第07讲 平行四边形及其性质（知识详解+7典例分析+习题巩固）2025-2026学年（浙教版）八年级数学下册同步讲义与测试

第07讲 平行四边形及其性质（知识详解+7典例分析+习题巩固） 【知识点01】平行四边形的概念 1.平行四边形的定义及表示 定义 两组对边分别平行的四边形叫作平行四边形。 图示 表示方法 平行四边形用符号“▱”表示，如图，平行四边形𝐴𝐵𝐶𝐷 可记作“▱𝐴𝐵𝐶𝐷 ”。 注意事项 1.表示平行四边形时一定要按顺（或逆）时针依次书写表示各顶点的字母； 2.“▱ ”后要紧跟表示四个顶点的字母，不能单独使用。 2.平行四边形的基本元素（边、角、对角线） 基本元素 主要内容 图示 边 邻边  𝐴𝐷和𝐴𝐵，𝐴𝐷和𝐷𝐶，𝐷𝐶和𝐵𝐶，𝐵𝐶 和𝐴𝐵 ，共有四组。 对边 𝐴𝐵和𝐷𝐶，𝐴𝐷和𝐵𝐶 ，共有两组。 角 邻角 ∠𝐵𝐴𝐷和∠𝐴𝐷𝐶，∠𝐴𝐷𝐶和∠𝐷𝐶𝐵，∠𝐷𝐶𝐵 和∠𝐴𝐵𝐶，∠𝐴𝐵𝐶和∠𝐵𝐴𝐷 ，共有四组。 对角 ∠𝐵𝐴𝐷和∠𝐵𝐶𝐷，∠𝐴𝐷𝐶和∠𝐴𝐵𝐶 ，共有两组。 对角线 𝐴𝐶和𝐵𝐷 ，共有两条。 【知识点02】平行四边形的性质 性质定理 符号语言 图示 边 平行四边形的对边相等。 因为四边形𝐴𝐵𝐶𝐷 是平行四边形，所以𝐴𝐷=𝐵𝐶 ,𝐴𝐵=𝐶𝐷 。 角 平行四边形的对角相等。 因为四边形𝐴𝐵𝐶𝐷 是平行四边形，所以∠𝐵𝐴𝐷=∠𝐵𝐶𝐷 , ∠𝐴𝐵𝐶=∠𝐴𝐷𝐶 。 对角 线 平行四边形的对角线互相平分。 因为四边形𝐴𝐵𝐶𝐷 是平行四边形，所以𝑂𝐴=𝑂𝐶=𝐴𝐶 ,𝑂𝐵=𝑂𝐷=𝐵𝐷 。 教材延伸 由平行四边形的性质得到的几条重要结论 （1）平行四边形的每条对角线都将平行四边形分成了两个全等的三角形；（2）平行四边形相邻两边之和等于周长的一半；（3）平行四边形被两条对角线分成的四个小三角形的面积相等，都等于平行四边形面积的<m>1/4</m>，且相邻两个小三角形的周长之差的绝对值等于平行四边形两邻边之差的绝对值；（4）过平行四边形两条对角线交点的直线，平分平行四边形的周长和面积。 【知识点03】四边形的不稳定性 四边形的不稳定性指的是确定四边形的各条边的长，并不能确定四边形的形状和大小。如图，▱ABCD,▱A′BCD′,▱A″BCD″ 的边长都对应相等，但它们的形状却不相同。 说明：各边边长都确定的平行四边形的形状改变时，其周长、内角和及外角和均不变，对边的平行性不变。 【知识点04】平行线的性质定理及推论 1.平行线的性质定理及推论 文字叙述 符号语言 图示 平行线的性质定理 夹在两条平行线间的平行线段相等。 因为直线//，𝐴𝐵//𝐶𝐷 ，所以𝐴𝐵=𝐶𝐷 。 推论 夹在两条平行线间的垂线段相等。 因为直线// ，𝐸𝐹⊥，𝐺𝐻⊥ ， 所以𝐸𝐹=𝐺𝐻 。 说明：如果两条直线平行，那么一条直线上所有的点到另一条直线的距离都相等。 2.两条平行线之间的距离：两条平行线中，一条直线上任意一点到另一条直线的距离，叫作这两条平行线之间的距离。 三种距离之间的区别 类别 两点间的距离 点到直线的距离 两条平行线之间的距离 区别 连结两点的线段的长度。 点到直线的垂线段的长度。 两条平行线中，一条直线上任意一点到另一条直线的垂线段的长度。 【题型一】利用平行四边形的性质求解 例1．（24-25八年级下·浙江杭州·期末）在平行四边形中，，则______． 例2．（24-25八年级下·浙江台州·期末）如图，在平行四边形中，，，，平分交于点． (1)求的度数； (2)求的长度． 变式1．（24-25八年级下·浙江台州·月考）在平行四边形中，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 变式2．（24-25八年级下·浙江杭州·月考）已知平行四边形，，，的平分线，交平行四边形的边于点E，点F，若，则平行四边形的周长是______． 变式3．（24-25八年级下·浙江杭州·期中）如图（1），在四边形中，，，，有动点P从A点出发，在线段上以的速度向点D运动，有动点Q同时从C点出发，在线段上以的速度向点B运动，当其中一点到达时，另一点也随之停止运动．连接，若运动时间是t秒． (1)_______，_______（用含t的代数式表示）； (2)求当四边形和四边形其中一个是平行四边形时，t的取值； (3)如图（2），取中点E，中点F，连接，请求出使的时间t； 【题型二】利用平行四边形的性质证明 例3．（24-25八年级下·浙江嘉兴·期中）已知的两条对角线相交于点，则下列结论不一定正确的是（   ） A． B． C． D． 例4．（24-25八年级下·浙江杭州·期末）如图，在平行四边形中，，以点C为圆心，为半径作弧，交边于点E，连接． (1)求证：； (2)若，，，求的长． 变式1．（24-25八年级下·浙江金华·期中）平行四边形不一定具有的性质是（    ） A．对角相等 B．两组对边分别相等 C．对角线相等 D．中心对称性 变式2．（22-23八年级下·浙江绍兴·期末）在纸板上剪出一个平行四边形，作出其对角线的交点O．我们进行如图操作：用大头针把一根平放在平行四边形纸板上的直细木条固定在点O处，并使细木条可以绕点O转动，拨动细木条，它可以停留在任意位置，如果设细木条与一组对边，的交点分别为点E，F，则下列结论：①；②；③；④．一定成立的是_____（填写序号即可）． 变式3．（24-25八年级下·浙江杭州·期中）如图，在中，于点，，连结交于点． (1)如图1所示，，，求的值； (2)如图2所示，是的中点，过点作于点，延长交的延长线于点，连结． ①证明：； ②直接写出的数量关系． 【题型三】平行四边形性质的其他应用 例5．已知是平行四边形，以下说法不正确的是（    ） A．其对边相等 B．其对角线相互平分 C．其对角相等 D．其对角线互相垂直 例6．（22-23八年级下·浙江温州·期中）如图，在的方格纸中，每个小正方形的边长为，点、在格点上，请按要求画格点多边形（顶点在格点上）．    (1)在图中画一个以点为对角线交点，且面积为的平行四边形； (2)在图中画一个以线段为边，且有一个内角为的平行四边形． 变式1．已知点E在面积为4的平行四边形ABCD的边上运动，那么使△ABE的面积为1的点E共有_____个． 变式2．（22-23八年级下·浙江温州·期中）如图，在6×6网格中，每个小正方形的边长为1，点A, B在格点上．请根据条件画出符合要求的图形． (1)在图甲中画出以点A为顶点且一边长为的平行四边形．要求：各顶点均在格点上． (2)在图乙中画出线段AB的中点O． 要求：①仅用无刻度直尺，且不能用直尺中的直角；②保留作图痕迹． 【题型四】数图形中平行四边形的个数 例7．（2023八年级下·浙江杭州·期末）如图，点A，B，C在同一直线上，点D，E，F，G在同一直线上，且．图中平行四边形有（    ）个 A．4 B．5 C．3 D．6 变式1．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，线段，相交于点，且点，，与点，，分别四等分线段与，则依次连接这些点可以构成_____个平行四边形． 变式2．已知（如图），将它沿方向平移，平移的距离为． (1)作出经平移后所得的图形． (2)写出与构成的图形中所有的平行四边形（不必证明）． 【题型五】四边形的不稳定性 例8．（22-23八年级下·浙江宁波·月考）电动伸缩门是依据平行四边形的（　　 ） A．可变形 B．伸缩性 C．