第10章 二元一次方程组 （9知识详解+27典例分析）2025-2026学年苏科版七年级数学下册同步讲义与测试

第10章 二元一次方程组 （9知识详解+27典例分析） 【知识点01】二元一次方程 示例 二元一次方程 【知识点02】二元一次方程的解 【知识点03】二元一次方程组 示例 二元一次方程组 【知识点04】二元一次方程组的解 二元一次方程组的解：我们把二元一次方程组中两个方程的公共解叫作二元一次方程组的解. 说明：二元一次方程组的解要用大括号联立起来，分两行书写，如方程组的解应写成 敲黑板 二元一次方程组的解的特点 （1）方程组的解一定是方程组中每一个方程的解，但方程组中每一个方程的解不一定是这个方程组的解. （2）一般地，二元一次方程组的解只有一个，但也有特殊情况，如方程组无解，方程组有无数个解. 【知识点05】用代入消元法解二元一次方程组 1.代入消元法：将方程组的一个方程中的某个未知数用含有另一个未知数的代数式表示，并代入另一个方程，消去这个未知数，从而把解二元一次方程组转化为解一元一次方程．这种解方程组的方法叫作代入消元法，简称代入法. 2.用代入法解二元一次方程组的一般步骤 步骤 具体做法 目的 注意 ①变形 用含一个未知数的式子表示另一个未知数，得到变形的方程. 变形为𝑦=𝑎𝑥+𝑏 （或𝑥=𝑎𝑦+𝑏 ）的形式. 一般选未知数系数的绝对值较小的方程变形. ②代入 把𝑦=𝑎𝑥+𝑏 （或𝑥=𝑎𝑦+𝑏 ）代入另一个没有变形的方程中. 消去一个未知数，将二元一次方程组转化为一元一次方程. 变形后的方程只能代入另一个没有变形的方程. ③求解 解代入后的一元一次方程. 求出一个未知数的值. 去括号时不要漏乘，移项时要变号. ④回代 把求得的未知数的值代入步骤①中变形后的方程中. 求出另一个未知数的值. 一般代入变形后的方程比较简单. ⑤写解 把两个未知数的值联立起来. 将方程组的解表示为的形式. 要用“{ ”将未知数的值联立起来. 【知识点06】用加减消元法解二元一次方程组 1.加减消元法：把方程组的两个方程（或先做适当变形）的左、右两边分别相加或相减，消去其中一个未知数，从而把解二元一次方程组转化为解一元一次方程.这种解方程组的方法叫作加减消元法，简称加减法. 2.用加减消元法解二元一次方程组的一般步骤 步骤 具体做法 目的 注意 ①变形 根据绝对值较小的未知数（同一个未知数）的系数的最小公倍数，将方程的两边都乘适当的数. 使两个方程中某一个未知数的系数相等或互为相反数. （1） 选准消元对象：当某未知数的系数相等或互为相反数或存在整数倍关系时选择消去该未知数； （2） 方程两边同乘某个数时，不要漏乘. ②加减 当其中一个未知数的系数相等时，将两个方程相减；当其中一个未知数的系数互为相反数时，将两个方程相加. 消去一个未知数，将二元一次方程组转化为一元一次方程. （1） 加减前，应将对应未知数对齐再加减,若一个方程缺少某一项时，将该项看作0，再对齐加减; （2） 一定要把两个方程两边分别相加减. ③求解 解消元后得到的一元一次方程. 求出一个未知数的值. ④回代 把求得的未知数的值代入方程组中某个方程中. 求出另一个未知数的值. 回代时选择系数的绝对值较小的方程. ⑤写解 把两个未知数的值联立起来. 将方程组的解表示为 的形式. 要用“{ ”将未知数的值联立起来. 【知识点07】三元一次方程组的概念 1.三元一次方程组：把含有三个未知数的三个一次方程联立在一起，就组成了一个三元一次方程组. 2.三元一次方程组必须同时满足三个条件：（1）方程组中一共含有三个未知数；（2）含有未知数的项的次数都是1；（3）方程组中的每个方程都是整式方程. 【知识点08】解三元一次方程组 1.解三元一次方程组的基本思路：通过代入消元法或加减消元法消去一个未知数，就可以把解三元一次方程组转化为解二元一次方程组，进而转化为解一元一次方程. 2.解三元一次方程组的一般步骤 （1）消元:利用代入消元法或加减消元法消去一个未知数，得到关于另外两个未知数的二元一次方程组. （2）求解:解这个二元一次方程组，求出两个未知数的值. （3）回代:将求得的未知数的值代入原方程组中含有最后一个未知数的方程中，得到一个一元一次方程. （4）求解:解这个一元一次方程，求出最后一个未知数的值. （5）写解:将求得的三个未知数的值用“{”联立起来，就是原三元一次方程组的解. 【知识点09】列二元一次方程组解应用题 列二元一次方程组解应用题的一般步骤 （1）审：仔细审题，弄清题目中的已知量与未知量. （2）找：找出能够表达应用题全部含义的两个等量关系. （3）设：设出两个未知数，用未知数或含未知数的代数式表示出其他量. （4）列：根据找出的两个等量关系，列出二元一次方程组. （5）解：解这个二元一次方程组，求出未知数的值. （6）验：检验所求得的结果是否符合题意及实际意义. （7）答：写出答案. 【题型一】二元一次方程的定义 1．（25-26七年级下·江苏无锡·期中）下列是二元一次方程的是（     ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级下·江苏扬州·期中）已知方程是关于x、y的二元一次方程，则的值为____． 【题型二】二元一次方程的解 3．（25-26七年级下·江苏盐城·期中）若是关于x、y的二元一次方程的解，则a的值为（   ） A． B． C．3 D．5 4．（25-26七年级下·江苏宿迁·期中）已知是关于x，y的方程的一组解，则m的值为______． 5．（24-25七年级下·江苏连云港·期中）某商店需要购进甲、乙两种商品两种商品均购进，其进价和销售价如表所示： 甲 乙 进价（元/件） 120 150 售价（元/件） 135 180 (1)若商店计划购进甲、乙两种商品共30件，销售后利润600元，甲、乙两种商品分别购进多少件？ (2)若商店计划购进甲、乙两种商品，正好用去1800元，求甲、乙两种商品购进件数的所有方案． 【题型三】判断是否是二元一次方程组 6．（25-26七年级下·江苏无锡·期中）下列方程组中，是二元一次方程组的是（   ） A． B． C． D． 7．（22-23七年级下·江苏·周测）下列方程组，其中是二元一次方程组的有________（填序号） ①②  ③   ④． 【题型四】判断是否是二元一次方程组的解 8．（24-25七年级下·江苏无锡·期中）表1为二元一次方程的部分解，表2为二元一次方程的部分解，则方程组的解为 （   ） 表1 x 1 2 y 1 表2 x 0 1 2 y 0 A． B． C． D． 9．若关于x，y的二元一次方程组的解为，则这个方程组可以是________． 【题型五】已知二元一次方程组的解求参数 10．（25-26七年级下·江苏无锡·期中）已知关于的二元一次方程组的解为，则代数式的值是（　　） A． B．2 C．3 D． 11．（25-26七年级下·江苏泰州·期中）已知（m为常数）是方程组的解，则关于x，y的二元一次方程“☆”可以是________．（写出一个即可） 12．（22-23七年级下·江苏盐城·阶段检测）若关于、的二元一次方程组的解满足，求的值． 【题型六】代入消元法 13．（25-26七年级下·江苏盐城·期中）对于二元一次方程组，将①式代入②式，消去y可以得到（    ） （    ） A． B． C． D． 14．（25-26七年级下·江苏南京·期中）已知二元一次方程，用含的代数式表示，则________． 15．（24-25七年级下·江苏扬州·月考）用适当的方法解下列方程组： (1)； (2)． 【题型七】加减消元法 16．（24-25七年级下·江苏淮安·期中）下列四组数值中，是二元一次方程组的解的是（    ） A． B． C． D． 17．（25-26七年级下·江苏盐城·期中）如果x，y满足方程组，那么的值是________． 18．（25-26七年级下·江苏无锡·期中）解下列方程组： (1) (2) 【题型八】二元一次方程组的特殊解法 19．（24-25七年级下·江苏苏州·期末）若方程组的解是，则方程组的解是（   ） A． B． C． D． 20．（25-26七年级下·江苏连云港·期中）已知方程组，则的值为______． 21．（24-25七年级下·江苏盐城·期中）若关于的二元一次方程组，满足，求的值． 【题型九】二元一次方程组的错解复原问题 22．解方程组时，甲同学正确解得，乙同学因把c写错而得到，则______，_____，________． 23．（25-26七年级下·江苏泰州·期中）甲、乙两人解关于x，y的方程组，甲看错方程“”中的a，得到方程组的解为；乙看错方程“”中的b，得到方程组的解为，求的值． 【题型十】构造二元一次方程组求解 24．若，则2x+4y等于（    ） A．3 B． C．0 D．-9 25．（25-26七年级下·江苏盐城·期中）已知有理数a，b，c满足，则________． 26．（23-24七年级下·江苏盐城·月考）在等式y=kx＋b中，当x=5时，y=6；当x=-3时，y=-10．求k，b的值. 【题型十一】已知二元一次方程组的解的情况求参数 27．（24-25七年级下·江苏无锡·月考）已知关于x、y的方程组，则下列结论中正确的是（　　） ①当时，；②当时，方程组的解也是方程的解；③不论a取何值，的值始终不变；④若不论x取何值，的值都为常数，则该常数为． A．①② B．②③ C．①③ D．①②④ 28．（25-26七年级下·江苏连云港·期中）若关于x，y的方程组的解x，y满足，则k的值为______． 29．（24-25七年级下·江苏扬州·期末）已知关于，的二元一次方程组的解满足，求的值． 【题型十二】方程组相同解问题 30．（23-24七年级下·江苏无锡·月考）已知关于x，y的方程组的解和的解相同，则（a+b）2007的值为（    ） A．-2007 B．-1 C．2007 D．1 31．（22-23七年级下·江苏南通·月考）已知两个关于 ， 的二元一次方程组 与 有相同的解，则______． 32．（24-25七年级下·江苏淮安·月考）关于，的方程组与有相同的解，求，的值． 【题型十三】三元一次方程组的定义及解 33．解方程组如果要使运算简便，那么消元时最好应（    ） A．先消去x B．先消去y C．先消去z D．先消常数项 34．（24-25七年级下·江苏扬州·月考）小川同学在学习方程过程中发现，三元一次方程组解不出x、y、z的具体数值，但可以解出的值为________． 35．（25-26七年级下·江苏南京·期中）解方程组： (1) (2)请利用解二元一次方程组的经验，解三元一次方程组 【题型十四】三元一次方程组的应用 36．