第13讲 正方形与四边形综合应用（知识详解+17典例分析+习题巩固）2025-2026学年浙教版八年级数学下册同步讲义与测试

宋老师数学图文制作室 ©初高中数学备课备考 教学课件、讲义、单元、月考、期中期末。 第13讲正方形与四边形综合应用（知识详解+17典例分析+习题巩固） 目标导航 【知识点01】正方形的定义及判定 【题型九】根据正方形的性质证明 【知识点02】正方形的性质 【题型十】根据正方形的性质与判定求角度 【题型一】证明四边形是正方形 【题型十一】根据正方形的性质与判定求线段长 【题型二】正方形的判定定理理解 【题型十二】根据正方形的性质与判定求面积 【题型三】添一个条件使四边形是正方形 正方形与 四边形综 【题型十三】根据正方形的性质与判定证明 【题型四】正方形性质理解 合应用 【题型十四】利用（特殊）平行四边形的 对称性求阴影面积 【题型五】根据正方形的性质求角度 【题型十五】（特殊）平行四边形的动点问题 【题型六】根据正方形的性质求线段长 【题型十六】四边形中的线段最值问题 【题型七】根据正方形的性质求面积 【题型十七】四边形其他综合问题 【题型八】正方形折叠问题 知识详解 【知识点1】正方形的定义及判定 1.正方形的定义：有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形叫作正方形。 2.正方形的判定 正方形是特殊的平行四边形、特殊的矩形、特殊的菱形，因此可分别从平行四边形、矩形、菱形出发，寻找判定 正方形的方法，总结 如下表： 宋老师数学图文制作室 ©初高中数学备课备考 教学课件、讲义、单元、月考、期中期未 有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形是正方形： 有一组邻边相等，并且对角线相等的平行四边形是正方形。 从平行四边形出发 有一个角是直角，并且对角线互相垂直的平行边形是正方形。 对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形。 从矩形出发 有一组邻边相等的矩形是正方形。 对角线互相垂直的矩形是正方形。 从菱形出发 有一个角是直角的菱形是正方形。 对角线相等的菱形是正方形。 敲黑板 四边形、平行四边形、矩形、菱形、正方形之间的转化关系 有三个角是直角 两组对边分别平行 有一个角是直角 (或两组对边分别相等 矩形有一组邻边相等 (或对角线相等) (或对角线互相 四或一组对边平行且相等) 垂直) 正 四 形 对角线互相平分 有一组邻边相等，并且有一个角是直角（定义） 两组对角分别相等（拓展） 形 有一组邻边相等 有一个角是直角 (或对角线互相垂直) 菱形 (或对角线相等) 四条边都相等 【知识点2】正方形的性质 正方形既是菱形，又是矩形，因此它同时具有菱形、矩形的一切性质。具体如下表： 性质 符号语言 图示 因为四边形000000D0是正方 n D 边 定理1：正方形的四条边相等。 形，所以如000=0000=0 000=0000。 n 因为四边形0000000·是正方 秀 定理1：正方形的四个角都是直 形，所以∠000000=∠ 角。 000000=∠000000=∠ 000000=90。。 因为四边形00000000是正方 定理2：正方形的对角线相等， 对角线 形，所以如000=000000001 并且互相垂直平分。 0000,0000=0000=0 000=0000。 对称性 轴对称图形。 直线知000,0000,00,00是正 方形00000000的对称轴。 敲黑板 2 宋老师数学图文制作室 ©初高中数学备课备考 教学课件、讲义、单元、月考、期中期未。 正方形的其他性质 (1)正方形的每条对角线都平分一组对角。 (2)正方形的一条对角线把正方形分成两个全等的等腰直角三角形；正方形的两条对角线把正方形分成四个全等的等 腰直角三角形。 (3)周长相等的四边形中，正方形的面积最大。 辨析：平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质对比 平行四边形 矩形 菱形 正方形 类型 共性 对边平行且相等 边 特性 四条边都相等 共性 对角相等且邻角互补 角 特性 四个角都是直角 四个角都是直角 共性 对角线互相平分 对角线 特性 对角线相等 对角线互相垂直 对角线相等且互相 垂直 共性 都是中心对称图形 对称性 轴对称图形 特性 至少有2条对称轴 至少有2条对称轴 4条对称轴 典例分新 【题型一】证明四边形是正方形 例1.(24-25八年级下·浙江嘉兴期末)如图，在ABC中，点E,D,F分别在边AB,BC,AC上，且DE∥CA ,DF∥AB.下列判断中错误的是(). 宋老师数学图文制作室 ©初高中数学备课备考 教学课件、讲义、单元、月考、期中期末 A.四边形AEDF是平行四边形 B.若DE⊥DF,则四边形AEDF是矩形 C.若AD平分∠BAC,则四边形AEDF是菱形 D.若AD⊥EF,则四边形AEDF是正方形 【答案】D 【知识点】证明四边形是正方形、证明四边形是矩形、证明四边形是菱形 【分析】本题考查平行四边形，矩形，菱形，正方形的判定，根据相关判定定理，逐一进行判断即可。 【详解】解：：DE∥CA,DF∥AB, :四边形AEDF是平行四边形；故A正确，不合题意； 当DE⊥DF时，则：∠EDF=90°， :平行四边形AEDF是矩形，故B正确，不合题意： 当AD平分∠BAC,则：∠EAD=∠FAD, DF∥AB, .∠ADF=∠EAD=∠FAD, .AF=DF :四边形AEDF是菱形；故C正确，不合题意； 当AD⊥EF时，则：平行四边形AEDF是菱形，不能得到四边形AEDF是正方形，故D错误，符合题意 故选D. 变式1.(22-23八年级浙江宁波·期末)如图，已知点A(2,2),点B在y轴的负半轴上，点C在x轴正半轴上， AB⊥AC,且AB=AC.则OC-OB的值为 宋老师数学图文制作室 ©初高中数学备课备考 教学课件、讲义、单元、月考、期中期末 V B 【答案】4 【知识点】全等的性质和SAS综合(SAS)、证明四边形是正方形 【分析】过点A作AD⊥y轴于D,AE⊥x轴于E,先判断出四边形ADOE为正方形，得出OD=OE=2, ∠DAE=90°，进而判断出△ADB≌△AEC(SAS,得出BD=CE,即可求出答案. 【详解】解：如图，过点A作AD⊥y轴于D,AE⊥x轴于E, A2,2, ,AD=AE=2,∠AD0=∠AE0=90°， ∠D0E=90°， ∴.∠AD0=∠AE0=∠DOE=90°， :四边形ADOE为正方形， 0D=0E=2,∠DAE=90°， AB⊥AC, LBAC=90°， .LDAB=∠EAC, 5 宋老师数学图文制作室 ©初高中数学备课备考 教学课件、讲义、单元、月考、期中期味 :AB=AC, △ADB≌△AEC(SAS, .BD=CE, ..OC-0B=0E+CE-OB=OE+BD-OB=0E+0B+OD-0B=OE+OD=4, 故答案为：4. 【点晴】此题主要考查了全等三角形的判定和性质，正方形的判定，作出辅助线构造出全等三角形是解本题的关键。 变式2.(24-25八年级下·浙江台州期末)如图，在5×5正方形网格中，每个小正方形的边长为1，已知点A在格点 上，请在所给的网格中按下列要求画出图形， 图1 图2 (I)在图1中画一条长为√3的线段AP,且点P在格点上；（只需画出一条符合条件的线段） (2)在图2中画一个顶点都在格点上的菱形ABCD,使其边长为√13，则该菱形ABCD 正方形.（填“是”或“不 是”) 【答案】()图见解析 (2)图见解析，是. 【知识点】证明四边形是正方形、勾股定理与网格问题 【分析】本题考查了勾股定理，正方形的判定，全等三角形的判定及性质，熟悉掌握正方形的判定是解题的关键 (1)利用勾股定理求解即可； (2)利用全等三角形的性质推出∠ABC=90°即可求解 6 宋老师数学图文制作室 ©初高中数学备课备考 教学课件、讲义、单元、月考、期中期末 【详解】(1)解：“3=32+42， “如图所示即为所求： D (2)解：由题意作图可得： B 给图形进行标注如图所示： E B 易得：△ABE≌△BFC, .∠ABE=LBCF,∠EAB=∠CBF, ∠EAB+∠ABE=90°， ∴∠ABE+∠CBF=90°， .LABC=90°， 7 宋老师数学图文制作室 ©初高中数学备课备考 一教学课件、讲义、单元、月考、期中期味 .四边形ABCD为正方形： 故答案为：是。 【题型二】正方形的判定定理理解 例2.(23-24八年级下浙江金华期末)小明在学习“特殊平行四边形”一单元后，梳理了如图所示的特殊平行四边形 之间的关系.以下选项分别表示A,B,C,D处填写的内容，则对应位置填写错误的选项是() (A) 矩形 平行四边形 正方形 (B) 菱形 (D) A.对角线互相平分 B.对角线垂直 C.对角线与一边夹角为45° D.对角线相等 【答案】A 【知识点】证明四边形是菱形、正方形的判定定理理解、矩形的判定定理理解 【分析】此题考查了矩形，菱形和正方形的判定，根据矩形，菱形和正方形的判定定理求解即可. 【详解】解：A.对角线互相平分的平行四边形不一定是矩形，故A错误，符合题意； B.对角线垂直的平行四边形是菱形，故B正确，不符合题意； C.对角线与一边夹角为45°的矩形是正方形，故C正确，不符合题意； D.对角线相等的菱形是正方形，故D正确，不符合题意. 故选：A 变式1.(2024八年级下浙江杭州期末)定义菱形的两条对角线长之比为“对角线比”. (1)若菱形成为正方形，则“对角线比”为一 8 宋老师数学图文制作室 姬初高中数学备课备考 教学课件、讲义、单元、月考、期中期味 (2)当“对角线比”为4，菱形面积为800时，菱形的边长为 【答案】 1:11017 【知识点】正方形的判定定理理解、利用菱形的性质求线段长 【分析】(1)根据菱形的性质和正方形的判定定理即可得到结论； (2)设菱形的两条对角线长分别为4x,x,根据菱形的面积公式，即可得到结论. 【详解】解：(1)：正方形的对角线相等， :若菱形成为正方形，则“对角线比”为1：1： 故答案为：1：1； (2):“对角线比”为4， 设菱形的两条对角线长分别为4，x, 号4g=80, 解得：x=20(负值舍去)， .4x=80, :菱形的边长=V102+402=1017, 故答案为：10W17 【点晴】本题考查了正方形的判定，菱形的性质，勾股定理，熟练掌握菱形的性质是解题的关键 变式2.(24-25八年级下·浙江绍兴期末)如图，在5×5正方形网格中，每个小正方形顶点称为格点，例如线段AB的 端点在格点上，己知每个小正方形边长均为1，利用无刻度直尺作图，请完成下列各小题. 9 ⊙ 宋老师数学图文制作室 ©初高中数学备课备考 教学课件、讲义、单元、月考、期中期床 B B 图① 图② (I)在图①中，以AB为边作一个菱形ABCD(不是正方形)，其中点C,D为格点； (2)在图②中，以AB为边作正方形ABEF,其中点E,F为格点. 【答案】（①）画图见解析（任画一个） (2)画图见解析 【知识点】正方形的判定定理理解、证明四边形是菱形 【分析】(1)取格点C、D,顺次连接A、B、C、D,根据菱形的判定可知四边形ABCD是菱形； (2)取格点E、F,顺次连接A、B、E、F,由勾股定理可知AB=BE=EF=AF,由网格特点可知LBAE=90°，即 可得四边形ABEF是正方形，即为所求； 本题考查了菱形的判定，正方形的判定，掌握菱形和正方形的判定是解题的关键。 【详解】(1)解：如图所示，四边形ABCD即为所求； B 图① 图② (2)解：如图所示，四边形ABEF即为所求. 10 宋老师数学图文制作室 ©初高中数学备课备考 教学课件、讲义、单元、月考、期中期末 B 图② 【题型三】添一个条件使四边形是正方形 例3.(23-24八年级下·浙江宁波·期末)如图，四边形ABCD的对角线AC,BD交于点O,则下列判断正确的是() B A.若AC=BD,AC⊥BD,则四边形ABCD是正方形 B.若OA=OB,OC=OD,则四边形ABCD是平行四边形 C.若OA=OC,OB=OD,AB⊥BC,则四边形ABCD是菱形 D.若OA=OC,OB=OD,AC=BD,则四边形ABCD是矩形 【答案】D 【知识点】添一个条件使四边形是菱形、添一个条件使四边形是正方形、添一条件使四边形是矩形 【分析】本题考查正方形，平行四边形，菱形和矩形的判定，根据相关判定方法，逐一进行判断即可. 【详解】解：A、AC=BD,AC⊥BD,不能判定四边形ABCD是正方形，原选项判断错误； B、OA=OB,OC=OD,不能判定四边形ABCD是平行四边形，原选项判断错误； C、OA=OC,OB=OD,AB⊥BC,则四边形ABCD是矩形，原选项判断错误； D、OA=OC,OB=OD,AC=BD,则四边形ABCD是矩形，原选项判断正确； 11 宋老师数学图文制作室 ©初高中数学备课备考 教学课件、讲义、单元、月考、期中期未 故选：D 变式1.(22-23八年级下·浙江绍兴期末)小明在学习完四边形后，整理成如图所示的知识结构图，发现通过添加边、 角或对角线等元素的特殊条件，就能得到特殊的四边形.写出条件①中你认为合适的边、角或对角线的条件是 .(写出一个即可) 条件：① 矩形 v 四边形 平行四边形 正方形 菱形 【答案】对角线互相垂直（答案不唯一） 【知识点】添一个条件使四边形是正方形 【分析】根据正方形的判定方法可得答案. 【详解】解：：对角线互相垂直的矩形是正方形，有一组邻边相等的矩形是正方形， ∴.添加：对角线互相垂直或有一组邻边相等： 故答案为：对角线互相垂直（答案不唯一）· 【点晴】本题考查的是正方形的判定，熟记对角线互相垂直的矩形是正方形，有一组邻边相等的矩形是正方形是解本 题的关键. 变式2.如图，在ABC中，AB=AC,AD⊥BC,垂足为点D,AN是ABC外角LCAM的平分线，CE⊥AN,垂足 为点E. M .N B (I)求证：四边形ADCE为矩形： 12 宋老师数学图文制作室 ©初高中数学备课备考 教学课件、讲义、单元、月考、期中期末 (2)当ABC满足什么条件时，四边形ADCE为正方形？给出证明. 【答案】(1)见解析 (2)LBAC=90°时，见解析 【知识点】证明四边形是矩形、添一个条件使四边形是正方形、等腰三角形的性质和判定 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，角平分线的意义，矩形的判定，正方形的判定，熟练掌握知识点是解题的关 键。 (1)利用等腰三角形的性质和角平分线的意义，垂直的意义，可得∠ADC=90°=∠DAE=∠AEC,进而证明即可： (2)利用等腰三角形的性质可得CD=AD,进而证明即可. 【详解】(1)：AB=AC,AD⊥BC, ZBAD=ZCAD-ZBAC.ZADC=908 :AN是ABC外角∠CAM的平分线， Z∠CAN=∠MAN-CAM .∠BAC+∠CAM=180°， :∠DAE=∠CAD+∠CAE=∠BAC+∠CAM=90°， 2 .CE⊥AN, .∠AEC=90°， LADC=90°=∠DAE=∠AEC, :.四边形ADCE为矩形： (2)当∠BAC=90°时，四边形ADCE为正方形，理由如下： AB=AC,∠BAC=90°， 13 宋老师数学图文制作室 ©初高中数学备课备考 教学课件、讲义、单元、月考、期中期末 .∠ACB=∠B=45°， AD⊥BC, .AD平分∠BAC, :∠CAD=∠BAC=45°， 、) .∠CAD=∠ACD .CD AD, :四边形ADCE为矩形， :四边形ADCE为正方形 【题型四】正方形性质理解 例4.(22-23八年级下浙江金华期中)正方形具有矩形不一定有的性质是（) A.对角互补 B.对角线相等 C.四个角相等 D.对角线互相垂直 【答案】D 【知识点】矩形性质理解、正方形性质理解 【分析】根据正方形的性质，矩形的性质逐项判断即可. 【详解】解：A.对角互补，正方形具有而矩形也具有，故不符合题意； B.对角线相等，正方形具有而矩形也具有，故不符合题意； C.四个角相等，正方形具有而矩形也具有，故不符合题意： D.对角线互相垂直，是正方形具有而矩形不具有，故符合题意。 变式1.