第9章 图形的变换 章节（09知识详解+37典例分析）2025-2026学年（新教材苏科版）七年级数学下册同步讲义与测试

第9章 图形的变换 章节（09知识详解+37典例分析） 【知识点01】平移的概念 平移的有关概念 定义 一般地，在平面内，将一个图形沿直线的某个方向平行移动一定的距离后得到另一个图形的平面变换叫作平移. ________ 把三角形ABC 沿直线PQ 平移，得到三角形A′B′C′ . 两要素 平移的方向 原图形上某一点到它对应点的方向.如射线𝐴𝐴′ 的方向. 平移的距离 任意一组对应点所连线段的长度.如线段𝐴𝐴′ 的长度. 对应 元素 对应点 点𝐴与点𝐴′，点𝐵与点𝐵′，点𝐶与点𝐶′ . 对应线段 𝐴𝐵与𝐴′𝐵′，𝐴𝐶与𝐴′𝐶′，𝐵𝐶与𝐵′𝐶′ ，且𝐴𝐵=𝐴′𝐵′,𝐴𝐶=𝐴′𝐶′，𝐵𝐶=𝐵′𝐶′ . 对应角 ∠𝐵𝐴𝐶与∠𝐵′𝐴′𝐶′，∠𝐴𝐵𝐶与∠𝐴′𝐵′𝐶′ ， ∠𝐴𝐶𝐵与∠𝐴′𝐶′𝐵′，且∠𝐵𝐴𝐶=∠𝐵′𝐴′𝐶′ ， ∠𝐴𝐵𝐶=∠𝐴′𝐵′𝐶′，∠𝐴𝐶𝐵=∠𝐴′𝐶′𝐵′ . 由平移的定义可知，平移前后的两个图形可以重合，对应线段相等，对应角也相等. 说明：平移只改变图形的位置，不改变图形的形状和大小 【知识点02】平移的基本性质 平移的基本性质 性质 符号语言 图示 平移后得到的新图形与原图形的形状、大小完全相同. 平移前后的两个图形中，两组对应点的连线段平行且相等. 如右图（1）， 𝐴𝐴′//𝐵𝐵′ ，𝐴𝐴′//𝐶𝐶′ ，𝐴𝐴′=𝐵𝐵′=𝐶𝐶′ ，𝐵𝐵′与𝐶𝐶′ 在同一条直线上. 如右图（2）,𝐴𝐴′//𝐵𝐵′//𝐶𝐶′ ，𝐴𝐴′=𝐵𝐵′=𝐶𝐶′ . 拓展：平移前后两个图形中的对应线段、平行（或在同一条直线上）且相等. 如右图（2），𝐴𝐵//𝐴′𝐵′,𝐴𝐶//𝐴′𝐶′ ,𝐵𝐶//𝐵′𝐶′ ，𝐴𝐵=𝐴′𝐵′ ,𝐴𝐶=𝐴′𝐶′ ，𝐵𝐶=𝐵′𝐶′ . 【知识点03】图形的平移作图 平移作图的基本步骤 【知识点04】轴对称 1. 轴对称的概念 定义 一般地，将一个平面图形沿某条直线翻折后得到另一个图形的平面变换叫作轴对称，这条直线叫作对称轴，此时称这两个图形成轴对称. △ABC 和△A′B′C′关于直线l 对称 对应 元素 对应点 （对称点） 点𝐴与点𝐴′，点𝐵与点𝐵′，点𝐶与点𝐶′  对应线段 𝐴𝐵与𝐴′𝐵′，𝐴𝐶与𝐴′𝐶′，𝐵𝐶与𝐵′𝐶′ ，且𝐴𝐵=𝐴′𝐵′，𝐴𝐶=𝐴′𝐶′，𝐵𝐶=𝐵′𝐶′  对应角 ∠𝐴与∠𝐴′，∠𝐵与∠𝐵′，∠𝐶与∠𝐶′ ，且∠𝐴=∠𝐴′，∠𝐵=∠𝐵′，∠𝐶=∠𝐶′  由轴对称的定义可知，成轴对称的两个图形可以重合，对应线段相等，对应角也相等. 2.线段的垂直平分线：垂直且平分一条线段的直线叫作这条线段的垂直平分线，简称中垂线. 3.用尺规作线段的垂直平分线 已知：线段AB.求作：线段AB的垂直平分线.作法如下： 步骤 图示 （1）分别以点𝐴，点𝐵为圆心，取大于12𝐴𝐵 的长为半径，作两段相交的弧，交点记为𝐶，𝐷 . ______________________________ （2）作直线CD，与AB交于点O .直线CD 即为所求. 【知识点05】轴对称的基本性质 1.轴对称的基本性质：成轴对称的两个图形中，不在对称轴上的两个对应点的连线段被对称轴垂直平分. 说明：成轴对称的两个图形中，对称轴是任意两个对称点连线段的垂直平分线. 教材延伸 轴对称的相关性质成轴对称的两个图形中, （1）各对应点的连线段互相平行或在同一条直线上. （2）成轴对称的两个图形的对应线段所在直线平行（或在同一条直线上）或相交于一点,如果相交,那么交点一定在对称轴上. 2.画与已知图形成轴对称的图形的步骤 （1）找：观察已知图形，找出能代表已知图形的关键点（顶点或拐点）； （2）作：分别作出这些关键点关于对称轴对称的点； （3）连：按原图形的顺序依次连接相应的对称点. 注意：画一个图形关于某条直线的对称图形，其实质就是已知图形上各关键点与对称轴，求作各关键点关于对称轴对称的点，再按照原图形顺次连接各对称点即可. 【知识点06】轴对称图形 1.轴对称图形：如果一个图形关于某条直线成轴对称的图形是其本身，那么称这个图形是轴对称图形，这条直线就是对称轴. 2.常见的轴对称图形及它们的对称轴 名称 图形及其对称轴 对称轴 对称轴的条数 角 ________ 角平分线所在直线 1 等腰三角形 ______ 底边上的高线（顶角平分线、底边上的中线）所在直线 1 等边三角形 _____ 各边上的高线（内角平分线、各边上的中线）所在直线 3 等腰梯形 __ 上、下底的中点所在直线 1 长方形 __ 对边中点所在直线 2 正方形 __ 对边中点所在直线和两条对角线所在直线 4 正五边形 ____ 过一边中点且与该边垂直的直线 5 正六边形 相对的顶点所在直线和对边中点所在直线 6 圆 __ 过圆心的每一条直线 无数条 辨析：轴对称与轴对称图形的区别与联系 轴对称 轴对称图形 图例 __________ ___________________ 区 别 对象 两个图形. 