稳定性 D．不稳定性 变式1．（2024八年级下·浙江·专题练习）生活中处处有数学，如自行车的三角架是三角形的稳定性的应用，而能够自由开关的活动窗户（如图）的支撑装置（四边形设计成平行四边形，其中应用的数学原理是 ____． 变式2．如图所示，，，是三根长度分别为，，的木棒，它们之间连接处可以活动，在A，D之间拉一根橡皮筋，请根据四边形的不稳定性思考，这根橡皮筋的最大长度可以拉到多少厘米？最短长度为多少厘米？    【题型六】求平行线间的距离 例9．（22-23八年级下·浙江湖州·期中）在同一平面内，设a，b，c是三条互相平行的直线，已知a与b间的距离为5cm，b与c间的距离为4cm，则a与c间的距离为（    ）cm． A．1 B．9 C．4或5 D．1或9 变式1．（24-25八年级下·浙江宁波·期中）在同一平面内，设a，b，c是三条互相平行的直线，若a与b的距离为3，a与c的距离为4，则b与c是距离为___________． 变式2．如图，在直角三角形中，，，，，若点到的距离是1，求与之间的距离． 【题型七】利用平行线间距离解决问题 例10．（22-23八年级下·浙江温州·期中）如图，的面积为24，D为边上的一点，延长交的平行线于点E，连接，以为邻边作平行四边形交边于点H，连接，当时，则的面积为（    ） A．4 B．6 C．8 D．12 例11．（23-24八年级下·浙江金华·期中）如图，的面积为16，点在上，点，在上，则图中阴影部分的面积为______． 变式1．（23-24八年级·浙江宁波·期中）如图，点为长方形边上的一点，连接，，与分别交于点和点，四边形的面积为，的面积为，的面积为，图中阴影部分的面积是（　　） A． B． C． D． 变式2．（22-23八年级下·浙江湖州·期中）如图，直线，点C在上．若，的面积为27，的面积为18，则______．    变式3．（2023八年级下·浙江·专题练习）如图，为固定的木条，，为可伸缩的橡皮筋．当点A在与平行的轨道上滑动时，你能说明的面积将如何变化吗？并简述你的理由． 一、单选题 1．可伸缩的遮阳篷是依据平行四边形的（    ） A．不稳定性 B．稳定性 C．伸缩性 D．可变性 2．如图，王老师用四根木棒搭成了平行四边形的框架，量得，固定．逆时针转动，在转动过程中，关于平行四边形的面积变化情况：甲认为：先变大，后变小；乙认为：在转动过程中，平行四边形的面积有最大值，最大值是，则（　　）    A．甲说的对 B．乙说的对 C．甲、乙说的都对 D．甲、乙说的都不对 3．如图，在中，，垂足为点．如果，则的度数为（　　） A． B． C． D． 4．小明同学在平行四边形中用尺规作图作等腰，下列作图不正确的是（    ） A． B． C． D． 5．如图，，，和相交于点，则图中全等三角形共有（    ） A．对 B．对 C．对 D．对 6．如图，将四边形纸片ABCD沿过点A的直线折叠，使得点B落在CD上的点Q处，折痕为AP．再将△PCQ，△ADQ分别沿PQ，AQ折叠，此时点C，D落在AP上的同一点R处．当AD＝CP时，则的值为（　　） A． B．2 C．2 D． 7．已知：如图，中，于E，，，的平分线交于，连接．则的度数等于（    ） A． B． C． D． 8．如图，在▱ABCD中，AB＝BD，点E在BD上，CE＝CB．如果∠ADB＝65°，那么∠DCE等于（　　） A．20° B．15° C．30° D．35° 9．在纸板上剪出一个平行四边形，作出其对角线的交点O．我们进行如图操作：用大头针把一根放在平行四边形纸板上的直细木条固定在点O处，并使细木条可以绕点O转动，拨动细木条，它可以停留在任意位置，如果设细木条与一组对边，的交点分别为点E，F，则下列结论不正确的是（    ） A． B． C． D． 10．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=3、BC=4、P、Q两点分别在AC和AB上．且CP=BQ=1，在平面上找一点M．以A、P、Q、M为顶点画平行四边形，这个平行四边形的周长的最大值为（　　　） A．12 B． C． D． 二、填空题 11．如图，在平行四边形中，于点，若，则____________.    12．如图，在平行四边形中，，，则与之间的距离为______． 13．如图，在中，过点D作，垂足为E，过上一点F作，垂足为G，交于P，连接，．过F作，垂足为H．连接．若，，．则____________________ ． 14．如图，在中，与的平分线相交于上的一点，若 （1）的长度为_____． （2）的面积为_____． 15．如图，在平行四边形中，点为边的中点，点为边的中点，且，，，则______． 16．如图，中，平分，则等于_______． 17．如图，在长方形中，，，点为线段的中点，动点从点出发，沿的方向在和上运动，将长方形沿折叠，点的对应点为，当点恰好落在长方形的对角线上时（不与长方形顶点重合），点运动的距离为______． 三、解答题 18．如图，在梯形中，，点为腰上的一点，交于点，与是否平行？请说明理由，分别测量出点到的距离，两者有何关系． 19． 如图：在平行四边形中，的平分线交于，若，，求的长． 20．如图，在由边长为1的小正方形组成的网格中，的三个顶点均在格点上，请按要求完成下列各题． (1)在网格中画出平行四边形； (2)判断是否为直角三角形，并求出平行四边形的面积． 21．（1）如图，是的角平分线，求证：．    （2）在一个平行四边形中，若一个角的平分线把一条边分成长是和的两条线段，则该平行四边形的周长是 　　？ 22．如图，在中，于点E，于点F． (1)求证：； (2)如果求的长． 23．如图，在平行四边形中，．    (1)实践与操作：利用尺规作图完成下面作图： ①在边上截取，连接； ②作的角平分线，交于点，交于点（要求：不写作法，但要保留作图痕迹） (2)猜想与证明：试猜想线段与的数量关系，并加以证明． 24．如图，四边形是平行四边形，点、在对角线上，，分别平分和，求证：． 25．如图，直线：与直线：交轴于点A，分别交轴于点B、点C，且．    (1)求k，b的值； (2)过的中点D作交于点P，过点P作轴交于点Q，求的长； (3)将直线向下平移5个单位得到直线，与y轴交于点E，将（2）中的点P向右移动1个单位得到点M．点N是平面内一点，使得以点A，E，M，N为顶点的四边形是平行四边形，写出所有符合条件的点N的坐标，并写出求解点N的坐标的其中一种情况的过程． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第07讲 平行四边形及其性质（知识详解+7典例分析+习题巩固） 【知识点01】平行四边形的概念 1.平行四边形的定义及表示 定义 两组对边分别平行的四边形叫作平行四边形。 图示 表示方法 平行四边形用符号“▱”表示，如图，平行四边形𝐴𝐵𝐶𝐷 可记作“▱𝐴𝐵𝐶𝐷 ”。 注意事项 1.表示平行四边形时一定要按顺（或逆）时针依次书写表示各顶点的字母； 2.“▱ ”后要紧跟表示四个顶点的字母，不能单独使用。 2.平行四边形的基本元素（边、角、对角线） 基本元素 主要内容 图示 边 邻边  𝐴𝐷和𝐴𝐵，𝐴𝐷和𝐷𝐶，𝐷𝐶和𝐵𝐶，𝐵𝐶 和𝐴𝐵 ，共有四组。 对边 𝐴𝐵和𝐷𝐶，𝐴𝐷和𝐵𝐶 ，共有两组。 