数的自变量的取值范围时， 第一点要考虑使函数解析式有意义， 比如函数 则使有意义的自变量的取值范围是： 第二点要符合问题的实际意义． 比如，矩形的面积为 两邻边分别为 则 此时自变量的取值范围是：＞ 【点睛】本题考查的是函数的自变量的取值范围，掌握影响自变量的取值范围的两个主要因素是解题的关键. 变式1．（2026八年级下·重庆·专题练习）函数的自变量x的取值范围是（   ） A．且 B． C． D．且 【答案】D 【知识点】求自变量的取值范围 【分析】本题根据二次根式和分式的意义求自变量取值范围，需要满足被开方数非负，分母不为0，列出不等式组求解即可． 【详解】解：要使函数有意义， ∵二次根式的被开方数必须非负，分式的分母不能为0， ∴， ∴自变量的取值范围是且． 变式2．（25-26八年级下·全国·课后作业）已知边形的内角和，其中自变量的取值范围是_____________． 【答案】且为正整数 【知识点】多边形内角和问题、求自变量的取值范围 【详解】解：根据多边形的定义，多边形是由三条或三条以上的线段首尾顺次连接所组成的封闭平面图形，所以边形的边数必须是大于或等于3的正整数， 即自变量的取值范围是且为正整数． 变式3．（22-23八年级下·江苏南通·月考）一汽车一次加满油40升，每小时耗油5升，x小时后剩余油量y升． (1)写出一次加满油后剩余油量y与时间x的函数关系式． (2)求出自变量的取值范围． 【答案】(1) (2) 【知识点】求自变量的取值范围、函数解析式 【分析】（1）根据剩余油量＝总油量－耗油量列函数关系式即可； （2）根据一次加满油40升可得，然后可求出自变量的取值范围． 【详解】（1）解：由题意得：； （2）解：∵一次加满油40升， ∴， 解得：， ∴自变量的取值范围为． 【点睛】本题考查函数的应用，解答本题的关键是明确题意，列出函数关系式． 【题型七】求自变量的值或函数值 例12．（25-26八年级下·全国·课后作业）有下面四个点：，，，．其中在函数的图象上的点是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】求自变量的值或函数值 【分析】将每个点的坐标代入函数计算值，若与给定坐标一致，则该点在图象上． 本题主要考查点在函数图象上的含义，点在函数图象上，则点的坐标满足函数解析式． 【详解】解：A 、当时，，故不在图象上，不符合题意； B、 当时，，故在图象上，符合题意； C、当时，，故不在图象上，不符合题意； D、当时，，故不在图象上，不符合题意； 故选：B． 例13．（25-26八年级下·河北石家庄·月考）已知函数经过点，则m的值为______． 【答案】 【知识点】求自变量的值或函数值 【分析】将代入解析式，即可求解． 【详解】解：∵函数经过点 ∴， 解得：， 变式1．（24-25八年级下·河北沧州·期末）下列四个函数中，图象经过原点的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】分式有意义的条件、求自变量的值或函数值 【分析】本题考查函数图象上的点，函数图象上的点的坐标适合函数解析式，令，函数值也等于0，则图象经过原点．据此判断即可． 【详解】解：A、令，则，故不符合题意； B、时，无意义，故不符合题意； C、，则，故符合题意； D、，则，故不符合题意． 故选：C． 变式2．（25-26八年级下·全国·课后作业）已知与之间的函数关系式为，则当时，_____________． 【答案】 【知识点】求自变量的值或函数值 【详解】解：当时，． 变式3．（25-26八年级下·河北沧州·月考）如图，用长为的篱笆（虚线部分）两面靠墙围成矩形的苗圃．在其中一边开了一个宽的门． (1)设矩形的一边为，面积为，求y关于x的函数关系式； (2)当时，求出所围苗圃的面积是多少？ 【答案】(1) (2) 【知识点】函数解析式、求自变量的值或函数值 【分析】（1）根据题意列出解析式即可； （2）代数求值即可． 【详解】（1）解：设矩形的一边为，则另一边长为 y关于x的函数关系式为； （2）解：将代入得， ， ∴所围苗圃的面积是． 【题型八】函数图象识别 例14．（25-26八年级下·全国·课后作业）在物理实验课上，小明用弹簧测力计将长方体铁块悬于盛有水的水槽中，使铁块完全浸没于水中（如图所示），然后匀速向上提起，直到铁块完全露出水面一定的高度，则下图中能反映弹簧测力计的读数（单位：）与铁块被提起的高度（单位：）之间的函数关系的大致图象是（ ）． A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】函数图象识别 【分析】由题意，铁块被提起的过程中，离开水面前弹簧读数不变，离开水面的过程中，读数越来越大，全部离开水面后，读数不变，由此得到图象． 【详解】解：由题意，铁块被提起的过程中，离开水面前弹簧读数不变，离开水面的过程中，读数越来越大，全部离开水面后，读数不变， 故弹簧秤的读数（单位：）与铁块被提起的高度（单位：）之间的函数关系的大致图象为B． 例15．（23-24八年级下·河南信阳·期末）如图，下列各曲线中表示是的函数的有______（填序号）． 【答案】（1） 【知识点】函数的概念、函数图象识别 【分析】本题考查了函数的概念，根据“在某个变化过程中，如果两个变量和之间存在这样的关系，即对于在某一范围内的每一个确定的值，都有唯一确定的值与之对应，那么就称是的函数，称为自变量”即可求解． 【详解】解：根据函数的定义，自变量任意取一个值，函数都有唯一值对应， ∴是的函数的是（1）， 故答案为：（1） ． 变式1．（25-26八年级下·云南昆明·月考）下列图象中，不能表示是的函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】函数图象识别 【分析】根据函数的定义：对于自变量x的每一个确定的值，函数值y都有唯一确定的值与其对应． 结合图象，利用“垂直于x轴的直线与图象最多有一个交点”这一性质进行判断即可．本题主要考查了函数的定义，熟练掌握函数的定义是解题的关键． 【详解】解：根据函数的定义可知，对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值与之对应， ∴在图象上，作垂直于x轴的直线，该直线与函数图象最多只能有一个交点． A. 图象是一条直线，对于每一个x，都有唯一的y值对应，能表示y是x的函数，故本选项不符合题意； B. 图象是折线，对于每一个x，都有唯一的y值对应，能表示y是x的函数，故本选项不符合题意； C. 观察图象可知，存在垂直于x轴的直线与图象有3个交点，即对于同一个x值，有3个y值与之对应，不符合函数的定义，故本选项符合题意； D. 图象是抛物线，对于每一个x值，都有唯一的y值对应，能表示y是x的函数，故本选项不符合题意. 故选：C． 变式2．（22-23八年级下·北京延庆·期末）下面的三个问题中都有两个变量： ①往水池中匀速注水，注满后停止，立刻再匀速放出水池中的水，直至放完；水池中水的体积与所用时间； ②用一定长度的绳子围成一个矩形，矩形的面积与一边长； ③周末时小明和妈妈外出散步，从家匀速走到香苑公园，随即从香苑公园匀速原路返回；小明离家的路程与行走时间； 在①②③中，变量与变量之间的函数关系可以利用如图所示的图象表示的是__________．（填写序号） 【答案】①③/③① 【知识点】函数图象识别 【分析】根据变量与变量之间的关系结合函数图象逐项进行判断即可． 【详解】解：①往水池中匀速注水，水池中水的体积随时间均匀增大，注满后停止，立刻再匀速放出水池中的水，水池中水的体积随时间均匀减小，直至放完，可以用图中的图象表示； ②用一定长度的绳子围成一个矩形，设绳子的长度为a，则矩形的面积与一边长的关系式为：，所以此函数图象不能表示变量与变量之间的函数关系； ③周末时小明和妈妈外出散步，从家匀速走到香苑公园时，小明离家的路程与行走时间均匀增大，从香苑公园匀速原路返回时，小明离家的路程与行走时间均匀减小，所以此函数图象能表示变量与变量之间的函数关系； 综上分析可知，在①②③中，变量与变量之间的函数关系可以利用如图所示的图象表示的是①③． 故答案为：①③． 【点睛】本题主要考查了用图象表示函数关系，解题的关键是理解题意，弄清楚两个变量之间的关系． 变式3．