一个图形. 意义 两个图形之间的形状与位置关系. 一个形状特殊的图形. 对称点的位置 对称点分别在两个图形上. 对称点在同一个图形上. 对称轴的位置 经过两个图形的内部或外部或公共边. 经过图形的内部. 对称轴的条数 只有一条. 有一条、多条或无数条. 联 系 （1）都能沿某条直线折叠后完全重合. （2）如果把成轴对称的两个图形看成一个整体，那么这个整体就是一个轴对称图形；如果把一个轴对称图形位于对称轴两旁的部分看成两个图形，那么这两部分图形就成轴对称. 3.画轴对称图形的对称轴的方法 （1）找出轴对称图形的任意一对对称点； （2）连接这对对称点； （3）画出对称点所连线段的垂直平分线,这条垂直平分线就是该轴对称图形的对称轴. 4.用尺规作角的平分线 已知：∠AOB.求作:∠AOB的平分线. 作法： 步骤 图示 （1）以点𝑂 为圆心、任意长为半径作弧，与𝑂𝐴，𝑂𝐵分别交于点𝑃，𝑄 ; ____________________________ （2）分别以点P, Q为圆心，大于1/2PQ 的长为半径作弧，两弧交于点O′ ，作射线OO′，射线OO′ 即为所求. 【知识点07】旋转的概念 旋转的定义 一般地，在平面内，把一个图形绕一个定点按某个方向转动一定角度得到另一个图形平面变换叫作旋转，这个定点称为旋转中心，转动的角度称为旋转角. 旋转的三要素 ①旋转中心:如点𝑂 .②旋转方向:如逆时针方向.③旋转角:如∠𝐴𝑂𝐴′,∠𝐵𝑂𝐵′ ,∠𝐶𝑂𝐶′ . △ABC绕点O 按逆时针方向旋转得到△A′B′C′ . 对应 元素 对应点 点𝐴与点𝐴′，点𝐵与点𝐵′，点𝐶与点𝐶′ . 对应线段 𝐴𝐵与𝐴′𝐵′，𝐴𝐶与𝐴′𝐶′，𝐵𝐶与𝐵′𝐶′ ，且𝐴𝐵=𝐴′𝐵′，𝐴𝐶=𝐴′𝐶′，𝐵𝐶=𝐵′𝐶′ . 对应角 ∠𝐴𝐵𝐶与∠𝐴′𝐵′𝐶′，∠𝐵𝐶𝐴与∠𝐵′𝐶′𝐴′ ，∠𝐶𝐴𝐵与∠𝐶′𝐴′𝐵′ ，且∠𝐴𝐵𝐶=∠𝐴′𝐵′𝐶′，∠𝐵𝐶𝐴=∠𝐵′𝐶′𝐴′ ，∠𝐶𝐴𝐵=∠𝐶′𝐴′𝐵′ . 由旋转的定义可知，旋转前后的两个图形可以重合，对应线段相等，对应角也相等. 【知识点08】旋转的基本性质 1.旋转的性质：旋转前后的两个图形中，对应点到旋转中心的距离相等，对应点与旋转中心连线所成的角都等于旋转角. 2.确定旋转中心 根据旋转的性质可知，对应点到旋转中心的距离相等，所以旋转中心位于对应点连线的垂直平分线上，即旋转中心是两对对应点所连线段的垂直平分线的交点. 辨析： 旋转、平移和轴对称的异同点 变换异同 旋转 平移 轴对称 不同点 运动方式 绕某一点转动. 沿某一直线方向移动. 沿某一条直线折叠. 对应点情况 对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角. 连接各组对应点的线段平行（或在同一条直线上）且相等. 对应点所连的线段被对称轴垂直平分. 变换条件 旋转中心、旋转方向和旋转角. 平移方向和平移距离. 对称轴. 相同点 （1）都是在平面内进行的图形变换； （2）都只改变图形的位置，不改变图形的形状和大小； （3）都是一个已知图形变换后得到另一个图形. 3.旋转作图 利用旋转的性质，可以画出一个图形绕某一点旋转一定角度之后的图形.旋转作图的基本步骤如下: 【知识点09】中心对称与中心对称图形 1.中心对称：一般地，在平面内，若一个图形是由另一个图形绕某个点旋转180°得到的，则称这两个图形成中心对称,这个点叫作对称中心，两个对称图形上的对应点叫作对称点. 注意：（1）中心对称是对两个图形而言的，它表示两个图形之间的对称关系; （2）中心对称是一种特殊的旋转,旋转角的度数是180°. 示例 中心对称 _________________________________________如图，△𝐴𝐵𝐶与△𝐴′𝐵′𝐶′成中心对称，点𝑂 是它们的对称中心. 2.中心对称的性质：成中心对称的两个图形中，对应点的连线经过对称中心，且被对称中心平分. 敲黑板 中心对称的其他性质 （1）因为中心对称是一种特殊的旋转,所以它具有旋转的一切性质. （2）成中心对称的两个图形,其对应线段互相平行（或在同一条直线上）且相等. 辨析：中心对称和轴对称的异同 中心对称 轴对称 不同点 对称中心只有一个——点. 对称轴只有一条——直线. 一个图形绕对称中心旋转180°能够与另一个图形重合. 一个图形沿对称轴翻折能够与另一个图形重合. 对应点的连线经过对称中心，且被对称中心平分. 对应点的连线被对称轴垂直平分. 