第03讲 一元二次方程和它的解与解法（知识详解+13典例分析+习题巩固）2025-2026学年浙教版八年级数学下册同步讲义与测试

第03讲 一元二次方程和它的解与解法（知识详解+13典例分析+习题巩固） 【知识点01】一元二次方程的概念 1.一元二次方程：方程的两边都是整式，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2次。我们把这样的方程叫作一元二次方程。 2.一元二次方程必须同时满足三个条件：识别关键：分母或根号内不含有未知数 （1）原方程是整式方程； （2）只含有一个未知数； （3）未知数的最高次数是2次。 【知识点02】一元二次方程的解（或根） 1.一元二次方程的解（或根）：能使一元二次方程两边相等的未知数的值叫作一元二次方程的解（或根）。 2.检验一个未知数的值是不是一元二次方程的解（或根）的步骤： 【知识点03】一元二次方程的一般形式 1. 一元二次方程的一般形式 一般形式 𝑎𝑥²+𝑏𝑥+𝑐=0(𝑎,𝑏,𝑐为已知数，𝑎≠0) 。 项及项的 系数 二次项为𝑎𝑥²；二次项系数为𝑎 。 一次项为𝑏𝑥;一次项系数为𝑏 。 常数项为𝑐 。 特点 方程左边是关于未知数的二次整式，方程右边为0。 注意：（1）一般地，任何一个一元二次方程经过整理，都能化成一般形式； （2）在写一元二次方程的一般形式时，方程右边为0，左边通常按照未知数的降幂排列。 示例 项的系数程的项与各元 二次方 2.一元二次方程的特殊形式 特殊形式 二次项系数 一次项系数 常数项 𝑎𝑥²+𝑏𝑥=0(𝑎≠0,𝑏≠0)  𝑎  𝑏  0 𝑎𝑥²+𝑐=0(𝑎≠0,𝑐≠0)  𝑎  0 𝑐  𝑎𝑥²=0(𝑎≠0)  𝑎  0 0 【知识点04】因式分解法 1. 因式分解法：先对方程(a≠0) 的左边因式分解，使方程化为两个一次因式的乘积等于0的形式，再使这两个一次因式分别等于0，从而实现降次。像这种利用因式分解解一元二次方程的方法叫作因式分解法。 依据：若，则或 2.因式分解法解一元二次方程的基本步骤： （1）移项：将方程的右边化为0。 （2）分解：将方程的左边因式分解为两个一次因式的乘积。 （3）转化：令每个一次因式分别等于0，得到两个一元一次方程。 （4）求解：解两个一元一次方程，它们的解就是一元二次方程的解 3.常见的可以用因式分解法求解的方程的类型 常见类型 因式分解 方程的解 𝑥²+𝑏𝑥=0  𝑥(𝑥+𝑏)=0  =0,=−𝑏  𝑥²−𝑎²=0  (𝑥−𝑎)(𝑥+𝑎)=0  =𝑎,=−𝑎  𝑥²±2𝑎𝑥+𝑎²=0  (𝑥±𝑎)²=0  ==±𝑎   𝑥²+𝑎+𝑏𝑥+𝑎𝑏=0(𝑎,𝑏为常数)  (𝑥+𝑎)(𝑥+𝑏)=0  =−𝑎,=−𝑏  【知识点05】开平方法 1.开平方法：一般地，对于形如x²=a(a≥0) 的方程，根据平方根的定义，可得=,=− 。这种解一元二次方程的方法叫作开平方法。 2.适用类型 适用类型 方程的解 (𝑎𝑥+𝑏)²=𝑛(𝑎,𝑏,𝑛是常数，𝑎≠0,𝑛≥0)  𝑥= (𝑎𝑥+𝑏)²=(𝑚𝑥+𝑛)²(𝑎,𝑏,𝑚,𝑛 是常数，|𝑎|≠|𝑚|≠0)  𝑥1=,= 【知识点06】配方法 1.配方法：把一元二次方程的左边配成一个完全平方式，右边为一个非负常数，即将方程转化为(x+a)²=b(b≥0) 的形式，然后用开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫作配方法。配方法的依据是完全平方公式 和直接开平方法，其实质是对一元二次方程进行变形，使其转化为能够直接开平方的形式，从而把一个一元二次方程转化成两个一元一次方程来解 2. 用配方法解一元二次方程的步骤： 一般步骤 方法 示例(2𝑥²−7𝑥+3=0)  一化 二次项系数化为1 左、右两边同时除以二次项系数。 𝑥²−𝑥+=0 。 二移 移项 将常数项移到等号右边，含未知数的项移到等号左边。 𝑥²−𝑥=− 。 三配 配方 左、右两边同时加上一次项系数一半的平方。 𝑥²−𝑥+(−)²=−+(−)²,即(𝑥−)²= 。 四开 开平方求根 直接开平方。 𝑥−=±,所以=3 ,=。 【知识点07】公式法 1.求根公式： 问题提出 在学习了配方法之后，如何解用一般形式表示的一元二次方程ax²+bx+c=0(a≠0)? 【问题分析】 一元二次方程ax²+bx+c=0(a≠0)的二次项系数a不一定为1，但只要在方程的两边同除以二次项系数a，就化归为我们已能求解的一元二次方程类型。 【推导过程】 方程 𝑎𝑥²+𝑏𝑥+𝑐=0(𝑎≠0) 。 求解 过程 一化 𝑥²+𝑥+=0 。 二移 𝑥²+𝑥=− 。 三配 𝑥²+2⋅𝑥+()²=−+()² ,即(𝑥+)²=𝑏2−。 四开 𝑥+=±，𝑥=−(𝑏²−4𝑎𝑐≥0) 。 【结论归纳】 对于一元二次方程ax²+bx+c=0(a≠0)，当b²−4ac≥0时，它的两个根为。这个公式叫作一元二次方程的求根公式。 3. 公式法：利用求根公式，我们可以由一元二次方程的系数a,b,c的值，直接求得方程的根。这种解一元二次方程的方法叫作公式法。 3.用公式法解一元二次方程的步骤： （1）化：把方程化为一般形式ax²+bx+c=0(a≠0)。 （2）定：确定a，b，c的值。 （3）算：求出b²−4ac的值。 （4）判：判断b²−4ac的值的符号。 （5）求根：当b²−4ac≥0时，把a，b，c的值代入一元二次方程的求根公式，求出方程的根；当b²−4ac<0时，方程没有实数根。 辨析：一元二次方程解法的比较 方法 理论依据 适用方程 关键步骤 主要特点 因式分解法 若𝑎𝑏=0 ，则𝑎=0 或𝑏=0 。 右边化为0后，左边易分解为两个一次因式的积的形式的方程。 分解因式。 求解迅速，但适用范围较小。 开平方法 平方根的定义。 𝑥²=𝑛(𝑛≥0)或(𝑎𝑥+𝑏)²=𝑛(𝑎≠0,𝑛≥0) 等类型的方程。 开平方。 求解迅速，但只适用于一些特殊结构的方程。 配方法 完全平方公式。 所有一元二次方程。 配方。 解法烦琐，当二次项系数为1时用此法较简单。 公式法 配方。 所有一元二次方程。 代入求根公式。 计算量大，易出现符号错误。 【知识点08】一元二次方程根的判别式 1.一元二次方程的根的判别式：从一元二次方程ax²+bx+c=0(a≠0) 的求根公式的推导过程中不难看出，方程的 根的情况由代数式b²−4ac的值决定。因此b²−4ac 叫作一元二次方程的根的判别式。 2.利用一元二次方程根的判别式判定一元二次方程根的情况： b²−4ac>0⇔方程ax²+bx+c=0(a≠0) 有两个不相等的实数根; b²−4ac=0⇔方程ax²+bx+c=0(a≠0) 有两个相等的实数根;（不能说“方程只有一个根”）方程在实数范围内无根，不能说“方程无根” b²−4ac<0⇔方程ax²+bx+c=0(a≠0) 没有实数根。 【题型一】一元二次方程的定义 例1．（24-25八年级下·浙江杭州·月考）下列方程中，是关于一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 变式1．（24-25八年级下·浙江杭州·开学考试）下面关于x的方程中：①；②；③；④；⑤是一元二次方程的个数是（   ）． A．1 B．2 C．3 D．4 【题型二】由一元二次方程的定义求参数 例2．（2025八年级下·浙江·专题练习）方程化为一般形式后的的值分别为（　　） A．3，1，4 B．3，， C．3，， D． 例3．（22-23八年级下·浙江·期末）若方程是关于的一元二次方程，则应满足 ． 变式1．关于x的一元二次方程常数项为0，则k值为（　　） A．3 B． C． D．9 变式2．若方程是一元二次方程，则k的值是 ． 【题型三】判断是否是一元二次方程的解 例4．