（22-23七年级下·江苏镇江·月考）某学校体育社团准备采购一批体育用品奖给学生，到了文具店发现广告上写着优惠活动如下：3根跳绳，5个乒乓球和一个羽毛球共16元；2根跳绳，3个乒乓球和一个羽毛球共12元；王老师马上想到：5根跳绳，9个乒乓球和一个羽毛球共需（    ）元 A．28 B．24 C．20 D．18 37．（2024七年级下·江苏南京·期末）小华同学购买量角器、铅笔、橡皮3种学习用品，购买件数和用钱总数如下表： 量角器 铅笔 橡皮 总钱数（元） 第一次购买件数 1 7 3 24 第二次购买件数 1 10 4 33 则购买量角器、铅笔、橡皮各一件共需_________元钱． 38．（2023七年级下·江苏·专题练习）某足球联赛一个赛季共进行场比赛（即每队赛场），已知胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分，某队在这个赛季中平局的场数比负的场数多7场，结果共得分，这个队在这个赛季中胜，平，负各多少场？ 【题型十五】根据实际问题列二元一次方程组 39．（2025·江苏宿迁·中考真题）《九章算术》中记载：“今有牛五、羊二，值金十两；牛二、羊五，值金八两．问牛羊各值金几何？”译文：“今有牛5头，羊2头，共值金10两；牛2头，羊5头，共值金8两．问牛羊每头各值金多少？”若设牛每头值金两，羊每头值金两，则可列方程组是（    ） A． B． C． D． 40．（24-25七年级下·江苏徐州·期中）红圆珠笔每支0.7元，蓝圆珠笔每支1.2元，两种圆珠笔共买了15支，共花了19元，如果设买红圆珠笔x支，蓝圆珠笔y支，列出的关于x，y的二元一次方程组是______． 41．（24-25七年级下·江苏南京·期中）某校计划创建大小图书角共20个，现有图书3200册，其中每个小图书角需图书100册，每个大图书角需图书250册，问该校创建的大小图书角分别有多少个？ (1)小亮根据题意，列出方程组，请分别指出未知数表示的意义： 表示__________，表示__________ (2)小丽“设该校创建的大图书角个，小图书角个”，请按照小丽的思路列出方程组，并求的值． 【题型十六】根据几何图形列二元一次方程组 42．如图，8个大小相同的小长方形可拼成2个大矩形，拼成图②时，中间留下了一个边长为1的小正方形，则每个小长方形的面积是（      ） A．12 B．15 C．18 D．21 43．（22-23七年级下·江苏南通·月考）如图，炳同学将边长为的两个正方形靠边各放置两个边长为的长方形，然后分别以为边长构造两个大正方形，根据图中的数据，可求得的值是_______．    【题型十七】方案问题(二元一次方程组的应用) 44．（22-23七年级下·江苏徐州·期末）“母亲节”当天，小明去花店为妈妈选购鲜花，若康乃馨每枝2元，百合每枝3元，小明计划用30元购买这两种鲜花（两种都买），则不同的购买方案共有（    ） A．3种 B．4种 C．5种 D．6种 45．（23-24七年级下·江苏南通·月考）某班级为筹备运动会，准备用350元购买两种运动服，其中甲种运动服20元/套，乙种运动服35元/套，在钱都用尽的条件下，有______种购买方案． 46．（24-25七年级下·江苏淮安·月考）某学校组织学生到郊外参加义务植树活动，并准备了A，B两种食品作为午餐．这两种食品每包质量均为，其营养成分表如下： (1)若每份午餐需要恰好摄入热量和蛋白质，应选用A，B两种食品各多少包？ (2)考虑到健康饮食的需求，若每份午餐需选用这两种食品共8包，并保证每份午餐中的蛋白质含量不低于，且总热量不超过．请通过计算，求出共有多少种符合要求的配餐方案． 【题型十八】行程问题(二元一次方程组的应用) 47．甲乙两人练习跑步，若乙先跑10m，则甲5s就可以追上乙；若乙先跑2s，则甲4s就可以追上乙，若设甲的速度x m/s，乙的速度y m/s，则（ ） A．x=4，y=6 B．x=6，y=4 C．x=3，y=5 D．x=5，y=3 48．（22-23七年级下·江苏镇江·期末）某校组织学生乘汽车去自然保护区野营．汽车先以的速度走平路，后又以的速度爬坡，共用了；返回时，汽车以的速度下坡，又以的速度走平路，共用了．则学校距自然保护区_____________． 49．（24-25七年级下·江苏徐州·月考）小红和姐姐相距．如果她们同时出发且相向而行，那么经过两人相遇；如果她们同向而行，且姐姐比小红先出发，那么在小红出发后姐姐追上小红．小红、姐姐的平均速度分别是多少？ 【题型十九】数字问题(二元一次方程组的应用) 50．（22-23七年级下·江苏连云港·月考）有一个两位数，它的十位数字与个位数字之和为5，则符合条件的两位数有（    ） A．4个 B．5个 C．6个 D．7个 51．（22-23七年级下·江苏扬州·期末）小凡出门前看了下智能手表上的运动APP，发现步数计数是一个两位数，步行下楼后发现十位数字与个位上数字互换了，到小区门口时，发现步数计数比下楼后看到的两位数中间多了个1，且从出门到小区门口共走了586步，则出门时看到的步数是______． 52．（23-24七年级上·江苏·周测）一个两位数，个位上的数字与十位上的数字的和为，若把个位上的数字与十位上的数字对调，则所得的数比原数的倍小，求原来的两位数． 【题型二十】年龄问题(二元一次方程组的应用) 53．（22-23七年级下·江苏宿迁·期末）爸爸、妈妈、我、妹妹，四人今年的年龄之和是101岁，爸爸比妈妈大1岁，我比妹妹大6岁，十年前，我们一家的年龄之和是63岁，今年爸爸的年龄是（    ） A．38岁 B．39岁 C．40岁 D．41岁 54．（2024·江苏无锡·一模）一天，小民去问爷爷的年龄，爷爷说：“我若是你现在这么大，你还要40年才出生呢，你若是我现在这么大，我已经是老寿星了，125岁了，哈哈！”请你写出小民爷爷到底是___岁． 55．今年（2022年）4月20日，是云大附中建校95周年暨云大附中恢复办学40周年校庆日，我校初一年级数学兴趣小组的小明同学发现这样一个有趣的巧合；小明的爸爸和爷爷都是云附的老校友，且爸爸和妹妹的年龄差恰好与爷爷和小明的年龄差的和为95，而爸爸的年龄恰好比爷爷的年龄小40．已知小明今年13岁，妹妹今年4岁． (1)求今年小明的爸爸和爷爷的年龄分别是多少岁？（要求用二元一次方程组解答） (2)假如小明的爸爸和爷爷都是15岁初中毕业的，请问小明的爸爸和爷爷分别是哪一年毕业的云附学子？ 【题型二十一】分配问题(二元一次方程组的应用) 56．明代数学家程大位所著的《算法统宗》中有这样一道题：有83000根短竹，每根短竹可制成毛笔的笔管3个或笔套5个，怎样安排用于制作笔管或笔套的短竹的数量，使制成的1个笔管与1个笔套正好配套？设用于制作笔管的短竹数为x根，用于制作笔套的短竹数为y根，可列方程组为（　　） A． B． C． D． 57．（23-24七年级下·江苏南通·阶段检测）我校在举办“书香文化节”的活动中，将x本图书分给了y名学生，若每人分6本，则剩余40本；若每人分8本，则还缺50本，则_______． 58．（23-24七年级·江苏苏州·期中）七年级新生入学，若每间宿舍住 6 名新生，则 30 名新生没宿舍住，若每间住 8 名，则有一间宿舍空闲，有多少名住宿新生？有多少间宿舍？ 【题型二十二】销售、利润问题(二元一次方程组的应用) 59．某商店换季准备打折出售，若按照原售价的八折出售，将亏损20元，而按原售价的九折出售，将盈利10元，则该商品的成本为（        ） A．230元 B．250元 C．260元 D．300元 60．（23-24七年级下·江苏南通·期末）有甲、乙两种商品，若购甲2件、乙1件共需120元，若购甲1件、乙2件共需180元，则购甲、乙两种商品各1件共需______元． 61．（2025·江苏南京·中考真题）某商店销售两种饮料，A饮料“满三免一”（即每买3杯只需付2杯的钱），B饮料满5杯按8折销售．小丽买了A，B饮料各1杯，用了元；小明买了3杯A饮料和5杯B饮料，用了元．A，B两种饮料每杯分别是多少元？ 【题型二十三】和差倍分问题(二元一次方程组的应用) 62．用16元钱买了80分、120分的两种邮票共17枚，则买了80分的邮票________枚，120分的邮票________枚． 63．（23-24七年级下·江苏宿迁·期末）某校准备成立校足球队，现计划购进一批甲、乙两种型号的足球，已知3个甲种型号足球的价格与2个乙种型号足球的价格之和为900元；如果购买5个甲种型号足球和4个乙种型号足球，一共需花费1600元． (1)求每个甲种型号足球和每个乙种型号足球的价格分别是多少元？ (2)学校计划购买甲、乙两种型号的足球共28个，其中甲种型号足球的个数不少于乙种型号足球的个数，并且学校购买甲、乙两种型号足球的预算资金不超过5000元，求该学校共有几种购买方案？ (3)在（2）的条件下，哪种方案最便宜？ 【题型二十四】几何问题(二元一次方程组的应用) 64．（23-24七年级下·江苏连云港·期末）如图，在大长方形中，放入六个相同的小长方形，若，则图中阴影部分的面积为（　　） A．48 B．51 C．55 D．56 65．（25-26七年级·江苏南通·期末）如图是一个周长为16的长方形ABCD，它恰好可以分割成5个小长方形（分别标记为①，②，③，④，⑤），其中．若⑤为正方形，则②的周长为_____；若①的周长为9.4，则⑤的长与宽之差为______． 66．（24-25七年级下·江苏镇江·期末）如图，在长方形中放置9个形状、大小都相同的小长方形（尺寸如图） (1)求图中9个形状、大小都相同的小长方形的长与宽； (2)求图中阴影部分的面积． 【题型二十五】图表信息题(二元一次方程组的应用) 67．工作人员从仓库领取如图①中的长方形和正方形纸板作侧面和底面，做成如图②的竖式和横式的两种无盖纸盒若干个，恰好使领取的纸板用完． 下表是工作人员四次领取纸板数的记录： 日期 正方形纸板（张） 长方形纸板（张） 第一次 562 938 第二次 420 860 第三次 502 1000 第四次 985 2015 仓库管理员在核查时，发现一次记录有误．请问记录有误的是（   ） A．第一次 B．第二次 C．第三次 D．第四次 68．科技馆门票价格规定如下表． 购票张数 1﹣50张 51﹣100张 100张以上 每张票的价格 15元 12元 10元 某学校七年级①、②两个班共103人去科技馆，其中①班有40多人，不足50人，经计算，如果两个班都以班为单位购票，则一共应付1377元．七年级②班学生有_________人，如果两个班联合起来，作为一个团体购票，可以省_______元． 69．（23-24七年级下·江苏宿迁·期末）在正方形网格中有9个数，若各行、各列及对角线上的三个数之和都相等，则称此图为“九宫图”． (1)图（甲）就是一个九宫图的一部分，请你求出，的值； (2)已知图（乙）和图（丙）都是不完整的九宫图． 