相同点 都表示两个图形之间的关系，并且变换前、后的两个图形形状、大小相同. 3.确定对称中心的方法 方法一 连接任意一组对应点,取这条线段的中点，则该点就是对称中心. 方法二 连接两组对应点,这两条线段（不在同一条直线上）的交点就是对称中心. 4.作已知图形关于某一点对称的图形 作图步骤如下： 5.中心对称图形：把一个图形绕某一点旋转180^∘ ，如果旋转后的图形就是其本身，那么这个图形叫作中心对称图形，这个点就是它的对称中心. 6.中心对称图形的性质：中心对称图形上对称点的连线必经过对称中心，且被对称中心平分,即过对称中心的直线与中心对称图形所交的两个对应点是对称点. 中心对称 中心对称图形 区别 （1）是针对两个图形而言的. （2）是指两个图形的（位置）关系. （3）对称点在两个图形上. （4）对称中心可能在两个图形的外部，也可能在图形的内部或图形边界上. （1）是针对一个图形而言的. （2）是指具有某种性质的一个图形. （3）对称点在一个图形上. （4）对称中心在图形内部或图形边界上. 联系 （1）都是根据“把图形旋转180°后能重合”定义的. （2）两者可以相互转化，若把成中心对称的两个图形视为一个整体，则整个图形是中心对称图形；若把一个中心对称图形相互对称的两部分看作两个图形，则这两个图形成中心对称. 辨析：中心对称图形与轴对称图形的区别和联系 中心对称图形 轴对称图形 区别 关于某一点对称. 关于某一条直线对称. 绕某一点旋转180°后与原来的图形重合. 沿某一条直线折叠后，直线两旁的部分互相重合. 举例 线段、平行四边形、矩形、菱形、边数是偶数的正多边形、圆等都是中心对称图形. 线段、角、等腰三角形、矩形、菱形、正多边形等都是轴对称图形. 联系 ______________如果一个图形是轴对称图形，且有两条互相垂直的对称轴，那么它也是中心对称图形，如圆、正方形……既是轴对称图形又是中心对称图形. 【题型一】生活中的平移现象 1．（23-24七年级下·江苏无锡·期中）下列现象是数学中的平移的是（　　） A．“神舟”十号宇宙飞船绕地球运动 B．小朋友荡秋千 C．骑自行车时的轮胎滚动 D．瓶装饮料在传送带上移动 【答案】D 【知识点】生活中的平移现象 【分析】本题考查了生活中的平移现象．根据平移的定义，即可解答． 【详解】解：A、“神舟”十号宇宙飞船绕地球运动，是旋转，不是平移，故A不符合题意； B、小朋友荡秋千，是旋转，不是平移，故B不符合题意； C、骑自行车时的轮胎滚动，不是平移，故C不符合题意； D、瓶装饮料在传送带上移动，是平移，故D符合题意； 故选：D． 2．（24-25七年级下·江苏常州·期中）如图，某住宅小区内有一长方形地，若在长方形地内修筑同样宽的小路（图中阴影部分），余下部分绿化，小路的宽均为，则绿化的面积为 ____． 【答案】540 【知识点】生活中的平移现象 【分析】根据平移的性质将绿化部分转化为长为，宽为的长方形面积即可． 【详解】解：由平移可得到图，其中绿化部分的长为，宽为， 所以面积为． 【题型二】图形的平移 3．（24-25七年级下·江苏宿迁·期末）将如图所示的图案通过平移后可以得到的图案是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】图形的平移 【分析】本题考查平移，图形的平移只改变图形的位置，不改变图形的形状和大小，根据此即可得出答案． 【详解】解：观察各选项图形可知，B选项的图案可以通过平移得到， 故选：B 【题型三】利用平移的性质求解 4．（24-25七年级下·江苏苏州·月考）如图，长方形中，，，将它沿平移得到长方形，则图中阴影部分的面积为________． 【答案】 【知识点】利用平移的性质求解 【分析】本题主要考查平移的性质和线段的运算，，，四边形为长方形，求得，进而可求得答案． 【详解】根据题意可知，，，四边形为长方形， 所以． 所以四边形的面积． 故答案为： 【题型四】利用平移解决实际问题 5．（25-26七年级·江苏南通·期末）如图，大长方形的长是，宽是，阴影部分的宽都是，则空白部分的面积是（   ） A．18 B．24 C．32 D．36 【答案】C 【知识点】利用平移解决实际问题 【分析】本题考查了平移的性质．根据平移的性质，把两条小路都平移到矩形的边上，然后求出空白部分的长和宽，再根据矩形的面积公式计算即可得解． 【详解】解：把小路平移到矩形的边上，则空白部分的长为，宽为， 所以，空白部分的面积是：． 故选：C． 6．（23-24七年级下·江苏盐城·期末）如图是某零件的平面示意图（单位：mm），每一个转角处都是直角，则该零件的平面示意图的周长是__________ mm． 