(24-25八年级下·浙江杭州·月考)如图，一个长方形被分割成四部分，其中图形①，②，③都是正方形，且 正方形①，③的面积分别为16和3，则图中阴影部分的面积为· 14 ⊙ 宋老师数学图文制作室 ©初高中数学备课备考 教学课件、讲义、单元、月考、期中期未 ③ ① ② 【答案】4√5-6/-6+43 【知识点】二次根式的混合运算、正方形性质理解 【分析】结合题意，根据算术平方根的性质，计算得正方形①和③的边长，从而得阴影部分的长和宽，再根据二次根 式混合运算的性质计算，即可得到答案。 【详解】：正方形①，③的面积分别为16和3 :正方形①的边长=√6=4，正方形③的边长=√5， :.阴影部分的长=√5，正方形②的边长=正方形①的边长-正方形③的边长=4-3 :阴影部分的宽=4-√5-√5=4-25 :.阴影部分的面积=4-2√5)×√3=4√5-6 故答案为：4V3-6. 【点晴】本题考查了正方形、长方形、二次根式、算术平方根的知识；解题的关键是熟练掌握二次根式混合运算的性 质，从而完成求解 变式2.（22-23八年级下·浙江金华·月考)图①、图②、图③均是5×5的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点， 每个小正方形的边长均为1，点A、B均在格点上.只用无刻度的直尺，在给定的网格中按下列要求画图，所画图形的 顶点均在格点上且不全等，不要求写画法. 15 ,⊙ 宋老师数学图文制作室 ·初高中数学备课备考 教学课件、讲义、单元、月考、期中期末 B B 图① 图② 图③ (I)在图①中以线段AB为边画一个平行四边形 (2)在图②中以线段AB为边画一个正方形. (3)在图③中以线段AB为边画一个菱形. 【答案】（①）见解析 (2)见解析 (3)见解析 【知识点】利用菱形的性质证明、正方形性质理解、利用平行四边形的性质求解 【分析】(1)根据平行四边形的性质画图即可： (2)根据正方形的性质画图即可： (3)根据菱形的性质画图即可. 【详解】(1)解：如图①所示，平行四边形ABCD即为所求： B 图① 16 宋老师数学图文制作室 ©初高中数学备课备考 教学课件、讲义、单元、月考、期中期末 (2)如图②所示，正方形ABCD即为所求； B 图② (3)如图③所示，菱形ABCD即为所求； 图③ 【点晴】本题考查作图一应用与设计作图，菱形的性质，正方形的性质，平行四边形的性质等知识，解题的关键是学 会利用数形结合的思想解决问题 【题型五】根据正方形的性质求角度 例5.(2023八年级下·浙江·专题练习)如图，E为正方形ABCD外一点，且ADE是等边三角形，∠EBC的度数为() A.65° B.75° C.60° D.30° 【答案】B 17 宋老师数学图文制作室 ©初高中数学备课备考 教学课件、讲义、单元、月考、期中期床。 【知识点】三角形内角和定理的应用、根据正方形的性质求角度、等边三角形的性质 【分析】本题考查了正方形的性质，等边三角形的性质，三角形内角和定理，由正方形的性质和等边三角形的性质可 得AB=AD=AE,∠BAD=LCBA=90°，∠DAE=60°，可求∠ABE=∠AEB=15°，可求解，掌握正方形的性质是本 题的关键 【详解】解：：△ADE是等边三角形，四边形ABCD是正方形， AB=AD=AE,∠BAD=∠CBA=90°，∠DAE=60°， :∠BAE=LBAD+∠DAE=150°，∠ABE=∠AEB, :∠ABE+∠AEB+∠BAE=180°， ∠ABE=∠AEB=15°， ∠EBC=LABC-LABE=75°， 故选：B 变式1.(22-23八年级下·浙江绍兴期末)正方形ABCD中，分别以点C,D为圆心，CD长为半径画弧，两弧交于点 P,则∠APB的度数是 【答案】150°或30 【知识点】等边对等角、根据正方形的性质求角度 【分析】作图分两种情况讨论，由等腰三角形的性质和正方形的性质求解即可. 【详解】如图，点P在正方形ABCD内或在正方形ABCD外 A D 当点P在正方形ABCD内 18 宋老师数学图文制作室 ©初高中数学备课备考 教学课件、讲义、单元、月考、期中期末 :四边形ABCD是正方形 .AD=CD,∠ADC=∠DAB=90° 分别以点C,D为圆心，CD长为半径画弧，两弧交于点P .CD DP PC AD, ·∠PDC=60 ∠ADP=30°，且AD=DP .∠DAP=75 ∠BAP=159 同理∠ABP=15 .∠APB=150° 当点P在正方形ABCD外， 同理可得：∠DPC=60°，∠DPA=∠CPB=15° LAPB=30° 故答案为：150°或30°. 【点晴】本题考查了正方形的性质，等边三角形的性质，熟练运用这些性质进行推理是本题的关键 变式2.(2023八年级下·浙江专题练习)如图，在正方形ABCD中，点E是对角线AC上的一点，点F在BC的延长 线上，且BE=EF,EF交CD于点G. (I)求证：DE=EF; (2)求∠DEF的度数. 19 ⊙ 宋老师数学图文制作室 ©初高中数学备课备考 教学课件、讲义、单元、月考、期中期末 【答案】（①）证明见解析： (2)LDEF=90° 【知识点】全等的性质和SAS综合(SAS)、根据正方形的性质证明、根据正方形的性质求角度 【分析】(I)证明△BCE≌△DCE,可得结论； (2)结合(1)根据正方形的性质即可解决问题. 【详解】(1)证明：：四边形ABCD是正方形， .BC=DC,LBCE=∠DCE, 在△BCE和△DCE中， BC=DC ∠BCE=∠DCE CE=CE .△BCE≌△DCE(SAS), ∴.BE=ED, BE EF, :DE =EF; (2)解：四边形ABCD是正方形， ∠DCB=∠DCF=90°， .LF+∠FGC=90°， .△BCE≌△DCE, :LCBE=∠CDE, BE EF, .LCBE=∠F, 20 ⊙ 宋老师数学图文制作室 ©初高中数学备课备考 教学课件、讲义、单元、月考、期中期末 :ZF ZCDE :LFGC=∠DGE, .∠CDE+LDGE=90°， .∠DEF=90°. 【点晴】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定与性质，熟记正方形的性质证明△BCE≌△DCE是解题的关键. 【题型六】根据正方形的性质求线段长 例6.(25-26八年级下·浙江·期中)已知图2是由图1的七巧板拼成的马形图，且正方形ABCD的边长为4，则马形图 边框长方形EFGH的面积为() 图1 G 图2 A.8√2+2 B.8√2+16 C.8√2+32 D.48 【答案】C 【知识点】二次根式的混合运算、根据正方形的性质求线段长、用七巧板拼图形、根据矩形的性质求线段长 【分析】根据图1得出EF=√2+2√2+√2=42，FG=2+2√2+2√2=2+4√2，然后问题可求解. 【详解】解：：正方形ABCD的边长为4， .BD=42,BC =4, 由图1可知：最小正方形的边长、平行四边形较小边长、最小等腰直角三角形的腰长都为4W5。,最大等腰直角三 4 角形的腰长为2√2，较大等腰直角三角形的腰长为2， :由图2可知：EF=√2+2V2+√2=4V2,FG=2+2V2+2W2=2+4V2, 21 宋老师数学图文制作室 ©初高中数学备课备考 教学课件、讲义、单元、月考、期中期末 :.马形图边框长方形EFGH的面积为4W2×2+4W2)=8v2+32 变式1.(25-26八年级下·浙江宁波期中)对角线长为√2的正方形的周长是. 【答案】 4 【知识点】用勾股定理解三角形、根据正方形的性质求线段长 【分析】根据正方形的性质，结合勾股定理求出正方形的边长，再利用正方形周长公式计算结果. 【详解】解：设正方形的边长为a(a>0), :正方形的对角线长为√2， a2+a2=(22, 整理得2a2=2,解得a=1(负值已舍去)， :正方形周长为=4a=4×1=4. 变式2.(24-25八年级下·浙江丽水期末)如图，正方形纸片ABCD的边长为4. (1)请用三角板根据以下要求画图； ①分别取AB,AD,CD的中点E,F,G,连接EF,FG. ②用①所画的3块图形剪拼出一个等腰三角形（无缝隙无重叠），并画出其示意图. (②)求(1)所拼成的等腰三角形的周长. 【答案】(1)见解析 22 宋老师数学图文制作室 ©初高中数学备课备考 一教学课件、讲义、单元、月考、期中期末。 (2)8√2+8 【知识点】作等腰三角形（尺规作图）、根据正方形的性质求线段长、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查了正方形的性质、中点的概念、勾股定理以及图形的剪拼，解题的关键是熟练运用正方形的边长与 中点性质计算线段长度，以及掌握图形剪拼的技巧确定等腰三角形的边长组成. (1)①确定中点位置，连线即可：②通过拼接使图形组合成等腰三角形. (2)计算拼接后等腰三角形三边的长度，再求和得到周长。 【详解】(I)①画图步骤：使用三角板分别找到正方形ABCD的边AB、AD、CD的中点E、F、G,然后用三角板的 直尺边依次连接E与F、F与G.(如图1) 图1 图2 ②剪拼示意图：将剪下的△AEF、五边形BCGFE、△FDG这3块图形进行拼接，可得到一个等腰三角形PQF(如 图2)· (2)如下图， 0 :正方形纸片ABCD的边长为4，点EF分别为AB,AD的中点， .BC=4,AE=AF =2, :LA=90°，所以EF=VAE2+AF2=2√2， :△BEP由△AEF剪拼所得， :PE=EF =2v2,PB=AF =2,PF PE+EF=42 23 宋老师数学图文制作室 ©初高中数学备课备考 一教学课件、讲义、单元、月考、期中期未 同理可得FQ=4V2,CQ=2. 所以等腰三角形的周长为PF+FQ+PQ=4V2+4√2+8=8√2+8. 【题型七】根据正方形的性质求面积 例7.(24-25八年级下浙江金华期末)如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，分别以边AC、BC向外作正方形 ACDE和正方形BFGC,连接EF、AF,若已知AB2-AC的值，则能求出的三角形面积是(). 0 A.三角形ABFB.三角形ACF C.三角形AEF D.三角形ABC 【答案】A 【知识点】以直角三角形三边为边长的图形面积、根据正方形的性质求面积 【分析】延长EA,FB交于点H,根据直角三角形与正方形性质得，∠ACB=90°，∠CBF=90°，∠CAE=90°，得四边 形4C8H是矩形，得∠H=90,4H=8C,得AB-AC=BC的值己知，可求=aC. 【详解】解：延长EA,FB交于点H, :在Rt△ABC、正方形ACDE和正方形BFGC中，∠ACB=90°，∠CBF=90,∠CAE=90°， .LCAH=LCBH=90°， :.四边形ACBH是矩形， ∠H=90°，AH=BC, :AB2-AC2=BC2的值已知， 可以求出S=BFAH=BC 2 24 宋老师数学图文制作室 ©初高中数学备课备考 教学课件、讲义、单元、月考、期中期末 故选：A, R 【点晴】此题主要考查勾股定理.熟练掌握勾股定理，直角三角形性质，正方形的性质，矩形的判定和性质、三角形 面积公式，是解题的关键 变式1.(23-24八年级下·浙江台州·期中)如图，用4张全等的直角三角形纸片拼成的图案，若直角三角形纸片的较 长直角边为4，拼成的中间小正方形面积为1，则四边形ABCD的面积为 【答案】25 【知识点】根据正方形的性质求面积、以弦图为背景的计算题 【分析】本题主要考查正方形的性质、全等三角形的性质，熟练掌握相关性质定理是解决本题的关键， 限据己知条件得4E=DH=CG=8F=4,∠AD=90,H=4E-E=3,求出Sm之H-DH-×3x4=6,进 而即可求解. 【详解】解： 25 宋老师数学图文制作室 ©初高中数学备课备考 教学课件、讲义、单元、月考、期中期末 由题意可知：AE=DH=CG=BF=4, :四边形EFGH是正方形且面积为1， :EF=FG=GH=HE=1,∠EFG=∠FGH=∠GHE=∠HEF=90°， ∴.∠AHD=90°，AH=AE-HE=3, ∴So4=号AH-DH=x3x4=6, 1 2 同理可得：S。4BE=SBCr=S.cDG=S.ADH=6, .S四边形ARCD=SABE+SBCF+S,cDG+SADH+S正方形EGH=6×4+1=25, 故答案为：25 变式2.(22-23八年级下·浙江台州·期中)如图为4×6的方格（每个小正方形边长为1），按要求完成作图 图1 图2 图3 (1)在图1中作一个一边长为√5的矩形（不是正方形）； (2)在图2中作一个面积为6的菱形： (3)在图3中作一个面积最大的，但小于16的正方形： 【答案】(1)见解析 26 ,⊙ 宋老师数学图文制作室 确数子 ©初高中数学备课备考 教学课件、讲义、单元、月考、期中期味 2)见解析 (3)见解析 【知识点】勾股定理与网格问题、根据矩形的性质求线段长、利用菱形的性质求面积、根据正方形的性质求面积 【分析】(1)根据矩形的特点，结合网格特点作图即可得； (2)根据菱形的面积计算方法，结合网格特点作图即可得； (3)根据正方形的判定和性质，结合网格特点作图即可得， 【详解】(1)解：如图1，四边形ABCD即为所求作； 其中AB=CD=VP+22=√5； 图1 (2)如图2，四边形MNPQ即为所求作： 其中，SMNP阳= 2x6=6 10 图2 (3)如图3四边形EFGH即为所求作. 其中，边长为32+12=√0， Strom=(=10. 27 宋老师数学图文制作室 ©初高中数学备课备考 一教学课件、讲义、单元、月考、期中期未 图3 【点晴】本题主要考查作图-应用与设计作图，解题的关键是掌握正方形、矩形、菱形的判定和性质， 【题型八】正方形折叠问题 例8.(2O25浙江·模拟预测)如图，E,F分别是正方形ABCD的边AD,BC上的点，将正方形纸片ABCD沿EF折 叠，使得点B的对应点B恰好落在边CD上，要想知道正方形ABCD的边长，只需知道() A.BF的长度 B.△B'CF的周长 C.△B'DG的周长 D.△A'EG的面积 【答案】C 【知识点】正方形折叠问题、全等三角形综合问题 【分析】本题考查了正方形的性质，折叠的性质，全等三角形的判定与性质，难度较大，正确添加辅助线构造全等三 角形是解题的关键. 连接BG,BB',过点B作BK⊥A'B于点K,则∠GKB=∠B'KB=90°，先证明△BKB'≌△BCB'(AAS),再证明 RtABKG≌RtABAG(HL),则GK=GA,B'K=B'C,即可求解. 【详解】解：连接BG,BB',过点B作BK⊥A'B于点K,则∠GKB=∠B'KB=90°， 28 宋老师数学图文制作室 初高中数学备课备考 教学课件、讲义、单元、月考、期中期末 B :四边形ABCD是正方形， BA=BC,∠ABC=∠C=∠A=90°， 由翻折得，∠ABF=∠A'B'F=90°，FB=FB', .∠1=∠2， :∠1+∠BB'C=90°，∠2+∠3=90°， .∠3=∠BB'C, ∠C=∠BKB'=90°，BB'=BB', △BKB'≌△BCB'AAS), .B'K=B'C,BK =BC, .BA BK, BG=BG, RtABKG≌RtABAG(HL), .GK =GA, .△B'DG的周长为：B'D+DG+B'G=B'D+DG+GK+B'K=B'D+DG+GA+CB'=DC+DA, 即△B'DG的周长为正方形边长的2倍，故只需要知道△B'DG的周长，即可知道正方形的边长，故C符合题意； 对于A、B、D选项条件不足，不能证明， 29 宋老师数学图文制作室 ©初高中数学备课备考 教学课件、讲义、单元、月考、期中期未 故选：C 变式1.(23-24八年级下浙江台州期末)如图，正方形纸片ABCD的边长为6.E,F分别是对边AD,BC上的点， AE=CF.把正方形纸片沿着直线EF对折，点C,D的对应点分别是点C,D.若AE=2,则交叠而成的五边形 EFGHJ的周长是 D H E 【答案】10+2V10/210+10 【知识点】全等三角形综合问题、正方形折叠问题、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查了勾股定理，正方形与折叠问题，全等三角形的性质与判定；连接AC交EF于点O,连接H0并延 长交DC于点H',连接BD,过点F作FM⊥AD于点M,勾股定理求得EF,根据折叠性质，正方形的性质，全等三 角形的性质与判定证明JE=JH=HG=GF，进而勾股定理求得JE的长，进而即可求解 【详解】解：如图所示，连接AC交EF于点O,连接HO并延长交DC于点H',连接BD,过点F作FM⊥AD于点 M, D' H B E .AE=CF=2,DE=AD-AE=6-2=4, 又：∠MDC=∠DCF=90°， ∴.