（23-24八年级下·全国·课后作业）下列各曲线中哪些表示y是x的函数？ 【答案】图（1）（2）（3）中y是x的函数 【知识点】函数图象识别 【分析】设在一个变化过程中有两个变量x与y，对于x的每一个确定的值，y都有唯一的值与其对应，那么就说y是x的函数，x是自变量．由此即可得出结论． 【详解】解：图（1）对于自变量x的任何值，y都有唯一的值与之相对应，y是x的函数； 图（2）对于自变量x的任何值，y都有唯一的值与之相对应，y是x的函数； 图（3）对于自变量x的任何值，y都有唯一的值与之相对应，y是x的函数； 图（4）对于一部分自变量x的值，y有两个值与之相对应， y不是x的函数； 故图（1）（2）（3）中y是x的函数 【点睛】本题主要考查了函数概念，关键是掌握注意对函数概念的理解：①有两个变量；②一个变量的数值随着另一个变量的数值的变化而发生变化；③对于自变量的每一个确定的值，函数值有且只有一个值与之对应，即单对应． 【题型九】用描点法画函数图象 例16．用描点法画一次函数图象，在如表格中有一组数据错误，这组错误的数据是（　　） x ﹣2 ﹣1 1 2 y 12 11 10 8 A．（﹣2，12） B．（﹣1，11） C．（1，10） D．（2，8） 【答案】C 【知识点】用描点法画函数图象 【分析】在坐标系描点，即可得到在同一直线上的三点，从而得到结论． 【详解】解：根据表格数据描点，如图， 则点（﹣2，12），（﹣1，11），（2，8）在同一直线上，（1，10）没在这条直线上， 故选：C． 【点睛】本题考查一次函数图象，解题的关键是熟练掌握画一次函数图象的方法——描点法． 变式1．（22-23八年级下·北京朝阳·期中）写出一个在函数图象上的点的坐标______． 【答案】 【知识点】求自变量的值或函数值、用描点法画函数图象 【分析】根据所给函数可得该函数自变量的取值范围为，在给出一个合适的x值，代入函数解析式中求出y值，即可得出点的坐标． 【详解】解：∵， ∴，即该函数自变量的取值范围为x≠0， 当时，， ∴点（1，0）在该函数图象上． 故答案为：（1，0）． 【点睛】本题主要考查函数的图象定义：对于一个函数，如果把自变量与函数的每一对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形就是这个函数的图象．注意：①函数图象上的任意点都满足其函数的解析式；②满足解析式的任意一对x、y的值，所对应的点一定在函数图象上；③判断点是否在函数图象上的方法是：将点的x、y的值代入函数的解析式，若能满足函数的解析式，这个点就在函数的图象上；如果不满足函数的解析式，这个点就不在函数的图象上． 变式2．（25-26八年级下·全国·课后作业）如下图，在平面直角坐标系中，用描点法分别画出函数与的图象． (1)完成下列表格． … … … … … … (2)画出函数图象． 【答案】(1)列表见解析 (2)函数图像见解析 【知识点】用描点法画函数图象 【分析】本题考查了描点法画函数图象，根据题意正确画出函数图象是解题的关键． （1）列表找出点的坐标即可； （2）利用描点法画函数图象即可． 【详解】（1）解：列表如下： … 1 2 3 … … 4 3 2 0 … … 1 2 … （2）解：画出函数图象如图． 【题型十】从函数的图象获取信息 例17．（22-23八年级下·河南洛阳·月考）小峰骑车从学校回家，中途在十字路口等红灯用了1分钟，然后继续骑车回家．若小峰骑车的速度始终不变，从出发开始计时，小峰离家的距离（单位：）与时间（单位：）的对应关系如图所示，则该十字路口与小峰家的距离为___________ ． 【答案】720 【知识点】从函数的图象获取信息 【分析】根据图像可知，小峰的学校与家之间的距离为，实际骑车的时间为，由此即可求出骑车的速度；再利用速度乘以时间即可得该十字路口与小峰家的距离． 【详解】解：根据题意，小峰骑车的速度为， 所以，该十字路口与小峰家的距离为． 例18．（25-26八年级下·河南鹤壁·月考）某校科技节启用无人机航拍活动，在操控无人机时可调节高度，已知无人机在上升和下降过程中速度相同，设无人机的飞行高度h（米）与操控无人机的时间t（分钟）之间的关系如图中的实线所示，根据图象回答下列问题： (1)无人机在75米高的上空停留的时间是________分钟； (2)在上升或下降过程中，无人机的速度为________米/分； (3)求图中a，b的值． 【答案】(1)5 (2)25 (3)a的值是2， b的值是15 【知识点】从函数的图象获取信息 【分析】（1）根据图象信息可得无人机在75米高的上空停留的时间； （2）根据“速度路程时间”计算即可； （3）根据速度、时间与路程的关系列式计算解得即可． 【详解】（1）解：无人机在75米高的上空停留的时间是（分）； （2）解：在上升或下降过程中，无人机的速度为（米/分）； （3）解：图中a的值是，b的值是． 变式1．（25-26八年级下·河北石家庄·月考）无人机在12分钟内的飞行高度h（米）与时间t（分）之间的函数关系如图所示，下列结论错误的是（   ） A．前8分钟内，无人机的飞行高度在持续上升 B．无人机飞行的最大高度约为50米 C．在范围内，无人机有2次飞行高度达到43米 D．当时， 【答案】A 【知识点】从函数的图象获取信息 【详解】解：由图可知： 前8分钟内，无人机的飞行高度有上升，有下降，A错误； 无人机飞行的最高高度约为50米，故B正确； 在范围内，无人机有2次高度达到43米，故C正确； 当时，，故D正确． 变式2．（25-26八年级下·北京·月考）小翔在如图1所示的场地上匀速跑步，他从点出发，沿箭头所示方向经过点跑到点，共用时30秒．他的教练选择了一个固定的位置观察小翔的跑步过程．设小翔跑步的时间为（单位：秒），他与教练的距离为（单位：米），表示与的函数关系的图象大致如图2所示，则这个固定位置可能是图1中的_____．（填四点之一） 【答案】 Q 【知识点】从函数的图象获取信息 【分析】观察函数图象，随的变化趋势是先增大，再减小，最后增大，且 时的函数值大于时的值，分别分析点、、、作为观察点时，小翔与观察点的距离变化情况，即可得出结论． 【详解】解：由图2可知，与的函数图象大致分为三段：先上升，再下降，最后上升，且起始点的纵坐标大于终点的纵坐标， 若观察点在点，小翔从到的过程中，他与点的距离等于半圆的半径，保持不变，图象应有一段水平线，与图2不符，故排除点； 若观察点在点，点与点关于点中心对称，则小翔在点和点时与点的距离相等，即和时值应相等，与图2不符，故排除点； 若观察点在点，小翔从到的过程中，他与点的距离逐渐减小，图象应一直下降，而图2最后一段是上升的，与图2不符，故排除点； 若观察点在点，小翔从出发运动到点时，距离先增大，再减小，从最右端经点运动到中点（点正上方）的过程中，距离逐渐减小，从中点运动到的过程中，距离逐渐增大，且点离点的距离大于点离点的距离，故起点值大于终点值，符合图2特征，则这个固定位置可能是点． 变式3．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，甲、乙两名学生均沿同一方向在同一直线上行走．，分别表示甲、乙两名学生在行走过程中离出发点的距离与行走时间之间的函数关系图象．试根据图象回答下列问题： (1)甲、乙两名学生中，谁的速度较快？ (2)在什么时间段内，甲在乙的前面？在什么时间段内，甲在乙的后面？在什么时间，甲、乙两人相遇？ 【答案】(1)甲的速度较快 (2)在出发8s之后，甲在乙的前面；在出发8s之前，甲在乙的后面；在出发8s时，甲、乙两人相遇 【知识点】从函数的图象获取信息 【分析】（1）结合图象信息求出由题意得甲的速度为，乙的速度为，即可确定甲的速度较快； （2）由图象得当时，；当时，；当时，，从而得到在出发8s之后，甲在乙的前面；在出发8s之前，甲在乙的后面；在出发8s时，甲、乙两人相遇． 【详解】（1）解：由题意得甲的速度为，乙的速度为， ∴甲的速度较快； （2）解：由图象得当时，； 当时，； 当时，， 在出发8s之后，甲在乙的前面；在出发8s之前，甲在乙的后面；在出发8s时，甲、乙两人相遇． 【题型十一】动点问题的函数图象 例19．（25-26八年级下·江苏南通·月考）如图1，在矩形中，动点从点出发，沿运动至点停止．设点运动的路程为，的面积为，如果关于的函数图象如图2所示，则的最大值是（   ） A．