填空：a=______，b=______，c=______； d=______，e=______，f=______． 【题型二十六】古代问题(二元一次方程组的应用) 70．（2023七年级下·江苏·专题练习）我国古代数学名著《孙子算经》中记载：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳复量之，不足一尺，木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根木条，绳子剩余4.5尺；将绳子对折再量木条，木条还剩余1尺．木条长多少尺？如果设木条长尺，绳子长尺，那么可列方程组为（   ） A． B． C． D． 71．（2025·江苏盐城·中考真题）我国古代数学著作《算法统宗》中记载：“今有绫三尺，绢四尺，共价四钱八分；又绫七尺，绢二尺，共价六钱八分．问：绫、绢各价若干？”意思是：三尺绫和四尺绢共值四钱八分；七尺绫和二尺绢共值六钱八分，则绫、绢每尺各值多少？已知一钱等于十分，则每尺绢的价格是____分． 72．（2025·江苏淮安·一模）《九章算术》是中国古代数学著作之一，书中有这样一个问题：四只雀、六只燕共重一斤：雀重燕轻，互换其中一只，恰好一样重，问：每只雀、燕的重量各为多少斤？ 【题型二十七】其他问题(二元一次方程组的应用) 73．小军在文具店购买了数支单价为1元/支的碳素水笔芯和若干块单价为1.5元/块的橡皮，共花费了9元，则小军购买的笔芯和橡皮的数量可能相差（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 74．（24-25七年级下·江苏苏州·期末）某数学兴趣小组进行跨学科探究学习，在盛水的烧杯中，放入，两种规格的玻璃球，研究放入两种球的数量与水面上升高度的关系．具体实验操作如下（以下实验中所用烧杯都相同，所有球均浸没于水面以下，且烧杯中的水均未溢出）：步骤一：分别向三个水平放置的空烧杯甲，乙，丙内注入适量的水，使烧杯内水面高度均为；步骤二：向甲烧杯内放入4个球和1个球，此时烧杯内水面高度为；步骤三：向乙烧杯内放入2个球和3个球，此时烧杯内水面高度为；步骤四：向丙烧杯内放入，两种球若干个，且放入的球的总个数为奇数，此时烧杯内水面高度为．则向丙烧杯内放入的种玻璃球的个数为________． 75．（2026七年级下·江苏·专题练习）一次知识竞赛，共设20道选择题，每题必答．下表记录了3名参赛同学在这次比赛中的得分情况． 参赛者 答对题数 答错题数 得分 A 20 0 100 B 19 1 93 C 18 2 86 (1)在这次比赛中，答对一道题得 分，答错一道题扣 分； (2)同学G说他得了82分，你认为可能吗？通过列方程计算说明理由． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第10章 二元一次方程组 （9知识详解+27典例分析） 【知识点01】二元一次方程 示例 二元一次方程 【知识点02】二元一次方程的解 【知识点03】二元一次方程组 示例 二元一次方程组 【知识点04】二元一次方程组的解 二元一次方程组的解：我们把二元一次方程组中两个方程的公共解叫作二元一次方程组的解. 说明：二元一次方程组的解要用大括号联立起来，分两行书写，如方程组的解应写成 敲黑板 二元一次方程组的解的特点 （1）方程组的解一定是方程组中每一个方程的解，但方程组中每一个方程的解不一定是这个方程组的解. （2）一般地，二元一次方程组的解只有一个，但也有特殊情况，如方程组无解，方程组有无数个解. 【知识点05】用代入消元法解二元一次方程组 1.代入消元法：将方程组的一个方程中的某个未知数用含有另一个未知数的代数式表示，并代入另一个方程，消去这个未知数，从而把解二元一次方程组转化为解一元一次方程．这种解方程组的方法叫作代入消元法，简称代入法. 2.用代入法解二元一次方程组的一般步骤 步骤 具体做法 目的 注意 ①变形 用含一个未知数的式子表示另一个未知数，得到变形的方程. 变形为𝑦=𝑎𝑥+𝑏 （或𝑥=𝑎𝑦+𝑏 ）的形式. 一般选未知数系数的绝对值较小的方程变形. ②代入 把𝑦=𝑎𝑥+𝑏 （或𝑥=𝑎𝑦+𝑏 ）代入另一个没有变形的方程中. 消去一个未知数，将二元一次方程组转化为一元一次方程. 变形后的方程只能代入另一个没有变形的方程. ③求解 解代入后的一元一次方程. 求出一个未知数的值. 去括号时不要漏乘，移项时要变号. ④回代 把求得的未知数的值代入步骤①中变形后的方程中. 求出另一个未知数的值. 一般代入变形后的方程比较简单. ⑤写解 把两个未知数的值联立起来. 将方程组的解表示为的形式. 要用“{ ”将未知数的值联立起来. 【知识点06】用加减消元法解二元一次方程组 1.加减消元法：把方程组的两个方程（或先做适当变形）的左、右两边分别相加或相减，消去其中一个未知数，从而把解二元一次方程组转化为解一元一次方程.这种解方程组的方法叫作加减消元法，简称加减法. 2.用加减消元法解二元一次方程组的一般步骤 步骤 具体做法 目的 注意 ①变形 根据绝对值较小的未知数（同一个未知数）的系数的最小公倍数，将方程的两边都乘适当的数. 使两个方程中某一个未知数的系数相等或互为相反数. （1） 选准消元对象：当某未知数的系数相等或互为相反数或存在整数倍关系时选择消去该未知数； （2） 方程两边同乘某个数时，不要漏乘. ②加减 当其中一个未知数的系数相等时，将两个方程相减；当其中一个未知数的系数互为相反数时，将两个方程相加. 消去一个未知数，将二元一次方程组转化为一元一次方程. （1） 加减前，应将对应未知数对齐再加减,若一个方程缺少某一项时，将该项看作0，再对齐加减; （2） 一定要把两个方程两边分别相加减. ③求解 解消元后得到的一元一次方程. 求出一个未知数的值. ④回代 把求得的未知数的值代入方程组中某个方程中. 求出另一个未知数的值. 回代时选择系数的绝对值较小的方程. ⑤写解 把两个未知数的值联立起来. 将方程组的解表示为 的形式. 要用“{ ”将未知数的值联立起来. 【知识点07】三元一次方程组的概念 1.三元一次方程组：把含有三个未知数的三个一次方程联立在一起，就组成了一个三元一次方程组. 2.三元一次方程组必须同时满足三个条件：（1）方程组中一共含有三个未知数；（2）含有未知数的项的次数都是1；（3）方程组中的每个方程都是整式方程. 【知识点08】解三元一次方程组 1.解三元一次方程组的基本思路：通过代入消元法或加减消元法消去一个未知数，就可以把解三元一次方程组转化为解二元一次方程组，进而转化为解一元一次方程. 2.解三元一次方程组的一般步骤 （1）消元:利用代入消元法或加减消元法消去一个未知数，得到关于另外两个未知数的二元一次方程组. （2）求解:解这个二元一次方程组，求出两个未知数的值. （3）回代:将求得的未知数的值代入原方程组中含有最后一个未知数的方程中，得到一个一元一次方程. （4）求解:解这个一元一次方程，求出最后一个未知数的值. （5）写解:将求得的三个未知数的值用“{”联立起来，就是原三元一次方程组的解. 【知识点09】列二元一次方程组解应用题 列二元一次方程组解应用题的一般步骤 （1）审：仔细审题，弄清题目中的已知量与未知量. （2）找：找出能够表达应用题全部含义的两个等量关系. （3）设：设出两个未知数，用未知数或含未知数的代数式表示出其他量. （4）列：根据找出的两个等量关系，列出二元一次方程组. （5）解：解这个二元一次方程组，求出未知数的值. （6）验：检验所求得的结果是否符合题意及实际意义. （7）答：写出答案. 【题型一】二元一次方程的定义 1．（25-26七年级下·江苏无锡·期中）下列是二元一次方程的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】二元一次方程的定义 【分析】根据含有两个未知数，并且所含未知数的项的次数都是的整式方程叫做二元一次方程，逐项判断即可 【详解】选项A：不是方程，故不符合题意； 选项B：，含未知数的项次数为，不是二元一次方程，故不符合题意； 选项C：，分母中含有未知数，不是整式方程，即不是二元一次方程，故不符合题意； 选项D：，是二元一次方程，故符合题意． 2．（25-26七年级下·江苏扬州·期中）已知方程是关于x、y的二元一次方程，则的值为____． 【答案】0 【知识点】二元一次方程的定义 【分析】根据二元一次方程的定义，可知含未知数的项的次数为，且含未知数的项的系数不为，据此求出与的值，再代入计算即可． 【详解】解：方程是关于，的二元一次方程， ， 解得， ． 【题型二】二元一次方程的解 3．（25-26七年级下·江苏盐城·期中）若是关于x、y的二元一次方程的解，则a的值为（   ） A． B． C．3 D．5 【答案】D 【知识点】二元一次方程的解 【详解】解：将代入方程， 得， 解得 4．（25-26七年级下·江苏宿迁·期中）已知是关于x，y的方程的一组解，则m的值为______． 【答案】3 【知识点】二元一次方程的解 【分析】把代入，即可求解． 【详解】解：∵是关于x，y的方程的一组解， ∴， 解得：． 5．（24-25七年级下·江苏连云港·期中）某商店需要购进甲、乙两种商品两种商品均购进，其进价和销售价如表所示： 甲 乙 进价（元/件） 120 150 售价（元/件） 135 180 (1)若商店计划购进甲、乙两种商品共30件，销售后利润600元，甲、乙两种商品分别购进多少件？ (2)若商店计划购进甲、乙两种商品，正好用去1800元，求甲、乙两种商品购进件数的所有方案． 【答案】(1)20件，10件 (2)购进10件甲种商品，4件乙种商品；购进5件甲种商品，8件乙种商品 【知识点】销售盈亏(一元一次方程的应用)、二元一次方程的解 【分析】本题考查了一元一次方程和二元一次方程的应用，解题的关键是读懂题意，找到等量关系列出方程． （1）设甲种商品购进x件，则乙种商品购进件，根据题意列出方程求解即可； （2）设购进m件甲种商品，n件乙种商品，根据题意列出二元一次方程求解即可． 【详解】（1）解：设甲种商品购进x件，则乙种商品购进件， 根据题意得：， 解得：， （件） 答：甲种商品购进20件，乙种商品购进10件； （2）设购进m件甲种商品，n件乙种商品， 根据题意得：， ， 又，n均为正整数， 或， 该商店共有2种进货方案， 方案1：购进10件甲种商品，4件乙种商品； 方案2：购进5件甲种商品，8件乙种商品． 【题型三】判断是否是二元一次方程组 6．