四边形MDCF是矩形， 30 宋老师数学图文制作室 ©初高中数学备课备考 教学课件、讲义、单元、月考、期中期未 .FC=MD=2, .EM=ED-MD=4-2=2, 在Rt△EMF中，EF=√EM2+FM?=V22+62=2V10, AD‖BC, .∠EAO=∠FCO 在△AEO,△CFO中， ∠EAO=∠FCO ∠AOE=∠COF AE=CF .:△AEO2△CFO(AAS) ∴.E0=F0,A0=C0 :在正方形ABCD中， BD过AC的中点O, .B0=D0 同理可得△HOB≌△HOD,则OH=OH', ∴四边形EH'FH是平行四边形， :折叠， .HH'⊥EF, 则∠H0F=∠A0B=90° 在△AEO,△BHO中， 31 宋老师数学图文制作室 ©初高中数学备课备考 o. 教学课件、讲义、单元、月考、期中期味 A0=BO ∠EAO=∠HBO ∠EOA=∠HOB=90°-∠AOH .△AEO≌△BHO ∴.HB=AE=2 :DH'=HB=2, 在Rt△AEH,Rt△DH'E中， AE=DH' ∠EAH=∠H'DE AH ED=4 ∴.RtAEH≌RtaDHE .EH EH' 同理可得EH=HF=HF ED ED'=AH =4 在Rt△AEH,Rt△D'EH中， EH=EH D'E=AH .Rt AEH≌Rt△D'HE ∴.∠AHE=∠D'EH :JE JH 设AJ=x,则JE=JH=4-x 在Rt△AJE中，JE2=AJP+AE2 (4-x)2=x2+22 32 宋老师数学图文制作室 ©初高中数学备课备考 一教学课件、讲义、单元、月考、期中期未 解得：x=1.5 ∴.EJ=JH=2.5 同理可得HG=GF=2.5 “五边形EFGHJ的周长为2.5×4+2V10=10+210 故答案为：10+2V10 变式2.（22-23八年级下·浙江舟山期末)问题情境：数学活动课上，同学们开展了以“矩形纸片折叠”为主题的探究 活动（每个小组的矩形纸片规格相同），己知矩形纸片宽AD=6. F D D A' F D G E B B E 图1 图2 图3 动手实践： (1)如图1，A小组将矩形纸片ABCD折叠，点D落在AB边上的点E处，折痕为AF,连接EF,然后将纸片展平， 得到四边形AEFD,试判断四边形AEFD的形状，并加以证明. (2)如图2，B小组将矩形纸片ABCD对折使AB与DC重合，展平后得到折痕P9,再次过点A折叠使点D落在折痕 PO上的点N处，得到折痕AM,连结MN,展平后得到四边形ANMD,请求出四边形ANMD的面积， 深度探究： (3)如图3，C小组将图1中的四边形EFCB剪去，然后在边AD,EF上取点G,H,将四边形AEFD沿GH折叠，使 A点的对应点A始终落在边DF上（点A不与点D,F重合），点E落在点E处，A'E'与EF交于点T. 探究①当A在DF上运动时，△FTA'的周长是否会变化？如变化，请说明理由；如不变，请求出该定值， 探究②直接写出四边形GAEH面积的最小值. 33 宋老师数学图文制作室 ©初高中数学备课备考 教学课件、讲义、单元、月考、期中期未 【答案】1)正方形，证明见解析；(2)12√5：(3)①不变，定值是12：②27 【知识点】证明四边形是菱形、正方形折叠问题、矩形与折叠问题 【分析】(I)证AD=AE=FD=FE,得四边形AEFD是菱形，再由∠D=90°，即可得出结论： (2)连接DN,由折叠的性质可得△ADN是等边三角形，∠DAM=30°，求出DA',由三角形面积公式可求出 S因边形ANWD=2S。ADM; (3)①连接AA,AT,过点B作BM⊥AT于点M,证明△DAA'≌△MAA'(AAS),由全等三角形的性质得出 DA'=MA',AD=AM,证明RtAAMT≌RtAAET(HL),由全等三角形的性质得出MT=ET,则可得出答案；②过点 H作HQ1AD,连接AM,设GA=AG=x,DA"=a,由勾股定理求出x=36+a,由四边形面积公式可得出 12 1a2+36 S 由配方法可求出答案。 6 【详解】解：(1)四边形AEFD是正方形，理由如下： :四边形ABCD是矩形， .∠D=90°，AB∥CD, ∴.∠FAE=∠DFA, 由第一步折叠可知：LFAE=LDAF,AD=AE,FD=FE, .∠DAF=∠DFA, ∴.AD=FD, .AD AE=FD=FE, :四边形AEFD是菱形， 又：∠D=90°， :四边形AEFD是正方形： 34 宋老师数学图文制作室 ©初高中数学备课备考 教学课件、讲义、单元、月考、期中期味 (2)连接DN, D M 0 B 由折叠得，AP=PD=AD=3,AN=AD=6,PQ⊥AD,∠DAM=∠NMM, .DN AN =6, ∴DN=AN=AD=6, :△ADN是等边三角形， :∠DAN=60°， 1 HZD1M=2D4N=309, 设DM=x,则AM=2x, 由勾股定理得，AD2+DM2=AM2, 62+x2=(2x2, 解得，x=2V5(负值舍去) DM=25, 由折叠得，S.m=S.=)AD×DM=x6x2N5 2 S四边形4MD=2S。MDM=12V5; (3)①△FTA'的周长不变，为定值12.理由如下： 35 宋老师数学图文制作室 ©初高中数学备课备考 教学课件、讲义、单元、月考、期中期末 如图，连接AA',AT,过点A作AM⊥A'T于点M, D A G A E 由折叠可知，AG=GA',∠GA'E=∠GAE=90°， .∠GAA'=∠GA'A, ∠A'AE=∠AA'E', :DF∥AE, .∠DA'A=∠A'AE=∠AA'E', AA'=AA', △DAA'≌△MAA'AAS, :DA'=MA',AD =AM, :AM AD=AE, .AT=AT, :RtAMT≌RtAAET(HL, ∴.MT=ET, :△FTA'的周长=A'F+TF+A'T=A'F+TF+A'M+TM=A'F+TF+A'D+ET=DF+TF=6+6=12, △FTA的周长为12. ②过点H作HQ1AD,连接AA',设GA'=AG=x,DA'=a, 36 宋老师数学图文制作室 ©初高中数学备课备考 教学课件、讲义、单元、月考、期中期未 A G A E 在RtADGA'中，(6-x)2+a2=x2, 解得x=36+a2 12 由折叠可知，∠AGH=∠A'GH,AG=A'G, .AA'⊥GH, :∠HQA=90°， .∠QHG=∠DAA, :AD=AE=QH,∠D=∠HQG=90°， .△DAA'≌△QHG(ASA, .OG=DA'=a, :QH⊥AD,四边形AEFD是正方形， .EH=AO=AG-OG=x-a. S=(x-a+xx6=3 a2+36 2 6 、当a=3时，S有最小值为 27 【点晴】本题考查四边形综合题，考查了折叠的性质，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，配方法 等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题. 37 宋老师数学图文制作室 ©初高中数学备课备考 教学课件、讲义、单元、月考、期中期末 【题型九】根据正方形的性质证明 例9.(24-25八年级下·浙江台州期中)如图，在正方形ABCD中，AE平分∠BAC交BC于点E,过点D作 DF⊥AE交AE于点H,交AB于点F,连接DE,下列结论：①AF=BE;②∠CDF=67.5°；③△DHE≌△DCE,其中 正确的结论是() E A.①② B.①③ C.②③ D.①②③ 【答案】A 【知识点】全等的性质和ASA(AAS)综合(ASA或者AAS)、根据正方形的性质证明 【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，利用正方形的性质证明△AFD≌△ABE(AAS),可得 AF=BE,即可判定①；由全等三角形的性质得∠ADF=∠BAE=22.5°，即得LCDF=∠ADC-∠ADF=67.5°，即可 判定②；由直角三角形的性质可得AD>DH，即得CD>DH,得到△DHE和△DCE不全等，即可判定③，综上即可 求解，掌握正方形的性质是解题的关键。 【详解】解：①：四边形ABCD是正方形， .AB=DA=CD,∠DAF=∠B=∠ADC=∠DCE=90°，∠BAC=45°， :AE平分∠BAC, BE=∠C4E=84c=225, 在Rt△ABE中，∠BEA=90°-∠BAE=67.5°， :DF⊥AE, .∠AHF=90°， 38 宋老师数学图文制作室 ©初高中数学备课备考 教学课件、讲义、单元、月考、期中期味 LAFD=90°-∠BAE=67.5°， ∴.∠AFD=∠BEA=67.5°， 在△AFD和△ABE中， I∠AFD=∠BEA ∠DAF=∠B=90°， AB=DA :△AFD≌△ABE(AAS), AF=BE,故①正确； ②：△AFD≌△ABE, .LADF=∠BAE=22.5°， ∠CDF=∠ADC-LADF=90°-22.5°=67.5°，故②正确： ③连接DE,如图所示， E :DF⊥AE, LAHD=∠DHE=90°， :△ADH是直角三角形， .AD>DH .CD DH, 39 宋老师数学图文制作室 ©初高中数学备课备考 教学课件、讲义、单元、月考、期中期味 又：∠DHE=∠DCE=90°，DE=DE, .△DHE和△DCE不全等，故③不正确； 综上所述，正确的结论是①②， 故选：A 变式1.(24-25八年级下.浙江杭州·月考)如图，在正方形ABCD中，点E,F分别在BC,CD的延长线上，连接 AE,AF,EF,AE与CF交于点G.已知LEAF=45°，AB=3.有以下四个结论：①BE-DF=EF;② ∠AEF=∠AEB;③GF=GE;④若DF=1,则△AEF的面积为7.5，以上结论中正确的是· 【答案】①②④ 【知识点】全等三角形综合问题、根据正方形的性质证明、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的性质与判定，勾股定理，等边三角形的性质与判定；在BC上截取 BH=DF,连接HA,HG,HF,证明△FAE≌△HAE(SAS),即可判断①②，进而假设GF=GE得出DF=6-3V3,进而 回知③不一定正确，在Rt△GHC中，HG'=GC2+HC2,勾股定理求得CG=),再证明△ADG≌4ECG,可得 CE=AD=3,进而根据三角形的面积公式，即可求解. 【详解】解：如图所示，在BC上截取BH=DF,连接HA,HG,HF, D B H :四边形ABCD是正方形 :AB=AD,∠ADF=∠ADC=∠B=90 40 宋老师数学图文制作室 角数子 ©初高中数学备课备考 教学课件、讲义、单元、月考、期中期末 在Rt△ABH,Rt△ADF中， AB=AD BH=DF :Rt△ABH≌RtAADF(HL), .AF=AH,∠FAD=∠HAB ∠FAH=∠DAH+∠FAD=LDAH+∠HAB=90°， ∴△FAH是等腰直角三角形， :∠EAF=45°， .∠HAE=∠FAE=45°， 又：AE=AE, △FAE≌△HAE(SAS), :HE=FE,∠AEH=∠AEF=∠AEB,故②正确： HE=BE-BH=BE-DF=EF,故①正确； EH EF,AH=AF .AE垂直平分FH, ..GF=GH, 若GF=GE,则GH=GE 又：GC⊥HE .FC垂直平分HE .FH=FE; 又：EF=EH, Al 宋老师数学图文制作室 ©初高中数学备课备考令 教学课件、讲义、单元、月考、期中期味 :EF EH =FH △EFH是等边三角形， ∴.∠FEH=60°， ,∠AEH=30°， .GH=GE ∠GHC=∠GEH=30° :.GC=1HG, 2 在RtAHCG中，HC=VHG2-CG2=V5CG 设DF=BH=x,则HC=BC-BH=3-x=CE, ∴.FH=HE=2HC=6-2x 在Rt△FHC中，FH2=HC2+FC2 (6-2x)2=(3-x)2+(3+x)2 解得：x=6-3√5或x=3V5+6(舍去) :.当且仅当DF=6-3V5时，GF=GE,故③不一定正确； ④若DF=1,则HC=BC-BH=3-1=2, 设CG=x, :G在AE上，AE垂直平分FH, GF=GH=FC-GC=3+1-x=4-x 在Rt△GHC中，HG2=GC2+HC2, (4-x)2=x2+22 42 ,,⊙ 宋老师数学图文制作室 宋艺确数子 ©初高中数学备课备考 教学课件、讲义、单元、月考、期中期未 3 解得：x= 即CG=3 DG=3-33 22 ..DG=CG, AD∥BE, .LDAG=∠CEG,∠ADG=∠ECG, .△ADG≌△ECG, :CE=AD=3, SAAEF=S△AEG+SAEFG =xFGxAD+,×FGxCE 2 2 15x3+ 22 22 =7.5 △AEF的面积为7.5.故④正确 故答案为：①②④， 变式2.(2023八年级下·浙江宁波竞赛)如图，在ABC外分别以AB、AC为边作正方形ABDE和正方形ACFG,连 接EG,过点A作AH⊥EG交BC于点M.求证： A3 宋老师数学图文制作室 ©初高中数学备课备考 教学课件、讲义、单元、月考、期中期未。 04M=c: (②)EG2+BC2=2AB2+AC2）. 【答案】(1)见详解 (②)见详解 【知识点】全等三角形综合问题、根据正方形的性质证明、用勾股定理解三角形 【分析】该题考查了勾股定理，正方形的性质，全等三角形的性质和判定，解题的关键是掌握以上知识点， (1)如图，过点B作BK⊥AM于K,过点C作CN⊥AM于N,得出∠N=∠BKA=∠BKM=90°，根据四边形 ABDE和四边形ACFG是正方形，得出LGAC=∠EAB=90°，AG=AC,AE=AB,证明△EHA≌△AKB,△GHA≌△ANC, 得出EH=AK,GH=AN,AH=BK=CN,证明△BKM≌△CNM,得出CM=BM,MK=MN,再根据EG=GH+EH =AN+AK=2KM+2AK=2AM,即可证明. (2)如图，过点A作AT⊥BC于T,则BM=BT+TM,CM=CT-TM.根据勾股定理得AB?=BT2+AT2, AC2=CT2+AT2,AT2=AM2-TM2,从而得出AB2=BT2+AM2-TM2=AM2+BM(BT-TM)①， AC2=CT2+AM2-TM2=AM2+CM(CT+TM)②，①+②得AB2+AC2=2AM2+BM(BT-TM)+CM(CT+TM),由 a知8McM,4W=G,即可得48+4c=2G小+aCBc,每EG+8c-248+4C) 【详解】(I)证明：如图，过点B作BK⊥AM于K,过点C作CN⊥AM于N, 44 宋老师数学图文制作室 ⑧初高中数学备课备考令 教学课件、讲义、单元、月考、期中期味。 H 63 .∠N=∠BKA=∠BKM=90°， :四边形ABDE和四边形ACFG是正方形， ∠GAC=LEAB=90°，AG=AC,AE=AB, .AH⊥EG, ∴.∠AHE=∠AHG=90°， .∠1+∠2=90°=∠1+∠3，∠4+∠5=90°=∠6+∠5， ∠2=∠3，∠4=∠6， :△EHA≌△4KB(AAS),△GHA≌△ANC AAS), .EH AK,GH=AN,AH=BK =CN, ∠7=∠8，∠N=∠BKM=90°，CN=BK, ∴.△BKM≌△CNM AAS, .CM=BM,MK =MN, .EG=GH +EH AN +AK =2KM+2AK=2(KM +AK)=2AM, :AM=IEG 2 (2)证明：如图，过点A作AT⊥BC于T, 45 宋老师数学图文制作室 ⑧初高中数学备课备考 教学课件、讲义、单元、月考、期中期林。 G 则BM=BT+TM,CM=CT-TM. 在Rt△ABT中，AB2=BT2+AT2, 在R1aACT中，AC2=CT2+AT2, 在Rt△ATM中，AT2=AM2-TM2, :AB2=BT2+AM2-TM2 =AM2+BT2-TM? =AM2+(BT+TM)(BT-TM) =AM2+BM(BT-TM)①， AC2=CT2+AM2-TM2 =AM2+CT2-TM2 =AM2+(CT+TM)(CT-TM) =AM2+CM(CT+TM)②， ①+②得AB2+AC2=2AM2+BM(BT-TM)+CM(CT+TM), 由(1)知BM=CM, .AB2+AC2=2AM2+BM(BT -TM+CT+TM) =2AM'+BM (BT+CT)=2AM2+BM.BC, 46 宋老师数学图文制作室 ©初高中数学备课备考 教学课件、讲义、单元、月考、期中期未 由(1)知AM=二EG, 8M=号6c :4B+AC=2EG 21 BC.BC. ∴EG2+BC2=2AB2+AC） 【题型十】根据正方形的性质与判定求角度 例1O.