12 B．21 C．30 D．78 【答案】B 【知识点】动点问题的函数图象 【分析】通过分析图象中随的变化情况，确定点在不同边上的运动路程，从而求出矩形的边长，进而计算三角形的最大面积． 【详解】解：由图（2）可知，当时，随的增大而增大，此时点在上运动， ； 当时，保持不变，此时点在上运动， ； 四边形是矩形， ； 当点在上运动时，的底边不变，高为，此时面积最大， 的最大值为． 例20．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图①，在矩形中，是其对角线，点从点出发，匀速沿向点运动，连接．设点的运动距离为，的长为，关于的函数图象如图②所示．当为的中点时，求的长． 【答案】 【知识点】用勾股定理解三角形、动点问题的函数图象 【分析】根据坐标的实际含义可得：，然后在中，利用勾股定理可求出，最后在中，利用勾股定理进行计算即可解答． 【详解】解：由图②可得，当时，， ∴当点的运动距离为0时，的长为6， ∴当时，． 由图②可得，当时，， ∴当点的运动距离为时，的长取得最大值，最大值为． ∵当点运动到和点重合时，的长取得最大值， ，． 在中，， ， ，． 为的中点，， ． 【点睛】本题考查了动点问题的函数图象，解题的关键是从函数图象中获取信息． 变式1．（2026八年级下·全国·专题练习）如图①，在中，，D是的中点，动点P从点C出发沿运动到点B停止．设点P的运动路程为x，的面积为y，y与x的图象如图②所示，则的面积为（    ） A．10 B．16 C．20 D．40 【答案】C 【知识点】动点问题的函数图象 【分析】本题考查动点的函数图象问题，由时，，可计算出的长度，进而可得的长度，由时，y取最大值，可得，最后根据三角形面积公式即可求解． 【详解】解：由图可知，当即时，， ， ， D是的中点， ， 当时，y取最大值， ， ， 故选：C． 变式2．（25-26八年级下·河北石家庄·月考）图①，在中，，D是的中点，动点P从点C出发沿运动到点B停止．设点P的运动路程为x，的面积为y，y与x的图象如图②所示，则的面积为______． 【答案】20 【知识点】动点问题的函数图象 【分析】由时，，可计算出的长度，进而可得的长度，由时，y取最大值，可得，最后根据三角形面积公式即可求解． 【详解】解：由图可知，当即时，， ， ， D是的中点， ， 当时，y取最大值， ， ． 变式3．（24-25八年级下·广东广州·期中）小明骑单车上学，当他骑了一段路时想起要买某本书，于是又折回到刚经过的某书店，买到书后继续去学校，以下是他本次上学所用的时间与路程的关系示意图．根据图中提供的信息回答下列问题： (1)小明家到学校的路程是_____米，学校本次上学途中，书店到学校的路程是_____米； (2)在整个上学的途中哪个时间段小明骑车速度最快？最快的速度是多少？ 【答案】(1)； (2)当时间在分时，小明骑车速度最快，最快的速度是米/分 【知识点】从函数的图象获取信息、动点问题的函数图象 【分析】本题考查函数的图象， （1）根据小明本次上学所用的时间与离家距离的关系示意图可得，小明家到学校的路程和书店到学校的路程； （2）结合图象并根据速度等于路程除以时间，分别计算出各时间段的速度，再进行比较即可求出最快的速度； 解题的关键是读懂图象，获取信息． 【详解】（1）解：根据图象可知小明家到学校的路程是米， 书店到学校的路程是：（米）， 故答案为：；； （2）当时间在分时，速度为：（米/分）； 当时间在分时，速度为：（米/分）： 当时间在时，速度为：（米/分）； ∵， ∴当时间在分时，小明骑车速度最快，最快的速度是米/分． 一、单选题 1．下列图象中不是表示y是x的函数的是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】D 【分析】根据函数的定义：对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值与之对应，即可判断出不能表示y是x的函数. 【详解】解：A、满足对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值与之对应关系，故A不符合题意； B、满足对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值与之对应关系，故B不符合题意； C、满足对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值与之对应关系，故C不符合题意； D、不满足对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值与之对应关系，故D不符合题意； 故选D． 【点睛】此题考查的是函数的定义，掌握自变量确定时，函数值的唯一性是解决此题的关键. 2．变量x与y之间的关系是，当时，自变量x的值是（    ） A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】D 【分析】直接把代入，解方程即可． 【详解】当时，， 解得：， 故选：D． 【点睛】本题考查了已知函数值求自变量的值的问题，解题的关键是掌握已知函数解析式，给出函数值时，求相应的自变量的值就是解方程． 3．在函数中，自变量x的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了函数自变量的取值范围，涉及分式有意义的条件和二次根式有意义的条件，熟练掌握一些常见式子有意义的条件是解题关键．直接利用分式有意义的条件和二次根式有意义的条件即可求解． 【详解】解：根据题意：，， 解得：， 故选：A． 4．温差是指在一天中，同一地点的最高温度与最低温度的差，如图，这是太原市9月份某一天内的气温变化图，则当日温差为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了从函数图像中获取信息， 观察图象得出最高温度，最低温度，再求出差即可． 【详解】解：观察图象可知14时的温度最高是，3时的温度最低是， 所以当日的温差是． 故选：D． 5．如图，一农户建一个长方形牛舍．牛舍的一边利用围墙，另外三边用25米长的篱笆围成．为方便进出，在边上留一扇1米宽的门．若设的长为米，的长为米，则与之间的函数关系式是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意可得米，，据此可得，根据列出不等式组求出x的取值范围即可得到答案． 【详解】解：由题意得，米， ∵篱笆的长度为25米， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 6．在边长为4的正方形的边上有一个动点，从出发沿折线移动一周，回到点后继续周而复始．设点移动的路程为，的面积为．请结合右侧函数图象分析当时，的值为（    ）    A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】A 【分析】根据题意可得点在正方形的边上每运动一周，则的值增加16，而（周）……7（单位长度），从而可得当时，点位于上距离点1个单位长度，最后根据三角形的面积公式进行计算即可得到答案． 【详解】解：点在正方形的边上每运动一周，则的值增加16， （周）……7（单位长度）， 当时，点位于上距离点1个单位长度， ， 故选：A． 【点睛】本题考查动点问题的函数图象，掌握正方形的性质、三角形的面积公式、一次函数的图象、动点问题的求解等知识与方法是解题的关键． 7．甲、乙两辆汽车同时分别从相距300千米的A、B两座城市出发相向而行．行驶过程中两车速度不变，甲车到达B城，立即停止，乙车继续行驶，到达A城后停止．若以两车之间的距离为y轴，以两车行驶时间为x轴，画出如图①所示函数图象．若以两车到A城的距离为y轴，以两车行驶时间为x轴在同一坐标体系看画出图象，与图①函数图象意义一致的是（    ）    A．    B．     C．   D．   【答案】D 【分析】由2小时的时候，甲车距离A城，乙车距离A城的距离也为，故A不符合题意；当甲车到达B城时，乙车距离A城的距离为：，故B，C不符合题意；D符合题意；从而可得答案． 