（24-25八年级下·浙江·月考）若关于的一元二次方程有一个根为2025，则方程必有一个根为（   ） A．2024 B．2023 C．2022 D．2021 变式1．（24-25八年级下·浙江金华·月考）若是方程的一个根，则的值为（　　） A． B． C． D． 变式2．（24-25八年级下·浙江宁波·期中）关于的方程的解是，（，，均为常数，），则方程的解是 ． 【题型四】由一元二次方程的解求参数 例5．（24-25八年级下·浙江杭州·月考）若关于x的一元二次方程的两根分别是与，则这两根分别是（   ） A．1， B．1， C．2， D．3，0 变式1．（24-25八年级下·浙江宁波·期末）已知是关于x的一元二次方程的一个根，则实数k的值为 ． 变式2．（24-25八年级下·浙江宁波·期中）已知关于的一元二次方程，如果，，满足，我们就称这个一元二次方程为美妙方程． (1)判断方程是否为美妙方程，并说明理由． (2)已知关于的美妙方程的一个根是，求这个美妙方程． 【题型五】化成一元二次方程的一般式 例6．（24-25八年级下·浙江宁波·期中）关于的一元二次方程（二次项系数为正数 ）的常数项为（   ） A． B． C． D． 变式1．方程的一次项系数是（    ） A．3 B． C．1 D．0 变式2．（24-25八年级下·浙江杭州·月考）一元二次方程化成一般形式后，二次项系数为 ，一次项系数为 ，常数项为 ． 【题型六】因式分解法解一元二次方程 例7．（23-24八年级下·浙江杭州·期末）方程的两个根的和是（    ） A． B．0 C．2 D．4 例8．（23-24八年级下·浙江金华·月考）解方程： 变式1．（24-25八年级下·浙江温州·期中）写一个解为，的一元二次方程 ．（答案不唯一） 变式2．（24-25八年级下·浙江绍兴·期末）解方程： (1) (2) 【题型七】解一元二次方程——直接开平方法 例9．（24-25八年级下·浙江金华·期末）用直接开平方法解下列一元二次方程，其中无解的方程为（  ） A． B． C． D． 例10．（23-24八年级下·全国·假期作业）用直接开平方法解下列方程： (1) (2)． 变式1．（23-24八年级下·浙江杭州·期中）一元二次方程的解为： ． 变式2．（2024八年级下·浙江·专题练习）解方程： (1) ； (2)． 【题型八】解一元二次方程——配方法 例11．（24-25八年级下·浙江温州·期中）方程配方后的结果是（    ） A． B． C． D． 例12．（24-25八年级下·浙江温州·期末）用配方法解方程，配方后所得方程为（   ） A． B． C． D． 变式1．（24-25八年级下·浙江丽水·期中）用配方法解，配方后可得到的方程为（　　） A． B． C． D． 变式2．（24-25八年级下·浙江绍兴·期末）把方程变形为的形式，其中，为常数，则的值为 ． 【题型九】配方法的应用 例13．（23-24八年级下·浙江嘉兴·期末）已知关于的多项式，当时，该多项式的值为，则多项式的值可以是（    ） A．3.5 B．3.25 C．3 D．2.75 变式1．（24-25八年级下·浙江绍兴·期中）把一元二次方程化为（，为常数）后，则 ． 变式2．（23-24八年级下·浙江宁波·期末）配方法是数学中重要的一种思想方法．它是指将一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法，这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决一些问题．我们定义：一个整数能表示成（a、b是整数）的形式，则称这个数为“完美数”．例如，5是“完美数”，理由：因为．所以5是“完美数”． 解决问题： （1）已知10是“完美数”，请将它写成（a、b是整数）的形式______； （2）已知，则______； 探究问题； （3）已知（x、y是整数，k是常数），要使S为“完美数”，试求出符合条件的一个k值，并说明理由； 拓展结论； （4）已知实数x、y满足，求的最值． 【题型十】公式法解一元二次方程 例14．（24-25八年级下·浙江温州·期中）已知关于的一元二次方程，设方程的两个实数根分别为，（其中），若是关于的函数，且，若，则（   ） A． B． C． D． 变式1．（24-25八年级上·浙江温州·期末）方程的解是 ． 变式2．（2024·浙江金华·二模）设关于的一元二次方程，已知①，；②，；③，．请在上述三组条件中选择其中一组，的值，使这个方程有两个实数根，并解这个方程． 【题型十一】根据判别式判断一元二次方程根的情况 例15．（24-25八年级下·浙江宁波·期末）关于的一元二次方程根的情况，下列说法正确的是（   ） A．没有实数根 B．有两个相等的实数根 C．有两个不相等的实数根 D．根的个数与m的取值有关 变式1．（24-25八年级下·浙江杭州·月考）关于x的一元二次方程的根的情况是 ． 变式2．（24-25八年级下·浙江杭州·月考）在面积都相等的所有矩形中，当其中一个矩形的一边长为1时，它的另一边长为3． (1)设矩形的相邻两边中一边为x，则另一边用x表示为 ； (2)圆圆说其中有一个矩形的周长为6，方方说有一个矩形的周长为10，你认为圆圆和方方的说法对吗？为什么？ 【题型十二】根据一元二次方程根的情况求参数 例16．（24-25八年级下·浙江衢州·期末）定义运算：，例如，．若关于x的方程有两个相等的实数根，则m的值为（    ） A． B． C． D．9 变式1．（24-25八年级下·浙江温州·月考）在实数范围内，存在2个不同的x的值，使代数式与的值相等，则k的取值范围为 ． 变式2．（2024八年级下·浙江·专题练习）已知关于的一元二次方程． (1)当时，试判断此方程根的情况． (2)若，是该方程不相等的两实数根，且，求的值． 【题型十三】换元法解一元二次方程 例17．（24-25八年级下·浙江嘉兴·期末）已知关于x的方程（a，m，k均为常数，且）的两个解是，，则方程的解是（    ）． A．， B．， C．， D．， 变式1．（24-25八年级下·浙江温州·期中）已知方程的解是，，则方程的解是 ． 变式2．（23-24八年级下·浙江杭州·期中）关于的方程的解是，，（，，均为常数，），则方程的解是 ． 一、单选题 1．是下列哪个一元二次方程的根（    ） A． B． C． D． 2．如图是一个简单的数值运算程序，则输入的的值为（    ） A．2或−2 B．3或−3 C．3或−1 D．−3或1 3．将方程x2−4x＋1＝0化成（x＋m）2＝n的形式是（    ） A．（x−1）2＝12 B．（2x−1）2＝12 C．（x−1）2＝0 D．（x−2）2＝3 4．已知，（为任意实数），则P，Q的大小关系为（   ） A． B． C． D．不能确定 5．若关于x的一元二次方程有实数根，则k的取值范围是（    ） A． B． C．且 D．且 6．下列一元二次方程没有实数根的是（   ） A． B． C． D． 7．一元二次方程的根是（   ） A． B． C． D． 8．已知关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则m的值为（　　） A． B． C．或 D．或 9．若定义：方程是方程的“倒方程”．则下列四个结论： ①如果是的倒方程的一个解，则． ②一元二次方程与它的倒方程有公共解． ③若一元二次方程无解，则它的倒方程也无解． ④若，则与它的倒方程都有两个不相等的实数根． 上述结论正确的有（   ）个 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二、填空题 10．