如图，正方形ABCD的边长为I,点E,F分别是对角线AC上的两点，EGLAB.EILAD,FHLAB,FJLAD, 垂足分别为G,L,H,J.则图中阴影部分的面积等于· D G H B 【答案】月 【知识点】根据正方形的性质与判定求角度 【分析】根据轴对称图形的性质，解决问题即可 【详解】解：：四边形ABCD是正方形， :.直线AC是正方形ABCD的对称轴， :EGLAB.EILAD,FHLAB,FJLAD,垂足分别为G,I,H,J. ∴.根据对称性可知：四边形EFHG的面积与四边形EFI的面积相等，△AIE的面积=△AEG的面积， 47 宋老师数学图文制作室 ©初高中数学备课备考 教学课件、讲义、单元、月考、期中期末 ∴S阴=2S正方形ABCD= 1 2 故答案为： 【点晴】本题考查正方形的性质，解题的关键是利用轴对称的性质解决问题，属于中考常考题型 变式1.(24-25八年级下·浙江宁波·月考)已知凸四边形的四条边和两条对角线这六条线段中只有两种长度.请画出 图形，并求这个四边形的最大内角的度数. 【答案】图形见解析；四边形的最大内角的度数分别是90°，120°，150°和108°. 【知识点】多边形内角和问题、等边三角形的判定和性质、根据正方形的性质与判定求角度、根据菱形的性质与判定 求角度 【分析】本题考查了根据题意画出图形，解题关键是正确理解题意， 分四种情况： ①在四边形ABCD中，四边相等，两条对角线相等，求出度数即可： ②四边形ABCD的四条边与一条对角线相等，求出度数即可； ③四边形ABCD的两条边与两条对角线相等，另两条边相等，求出度数即可： ④四边形ABCD的一条边与两条对角线相等，另三边相等，求出度数即可. 【详解】解：分四种情况： ①如图所示， 48 宋老师数学图文制作室 ©初高中数学备课备考 教学课件、讲义、单元、月考、期中期末 在四边形ABCD中，四边相等，两条对角线相等， 即AB=BC=CD=AD,AC=BD, :四边形ABCD是正方形， ·AC=BD>AB, :正方形ABCD符合题意， .∠ABC=∠ADC=LDCB=∠DAB=90°， 即这个四边形的最大内角为90°： ②如图所示， B 四边形ABCD的四条边与一条对角线相等， 即AB=BC=CD=DA=BD<AC, :在△ABD中，AB=AD=BD, ,△ABD是等边三角形， :∠BAC=∠ABD=∠ADB=60°， 同理，∠BCD=∠CBD=∠CDB=60°， .∠ABC=∠ABD+∠CBD=120°， :这个四边形的最大内角为120°： 49 ,⊙ 宋老师数学图文制作室 ©初高中数学备课备考 教学课件、讲义、单元、月考、期中期末 ③如图所示， 四边形ABCD的两条边与两条对角线相等，另两条边相等， 即AB=AD=BD=AC,BC=CD, ABC是等边三角形， ∠BAD=60°， ·AB=AD,AC=AC,BC=CD, .△ABC≌AADC, :∠BAC=∠CAD=30°，∠BCA=∠DCA, AB=AC, ∠DC1=∠BC4=180°-30)=75 ,∠BCD=∠DCA+∠BCA=150°： :这个四边形的最大内角为150°： ④如图所示， B 四边形ABCD的一条边与两条对角线相等，另三边相等， 50 宋老师数学图文制作室 ©初高中数学备课备考 教学课件、讲义、单元、月考、期中期床 即AB=DA=CD,AC=BD=BC, 则四边形ABCD是梯形，AD与BC平行， .∠ODA=LDBC, △ABD≌△DCA, 0A=0D,∠0AD=∠ODA, AB AD, :LABD=∠OAD, ∠ABD=∠DBC, .∠ABC=2∠ABD, BC=AC, LABC=∠ACB, ∴.∠BAC=2∠ABD, .∠BAD=3∠ABD, ∠ABC+∠BAD=180°， 即5∠ABD=180°， ∠ABD=36°， :∠BAD=3×36°=108°， :四边形的最大内角的度数分别是90°，120°，150°和108°， 【题型十一】根据正方形的性质与判定求线段长 例11.(23-24八年级下·浙江台州期中)若一个四边形的一条对角线把四边形分成两个等腰三角形，我们把这条对角 线叫这个四边形的和谐线，这个四边形叫做和谐四边形.如菱形就是和谐四边形.已知四边形ABCD中， AB=AD=BC=2,∠BAD=90°，AC是四边形ABCD的和谐线，且AC≠CD,则四边形ABCD的面积为() 51 宋老师数学图文制作室 ©初高中数学备课备考 教学课件、讲义、单元、月考、期中期未 A.5 B.√2或4 C.√3+1或4 D.√2 【答案】C 【知识点】证明四边形是矩形、根据正方形的性质与判定求线段长、等边三角形的判定和性质、用勾股定理解三角形 【分析】由AC是四边形ABCD的和谐线，分两种情况进行讨论：当AD=AC时，当AD=CD时，分别画出图形，求出 四边形ABCD的面积， 【详解】解：：AC是四边形ABCD的和谐线， △ACD是等腰三角形. .AB=AD=BC=2, 如图，当AD=AC时，过点C作CE⊥AD于点E,CF⊥AB于点F, ● E D .AB=AC=BC, :.ABC是正三角形， AF=BF二)AB= CF=VAC2-AF2=V22-1下=√5， :∠CEA=∠EAF=∠CFA=90°， :四边形AFCE为矩形， .CE=AF=1, ∴Suc=)ABxCF=×2xV5=5, 2 52 宋老师数学图文制作室 ©初高中数学备课备考 教学课件、讲义、单元、月考、期中期末 S..cD=-ADxCE=-x2x1=1, 2 S四边形BcD=SHBc+S。ACD=V5+1 如图，当AD=CD时， .AB=AD=BC=CD, :四边形ABCD为菱形， ∠BAD=90°， :四边形ABCD是正方形， 六S西边形4BcD=2×2=4; 综上分析可知：四边形ABCD的面积为√5+1或4. 故选：C. 【点晴】此题考查了等边三角形的判定和性质、勾股定理、正方形的判定和性质，矩形的判定和性质，解题的关键是 熟练掌握相关的判定和性质，注意掌握数形结合思想与分类讨论思想的应用 变式1.(24-25八年级下·浙江宁波期末)如图，在矩形ABCD中，AB=1,将ABC沿对角线AC翻折，得到△AEC, CE交AD于点F,再将△AEF沿AF翻折，得到△AGF,GF交AC于点H,若AC平分∠DAG,则FH的长为 53 宋老师数学图文制作室 ©初高中数学备课备考 教学课件、讲义、单元、月考、期中期未 D B 【答案】2-√2 【知识点】用勾股定理解三角形、根据正方形的性质与判定求线段长、矩形与折叠问题 【分析】本题主要考查矩形的性质、翻折变换的性质、正方形的判定与性质、勾股定理等知识点，弄清线段间的关系 成为解题的关键， 如图：连接EH,由矩形的性质得LB=LBAD=LD=90°，DC=AB=1,由翻折得 AG=AE=AB=1,LG=∠E=LB=90°，∠EAC=LBAC=90°-∠DAC,则∠GAF=∠EAF=90°-2∠DAC,所以 ∠GAC=∠DAC=90°-3LDAC,求得∠DAC=22.5°，则LGAF=∠EAF=45°，可证明四边形AEFG是正方形，则 FE=AE=1,海证明DF=DC=1,求cF=5,则CE=5+1,可证明Soae=S.c,则片5+FH=×2x1, 然后求解即可。 【详解】解：如图：连接EH, B :四边形ABCD是矩形，AB=1, .∠B=∠BAD=∠D=90°，DC=AB=1, 由翻折得：AG=AE=AB=1,LG=LE=LB=90°，LEAC=∠BAC=90°-∠DAC, 54 宋老师数学图文制作室 ©初高中数学备课备考 教学课件、讲义、单元、月考、期中期味 ∴LGAF=LEAF=∠EAC-∠DAC=90°-2LDAC, ∴.∠GAC=∠GAF-∠DAC=90°-3∠DAC, :AC平分∠DAG, :ZGAC ZDAC, .∠DAC=90°-3∠DAC, .∠DAC=22.5°， .∠GAF=∠EAF=90°-2×22.5°=45°， ∴.∠EAG=2∠EAF=90°， :LG=∠A=∠E=90°，AG=AE=1, :四边形AEFG是正方形， .FE=AE =1, ∠DFC=∠EFA=∠EAF=45°， .∠DCF=∠DFC=45°， .DF=DC=1, CF=VDF2+DC2=V2+12=√2， .CE=V2+1, :AE∥FH, S.EFH S.AFH, S.EHC S.EFH +S.CFH S.AFu+S.CFH S.AFC CEFMCFAE. 55 宋老师数学图文制作室 ©初高中数学备课备考 教学课件、讲义、单元、月考、期中期末 2x(5+FH=×2x1,解得：FH=2-2. 故答案为：2-√2 变式2.(24-25八年级下浙江绍兴期末)如图，在正方形ABCD中，G是对角线BD上的一点（不与点B,D重合）， 过点G作GE∥BC,GF∥DC,分别交DC,BC于点E,F (I)求证：四边形GECF是矩形. (2)若AB=7,CF=3，,求AG的长. 【答案】（①）见解析 (2)5 【知识点】证明四边形是矩形、根据正方形的性质与判定求线段长、用勾股定理解三角形、根据正方形的性质证明 【分析】本题主要考查了正方形的性质与判定，矩形的性质与判定，勾股定理，等腰直角三角形的性质与判定，熟知 相关知识是解题的关键 (1)先证明四边形GECF是平行四边形，再由正方形的性质得到∠C=90°，则可证明oGECF是矩形： (2)延长FG交AD于点H,则四边形DHGE是矩形，可证明△DGE是等腰直角三角形.得到DE=GE=FC=3,则 矩形DHGE是正方形，据此可求出AH,GH,再利用勾股定理即可求出AG的长 【详解】(1)证明：：GE∥BC,GF∥CD, 四边形GECF是平行四边形. :在正方形ABCD中，∠C=90°， 56 宋老师数学图文制作室 确数子 ©初高中数学备课备考 一教学课件、讲义、单元、月考、期中期抹 GGECF是矩形 (2)解：如图，延长FG交AD于点H, H G E B F C 在正方形ABCD中，∠ADC=90°，∠BDC=45°， :∠DEG=∠CEG=∠HGE=∠FGE=90°， ,:四边形DHGE是矩形，△DGE是等腰直角三角形 .DE=GE=FC=3, :矩形DHGE是正方形. .HG=DH=GE=3,AH=AD-DH=7-3=4, 在Rt△AHG中，AG=√AH2+HG2=V32+42=5. 【题型十二】根据正方形的性质与判定求面积 例12.(2025八年级下·浙江台州期末)如图所示为“赵爽弦图”，其中△ABE、CBF、aCDG、△ADH是四个全等的 直角三角形，且两条直角边之比为I:2,连接BG、DE,分别交AE、CG于点M、N,则四边形GBED和四边形 GMEN的面积比为() D G H M 57 宋老师数学图文制作室 初高中数学备课备考 教学课件、讲义、单元、月考、期中期末 A.5:2 B.2:1 C.2:1 D.51 【答案】B 【知识点】根据正方形的性质与判定求面积 【分析】先求出HG=EB,证明△HGM≌△EBM,得到BMGB,再根据两个平行四边形的底与高的关系即可求解. 【详解】：△ABE、CBF、△CDG、△ADH是四个全等的直角三角形， .∴AB=BC-CD=AD,∠ABE+∠FBC∠ABE+∠BAE-9O° .四边形ABCD是正方形 :BE:AE=1:2 :BE=HE=DG :∠GHMF∠BME-=90°，∠HMG=∠EMB .△HGM≌△EBM ∴.BM-GB,故BG:MG=2:1 又BF//DH,BE=DG :四边形GBED是平行四边形 :BG//DE AE//CG 四边形 GMEN是平行四边形 :平行四边形GBED与平行四边形GMEN的高相等 :四边形GBED和四边形GMEN的面积比为BG:MG=2:1 故选B. 【点晴】此题主要考查正方形的判定与性质，解题的关键是熟知全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质， 58 宋老师数学图文制作室 ©初高中数学备课备考 教学课件、讲义、单元、月考、期中期末。 变式1.(23-24八年级下·浙江杭州·期中)如图是一张等腰直角三角形彩色纸，AC=BC=20√2cm,要裁出几张宽度 相等的长方形纸条，宽度都为5√2cm,用这些纸条为一幅正方形照片EFGH镶边（纸条不重叠），图1和图2是两种 不同裁法的示意图. G 图1 图2 (1)求两种裁法最多能得到的长方形纸条的条数； (2)分别计算两种裁法得到长方形纸条的总长度； (3)这两种裁法中，被镶边的正方形照片EFGH的最大面积为多少？ 【答案】()图1裁法最多能得到2条长方形纸条；图2裁法最多能得到3条长方形纸条； (2)图1裁法得到长方形纸条的总长度：(80-30√2)cm;图2裁法得到长方形纸条的总长度：30√2(cm); (3)12.5(cm2) 【知识点】等腰三角形的性质和判定、根据矩形的性质与判定求线段长、根据正方形的性质与判定求面积 【分析】(1)如图3，过点C作CD⊥AB于D,利用CD的长5√2可得如图1裁法最多能得到的长方形纸条的条数， 利用AC的长：52可得如图2裁法最多能得到的长方形纸条的条数： (2)根据等腰直角三角形的性质分别计算如图1和如图2中长方形纸条的总长度； (3)因为四边形EFGH是正方形，所以它的面积为边长的平方，所以比较两种裁法的边长即可，根据两种裁法的总长 可得如图4中的PG的长，最后计算FG的长即可解答. 【详解】(1)如图3，过点C作CDLAB于D, 59 宋老师数学图文制作室 ©初高中数学备课备考 教学课件、讲义、单元、月考、期中期床 B D 图3 :AC=BC=20V2,∠ACB=90°， ∴AB=√2AC=√2×20V2=40cm, :.CD=4B=20cm, 20=205=22,且2<22<3， 52 10 :如图1裁法最多能得到2条长方形纸条； 20V2÷5V2=4, “如图2裁法最多能得到3条长方形纸条： (2)如图1， D 图1 :△4CB是等腰直角三角形， .∠A=45, “△AEF是等腰直角三角形， .EF=AF=52cm, ∴.E0=40-52-5√2=(40-10√2)cm, 60 宋老师数学图文制作室 ©初高中数学备课备考 教学课件、讲义、单元、月考、期中期未一 同理得：DP=40-10√2-10√2=(40-20√2)cm, :如图1裁法得到长方形纸条的总长度=EQ+DP=40-10√2+40-20√2=(80-30√2)cm; 如图2， C D P 图2 同理可知△PEB是等腰直角三角形，且BE=5√2cm, .PD=20√2-5√2=15√2cm,QG=15√2-5√2=10√2cm, :如图2裁法得到长方形纸条的总长度=15√2+102+5√2=30√2(cm): (3)如图4， D : H E G B 图4 如图1裁法：pG=80-305=(20-15V5)cm, 4 2 FG=PG-PF=20-155-5N2=(20-255)cm, 2 2 如图2栽法：PG=302=15W2cm 4 2 FG=PG-PF=155-52=5 cm, 2 2 61 宋老师数学图文制作室 ©初高中数学备课备考 教学课件、讲义、单元、月考、期中期味 :20-252<5V2 2 2 、2 ,.这两种裁法中，被镶边的正方形照片EFGH的最大面积为 5v2 12.5(cm2). 【点晴】此题考查了等腰直角三角形的性质和判定，正方形及矩形的性质等知识，要仔细观察图形，掌握等腰直角三 角形的性质是解本题的关键. 【题型十三】根据正方形的性质与判定证明 例13.(2024八年级下·浙江湖州期末)如图，已知四边形ABCD是正方形，点E为对角线AC上一点，连结DE,过 点E作EF⊥DE,交BC延长线上于点F,以DE,EF为邻边作矩形DEFG,连结CG,若AB=2√2，则CE+CG的 值为()· D A G E B H A.2 B.3 C.4 D.5 【答案】C 【知识点】根据正方形的性质与判定证明、用勾股定理解三角形 【分析】如图：作出辅助线后，根据各角之间的关系，可得RIAEFK兰RIAEDP,得到EF=ED,所以矩形DEFG为正 方形，再根据各角间关系，证明△AED三△CGD,得到AE=CG,运用等量代换求CE+CG即为求AC,运用勾股定理， 求出AC即为答案， 【详解】解：如图，作EK⊥BC于点K,EP⊥DC于点P, 62 宋老师数学图文制作室 ©初高中数学备课备考 教学课件、讲义、单元、月考、期中期味 D G D E B K F H ~四边形ABCD为正方形，AC为对角线， :.ZDCA=ZBCA,EP=EK, ∠DEP=90°-∠PEF,∠KEF=90°-LPEF, ∠DEP=∠KEF, 在Rt△EFK与RIAEDP中， [∠KEF=∠DEP EP=EK, ∠EKF=∠DPE RIAEFK兰RIAEDP, EF=ED, 矩形DEFG为正方形， ~LADE+∠EDC=90°，∠CDG+∠EDC=90°， ∠ADE=∠CDG, 在△AED与ACGD中， AD=CD ∠ADE=∠CDG, DE=DG △AED兰△CGD, 63 宋老师数学图文制作室 ©初高中数学备课备考 教学课件、讲义、单元、月考、期中期未 .AE =CG, ∴CE+CG=CE+AE=AC, ×AB=25, 六AC=VAB2+BC2=4, ∴.CE+CG=4, 故选：C. 