【答案】84 【知识点】利用平移解决实际问题 【分析】本题考查生活中的平移现象，解题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答问题． 利用平移的性质可得出平面示意图的周长等于长为，宽为的矩形的周长． 【详解】解：由图形可得，该零件的平面示意图的周长是． 故答案为：84． 【题型五】平移(作图) 7．（24-25七年级下·江苏淮安·期中）如图，方格纸中每个小正方形的边长都是1，是格点三角形（三个顶点都在格点上）．经过平移后得到，点恰好落在点处， (1)请画出平移后的； (2)若连接，，则这两条线段之间的位置关系是 ； (3)△的面积为 ． 【答案】(1)见解析 (2)平行 (3) 【知识点】利用平移的性质求解、平移(作图) 【分析】本题考查了平移作图，利用平移的性质求解，解题关键是正确作出图形． （1）根据平移的方向与距离，作出平移后的图形即可； （2）根据平移的性质求解； （3）利用网格求出三角形面积即可． 【详解】（1）解：如图，即为所求． （2）∵的对应点是，的对应点是， ∴与平行， 故答案为：平行； （3）∵经过平移后得到， ∴与的面积相等， ∴ ， 故答案为：． 8．如图，平移线段，使点移动到点的位置．画出平移后的线段．设为线段的中点，线段平移到后，请在图中标出点的对应点． 【答案】见解析 【知识点】平移(作图) 【分析】本题考查了复杂作图——平移作图，掌握平移的性质是解题关键．连接，过点作，且，连接即为所求作；由为线段的中点可知，点为的中点，即可作出点． 【详解】解：如图，线段和点即为所求作． 【题型六】轴对称图形的识别 9．（24-25七年级下·江苏泰州·月考）以下是四款常用的人工智能大模型的图标，其中是轴对称图形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】轴对称图形的识别 【分析】本题主要考查了轴对称图形的识别．如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就叫做对称轴，据此求解即可． 【详解】解：A、 B、C选项中的图形都不能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以都不是轴对称图形． D选项中的图形能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形． 故选：D． 【题型七】成轴对称的两个图形的识别 10．（24-25七年级下·江苏常州·期中）如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，的顶点A、B、C在小正方形的顶点上，将向上平移3个单位，再向左平移1个单位得到． (1)在网格中画出； (2)在网格中画出，使得与关于点成中心对称； (3)问：与是否成轴对称？（回答“是”或“否”） 【答案】(1)见解析； (2)见解析； (3)见解析． 【知识点】成轴对称的两个图形的识别、画轴对称图形、平移(作图) 【分析】本题主要考查了平移变换、中心对称变换以及轴对称的识别，熟练掌握平移、中心对称的性质及轴对称的概念是解题的关键． （1）根据平移的性质，分别将、、按“向上平移个单位，再向左平移个单位”的规则找到对应点、、，再连接成三角形． （2）依据中心对称的性质，找、关于的对称点、，然后连接得到三角形． （3）通过观察图形，判断与是否能沿某条直线折叠后重合，确定是否成轴对称． 【详解】（1）解：确定、、平移后的对应点： 点向上平移个单位，再向左平移个单位得到； 点向上平移个单位，再向左平移个单位得到； 点向上平移个单位，再向左平移个单位得到． 连接、、，得到． （2）解：找关于的对称点：延长到，使 ． 找关于的对称点：延长到，使 ． 连接、、，得到 （3）解：观察图形，尝试找一条直线，使沿此直线折叠后与重合，发现不存在这样的直线， ∴与不成轴对称， 故答案为“否” ． 【题型八】作已知线段的垂直平分线 11．如图，在等腰中，，请用尺规作图法，求作的对称轴（保留作图痕迹，不写作法）． 【答案】作图见解析． 【知识点】作已知线段的垂直平分线 【分析】本题考查了尺规作图——作垂线，作线段垂直平分线即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：如图，即为所求． 【题型九】作垂线(尺规作图) 12．观察图中尺规作图的痕迹，则（   ） A．平分 B． C． D． 【答案】D 【知识点】作垂线(尺规作图) 【分析】本题考查的是作线段的垂线，根据作图痕迹可得，从而可得答案． 【详解】解：解：由作图可得：， 故选：D． 13．