【详解】解：由函数图象可得：两车2小时相遇， ∴两车的速度之和为：（）， 乙车的速度为：， ∴甲车的速度为：， ∴甲车到达B城的时间为， ∴2小时的时候，甲车距离A城， 乙车距离A城的距离也为，故A不符合题意； 当甲车到达B城时，乙车距离A城的距离为： ， ∴B，C不符合题意；故D符合题意； 故选D 【点睛】本题考查的是从函数图象中获取信息，理解函数图象中点的横纵坐标的含义是解本题的关键． 8．如图，边长为的正方形的对角线，交于点O，点E在上由点B向点D运动（点E不与点B，D重合），连接．将线段绕点A逆时针旋转得到线段，连接交于点G．设的长为x，的长为y，则下列图像中能大致反映y与x之间的函数关系的是（　　）    A．   B．   C．   D．   【答案】A 【分析】连接，证明，得到，结合构造三角形中位线定理，计算判断即可． 【详解】∵四边形是正方形，线段绕点A逆时针旋转得到线段， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵四边形是正方形， ∴， ，，    ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵边长为的正方形的对角线，交于点O， ∴，， ∴， ∴， 画图象为    故选A． 【点睛】本题主要考查了动点问题的函数图像、全等三角形的判定和性质、中位线的性质定理，解题的关键是通过辅助线构造全等三角形而后转化线段． 9．如图①，E为矩形的边上一点，点P从点B出发沿折线运动到点D停止，点Q从点B出发沿运动到点C停止，它们的运动速度都是，现P，Q两点同时出发，设运动时间为的面积为与x的对应关系图象如图②所示，则矩形的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了矩形的性质，勾股定理，动点的函数图象．熟练掌握矩形性质，从函数图象中获取正确的信息是解题的关键．由题意知，运动分三段完成，运动10秒，P到点E，继续运动点Q到点C，点P自己运动到点D，结合图像信息求解即可． 【详解】解：由图象可知，时，P、E重合， 根据题意，得 ， ∴， 解得， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， 由图象可知， ∴， ∴， ∴矩形的面积为：． 故选：D． 二、填空题 10．已知与互为相反数，则关于的函数关系式为_____________． 【答案】 【详解】解：与互为相反数， ， ． 11．在函数中，自变量x的取值范围是__________． 【答案】 【分析】本题考查函数自变量的取值范围，分式有意义的条件，根据分式的分母不为0求解即可． 【详解】解：∵，即， ∴函数中，自变量x的取值范围是． 故答案为： 12．[跨学科试题·物理]一物体自高处自由落下，其运动的距离与它下落的时间的关系式是（其中g取），其中变量是______，常量是______． 【答案】 h，t ，g 【分析】在一个变化过程中，数值发生变化的量称为变量，数值始终保持不变的量称为常量． 【详解】解：物体下落过程中，运动距离随下落时间的变化而变化，因此与是数值发生变化的量，属于变量，和题目给定的是数值固定不变的量，属于常量． 13．等边三角形的边长为x，此三角形的面积S表示成x的函数为______． 【答案】 【分析】作出三角形的高，利用直角三角形的性质及勾股定理可求得高，那么三角形的面积＝×底×高，把相关数值代入即可求解． 【详解】解：如图，为等边三角形，边长为x，作AD⊥BC于点D，则∠ADB＝90°， ∵为等边三角形 ∴BD＝CD＝BC＝x 在Rt△ABD中，∠ADB＝90°，AB＝x，BD＝x ∴ ∴， ∴S表示成x的函数为． 故答案为：． 【点睛】本题考查三角形的面积的求法，找到等边三角形一边上的高是重点． 14．重庆市第十一中金科学校组织七八年级学生分批到距离学校远的雅戈尔工厂参加实践活动，早上八年级学生出发步行匀速前往目的地，分钟后，七年级学生也出发步行匀速前往目的地，八年级学生行驶时间及距离学校的路程如图所示，活动半小时结束后原路原速返回学校，返回途中与七年级学生相遇，当八年级学生到达学校时七年级学生刚好到达雅戈尔工厂．则七八年级相遇时距离学校______． 【答案】 【分析】根据图象得出八年级的速度为，八年级返回学校时用时，七年级的用时为，求得七年级的速度为，设七年级出发后与八年级学生相遇，根据题意列出一元一次方程，解方程进而即可求解． 【详解】解：根据题意，八年级的速度为，八年级返回学校时用时， ∴七年级用时为，则七年级的速度为， 设七年级出发后与八年级学生相遇，则 解得：， ∴七八年级相遇时距离学校， 故答案为：． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，根据函数图象获取信息是解题的关键． 15．乙两人相约从A地到地，甲骑自行车先行，乙开车，两人均在同一路线上匀速行驶，乙到地后即停车等甲，甲、乙两人之间的距离（千米）与甲行驶的时间（小时）之间的函数关系如图所示，则从A地到地的距离为_______________千米． 【答案】25 【分析】根据题意，得甲的骑行速度为10千米每小时；结合函数图像的性质，设乙的速度为千米每小时，通过列一元一次方程并求解，得乙的速度；设乙从A地到地所需时间为小时，通过列一元一次方程并求解，从而得到答案． 【详解】根据题意，得：甲用1小时骑行10千米 ∴甲的骑行速度为10千米每小时 根据题意，得：甲骑行10千米后，乙开车用0.25小时追上甲 设乙的速度为千米每小时 ∴ ∴ 根据题意，得：乙到地时，甲、乙之间距离10千米 设乙从A地到地所需时间为小时 ∴ ∴ ∴从A地到地的距离千米 故答案为：25． 【点睛】本题考查了函数、一元一次方程的知识；解题的关键是熟练掌握函数的性质，从而完成求解． 三、解答题 16．跳远运动员按一定的起跳姿势，其跳远的距离s（米）与助跑的速度v（米/秒）有关．根据经验，跳远的距离．计算当v分别为7.5，8，8.5时，相应的跳远距离s（结果精确到0.01米）． 【答案】当v分别为7.5，8，8.5时，相应的跳远距离s分别为：4.78米，5.44米，6.14米． 【分析】将，8，8.5代入求出函数值即可． 【详解】解：把代入得： （米）， 把代入得： （米）， 把代入得： （米）， 答：当v分别为7.5，8，8.5时，相应的跳远距离s分别为：4.78米，5.44米，6.14米． 【点睛】本题主要考查了求函数值，解题的关键是根据函数解析式准确进行计算． 17．如果用表示摄氏温度，表示华氏温度，那么与之间的关系式为． (1)当时，求的值； (2)当时，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了求自变量的值或函数值，解一元一次方程等知识点，熟练掌握求自变量的值或函数值是解题的关键． （1）将代入求值即可； （2）当时，则，解方程即可求出的值． 【详解】（1）解：当时， ； （2）解：当时，则， 解得：． 18．在生活中有“糖水加糖甜更甜”的说法，小明和小华准备在实验室展开实验过程． (1)在水中加入的糖，搅拌溶解，则糖含量为______； (2)在（1）中的糖水中继续加入糖，搅拌溶解，设此时的糖含量为y．则y与t之间的函数表达式为______； (3)为了使（1）中的糖水的糖含量达到，两人决定继续往糖水中加糖，请计算出加入糖的重量． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据含糖量等于糖的量除以糖水的量求解； （2）根据含糖量等于糖的量除以糖水的量列函数解析式； （3）根据题意列方程求解． 【详解】（1）由题意得：， 故答案为：； （2）由题意得：， 故答案为：； （3）当选择加糖，则：， 两边同乘以得：， 解得：， 经检验，是原分式方程的解； 所以加入糖，可使含糖量达． 【点睛】本题考查了函数的解析式，分式方程的应用，有理数运算的实际应用，理解题意是解题的关键． 19．由于受“7·20”特大暴雨灾害的影响，某镇受灾严重，广大党员干部闻“汛”而动，组建A，B两个团队冲锋在灾后重建的第一线，筑起一道靓丽风景线．