【点晴】题目主要考查了正方形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理等，作出辅助线及连续运用两次 三角形全等是解题关键， 变式1.(23-24八年级下浙江杭州·期末)折叠矩形纸片ABCD时，发现可以进行如下操作： ①如图1，把ADE翻折，点A落在DC边上的点F处，折痕为DE,点E在AB边上，则∠DEF=; ②把纸片展开并铺平； ③如图2，再把aCDG翻折，点C落在线段AE上的点H处，折痕为DG,点G在BC边上，若AB=AD+3,EH=1, 则AD= D D F E B HE B 图1 图2 【答案】 459 4+26 【知识点】矩形与折叠问题、根据正方形的性质与判定证明、公式法解一元二次方程、用勾股定理解三角形 【分析】设AD=x,则AB=x+3,利用折叠的性质得DF=AD,EA=EF,∠DFE=∠A=90°，则可判断四边形 AEFD为正方形，所以AE=AD=x,再根据折叠的性质得DH=DC=x+3,则AH=AE-HE=x-1,然后根据勾股定 理得到x2+(x-1)=(x+3),再解方程求出x即可， 64 宋老师数学图文制作室 ©初高中数学备课备考 教学课件、讲义、单元、月考、期中期末 【详解】解：在矩形ABCD中，∠A=∠ADC=∠C=∠B=90°，AD=BC,DC=AB, 设AD=x,则AB=x+3, :把ADE翻折，点A落在DC边上的点F处， ∴.DF=AD,EA=EF,∠DFE=∠A=90°， .四边形AEFD为正方形， AE=AD=x,∠DEF=45°， :把aCDG翻折，点C落在直线AE上的点H处，折痕为DG,点G在BC边上， :.DH=DC=x+3, HE=1, 当AH=AE-HE=x-1, 在RIAADH中，AD2+AH2=DH2, x2+(x-1)2=(x+3)2, 整理得x2-8x-8=0, 解得：x1=4+2V6,x2=4-2V6(舍去)， 即AD=4+2V6 变式2.(22-23八年级下.浙江杭州·期中)四边形ABCD为正方形，点E为射线AC上一点，连接DE,过点E作 EF⊥DE,交射线BC于点F,以DE、EF为邻边作矩形DEFG,连接CG. 图1 图1备用图 图2 65 宋老师数学图文制作室 ©初高中数学备课备考 教学课件、讲义、单元、月考、期中期味 (1)如图1，当点E在线段AC上时 ①求证：矩形DEFG是正方形； ②求证：AC=CE+CG; (2)如图2，当点E在线段AC的延长线上时，请你在图2中画出相应图形，并直接写出AC、CE、CG之间的数量关系； (3)直接写出∠FCG的度数. 【答案】(1)①见解析；②见解析 (2AC+CE=CG (3)45°或135° 【知识点】全等的性质和SAS综合(SAS)、根据正方形的性质与判定证明、全等的性质和ASA(AAS)综合(ASA 或者AAS) 【分析】(I)①过E作EP⊥CD于点P,EQ⊥BC于点Q,证明Rt△EQF≌Rt△EPD,得到EF=ED,根据正方形 的判定定理证明即可；②由①得DE=DG,∠ADC=∠EDG=90°，利用等量代换得出∠ADE=∠GDC,再由全等三 角形的判定和性质得出△ADE≌aGDC(SAS),CG=AE,即可证明； (2)根据题意作出相应图形，然后利用正方形的性质及全等三角形的判定即可证明： (3)分两种情况分析：当点E在线段AC上时，当点E在线段AC的延长线上时，利用全等三角形的性质求解即可： 【详解】(1)证明：①过E作EP⊥CD于点P,EQ⊥BC于点Q,如图： D E 0 :四边形ABCD为正方形， .LDCA=∠BCA=45°， 66 宋老师数学图文制作室 ©初高中数学备课备考令 o. 教学课件、讲义、单元、月考、期中期未 :EP=EO, :EF⊥DE, ∠DEF=90°， ∠PED+LEFC=90°-∠PEC=45°， ∠QEF+∠FEC=45°， .∠QEF=∠PED, 在RtAEOF和Rt△EPD, ∠QEF=∠PED EP=EO ∠EQF=∠EPD RtAEOF≌RtAEPD(ASA), ∴EF=ED, :矩形DEFG是正方形： ②由①得DE=DG,∠ADC=∠EDG=90°， .∠ADE+∠EDC=LGDC+∠EDC, .∠ADE=∠GDC, AD=CD, :△ADE≌△CDG(SAS), .CG=AE, AC=AE+EC, .AC=CE+CG; 67 宋老师数学图文制作室 ©初高中数学备课备考 教学课件、讲义、单元、月考、期中期味 (2)解：当点E在线段AC的延长线上时，如图所示： G 】 AC+CE=CG,证明如下： 图2 由(1)①同理可得矩形DEFG是正方形， .DE DG, :∠ADC=∠EDG=90°， :ZADE ZCDG 在ADE和aCDG中， AD=DC ∠ADE=∠CDG DE=DG .△ADE≌△CDG(SAS .AE =CG, .AC+CE=CG; (3)分两种情况分析：如图1，当点E在线段AC上时， .△ADE≌ACDG, ∠DCG=∠DAE=45°， ∴.∠FCG=∠FCD+∠DCG=135°： 如图2，当点E在线段AC的延长线上时， 同理可得：∠FCG=∠FCD-LDCG=45°， 68 宋老师数学图文制作室 ©初高中数学备课备考 教学课件、讲义、单元、月考、期中期未 综上可得：∠FCG的度数为45°或135° 【点晴】题目主要考查正方形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，理解题意，找准全等三角形证明是解题关键， 【题型十四】利用（特殊）平行四边形的对称性求阴影面积 例14.(23-24八年级下·浙江期中)在数学拓展课上，小明发现：若一条直线经过平行四边形对角线的交点，则这条 直线平分该平行四边形的面积.如图是由5个边长为√的小正方形拼成的图形，P是其中4个小正方形的公共顶点， 小强在小明的启发下，将该图形沿着过点P的某条直线剪一刀，把它剪成了面积相等的两部分，则剪痕的长度是() A.√30 B.25 C.Vis D.2W6 【答案】A 【知识点】利用（特殊）平行四边形的对称性求阴影面积 【分析】根据中心对称的性质即可作出剪痕，根据三角形全等的性质即可证得PAB,利用勾股定理即可求得 【详解】解：如图，经过P、Q的直线则把它剪成了面积相等的两部分， 由图形可知△AMC≌△FPE≌△BPD, ..AM=PB, ∴.PM=AB, :PM、 35+=30 故选：A. 69 宋老师数学图文制作室 ©初高中数学备课备考 教学课件、讲义、单元、月考、期中期味 D M 【点晴】本题考查了图形的剪拼，中心对称的性质，勾股定理的应用，熟练掌握中心对称的性质是解题的关键 变式I,如图，点E,F分别是矩形ABCD的边CD,AB的中点，两条平行线AK,CL分别经过菱形EGFH的顶点H ,G和边FG,EH的中点M,N,己知菱形EGFH的面积为S,则图中阴影部分的面积和为 (用含S的 代数式表示) D E N G K H B F 【答案】 6 【知识点】利用（特殊）平行四边形的对称性求阴影面积 【分析】连接EF、GH交于点O,设EF交NG于点R,交AK于点T,连接AG,由E、F分别是CD、AB的中点， 待DE=CD,F=号4B,得出四边形4DEF是平行因边形，再利用四边形EGFH是菱形，可得GH1EF, OG=OH=GH,0G=90,利用AS证明△GM△APM,再利用ASA证明4GL:EGR,从而得出ER-D ,根据菱形EGPH的面积为S,进而得出D0=4S,运用平行四边形面积可得Sa=L~A8-膏，SmS,最 后根据S阴影=S,LcK-S,Gwv即可求得答案。 【详解】解：如图，连接EF、GH交于点O,设EF交NG于点R,交AK于点T,连接AG, 70 宋老师数学图文制作室 ©初高中数学备课备考 教学课件、讲义、单元、月考、期中期味 E P. G :四边形ABCD是矩形， -----2 0 M B AB=CD,AB∥CD,∠D=90°， :E、F分别是CD、AB的中点， DE=TCD.AF=74B. :DE=AF, DE∥AF, :·四边形ADEF是平行四边形， :∠D=90°， :四边形ADEF是矩形， ∴.EF∥AD,EF=AD,∠AFE=90°， :四边形EGFH是菱形， :GH⊥EF,OG=OH=GH, ∠E0G=90°， :ZEOG ZAFE, GH∥AF, ∴.∠GHM=∠FAM, :点M是FG的中点， 71 宋老师数学图文制作室 角数子 ©初高中数学备课备考全 教学课件、讲义、单元、月考、期中期味 :.GM FM, ∠GHM=∠FAM 在△HGM和△AFM中， ∠GMH=∠FMA, GM=FM :△HGM≌△AFM(AAS), GH=AF, <.GH-AB. OG-AF OE=OF,OGNAF. :点G是矩形ADEF的中心，即A、G、E三点在同一条直线上， :AG=EG, EF∥AD, ·.∠LAG=∠REG, T∠LAG=∠REG 在△AGL和EGR中， AG=EG, ∠AGL=∠EGR :△AGL≌△EGR(ASA), .AL=ER, :AK∥CL,AL∥CK, :四边形ALCK是平行四边形， 同理，四边形ALRT是平行四边形， ∴AL=RT=CK, .ER RT, 72 宋老师数学图文制作室 ©初高中数学备课备考 教学课件、讲义、单元、月考、期中期末 同理可得，RT=FT, :.ER=RT=FT=IEF=1AD, 3 3 :菱形EGFH的面积为S, ∴.EF.GH=2S, AD·AB=4S, AL=。AD, 3 S.ALc AL:4B=1 AD·AB= 3 S.GMIN , 1 ∴.S阴影=S.4LCK-S.GMHw 3从1 4 6 故答案为： 6 【点晴】本题考查了矩形性质，平行四边形的判定与性质，菱形性质，全等三角形判定和性质，平行四边形面积等知 识点，熟练掌握平行四边形的判定与性质及全等三角形判定和性质等相关知识是解题关键 变式2.如图所示，四边形EFGH是正方形ABCD的内接四边形，∠BEG与∠CFH都是锐角，己知EG=3,FH=4, 四边形EFGH的面积是5.求正方形ABCD的面积. 【爷案】号 【知识点】用勾股定理解三角形、利用（特殊）平行四边形的对称性求阴影面积、利用矩形的性质证明、根据正方形的 73 宋老师数学图文制作室 ©初高中数学备课备考 教学课件、讲义、单元、月考、期中期未 性质求面积 【分析】过点E,F,G,H,分别作CD,DA,AB,BC的垂线，分别交CD于O,AD于N,AB于M,BC于K, 得矩形P2RT,利用勾股定理表示出b=√EG2-a2=V9-a2,c=√FH'-a2=V16-a2,然后由S4EH=SEH, ⑧aSae,Soc车Sa0G,ScHS雅出S边Hc+Sa达p车2aEa,即回得出a上，得到最后结果 【详解】解：过点E,F,G,H,分别作CD,DA,AB,BC的垂线，分别交CD于O,AD于N,AB于M,BC于 K,得矩形PQRT, E P b M B F K 设正方形ABCD的边长为a,PQ=b,QR=c, MG=BC=a,EM=PO=b,HK =DC=a,FK=OR=c, :EG=3,FH=4,四边形EFGH的面积为5， :.b=EG2-a2=19-a2,c=FH2-a2=16-a2, S.AEH S.TEH S.BEF =S.PEF S.GFC=S.OFG S.DGH=S.RGH 得到S国边形4BCcD+S国边形P0T=2S居边形EGH, .a2+bc=2S, 即a2+√92-a2V16-a2=2S日边形PGH, 又：四边形EFGH的面积是5， a2+V92-a2.V16-a2=10, 74 宋老师数学图文制作室 ©初高中数学备课备考 教学课件、讲义、单元、月考、期中期末 解得：a2=44 即正方形的面积为 5 【点晴】本题主要考查了三角形的面积、正方形的性质以及勾股定理，此题难度较大，在解题时需灵活运用图中的直 角三角形和矩形的性质。 【题型十五】（特殊）平行四边形的动点问题 例15.(2024浙江宁波一模)已知，矩形ABCD中，E为AB上一定点，F为BC上一动点，以EF为一边作平行四 边形EFGH,点G,H分别在CD和AD上，若平行四边形EFGH的面积不会随点F的位置改变而改变，则应满足() A.AD=4AE B.AD=2AB C.AB=2AE D.AB=3AE 【答案】C 【知识点】（特殊）平行四边形的动点问题 【分析】设AB=a,BC=b,BE=c,BF=x,由于四边形EFGH为平行四边形且四边形ABCD是矩形，所以 △AEH=△CGF,△BEF全△DGH,根据S,EFGH=S4cD-2(S△Em+S△Er)，化简后得(a-2C)x+bc,F为BC上一 动点，x是变量，(a-2c)是x的系数，根据平Src不会随点F的位置改变而改变，为固定值，x的系数为O,bc为固 定值，a-2c=0,进而可得点E是AB的中点，即可进行判断. 【详解】解：：四边形EFGH为平行四边形且四边形ABCD是矩形， ∴.△AEH△CGF,△BEF兰△DGH, AB a,BC=b,BE=c,BF=x, .S.EFGH=S。MBCD-2(S△AEH+SAEBF) 75 宋老师数学图文制作室 ©初高中数学备课备考 教学课件、讲义、单元、月考、期中期末 ab-(ab-ax-bc+cx+cx) ab-ab+ax+bc-cx-cx =(a-2c)x+bc :F为BC上一动点， ∴x是变量，(a-2c是x的系数， :SEFGH不会随点F的位置改变而改变，为固定值， x的系数为0，bc为固定值， .a-2c=0, .a=2c, E是AB的中点， :AB=2AE, 故选：C 【点睛】本题考查了矩形的性质，平行四边形的性质，掌握矩形的性质是解决本题的关键 变式1.(22-23八年级下·浙江绍兴期中)己知，四边形ABCD中，AB∥CD,AB=8,DC=4,点M、N分别为 边AB、DC的中点，点P从点D出发，以每秒1个单位的速度从D→C方向运动，到达点C后停止运动，同时点Q从 点B出发，以每秒3个单位的速度从B→A方向运动，到达点A后立即原路返回，点P到达点C后点Q同时停止运动， 设点P、Q运动的时间为t秒，当以点M、N、P、Q为顶点的四边形为平行四边形时，t的值为： P D 76 宋老师数学图文制作室 ©初高中数学备课备考 教学课件、讲义、单元、月考、期中期末 【答案】1或或 【知识点】利用平行四边形的性质求解、（特殊）平行四边形的动点问题、几何问题（一元一次方程的应用 【分析】设t秒后，点M、N、P、Q为顶点的四边形为平行四边形.分三种情形分别构建方程即可 【详解】解：设t秒后，点M、N、P、Q为顶点的四边形为平行四边形. 由题意PN∥MQ,当PN=MQ时，点M、N、P、Q为顶点的四边形为平行四边形， 则有：2-1=4-31或2-t=31-4或1-2=12-31， > 解得=1或3或号 2 故苔案为：1改 【点晴】本题考查平行四边形的判定和性质，一元一次方程等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题， 属于中考常考题型 变式2.(24-25八年级下·浙江宁波月考)在四边形ABCD中，AD∥BC,∠A=∠B=90°，点P,Q分别从A,D出 发，在线段AD上往返运动；点M,N分别从B,C出发，在线段BC上往返运动.四个点同时开始运动，设运动的 时间为t. 图1 图2 (1)如图1，已知AD=BC=5,点P,Q的速度都是1，点M,N的速度都是2， ①若点P,Q,M,N恰好同时回到初始位置，求t的所有可能取值； ②设P巴=k,当1=2026时，求k的值. MN (2)如图2，若AD=2,BC=3,点P,Q,M，,N的速度都是1，当以P,Q,M,N为顶点的四边形是平行四边 77 宋老师数学图文制作室 姬初高中数学备课备考 教学课件、讲义、单元、月考、期中期末 形时，求的所有可能取值 【答案】(1)①t=10n,n为整数且n≥0；②3： 15 2+6m, 19 +6m, +6m,m为整数且m≥0. 