（24-25七年级下·江苏镇江·期末）图1是由两张大小相同的正方形纸片摆放成的一幅美丽的图案，它既是轴对称图形又是中心对称图形．请在图2中再画出一个正方形，使它们组成与图1形状相同的图案． 要求：仅用无刻度的直尺和圆规作图，保留作图痕迹，用铅笔或黑色水笔加黑加粗． 【答案】见解析 【知识点】作线段(尺规作图)、作垂线(尺规作图) 【分析】本题考查了复杂作图——作垂直平分线和相等线段，理解题意是解题关键．先作出相邻两边的垂直平分线，再以两条垂直平分线的交点为圆心，对角线长度的一半作弧，与垂直平分线有四个交点，依次连接即可得到图形． 【详解】解：如图即为所求作图形． 【题型十】根据成轴对称图形的特征进行判断 14．（22-23七年级下·江苏淮安·月考）如图，和关于直线对称，则下列结论中不正确的是（    ）    A．和周长相等 B．和面积相等 C． D．直线平分 【答案】D 【知识点】根据成轴对称图形的特征进行判断 【分析】根据轴对称的性质可得结论，如果两个图形关于某直线对称，那么两个图形全等且对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线． 【详解】和关于直线对称， 和周长相等，和面积相等，， 故A、B、C选项正确，不符合题意， 直线不一定平分，故D选项不正确，符合题意； 故选：D． 【点睛】本题主要考查了轴对称的性质的运用，解题时注意：轴对称图形的对称轴也是任何一对对应点所连线段的垂直平分线． 15．（24-25七年级下·江苏南京·期中）如图1是光的反射示意图，点处有一个光源，入射光线经过镜面反射后，恰好经过点，点叫入射点，已知反射角等于入射角，法线． (1)若，则______． (2)如图2，在空心圆柱口放置一面平面镜，与水平线的夹角，入射光线经平面镜反射后反射光线为（点，，，，，，在同一竖直平面内），若要使反射光线恰好垂直于圆柱底面射出，则入射光线与水平线的夹角的度数为______． (3)如图3，点处有一个光源，入射光线经过镜面反射后，恰好经过点，请用无刻度直尺和圆规作出入射点，并画出光线（不写作法，保留作图痕迹，用铅笔加黑加粗） (4)某台球桌为如图4所示的长方形，，小球从沿角击出，恰好经过5次碰撞后到达处．则______． 【答案】(1)40 (2)46 (3)见详解 (4)2.5 【知识点】根据成轴对称图形的特征进行判断、作已知线段的垂直平分线、实际问题中角度计算问题 【分析】（1）由已知条件可得出，，进而可得． （2）由题意可得，由平角的定义求出，再由计算即可得解． （3）以作垂直平分线的方法结合（1）作图即可． （4）先根据题意画出图形，根据图形得出5次碰撞后是2个半以为边长的正方形，进而可求出的值． 【详解】（1）解：根据题意可知：， ∵， 则， ∴， 故答案为：40． （2）解：由题意可得：， ∴， ∴． 故答案为：46． （3）解：以点A为圆心，适当半径为弧，交l与点C与点D，分别以点C，点D为圆心，以大于为半径画弧交点G，连接交l与点E，再以点E为圆心，为半径画弧交与点，连接交l与点O，点O即为所求． （4）解：如下图： 小球从长方形的点A沿射出，到的点E，． 从E点沿与成射出，到边的F点，， 从F点沿与成射出，到边的G点，， 从G沿与成射出，到边的H点， 从H点沿与成射出，到边的M点， 从M点沿与成射出，到B点， 由（1）中的结论以及轴对称的性质可知： ，，． 根据图可知5次碰撞后是2个半以为边长的正方形， ∵， ∴． 【点睛】本题主要考查了实际问题中的角度计算，作已知线段垂直平分线，轴对称性质等知识，掌握这些性质以及作图的方法是解题的关键． 【题型十一】根据成轴对称图形的特征进行求解 16．（24-25七年级下·江苏无锡·月考）如图，在中，，是边上的一点，是轴对称图形，所在直线是它的对称轴．若的周长为，则__________． 【答案】 【知识点】根据成轴对称图形的特征进行求解 【分析】本题主要考查了轴对称图形的性质；进行线段的等量代换后得到是正确解答本题的关键．由已知条件，利用轴对称图形的性质得，再利用给出的周长即可求出的长． 【详解】解：是轴对称图形，直线是它的对称轴， ， 的周长等于，， ， ． 故答案为：． 17．（24-25七年级下·江苏泰州·期中）（1）如图，在所给正方形网格（每个小网格的边长是1）图中完成下列各题． ①格点（顶点均在格点上）的面积为_________； ②画出格点向右平移3个单位长度后得到的； ③在直线上找出点P，使平分． （2）如图，四边形和四边形关于直线l成轴对称． ①在图①中用直尺和圆规作出对称轴；（保留作图痕迹，不写作法） ②如果只有一把无刻度的直尺，请你在图②中画出对称轴． 【答案】（1）①；②见解析；③见解析；（2）①见解析；②见解析． 