方程的根为 ． 11．若是关于x的一元二次方程，则a 12．若关于x的方程有实数根，则实数m的取值范围是 ． 13．已知是关于的方程的解，则的值为 ． 14．一元二次方程的根是 ． 15．若使关于的分式方程有整数解，且使关于的一元二次方程有实数根，那么满足条件的所有整数的和为 ． 16．定义：关于的一元二次方程：（、、是常数，）与（、、是常数，），称为“同族二次方程”．例如：与是“同族二次方程”．如果关于的一元二次方程：与（、是常数，）是“同族二次方程”．那么代数式的最小值是 ． 17．已知实数，满足，试求的值． 解：设，原方程可化为，即，解得． ∵，∴．上面的这种方法称为“换元法”． 请根据以上阅读材料，解决问题． （1）若实数，满足，则的值为 ． （2）若一元二次方程的两根分别为，3，则方程的根是 ． 三、解答题 18．解方程：． 19．用因式分解法解下列方程： (1)． (2)． 20．用合适的方法解下列方程： (1) (2) 21．用适当的方法解下列方程： (1) (2) 22．按要求解方程： (1)用配方法解方程： (2)用公式法解方程： (3)用适当的方法解方程： 23．关于 x 的一元二次方程有实数根． (1)求 k 的取值范围； (2)如果k是符合条件的最大整数，且一元二次方程与方程有一个相同的根，求此时 m 的值． 24．【阅读理解】“配方法”是一种数学思想方法，利用这种方法可以解决很多数学问题．下面是小明同学用配方法解一元二次方程的过程： 解：移项，得． 配方，得， 所以． 直接开平方，得， 所以，． 【问题解决】 （1）小明配方的依据是 A．完全平方公式    B．平方差公式    C．多项式与多项式乘法法则 （2）用配方法解方程：． 【拓展应用】 （3）已知x是实数，求代数式的最小值． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第03讲 一元二次方程和它的解与解法（知识详解+13典例分析+习题巩固） 【知识点01】一元二次方程的概念 1.一元二次方程：方程的两边都是整式，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2次。我们把这样的方程叫作一元二次方程。 2.一元二次方程必须同时满足三个条件：识别关键：分母或根号内不含有未知数 （1）原方程是整式方程； （2）只含有一个未知数； （3）未知数的最高次数是2次。 【知识点02】一元二次方程的解（或根） 1.一元二次方程的解（或根）：能使一元二次方程两边相等的未知数的值叫作一元二次方程的解（或根）。 2.检验一个未知数的值是不是一元二次方程的解（或根）的步骤： 【知识点03】一元二次方程的一般形式 1. 一元二次方程的一般形式 一般形式 𝑎𝑥²+𝑏𝑥+𝑐=0(𝑎,𝑏,𝑐为已知数，𝑎≠0) 。 项及项的 系数 二次项为𝑎𝑥²；二次项系数为𝑎 。 一次项为𝑏𝑥;一次项系数为𝑏 。 常数项为𝑐 。 特点 方程左边是关于未知数的二次整式，方程右边为0。 注意：（1）一般地，任何一个一元二次方程经过整理，都能化成一般形式； （2）在写一元二次方程的一般形式时，方程右边为0，左边通常按照未知数的降幂排列。 示例 项的系数程的项与各元 二次方 2.一元二次方程的特殊形式 特殊形式 二次项系数 一次项系数 常数项 𝑎𝑥²+𝑏𝑥=0(𝑎≠0,𝑏≠0)  𝑎  𝑏  0 𝑎𝑥²+𝑐=0(𝑎≠0,𝑐≠0)  𝑎  0 𝑐  𝑎𝑥²=0(𝑎≠0)  𝑎  0 0 【知识点04】因式分解法 1. 因式分解法：先对方程(a≠0) 的左边因式分解，使方程化为两个一次因式的乘积等于0的形式，再使这两个一次因式分别等于0，从而实现降次。像这种利用因式分解解一元二次方程的方法叫作因式分解法。 依据：若，则或 2.因式分解法解一元二次方程的基本步骤： （1）移项：将方程的右边化为0。 （2）分解：将方程的左边因式分解为两个一次因式的乘积。 （3）转化：令每个一次因式分别等于0，得到两个一元一次方程。 （4）求解：解两个一元一次方程，它们的解就是一元二次方程的解 3.常见的可以用因式分解法求解的方程的类型 常见类型 因式分解 方程的解 𝑥²+𝑏𝑥=0  𝑥(𝑥+𝑏)=0  =0,=−𝑏  𝑥²−𝑎²=0  (𝑥−𝑎)(𝑥+𝑎)=0  =𝑎,=−𝑎  𝑥²±2𝑎𝑥+𝑎²=0  (𝑥±𝑎)²=0  ==±𝑎   𝑥²+𝑎+𝑏𝑥+𝑎𝑏=0(𝑎,𝑏为常数)  (𝑥+𝑎)(𝑥+𝑏)=0  =−𝑎,=−𝑏  【知识点05】开平方法 1.开平方法：一般地，对于形如x²=a(a≥0) 的方程，根据平方根的定义，可得=,=− 。这种解一元二次方程的方法叫作开平方法。 2.适用类型 适用类型 方程的解 (𝑎𝑥+𝑏)²=𝑛(𝑎,𝑏,𝑛是常数，𝑎≠0,𝑛≥0)  𝑥= (𝑎𝑥+𝑏)²=(𝑚𝑥+𝑛)²(𝑎,𝑏,𝑚,𝑛 是常数，|𝑎|≠|𝑚|≠0)  𝑥1=,= 【知识点06】配方法 1.配方法：把一元二次方程的左边配成一个完全平方式，右边为一个非负常数，即将方程转化为(x+a)²=b(b≥0) 的形式，然后用开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫作配方法。配方法的依据是完全平方公式 和直接开平方法，其实质是对一元二次方程进行变形，使其转化为能够直接开平方的形式，从而把一个一元二次方程转化成两个一元一次方程来解 2. 用配方法解一元二次方程的步骤： 一般步骤 方法 示例(2𝑥²−7𝑥+3=0)  一化 二次项系数化为1 左、右两边同时除以二次项系数。 𝑥²−𝑥+=0 。 二移 移项 将常数项移到等号右边，含未知数的项移到等号左边。 𝑥²−𝑥=− 。 三配 配方 左、右两边同时加上一次项系数一半的平方。 𝑥²−𝑥+(−)²=−+(−)²,即(𝑥−)²= 。 四开 开平方求根 直接开平方。 𝑥−=±,所以=3 ,=。 【知识点07】公式法 1.求根公式： 问题提出 在学习了配方法之后，如何解用一般形式表示的一元二次方程ax²+bx+c=0(a≠0)? 【问题分析】 一元二次方程ax²+bx+c=0(a≠0)的二次项系数a不一定为1，但只要在方程的两边同除以二次项系数a，就化归为我们已能求解的一元二次方程类型。 【推导过程】 方程 𝑎𝑥²+𝑏𝑥+𝑐=0(𝑎≠0) 。 求解 过程 一化 𝑥²+𝑥+=0 。 二移 𝑥²+𝑥=− 。 三配 𝑥²+2⋅𝑥+()²=−+()² ,即(𝑥+)²=𝑏2−。 四开 𝑥+=±，𝑥=−(𝑏²−4𝑎𝑐≥0) 。 【结论归纳】 对于一元二次方程ax²+bx+c=0(a≠0)，当b²−4ac≥0时，它的两个根为。这个公式叫作一元二次方程的求根公式。 3. 公式法：利用求根公式，我们可以由一元二次方程的系数a,b,c的值，直接求得方程的根。这种解一元二次方程的方法叫作公式法。 3.用公式法解一元二次方程的步骤： （1）化：把方程化为一般形式ax²+bx+c=0(a≠0)。 （2）定：确定a，b，c的值。 （3）算：求出b²−4ac的值。 （4）判：判断b²−4ac的值的符号。 （5）求根：当b²−4ac≥0时，把a，b，c的值代入一元二次方程的求根公式，求出方程的根；当b²−4ac<0时，方程没有实数根。 辨析：一元二次方程解法的比较 方法 理论依据 适用方程 关键步骤 主要特点 因式分解法 若𝑎𝑏=0 ，则𝑎=0 或𝑏=0 。 右边化为0后，左边易分解为两个一次因式的积的形式的方程。 分解因式。 求解迅速，但适用范围较小。 开平方法 平方根的定义。 𝑥²=𝑛(𝑛≥0)或(𝑎𝑥+𝑏)²=𝑛(𝑎≠0,𝑛≥0) 等类型的方程。 开平方。 求解迅速，但只适用于一些特殊结构的方程。 