角 邻角 ∠𝐵𝐴𝐷和∠𝐴𝐷𝐶，∠𝐴𝐷𝐶和∠𝐷𝐶𝐵，∠𝐷𝐶𝐵 和∠𝐴𝐵𝐶，∠𝐴𝐵𝐶和∠𝐵𝐴𝐷 ，共有四组。 对角 ∠𝐵𝐴𝐷和∠𝐵𝐶𝐷，∠𝐴𝐷𝐶和∠𝐴𝐵𝐶 ，共有两组。 对角线 𝐴𝐶和𝐵𝐷 ，共有两条。 【知识点02】平行四边形的性质 性质定理 符号语言 图示 边 平行四边形的对边相等。 因为四边形𝐴𝐵𝐶𝐷 是平行四边形，所以𝐴𝐷=𝐵𝐶 ,𝐴𝐵=𝐶𝐷 。 角 平行四边形的对角相等。 因为四边形𝐴𝐵𝐶𝐷 是平行四边形，所以∠𝐵𝐴𝐷=∠𝐵𝐶𝐷 , ∠𝐴𝐵𝐶=∠𝐴𝐷𝐶 。 对角 线 平行四边形的对角线互相平分。 因为四边形𝐴𝐵𝐶𝐷 是平行四边形，所以𝑂𝐴=𝑂𝐶=𝐴𝐶 ,𝑂𝐵=𝑂𝐷=𝐵𝐷 。 教材延伸 由平行四边形的性质得到的几条重要结论 （1）平行四边形的每条对角线都将平行四边形分成了两个全等的三角形；（2）平行四边形相邻两边之和等于周长的一半；（3）平行四边形被两条对角线分成的四个小三角形的面积相等，都等于平行四边形面积的<m>1/4</m>，且相邻两个小三角形的周长之差的绝对值等于平行四边形两邻边之差的绝对值；（4）过平行四边形两条对角线交点的直线，平分平行四边形的周长和面积。 【知识点03】四边形的不稳定性 四边形的不稳定性指的是确定四边形的各条边的长，并不能确定四边形的形状和大小。如图，▱ABCD,▱A′BCD′,▱A″BCD″ 的边长都对应相等，但它们的形状却不相同。 说明：各边边长都确定的平行四边形的形状改变时，其周长、内角和及外角和均不变，对边的平行性不变。 【知识点04】平行线的性质定理及推论 1.平行线的性质定理及推论 文字叙述 符号语言 图示 平行线的性质定理 夹在两条平行线间的平行线段相等。 因为直线//，𝐴𝐵//𝐶𝐷 ，所以𝐴𝐵=𝐶𝐷 。 推论 夹在两条平行线间的垂线段相等。 因为直线// ，𝐸𝐹⊥，𝐺𝐻⊥ ， 所以𝐸𝐹=𝐺𝐻 。 说明：如果两条直线平行，那么一条直线上所有的点到另一条直线的距离都相等。 2.两条平行线之间的距离：两条平行线中，一条直线上任意一点到另一条直线的距离，叫作这两条平行线之间的距离。 三种距离之间的区别 类别 两点间的距离 点到直线的距离 两条平行线之间的距离 区别 连结两点的线段的长度。 点到直线的垂线段的长度。 两条平行线中，一条直线上任意一点到另一条直线的垂线段的长度。 【题型一】利用平行四边形的性质求解 例1．（24-25八年级下·浙江杭州·期末）在平行四边形中，，则______． 【答案】/135度 【知识点】利用平行四边形的性质求解 【分析】利用和互补，加上已知的角度之比可得度数，那么． 题目主要考查平行四边形的对角相等，邻角互补，熟练掌握平行四边形的性质是解题关键． 【详解】解：四边形是平行四边形， ，， ， ， ． 故答案为：． 例2．（24-25八年级下·浙江台州·期末）如图，在平行四边形中，，，，平分交于点． (1)求的度数； (2)求的长度． 【答案】(1) (2)2 【知识点】角平分线的有关计算、利用平行四边形的性质求解、根据等角对等边求边长 【分析】本题考查平行四边形的性质，等腰三角形的判定，掌握平行四边形的性质是解题的关键． （1）由平行四边形的对边平行得到，再由角平分线的定义即可求解； （2）由平行四边形的对边平行得到，因此，由角平分线得到，从而，即可得到，又有，根据线段的和差即可求解． 【详解】（1）解：四边形是平行四边形， ∴， ， 平分， ． （2）解：四边形是平行四边形， ， ， 平分， ∴ ， ， ∵在中，， ． 变式1．（24-25八年级下·浙江台州·月考）在平行四边形中，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】利用平行四边形的性质求解 【分析】本题考查了平行四边形的性质 ，理解平行四边形的性质定理是解题的关键． 【详解】解：四边形是平行四这形，， ， 故选：B． 变式2．（24-25八年级下·浙江杭州·月考）已知平行四边形，，，的平分线，交平行四边形的边于点E，点F，若，则平行四边形的周长是______． 【答案】18或22 【知识点】角平分线的有关计算、利用平行四边形的性质求解 【分析】分两种情况作出图形根据平行四边形的性质以及角平分线的定义求解即可． 本题考查了平行四边形的性质，角平分线的定义，平行四边形的周长，注意分类讨论是解题的关键． 【详解】解：如图， 四边形是平行四边形， ， ， 又平分， ， ， ，， ， 平行四边形的周长； 如图， 同法可知，， ， 平行四边形的周长， 综上所述，平行四边形的周长或， 故答案为：或． 变式3．（24-25八年级下·浙江杭州·期中）如图（1），在四边形中，，，，有动点P从A点出发，在线段上以的速度向点D运动，有动点Q同时从C点出发，在线段上以的速度向点B运动，当其中一点到达时，另一点也随之停止运动．连接，若运动时间是t秒． (1)_______，_______（用含t的代数式表示）； (2)求当四边形和四边形其中一个是平行四边形时，t的取值； (3)如图（2），取中点E，中点F，连接，请求出使的时间t； 【答案】(1)； (2)或 (3) 【知识点】列代数式、利用平行四边形的性质求解 【分析】本题考查了平行四边形的性质与判定，列代数式，掌握平行四边形的性质与判定是解题的关键． （1）根据路程等于速度乘以时间，以及线段之间的和差关系，列出代数式即可； （2）分四边形是平行四边形以及四边形为四边形，两种情况，根据平行四边形的对边相等，列出方程进行求解即可； （3）延长交于，延长交于，根据时，得到四边形为平行四边形，得到，列出方程进行求解即可． 【详解】（1）解：由题意，得：， ∴； 故答案为：； （2）依题意， 当四边形为平行四边形时，， 即， 解得：， 当四边形为平行四边形时，， 即， 解得：； 综上：或； （3）延长交于，延长交于 的中点为中点为， ， ， ， ， ， 同理可得， 当时，四边形为平行四边形，则， 即， ； 解得：． 【题型二】利用平行四边形的性质证明 例3．（24-25八年级下·浙江嘉兴·期中）已知的两条对角线相交于点，则下列结论不一定正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】利用平行四边形的性质证明 【分析】本题考查平行四边形的性质，根据平行四边形的性质逐项判断即可． 【详解】解：如图， ∵四边形是平行四边形，两条对角线相交于点， ∴，，， ∴， 故选项A、B、D正确，不符合题意， ∵平行四边形的对角线不一定相等， ∴不一定成立，故选项C错误，符合题意， 故选：C． 例4．（24-25八年级下·浙江杭州·期末）如图，在平行四边形中，，以点C为圆心，为半径作弧，交边于点E，连接． (1)求证：； (2)若，，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】等边对等角、利用平行四边形的性质证明、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查了平行四边形的性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，掌握相关知识点是解题关键． （1）由平行四边形的性质可得，由作法可知，，进而得到，即可证明结论； （2）由平行四边形的性质可得，，，再在直角三角形中，利用勾股定理先求出，再求出即可． 