该镇有两段长度相等的河渠挖掘任务，分别交给A，B两个团队同时进行挖掘，如图是反映所挖掘的路程y与挖掘时间x之间关系的部分图象，根据图中的信息回答下列问题：    (1)在挖掘过程中，B队前2个小时挖了________，当挖掘8个小时的时候，A队比B队多挖了________； (2)在这8小时内，A队施工的平均速度是________； (3)点P表示的含义是_______________________________； (4)你还能从图中得到什么信息？请至少写一条． 【答案】(1)30；20 (2)10 (3)当挖掘4小时时，A队和B队挖掘河渠的距离相同 (4)“队前2个小时每小时挖掘”（答案不唯一） 【分析】（1）观察图象，依据B队的图象在2小时与8小时对应的数据进行分析； （2）利用A队在8小时一共挖了进行计算即可； （3）根据题意可知，在当挖掘4小时时，A队和B队挖掘河渠的距离相同，由此可得答案； （4）依据图中信息得出结论即可． 【详解】（1）解：由图可知，B队前2个小时挖了30米； 当挖掘8个小时的时候，A队比B队多挖了（米）； 故答案为：30；20； （2）解：∵A队在8小时一共挖了， ∴A队施工的平均速度为：， 故答案为：10； （3）解：由函数图象可知，在点P时，A队和B队挖掘河渠的距离相同， ∴点P表示的意义是，当挖掘4小时时，A队和B队挖掘河渠的距离相同， 故答案为：当挖掘4小时时，A队和B队挖掘河渠的距离相同 （4）解：“队前2个小时每小时挖掘”（答案不唯一）； 【点睛】本题考查根据函数图象得到相关信息，掌握函数图象中横坐标、纵坐标代表的意义是解决本题的关键． 20．大自然中的大部分物质具有热胀冷缩现象，而水则具有反膨胀现象，如图所示是当温度在时，水的密度（单位：）随着温度（单位：）的变化关系图象，根据图象回答问题． (1)图中的自变量是什么？因变量是什么？ (2)图中点表示的意义是什么？ (3)当温度在变化时，随着温度增大，水的密度是如何变化的？ (4)在范围内，当温度为多少度时，水的密度为． 【答案】(1)自变量是温度t，因变量是水的密度ρ． (2)当温度为时，水的最大密度为． (3)由图可知，当温度在时，水的密度逐渐增大；当温度在时，水的密度逐渐减小． (4)当温度为1度或7度时，水的密度ρ为． 【分析】本题考查函数图象． （1）横坐标为自变量，纵坐标为因变量，作答即可； （2）根据点的含义作答即可； （3）根据图象进行作答即可． （4）根据图象进行作答即可． 从图象中有效的获取信息，是解题的关键． 【详解】（1）解：有图可知，自变量是温度t，因变量是水的密度ρ． （2）当时，水的最大密度为． （3）由图可知，当温度在时，水的密度逐渐增大；当温度在时，水的密度逐渐减小． （4）当温度为1度或7度时，水的密度ρ为． 21．小明和小亮分别从家和图书馆同时出发，沿同一条路相向而行，小明开始时跑步，中途改为步行，到达图书馆恰好用了45分钟．小亮骑自行车以300米/分的速度从图书馆直接回家，两人离家的路程y（米）与各自离开出发地的时间x（分）之间的函数图象如图所示，根据图象信息解答下列问题： (1)小明跑步速度为 米/分，步行的速度 米/分； (2)图中点D的坐标为 ； (3)两人出发多长时间相遇？ (4)请求出两人出发多长时间相距2000米． 【答案】(1)200；100 (2) (3)12分钟 (4)8， 【分析】本题考查的是从函数图象中获取信息，方程的应用，理解题意是解本题的关键； （1）从图像中得出小明跑步的速度，步行的速度； （2）从图像中得出家与图书馆之间的路程为，即可得出点D的坐标； （3）根据图像得出两人相遇是在小明跑步时，利用路程（两人的速度和）即可求解； （4）分两种情况讨论，列出方程可求解． 【详解】（1）解：由题意可得，图象过， 家与图书馆之间的路程为， 小明跑步的速度为， 小明步行的速度为； （2）点D的横坐标是：， 即点D的坐标为； （3）由题意得：， 两人出发12分钟相遇； （4）设经过x分钟后，两人相距2000米， 相遇前，，  解得：， 相遇后，，  解得：， ∴出发8分钟或分钟后，两人相距2500米． 22．如图，中，，D为边中点，， (1)如图1，当E，F分别在的边和上时， ①求证： ②在绕点D旋转的过程中，四边形的面积是否发生改变？若没有变化，求出四边形的面积；若有变化，请说明理由． (2)如图2，当E，F分别在的边、的延长线上时， ①探索和之间的数量关系； ②设长为x，四边形的面积为S，请探究S与x的关系式． 【答案】(1)①见解析；②在绕着点D旋转的过程中，四边形的面积不发生改变，此时四边形的面积为100 (2)①；② 【分析】（1）①连接，根据等腰三角形的性质可得，，再由，可得到，从而可证得，即可；②根据，可得，从而得到，再求出，即可求解； （2）①由（1）得，可得到，再由，可得到，即可；②过点D作于点H，根据，可得，从而得到，再根据，即可求解． 【详解】（1）解：①如图，连接， ∵，D为中点， ∴是的平分线，， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； ②在绕着点D旋转的过程中，四边形的面积不发生改变，此时四边形的面积为25， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ， 在绕着点D旋转的过程中，四边形的面积不发生改变，此时四边形的面积为100； （2）解：①由（1）得， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ②如图，过点D作于点H， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质是解题的关键． 23．我们知道：一个实数的平方是非负数，可以表示为（是实数）．根据这个性质，我们可以有很多的发现：如由可得：，可得：，所以，并且当时，． (1)请证明：； (2)将称之为基本不等式，利用基本不等式我们可以求一些函数的最大（小）值． 例如，求函数的最大值，我们可以将、分别看作、，则，即，两边平方，得，则的最大值是． 函数的最大值为__________； 用一根长的金属丝围成一个矩形的框子，框子的一边长为，用表示矩形框子的面积，并求出面积的最大值； (3)探究函数的相关性质： 小明同学对函数进行了如下的列表、描点，请你帮他完成连线的步骤；观察图像可得它的最小值为__________，还可得出它的另一条性质__________； … 1 2 3 … … 2 … 请利用基本不等式求函数的最小值，验证你的操作发现； 函数的最小值为__________． 【答案】(1)见解析； (2)；，面积的最大值为； (3)，当时，随的增大而增大，连线见解析；最小值是，见解析；． 【分析】本题考查了通过完全平方公式变形求值，函数图象，读懂题意，准确变形是解题的关键． （）仿照题例即可求证； （）设，，通过（）的结论即可求解； 设矩形的一边长为，则另一边长，通过（）的结论即可求解； （）通过图象即可求出最小值，观察图象即可得出性质，然后进行连线即可； 通过（）的结论即可求解； 通过（）的结论即可求解． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：设，， 由（）得，即， ∴， ∴， ∴的最大值为， 故答案为：； 设矩形的一边长为，则另一边长， ∴， ∴， 即， ∴面积的最大值为； （3）解：观察图象可得它的最小值为，当时，随的增大而增大或时，随的增大而减小， 连线如图， 它的另一条性质为：随的增大而增大或时，随的增大而减小（写一条即可）， 故答案为：，当时，随的增大而增大或时，随的增大而减小（写一条即可）； ∵， ∴， ∴的最小值是； ∵， ∴， ∴最小值为， 故答案为：． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第11讲 函数（知识详解+12典例分析+习题巩固） 【知识点01】常量和变量 定义：一般地，在一个变化过程中，我们称数值始终不变的量为常量，数值发生变化的量为变量. 说明： (1)“常量”是已知数，是指在整个变化过程中保持不变的 量；但“常量”不等于“常数”，它可以是数值不变的字母. 如在匀速运动中的速度v 就是一个常量. (3)变量与字母的指数没有关系，如在y＝2x²中，x是变量，而不能说x²是变量. 