4 4 【知识点】动点问题（一元一次方程的应用）、（特殊）平行四边形的动点问题、列代数式、利用平行四边形的性质 求解 【分析】(1)①分别找到P,Q和M,N的周期以及P,Q,M,N共同的周期即可求解；②找到当t=2026时P, Q,M,N此时的位置，计算PQ,MN的值即可求解： (2)找到P,Q,M,N的周期，画出一个周期内PQ,MN的距离，根据周期内有4次PQ=MN,此时以P,Q, M,N为顶点的四边形是平行四边形，求出t的值即可. 【详解】(1)解：①因为P,Q回到初始位置的周期为10，M,N回到初始位置的周期为5， 又因为10>5， 所以点P,Q,M,N恰好同时回到初始位置的时间1=10n,n为整数且n之0； ②由①得，当t=2026时，P,9的位置为2026=202×10+6， 当t=6时，PQ=3, M,N的位置为2026=405x5+1, 当t=1时，MN=1, 所以-8-子3： (2)因为以P,Q,M,N为顶点的四边形是平行四边形仅与PQ,MN的长度有关， 所以t=6为一个周期， 如图，以时间t为x轴，P,Q的距离，M,N的距离s为y轴，在同一直角坐标系中画出图象， 由图可得，在一个周期内有4次PQ=MN,此时以P,Q,M，N为顶点的四边形是平行四边形， 78 宋老师数学图文制作室 ©初高中数学备课备考 教学课件、讲义、单元、月考、期中期未。 3 5 6 南-23,5=21-2，解得4=南=-2+6,5=21-3，解得%- 再由对称性，得4=6-44,4=6-了19 44 所以1的所有可能取值是三+6m,?+6m, 4om 19 +6m,m为整数且m≥0. 4 【题型十六】四边形中的线段最值问题 例16.(23-24八年级下·浙江期中)如图，点P,Q分别是菱形ABCD的边AD,BC上的两个动点，若线段PQ长的 最大值为4√5，最小值为4，则菱形ABCD的边长为() D 0 B A.5 B.10 C.26 D.8 【答案】A 【知识点】四边形中的线段最值问题 【分析】过点C作CH⊥AB,交AB的延长线于H,由题意可得当点P与点A重合，点Q与点C重合时，PQ有最大 值，即AC4√5，当P2⊥BC时，PQ有最小值，即直线CD,直线AB的距离为4，即CH=4,由勾股定理可求解. 【详解】解：如图，过点C作CH⊥AB,交AB的延长线于H, 79 宋老师数学图文制作室 ©初高中数学备课备考 教学课件、讲义、单元、月考、期中期未 D A C B H :四边形ABCD是菱形， ∴AD=AB=BC, :点P,Q分别是菱形ABCD的边AD,BC上的两个动点， 当点P与点A重合，点Q与点C重合时，PQ有最大值，即AC=4√5， 当PQ⊥BC时，PQ有最小值，即直线AD与直线BC的距离为4， :S菱形Bn=AD:4=ABCH, CH=4, .AH=√AC2-CH2=V80-16=8, .BC2=CH2+BH2, .BC2=(8-BC)2+16, 解得：BC=5, 故选：A 【点晴】本题考查了菱形的性质，勾股定理，添加恰当辅助线构造直角三角形是本题的关键 变式1.(2024八年级下浙江宁波期末)已知：如图，在矩形ABCD中，AB=3,AD=4.动点P为矩形ABCD内一 1 点，且满足Smc=方SEcD,则△MDP周长的最小值为 80 宋老师数学图文制作室 ©初高中数学备课备考 教学课件、讲义、单元、月考、期中期未 A ) 子 【答案】4+2V5 【知识点】利用二次根式的性质化简、四边形中的线段最值问题 【分析】过点P作MN⊥AD,交AD于点M,交BC于点N,由SPac= S电影Cn,可得PN=号MN=2,过P点作 3 3 GHIIAD,交AB于点G,交CD于点H,作A点关于GH的对称点A,连接AD与GH交点即为所求点P,在Rt△ AAD中，AD=4,AA=2,即可求AD=25, 【详解】解：过点P作MN⊥AD,交AD于点M,交BC于点N, 2xBCx PN= xBCXMN, :PN=2MN, 3 AB=3, ∴.MP=1, 过P点作GH IIAD,交AB于点G,交CD于点H,作A点关于GH的对称点A,连接AD与GH交点即为所求点P, AP=A'P, .AP+PD=A'D, .AG=1, .AA'=2, 在Rt△AAD中，AD=4，AA'=2, 81 宋老师数学图文制作室 ©初高中数学备课备考 教学课件、讲义、单元、月考、期中期末 :A'D=25, .△4DP周长的最小值2√5+4， 故答案为4+25. M D G - B N 【点晴】本题考查三角形与矩形的面积，轴对称求最短距离，能将面积的关系转化为边之间的关系，再利用轴对称求 线段AP+PD的最小值是解题的关键 变式2.如图，四边形ABCD是边长为2的正方形，E为线段BC上一动点，EF⊥AC,垂足为F, (1)如图1，连接DE交AC于点M,若LDEF=15°，求AM的长； (2)如图2，点G在BC的延长线上，点E在BC上运动时，满足CG=BE, ①连接BF,DG,判断BF,DG的数量关系并说明理由； ②如图3，若Q为CG的中点，直接写出DE+2DQ的最小值为_ D M F B B E B E 图1 图2 图3 【答案】(1)3√2-√6；(2)DG=√2BF,证明见解析；(3)210 【知识点】全等的性质和SAS综合(SAS)、用勾股定理解三角形、四边形中的线段最值问题 【分析】(1)如图1，过点M作MH⊥AD于点H,先根据正方形性质和三角形内角和定理得出：∠DAC=45°， ∠ADM=60°，设DH=x,则DM=2x,运用勾股定理即可求出答案； 82 ⊙ 宋老师数学图文制作室 ©初高中数学备课备考 教学课件、讲义、单元、月考、期中期末 (2)①如图2，过点F作FH1BC于点H,设CG=BE=y,则EH=1-),运用勾股定理即可证得结论： ②如图3，取DE、DC的中点P、H,延长DC至K,使CK=CH=1,延长PC至L,使CL=CP,连接PH,KL, 过点Q作QR/CL,延长KL交OR于R,先证得△CKL=△CHP(SAS),再证得四边形CQRL是平行四边形，得出当D、Q、 R三点共线时，QR+DQ最小，故当D、Q、R三点共线时，DE+DO=QR+D0=DR最小，即 2DR=2(二DE+DQ)=DE+2DQ最小，再运用勾股定理计算即可. 【详解】解：(1)如图1，过点M作MH上AD于点H, H D M 1 E 图1 :四边形ABCD是边长为2的正方形， .AD=2,AD//BC,∠ACB=∠DAC=45°， ∠ADM=LDEC, ,EF⊥AC, ∠FEC=90°-∠ACB=90°-45°=45°， :∠DEF=15°， :∠MEC=∠DEF+∠FEC=15°+45°=60°，即∠DEC=60°， :∠ADM=60°， 又：MH⊥AD,∠DAC=45°， .∠DMH=30°，∠HMA=∠DAC=45°， :DM =2DH,AH =MH, 83 宋老师数学图文制作室 ©初高中数学备课备考令 o. 教学课件、讲义、单元、月考、期中期味 设DH=x,则DM=2x, :由勾股定理得MH=√3x=AH, 又：AH+DH=AD=2, :5x+x=2, x=V3-1,即DH=x=3-1, .AH=MH=3x=V3(N3-1)=3-V5, RtAAHM中，∠AHM=90°， 由勾股定理得：AM=√2AH=V2(3-√5)=3√2-√6； (2)①DG=√2BF,，理由如下： 如图2，过点F作FH⊥BC于点H, D 图2 ∴.∠FHB=∠FHC=90°， :∠ACB=45°，EF⊥AC, .∠FEC=45°=∠ACB, :FE=FC, :EH =CH=FH, CG=BE, 84 宋老师数学图文制作室 ©初高中数学备课备考 教学课件、讲义、单元、月考、期中期末 ÷设CG=BE=y,则EH=CH=FH=BC-BE =1- y 2 BH=BE+EH, BH=y+1-=1+y 2 :四边形ABCD是边长为2的正方形，点G在BC的延长线上， .∠DCG=∠BCD=90°， 在RtABFH和RtADGC中，∠FHB=∠DCG=∠90°， 分别由勾股定理得： BF2=FH+BH2=0-2+0+=2+,DG2=DC2+CG=2+y=4+, 1 2 .DG2=2BF2, ∴.DG=V2BF; ②如图3，取DE、DC的中点P、H,延长DC至K,使CK=CH=1,延长PC至L,使CL=CP,连接PH,KL, 过点Q作QRI/CL,延长KL交OR于R, D G B E R 图3 :∠BCD=90°，P为DE中点， CP-DE, ,P、H分别是DE、DC的中点， PH IICE,PH-TCE. 85 宋老师数学图文制作室 ⑧初高中数学备课备考令 教学课件、讲义、单元、月考、期中期味 ∠CHP=180°-∠BCD=90°， 在△CKL和△CHP中， CK=CH ∠KCL=∠HCP, CL=CP .△CKL兰△CHP(SAS), :KL=PH=,CE,∠CKL=∠CHP=90°=∠DCG, 2 .KR//CG ·.∠CLK=∠ECP, 又：QR11CL, :四边形CQRL是平行四边形， :.QR-CL-CP-IDE,LR=CQ, 2 DE+DO-ORDO. :当D、Q、R三点共线时，QR+DQ最小， :当D、Q、R三点共线时，DE+D0=QR+D0=DR最小， 即2DR=2DE+DQ)=DE+2D0最小， 此时，LR=c0-cG=号8E,L=H-cE, KR-KL+LR-3CE+BE-3BC-1 :DK=DC+CK=2+1=3,∠CKL=90°， 86 宋老师数学图文制作室 姬初高中数学备课备考 教学课件、讲义、单元、月考、期中期味 DR=DK2+KR2=3+1=10, 2DR=210, ∴.DE+2DQ的最小值为2V10, 故答案为：2√10. 【点晴】本题属于四边形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形性质，勾股定理，平 移的运用，平行四边形的判定与性质等知识，解题的关键是正确利用直角三角形斜边上中线等于斜边一半和平移，将 求DE+2DQ的最小值转化为两点之间线段最短来解决，属于中考常考题型 【题型十七】四边形其他综合问题 例17.(23-24八年级下·浙江嘉兴·期末)如图，在正方形ABCD中，点G为CD边上一点，以CG为边向右作正方形 CEFG,连接AF,BD交于点P,连接BG,过点F作FHI/BG交BC于点H,连接AH,交BD于点K,下列结论中 错误的是() H A.HE=CD B.△AHF是等腰直角三角形 C.点P为AF中点 D.PK=BK+DP 【答案】D 【知识点】根据旋转的性质说明线段或角相等、四边形其他综合问题 【分析】A.证明四边形BHFG为平行四边形，得BH-GF=CE,得BC=HE,再由正方形的性质得HECD,进而便可 判断选项正误；B.证明△ABH≌△HEF,进而得出△AHF是等腰直角三角形，便可判断选项正误；C.过H作MLBC, HM与BD交于点M,连接MF,证明四边形EFMH为矩形，再证明△PAD≌△PFM得AP=FP,便可判断选项正误；D. 将△ADP绕点A顺时针旋转90，得△ABQ,连接QK,证明△AQK△APK得AK=PK,进而得BK+DP2=KP2,便可判 断正误。 87 宋老师数学图文制作室 ©初高中数学备课备考 教学课件、讲义、单元、月考、期中期末 【详解】解：A.:四边形CEFG是正方形， ∴.GFCE,GF=CE, .BGIHF, 四边形BHFG为平行四边形， ∴GF=BH, ∴BH=CE, ∴.BC=HE, :四边形ABCD为正方形， .BC-CD. :HE=CD,故A正确； B.:ABCD是正方形，CEFG是正方形， .AB=BC,CE=EF,∠ABH=∠HEF=9O°， BC=HE,BH=CE, ..AB=HE,BH-EF, △ABH≌△HEF(SAS), ∴AH=HF,∠BAH=∠EHF, :∠BAH+∠AHB-90°， .∠EHF+∠AHB=90°， ∴.∠AHF=90°， ,△AHF为等腰直角三角形，故B正确； C.过H作HMLBC,HM与BD交于点M,连接MF,则MHEF, 88 宋老师数学图文制作室 ©初高中数学备课备考 教学课件、讲义、单元、月考、期中期末 :四边形ABCD是正方形， ÷∠ABC=90,∠HBD-;∠ABC, ∴.∠HBM-45°， .BH=MH, :△ABH≌△HEF, .BH=EF, :MH=EF, 四边形EFMH为矩形， ∴.FBELAD,MF=HE, .∠DAP=∠MFP,∠ADP=∠FMP, .AD=BC=HE, ∴.AD=MF, .△PAD≌△PFM(ASA), ∴AP=FP,故C正确： D M D.将△ADP绕点A顺时针旋转90，得△ABO,连接OK,则AQ=AP,∠OAP=90°， :△AHF是等腰直角三角形， ∴.∠HAF=45°， 89 宋老师数学图文制作室 ©初高中数学备课备考 教学课件、讲义、单元、月考、期中期味 ∠QAK=∠PAK=45°， AK=AK, △AQK≌△APK(S4S), ∴QK=PK, :四边形ABCD是正方形， .∠ABD=∠ADB=45°， 由旋转性质知，∠ABQ=∠ADP=45°，BQ=DP, ∴.∠QBK=90°， .BK2+BO2-OK2, BK2+DP2=KP2,故D错误； D H 故选：D 【点晴】本题是正方形的一个综合题，主要考查了正方形的性质，矩形的性质与判定，平行四边形的性质与判定，等 腰直角三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，旋转的性质，后两选项关键在构造全等三角形. 变式1.(22-23八年级下浙江金华月考)如图，矩形ABCD中，AD=6,DC=8,点H在边AD上，AH=2,E为边 AB上一个动点，连接HE.以HE为一边在HE的右上方作菱形HEFG,使点G落在边DC上，连接CF. D G 90 宋老师数学图文制作室 ©初高中数学备课备考 教学课件、讲义、单元、月考、期中期末 (1)当菱形HEFG为正方形时，DG的长为： (2)在点E的运动过程中，△FCG的面积S的取值范围为。 【答案】 2 8-2V13≤S≤8 【知识点】四边形其他综合问题、全等的性质和ASA(AAS)综合(ASA或者AAS)、用勾股定理解三角形、根据正 方形的性质求线段长 【分析】(1)由于四边形ABCD为矩形，四边形HEFG为正方形，那么∠D-∠A=∠GHE=90°，HG=HE,易证△GDH ≌△HAE,得DG=AH=2; (2)过F作FMLDC,交DC延长线于M,连接GE,由于AB∥CD,可得∠AEG∠MGE,同理有∠HEG∠FGE, 利用等式性质有∠AEH=∠MGF,再结合∠A=∠M=90°，HE=FG,可证△AHE≌△MFG,从而有FM=HA=2,进而可求 △FCG的面积S的最大值和最小值，从而确定S的取值范围 【详解】解：(1)如图1，当菱形HEFG为正方形时，∠EHG=90°，GH=EH, DG 四边形ABCD为矩形， E B 图1 ∠A=∠D=90°， ∴.∠DHG+∠AHE=∠AHE+∠AEH=90°， ∠DHG=∠AEH, 在△GDH和△HAE中， [∠D=∠A=90° ∠DHG=∠AEH, GH=EH .△GDH兰△HAE AAS), 91 宋老师数学图文制作室 ©初高中数学备课备考 一教学课件、讲义、单元、月考、期中期抹 :.DG=AH=2; 故答案为：2； (2)如图2，过F作FM⊥DC,交DC延长线于M,连接GE, G M H E B 图2 AB∥CD, .∠AEG=∠MGE, HE∥GF, .∠HEG=∠FGE, :∠AEH=∠MGF, 在△AHE和△MFG中， 「∠A=∠M=90° ∠AEH=∠MGF EH=FG :△AHE兰△MFG(AAS), :FM=HA=2,即无论菱形EFGH如何变化，点F到直线CD的距离始终为定值2， ∴.SAFCG= 5XFMXGC= 2×CG=CG, 2 设DG=x,则S4rcc=8-x, 在△AHE中，AE≤AB=8, 92 宋老师数学图文制作室 ©初高中数学备课备考 教学课件、讲义、单元、月考、期中期末 :HE2=AE2+AH2≤AB2+AH2=82+22=68, :DH2+DG2=GH2=HE2≤68， 即(6-22+x2≤68， .x≤2W13, ·8-x≥8-213， .Scc的最小值为8-213，此时DG=2√3， SAFCG的最大值为8时，DG=0, :在点E的运动过程中，△FCG的面积S的取值范围为：8-23≤S≤8； 故答案为：8-23≤S≤8； 【点晴】本题考查了矩形、菱形、正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，三角形的面积，解题的关键 是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题. 