配方法 完全平方公式。 所有一元二次方程。 配方。 解法烦琐，当二次项系数为1时用此法较简单。 公式法 配方。 所有一元二次方程。 代入求根公式。 计算量大，易出现符号错误。 【知识点08】一元二次方程根的判别式 1.一元二次方程的根的判别式：从一元二次方程ax²+bx+c=0(a≠0) 的求根公式的推导过程中不难看出，方程的 根的情况由代数式b²−4ac的值决定。因此b²−4ac 叫作一元二次方程的根的判别式。 2.利用一元二次方程根的判别式判定一元二次方程根的情况： b²−4ac>0⇔方程ax²+bx+c=0(a≠0) 有两个不相等的实数根; b²−4ac=0⇔方程ax²+bx+c=0(a≠0) 有两个相等的实数根;（不能说“方程只有一个根”）方程在实数范围内无根，不能说“方程无根” b²−4ac<0⇔方程ax²+bx+c=0(a≠0) 没有实数根。 【题型一】一元二次方程的定义 例1．（24-25八年级下·浙江杭州·月考）下列方程中，是关于一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】一元二次方程的定义 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，能熟记一元二次方程的定义是解此题的关键，注意：只含有一个未知数，并且所含未知数的项的最高次数是2的整式方程，叫一元二次方程． 根据一元二次方程的定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程．逐个判断即可． 【详解】解：A、是一元二次方程，符合题意； B、，方程有2个未知数，不是一元二次方程，不符合题意； C、，方程不是整式方程，不是一元二次方程，不符合题意； D、方程中若为0，不是一元二次方程，不符合题意； 故选：A． 变式1．（24-25八年级下·浙江杭州·开学考试）下面关于x的方程中：①；②；③；④；⑤是一元二次方程的个数是（   ）． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【知识点】一元二次方程的定义 【分析】本题考查了一元二次方程的定义．核心是围绕一元二次方程“只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程”这一本质特征． 一元二次方程的一般形式是，需要根据这个定义来逐一判断所给方程． 【详解】解：对于方程， 当时，它就不是一元二次方程， 因为此时方程变为，是一元一次方程， 所以方程①不一定是一元二次方程． ， 展开得， 化简得， 此方程符合一元二次方程的一般形式， 所以方程②是一元二次方程． 方程中，是分式， 所以该方程不是整式方程，而一元二次方程是整式方程， 所以方程③不是一元二次方程． 方程中，x的最高次数是3， 而一元二次方程x的最高次数是2， 所以方程④不是一元二次方程． 方程中，x的最高次数是1， 是一元一次方程，不是一元二次方程． 只有方程②是一元二次方程， 所以一元二次方程的个数是1个． 故选：A． 【题型二】由一元二次方程的定义求参数 例2．（2025八年级下·浙江·专题练习）方程化为一般形式后的的值分别为（　　） A．3，1，4 B．3，， C．3，， D． 【答案】B 【知识点】由一元二次方程的定义求参数 【分析】本题主要考查了一元二次方程的一般式，解题的关键是：熟练掌握一元二次方程的一般式． 一元二次方程的一般式为（其中a、b、c是常数，），据此把原方程化为一般式即可得到答案． 【详解】解：方程化为一般形式为， ∴的值分别为3，，， 故选：B． 例3．（22-23八年级下·浙江·期末）若方程是关于的一元二次方程，则应满足 ． 【答案】 【知识点】一元二次方程的定义 【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义．根据一元二次方程的定义，列出关于的不等式，然后解不等式即可．熟知一元二次方程的定义是关键． 【详解】解：根据题意，得， 解得． 故答案为：． 变式1．关于x的一元二次方程常数项为0，则k值为（　　） A．3 B． C． D．9 【答案】B 【知识点】由一元二次方程的定义求参数 【分析】本题考查了一元二次方程的定义． 根据一元二次方程的定义，常数项为0且二次项系数不为0，解方程即可确定k的值． 【详解】解：根据题意得，且， 解得且， ∴， 故选：B． 变式2．若方程是一元二次方程，则k的值是 ． 【答案】 【知识点】由一元二次方程的定义求参数 【分析】本题考查了一元二次方程：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程． 根据一元二次方程的定义得到且，然后解不等式和方程得到满足条件的k的值． 【详解】解：根据题意得且， 解得． 故答案为：． 【题型三】判断是否是一元二次方程的解 例4．（24-25八年级下·浙江·月考）若关于的一元二次方程有一个根为2025，则方程必有一个根为（   ） A．2024 B．2023 C．2022 D．2021 【答案】A 【知识点】判断是否是一元二次方程的解 【分析】本题考查了一元二次方程的解，由关于x的一元二次方程有一个根为2025，可得出关于的一元二次方程有一个根为2025，解之可得出x的值，此题得解． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有一个根为2025， ∴关于的一元二次方程有一个根为2025， 即， 解得：， ∴方程必有一个根为2024． 故选：A． 变式1．（24-25八年级下·浙江金华·月考）若是方程的一个根，则的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】判断是否是一元二次方程的解、已知式子的值，求代数式的值 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解和代数式求值，理解一元二次方程的解和整体代入思想是解题关键． 根据是方程的根，得出、，对代数式变形后将其代入即可求解． 【详解】解：是方程的一个根， ， ，， ， ． 故选：A． 变式2．（24-25八年级下·浙江宁波·期中）关于的方程的解是，（，，均为常数，），则方程的解是 ． 【答案】， 【知识点】判断是否是一元二次方程的解 【分析】此题考查了方程解的定义，把方程变为，进而根据方程解的定义可得或，解之即可求解，理解方程解的定义是解题的关键． 【详解】解：方程可变为， ∵方程的解是，， ∴或， ∴，， 故答案为：，． 【题型四】由一元二次方程的解求参数 例5．（24-25八年级下·浙江杭州·月考）若关于x的一元二次方程的两根分别是与，则这两根分别是（   ） A．1， B．1， C．2， D．3，0 【答案】C 【知识点】由一元二次方程的解求参数 【分析】本题主要考查解一元二次方程，方程的两根互为相反数，据此可得，求得m的值，继而可得答案． 【详解】解：由题意知，方程的两根互为相反数， ， 解得， ， 故选：C． 变式1．（24-25八年级下·浙江宁波·期末）已知是关于x的一元二次方程的一个根，则实数k的值为 ． 【答案】 【知识点】由一元二次方程的解求参数 【分析】本题考查了一元二次方程的解，解一元一次方程，解题的关键是掌握方程的解是能使得等式两边相等的值． 把代入方程，即可得到一个关于k的方程，解方程即可求出k值． 【详解】解：把代入方程得：， 解方程得． 故答案为：． 变式2．（24-25八年级下·浙江宁波·期中）已知关于的一元二次方程，如果，，满足，我们就称这个一元二次方程为美妙方程． (1)判断方程是否为美妙方程，并说明理由． (2)已知关于的美妙方程的一个根是，求这个美妙方程． 