【知识点02】函数的概念 函数的定义：一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量x与y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说x是自变量，y是x的函数. 例如：在s＝60t中，有两个变量s与t，当t变化时，s也随之发生变化，并且对于t在其取值范围内的每一个 值，s都有唯一确定的值与之对应，我们就称t是自变量. s是t的函数.注意此处不能说s是函数 说明： (1)函数研究的对象不是数，而是一个变化过程中的两个变量； (2)函数中两个变量之间的关系是单向对应关系，即对于x 的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，但是对于一个确定的y值，与其对应的x的值可以不唯一； (3)函数中两个变量具有相对性，如表示y是x的函数，而将其变形成x＝2y－6 后，则表示x 是y 的函数. 【知识点03】函数自变量的取值范围与函数值 1. 自变量的取值范围 (1)定义：使函数有意义的自变量的取值的全体叫做自变量的取值范围. (2)确定自变量取值范围的方法：其一，要使函数关系式有意义；其二，对实际问题中的函数关系，还应该使实际问题有意义. (3)不同类型的函数自变量取值范围的确定 类型 特征 举例 取值范围 整式型 等号右边是关于自变量的整式 y＝2x²＋3x-1 全体实数 分式型 等号右边是关于自变量的分式 使分母不为0的实数 续表 类型 特征 举例 取值范围 根式型 二次根式 等号右边是关于自变量的二次根式 使根号下的式子为大于或等于0 的数 三次根式 等号右边是关于自变量的三次根式 全体实数 续表 类型 特征 举例 取值范围 幂型 等号右边是关于自变量的0 指数幂(或负整数指数幂) y＝(x－2)或y＝2(x－3) 使底数不为0的实数 复合型 含有上述两种或多种形式 使各部分都有意义的实数的公共部分 2. 函数值 (1)定义：如果对于自变量x在取值范围内的某个确定的数值a，函数y所对应的值为b，即当x＝a时，y＝b, 那么b 叫作当自变量的值为a时的函数值. (2)求函数值及自变量值的方法 ①当已知关系是函数关系时，求函数值，实质就是利用代入法求代数式的值. ②当自变量的值确定时，函数值是唯一确定的；当函数值确定时，求相应的自变量的值，就是解方程，对应的自变量的值可以不止一个，如y＝x²－1中，当y＝0时，x＝±1. 【知识点04】函数解析式 1.定义：用关于自变量的数学式子表示函数与自变量之间的关系是表示函数的常用方法，这种式子叫作函数的解析式. 2. 特点：(1)函数解析式是等式. (2)函数解析式中指明了哪个是自变量，哪个是函数，通常等式右边的代数式中的变量是自变量，等式左边的变量表示函数. (3)书写函数的解析式是有顺序的. 如y＝2x－1表示y是x的函数，若x＝2y－1，则表示x是y的函数. 即求y关于x的函数解析式时，必须用含x的代数式表示y，也就是等式左边是一个变量y，右边是一个含x的代数式. 【知识点05】函数的图象 1. 函数的图象 一般地，对于一个函数，如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形，就是这个函数的图象．通过图象可以数形结合地研究函数 拓展：函数图象上的任意一点的坐标(x，y)中的x，y均满足函数解析式；满足函数解析式的任意一对x，y的值，所对应的点一定在这个函数的图象上. 2. 描点法画函数图象的一般步骤 步骤 描述 注意 列表 表中给出一些自变量的值及其对应的函数值 根据自变量的取值范围取值时，要从小到大或自中间向两边选取，并且取值要有代表性，以便全面地反映函数图象的全貌 描点 在平面直角坐标系中，以自变量的值为横坐标，相应的函数值为纵坐标，描出表格中数值对应的各点 描点时取点越多，图象就越准确 连线 按照横坐标由小到大的顺序，把所描出的各点用平滑曲线连接起来 连线时用光滑的曲线，不要出现明显的拐弯点 【知识点06】从函数图象中获取信息 审图题注意四“清”：一清楚横、纵坐标的含义；二清楚图象与不同对象的关系；三清楚不同图象的起点和终点的含义；四清楚不同图象的“折点”含义. 【知识点07】函数的表示方法 函数是从数量关系的角度反映变化规律的数学模型，函数的三种主要表示方法及其特点如下表： 表示方法 定义 优点 缺点 解析法 用数学式子表示函数关系的方法叫作解析法，其中的等式叫作函数解析式 能准确地反映整个变化过程中自变量与函数的对应关系 从函数解析式很难直观看出函数的变化规律，而且有些函数不能用解析式法表示出来 列表法 通过列出自变量的值与函数的对应值的表格来表示函数关系的方法叫作列表法 一目了然，对表格中已有自变量的每一个值，可直接查出函数的对应值 列出的对应值是有限的，而且在表格中也不容易看出自变量与函数的变化规律 图象法 用图象来表示两个变量间的函数关系的方法叫作图象法 直观、形象地反映出函数关系变化的趋势和某些性质 从自变量的值常常难以找到对应的函数的准确值 【题型一】用表格表示变量间的关系 例1．（2026八年级下·全国·专题练习）刘老师到加油站加油，如图，这是他所用的加油机上某一时刻的数据显示牌，则其中的常量是（ ） A．金额 B．单价 C．数量 D．金额和数量 例2．（24-25八年级下·山东滨州·期末）张大妈购进一批柚子，在集贸市场零售，已知卖出的柚子重量与销售额y（元）之间的关系如表所示： 重量/ 1 2 3 4 … 销售额/元 6 10 14 18 … 根据表中数据进行统计、分析可知，若卖出柚子，则销售额为_____元． 变式1．（23-24八年级下·内蒙古鄂尔多斯·期末）司机师傅到加油站加油，加油结束后，加油机显示牌上的数据如图所示，其中的常量是（   ） A．金额 B．数量 C．单价 D．金额和数量 变式2．（24-25八年级下·陕西延安·月考）一个蓄水池有水，打开放水闸门放水，水池里的水和放水时间的关系如下表： 放水时间/ 1 2 3 4 5 … 蓄水池中的水量 50 48 46 42 … 解答下面的问题： (1)将表格补充完整； (2)根据表格中的数据，说明在放完水前，蓄水池中的水量随放水时间的增长怎样变化？ (3)当放水时间为时，蓄水池中的水量是多少立方米？ 【题型二】用关系式表示变量间的关系 例3．（25-26八年级下·广西桂林·月考）在圆周长计算公式中，变量有（　　） A．L，π B．L，r C．L，π，r D．2π，r 例4．（25-26八年级下·全国·课后作业）将长为，宽为的长方形白纸，按照如图所示的方法粘合起来，粘合部分宽为．设x张白纸粘合后的总长度为，则y与x之间的关系式为______，其中常量是______，变量是______． 变式1．（25-26八年级下·全国·课后作业）某款汽车紧急刹车后滑行的距离s（单位：）大致满足，其中v（单位：）表示刹车前汽车的速度，这个关系式中的自变量和因变量分别是（    ） A．300；s B．s；300 C．s；v D．v；s 变式2．（25-26八年级下·全国·课后作业）写出下列各问题中的常量与变量． (1)每本练习本元，晓雯购买练习本的本数为n，所需的钱数m（元）； (2)用总长度为的篱笆刚好围成一个矩形场地，其中一边的长度为，矩形的面积为． 【题型三】用图象表示变量间的关系 例5．（25-26八年级下·四川内江·月考）如图，瓶子里水位高度为a，乌鸦喝不着水，于是乌鸦衔来一个个小石子放入瓶中，水位上升至瓶口b处，乌鸦喝到了水．设放入瓶中的石子个数为x，水位高度为y，假设每一颗石子的体积一样，下列图象中最符合情境的大致图象是（　　） A． B． C． D． 变式1．某商场调查发现，一商品的销售量与销售单价之间存在如图所示的关系．当销售单价为150元时，销售量约为___________件． 变式2．在一场比赛中，龟和兔从同一个起点出发，乌龟的速度始终保持不变，兔子比乌龟晚出发；兔子在第一次追上乌龟时，觉得自己胜利在望，停下休息了几分钟；但兔子又害怕输给乌龟，休息之后便加快速度追赶乌龟，最终二者同时到达终点．比赛过程中龟兔之间的距离s与时间t之间的关系如图所示， 请根据图象回答下列问题： (1)乌龟的速度为__________米/分，兔子在休息后的速度为__________米/分，比赛全程__________米； (2)骄傲的兔子在离开起点__________米时停下休息，休息了__________分； (3)请解释图中点A的实际意义：__________； (4)若兔子中途不休息，一直以休息前的速度参与比赛，将比乌龟早到达终点多少分钟？ 