（25-26七年级下·江苏无锡·期中）下列方程组中，是二元一次方程组的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】判断是否是二元一次方程组 【分析】方程组中两个方程应共含有两个未知数，且含未知数的项的次数都是1，方程的两边都是整式，那么这样的方程组叫做二元一次方程组，据此逐一判断即可． 【详解】解：A、方程组中含有三个未知数，不是二元一次方程组，不符合题意； B、方程组是二元一次方程组，符合题意； C、方程组中方程中含未知数的项的次数不是1，不是二元一次方程组，不符合题意； D、方程组中方程不是整式方程，不是二元一次方程组，不符合题意； 7．（22-23七年级下·江苏·周测）下列方程组，其中是二元一次方程组的有________（填序号） ①②  ③   ④． 【答案】①③/③① 【知识点】判断是否是二元一次方程组 【分析】根据二元一次方程组的定义，即可求解． 【详解】解：二元一次方程组有①③． 故答案为：①③ 【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的定义，熟练掌握组成二元一次方程组应共含有两个未知数，且未知数的项最高次数都应是一次的整式方程是解题的关键． 【题型四】判断是否是二元一次方程组的解 8．（24-25七年级下·江苏无锡·期中）表1为二元一次方程的部分解，表2为二元一次方程的部分解，则方程组的解为 （   ） 表1 x 1 2 y 1 表2 x 0 1 2 y 0 A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】判断是否是二元一次方程组的解 【分析】本题考查了二元一次方程组的解，掌握二元一次方程组的解的定义是解题的关键．根据二元一次方程组的解的定义，从表格中找到答案即可． 【详解】解：由表格可知，，是二元一次方程的解，，是二元一次方程的解， 关于，的二元一次方程组的解为． 故选：C． 9．若关于x，y的二元一次方程组的解为，则这个方程组可以是________． 【答案】（答案不唯一） 【知识点】判断是否是二元一次方程组的解 【分析】本题考查了以解为条件构造方程组，熟练掌握方程组的意义是解题的关键． 以x，y为主元素，任意构造即可． 【详解】解：二元一次方程组的解为的方程组有无数个， 如： 故答案为：（答案不唯一）． 【题型五】已知二元一次方程组的解求参数 10．（25-26七年级下·江苏无锡·期中）已知关于的二元一次方程组的解为，则代数式的值是（　　） A． B．2 C．3 D． 【答案】B 【知识点】已知二元一次方程组的解求参数 【分析】把代入方程组，得出关于、的方程组，求出方程组的解即可． 【详解】解：把代入方程组， 得：， 解得：， ． 11．（25-26七年级下·江苏泰州·期中）已知（m为常数）是方程组的解，则关于x，y的二元一次方程“☆”可以是________．（写出一个即可） 【答案】（答案不唯一） 【知识点】已知二元一次方程组的解求参数 【分析】本题考查二元一次方程组的解的定义，先代入计算得的值，设☆为：，将代入得关系式，最后选取数值得到方程． 【详解】解：将代入， 得：， 解得：， 设☆为：（不全为0）， 将代入，得：， 只要满足上述关系且即可， 令， 则， 则此时的方程为：． 12．（22-23七年级下·江苏盐城·阶段检测）若关于、的二元一次方程组的解满足，求的值． 【答案】 【知识点】二元一次方程的解、已知二元一次方程组的解求参数 【分析】根据联立，求得，，代入，即可求解． 【详解】解：依题意，得 ，解得：，                                                     代入， 得，                   解得：． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的解，解二元一次方程组的应用，求得x，y的值是解题关键． 【题型六】代入消元法 13．（25-26七年级下·江苏盐城·期中）对于二元一次方程组，将①式代入②式，消去y可以得到（    ） （    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】代入消元法 【分析】将①式中的表达式代入②式，展开整理即可得到结果． 【详解】解：将 ①式代入②式， 得， 展开得 ． 14．（25-26七年级下·江苏南京·期中）已知二元一次方程，用含的代数式表示，则________． 【答案】/ 【知识点】代入消元法 【分析】将原方程移项，用含x的代数式表示y即可． 【详解】解：， 移项变形，可得． 15．（24-25七年级下·江苏扬州·月考）用适当的方法解下列方程组： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)． 【知识点】代入消元法 【分析】此题考查解二元一次方程组，熟练掌握解方程组的解法是解题的关键： （1）利用代入消元法解方程组； （2）利用代入消元法解方程组即可． 【详解】（1）解： 将①代入②得，， 解得， 将代入①得，， ∴方程组的解为； （2）解： 由①得，， 将③代入②得 解得， 将代入③得 ∴方程组的解为． 【题型七】加减消元法 16．（24-25七年级下·江苏淮安·期中）下列四组数值中，是二元一次方程组的解的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】加减消元法 【分析】本题考查解二元一次方程组，利用加减消元法求出方程组的解，进行判断即可． 【详解】解： ，得：，解得：； ，得：，解得：； ∴； 故选D． 17．（25-26七年级下·江苏盐城·期中）如果x，y满足方程组，那么的值是________． 【答案】6 【知识点】加减消元法 【分析】本题考查二元一次方程组的加减消元法，通过将方程组中两个方程相加可直接得到所求代数式的值． 【详解】解： 由可得： ， 整理得 ． 18．（25-26七年级下·江苏无锡·期中）解下列方程组： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【知识点】加减消元法 【分析】（1）利用加减消元法求解即可； （2）利用加减消元法求解即可． 【详解】（1）解： ①②得， 解得： 将代入①得， 解得： ∴方程组的解为： （2）解： ②①得， 解得： 将代入①得， 解得： ∴方程组的解为： 【题型八】二元一次方程组的特殊解法 19．（24-25七年级下·江苏苏州·期末）若方程组的解是，则方程组的解是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】二元一次方程组的特殊解法 【分析】本题主要考查二元一次方程组的解，理解题意，掌握二元一次方程组的解是关键． 通过比较系数法，将新方程组与原方程组的解结合，利用已知解代入变形后的方程，解出未知数． 【详解】解：已知原方程组的解为，，代入得： ， 将新方程组中的和替换为和，得： ， 比较左右两边、和、的系数，得： ，， 解得，． 20．（25-26七年级下·江苏连云港·期中）已知方程组，则的值为______． 【答案】3 【知识点】二元一次方程组的特殊解法 【分析】两式相加，整体求出的值即可． 【详解】解：， ①+②得：， 整理得：，解得：． 21．（24-25七年级下·江苏盐城·期中）若关于的二元一次方程组，满足，求的值． 【答案】3 【知识点】二元一次方程组的特殊解法 【分析】利用整体思想表示，结合已知，构造方程解答即可． 本题考查了整体思想解方程组，解方程，熟练掌握运算是解题的关键． 【详解】解：由，两式相减，得， 又， 故， 解得． 【题型九】二元一次方程组的错解复原问题 22．解方程组时，甲同学正确解得，乙同学因把c写错而得到，则______，_____，________． 【答案】 【知识点】二元一次方程组的错解复原问题 【分析】把甲乙两同学的结果代入方程组第一个方程计算求出a与b的值，把甲结果代入第二个方程求出c的值即可． 【详解】解：把与代入ax＋by＝2得：， ①−②×2得：， ①×2＋②×3得：， 把代入cx−7y＝8得：3c−14＝8， 解得：， 故答案为：，，． 【点睛】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法． 23．（25-26七年级下·江苏泰州·期中）甲、乙两人解关于x，y的方程组，甲看错方程“”中的a，得到方程组的解为；乙看错方程“”中的b，得到方程组的解为，求的值． 【答案】2 【知识点】二元一次方程组的错解复原问题、已知字母的值 ，求代数式的值 【分析】根据题意可知，甲所得的方程组的解满足方程，乙所得的方程组的解满足方程，分别把甲、乙所得的方程组的解代入方程和方程中求出的值即可得到答案． 【详解】解：∵甲看错方程“”中的a，得到方程组的解为， ∴满足题中的方程， ， 解得：， ∵乙看错方程“”中的b，得到方程组的解为， ∴满足题中的方程， ， 解得：， ． 【题型十】构造二元一次方程组求解 24．若，则2x+4y等于（    ） A．3 B． C．0 D．-9 【答案】C 【知识点】构造二元一次方程组求解 【分析】根据非负数的性质列出方程组，解方程组即可求解． 【详解】解：∵， ∴， 解得：， ∴． 故选C． 【点睛】本题考查了非负数的性质，解二元一次方程组，根据题意列出方程组是解题的关键． 25．（25-26七年级下·江苏盐城·期中）已知有理数a，b，c满足，则________． 【答案】1 【知识点】构造二元一次方程组求解 【分析】令，，则，整体代入第一个方程化简求出，进而求出，，然后整体代入第二个方程化简求出，即可求解. 【详解】解：令，，则， 代入第一个方程化简为， ∴， ∴，， 代入第二个方程化简为， ∴， ∴. 26．（23-24七年级下·江苏盐城·月考）在等式y=kx＋b中，当x=5时，y=6；当x=-3时，y=-10．求k，b的值. 【答案】k、b的值为2、-4． 【知识点】构造二元一次方程组求解 【分析】把x与y的值代入y=kx+b中计算即可求出k与b的值． 【详解】解：把x=5，y=6；x=-3，y=-10代入得： ， 解得：， 则k、b的值为2、-4． 【点睛】此题考查了解二元一次方程组，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 【题型十一】已知二元一次方程组的解的情况求参数 27．（24-25七年级下·江苏无锡·月考）已知关于x、y的方程组，则下列结论中正确的是（　　） ①当时，；②当时，方程组的解也是方程的解；③不论a取何值，的值始终不变；④若不论x取何值，的值都为常数，则该常数为． A．①② B．②③ C．①③ D．