【答案】(1)是，理由见解析 (2) 【知识点】加减消元法、由一元二次方程的解求参数、一元二次方程的定义 【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义和解，理解题中所给美妙方程的定义及熟知一元二次方程解的定义是解题的关键． （1）根据美妙方程的定义对所给方程进行判断即可． （2）根据美妙方程的定义，结合方程的一个根为，得到关于，的方程组即可解决问题． 【详解】（1）解：是美妙方程，理由如下： ∵中，，，， ∴， 故该方程是美妙方程； （2）解：∵美妙方程的一个根是， ∴， 解得：， ∴这个美妙方程是． 【题型五】化成一元二次方程的一般式 例6．（24-25八年级下·浙江宁波·期中）关于的一元二次方程（二次项系数为正数 ）的常数项为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】化成一元二次方程的一般式 【分析】本题考查一元二次方程的一般形式，先将一元二次方程化为一般形式，然后找出常数项即可．解题的关键是掌握：一元二次方程的一般形式是，它的特征是等号左边是一个关于未知数的二次多项式，等号右边是，其中是二次项，是二次项系数；是一次项，是一次项系数；是常数项． 【详解】解：原方程移项得， 此时常数项为． 故选：D． 变式1．方程的一次项系数是（    ） A．3 B． C．1 D．0 【答案】B 【知识点】化成一元二次方程的一般式 【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式，根据一元二次方程的一般形式确定一次项系数． 【详解】解：一元二次方程的一次项是，其系数是， 故选：B． 变式2．（24-25八年级下·浙江杭州·月考）一元二次方程化成一般形式后，二次项系数为 ，一次项系数为 ，常数项为 ． 【答案】 2 【知识点】化成一元二次方程的一般式、多项式的项、项数或次数 【分析】本题主要考查了一元二次方程的一般形式，熟练掌握形如的式子叫做一元二次方程是解题的关键． 先将方程化为一般形式，即可求解． 【详解】解：将方程化成一般形式为， ∴二次项系数为2，一次项系数为，常数项为． 故答案为：． 【题型六】因式分解法解一元二次方程 例7．（23-24八年级下·浙江杭州·期末）方程的两个根的和是（    ） A． B．0 C．2 D．4 【答案】C 【知识点】因式分解法解一元二次方程 【分析】此题主要考查了因式分解法解方程，解方程求出两个根，可得结论．正确分解因式是解题关键． 【详解】解：∵， ∴或， ∴，， ∴， 故选：C． 例8．（23-24八年级下·浙江金华·月考）解方程： 【答案】 【知识点】因式分解法解一元二次方程 【分析】本题考查解一元二次方程，利用因式分解法解方程即可，熟练掌握解一元二次方程的方法，是解题的关键． 【详解】解：， ， ， ， 解得． 变式1．（24-25八年级下·浙江温州·期中）写一个解为，的一元二次方程 ．（答案不唯一） 【答案】 【知识点】因式分解法解一元二次方程 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解的知识，解题的关键是了解一元二次方程的解的定义，难度不大． 根据一元二次方程的定义直接构造即可． 【详解】解：根据题意得：． 故答案为：（答案不唯一）． 变式2．（24-25八年级下·浙江绍兴·期末）解方程： (1) (2) 【答案】(1)，； (2) 【知识点】因式分解法解一元二次方程 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，解一元二次方程的方法有：公式法、直接开平方法、配方法、因式分解法，选择适当的方法进行计算是解此题的关键． （1）先把方程的左边分解因式，即可得出两个一元一次方程，再求出方程的解即可； （2）原方程左边为完全平方式，利用因式分解法，再用直接开平方法求解即可． 【详解】（1）解：提公因式得， 即或， 解得，； （2）解：原方程化为， 解得． 【题型七】解一元二次方程——直接开平方法 例9．（24-25八年级下·浙江金华·期末）用直接开平方法解下列一元二次方程，其中无解的方程为（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】解一元二次方程——直接开平方法 【分析】根据方程，其中，才能用直接开平方法解答判断即可． 本题考查了一元二次方程的直接开平方法解方程，熟练掌握方法使用的条件是解题的关键． 【详解】解：A. ，有解，不符合题意；     B. 即，有解，不符合题意； C.     即，有解，不符合题意； D. 即，负数，无解，符合题意； 故选：D． 例10．（23-24八年级下·全国·假期作业）用直接开平方法解下列方程： (1) (2)． 【答案】(1) (2) 【知识点】解一元二次方程——直接开平方法 【分析】本题主要考查一元二次方程的解法，熟练掌握利用直接开平方法求解方程是解题的关键； （1）根据直接开平方法可进行求解方程； （2）根据直接开平方法可进行求解方程 【详解】（1）解：移项，得， 根据平方根的意义，得， 即． （2）解：移项，得， 两边同除以3，得， 根据平方根的意义，得， 即． 变式1．（23-24八年级下·浙江杭州·期中）一元二次方程的解为： ． 【答案】， 【知识点】解一元二次方程——直接开平方法 【分析】本题考查了解一元二次方程．根据解一元二次方程直接开平方法，进行计算即可解答． 【详解】解：， ， ，， 故答案为：，． 变式2．（2024八年级下·浙江·专题练习）解方程： (1) ； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【知识点】解一元二次方程——直接开平方法 【分析】本题考查解一元二次方程： （1）利用直接开平方法求解； （2）先移项，再利用直接开平方法求解． 【详解】（1）解：， ， ∴， ∴，； （2）解：， ， ∴， ∴，． 【题型八】解一元二次方程——配方法 例11．（24-25八年级下·浙江温州·期中）方程配方后的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】解一元二次方程——配方法 【分析】本题主要考查了解一元二次方程的方法：配方法，将方程通过配方法转化为完全平方形式即可． 【详解】解： 将常数项移到右边，得 因此两边同时加9： 左边写成完全平方形式，右边计算得： 故选：B 例12．（24-25八年级下·浙江温州·期末）用配方法解方程，配方后所得方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】解一元二次方程——配方法 【分析】根据配方法求解的基本步骤解答即可． 本题考查了配方法，熟练掌握配方的基本步骤是解题的关键． 【详解】解：原方程变形得：， 配方得：， 即， 故选：A． 变式1．（24-25八年级下·浙江丽水·期中）用配方法解，配方后可得到的方程为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】解一元二次方程——配方法 【分析】本题考查了配方法，熟练掌握配方法的一般步骤是解题的关键；二次系数为1的时候，在方程两边同时加上一次项系数一半的平方，配方即可得． 【详解】解：； ； 两边同时加上4，得， 故选：A． 变式2．（24-25八年级下·浙江绍兴·期末）把方程变形为的形式，其中，为常数，则的值为 ． 