【题型四】函数的概念 例6．（25-26八年级下·重庆北碚·月考）下列关系式中，不是的函数的是（） A． B． C． D． 例7．（25-26八年级下·北京·月考）如图，有一个球形容器，小厉在往容器里注水的过程中发现，水面的高度h、水面的面积S及注水量V是三个变量．下列说法：①S是V的函数；②V是S的函数；③h是V的函数；④V是h的函数，其中正确的是________．（填序号） 变式1．（25-26八年级下·河南鹤壁·月考）[新情境]作为2026年的首次发射，神舟二十三号飞船备受瞩目．在升天过程中，燃料的体积会随飞船飞行高度的增加而减少，在这一过程中，自变量是（   ） A．飞船的质量 B．飞船的飞行高度 C．燃料的体积 D．燃料的质量 变式2．（25-26八年级下·全国·周测）如图，有一个球形容器，小海在往容器里注水的过程中发现，水面的高度、水面的面积及注水量是三个变量．给出下列四种说法：①是的函数；②是的函数；③是的函数；④是的函数．其中正确的是____________（填序号）． 变式3．（25-26八年级下·北京·课前预习）判断是否表示是的函数． 【题型五】函数解析式 例8．（25-26八年级下·河北沧州·月考）某学校举办“春风拂面，书香浸润校园——爱读书，读好书”的校园文化活动，倡议同学们每天坚持阅读．小志同学挑选了一本喜爱的书籍来阅读，该书籍共270页，小志同学每天阅读此书籍30页．如果设小志同学阅读了此书籍x天后，该书籍剩余y页未读，则函数y关于x的关系式是（   ） A． B． C． D． 例9．（24-25八年级下·广东汕头·月考）长方形相邻两边长分别为x，y，面积为30，则用含x的式子表示y为___________． 变式1．（24-25八年级下·内蒙古赤峰·期末）有一个皮球从高处下落，第一次落地后反弹起，以后每次落地后的反弹高度都减半．则表示反弹高度（单位：）与落地次数的对应关系的函数解析式是（   ） A． B． C． D． 变式2．（24-25八年级下·广东江门·期中）一台拖拉机在开始工作前，油箱中有油40L，开始工作后，每小时耗油6L，写出油箱中的剩余油量（单位：L）与工作时间（单位：h）之间的关系式：____________． 变式3．（25-26八年级下·全国·课后作业）下列问题中哪些量是自变量？哪些是自变量的函数？试写出函数的表达式 (1)小明每分钟走，他行走的路程随时间的变化而变化； (2)一根弹簧的原长为，挂上重物后弹簧的长度随所挂重物的质量的变化而变化，每挂物体，弹簧伸长； (3)一个长方体盒子的高为，底面是正方形，底面边长改变时，该长方体盒子的体积也随之改变． 【题型六】求自变量的取值范围 例10．（2025·黑龙江哈尔滨·一模）在函数中，自变量的取值范围是_____． 例11．通过学习，你认为确定一个函数的自变量的取值范围时，需要考虑哪些方面的因素？ 变式1．（2026八年级下·重庆·专题练习）函数的自变量x的取值范围是（   ） A．且 B． C． D．且 变式2．（25-26八年级下·全国·课后作业）已知边形的内角和，其中自变量的取值范围是_____________． 变式3．（22-23八年级下·江苏南通·月考）一汽车一次加满油40升，每小时耗油5升，x小时后剩余油量y升． (1)写出一次加满油后剩余油量y与时间x的函数关系式． (2)求出自变量的取值范围． 【题型七】求自变量的值或函数值 例12．（25-26八年级下·全国·课后作业）有下面四个点：，，，．其中在函数的图象上的点是（    ） A． B． C． D． 例13．（25-26八年级下·河北石家庄·月考）已知函数经过点，则m的值为______． 变式1．（24-25八年级下·河北沧州·期末）下列四个函数中，图象经过原点的是（   ） A． B． C． D． 变式2．（25-26八年级下·全国·课后作业）已知与之间的函数关系式为，则当时，_____________． 变式3．（25-26八年级下·河北沧州·月考）如图，用长为的篱笆（虚线部分）两面靠墙围成矩形的苗圃．在其中一边开了一个宽的门． (1)设矩形的一边为，面积为，求y关于x的函数关系式； (2)当时，求出所围苗圃的面积是多少？ 【题型八】函数图象识别 例14．（25-26八年级下·全国·课后作业）在物理实验课上，小明用弹簧测力计将长方体铁块悬于盛有水的水槽中，使铁块完全浸没于水中（如图所示），然后匀速向上提起，直到铁块完全露出水面一定的高度，则下图中能反映弹簧测力计的读数（单位：）与铁块被提起的高度（单位：）之间的函数关系的大致图象是（ ）． A．B． C． D． 例15．（23-24八年级下·河南信阳·期末）如图，下列各曲线中表示是的函数的有______（填序号）． 变式1．（25-26八年级下·云南昆明·月考）下列图象中，不能表示是的函数的是（   ） A． B． C． D． 变式2．（22-23八年级下·北京延庆·期末）下面的三个问题中都有两个变量： ①往水池中匀速注水，注满后停止，立刻再匀速放出水池中的水，直至放完；水池中水的体积与所用时间； ②用一定长度的绳子围成一个矩形，矩形的面积与一边长； ③周末时小明和妈妈外出散步，从家匀速走到香苑公园，随即从香苑公园匀速原路返回；小明离家的路程与行走时间； 在①②③中，变量与变量之间的函数关系可以利用如图所示的图象表示的是__________．（填写序号） 变式3．（23-24八年级下·全国·课后作业）下列各曲线中哪些表示y是x的函数？ 【题型九】用描点法画函数图象 例16．用描点法画一次函数图象，在如表格中有一组数据错误，这组错误的数据是（　　） x ﹣2 ﹣1 1 2 y 12 11 10 8 A．（﹣2，12） B．（﹣1，11） C．（1，10） D．（2，8） 变式1．（22-23八年级下·北京朝阳·期中）写出一个在函数图象上的点的坐标______． 变式2．（25-26八年级下·全国·课后作业）如下图，在平面直角坐标系中，用描点法分别画出函数与的图象． (1)完成下列表格． … … … … … … (2)画出函数图象． 【题型十】从函数的图象获取信息 例17．（22-23八年级下·河南洛阳·月考）小峰骑车从学校回家，中途在十字路口等红灯用了1分钟，然后继续骑车回家．若小峰骑车的速度始终不变，从出发开始计时，小峰离家的距离（单位：）与时间（单位：）的对应关系如图所示，则该十字路口与小峰家的距离为___________ ． 例18．（25-26八年级下·河南鹤壁·月考）某校科技节启用无人机航拍活动，在操控无人机时可调节高度，已知无人机在上升和下降过程中速度相同，设无人机的飞行高度h（米）与操控无人机的时间t（分钟）之间的关系如图中的实线所示，根据图象回答下列问题： (1)无人机在75米高的上空停留的时间是________分钟； (2)在上升或下降过程中，无人机的速度为________米/分； (3)求图中a，b的值． 变式1．（25-26八年级下·河北石家庄·月考）无人机在12分钟内的飞行高度h（米）与时间t（分）之间的函数关系如图所示，下列结论错误的是（   ） A．前8分钟内，无人机的飞行高度在持续上升 B．无人机飞行的最大高度约为50米 C．在范围内，无人机有2次飞行高度达到43米 D．当时， 变式2．（25-26八年级下·北京·月考）小翔在如图1所示的场地上匀速跑步，他从点出发，沿箭头所示方向经过点跑到点，共用时30秒．他的教练选择了一个固定的位置观察小翔的跑步过程．设小翔跑步的时间为（单位：秒），他与教练的距离为（单位：米），表示与的函数关系的图象大致如图2所示，则这个固定位置可能是图1中的_____．（填四点之一） 变式3．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，甲、乙两名学生均沿同一方向在同一直线上行走．，分别表示甲、乙两名学生在行走过程中离出发点的距离与行走时间之间的函数关系图象．试根据图象回答下列问题： (1)甲、乙两名学生中，谁的速度较快？ (2)在什么时间段内，甲在乙的前面？在什么时间段内，甲在乙的后面？在什么时间，甲、乙两人相遇？ 【题型十一】动点问题的函数图象 例19．