【知识点】平移(作图)、根据成轴对称图形的特征进行求解 【分析】本题考查了轴对称图形的性质，解题的关键是理解成轴对称的两个图形的对应点连线被对称轴垂直平分这一性质． （1）①用正方形面积减去三个小三角形的面积即可得的面积； ②利用平移的性质，找出平移后的对应点，顺次连接即可； ③利用网格，找出点关于的对称点，连接并延长交于点，根据轴对称的性质即可得答案； （2）①依据对应点连线被对称轴垂直平分，作的垂直平分线来确定对称轴即可； ②连接，交于点，延长、交于点，作直线即可得答案． 【详解】解：（1）①． 故答案为： ②如图所示： ③如图，取点关于的对称点，连接并延长交于点，点即为所求： （2）①如图，作的垂直平分线，直线即为所求， ②如图，连接，交于点，延长、交于点，作直线即为所求对称轴， 【题型十二】作角平分线(尺规作图) 18．（24-25七年级下·江苏无锡·期中）如图．已知，用直尺和圆规作图：（保留作图痕迹，不写作法） ①在边上作点，使得； ②在边上作点，连接，使得平分的面积． 【答案】见解析 【知识点】作垂线(尺规作图)、作角平分线(尺规作图) 【分析】本题考查作图-复杂作图，角平分线的性质，线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识． ①作的平分线交于点E，点E即为所求； ②作线段的垂直平分线交于点F，点F即为所求． 【详解】解：如图： ①点E即为所求； ②点F即为所求． 【题型十三】台球桌面上的轴对称问题 19．如图，桌球的桌面上有两个球，若要将球射向桌面的一边，反弹一次后击中球，则四个点中，可以反弹击中球的是（    ） A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】C 【知识点】台球桌面上的轴对称问题 【分析】本题考查了轴对称，掌握相关知识点是解题的关键． 过直线作点N的对称点，连接，根据图形，即可求解． 【详解】解：根据题意可知球的两段运动轨迹与直线的夹角相等， 如图，过直线作点N的对称点，连接， 根据图形可知经过点C，且，， 符合题目要求， 反弹击中球的是点C． 故选：C． 【题型十四】轴对称中的光线反射问题 20．（25-26七年级·江苏盐城·期末）【阅读材料】 日常生活中，光遇到水面、玻璃以及其他许多物体的表面都会发生反射．图1是光的反射示意图（反射角等于入射角，法线与平面镜垂直，垂足为入射点）． 【尝试探究】 （1）如图2，为法线，入射光线与镜面所夹的锐角为，反射光线与镜面所夹的锐角为，试探究和之间的数量关系？并说明理由． 【结论应用】请用（1）中获得的结论解决以下问题： （2）如图3，平面镜，点A在上，点B在上，光线被反射后再次被反射，入射光线经过两次反射后的光线为，其中点C在上，点D在上．请用无刻度的直尺与圆规补全图3中的反射光线（不写作法，保留作图痕迹）． （3）如图4，两平面镜，相交于点O，入射光线经两个平面镜两次反射后的反射光线为，若和相交，设交点为H．通过调整两个平面镜的夹角（）的大小，可以改变反射光线的方向．当时（即），求的大小． （4）如图5，，为两个足够长的平面镜，若，为一条入射光线，B为入射点，且，请问，入射光线经过_________次反射之后，光线将与其中一个平面镜平行射出． 【答案】（1）相等，见解析；（2）见解析；（3）；（4）8 【知识点】根据平行线判定与性质求角度、轴对称中的光线反射问题 【分析】（1）根据余角的性质，解答即可． （2）根据光的反射原理，作一个角等于已知角的基本作图，解答即可． （3）根据光的反射原理，三角形内角和，三角形外角性质，解答即可． （4）根据光的反射原理，平行线的判定，规律的探索解答即可． 本题考查了余角的性质，平角的定义，平行线的判定，三角形内角和，光的反射定律，熟练掌握平行线的判定，光的反射定律是解题的关键． 【详解】（1）证明：和之间的数量关系是，理由如下： 根据题意，得， 又， ， ． （2）解：根据光的反射原理，作一个角等于已知角的基本作图，画图如下： 则即为所求． （3）解：如图，连接， 根据题意，得， ， ， ， ， ， ， ， 解得． （4）解：如图，， ， ， , 根据反射原理，得第一次入射时，入射光线与平面镜的夹角为：， ， ， 根据反射原理，得第二次反射时，入射光线与平面镜的夹角为：， ， ， 根据光的反射原理，得第三次反射时，入射光线与平面镜的夹角为：， 由此得到规律，每次反射时，入射光线与平面镜的夹角依次为， 根据题意，当第八次时，反射光线与平面镜的夹角为， 故 ， 故答案为：8． 【题型十五】折叠问题 21．