【答案】4 【知识点】解一元二次方程——配方法 【分析】本题考查了配方法解一元二次方程，配方法的一般步骤：（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方 根据配方法解方程的一般步骤进行计算即可． 【详解】解： ， ∴， 故答案为：4． 【题型九】配方法的应用 例13．（23-24八年级下·浙江嘉兴·期末）已知关于的多项式，当时，该多项式的值为，则多项式的值可以是（    ） A．3.5 B．3.25 C．3 D．2.75 【答案】A 【知识点】配方法的应用 【分析】本题考查了代数式及配方法，不等式及偶次方的非负性，熟练掌握知识点是解题的关键．先将代入原式，可整理得，再代入到，配方得，进而求解即可． 【详解】∵当时，该多项式的值为， ∴， 整理得，即 ∵， ∴，即， ∴， ∴， 四个选项中，只有A符合， 故选：A． 变式1．（24-25八年级下·浙江绍兴·期中）把一元二次方程化为（，为常数）后，则 ． 【答案】 【知识点】配方法的应用 【分析】本题考查了配方法的应用，将配方得出，从而可得，，代入代数式计算即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴，即， ∵把一元二次方程化为， ∴，， ∴， 故答案为：． 变式2．（23-24八年级下·浙江宁波·期末）配方法是数学中重要的一种思想方法．它是指将一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法，这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决一些问题．我们定义：一个整数能表示成（a、b是整数）的形式，则称这个数为“完美数”．例如，5是“完美数”，理由：因为．所以5是“完美数”． 解决问题： （1）已知10是“完美数”，请将它写成（a、b是整数）的形式______； （2）已知，则______； 探究问题； （3）已知（x、y是整数，k是常数），要使S为“完美数”，试求出符合条件的一个k值，并说明理由； 拓展结论； （4）已知实数x、y满足，求的最值． 【答案】（1）；（2）；（3）当时，S为“完美数”，理由见解析；（4） 【知识点】配方法的应用 【分析】本题考查了配方法的应用，熟练掌握完全平方公式是解此题的关键． （1）把拆成两个整数的平方即可； （2）利用完全平方公式配方后，根据非负数的性质求出与的值，代入计算即可得解； （3）根据S为“完美数”，利用完全平方公式配方，确定出的值即可； （4）表示出，代入中，配方后利用非负数的性质求出最大值即可． 【详解】解：（1）由题意得：； （2）∵， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∴，， ∴； （3）当时，S为“完美数”，理由如下： ， ∵，为整数， ∴，也是整数， ∴当时，S为“完美数”； （4）∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴当时，的值最大，为． 【题型十】公式法解一元二次方程 例14．（24-25八年级下·浙江温州·期中）已知关于的一元二次方程，设方程的两个实数根分别为，（其中），若是关于的函数，且，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】公式法解一元二次方程 【分析】本题主要考查了公式法解一元二次方程，利用一元二方程的求根公式求出两根，进而用含的代数式表示出，即可得出结论． 【详解】解：是关于的一元二次方程， ， 由求根公式，得， ∴或， ∵，， ∴，， ∴， 解得， ∴； 故选B． 变式1．（24-25八年级上·浙江温州·期末）方程的解是 ． 【答案】， 【知识点】公式法解一元二次方程 【分析】本题考查了公式法求解一元二次方程，利用公式法进行求解即可． 【详解】解：， ， ， ， ，． 变式2．（2024·浙江金华·二模）设关于的一元二次方程，已知①，；②，；③，．请在上述三组条件中选择其中一组，的值，使这个方程有两个实数根，并解这个方程． 【答案】若选①，则方程的解为；若选②，则方程的解为 【知识点】公式法解一元二次方程 【分析】本题考查了解一元二次方程，一元二次方程根的判别式，根据题意解一元二次方程，即可求解． 【详解】解：①当，， ∴， ∴ 解得：； ②，； ∴ ∴ 解得：； ③，． ，原方程无解． 【题型十一】根据判别式判断一元二次方程根的情况 例15．（24-25八年级下·浙江宁波·期末）关于的一元二次方程根的情况，下列说法正确的是（   ） A．没有实数根 B．有两个相等的实数根 C．有两个不相等的实数根 D．根的个数与m的取值有关 【答案】C 【知识点】根据判别式判断一元二次方程根的情况 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式与根的情况，熟练掌握判别式与根的关系是解题的关键．根据判别式的公式，找到题目中相应的数据，，，代入判断即可． 【详解】∵， ∴，，， ∴ ∵ ， ∴ ∴该方程有两个不相等的实数根． 故选 C． 变式1．（24-25八年级下·浙江杭州·月考）关于x的一元二次方程的根的情况是 ． 【答案】有两个不相等的实数根 【知识点】根据判别式判断一元二次方程根的情况 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，对于一元二次方程，若，则方程有两个不相等的实数根，若，则方程有两个相等的实数根，若，则方程没有实数根，据此求解即可． 【详解】解：由题意得，， ∴原方程有两个不相等的实数根， 故答案为：有两个不相等的实数根． 变式2．（24-25八年级下·浙江杭州·月考）在面积都相等的所有矩形中，当其中一个矩形的一边长为1时，它的另一边长为3． (1)设矩形的相邻两边中一边为x，则另一边用x表示为 ； (2)圆圆说其中有一个矩形的周长为6，方方说有一个矩形的周长为10，你认为圆圆和方方的说法对吗？为什么？ 【答案】(1) (2)圆圆的说法不对，方方的说法对，理由见解析 【知识点】根据判别式判断一元二次方程根的情况、列代数式 【分析】本题考查了列代数式，一元二次方程的判别式，理解题意是本题的关键． （1）直接利用矩形面积求法进而得出另一边； （2）直接利用的值结合根的判别式得出答案． 【详解】（1）∵当其中一个矩形的一边长为1时，它的另一边长为3， ∴面积为， 设矩形的相邻两边中一边为x， ∴另一边用x表示为； （2）一个矩形的周长为6， ， 整理得：， ， 矩形的周长不可能是6， ∴圆圆的说法不对； 有一个矩形的周长为10， ， 整理得：， ， 矩形的周长可能是10， 所以方方的说法对． 【题型十二】根据一元二次方程根的情况求参数 例16．（24-25八年级下·浙江衢州·期末）定义运算：，例如，．若关于x的方程有两个相等的实数根，则m的值为（    ） A． B． C． D．9 【答案】A 【知识点】根据一元二次方程根的情况求参数 【分析】本题考查了新定义运算，根的判别式． 根据新定义的运算将方程转化为一元二次方程，再利用根的判别式求值即可． 【详解】解：∵，， ∴，即， ∵关于x的方程有两个相等的实数根， ∴， 解得． 故选：A． 变式1．（24-25八年级下·浙江温州·月考）在实数范围内，存在2个不同的x的值，使代数式与的值相等，则k的取值范围为 ． 【答案】 【知识点】根据一元二次方程根的情况求参数 【分析】本题考查了根据一元二次方程根的情况求参数，根据题意可得方程有两个不相等的根，即判别式，即可求解． 