①②④ 【答案】C 【知识点】已知二元一次方程组的解的情况求参数、二元一次方程的解 【分析】本题主要考查了含字母系数的二元一次方程组， 先用含有a的代数式表示x，y，由可得，求出解判断①；当时，求出x，y,再代入判断②即可；求出得结果，可解答③；将③结果代入得，再根据当时，，此时，然后解答④即可． 【详解】解：， 得：， 代入②得：. 当时，，解得， 所以结论①正确； 当时，， 代入得：， 所以结论②错误； ， 所以无论a取何值，结果恒为7，结论③正确； ，当时，，此时，表达式为：. 但题目要求“不论k取何值”，需满足对任意k成立，此时仅当时成立，但结论④未明确a的取值条件，因此无法保证对所有a成立， 所以结论④错误. 综上，正确的结论为①③． 故选：C． 28．（25-26七年级下·江苏连云港·期中）若关于x，y的方程组的解x，y满足，则k的值为______． 【答案】1 【知识点】已知二元一次方程组的解的情况求参数 【分析】将方程组的两个方程作差，得到关于的表达式，结合已知条件建立一元一次方程，即可求解的值． 【详解】解：， 得：， 化简得：， ， ， 解得． 29．（24-25七年级下·江苏扬州·期末）已知关于，的二元一次方程组的解满足，求的值． 【答案】 【知识点】加减消元法、已知二元一次方程组的解的情况求参数 【分析】本题考查了利用加减消元法求代数式的值，掌握利用加减消元法整体求值的思路是解题的关键． 将两个方程相加，整理得，再结合题中条件求的值． 【详解】解：将两方程相加得， 整理得， 由题知， ， 解得． 【题型十二】方程组相同解问题 30．（23-24七年级下·江苏无锡·月考）已知关于x，y的方程组的解和的解相同，则（a+b）2007的值为（    ） A．-2007 B．-1 C．2007 D．1 【答案】D 【知识点】加减消元法、方程组相同解问题 【分析】根据题意求得方程组的解，继而代入，求得的值，代入代数式即可求解． 【详解】解：， ①+②得， 解得， 将代入①得， 解得， ∴， 将代入得， 解得， ∴． 故选D 【点睛】本题考查了二元一次方程组的解，解二元一次方程组，掌握加减消元法是解题的关键． 31．（22-23七年级下·江苏南通·月考）已知两个关于 ， 的二元一次方程组 与 有相同的解，则______． 【答案】3 【知识点】方程组相同解问题 【分析】解方程组，求出的值，再代入方程中，求出的值即可． 【详解】解：已知方程组和方程组的解相同， 把两个方程组中的不含方程联立得：， 解得，， 把代入得， ∴， 故答案是：3． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的同解问题和解二元一次方程组，解题关键是将两个不含的方程联立得到新的方程组，并求出未知数的值． 32．（24-25七年级下·江苏淮安·月考）关于，的方程组与有相同的解，求，的值． 【答案】 【知识点】方程组相同解问题、加减消元法 【分析】本题主要考查了同解方程组．根据同解方程组可得方程组，可求出，再带入，即可求解． 【详解】解：∵方程组与有相同的解， ∴， 解得：， 把代入，得： ， 解得：． 【题型十三】三元一次方程组的定义及解 33．解方程组如果要使运算简便，那么消元时最好应（    ） A．先消去x B．先消去y C．先消去z D．先消常数项 【答案】B 【知识点】三元一次方程组的定义及解 【分析】观察发现，未知数y的系数具有相同，或互为相反数，从而可确定先消去y． 【详解】解：观察未知数的系数特点发现： 未知数y的系数要么相等，要么互为相反数， 所以要使运算简便，那么消元时最好应先消去y， 故选B 【点睛】本题考查的是解方程组时，消元的技巧，掌握“根据相同未知数的系数特点进行消元”是解本题的关键． 34．（24-25七年级下·江苏扬州·月考）小川同学在学习方程过程中发现，三元一次方程组解不出x、y、z的具体数值，但可以解出的值为________． 【答案】 【知识点】三元一次方程组的定义及解 【分析】本题主要考查解三元一次方程组，直接把两个方程相加即可得出的值. 【详解】解：， 得：， ∴， 故答案为：4 35．（25-26七年级下·江苏南京·期中）解方程组： (1) (2)请利用解二元一次方程组的经验，解三元一次方程组 【答案】(1) (2) 【知识点】加减消元法、三元一次方程组的定义及解、代入消元法 【详解】（1）解：，得： ③ ，得：， 解这个方程，得：， 把代入①，得：， 因此，这个方程组的解是：； （2）解：，得：④ ，得：⑤ 联立④、⑤得：， 解这个方程组，得：， 把代入③，得：， 因此，这个方程组的解是：． 【题型十四】三元一次方程组的应用 36．（22-23七年级下·江苏镇江·月考）某学校体育社团准备采购一批体育用品奖给学生，到了文具店发现广告上写着优惠活动如下：3根跳绳，5个乒乓球和一个羽毛球共16元；2根跳绳，3个乒乓球和一个羽毛球共12元；王老师马上想到：5根跳绳，9个乒乓球和一个羽毛球共需（    ）元 A．28 B．24 C．20 D．18 【答案】B 【知识点】三元一次方程组的应用 【分析】设x根跳绳，y个乒乓球，z个羽毛球，根据已知条件列出方程组，利用加减法分别求出，，再将拆分成，代入计算即可． 【详解】解：设每根跳绳x元，每个乒乓球y元，每个羽毛球z元， 由题意可得：， 得：， ∴， 得：， ∴， 故选B． 【点睛】本题考查了三元一次方程组的应用，解题的关键是灵活运用加减消元法，整体思想较为明显． 37．（2024七年级下·江苏南京·期末）小华同学购买量角器、铅笔、橡皮3种学习用品，购买件数和用钱总数如下表： 量角器 铅笔 橡皮 总钱数（元） 第一次购买件数 1 7 3 24 第二次购买件数 1 10 4 33 则购买量角器、铅笔、橡皮各一件共需_________元钱． 【答案】6 【知识点】三元一次方程组的应用 【分析】本题考查了三元一次方程组的应用，根据：量角器铅笔橡皮元；量角器铅笔橡皮元，列方程组求解即可． 【详解】解：设购买一个量角器x元，一支铅笔y元，一块橡皮z元， 根据题意，得， ，得， ，得， ∴购买量角器、铅笔、橡皮各一件共需6元钱， 故答案为：6． 38．（2023七年级下·江苏·专题练习）某足球联赛一个赛季共进行场比赛（即每队赛场），已知胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分，某队在这个赛季中平局的场数比负的场数多7场，结果共得分，这个队在这个赛季中胜，平，负各多少场？ 【答案】胜、平、负的场数分别是7场、场、6场 【知识点】三元一次方程组的应用 【分析】设这个队胜、平、负场数分别为x场，y场，z场，根据“共进行场比赛”可得第一个方程，根据“平局的场数比负的场数多7场”可得第二个方程，根据“共得分”可得第三个方程，然后解方程组即可． 【详解】解：设这个队在这个赛季中胜、平、负场数分别为x场，y场，z场， 可列方程组：， 解三元一次方程组得：． 答：这个队在这一赛季中胜、平、负的场数分别是7场、场、6场． 【点睛】本题主要考查了三元一次方程组的应用，找出等量关系式是解题的关键． 【题型十五】根据实际问题列二元一次方程组 39．（2025·江苏宿迁·中考真题）《九章算术》中记载：“今有牛五、羊二，值金十两；牛二、羊五，值金八两．问牛羊各值金几何？”译文：“今有牛5头，羊2头，共值金10两；牛2头，羊5头，共值金8两．问牛羊每头各值金多少？”若设牛每头值金两，羊每头值金两，则可列方程组是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】根据实际问题列二元一次方程组 【分析】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．因为每头牛值金两，每头羊值金两，根据“牛5头，羊2头，共值金10两；牛2头，羊5头，共值金8两”，即可得出关于x、y的二元一次方程组，此题得解． 【详解】解：由“牛5头，羊2头，共值金10两”可得， 由“牛2头，羊5头，共值金8两”可得， 因此可列方程组， 故选D． 40．（24-25七年级下·江苏徐州·期中）红圆珠笔每支0.7元，蓝圆珠笔每支1.2元，两种圆珠笔共买了15支，共花了19元，如果设买红圆珠笔x支，蓝圆珠笔y支，列出的关于x，y的二元一次方程组是______． 【答案】 【知识点】根据实际问题列二元一次方程组 【分析】此题考查二元一次方程组的实际应用，注意审题，根据题中的数量关系式可列出两个方程． 红色圆珠笔数量+蓝色圆珠笔数量总的15支圆珠笔，红色圆珠笔的钱数+蓝圆珠笔的钱数总钱数19元，根据这两个数量关系式可列出两个方程． 【详解】解：根据题意得：． 故答案为：． 41．（24-25七年级下·江苏南京·期中）某校计划创建大小图书角共20个，现有图书3200册，其中每个小图书角需图书100册，每个大图书角需图书250册，问该校创建的大小图书角分别有多少个？ (1)小亮根据题意，列出方程组，请分别指出未知数表示的意义： 表示__________，表示__________ (2)小丽“设该校创建的大图书角个，小图书角个”，请按照小丽的思路列出方程组，并求的值． 【答案】(1)大图书角所需的图书数量，小图书角所需的图书数量 (2)见解析 【知识点】加减消元法、根据实际问题列二元一次方程组 【分析】本题考查二元一次方程组的实际应用，找准等量关系，正确的列出方程组是解题的关键： （1）根据所列方程组，得到未知数表示的意义即可； （2）根据大小图书角共20个，有图书3200册，列出方程组进行求解即可． 【详解】（1）解：由所列方程组可知：表示大图书角所需的图书数量，表示小图书角所需的图书数量； （2）由题意，得：， 解得：． 【题型十六】根据几何图形列二元一次方程组 42．如图，8个大小相同的小长方形可拼成2个大矩形，拼成图②时，中间留下了一个边长为1的小正方形，则每个小长方形的面积是（      ） A．12 B．15 C．18 D．21 【答案】B 【知识点】根据几何图形列二元一次方程组 【分析】设小矩形的长为x，宽为y，观察两个大矩形，找出关于x、y的二元一次方程组，解之即可得出x、y的值，再利用矩形的面积公式即可求出每个小矩形的面积． 【详解】解：设小矩形的长为x，宽为y， 根据题意得：， 解得：， ∴． 故选：B． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 43．（22-23七年级下·江苏南通·月考）如图，炳同学将边长为的两个正方形靠边各放置两个边长为的长方形，然后分别以为边长构造两个大正方形，根据图中的数据，可求得的值是_______．    【答案】75 【知识点】根据几何图形列二元一次方程组 【分析】由正方形的性质可得，再消去，，建立一元一次方程即可. 