变式2.(2024八年级下.浙江.专题练习)如图，在梯形ABCD中，AD∥BC,∠B=90°，AD=16cm,AB=12cm, BC=21cm,动点P从点B出发，沿射线BC的方向以每秒2cm的速度运动到C点返回，动点Q从点A出发，在线段 AD上以每秒1cm的速度向点D运动，点P,Q分别从点B,A同时出发，当点Q运动到点D时，点P随之停止运动， 设运动的时间为t(秒). D E (1)当t为何值时，四边形PODC是平行四边形； (2)当t为何值时，以C,D,Q,P为顶点的梯形面积等于60cm2? (③)是否存在点P,使△PQD是等腰三角形？若存在，请求出所有满足要求的t的值；若不存在，请说明理由. 93 宋老师数学图文制作室 ©初高中数学备课备考 教学课件、讲义、单元、月考、期中期未 【答案】0)当1=5或37 时 (2)当1=9或15时 ⑧当：的值为或子或警时，△PQD是等腰三角形 3 5 【知识点】几何问题（一元一次方程的应用）、四边形其他综合问题、公式法解一元二次方程、利用平行四边形的性质求 解 【分析】(1)由题意已知，AD∥BC,要使四边形PQDC是平行四边形，则只需要让QD=PC即可，因为Q、P点 的速度已知，AD、BC的长度已知，要求时间，用时间=路程÷速度，即可求出时间； (2)要使以C,D,Q,P为顶点的梯形面积等于60cm,可以分为两种情况，点P、Q分别沿AD、BC运动或点P 返回时，再利用梯形面积公式，即(QD+PC)×AB÷2=60,因为Q、P点的速度己知，AD、AB、BC的长度己知， 用t可分别表示OD、BC的长，即可求得时间t; (3)使△POD是等腰三角形，可分三种情况，即PQ=PD、PQ=OD、QD=PD；可利用等腰三角形及直角梯形的 性质，分别用t表达等腰三角形的两腰长，再利用两腰相等即可求得时间t. 【详解】(1)解：：四边形PODC是平行四边形， ∴.DQ=CP, 当P从B运动到C时， DO=AD-A0=16-t, CP=21-21, .16-1=21-21, 解得：1=5； 当P从C运动到B时， DO=AD-AO=16-t, 94 ,⊙ 宋老师数学图文制作室 ©初高中数学备课备考令 教学课件、讲义、单元、月考、期中期抹 CP=21-21, .16-1=21-21, 解得：1=3 当1=5或3 时，四边形PQDC是平行四边形： (2)解：若点P、Q分别沿AD、BC运动时， DQ+CP.AB=60, 2 即16-1+21-24x12=60, 2 解得：t=9; 若点P返回时，CP=2t-2, 则16=1+24-21x12=60, 2 解得t=15, 故当t=9或15时，以C,D,Q,P为顶点的梯形面积等于60cm2; (3)解：当PQ=PD时， 如图，作PH⊥AD于H,则HQ=HD, →QH B :QH=HD=0D=16-小， 95 宋老师数学图文制作室 ©初高中数学备课备考 教学课件、讲义、单元、月考、期中期末 由AH=BP得2t=二16-t)+t, 16 解得：t= 3 当PQ=QD时QH=AH-AQ=BP-AQ=21-1=1,QD=16-t, :QD2=PQ2=t2+122, (16-t)2=122+2, 解得：13： 当QD=PD时DH=AD-AH=AD-BP=16-21, :QD2=PD2=PH2+HD2=122+(16-2, (16-t)2=122+16-2)2, 整理得：312-321+144=0， △<0， 方程无实根， 当点P从C向B运动时，观察图形可知，只有PQ=PD, 由题意：21-26= 116-0, 解得：t=68 综上所运，当的值为或号成管，△Q0是等腰三角形. 5 【点睛】本题主要考查了直角梯形的性质、平行四边形的性质、梯形的面积、等腰三角形的性质，熟练掌握知识点分 类讨论是解题的关键。 96 宋老师数学图文制作室 ©初高中数学备课备考 教学课件、讲义、单元、月考、期中期末 100 习题R固 一、单选题 1.如图，正方形ABCD的边长为6，点E在边AB上，点F在AD的延长线上，且BE=DF,四边形AEGF是矩形， 则矩形AEGF的面积y与BE的长x之间的函数关系式为() A.y=36-x2 B.y=6-x2 C.y=6-x D.y=36-x 【答案】A 【分析】本题考查变量之间的关系，由矩形面积推导二次函数关系式等知识点.数形结合列式计算是解此类题的关键 由已知图形可以分析得到矩形AEGF的长AF为(6+x),宽AE为(6-x),由面积公式即可计算得到正确答案. 【详解】解：：正方形ABCD的边长是6，且BE=DF=x 矩形AEGF的长AF的长为(6+x),宽AE的长为(IO-x) :矩形AEGF的面积为：y=AF.AE=(6+x)(6-x)=36-x2 故选A. 2.下面几种说法正确的() ①对角线互相垂直平分的四边形是菱形 ②一组对边平行一组邻边相等的四边形是菱形 ③两条对角线相等的平行四边形是矩形 ④对角线相等且垂直的四边形是正方形 A.①②③ B.①③ C.③④ D.②④ 【答案】B 【分析】根据矩形、菱形、正方形的判定定理即可得到结论 97 宋老师数学图文制作室 ©初高中数学备课备考 教学课件、讲义、单元、月考、期中期未 【详解】解：①对角线互相垂直平分的四边形是菱形，故符合题意； ②一组对边平行一组邻边相等的四边形不一定是菱形，故不符合题意； ③两条对角线相等的平行四边形是矩形，故符合题意： ④对角线相等且垂直的四边形不一定是正方形，故不符合题意； 故正确的是①③， 故选：B. 【点睛】本题考查了正方形的判定，矩形的判定，菱形的判定，熟练掌握各个判定定理是解题的关键 3.如图，点E为正方形ABCD的边CD的中点，DE=5,则BE的长为() A.13 B.12 C.55 D.105 【答案】C 【分析】由已知可得CE=DE=?CD,CE=5,CD=I0,再由勾股定理即可求BE. 【详解】解：：点E为正方形ABCD的边CD的中点， .CE=DE=CD, :DE=5, :CE=5,CD=10,BC-CD=10 在Rt△BCE中， BE=VBC2+CE2=V102+52=55, 98 宋老师数学图文制作室 ©初高中数学备课备考 教学课件、讲义、单元、月考、期中期床 故选：C 【点晴】本题考查了正方形的性质，勾股定理，利用勾股定理是解题的关键， 4.下列命题中正确的是() A.对角线垂直且相等的四边形是菱形 B.一组对边平行一组对边相等的四边形是平行四边形 C.对角线相等且互相平分的四边形是矩形 D.对角线相等的矩形是正方形 【答案】C 【分析】根据菱形的判定，平行四边形的判定，矩形的判定，正方形的判定进行分析即可. 【详解】解：A.对角线垂直且互相平分的四边形是菱形，原命题不正确，故此选项不符合题意； B.一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，原命题不正确，故此选项不符合题意： C.对角线相等且互相平分的四边形是矩形，原命题正确，故此选项符合题意： D.对角线垂直的矩形是正方形，原命题不正确，故此选项不符合题意 故选：C 【点晴】本题考查命题，菱形的判定，平行四边形的判定，矩形的判定，正方形的判定.掌握特殊平行四边形的判定 是解题的关键 5.如图，四边形OA4B,是边长为1的正方形，以对角线OA,为边作第二个正方形OAAB2,连接AA2,得到△AAA2 ;再以对角线OA2为边作第三个正方形OAAB3,连接AA3,得到△AAA3,再以对角线OA;为边作第四个正方形， OAAB4,连接AA4,得到△AAA4,…,设△AAA2,OAAA3,△A2AA4,…的面积分别为S1,S2,S3,·如此下去， 则S2o21的值为() 99 宋老师数学图文制作室 ©初高中数学备课备考 教学课件、讲义、单元、月考、期中期未。 B A.22018 B.22019 C.2+号 D.22020 【答案】B 【分析】首先求出SS2、S,然后归纳命题中隐含的数字规律，即可解决问题 【详解】：四边形OAAB,是正方形， 0A=AA1=AB1=1, ,=21x1=7=2, 2 .…∠OAA,=90°， 0A2=12+12=2, 04=2, .0A1=A2A=V20A1=2, .AB1=2-1=1, 2×2x1=1=22, 1 同理可求：S=5×2×2=2=2-2, S4=4=24-2,, Sn=2-2, 100 第13讲 正方形与四边形综合应用（知识详解+17典例分析+习题巩固） 【知识点01】正方形的定义及判定 1.正方形的定义：有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形叫作正方形。 2.正方形的判定 正方形是特殊的平行四边形、特殊的矩形、特殊的菱形，因此可分别从平行四边形、矩形、菱形出发，寻找判定正方形的方法，总结 如下表： 从平行四边形出发 有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形是正方形。 有一组邻边相等，并且对角线相等的平行四边形是正方形。 有一个角是直角，并且对角线互相垂直的平行边形是正方形。 对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形。 从矩形出发 有一组邻边相等的矩形是正方形。 对角线互相垂直的矩形是正方形。 从菱形出发 有一个角是直角的菱形是正方形。 对角线相等的菱形是正方形。 敲黑板 四边形、平行四边形、矩形、菱形、正方形之间的转化关系 【知识点02】正方形的性质 正方形既是菱形，又是矩形，因此它同时具有菱形、矩形的一切性质。具体如下表： 性质 符号语言 图示 边 定理1:正方形的四条边相等。 因为四边形𝐴𝐵𝐶𝐷 是正方形，所以𝐴𝐵=𝐵𝐶=𝐶𝐷=𝐷𝐴 。 角 定理1:正方形的四个角都是直角。 因为四边形𝐴𝐵𝐶𝐷 是正方形,所以∠𝐴𝐵𝐶=∠𝐵𝐶𝐷=∠𝐶𝐷𝐴=∠𝐷𝐴𝐵=90∘  。 对角线 定理2：正方形的对角线相等，并且互相垂直平分。 因为四边形𝐴𝐵𝐶𝐷 是正方形,所以𝐴𝐶=𝐵𝐷,𝐴𝐶⊥𝐵𝐷 ，𝑂𝐴=𝑂𝐶=𝑂𝐵=𝑂𝐷 。 对称性 轴对称图形。 直线𝐴𝐶,𝐵𝐷，𝑚,𝑛 是正方形𝐴𝐵𝐶𝐷 的对称轴。 敲黑板 正方形的其他性质 （1）正方形的每条对角线都平分一组对角。 （2）正方形的一条对角线把正方形分成两个全等的等腰直角三角形；正方形的两条对角线把正方形分成四个全等的等腰直角三角形。 （3）周长相等的四边形中，正方形的面积最大。 辨析：平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质对比 类型 平行四边形 _ ___ 矩形 _ ___________ 菱形_____________ 正方形___________ 边 共性 对边平行且相等 特性 四条边都相等 角 共性 对角相等且邻角互补 特性 四个角都是直角 四个角都是直角 对角线 共性 对角线互相平分 特性 对角线相等 对角线互相垂直 对角线相等且互相垂直 对称性 共性 都是中心对称图形 特性 轴对称图形 至少有2条对称轴 至少有2条对称轴 4条对称轴 【题型一】证明四边形是正方形 例1．（24-25八年级下·浙江嘉兴·期末）如图，在中，点E， D， F分别在边AB， BC， AC上，且， ．下列判断中错误的是（    ）． A．四边形是平行四边形 B．若， 则四边形是矩形 C．若平分， 则四边形是菱形 D．若， 则四边形是正方形 变式1．（22-23八年级·浙江宁波·期末）如图，已知点，点在轴的负半轴上，点C在x轴正半轴上，，且．则的值为___________． 变式2．（24-25八年级下·浙江台州·期末）如图，在5×5正方形网格中，每个小正方形的边长为1，已知点A在格点上，请在所给的网格中按下列要求画出图形． (1)在图1中画一条长为的线段AP，且点P在格点上；（只需画出一条符合条件的线段） (2)在图2中画一个顶点都在格点上的菱形ABCD，使其边长为，则该菱形ABCD________正方形．（填“是”或“不是”） 【题型二】正方形的判定定理理解 例2．（23-24八年级下·浙江金华·期末）小明在学习“特殊平行四边形”一单元后，梳理了如图所示的特殊平行四边形之间的关系．以下选项分别表示处填写的内容，则对应位置填写错误的选项是（    ） A．对角线互相平分 B．对角线垂直 C．对角线与一边夹角为 D．对角线相等 变式1．（2024八年级下·浙江杭州·期末）定义菱形的两条对角线长之比为“对角线比”． （1）若菱形成为正方形，则“对角线比”为 ___； （2）当“对角线比”为4，菱形面积为800时，菱形的边长为 ___． 变式2．（24-25八年级下·浙江绍兴·期末）如图，在正方形网格中，每个小正方形顶点称为格点，例如线段的端点在格点上，已知每个小正方形边长均为，利用无刻度直尺作图，请完成下列各小题． (1)在图①中，以为边作一个菱形（不是正方形），其中点为格点； (2)在图②中，以为边作正方形，其中点为格点． 【题型三】添一个条件使四边形是正方形 例3．（23-24八年级下·浙江宁波·期末）如图，四边形ABCD的对角线AC，BD交于点O，则下列判断正确的是(   ) A．若，则四边形是正方形 B．若，则四边形是平行四边形 C．若，则四边形是菱形 D．若，则四边形是矩形 变式1．（22-23八年级下·浙江绍兴·期末）小明在学习完四边形后，整理成如图所示的知识结构图，发现通过添加边、角或对角线等元素的特殊条件，就能得到特殊的四边形．写出条件①中你认为合适的边、角或对角线的条件是______．（写出一个即可）    变式2．如图，在中，，垂足为点D，是外角的平分线，，垂足为点E． (1)求证：四边形为矩形； (2)当满足什么条件时，四边形为正方形？给出证明． 【题型四】正方形性质理解 例4．（22-23八年级下·浙江金华·期中）正方形具有矩形不一定有的性质是（    ） A．对角互补 B．对角线相等 C．四个角相等 D．对角线互相垂直 变式1．（24-25八年级下·浙江杭州·月考）如图，一个长方形被分割成四部分，其中图形①，②，③都是正方形，且正方形①，③的面积分别为16和3，则图中阴影部分的面积为______．    变式2．（22-23八年级下·浙江金华·月考）图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，每个小正方形的边长均为1，点、均在格点上．只用无刻度的直尺，在给定的网格中按下列要求画图，所画图形的顶点均在格点上且不全等，不要求写画法． (1)在图①中以线段为边画一个平行四边形． (2)在图②中以线段为边画一个正方形． (3)在图③中以线段为边画一个菱形． 【题型五】根据正方形的性质求角度 例5．（2023八年级下·浙江·专题练习）如图，为正方形外一点，且是等边三角形，的度数为（　　）    A． B． C． D． 变式1．（22-23八年级下·浙江绍兴·期末）正方形中，分别以点C，D为圆心，长为半径画弧，两弧交于点P，则的度数是______． 变式2．（2023八年级下·浙江·专题练习）如图，在正方形中，点E是对角线上的一点，点F在的延长线上，且，交于点G． (1)求证：； (2)求的度数． 【题型六】根据正方形的性质求线段长 例6．（25-26八年级下·浙江·期中）已知图2是由图1的七巧板拼成的马形图，且正方形的边长为4，则马形图边框长方形的面积为（    ）    A． B． C． D．48 变式1．（25-26八年级下·浙江宁波·期中）对角线长为的正方形的周长是_____． 变式2．（24-25八年级下·浙江丽水·期末）如图，正方形纸片的边长为4． (1)请用三角板根据以下要求画图； ①分别取的中点，连接． ②用①所画的3块图形剪拼出一个等腰三角形（无缝隙无重叠），并画出其示意图． (2)求（1）所拼成的等腰三角形的周长． 【题型七】根据正方形的性质求面积 例7．（24-25八年级下·浙江金华·期末）如图，在中，，分别以边、向外作正方形和正方形，连接、．若已知的值，则能求出的三角形面积是（   ）． A．三角形 B．三角形 C．三角形 D．三角形 变式1．