【详解】（1）证明：四边形是平行四边形， ， ， 由作法可知，， ， ； （2）解：，， ，， 四边形是平行四边形， ，，， ， ， ∴在中，， ∴在中，， ∴的长为． 变式1．（24-25八年级下·浙江金华·期中）平行四边形不一定具有的性质是（    ） A．对角相等 B．两组对边分别相等 C．对角线相等 D．中心对称性 【答案】C 【知识点】利用平行四边形的性质证明 【分析】此题考查了中心对称以及平行四边形的性质：平行四边形的对边平行且相等，对角相等，邻角互补，对角线互相平分．根据平行四边形的性质即可求解． 【详解】解：∵平行四边形的对边相等，对角相等，对角线互相平分，平行四边形是中心对称图形，对角线的交点就是其对称中心； ∴平行四边形不一定具有的性质对角线相等． 故选：C． 变式2．（22-23八年级下·浙江绍兴·期末）在纸板上剪出一个平行四边形，作出其对角线的交点O．我们进行如图操作：用大头针把一根平放在平行四边形纸板上的直细木条固定在点O处，并使细木条可以绕点O转动，拨动细木条，它可以停留在任意位置，如果设细木条与一组对边，的交点分别为点E，F，则下列结论：①；②；③；④．一定成立的是_____（填写序号即可）． 【答案】①②④ 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、利用平行四边形的性质证明 【分析】此题考查了平行四边形的性质和判定，全等三角形的性质和判定，解题的关键是掌握以上知识点． 首先根据平行四边形的性质得到，，得到，然后证明出，进而判断即可． 【详解】∵四边形是平行四边形，其对角线的交点O ∴， ∴ 又∵ ∴ ∴，，故①②④正确； ∵和不一定平行 ∴和不一定相等，故③错误； 故答案为：①②④． 变式3．（24-25八年级下·浙江杭州·期中）如图，在中，于点，，连结交于点． (1)如图1所示，，，求的值； (2)如图2所示，是的中点，过点作于点，延长交的延长线于点，连结． ①证明：； ②直接写出的数量关系． 【答案】(1) (2)①见解析；②；见解析 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、用勾股定理解三角形、利用平行四边形的性质证明 【分析】本题考查了平行四边形的性质，勾股定理，等腰三角形的性质，全等三角形性质与判定，熟练掌握以上知识是解题的关键． （1）勾股定理求得，进而根据平行四边形的性质，即可求解； （2）①先证明，进而即可证明；②连结、、，证明，进而证明，得出，，则是等腰直角三角形，根据勾股定理，即可得出． 【详解】（1）解：∵，，，     ∴， ∵，     ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴； （2）解：①∵在中，， 又∵，     ∴，， ∴， ∵ ∴ ， ∴， ∵在和中， ， ∴， ②连结、、， ∵在中，是的中点 ， ∴， ∵ ，    ∴，，， ∵ ，    ∴，，， ∴ ，    ∴， ∵在和中， ， ∴，     ∴，， ∴ ，    ∴是等腰直角三角形， ∴． 【题型三】平行四边形性质的其他应用 例5．已知是平行四边形，以下说法不正确的是（    ） A．其对边相等 B．其对角线相互平分 C．其对角相等 D．其对角线互相垂直 【答案】D 【知识点】平行四边形性质的其他应用 【分析】根据平行四边形的性质进行判断即可． 【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴其对角线相互平分，其对边相等，其对角相等， 故选：D． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，熟练掌握平行四边形的性质：①边：平行四边形的对边相等．②角：平行四边形的对角相等．③对角线：平行四边形的对角线互相平分，是解答的关键． 例6．（22-23八年级下·浙江温州·期中）如图，在的方格纸中，每个小正方形的边长为，点、在格点上，请按要求画格点多边形（顶点在格点上）．    (1)在图中画一个以点为对角线交点，且面积为的平行四边形； (2)在图中画一个以线段为边，且有一个内角为的平行四边形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【知识点】平行四边形性质的其他应用 【分析】（1）利用平行四边形的定义，数形结合的思想画出图形即可； （2）构造等腰直角三角形，可得角，利用数形结合的思想画出图形即可． 【详解】（1）解：如图中，四边形即为所求；    （2）解：如图中，四边形即为所求．    【点睛】本题考查作图应用与设计作图，平行四边形的性质等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题． 变式1．已知点E在面积为4的平行四边形ABCD的边上运动，那么使△ABE的面积为1的点E共有_____个． 【答案】2 【知识点】平行四边形性质的其他应用 【分析】因为△ABE的底与平行四边形的底相等，要使△ABE的面积为1，则高△ABE的高必须为平行四边形的一半，所以当E在AD，BC的中点时成立． 【详解】解：如图， ∵平行四边形ABCD的底是不变的， 即AB是固定的，AB即为△ABE的底不变，高变化， ∵AB×AB边上的高=1， ∴当△ABE的高为平行四边形ABCD的底边AB上的高的一半时△ABE的面积为1， 即E在AD，BC的中点时成立， 故使△ABE的面积为1的点E共有2个． 故答案为2． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，三角形的面积等，注意：同底同高的三角形的面积是平行四边形的面积的一半． 变式2．（22-23八年级下·浙江温州·期中）如图，在6×6网格中，每个小正方形的边长为1，点A, B在格点上．请根据条件画出符合要求的图形． (1)在图甲中画出以点A为顶点且一边长为的平行四边形．要求：各顶点均在格点上． (2)在图乙中画出线段AB的中点O． 要求：①仅用无刻度直尺，且不能用直尺中的直角；②保留作图痕迹． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【知识点】勾股定理与网格问题、平行四边形性质的其他应用 【分析】（1）利用数形结合的思想，画出平行四边形即可； （2）如图：取格点P、Q，连接PQ交AB于点O，点O即为所求． 【详解】（1）解：如图甲中，四边形ABCD即为所求． （2）解：如图乙中，点O即为所求． 【点睛】本题主要考查了勾股定理、平行四边形的性质等知识，灵活运用数形结合的思想是解答本题的关键． 【题型四】数图形中平行四边形的个数 例7．（2023八年级下·浙江杭州·期末）如图，点A，B，C在同一直线上，点D，E，F，G在同一直线上，且．图中平行四边形有（    ）个 A．4 B．5 C．3 D．6 【答案】B 【知识点】数图形中平行四边形的个数 【分析】根据平行四边形两组对边分别平行的判定求解可得． 【详解】解：如图， 图中的平行四边形有：▱ABED，▱ABGF，▱BCFE，▱ACFD，▱PBQF， 故选B． 【点睛】本题主要考查平行四边形的判定，解题的关键是掌握：（1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形．