【详解】解：由题意可得：， 整理可得：， ∴， ∴， 解得：； 故答案为： 【点睛】本题考查的是二元一次方程组的应用，熟练的利用图形性质建立方程组是解本题的关键. 【题型十七】方案问题(二元一次方程组的应用) 44．（22-23七年级下·江苏徐州·期末）“母亲节”当天，小明去花店为妈妈选购鲜花，若康乃馨每枝2元，百合每枝3元，小明计划用30元购买这两种鲜花（两种都买），则不同的购买方案共有（    ） A．3种 B．4种 C．5种 D．6种 【答案】B 【知识点】方案问题(二元一次方程组的应用) 【分析】设可以购买x支康乃馨，y支百合，根据总价=单价×数量，即可得出关于x，y的二元一次方程，结合x，y均为正整数即可得出小明有4种购买方案． 【详解】解：设可以购买x支康乃馨，y支百合， 依题意，得：， ∴． ∵x，y均为正整数， ∴或或或， ∴小明有4种购买方案． 故选：B． 【点睛】本题考查了二元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程是解题的关键． 45．（23-24七年级下·江苏南通·月考）某班级为筹备运动会，准备用350元购买两种运动服，其中甲种运动服20元/套，乙种运动服35元/套，在钱都用尽的条件下，有______种购买方案． 【答案】两 【知识点】方案问题(二元一次方程组的应用) 【分析】本题考查二元一次方程的应用．设甲种运动服买了x套，乙种买了y套，根据准备用350元购买两种运动服，其中甲种运动服20元/套，乙种运动服35元/套，在钱都用尽的条件下可列出方程，且根据x，y为正整数可求出解． 【详解】解：设甲种运动服买了x套，乙种买了y套， ， 得， ∵x，y必须为正整数， ∴，即， ∴当时，；当时，； 所以有两种方案． 故答案为：两． 46．（24-25七年级下·江苏淮安·月考）某学校组织学生到郊外参加义务植树活动，并准备了A，B两种食品作为午餐．这两种食品每包质量均为，其营养成分表如下： (1)若每份午餐需要恰好摄入热量和蛋白质，应选用A，B两种食品各多少包？ (2)考虑到健康饮食的需求，若每份午餐需选用这两种食品共8包，并保证每份午餐中的蛋白质含量不低于，且总热量不超过．请通过计算，求出共有多少种符合要求的配餐方案． 【答案】(1)应选用A种食品3包，B种食品2包 (2)共有2种配餐方案：A种食品7包，B种食品1包和A种食品8包，B种食品0包 【知识点】方案问题(二元一次方程组的应用)、一元一次不等式组的其他应用 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式组的应用，列出方程组和不等式组是解题的关键； （1）设应选用A种食品x包，B种食品y包，根据每份午餐需要恰好摄入热量和蛋白质，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设选用A种食品m包，则选用B种食品包，根据要保证每份午餐中的蛋白质含量不低于，且总热量不超过，可列出关于m的一元一次不等式组，解之可得出m的取值范围，再结合m为正整数，即可得出各配餐方案． 【详解】（1）解：设应选用A种食品x包，B种食品y包， 由题意得， 解得， 即应选用A种食品3包，B种食品2包； （2）解：设选用A种食品m包，则选用B种食品包， 根据题意得：， 解得：， 又m为正整数， ∴， ∴共有2种配餐方案：A种食品7包，B种食品1包和A种食品8包，B种食品0包． 【题型十八】行程问题(二元一次方程组的应用) 47．甲乙两人练习跑步，若乙先跑10m，则甲5s就可以追上乙；若乙先跑2s，则甲4s就可以追上乙，若设甲的速度x m/s，乙的速度y m/s，则（ ） A．x=4，y=6 B．x=6，y=4 C．x=3，y=5 D．x=5，y=3 【答案】B 【知识点】行程问题(二元一次方程组的应用) 【分析】根据题意：乙先跑10m，则甲5s就可以追上乙；乙先跑2s，则甲4s就可以追上乙，若设甲的速度x m/s，乙的速度y m/s，结合“甲跑的路程等于乙跑的路程”，即可联立方程组，解出即可． 【详解】解：∵甲的速度x m/s，乙的速度y m/s， 根据题意，可得， 解得：． 故选：B 【点睛】本题考查了二元一次方程组的实际应用问题，解本题的关键在正确找出等量关系． 48．（22-23七年级下·江苏镇江·期末）某校组织学生乘汽车去自然保护区野营．汽车先以的速度走平路，后又以的速度爬坡，共用了；返回时，汽车以的速度下坡，又以的速度走平路，共用了．则学校距自然保护区_____________． 【答案】270 【知识点】行程问题(二元一次方程组的应用) 【分析】设从学校到自然保护区平路长，坡路长，根据时间=路程÷速度结合“先以的速度走平路，后又以的速度爬坡，共用了；返回时，汽车以的速度下坡，又以的速度走平路，共用了”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之再代入中即可求出结论． 【详解】解：设从学校到自然保护区平路长，坡路长，依题意，得： ， 解得：， ∴． 所以，从学校到自然保护区共， 故答案为：270． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 49．（24-25七年级下·江苏徐州·月考）小红和姐姐相距．如果她们同时出发且相向而行，那么经过两人相遇；如果她们同向而行，且姐姐比小红先出发，那么在小红出发后姐姐追上小红．小红、姐姐的平均速度分别是多少？ 【答案】， 【知识点】行程问题(二元一次方程组的应用) 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及数学常识，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．设小红的平均速度是，姐姐的平均速度是，根据如果她们同时出发且相向而行，那么经过两人相遇，可列出方程；根据如果她们同向而行，且姐姐比小红先出发，那么在小红出发后姐姐追上小红，可列出方程；组成二元一次方程组，解方程组即可． 【详解】解：设小红的平均速度是，姐姐的平均速度是， 由题意，得 解得 答：小红的平均速度是，姐姐的平均速度是． 【题型十九】数字问题(二元一次方程组的应用) 50．（22-23七年级下·江苏连云港·月考）有一个两位数，它的十位数字与个位数字之和为5，则符合条件的两位数有（    ） A．4个 B．5个 C．6个 D．7个 【答案】B 【知识点】数字问题(二元一次方程组的应用) 【分析】设出它的个位数和十位数．然后根据“它的十位数字与个位数字之和为5”列出方程，分析它解的情况． 【详解】设这个数的个位为，十位为且．则． 当时，，这时这个数是； 当时，，这时这个数是； 当时，，这时这个数是； 当时，，这时这个数是； 当时，，这时这个数是． 因此符合条件的两位数有5个． 故选：B． 【点睛】此题考查了二元一次方程的应用，本题要根据题目给出的条件列出方程，然后分别进行讨论，然后看符合条件的答案有几个． 51．（22-23七年级下·江苏扬州·期末）小凡出门前看了下智能手表上的运动APP，发现步数计数是一个两位数，步行下楼后发现十位数字与个位上数字互换了，到小区门口时，发现步数计数比下楼后看到的两位数中间多了个1，且从出门到小区门口共走了586步，则出门时看到的步数是______． 【答案】26 【知识点】数字问题(二元一次方程组的应用) 【分析】设出门时看到的步数的十位数字为x，个位数字为y，根据从出门到小区门口共走了586步，可列出关于x，y的二元一次方程，结合x，y均为一位正整数，即可得出x，y的值，再将其代入中，即可求出结论． 【详解】设出门时看到的步数的十位数字为x，个位数字为y， 根据题意得：， ∴. 又∵x,y均为一位正整数， ∴， ∴， 即出门时看到的步数是． 故答案为：． 【点睛】本题考查了二元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程是解题的关键． 52．（23-24七年级上·江苏·周测）一个两位数，个位上的数字与十位上的数字的和为，若把个位上的数字与十位上的数字对调，则所得的数比原数的倍小，求原来的两位数． 【答案】原来的两位数是． 【知识点】数字问题(二元一次方程组的应用) 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，读懂题意，找到合适的等量关系，列出方程组，是解答本题的关键． 根据题意设个位数字为，十位数字为，利用已知条件列出二元一次方程组，由此得到答案． 【详解】解：根据题意设： 个位数字为，十位数字为， ， 解得：， 原来的两位数为：， 答：原来的两位数是． 【题型二十】年龄问题(二元一次方程组的应用) 53．（22-23七年级下·江苏宿迁·期末）爸爸、妈妈、我、妹妹，四人今年的年龄之和是101岁，爸爸比妈妈大1岁，我比妹妹大6岁，十年前，我们一家的年龄之和是63岁，今年爸爸的年龄是（    ） A．38岁 B．39岁 C．40岁 D．41岁 【答案】C 【知识点】年龄问题(二元一次方程组的应用) 【分析】由题意得：妹妹今年的年龄为8岁，我今年的年龄为14岁，设妈妈今年的年龄为x岁，爸爸今年的年龄为y岁，再由题意：一家四口人的年龄加在一起是101岁，爸爸比妈妈大1岁，列出方程组，解方程组即可． 【详解】解：现在一家四口人的年龄之和应该比十年前全家人年龄之和多40岁， 但实际上（岁），说明十年前妹妹没出生， 则妹妹今年的年龄为（岁），我的年龄为（岁）， 设妈妈今年的年龄为x岁，爸爸今年的年龄为y岁， 由题意得：， 解得：， 即爸爸今年的年龄为40岁， 故选：C． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 54．（2024·江苏无锡·一模）一天，小民去问爷爷的年龄，爷爷说：“我若是你现在这么大，你还要40年才出生呢，你若是我现在这么大，我已经是老寿星了，125岁了，哈哈！”请你写出小民爷爷到底是___岁． 【答案】70 【知识点】年龄问题(二元一次方程组的应用) 【分析】设爷爷是x岁，小民是y岁，根据题意描述的关系，得出二元一次方程组，求解即可． 【详解】设爷爷现在x岁，小民现在y岁， 根据题意：， 解得：， 故答案为：70． 【点睛】本题考查二元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题关键． 55．今年（2022年）4月20日，是云大附中建校95周年暨云大附中恢复办学40周年校庆日，我校初一年级数学兴趣小组的小明同学发现这样一个有趣的巧合；小明的爸爸和爷爷都是云附的老校友，且爸爸和妹妹的年龄差恰好与爷爷和小明的年龄差的和为95，而爸爸的年龄恰好比爷爷的年龄小40．