【详解】解：由题意得，方程有两个不相等的根， 整理得， ∴， 解得：， 故答案为：． 变式2．（2024八年级下·浙江·专题练习）已知关于的一元二次方程． (1)当时，试判断此方程根的情况． (2)若，是该方程不相等的两实数根，且，求的值． 【答案】(1)此方程有两个相等的实数根 (2) 【知识点】根据一元二次方程根的情况求参数、根据判别式判断一元二次方程根的情况 【分析】本题主要考查根的判别式，由方程根的情况判断出判别式的符号是解题的关键． （1）把代入方程，再根据根的判别式即可判断此方程根的情况； （2）由方程根的情况，根据根的判别式可得到关于的取值范围，再根据题意得到关于的方程，解方程即可求解． 【详解】（1）解：∵当时，原方程为， ∴， ∴此方程有两个相等的实数根． （2）解：∵，是方程即不相等的两实数根，且， ∴， 解得：， ∴， ∴，（不合题意，舍去）． ∴的值是． 【题型十三】换元法解一元二次方程 例17．（24-25八年级下·浙江嘉兴·期末）已知关于x的方程（a，m，k均为常数，且）的两个解是，，则方程的解是（    ）． A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【知识点】换元法解一元二次方程 【分析】本题考查了换元法解一元二次方程. 根据题意把看做一个整体，根据方程的解，可得或，解方程即可得到答案． 【详解】解：∵关于的方程（a，m，k均为常数，且）的两个解是，， ∴方程的解满足或， 解得，， 故选：B． 变式1．（24-25八年级下·浙江温州·期中）已知方程的解是，，则方程的解是 ． 【答案】， 【知识点】换元法解一元二次方程 【分析】本题考查了利用换元法解一元二次方程：把看作一个整体，利用已知方程的解得到所解方程的解．把方程看作关于的一元二次方程，然后根据题意得到或，再解两个一次方程即可． 【详解】∵方程的解是，， ∴方程的解为或， 解得，，， 故答案为：，． 变式2．（23-24八年级下·浙江杭州·期中）关于的方程的解是，，（，，均为常数，），则方程的解是 ． 【答案】， 【知识点】换元法解一元二次方程 【分析】本题考查了解一元二次方程换元法，利用关于的方程的解是，得到或，从而得到方程的解． 【详解】解：把方程看作关于的一元二次方程， 关于的方程的解是，， 或， ，， 方程的解为和． 故答案为：，． 一、单选题 1．是下列哪个一元二次方程的根（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，一元二次方程公式法求解，通过对比一元二次方程的求根公式，直接确定系数a、b、c的值，从而匹配对应方程 【详解】解：一元二次方程， ， ， ，即；，即； ， ， 故方程为 ， 故选：A 2．如图是一个简单的数值运算程序，则输入的的值为（    ） A．2或−2 B．3或−3 C．3或−1 D．−3或1 【答案】C 【分析】本题考查了解一元二次方程．解题的关键在于列出一元二次方程． 根据运算程序可知，计算求解即可． 【详解】解：由题意可知 ∴ 解得，． 故选C． 3．将方程x2−4x＋1＝0化成（x＋m）2＝n的形式是（    ） A．（x−1）2＝12 B．（2x−1）2＝12 C．（x−1）2＝0 D．（x−2）2＝3 【答案】D 【分析】移项，再配方，即可得出选项． 【详解】解：x2-4x+1=0， x2-4x=-1， 配方，得x2-4x+4=-1+4， 即（x-2）2=3， 故选：D． 【点睛】本题考查了解一元二次方程，能够正确配方是解此题的关键． 4．已知，（为任意实数），则P，Q的大小关系为（   ） A． B． C． D．不能确定 【答案】C 【分析】本题考查了配方法的应用，掌握配方法、偶次方的非负性是解题的关键． 先求出的值，然后根据偶次方的非负性，判断出值的正负，进而判断出两者的大小关系． 【详解】解： ． ， ， ， ． 故答案为：C． 5．若关于x的一元二次方程有实数根，则k的取值范围是（    ） A． B． C．且 D．且 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，一元二次方程根的判别式，解题的关键是掌握一元二次方程二次项系数不为0，当时，方程有两个不相等的实数根，当时，方程有两个相等的实数根，当时，方程没有实数根．根据题意，且，即可解答． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有实数根， ∴，且， 解得：且， 故选：D 6．下列一元二次方程没有实数根的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，掌握根的判别式与方程根的情况的关系成为解题的关键． 然后根据根的判别式与方程根的情况的关系逐项判断即可． 【详解】解：A、，方程有两个相等实数根，故此项不符合题意； B、，方程没有实数根，故此项符合题意； C、，方程有两个不等的实数根，故此项不符合题意； D、，方程有两个不等的实数根，故此项不符合题意． 故选：B． 7．一元二次方程的根是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了解一元二次方程．移项，然后通过因式分解法求解，最后根据解选择正确的选项． 【详解】解： 可化为 解得 故选：A． 8．已知关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则m的值为（　　） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题考查了利用一元二次方程的根的情况求参数，正确掌握一元二次方程根的情况与判别式之间的关系是解题的关键．根据一元二次方程有两个相等实根，则根的判别式为0，据此解答即可． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有两个相等的实数根， ，即， 或． 故选：C． 9．若定义：方程是方程的“倒方程”．则下列四个结论： ①如果是的倒方程的一个解，则． ②一元二次方程与它的倒方程有公共解． ③若一元二次方程无解，则它的倒方程也无解． ④若，则与它的倒方程都有两个不相等的实数根． 上述结论正确的有（   ）个 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的解，以及根的判别式．根据倒方程的定义和一元二次方程根的定义对①进行判断；一元二次方程与它的倒方程有公共解，可以判定②正确；利用倒方程的定义和根的判别式的意义对③④进行判断． 【详解】解：①的倒方程为， 把代入方程得， 解得，故①错误； ②一元二次方程的倒方程为，则联立得：， 两式相减得到， 则， 由于，那么， 解得：，故有公共解，故②正确； ③若一元二次方程无解，则， 而倒方程为，那么根的判别式也为， 故它的倒方程也无解，故③正确； ④当时，一元二次方程的根的判别式， 也为一元二次方程，此方程的根的判别式， 所以这两个方程都有两个不相等的实数根，所以④正确，符合题意； 故选：C． 二、填空题 10．方程的根为 ． 【答案】， 【分析】先把方程化为，再化为两个一次方程即可． 【详解】解：由原方程，得 ， 则或， 解得，． 故答案是：，． 【点睛】本题考查的是一元二次方程的解法，掌握利用因式分解的方法解一元二次方程是解本题的关键． 11．若是关于x的一元二次方程，则a 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义：只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程是一元二次方程，根据一元二次方程的定义得出即可得到答案． 