（2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形．（3）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形． 变式1．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，线段，相交于点，且点，，与点，，分别四等分线段与，则依次连接这些点可以构成_____个平行四边形． 【答案】4 【知识点】数图形中平行四边形的个数 【分析】本题考查了平行四边形的定义，熟练掌握相关内容是解题的关键； 根据平行四边形的定义数出具体有几个平行四边形． 【详解】解：根据“对角线互相平分的四边形是平行四边形”可得： 在四边形中，， ∴四边形是平行四边形 同理可得，四边形，四边形，四边形，均为平行四边形；一共4个； 故答案为：4． 变式2．已知（如图），将它沿方向平移，平移的距离为． (1)作出经平移后所得的图形． (2)写出与构成的图形中所有的平行四边形（不必证明）． 【答案】(1)图见解析； (2)，，，，，． 【知识点】数图形中平行四边形的个数、平移(作图) 【分析】（1）根据图形平移的性质画出平移后的即可； （2）根据图形平移的性质以及平行四边形的判定定理即可得出结论． 【详解】（1）解：如图所示； （2）解：由图可知，与构成的图形中所有的平行四边形有：，，，，，． 【点睛】本题考查的是作图－平移变换，平行四边形的判定定理，熟知图形平移不变性的性质以及平行四边形的判定定理是解答此题的关键． 【题型五】四边形的不稳定性 例8．（22-23八年级下·浙江宁波·月考）电动伸缩门是依据平行四边形的（　　 ） A．可变形 B．伸缩性 C．稳定性 D．不稳定性 【答案】D 【知识点】四边形的不稳定性 【分析】根据四边形的不稳定性解答． 【详解】解：电动伸缩门是依据平行四边形的不稳定性， 故选：D． 【点睛】此题考查了四边形的不稳定性，熟练掌握性质，正确理解四边形的可变性是解题的关键． 变式1．（2024八年级下·浙江·专题练习）生活中处处有数学，如自行车的三角架是三角形的稳定性的应用，而能够自由开关的活动窗户（如图）的支撑装置（四边形设计成平行四边形，其中应用的数学原理是 ____． 【答案】平行四边形具有不稳定性 【知识点】四边形的不稳定性 【分析】本题主要考查平行四边形的性质，利用平行四边形的不稳定性求解可得． 【详解】解：因为平行四边形具有不稳定性， 所以可以灵活的开关窗户， 故窗户的支撑装置（四边形被设计成平行四边形． 故答案为：平行四边形具有不稳定性． 变式2．如图所示，，，是三根长度分别为，，的木棒，它们之间连接处可以活动，在A，D之间拉一根橡皮筋，请根据四边形的不稳定性思考，这根橡皮筋的最大长度可以拉到多少厘米？最短长度为多少厘米？    【答案】这根橡皮筋的最大长度可以拉到，最短长度为 【知识点】四边形的不稳定性 【分析】分两种情况进行讨论，当A，B，C，D形成一条线段时，最长，当A，B，C拉直，B，A落在上时，最短，分别求解即可． 【详解】由于B，C两处可以转动，当A，B，C，D形成一条线段时，最长，它等于；当A，B，C拉直，B，A落在上时，最短，它等于． 答：这根橡皮筋的最大长度可以拉到，最短长度为． 【点睛】本题考查了三角形的稳定性，当三角形三边的长度确定后，三角形的大小和形状就能唯一确定下来，故三角形具有稳定性． 【题型六】求平行线间的距离 例9．（22-23八年级下·浙江湖州·期中）在同一平面内，设a，b，c是三条互相平行的直线，已知a与b间的距离为5cm，b与c间的距离为4cm，则a与c间的距离为（    ）cm． A．1 B．9 C．4或5 D．1或9 【答案】D 【知识点】求平行线间的距离 【分析】因为直线c的位置不明确，所以分①直线c在直线a、b外，②直线c在直线a、b之间两种情况讨论． 【详解】解：①当直线c在直线a、b外时， ∵a与b间的距离为，b与c间的距离为， ∴a与c间的距离为； ②直线c在直线a、b之间时， ∵a与b间的距离为，b与c间的距离为， ∴a与c间的距离为； 综上，a与c间的距离为或， 故选：D． 【点睛】本题考查了平行线之间的距离，注意需分两种情况讨论求解．从一条平行线上的任意一点向另外一条平行线作垂线，垂线段的长度叫两条平行线之间的距离．平行线间的距离处处相等． 变式1．（24-25八年级下·浙江宁波·期中）在同一平面内，设a，b，c是三条互相平行的直线，若a与b的距离为3，a与c的距离为4，则b与c是距离为___________． 【答案】1或7 【知识点】求平行线间的距离 【分析】本题考查平行线之间的距离，解题的关键是理解：从一条平行线上的任意一点向另外一条平行线作垂线，垂线段的长度叫两条平行线之间的距离．平行线间的距离处处相等． 因为直线c的位置不明确，所以分直线a和c在直线b同侧和异侧两种情况讨论． 【详解】解：①当直线a和c在直线b的两侧时，如图， ∵a与b的距离为3，a与c的距离为4， ∴b与之间的距离为：； ②当a和c在b的同侧时，如图， ∵a与b的距离为3，a与c的距离为4， ∴a与c之间的距离为：； 综上，b与c之间的距离为1或7， 故答案为：1或7． 变式2．如图，在直角三角形中，，，，，若点到的距离是1，求与之间的距离． 【答案】 【知识点】求平行线间的距离 【分析】本题主要考查了平行线间的距离，关键是掌握三角形的面积公式．根据三角形的面积和点到直线的距离解答即可． 【详解】解：因为在直角三角形中，，，，， 所以点到的距离， 因为， 所以与的距离是． 【题型七】利用平行线间距离解决问题 例10．（22-23八年级下·浙江温州·期中）如图，的面积为24，D为边上的一点，延长交的平行线于点E，连接，以为邻边作平行四边形交边于点H，连接，当时，则的面积为（    ） A．4 B．6 C．8 D．12 【答案】C 【知识点】利用平行线间距离解决问题、利用平行四边形的性质求解 【分析】本题考查了平行四边形的性质，三角形的面积公式，利用面积的和差关系求出是解题的关键． 由面积的和差关系可求，即可求解． 【详解】解：如图，∵的面积为， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， 故选：C． 例11．（23-24八年级下·浙江金华·期中）如图，的面积为16，点在上，点，在上，则图中阴影部分的面积为______． 【答案】8 【知识点】利用平行线间距离解决问题、利用平行四边形的性质求解 【分析】此题重点考查平行四边形的性质、两条平行线之间的距离处处相等、平行四边形的面积公式、三角形的面积公式等知识，证明图中阴影部分的面积是平行四边形的面积的一半是解题的关键．由平行四边形的性质得，设与之间的距离为，则，而，所以，即可求得图中阴影部分的面积为8，于是得到问题的答案． 【详解】解：四边形是平行四边形， ， 设与之间的距离为，则， ， ， 图中阴影部分的面积为8， 故答案为：8 变式1．（23-24八年级·浙江宁波·期中）如图，点为长方形边上的一点，连接，，与分别交于点和点，四边形的面积为，的面积为，的面积为，图中阴影部分的面积是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】利用平行线间距离解决问题 【分析】本题主要考查了平行线间距问题，三角形的面积等，根据平行线间间距处处相等结合三角形面积公式证明是解题的关键． 