（23-24八年级下·浙江台州·期中）如图，用4张全等的直角三角形纸片拼成的图案，若直角三角形纸片的较长直角边为4，拼成的中间小正方形面积为1，则四边形的面积为______． 变式2．（22-23八年级下·浙江台州·期中）如图为的方格（每个小正方形边长为1），按要求完成作图． (1)在图1中作一个一边长为的矩形（不是正方形）； (2)在图2中作一个面积为6的菱形； (3)在图3中作一个面积最大的，但小于16的正方形； 【题型八】正方形折叠问题 例8．（2025·浙江·模拟预测）如图，，分别是正方形的边，上的点，将正方形纸片沿折叠，使得点的对应点恰好落在边上，要想知道正方形的边长，只需知道（   ） A．的长度 B．的周长 C．的周长 D．的面积 变式1．（23-24八年级下·浙江台州·期末）如图，正方形纸片的边长为6．E，F分别是对边，上的点，．把正方形纸片沿着直线对折，点C，D的对应点分别是点，．若，则交叠而成的五边形的周长是____________． 变式2．（22-23八年级下·浙江舟山·期末）问题情境：数学活动课上，同学们开展了以“矩形纸片折叠”为主题的探究活动（每个小组的矩形纸片规格相同），已知矩形纸片宽．    动手实践： （1）如图1，A小组将矩形纸片折叠，点D落在边上的点E处，折痕为，连接，然后将纸片展平，得到四边形． 试判断四边形的形状，并加以证明． （2）如图2，B小组将矩形纸片对折使与重合，展平后得到折痕，再次过点A折叠使点D落在折痕上的点N处，得到折痕，连结，展平后得到四边形，请求出四边形的面积． 深度探究： （3）如图 3，C小组将图1中的四边形剪去，然后在边上取点G，H，将四边形沿折叠，使A点的对应点始终落在边上（点不与点D，F重合），点E落在点处，与交于点T． 探究①当在上运动时，的周长是否会变化？如变化，请说明理由；如不变，请求出该定值． 探究②直接写出四边形面积的最小值． 【题型九】根据正方形的性质证明 例9．（24-25八年级下·浙江台州·期中）如图，在正方形中，平分交于点，过点作交于点，交于点，连接．下列结论：①；②；③．其中正确的结论是（   ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 变式1．（24-25八年级下·浙江杭州·月考）如图，在正方形中，点，分别在，的延长线上，连接，，，与交于点．已知，．有以下四个结论：①；②；③；④若，则的面积为．以上结论中正确的是______． 变式2．（2023八年级下·浙江宁波·竞赛）如图，在外分别以为边作正方形和正方形，连接，过点A作交于点M．求证： (1)； (2)． 【题型十】根据正方形的性质与判定求角度 例10．如图，正方形ABCD的边长为1，点E，F分别是对角线AC上的两点，EG⊥AB．EI⊥AD，FH⊥AB，FJ⊥AD，垂足分别为G，I，H，J．则图中阴影部分的面积等于___． 变式1．（24-25八年级下·浙江宁波·月考）已知凸四边形的四条边和两条对角线这六条线段中只有两种长度．请画出图形，并求这个四边形的最大内角的度数． 【题型十一】根据正方形的性质与判定求线段长 例11．（23-24八年级下·浙江台州·期中）若一个四边形的一条对角线把四边形分成两个等腰三角形，我们把这条对角线叫这个四边形的和谐线，这个四边形叫做和谐四边形．如菱形就是和谐四边形．已知四边形中，，，是四边形的和谐线，且，则四边形的面积为（    ） A． B．或4 C．或4 D． 变式1．（24-25八年级下·浙江宁波·期末）如图，在矩形中，，将沿对角线翻折，得到，交于点F，再将沿翻折，得到，交于点 H，若平分，则的长为_______． 变式2．（24-25八年级下·浙江绍兴·期末）如图，在正方形中，G是对角线上的一点（不与点B，D重合），过点G作，分别交于点E，F． (1)求证：四边形是矩形． (2)若，求的长． 【题型十二】根据正方形的性质与判定求面积 例12．（2025八年级下·浙江台州·期末）如图所示为“赵爽弦图”，其中、、、是四个全等的直角三角形，且两条直角边之比为1∶2，连接、，分别交、于点、，则四边形和四边形的面积比为（    ） A．5∶2 B．2∶1 C． D． 变式1．（23-24八年级下·浙江杭州·期中）如图是一张等腰直角三角形彩色纸，AC＝BC＝20cm，要裁出几张宽度相等的长方形纸条，宽度都为5cm，用这些纸条为一幅正方形照片EFGH镶边（纸条不重叠），图1和图2是两种不同裁法的示意图． (1)求两种裁法最多能得到的长方形纸条的条数； (2)分别计算两种裁法得到长方形纸条的总长度； (3)这两种裁法中，被镶边的正方形照片EFGH的最大面积为多少？ 【题型十三】根据正方形的性质与判定证明 例13．（2024八年级下·浙江湖州·期末）如图，已知四边形是正方形，点为对角线上一点，连结，过点作，交延长线上于点，以，为邻边作矩形，连结．若，则的值为（    ）． A．2 B．3 C．4 D．5 变式1．（23-24八年级下·浙江杭州·期末）折叠矩形纸片时，发现可以进行如下操作： ①如图1，把翻折，点A落在边上的点F处，折痕为，点E在边上，则______； ②把纸片展开并铺平； ③如图2，再把翻折，点C落在线段上的点H处，折痕为，点G在边上，若，，则______． 变式2．（22-23八年级下·浙江杭州·期中）四边形为正方形，点E为射线上一点，连接，过点E作，交射线于点F，以、为邻边作矩形，连接． (1)如图1，当点E在线段上时． ①求证：矩形是正方形； ②求证：； (2)如图2，当点E在线段的延长线上时，请你在图2中画出相应图形，并直接写出之间的数量关系； (3)直接写出的度数． 【题型十四】利用（特殊)平行四边形的对称性求阴影面积 例14．（23-24八年级下·浙江·期中）在数学拓展课上，小明发现：若一条直线经过平行四边形对角线的交点，则这条直线平分该平行四边形的面积．如图是由5个边长为的小正方形拼成的图形，是其中4个小正方形的公共顶点，小强在小明的启发下，将该图形沿着过点的某条直线剪一刀，把它剪成了面积相等的两部分，则剪痕的长度是（    ） A． B． C． D． 变式1．如图，点，分别是矩形的边，的中点，两条平行线，分别经过菱形的顶点，和边，的中点，，已知菱形的面积为，则图中阴影部分的面积和为___________．（用含的代数式表示） 变式2．如图所示，四边形是正方形的内接四边形，与都是锐角，已知，，四边形的面积是．求正方形的面积．    【题型十五】（特殊）平行四边形的动点问题 例15．（2024·浙江宁波·一模）已知，矩形ABCD中，E为AB上一定点，F为BC上一动点，以EF为一边作平行四边形EFGH，点G，H分别在CD和AD上，若平行四边形EFGH的面积不会随点F的位置改变而改变，则应满足（    ） A． B． C． D． 变式1．（22-23八年级下·浙江绍兴·期中）已知，四边形中，，，，点、分别为边、的中点，点从点出发，以每秒个单位的速度从方向运动，到达点后停止运动，同时点从点出发，以每秒个单位的速度从方向运动，到达点后立即原路返回，点到达点后点同时停止运动，设点、运动的时间为秒，当以点、、、为顶点的四边形为平行四边形时，的值为______．    变式2．（24-25八年级下·浙江宁波·月考）在四边形中，，，点，分别从，出发，在线段上往返运动；点，分别从，出发，在线段上往返运动．四个点同时开始运动，设运动的时间为． (1)如图，已知，点，的速度都是，点，的速度都是． ①若点，，，恰好同时回到初始位置，求的所有可能取值； ②设，当时，求的值． (2)如图，若，，点，，，的速度都是，当以，，，为顶点的四边形是平行四边形时，求的所有可能取值． 【题型十六】四边形中的线段最值问题 例16．（23-24八年级下·浙江·期中）如图，点P，Q分别是菱形ABCD的边AD，BC上的两个动点，若线段PQ长的最大值为，最小值为4，则菱形ABCD的边长为（    ） A．5 B．10 C． D．8 变式1．（2024八年级下·浙江宁波·期末）已知：如图，在矩形中，．动点为矩形内一点，且满足，则周长的最小值为___________． 变式2．如图，四边形是边长为的正方形，为线段上一动点，，垂足为． （1）如图，连接交于点，若，求的长； （2）如图，点在的延长线上，点在上运动时，满足， ①连接，，判断，的数量关系并说明理由； ②如图，若为的中点，直接写出的最小值为 ． 【题型十七】四边形其他综合问题 例17．（23-24八年级下·浙江嘉兴·期末）如图，在正方形中，点G为边上一点，以为边向右作正方形，连接，交于点P，连接，过点F作交于点H，连接，交于点K，下列结论中错误的是（    ） A． B．是等腰直角三角形 C．点P为中点 D． 变式1．（22-23八年级下·浙江金华·月考）如图，矩形ABCD中，AD＝6，DC＝8，点H在边AD上，AH＝2，E为边AB上一个动点，连接HE．以HE为一边在HE的右上方作菱形HEFG，使点G落在边DC上，连接CF． （1）当菱形HEFG为正方形时，DG的长为___； （2）在点E的运动过程中，△FCG的面积S的取值范围为___． 变式2．（2024八年级下·浙江·专题练习）如图，在梯形中，，，，，，动点从点出发，沿射线的方向以每秒的速度运动到点返回，动点从点出发，在线段上以每秒的速度向点运动，点，分别从点，同时出发，当点运动到点时，点随之停止运动，设运动的时间为（秒）． (1)当为何值时，四边形是平行四边形； (2)当为何值时，以，，，为顶点的梯形面积等于？ (3)是否存在点，使是等腰三角形？若存在，请求出所有满足要求的的值；若不存在，请说明理由． 一、单选题 1．如图，正方形的边长为6，点E在边上，点F在的延长线上，且，四边形是矩形，则矩形的面积y与的长x之间的函数关系式为（    ） A． B． C． D． 2．下面几种说法正确的（    ） ①对角线互相垂直平分的四边形是菱形        ②一组对边平行一组邻边相等的四边形是菱形 ③两条对角线相等的平行四边形是矩形        ④对角线相等且垂直的四边形是正方形 A．①②③ B．①③ C．③④ D．②④ 3．如图，点E为正方形ABCD的边CD的中点，DE＝5，则BE的长为（　　） A．13 B．12 C．5 D．10 4．下列命题中正确的是（   ） A．对角线垂直且相等的四边形是菱形 B．一组对边平行一组对边相等的四边形是平行四边形 C．对角线相等且互相平分的四边形是矩形 D．对角线相等的矩形是正方形 5．如图，四边形OAA1B1是边长为1的正方形，以对角线OA1为边作第二个正方形OA1A2B2，连接AA2，得到△AA1A2；再以对角线OA2为边作第三个正方形OA2A3B3，连接A1A3，得到△A1A2A3，再以对角线OA3为边作第四个正方形，OA3A4B4，连接A2A4，得到△A2A3A4，…，设△AA1A2，OA1A2A3，△A2A3A4，…的面积分别为S1，S2，S3，…．如此下去，则S2021的值为（    ） A．22018 B．22019 C．22019＋ D．22020 6．如图，正方形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E为OB的中点，连结CE并延长交AB于点F．过点B作BH⊥CF，分别交CF，CA于点H，点P．若OE＝1，则BP的长为（    ） A． B．2 C． D．2.5 7．在正方形ABCD中，AD＝6，点M在边DC上，连接AM，△ADM沿直线AM翻折后点D落到点N，过点N作NE⊥CD，垂足为点E．如图，如果ED＝2EC，则DM＝（　　） A．4+3 B．3+3 C．9﹣3 D．6﹣3 8．如图， 在中以 为边向外作正方形与正方形， 连结， 并 过点作于并交于． 若， 则的长为 (      )． A． B． C． D． 9．如图，小宋作出了边长为2的第一个正方形A1B1C1D1，算出了它的面积．然后分别取正方形A1B1C1D1四边的中点A2、B2、C2、D2作出了第二个正方形A2B2C2D2，算出了它的面积．用同样的方法，作出了第三个正方形A3B3C3D3，算出了它的面积…，由此可得，第六个正方形A6B6C6D6的面积是（　　） A． B． C． D． 10．如图，已知点P是正方形ABCD内一点，连接AP、BP、CP，AP=1，BP＝2，CP＝3（　　） ①∠APB＝135°；②点B到直线AP的距离是；③S正方形ABCD＝5+2；④S四边形APCD＝3+． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二、填空题 11．如图，正方形和正方形的边长分别为和，点、分别为、边上的点，为的中点，连接，则的长为________． 12．七巧板起源于我国先秦时期，19世纪传到国外，被称为“唐图”．图①是边长为4的正方形“唐图”，则图②中头部小正方形的面积为_____． 13．如图，边长为6的正方形绕点按顺时针方向旋转30°后得到正方形，交于点，则的长为______（结果保留根号）． 14．如图，点M，N分别在正方形ABCD的边BC，CD上，且把绕点A顺时针旋转得到，若正方形的周长为12，，则ME的长为______． 15．如图，已知正方形ABCD中，点E，F分别在边CD，BC上，连接AE，DF．若，DE＝BF，则AE+DF的最小值为 _____． 16．将个边长都为1的正方形按如图所示的方法摆放，点，，…，分别是正方形对角线的交点，则2022个正方形照这样重叠形成的重叠部分的面积和为__________． 17．“正方形对角线互相垂直平分”的逆命题是______（填“真命题”或“假命题”）． 三、解答题 18．如图，在边长均为1的小正方形网格中，线段的端点都在格点上．（小正方形的顶点叫格点．） 实践与操作： 以为一边作正方形；（点C，D画在格点上） 推理与计算： 线段的长为___，正方形的面积为___．    19．附加题： 我们定义：有一组邻边相等且有一组对角互补的品四边形叫得等补四边形． (1)如图1，是等边三角形，在上任取一点（不与，重合），连接，我们把绕点逆时针旋转60°，则与重合，点的对应点为点．请根据给出的定义判断，四边形______（选择“是”或“不是”）等补四边形． (2)如图2，等补四边形中，，，若，则的长为______． (3)如图3，四边形中，，，，求四边形面积的最大值． 20．某个车间批量生产零件，图纸如下所示．印有图案外轮廓的钢板在流水线上等待激光机处理．对于一个零件，激光机会沿外轮廓切割一圈，切割的时间不低于安全时间，否则有可能会由于激光切割不充分而出现品控问题．以下是零件的示意图，虚线部分是设计师在设计时的辅助线．根据设计参数，四边形为菱形，四边形为正方形，毫米，毫米． 操作批次 切割长度 操作内容 单次切割时间 1 原零件切割长度 调至最大速度 安全时间2倍 2 550毫米 速度下调50毫米每秒 安全时间+5秒 (1)请求出单个该零件的切割长度． (2)上表为在两个批次的零件生产的生产记录．在第2批生产时，设计人员简化了零件模型，切割长度下降．求安全时间． 21．综合与实践 【主题】用竹棒搭建鲁班桥． 【背景】鲁班桥是一种自承式结构桥梁，依靠桥梁自身的结构间的力来维持稳固，是我国古代劳动人民智慧的结晶． 【素材】宽为的长方体竹棒、底面圆直径为的圆柱竹棒各若干、尺子、小刀等． 【实践操作】 步骤1：如图1：长方体竹棒上下共刻出3个半径为的半圆凹槽，圆心分别为，，，其中是竹棒中点，，到竹棒两端的距离均为； 步骤2：用两个长方体竹棒夹住一个圆柱竹棒，其侧面示意图如图2，以此类推重复拼搭即可搭建出如图3的鲁班桥． 【实践探索】 (1)步骤2图2中，3个长方体竹棒搭建，，为竹棒与地面的交点，若竹棒长，跨度为，则凹槽圆心到的距离为多少？ (2)将鲁班桥首尾相连绕成环，图4为其侧面示意图，内圈形状为两个完全相同的正方形，则需要准备长方体竹棒的长为多少厘米？ 22．如图，在正方形中，E，F分别是边上的点，且，过点E作交于点G．求证：． 23．如图，已知四边形是正方形，点E为对角线上一动点，连接，过点E作，交射线于点F，以为邻边作矩形，连接． (1)求证：； (2)探究的值是否为定值，若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由； 24．在一个正方形的花坛上，欲修建两条直的小路，使得两条直的小路将花坛平均分成面积相等的四部分（不考虑道路的宽度）你有几种方法？（至少说出三种） 1 学科网（北京）股份有限公司 $