（25-26七年级·江苏无锡·期末）如图，将正方形分别沿、折叠，使得点与点重合，点与点重合，若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】折叠问题、几何图形中角度计算问题 【分析】此题考查了折叠的性质，由折叠得到，进而求解即可． 【详解】解：∵， ∴， 由折叠得，，， ∴， ∴． 故选：C． 22．（25-26七年级·江苏扬州·期末）将一张长方形纸片按如图所示方式折叠后，若，则____________． 【答案】 【知识点】根据平行线的性质求角的度数、折叠问题 【分析】本题主要考查了平行线的性质、折叠的性质以及平角的定义，熟练掌握平行线的性质和折叠前后对应角相等的性质是解题的关键．先利用平行线的性质，结合已知的求出的度数，再根据折叠的性质得到，最后利用平角的定义求出的度数． 【详解】解：如图， 由题意可得， ∴，即， ∵ ∴， 由折叠可得， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 【题型十六】画对称轴 23．请在网格中完成下列问题： (1)在图1中画出△ABC关于直线PQ成轴对称的； (2)在图2中画出△ABC与△DEF的对称轴． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【知识点】画轴对称图形、画对称轴 【分析】（1）分别作出点A，B，C关于直线PQ的对称点，，，再顺次连接即可； （2）连接AD，CF利用网格特点，作出AD和CF的中点M，N，过点M，N作直线l即可． 【详解】（1）如图，与△ABC关于直线PQ成轴对称； （2）如图，直线l就是△ABC与△DEF的对称轴． 【点睛】本题考查了作图——轴对称变换：在画一个图形的轴对称图形时，也是先从确定一些特殊的对称点开始的，一般的方法是：由已知点出发向所给直线作垂线，并确定垂足；直线的另一侧，以垂足为一端点，作一条线段使之等于已知点和垂足之间的线段的长，得到线段的另一端点，即为对称点；连接这些对称点，就得到原图形的轴对称图形． 【题型十七】画轴对称图形 24．如图，在3×3的正方形网格中，格线的交点称为格点，以格点为顶点的三角形称为格点三角形．图中的为格点三角形，在图中最多能画出 ___________个格点三角形与成轴对称． 【答案】6 【知识点】画轴对称图形 【分析】本题考查了利用轴对称变换作图，熟练掌握网格结构并准确找出对应点的位置是解题的关键，本题难点在于确定出不同的对称轴． 根据网格结构分别确定出不同的对称轴，然后作出轴对称三角形即可得解． 【详解】解：如图，最多能画出6个格点三角形与成轴对称． 故答案为：6． 【题型十八】求对称轴条数 25．如图是采用我国非遗纺织印染工艺——蜡染制作的精美图案，该图案有_____________条对称轴． 【答案】4 【知识点】求对称轴条数 【分析】本题考查了轴对称图形的对称轴，掌握轴对称图形的定义，找出对称轴是解题的关键． 轴对称图形：是指在平面内沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形，这条直线就叫做对称轴，由此即可求解． 【详解】解：根据题意作图得， ∴图案有4条对称轴， 故答案为：4 ． 【题型十九】车牌号码的镜面对称 26．某公路急转弯处设立了一面圆形大镜子，车内乘客从圆形大镜子中看到汽车前车牌的部分号码如图所示，则该车牌照的部分号码为__________． 【答案】 【知识点】车牌号码的镜面对称 【分析】本题考查了镜面对称的性质，利用镜面对称的性质求解，镜面对称的性质：在平面镜中的像与现实中的事物恰好顺序颠倒，且关于镜面对称，掌握镜面对称的性质是解题的关键． 【详解】解：根据镜面对称的性质，则该车牌照的部分号码为， 故答案为：． 【题型二十】电子钟示数的镜面对称 27．电子钟镜子里的像如图所示，实际时间是（    ） A．21：10 B．10：21 C．10：51 D．12：01 【答案】C 【知识点】电子钟示数的镜面对称 【分析】根据镜面对称的性质求解，在平面镜中的像与现实中的事物恰好左右顺序颠倒，且关于镜面对称． 【详解】解：根据镜面对称的性质，分析可得题中所显示的图片与10：51成轴对称，所以此时实际时刻为10：51． 故选：C． 【点睛】本题考查镜面反射的原理与性质．解决此类题应认真观察，注意技巧． 【题型二十一】判断生活中的旋转现象 28．（24-25七年级下·江苏宿迁·期中）在常见的扑克牌中，“红桃J”如下图这样放置，把它倒过来放，看它还是和原来一样的，这主要是利用数学中的（    ） A．旋转 B．平移 C．轴对称 D．以上都对 【答案】A 【知识点】判断生活中的旋转现象 【分析】本题主要考旋转，根据把图形倒过来放，看它还是和原来一样可判断出是图形是旋转变换即可． 