【详解】解：由题意得，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴ ∴． 故选：． 变式2．（22-23八年级下·浙江湖州·期中）如图，直线，点C在上．若，的面积为27，的面积为18，则______．    【答案】6 【知识点】求平行线间的距离、利用平行线间距离解决问题 【分析】过点A作于点M，过点C作于点N，先根据三角形的面积公式求出，则，最后根据三角形面积公式求出即可． 【详解】解：过点A作于点M，过点C作于点N， ∵，的面积为27， ∴， 解得：， ∵， ∴， ∵的面积为18， ∴， 解得：， 故答案为：6．    【点睛】本题主要考查了平行线的间的距离处处相等，解题的关键是熟练掌握平行线间距离处处相等． 变式3．（2023八年级下·浙江·专题练习）如图，为固定的木条，，为可伸缩的橡皮筋．当点A在与平行的轨道上滑动时，你能说明的面积将如何变化吗？并简述你的理由． 【答案】的面积保持不变，理由见解析． 【知识点】利用平行线间距离解决问题 【分析】由于点在与平行的轨道上滑行，根据两平行线间的距离相等，虽然点在移动，但三角形的高不变，且底为不变，故三角形面积不变． 【详解】解：设的边上的高为， 由于轨道与平行，故保持不变． 根据可知，的面积保持不变． 【点睛】本题考查了平行线间的距离处处相等，在三角形的面积公式中底边和高的长度不变，那么不论三角形如何变化，其面积不变． 一、单选题 1．可伸缩的遮阳篷是依据平行四边形的（    ） A．不稳定性 B．稳定性 C．伸缩性 D．可变性 【答案】A 【分析】根据平行四边形的不稳定性即可判断． 【详解】解：平行四边形具有不稳定性， 故选：A． 【点睛】本题考查平行四边形的性质，解题的关键是结合实际并掌握平行四边形的不稳定性． 2．如图，王老师用四根木棒搭成了平行四边形的框架，量得，固定．逆时针转动，在转动过程中，关于平行四边形的面积变化情况：甲认为：先变大，后变小；乙认为：在转动过程中，平行四边形的面积有最大值，最大值是，则（　　）    A．甲说的对 B．乙说的对 C．甲、乙说的都对 D．甲、乙说的都不对 【答案】C 【分析】如图，作于点M，则平行四边形的面积，可得，即平行四边形的高的最大值是8cm，进而可判断甲乙的说法. 【详解】解：如图，作于点M， 则平行四边形的面积， ∵，， ∴，即平行四边形的高的最大值是8cm， ∴在转动过程中，平行四边形的面积有最大值，最大值是，故乙的说法正确； 在逆时针转动过程中，先逐渐变大，到与相等时，取得最大值，然后又逐渐变小，所以平行四边形的面积先变大，后变小；故甲的说法正确； 所以甲乙的说法都是正确的， 故选：C.    【点睛】本题考查了平行四边形的面积，正确理解题意、得出平行四边形高的变化情况是解题的关键. 3．如图，在中，，垂足为点．如果，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，直角三角形的性质，先根据平行四边形的性质证明，再根据直角三角形两锐角互余即可得到答案． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：B． 4．小明同学在平行四边形中用尺规作图作等腰，下列作图不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查尺规作图——角平分线，等腰三角形的判定和性质、平行四边形的性质、全等三角形的判定和性质等，解题的关键是根据做图痕迹进行判断．分析每个选项的尺规作图，进一步判断是否等腰三角形即可． 【详解】A．根据作图痕迹可知，为的角平分线，故，根据平行线的性质可得，，即，故为等腰三角形，选项不符合题意； B．根据作图痕迹可知，点，在以为圆心，的长为半径的圆上，故，即为等腰三角形，选项不符合题意； C．根据作图痕迹可知，的角平分线与交于点F，如图， 则，由作图可知，，平分，设与相交于点M， 则，又由，则，得到， 故为等腰三角形，选项不符合题意； D．作图痕迹是作的的垂直平分线，没法证明是等腰三角形，选项符合题意． 故选：D． 5．如图，，，和相交于点，则图中全等三角形共有（    ） A．对 B．对 C．对 D．对 【答案】C 【分析】本题考查了全等三角形的判定，平行四边形的性质，由平行四边形的性质得到，，，，利用“”即可判断求解，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴四边形为平行四边形， ∴，，，， ∵， ∴； ∵， ∴； ∵， ∴； ∵， ∴； ∴共有对全等三角形， 故选：． 6．如图，将四边形纸片ABCD沿过点A的直线折叠，使得点B落在CD上的点Q处，折痕为AP．再将△PCQ，△ADQ分别沿PQ，AQ折叠，此时点C，D落在AP上的同一点R处．当AD＝CP时，则的值为（　　） A． B．2 C．2 D． 【答案】A 【分析】由折叠的性质可得∠B=∠AQP，∠DAQ=∠QAP=∠PAB，∠DQA=∠AQR，∠CQP=∠PQR，∠D=∠ARQ，∠C=∠QRP，由平角的性质可得∠D+∠C=180°，∠AQP=90°，可证AD∥BC，由平行线的性质可得∠DAB=90°，由平行四边形和折叠的性质可得AR=PR，由直角三角形的性质可得AP=2PB=2QR，AB=PB，即可求解． 【详解】解：由折叠的性质可得：∠B=∠AQP，∠DAQ=∠QAP=∠PAB，∠DQA=∠AQR，∠CQP=∠PQR，∠D=∠ARQ，∠C=∠QRP， ∵∠QRA+∠QRP=180°， ∴∠D+∠C=180°， ∴AD∥BC， ∴∠B+∠DAB=180°， ∵∠DQR+∠CQR=180°， ∴∠DQA+∠CQP=90°， ∴∠AQP=90°， ∴∠B=∠AQP=90°， ∴∠DAB=90°， ∴∠DAQ=∠QAP=∠PAB=30°， 由折叠的性质可得：AD=AR，CP=PR， ∵四边形APCD是平行四边形， ∴AD=PC， ∴AR=PR， 又∵∠AQP=90°， ∴QR=AP， ∵∠PAB=30°，∠B=90°， ∴AP=2PB，AB=PB， ∴PB=QR， ∴， 故选：A． 【点睛】本题考查了翻折变换，平行四边形的性质，直角三角形的性质，熟练运用这些性质解决问题是本题的关键． 7．已知：如图，中，于E，，，的平分线交于，连接．则的度数等于（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平行四边形的性质，角平分线的定义，等腰三角形的判定与性质，三角形的内角和定理，平行线的性质等知识，根据平行四边形的性质得到，根据平行线的性质得到，根据角平分线的定义得到，求得，求得，于是得到结论． 【详解】四边形是平行四边形， ∴， ， 平分， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 故选：D． 8．如图，在▱ABCD中，AB＝BD，点E在BD上，CE＝CB．如果∠ADB＝65°，那么∠DCE等于（　　） A．20° B．15° C．30° D．35° 【答案】B 【分析】根据等腰三角形的性质求出∠ADB=∠A，根据已知条件可得∠EBC=∠ADB，∠CEB=∠EBC，根据三角形内角和定理求出∠ECB=50°，即可求出答案． 