已知小明今年13岁，妹妹今年4岁． (1)求今年小明的爸爸和爷爷的年龄分别是多少岁？（要求用二元一次方程组解答） (2)假如小明的爸爸和爷爷都是15岁初中毕业的，请问小明的爸爸和爷爷分别是哪一年毕业的云附学子？ 【答案】(1)爸爸36岁，爷爷76岁 (2)爸爸是2001年毕业，爷爷是1961年毕业的云附学子 【知识点】年龄问题(二元一次方程组的应用) 【分析】（1）设今年小明的爸爸x岁，爷爷y岁，根据“爸爸和妹妹的年龄差恰好与爷爷和小明的年龄差的和为95，而爸爸的年龄恰好比爷爷的年龄小40”列出二元一次方程组求解即可． （2）用现在年份减去年龄加15即可得到答案． 【详解】（1）设今年小明的爸爸x岁，爷爷y岁． ． 解得： 答：今年小明的爸爸36岁，爷爷76岁； （2）（年） （年） 小明的爸爸是2001年毕业，爷爷是1961年毕业的云附学子． 【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的应用，正确找出等量关系是解答本题的关键． 【题型二十一】分配问题(二元一次方程组的应用) 56．明代数学家程大位所著的《算法统宗》中有这样一道题：有83000根短竹，每根短竹可制成毛笔的笔管3个或笔套5个，怎样安排用于制作笔管或笔套的短竹的数量，使制成的1个笔管与1个笔套正好配套？设用于制作笔管的短竹数为x根，用于制作笔套的短竹数为y根，可列方程组为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】分配问题(二元一次方程组的应用) 【分析】设用于制作笔管的短竹数为x根，用于制作笔套的短竹数为y根，由题意得，进而可得答案． 【详解】解：设用于制作笔管的短竹数为x根，用于制作笔套的短竹数为y根， 由题意得． 故选：D． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用．解题的关键在于理解题意列方程组． 57．（23-24七年级下·江苏南通·阶段检测）我校在举办“书香文化节”的活动中，将x本图书分给了y名学生，若每人分6本，则剩余40本；若每人分8本，则还缺50本，则_______． 【答案】310 【知识点】分配问题(二元一次方程组的应用) 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，正确列出方程组是解题的关键． 根据题意，列出关于图书总数x和学生数y的二元一次方程组，并通过求解方程组得到x的值． 【详解】由题意，得方程组： 解得， 故答案为：310． 58．（23-24七年级·江苏苏州·期中）七年级新生入学，若每间宿舍住 6 名新生，则 30 名新生没宿舍住，若每间住 8 名，则有一间宿舍空闲，有多少名住宿新生？有多少间宿舍？ 【答案】有 144 名住宿新生，19 间宿舍 【知识点】分配问题(二元一次方程组的应用) 【分析】本题主要考查了一元一次方程应用．熟练掌握总人数与每个房间人数和房间数的关系，列方程，是解题的关键． 设有 x 间宿舍，根据每间宿舍住 6 名新生，则 30 名新生没宿舍住，若每间住 8 名，则有一间宿舍空闲，列方程解答． 【详解】解：设有 x 间宿舍， 根据题意得：， 解得：， ∴． 答：有 144 名住宿新生，19 间宿舍． 【题型二十二】销售、利润问题(二元一次方程组的应用) 59．某商店换季准备打折出售，若按照原售价的八折出售，将亏损20元，而按原售价的九折出售，将盈利10元，则该商品的成本为（        ） A．230元 B．250元 C．260元 D．300元 【答案】C 【知识点】销售、利润问题(二元一次方程组的应用) 【分析】设该商品的原售价为x元，根据成本不变列出方程，求出方程的解，然后再由打折即可得到结果． 【详解】解：设该商品的原售价为x元， 根据题意得：， 解得：， 则该商品的原售价为300元． 该商品的成本为：， 故选：C． 【点睛】此题考查了一元一次方程的应用，弄清题中的等量关系是解本题的关键． 60．（23-24七年级下·江苏南通·期末）有甲、乙两种商品，若购甲2件、乙1件共需120元，若购甲1件、乙2件共需180元，则购甲、乙两种商品各1件共需______元． 【答案】100 【知识点】销售、利润问题(二元一次方程组的应用) 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程组．根据题意，可以列出相应的二元一次方程组，然后观察方程组的特点和所求问题，只要将两个方程相加，再除以3，即可求得购甲、乙两种商品各1件共需的钱数． 【详解】解：设购甲种商品每件元，乙种物品每件元， 由题意可得：， ①②，得：， ， 即购甲、乙两种商品各1件共需100元， 故答案为：100． 61．（2025·江苏南京·中考真题）某商店销售两种饮料，A饮料“满三免一”（即每买3杯只需付2杯的钱），B饮料满5杯按8折销售．小丽买了A，B饮料各1杯，用了元；小明买了3杯A饮料和5杯B饮料，用了元．A，B两种饮料每杯分别是多少元？ 【答案】A饮料每杯元，B饮料每杯8元 【知识点】销售、利润问题(二元一次方程组的应用) 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．设每杯饮料元，每杯饮料元，根据“小丽买了，饮料各1杯，用了元；小明买了3杯饮料和5杯饮料，用了元”，可列出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论． 【详解】解：设每杯饮料元，每杯饮料元， 根据题意得：， 解得：． 答：每杯饮料元，每杯饮料8元． 【题型二十三】和差倍分问题(二元一次方程组的应用) 62．用16元钱买了80分、120分的两种邮票共17枚，则买了80分的邮票________枚，120分的邮票________枚． 【答案】 11 6 【知识点】和差倍分问题(二元一次方程组的应用) 【分析】设购买80分的邮票x枚，购买120分的邮票y枚，根据题意列方程组得：，解方程组即可求解． 【详解】解：设购买80分的邮票x枚，购买120分的邮票y枚，根据题意列方程组得： ， 由得：， 代入可得：， 整理可得：， 解得：， 所以． 故答案为：11、6． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的实际应用，解题的关键是准确列出二元一次方程组． 63．（23-24七年级下·江苏宿迁·期末）某校准备成立校足球队，现计划购进一批甲、乙两种型号的足球，已知3个甲种型号足球的价格与2个乙种型号足球的价格之和为900元；如果购买5个甲种型号足球和4个乙种型号足球，一共需花费1600元． (1)求每个甲种型号足球和每个乙种型号足球的价格分别是多少元？ (2)学校计划购买甲、乙两种型号的足球共28个，其中甲种型号足球的个数不少于乙种型号足球的个数，并且学校购买甲、乙两种型号足球的预算资金不超过5000元，求该学校共有几种购买方案？ (3)在（2）的条件下，哪种方案最便宜？ 【答案】(1)每个甲种型号足球的价格是200元，每个乙种型号足球的价格是150元 (2)该学校共有3种购买方案 (3)购买甲种型号足球14个，购买乙种型号足球个，最便宜 【知识点】和差倍分问题(二元一次方程组的应用)、一元一次不等式组的其他应用 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式组的应用，有理数四则运算的实际应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组． （1）设每个甲种型号足球的价格是x元，每个乙种型号足球的价格是y元，根据“3个甲种型号足球的价格与2个乙种型号足球的价格之和为900元；如果购买5个甲种型号足球和4个乙种型号足球，一共需花费1600元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设购买甲种型号足球m个，则购买乙种型号足球个，根据甲种型号足球的个数不少于乙种型号足球的个数且学校购买甲、乙两种型号足球的预算资金不超过5000元，即可得出关于m的一元一次不等式组，解之即可得出m的取值范围，再结合m为整数，即可得出购买方案的个数． （3）根据（2）中方案列式计算比较即可． 【详解】（1）解：设每个甲种型号足球的价格是x元，每个乙种型号足球的价格是y元， 依题意，得：， 解得：． 答：每个甲种型号足球的价格是200元，每个乙种型号足球的价格是150元． （2）解：设购买甲种型号足球m个，则购买乙种型号足球个， 依题意，得：， 解得：． 又∵m为整数， ∴m的值为14，15，16， 答：该学校共有3种购买方案． （3）解：由（2）知： 当购买甲种型号足球14个时，购买乙种型号足球（个），则（元）； 当购买甲种型号足球15个时，购买乙种型号足球（个），则（元）； 当购买甲种型号足球16个时，，购买乙种型号足球（个），则（元）； ， 购买甲种型号足球14个，购买乙种型号足球个，最便宜． 【题型二十四】几何问题(二元一次方程组的应用) 64．（23-24七年级下·江苏连云港·期末）如图，在大长方形中，放入六个相同的小长方形，若，则图中阴影部分的面积为（　　） A．48 B．51 C．55 D．56 【答案】B 【知识点】几何问题(二元一次方程组的应用) 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用。设小长方形的长为x，宽为y，观察图形，根据图中各边之间的关系，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出x，y的值，再利用图中阴影部分的面积大长方形的面积小长方形的面积，即可求出结论． 【详解】解：设小长方形的长为x，宽为y，依题意得： ， 解得：， ∴， ∴图中阴影部分面积是51． 故选：B． 65．（25-26七年级·江苏南通·期末）如图是一个周长为16的长方形ABCD，它恰好可以分割成5个小长方形（分别标记为①，②，③，④，⑤），其中．若⑤为正方形，则②的周长为_____；若①的周长为9.4，则⑤的长与宽之差为______． 【答案】 8 1.4 【知识点】几何问题(二元一次方程组的应用) 【分析】此题考查了二元一次方程的应用，解题的关键是找准等量关系，利用整体代入求值． 设，，，，通过长方形的周长为16，则，求出⑤的长和宽为和，再通过⑤为正方形，即可求解②的周长为；长方形①的周长为9.4，则，得，由⑤的长和宽为和，即可求⑤的长与宽之差． 