【详解】解：∵是关于x的一元二次方程， ∴， 解得， 故答案为：． 12．若关于x的方程有实数根，则实数m的取值范围是 ． 【答案】 【分析】由于的不确定性，需要先分类讨论确定方程的类型，再利用根的判别式确定参数的取值范围 【详解】分两种情况讨论： ①当时，原方程为，解得，符合题意； ②当时，原方程为一元二次方程． 关于x的方程有实数根， ，解得，则，． 综上所述，m的取值范围是． 13．已知是关于的方程的解，则的值为 ． 【答案】3 【分析】本题考查了一元二次方程的解，熟练掌握一元二次方程的解的概念是解题的关键．把代入方程，解之即可得到的值． 【详解】解：是关于的方程的解， ， 解得． 故答案为：3． 14．一元二次方程的根是 ． 【答案】 【分析】本题考查解一元二次方程，利用配方法解答即可求解，掌握一元二次方程的解法是解题的关键． 【详解】解：， ， ， 故答案为：． 15．若使关于的分式方程有整数解，且使关于的一元二次方程有实数根，那么满足条件的所有整数的和为 ． 【答案】 【分析】本题考查了根据分式方程的解的情况求参数，一元二次方程根的判别式，先解分式方程，可得，根据分式方程有整数解可得或或或或或，即可得到或或或或或，再根据分式方程有意义可得，最后再根据一元二次方程有实数根及定义可得且，进而得到满足条件的所有整数，进而即可求解，根据分式方程和一元二次方程求出满足条件的所有整数的值是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵分式方程有整数解， ∴或或或或或， 即或或或或或， ∵， ∴， ∴， ∴或或或或， 又∵关于的一元二次方程有实数根， ∴且， ∴且， ∴， ∴满足条件的所有整数的和为， 故答案为：． 16．定义：关于的一元二次方程：（、、是常数，）与（、、是常数，），称为“同族二次方程”．例如：与是“同族二次方程”．如果关于的一元二次方程：与（、是常数，）是“同族二次方程”．那么代数式的最小值是 ． 【答案】 【分析】此题考查了配方法的应用，非负数的性质，以及一元二次方程的定义，弄清题中的新定义是解本题的关键．利用“同族二次方程”定义列出关系式，再利用多项式相等的条件列出关于a与b的方程组，求出方程组的解得到a与b的值，进而利用非负数的性质确定出代数式的最小值即可． 【详解】解： 与是“同族二次方程”， ， ， ∴， ， 最小值为， 最小值为， 即最小值为． 故答案为：． 17．已知实数，满足，试求的值． 解：设，原方程可化为，即，解得． ∵，∴．上面的这种方法称为“换元法”． 请根据以上阅读材料，解决问题． （1）若实数，满足，则的值为 ． （2）若一元二次方程的两根分别为，3，则方程的根是 ． 【答案】 【分析】本题考查解一元二次方程，掌握换元法是解题的关键： （1）设，将，转化为，求出的值，进而求出的值即可； （2）根据题意，得到，解方程即可． 【详解】解：（1）设，则：， ∵， ∴， 解得：（舍去）或， ∴， ∴； 故答案为：； （2）∵一元二次方程的两根分别为，3， ∴则方程的根为或（舍去）， ∴， 解得：； 经检验，是原方程的解； 故答案为：． 三、解答题 18．解方程：． 【答案】 ， 【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解． 【详解】解：去分母得： ， 解得： ，， 经检验 ，是分式方程的解． ∴原分式方程的解为 ，． 【点睛】本题考查了解分式方程以及解一元二次方程，熟练掌握步骤是解题的关键，需要注意的是最后要记得检验是不是分式方程的解． 19．用因式分解法解下列方程： (1)． (2)． 【答案】(1)， (2)， 【详解】解：（1）因式分解，得， 或， 解得，． （2）移项，得． 因式分解，得， 或， 解得，． 20．用合适的方法解下列方程： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了一元二次方程的解法，一元二次方程的解法：直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，灵活运用一元二次方程的解法是解题的关键． （1）利用配方法求解即可； （2）用因式分解法求解即可． 【详解】（1）解：移项得， 配方得， 即， 开方得， ； （2）解：， 或 解得； 21．用适当的方法解下列方程： (1) (2) 【答案】(1) (2)， 【分析】（1）应用开平方法解一元二次方程即可； （1）应用因式分解法解一元二次方程即可； 【详解】（1） 解：                 （2） 解： ， 【点睛】本题主要考查解一元二次方程，解一元二次方程常用的方法有：直接开平方法、因式分解法、公式法及配方法，解题的关键是根据方程的特点选择简便的方法． 22．按要求解方程： (1)用配方法解方程： (2)用公式法解方程： (3)用适当的方法解方程： 【答案】(1)， (2)， (3)， 【分析】本题考查了解一元二次方程，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）运用配方法进行解方程，即可作答． （2）运用公式法进行解方程，即可作答． （3）运用因式分解法进行解方程，即可作答． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴或， 解得，； （2）解：， ∴， 则， ∴， ∴，． （3）解：∵， ∴ ∴或 解得，． 23．关于 x 的一元二次方程有实数根． (1)求 k 的取值范围； (2)如果k是符合条件的最大整数，且一元二次方程与方程有一个相同的根，求此时 m 的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式，一元二次方程的解，掌握一元二次方程的解与根的判别式是解题的关键． （1）根据根的判别式得到，求解即可； （2）根据（1）中结论得到符合条件的最大整数，解方程得到，，分别代入方程中，即可求出m的值，注意要满足． 【详解】（1）解：∵关于 x 的一元二次方程有实数根， ∴， ∴． （2）解：∵k是符合条件的最大整数， ∴， ∴为， 解得，， 当是一元二次方程的解时， ， 解得， ∵， ∴不合题意，舍去； 当是一元二次方程的解时， ， 解得． 综上所述，m的值为． 24．【阅读理解】“配方法”是一种数学思想方法，利用这种方法可以解决很多数学问题．下面是小明同学用配方法解一元二次方程的过程： 解：移项，得． 配方，得， 所以． 直接开平方，得， 所以，． 【问题解决】 （1）小明配方的依据是 A．完全平方公式    B．平方差公式    C．多项式与多项式乘法法则 （2）用配方法解方程：． 【拓展应用】 （3）已知x是实数，求代数式的最小值． 【答案】（1）A；（2）；（3）4． 【分析】本题主要考查利用完全平方公式、运用配方法解一元二次方程、运用配方法求最值等知识点，灵活运用完全平方公式成为解题的关键． （1）根据运算过程即可解答； （2）结合配方法将原式变形为，再利用直接开平方法计算即可； （3）利用配方法将原式化简为，结合，即有，则当时，代数式的最小值是4． 【详解】解：（1）方程两边同时加上1，方程左边变成，即，右边变成2，则依据是完全平方公式． 故选：A． （2）， 移项得：， 二次项系数化为1得：， 配方得，即， 直接开平方得， 所以； （3）， ∵无论x取什么数，都有， ， ∴当时，有最小值4，即代数式的最小值是4． 1 学科网（北京）股份有限公司 $