【详解】解：∵AB＝BD，∠ADB＝65°， ∴∠A＝∠ADB＝65°， 四边形是平行四边形 ， ∵∠BCD＝∠A＝65°， ∵AD∥BC， ∴∠EBC＝∠ADB＝65°， ∵CE＝BC， ∴∠CEB＝∠EBC＝65°， ∴∠ECB＝180°﹣65°﹣65°＝50°， ∴∠DCE＝∠ECB＝65°﹣50°＝15°， 故选：B． 【点睛】本题考查了平行线的性质，平行四边形的性质，三角形内角和定理，等腰三角形的性质的应用，能求出∠DCB和∠ECB的度数是解此题的关键． 9．在纸板上剪出一个平行四边形，作出其对角线的交点O．我们进行如图操作：用大头针把一根放在平行四边形纸板上的直细木条固定在点O处，并使细木条可以绕点O转动，拨动细木条，它可以停留在任意位置，如果设细木条与一组对边，的交点分别为点E，F，则下列结论不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，全等三角形的性质和判定，熟练掌握三角形全等的判定是解题的关键．由证明即可得到答案． 【详解】解：平行四边形， ， ， 在和中， ， ， ， 故选C． 10．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=3、BC=4、P、Q两点分别在AC和AB上．且CP=BQ=1，在平面上找一点M．以A、P、Q、M为顶点画平行四边形，这个平行四边形的周长的最大值为（　　　） A．12 B． C． D． 【答案】D 【分析】先依据勾股定理以及相似三角形的性质，即可得到的长，再分三种情况，即可得到以、、、为顶点的平行四边形的周长，进而得出周长的最大值． 【详解】解：由勾股定定理得：，则； 过点作，垂足为，则， 则， 则， ， 由，得， 再由勾股定理得：； 如图1：周长； 如图2：周长； 如图3：周长为最长． ∵，并且 即， 故周长的最大值是 故选：． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质以及勾股定理的运用，关键是作辅助线构造直角三角形，利用勾股定理计算得到的长． 二、填空题 11．如图，在平行四边形中，于点，若，则____________.    【答案】/64度 【分析】由中，根据平行四边形的对角相等，得，又由，即可求得的度数，从而即可得解． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，三角形内角和定理等知识，解题的关键是注意掌握数形结合思想的应用． 12．如图，在平行四边形中，，，则与之间的距离为______． 【答案】 【分析】作，在中根据勾股定理求出的长即可． 【详解】解：作，则， 又∵， ， ， ， ， ， ， ∴与之间的距离为， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了平行线之间的距离和勾股定理，如果两条直线互相平行，则其中一条直线上任意一点到另一条直线的距离都相等，这个距离称为平行线之间的距离，掌握平行线之间距离的定义并能用勾股定理计算时解题的关键． 13．如图，在中，过点D作，垂足为E，过上一点F作，垂足为G，交于P，连接，．过F作，垂足为H．连接．若，，．则____________________ ． 【答案】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，三角形全等的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，延长到Q，使，连接，证明，得出，证明，得出，，证明为等腰直角三角形，得出，即可得出答案． 【详解】解：延长到Q，使，连接，如图所示： ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴为等腰直角三角形， 则，， ∴， ∵，， ∴， ∴． 故答案为：． 14．如图，在中，与的平分线相交于上的一点，若 （1）的长度为_____． （2）的面积为_____． 【答案】 20 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质、平行线的性质、角平分线的定义、勾股定理等知识点，熟练掌握相关性质是解题的关键． （1）根据平行四边形的性质和平行线的性质得出，再根据角平分线的定义得出，则，再根据勾股定理即可求得； （2）如图，作于点F，先根据等积法求得，再根据平行四边形的面积公式求解即可． 【详解】解：（1）∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵与的平分线相交于上的一点， ∴， ∴， ∴． 故答案为：； （2）如图，作于点F， ∵， ∴， 解得：， ∴． 故答案为：20． 15．如图，在平行四边形中，点为边的中点，点为边的中点，且，，，则______． 【答案】/ 【分析】如图所示，延长DC交AM延长线于E，证明△ABM≌△ECM得到EM=AM=1，进而证明△AEN是等边三角形，得到NE=AE=2，再由N是CD的中点推出，据此求解即可． 【详解】解：如图所示，延长DC交AM延长线于E， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴，AB=CD， ∴∠MAB=∠MEC，∠MBA=∠MCE， ∵M是BC的中点， ∴BM=CM， ∴△ABM≌△ECM（AAS）， ∴EM=AM=1，AB=CE， ∴AE=2=AN， 又∵∠HAE=60°， ∴△AEN是等边三角形， ∴NE=AE=2， ∵N是CD的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，全等三角形的性质与判定，等边三角形的性质与判定，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键． 16．如图，中，平分，则等于_______． 【答案】 【分析】由平行四边形的性质得出，再由角平分线的定义及平行的性质即可求解． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ， ∵， ， ∵平分， ， ∵， 故答案为：． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质、平行线的性质、角平分线的定义；熟练掌握平行四边形的性质，求出的度数是解决问题的关键． 17．如图，在长方形中，，，点为线段的中点，动点从点出发，沿的方向在和上运动，将长方形沿折叠，点的对应点为，当点恰好落在长方形的对角线上时（不与长方形顶点重合），点运动的距离为______． 【答案】 【分析】分类讨论：①当点落在对角线上时和②当点落在对角线上时，分别正确作出辅助线，结合题意求解即可． 【详解】解：分类讨论：①当点落在对角线上时，连接，如图， ∵将长方形沿折叠，点的对应点为， ∴，． ∵点E为线段的中点， ∴， ∴，． 又∵， ∴，即， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴此时点运动的距离为2； ②当点落在对角线上时，作于点H，如图， ∴． ∵在长方形中，，，， ∴，， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， 解得：（舍去负值）， ∴， ∴此时点运动的距离为． 