【详解】解：设，，，， ∵长方形的周长为16， ∴， 则⑤的长和宽为：和， 若⑤为正方形， 则， ∴， ∴， ∴②的周长为， 故答案为：8； ∵①的周长为， ∴， ∵， ∴， ∵⑤的长和宽分别为和， ∴⑤的长与宽之差为， 故答案为：1.4． 66．（24-25七年级下·江苏镇江·期末）如图，在长方形中放置9个形状、大小都相同的小长方形（尺寸如图） (1)求图中9个形状、大小都相同的小长方形的长与宽； (2)求图中阴影部分的面积． 【答案】(1)小长方形的长为10，宽为3 (2)82 【知识点】几何问题(二元一次方程组的应用)、有理数四则混合运算的实际应用 【分析】本题考查的是二元一次方程组的应用； （1）设小长方形的长为，宽为，结合图形性质建立方程组解题即可； （2）利用割补法可得阴影部分的面积等于大的长方形面积减去9个形状、大小都相同的小长方形面积，进一步列式计算即可. 【详解】（1）解：设小长方形的长为，宽为， 根据题意得，解得， 答：小长方形的长为10，宽为3. （2）解：． 【题型二十五】图表信息题(二元一次方程组的应用) 67．工作人员从仓库领取如图①中的长方形和正方形纸板作侧面和底面，做成如图②的竖式和横式的两种无盖纸盒若干个，恰好使领取的纸板用完． 下表是工作人员四次领取纸板数的记录： 日期 正方形纸板（张） 长方形纸板（张） 第一次 562 938 第二次 420 860 第三次 502 1000 第四次 985 2015 仓库管理员在核查时，发现一次记录有误．请问记录有误的是（   ） A．第一次 B．第二次 C．第三次 D．第四次 【答案】C 【知识点】图表信息题(二元一次方程组的应用) 【分析】设做成x个竖式纸盒，y个横式纸盒，由领取的正方形的纸板和长方形的纸板之和应该是5的倍数，可判断第三次记录错误． 【详解】解：设做成x个竖式纸盒，y个横式纸盒， 则需要正方形纸板（x+2y）张，需要长方形的纸板（4x+3y）张， ∴x+2y+4x+3y=5x+5y=5(x+y)， ∴领取的正方形的纸板和长方形的纸板之和应该是5的倍数， ∴第三次记录有误； 故选：C． 【点睛】本题考查了二元一次方程的应用，理解题意，找到正确的数量关系是本题的关键． 68．科技馆门票价格规定如下表． 购票张数 1﹣50张 51﹣100张 100张以上 每张票的价格 15元 12元 10元 某学校七年级①、②两个班共103人去科技馆，其中①班有40多人，不足50人，经计算，如果两个班都以班为单位购票，则一共应付1377元．七年级②班学生有_________人，如果两个班联合起来，作为一个团体购票，可以省_______元． 【答案】 56 347 【知识点】图表信息题(二元一次方程组的应用) 【分析】设七年级②班有x人，七年级①班有y人，由题意：七年级①、②两个班共103人去科技馆，其中①班有40多人，不足50人，经计算，如果两个班都以班为单位购票，则一共应付1377元，列出方程组，解方程组即可，再求出购买103张票的总钱数，即可求解． 【详解】解：设七年级②班有x人，七年级①班有y人， 由题意得：， 解得：， ∴七年级②班有56人， 1377-10×103=347（元）． 即如果两班联合起来，作为一个团体购票，可省347元， 故答案为：56，347． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 69．（23-24七年级下·江苏宿迁·期末）在正方形网格中有9个数，若各行、各列及对角线上的三个数之和都相等，则称此图为“九宫图”． (1)图（甲）就是一个九宫图的一部分，请你求出，的值； (2)已知图（乙）和图（丙）都是不完整的九宫图． 填空：a=______，b=______，c=______； d=______，e=______，f=______． 【答案】(1)x=-1，y=1 (2)0，-1，5；5，4，10 【知识点】三元一次方程组的应用、图表信息题(二元一次方程组的应用) 【分析】（1）根据题意列方程组求解即可； （2）设图乙中三个空格中的数分别为x，y，z，列方程组可求出a，b，c的值；设图丙中三个空格中的数分别为d，e，f的值． 【详解】（1）由题意得 ， 解得 ． （2）设图乙中三个空格中的数分别为x，y，z，由题意得 ， 整理得 ， 解得 ． 故答案为：0，-1，5； 设图丙中三个空格中的数分别为m，n，h，由题意得 ， 整理得 ， 解得 ． 故答案为：5，4，10． 【点睛】本题考查了二元一次方程组和三元一次方程组的应用，根据题意列出方程组是解答本题的关键． 【题型二十六】古代问题(二元一次方程组的应用) 70．（2023七年级下·江苏·专题练习）我国古代数学名著《孙子算经》中记载：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳复量之，不足一尺，木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根木条，绳子剩余4.5尺；将绳子对折再量木条，木条还剩余1尺．木条长多少尺？如果设木条长尺，绳子长尺，那么可列方程组为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】古代问题(二元一次方程组的应用) 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，解题的关键是明确题意，找出等量关系，列出相应的二元一次方程组．根据题意，绳子比木条长4.5尺，所以，对折绳子后量木条，木条剩余1尺，说明对折绳子长度比木条短1尺，所以，据此列出方程组即可． 【详解】解：设木条长x尺，绳子长y尺， 绳子剩余4.5尺， ， 将绳子对折再量木条，木条剩余1尺， ， 可列方程组为． 故选：A． 71．（2025·江苏盐城·中考真题）我国古代数学著作《算法统宗》中记载：“今有绫三尺，绢四尺，共价四钱八分；又绫七尺，绢二尺，共价六钱八分．问：绫、绢各价若干？”意思是：三尺绫和四尺绢共值四钱八分；七尺绫和二尺绢共值六钱八分，则绫、绢每尺各值多少？已知一钱等于十分，则每尺绢的价格是____分． 【答案】6 【知识点】古代问题(二元一次方程组的应用) 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 设每尺绫的价格是分，每尺绢的价格是分，根据三尺绫和四尺绢共值四钱八分；七尺绫和二尺绢共值六钱八分；列出二元一次方程组，解方程组即可． 【详解】解：设每尺绫的价格是分，每尺绢的价格是分， 根据题意得：， 解得：， 即每尺绢的价格是6分， 故答案为：6． 72．（2025·江苏淮安·一模）《九章算术》是中国古代数学著作之一，书中有这样一个问题：四只雀、六只燕共重一斤：雀重燕轻，互换其中一只，恰好一样重，问：每只雀、燕的重量各为多少斤？ 【答案】雀的重量为斤，燕的重量为斤 【知识点】古代问题(二元一次方程组的应用) 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，根据题意列出方程组是解题的关键． 设雀重斤，燕重斤，根据题意列出二元一次方程组，解方程组即可求解． 【详解】解：设雀重斤，燕重斤，根据题意得， 解得：， 答：雀重斤，燕重斤． 【题型二十七】其他问题(二元一次方程组的应用) 73．小军在文具店购买了数支单价为1元/支的碳素水笔芯和若干块单价为1.5元/块的橡皮，共花费了9元，则小军购买的笔芯和橡皮的数量可能相差（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【知识点】其他问题(二元一次方程组的应用) 【分析】设小军购买的笔芯支，橡为块，根据题意列出二元一次方程，根据整数解求解即可． 【详解】设小军购买的笔芯支，橡为块，根据题意，得 , 即, 为正整数, , , 故选:C, 【点睛】本题考查了二元一次方程的应用，根据题意列出方程是解题的关键． 74．（24-25七年级下·江苏苏州·期末）某数学兴趣小组进行跨学科探究学习，在盛水的烧杯中，放入，两种规格的玻璃球，研究放入两种球的数量与水面上升高度的关系．具体实验操作如下（以下实验中所用烧杯都相同，所有球均浸没于水面以下，且烧杯中的水均未溢出）：步骤一：分别向三个水平放置的空烧杯甲，乙，丙内注入适量的水，使烧杯内水面高度均为；步骤二：向甲烧杯内放入4个球和1个球，此时烧杯内水面高度为；步骤三：向乙烧杯内放入2个球和3个球，此时烧杯内水面高度为；步骤四：向丙烧杯内放入，两种球若干个，且放入的球的总个数为奇数，此时烧杯内水面高度为．则向丙烧杯内放入的种玻璃球的个数为________． 【答案】或 【知识点】二元一次方程的解、其他问题(二元一次方程组的应用) 【分析】本题考查了二元一次方程组的实际应用及二元一次方程的解，设1个球能使烧杯中上面上升，1个球能使烧杯中上面上升，根据烧杯内放入4个球和1个球，此时烧杯内水面高度为；烧杯内放入2个球和3个球，此时烧杯内水面高度为；列出方程组，求出的值，再设向丙烧杯内放入种球个，种球个，根据丙烧杯内放入，两种球若干个，且放入的球的总个数为奇数，此时烧杯内水面高度为，列出的元一次方程，求解即可解答． 【详解】解：设1个球能使烧杯中上面上升，1个球能使烧杯中上面上升， 根据题意：，即， 解得：， 设向丙烧杯内放入种球个，种球个， 根据题意：，即， 则， ∵为非负整数， ∴或或或， ∵丙烧杯内放入的球的总个数为奇数， ∴或， ∴向丙烧杯内放入的种玻璃球的个数为或． 故答案为：或． 75．（2026七年级下·江苏·专题练习）一次知识竞赛，共设20道选择题，每题必答．下表记录了3名参赛同学在这次比赛中的得分情况． 参赛者 答对题数 答错题数 得分 A 20 0 100 B 19 1 93 C 18 2 86 (1)在这次比赛中，答对一道题得 分，答错一道题扣 分； (2)同学G说他得了82分，你认为可能吗？通过列方程计算说明理由． 【答案】(1)5；2 (2)同学G不可能得82分，见解析 【知识点】比赛积分(一元一次方程的应用)、其他问题(二元一次方程组的应用) 【分析】（1）设答对一道题得x分，答错一道题扣y分，根据表中数据列出二元一次方程组，解方程组即可； （2）假设同学G得了82分，设同学G答对了m道题，则答错了道题，根据得分答对题目数答错题目数，列出关于m的一元一次方程，解之可得出m值，即可解决问题． 【详解】（1）解：设答对一道题得x分，答错一道题扣y分， 由题意得：， 解得：， 即答对一道题得5分，答错一道题扣2分， 故答案为：5；2； （2）解：同学G不可能得82分，理由如下： 假设同学G得了82分， 设同学G答对了m道题，则答错了道题， 根据题意得：， 解得， 又∵m为自然数， ∴不符合题意，舍去， ∴假设不成立， 即同学G不可能得82分． 1 学科网（北京）股份有限公司 $