（25-26八年级下·江苏南通·月考）如图1，在矩形中，动点从点出发，沿运动至点停止．设点运动的路程为，的面积为，如果关于的函数图象如图2所示，则的最大值是（   ） A．12 B．21 C．30 D．78 例20．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图①，在矩形中，是其对角线，点从点出发，匀速沿向点运动，连接．设点的运动距离为，的长为，关于的函数图象如图②所示．当为的中点时，求的长． 变式1．（2026八年级下·全国·专题练习）如图①，在中，，D是的中点，动点P从点C出发沿运动到点B停止．设点P的运动路程为x，的面积为y，y与x的图象如图②所示，则的面积为（    ） A．10 B．16 C．20 D．40 变式2．（25-26八年级下·河北石家庄·月考）图①，在中，，D是的中点，动点P从点C出发沿运动到点B停止．设点P的运动路程为x，的面积为y，y与x的图象如图②所示，则的面积为______． 变式3．（24-25八年级下·广东广州·期中）小明骑单车上学，当他骑了一段路时想起要买某本书，于是又折回到刚经过的某书店，买到书后继续去学校，以下是他本次上学所用的时间与路程的关系示意图．根据图中提供的信息回答下列问题： (1)小明家到学校的路程是_____米，学校本次上学途中，书店到学校的路程是_____米； (2)在整个上学的途中哪个时间段小明骑车速度最快？最快的速度是多少？ 一、单选题 1．下列图象中不是表示y是x的函数的是（    ） A．   B．   C．   D．   2．变量x与y之间的关系是，当时，自变量x的值是（    ） A．6 B．5 C．4 D．3 3．在函数中，自变量x的取值范围是（   ） A． B． C． D． 4．温差是指在一天中，同一地点的最高温度与最低温度的差，如图，这是太原市9月份某一天内的气温变化图，则当日温差为（   ） A． B． C． D． 5．如图，一农户建一个长方形牛舍．牛舍的一边利用围墙，另外三边用25米长的篱笆围成．为方便进出，在边上留一扇1米宽的门．若设的长为米，的长为米，则与之间的函数关系式是（   ） A． B． C． D． 6．在边长为4的正方形的边上有一个动点，从出发沿折线移动一周，回到点后继续周而复始．设点移动的路程为，的面积为．请结合右侧函数图象分析当时，的值为（    ）    A．2 B．4 C．6 D．8 7．甲、乙两辆汽车同时分别从相距300千米的A、B两座城市出发相向而行．行驶过程中两车速度不变，甲车到达B城，立即停止，乙车继续行驶，到达A城后停止．若以两车之间的距离为y轴，以两车行驶时间为x轴，画出如图①所示函数图象．若以两车到A城的距离为y轴，以两车行驶时间为x轴在同一坐标体系看画出图象，与图①函数图象意义一致的是（    ）    A．    B．     C．   D．   8．如图，边长为的正方形的对角线，交于点O，点E在上由点B向点D运动（点E不与点B，D重合），连接．将线段绕点A逆时针旋转得到线段，连接交于点G．设的长为x，的长为y，则下列图像中能大致反映y与x之间的函数关系的是（　　）    A．   B．   C．   D．   9．如图①，E为矩形的边上一点，点P从点B出发沿折线运动到点D停止，点Q从点B出发沿运动到点C停止，它们的运动速度都是，现P，Q两点同时出发，设运动时间为的面积为与x的对应关系图象如图②所示，则矩形的面积为（    ） A． B． C． D． 二、填空题 10．已知与互为相反数，则关于的函数关系式为_____________． 11．在函数中，自变量x的取值范围是__________． 12．[跨学科试题·物理]一物体自高处自由落下，其运动的距离与它下落的时间的关系式是（其中g取），其中变量是______，常量是______． 13．等边三角形的边长为x，此三角形的面积S表示成x的函数为______． 14．重庆市第十一中金科学校组织七八年级学生分批到距离学校远的雅戈尔工厂参加实践活动，早上八年级学生出发步行匀速前往目的地，分钟后，七年级学生也出发步行匀速前往目的地，八年级学生行驶时间及距离学校的路程如图所示，活动半小时结束后原路原速返回学校，返回途中与七年级学生相遇，当八年级学生到达学校时七年级学生刚好到达雅戈尔工厂．则七八年级相遇时距离学校______． 15．乙两人相约从A地到地，甲骑自行车先行，乙开车，两人均在同一路线上匀速行驶，乙到地后即停车等甲，甲、乙两人之间的距离（千米）与甲行驶的时间（小时）之间的函数关系如图所示，则从A地到地的距离为_______________千米． 三、解答题 16．跳远运动员按一定的起跳姿势，其跳远的距离s（米）与助跑的速度v（米/秒）有关．根据经验，跳远的距离．计算当v分别为7.5，8，8.5时，相应的跳远距离s（结果精确到0.01米）． 17．如果用表示摄氏温度，表示华氏温度，那么与之间的关系式为． (1)当时，求的值； (2)当时，求的值． 18．在生活中有“糖水加糖甜更甜”的说法，小明和小华准备在实验室展开实验过程． (1)在水中加入的糖，搅拌溶解，则糖含量为______； (2)在（1）中的糖水中继续加入糖，搅拌溶解，设此时的糖含量为y．则y与t之间的函数表达式为______； (3)为了使（1）中的糖水的糖含量达到，两人决定继续往糖水中加糖，请计算出加入糖的重量． 19．由于受“7·20”特大暴雨灾害的影响，某镇受灾严重，广大党员干部闻“汛”而动，组建A，B两个团队冲锋在灾后重建的第一线，筑起一道靓丽风景线．该镇有两段长度相等的河渠挖掘任务，分别交给A，B两个团队同时进行挖掘，如图是反映所挖掘的路程y与挖掘时间x之间关系的部分图象，根据图中的信息回答下列问题：    (1)在挖掘过程中，B队前2个小时挖了________，当挖掘8个小时的时候，A队比B队多挖了________； (2)在这8小时内，A队施工的平均速度是________； (3)点P表示的含义是_______________________________； (4)你还能从图中得到什么信息？请至少写一条． 20．大自然中的大部分物质具有热胀冷缩现象，而水则具有反膨胀现象，如图所示是当温度在时，水的密度（单位：）随着温度（单位：）的变化关系图象，根据图象回答问题． (1)图中的自变量是什么？因变量是什么？ (2)图中点表示的意义是什么？ (3)当温度在变化时，随着温度增大，水的密度是如何变化的？ (4)在范围内，当温度为多少度时，水的密度为． 21．小明和小亮分别从家和图书馆同时出发，沿同一条路相向而行，小明开始时跑步，中途改为步行，到达图书馆恰好用了45分钟．小亮骑自行车以300米/分的速度从图书馆直接回家，两人离家的路程y（米）与各自离开出发地的时间x（分）之间的函数图象如图所示，根据图象信息解答下列问题： (1)小明跑步速度为 米/分，步行的速度 米/分； (2)图中点D的坐标为 ； (3)两人出发多长时间相遇？ (4)请求出两人出发多长时间相距2000米． 22．如图，中，，D为边中点，， (1)如图1，当E，F分别在的边和上时， ①求证： ②在绕点D旋转的过程中，四边形的面积是否发生改变？若没有变化，求出四边形的面积；若有变化，请说明理由． (2)如图2，当E，F分别在的边、的延长线上时， ①探索和之间的数量关系； ②设长为x，四边形的面积为S，请探究S与x的关系式． 23．我们知道：一个实数的平方是非负数，可以表示为（是实数）．根据这个性质，我们可以有很多的发现：如由可得：，可得：，所以，并且当时，． (1)请证明：； (2)将称之为基本不等式，利用基本不等式我们可以求一些函数的最大（小）值． 例如，求函数的最大值，我们可以将、分别看作、，则，即，两边平方，得，则的最大值是． 函数的最大值为__________； 用一根长的金属丝围成一个矩形的框子，框子的一边长为，用表示矩形框子的面积，并求出面积的最大值； (3)探究函数的相关性质： 小明同学对函数进行了如下的列表、描点，请你帮他完成连线的步骤；观察图像可得它的最小值为__________，还可得出它的另一条性质__________； … 1 2 3 … … 2 … 请利用基本不等式求函数的最小值，验证你的操作发现； 函数的最小值为__________． 1 学科网（北京）股份有限公司 $