综上可知点运动的距离为2或． 故答案为：． 【点睛】本题考查折叠的性质，勾股定理，平行线的性质，等腰三角形的判定，含30度角的直角三角形的性质等知识．熟练掌握翻折变换的性质是解题的关键． 三、解答题 18．如图，在梯形中，，点为腰上的一点，交于点，与是否平行？请说明理由，分别测量出点到的距离，两者有何关系． 【答案】，理由见解析，点到的距离相等 【分析】本题主要考查了平行公理，平行线的性质，根据平行公理可得，由平行线间间距相等可知，点到的距离相等． 【详解】解：，理由如下： ∵，， ∴； 由平行线间间距相等可知，点到的距离相等． 19． 如图：在平行四边形中，的平分线交于，若，，求的长． 【答案】 【分析】根据平行四边形的性质，等角对等边确定与的关系，即可求出答案． 【详解】解：∵四边形是平行四边形，，， ∴，，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的长为． 【点睛】本题考查平行四边形的性质，角平分线的定义，等角对等边．熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键． 20．如图，在由边长为1的小正方形组成的网格中，的三个顶点均在格点上，请按要求完成下列各题． (1)在网格中画出平行四边形； (2)判断是否为直角三角形，并求出平行四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2)是，10 【分析】本题考查作图一应用与设计作图，勾股定理，平行四边形的性质等知识． （1）根据平行四边形的定义，即可求解； （2）利用勾股定理分别求出、、的长，再利用勾股定理的逆定理，即可求解． 【详解】（1）解：如图所示：平行四边形即为所求； （2）解： ， ， ， ∴ ， ∴是直角三角形， ∴平行四边形的面积为 ． 21．（1）如图，是的角平分线，求证：．    （2）在一个平行四边形中，若一个角的平分线把一条边分成长是和的两条线段，则该平行四边形的周长是 　　？ 【答案】（1）见解析；（2）14或16 【分析】（1）根据平行四边形的性质得出，根据平行线的性质得出， 根据是角平分线，证明，根据等角对等边得出； （2）分两种情况：当，时，当，时分别求出结果即可． 【详解】解：（1）四边形为平行四边形， ∴， ， 是角平分线， ∴， ∴， ∴． （2）当，时， ， 根据解析（1）可知，， 则此时平行四边形的周长为； 当，时， ， 根据解析（1）可知，， 则此时平行四边形的周长为． 故答案为：14或16． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，平行线的性质，等腰三角形的判定，解题的关键是熟练掌握平行四边形的性质和等角对等边． 22．如图，在中，于点E，于点F． (1)求证：； (2)如果求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，全等三角形的性质与判定，勾股定理，证明是解题的关键． （1）由平行四边形的性质可得，则，证明，即可证明； （2）由勾股定理得到，则可求出，再利用勾股定理即可求出答案． 【详解】（1）证明：于点于点， ， 四边形是平行四边形， ， ， 在和中， ， ． （2）解：， ， ， ， ， 的长为． 23．如图，在平行四边形中，．    (1)实践与操作：利用尺规作图完成下面作图： ①在边上截取，连接； ②作的角平分线，交于点，交于点（要求：不写作法，但要保留作图痕迹） (2)猜想与证明：试猜想线段与的数量关系，并加以证明． 【答案】(1)作图见解析 (2)，证明见解析 【分析】本题考查四边形综合，涉及尺规作图-作线段、尺规作图-作角平分线、等腰三角形的判定与性质、平行四边形的性质等知识，掌握基本尺规作图及等腰三角形的判定与性质是解决问题的关键． （1）以为圆心、为半径画弧，交于即可得到；以为圆心、恰当长度为半径画弧交两边，然后以交点为圆心、恰当长度为半径画弧相交，过与弧交点作射线即可得到的角平分线； （2）由（1）中尺规作图，结合等腰三角形性质及平行四边形性质，再由等腰三角形判定与性质即可得证． 【详解】（1）解：如图所示：    （2）解：， 理由如下： 如图所示：    由作图知，平分， ，， 四边形是平行四边形， ， ， ， ， ， ． 24．如图，四边形是平行四边形，点、在对角线上，，分别平分和，求证：． 【答案】见解析 【分析】解法一：根据平行四边形的性质可得，再由，分别平分和，可得，再证明即可得证． 解法二：根据平行四边形的性质可得，再由，分别平分和，可得，再证明即可得证． 【详解】解法一： 证明： ∵四边形是平行四边形， ∴，，． ∴． ∵，分别平分和， ∴，． ∵， ∴． 又∵，， ∴． ∴． 解法二： 证明： ∵四边形是平行四边形， ∴，，． ∴． ∵，分别平分和， ∴，． ∵， ∴． ∵，，， ∴． ∴． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质及全等三角形的判定和性质，熟练掌握相关知识灵活运用是解题关键． 25．如图，直线：与直线：交轴于点A，分别交轴于点B、点C，且．    (1)求k，b的值； (2)过的中点D作交于点P，过点P作轴交于点Q，求的长； (3)将直线向下平移5个单位得到直线，与y轴交于点E，将（2）中的点P向右移动1个单位得到点M．点N是平面内一点，使得以点A，E，M，N为顶点的四边形是平行四边形，写出所有符合条件的点N的坐标，并写出求解点N的坐标的其中一种情况的过程． 【答案】(1)， (2) (3)或或 【分析】（1）先求出点A的坐标是，把代入得，．则直线：，再求出点，故，则，得到．将代入中，解得； （2）由点D是的中点得到，再求出直线的解析式是.由（1）可知，直线：，由，解得求出点.由轴求出，即可得到； （3）先求出直线的解析式为，再求出点E坐标为和点．以点A，E，M，N为顶点的平行四边形分三种情况求解点N的坐标即可． 【详解】（1）解：当时，， ∴点A的坐标是， ∵直线与直线交轴于点A， ∴把代入得，． ∴， 当时，，解得， ∵直线交x轴于点C， ∴，故， ∴， ∴． 将代入中，得， 解得． ∴，． （2）∵点D是的中点， ∴， ∵， ∴可设直线的解析式是， 将代入中得，， 解得． ∴直线的解析式是. 由（1）可知，直线：， 由，解得 ∴. ∵轴， ∴， 将代入中，得， ∴， ∴． （3）所有符合条件的点N的坐标是或或． ∵直线向下平移5个单位长度得到直线， ∴直线的解析式为，即， 当时，， ∴点E坐标为． 点向右平移1个单位得． 以点A，E，M，N为顶点的平行四边形分下列三种情况：    ①如图，当四边形为平行四边形时， ∴轴，， ∴点的坐标是． ②如图，当四边形为平行四边形时， ∴轴，， ∴点的坐标是． ③如图，当四边形为平行四边形时， 即与互相平分. ∴，  即 ∴ ∴点的坐标是． 综上可知，所有符合条件的点N的坐标为或或． 【点睛】此题考查了平行四边形的性质、一次函数的平移、一次函数的解析式、一次函数的图象的交点与二元一次方程组的解等知识，数形结合和分类讨论是解题的关键． 1 学科网（北京）股份有限公司 $