【详解】解：“红桃J”如下图这样放置，把它倒过来放，看它还是和原来一样的，这主要是利用数学中的旋转， 故选：A． 29．（24-25七年级下·江苏泰州·月考）有下列现象：①高层公寓电梯的上升；②翻动书页；③方向盘的转动；④传送带的移动．其中属于旋转的有______（写出序号） 【答案】②③ 【知识点】生活中的平移现象、判断生活中的旋转现象 【分析】本题考查了旋转,平移的定义．解题的关键在于对知识的熟练掌握． 根据旋转，平移的定义进行判断即可． 【详解】解：①高层公寓电梯的上升，是平移，故不符合要求； ②翻动书页，是旋转，故符合要求； ③方向盘的转动，是旋转，故符合要求； ④传送带的移动，是平移，故不符合要求． 故答案为：②③． 【题型二十二】判断由一个图形旋转而成的图案 30．（24-25七年级下·江苏南京·期中）电影《哪吒之魔童闹海》的热映，推动了我国国产动画电影发展，提升了中国文化影响力．对下列哪吒图片的变换顺序描述正确的是（    ） A．轴对称，平移，旋转 B．旋转，轴对称，平移 C．轴对称，旋转，平移 D．平移，旋转，轴对称 【答案】A 【知识点】轴对称图形的识别、判断由一个图形旋转而成的图案、图形的平移 【分析】本题考查了轴对称图形“如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，那么这个图形叫做轴对称图形”和图形的旋转“把一个平面图形绕平面内某一点转动一个角度，叫做图形的旋转”、平移“某一基本的平面图形沿着一定的方向移动，这种图形的平行移动，简称为平移”，熟记图形的旋转、轴对称图形、平移的定义是解题关键．根据图形的旋转、轴对称图形、平移的定义进行判断即可得． 【详解】解：由图可知，第一次为轴对称，第二次为平移，第三次为旋转， 故选：A． 【题型二十三】找旋转中心、旋转角、对应点 31．（24-25七年级下·江苏无锡·月考）如图，在正三角形网格中，将绕某个点旋转得到，则能作为旋转中心的是（   ） A．点A B．点B C．点C D．点D 【答案】C 【知识点】找旋转中心、旋转角、对应点 【分析】本题考查了旋转的性质，连接，分别作，的垂直平分线交点为点，即点是旋转中心，掌握旋转的性质是解题的关键． 【详解】解：如图：连接，分别作，的垂直平分线交点为点，即点是旋转中心， 故选：C． 32．（24-25七年级下·江苏淮安·期中）如图，在中，，将绕点C旋转得到．若点B、C、D在同一条直线上，则旋转方向和旋转角可能是（     ） A．顺时针， B．逆时针， C．顺时针， D．逆时针， 【答案】A 【知识点】找旋转中心、旋转角、对应点 【分析】本题主要考查了求旋转角和旋转方向，根据平角的定义求出的度数即可得到答案． 【详解】解：∵，点B、C、D在同一条直线上， ∴， ∴旋转方向和旋转角可能是顺时针，， 故选；A． 【题型二十四】旋转中的规律性问题 33．（24-25七年级下·江苏淮安·期中）平移、旋转和轴对称是图形运动的基本形式．图1、图2中的三角形①～⑤的顶点都在边长为1个单位长度的正方形网格点上． (1)如图1，三角形②可以看成由三角形①经过一次 得到；三角形③可以看成由三角形①经过一次 得到（填“平移”“旋转”或“轴对称”）． (2)如图2，三角形⑤可以看成由三角形④经过怎样的图形运动得到？下列结论： A. 1次轴对称   B. 1次旋转    C． 1次平移和1次旋转  D. 1次旋转和1次轴对称 其中，所有正确结论是 ． 【答案】(1)旋转，轴对称 (2)BC 【知识点】轴对称图形的识别、旋转中的规律性问题、图形的平移 【分析】本题考查几何变换的类型，轴对称图形，解题的关键是掌握轴对称变换，平移变换，旋转变换的性质． （1）根据轴对称变换，旋转变换的性质判断即可； （2）三角形⑤可以看成由三角形④绕点O顺时针旋转得到或先向右平移一个单位，再绕点A顺时针旋转得到． 【详解】（1）解：如图1，三角形②可以看成由三角形①经过一次旋转得到；三角形③可以看成由三角形①经过一次轴对称得到． 故答案为：旋转，轴对称； （2）三角形⑤可以看成由三角形④经过绕点O顺时针旋转得到或先向右平移一个单位，再绕点A顺时针旋转得到． 故答案为：BC． 【题型二十五】根据旋转的性质求解 34．（24-25七年级下·江苏苏州·期中）如图，将三角形绕点顺时针旋转得到三角形．若，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】找旋转中心、旋转角、对应点、根据旋转的性质求解 【分析】本题考查了找旋转角，旋转的性质．先利用旋转的性质得到，，再利用，计算即可． 【详解】解：∵将绕点顺时针旋转得到， ∴，， ∵， ∴， 故选：B． 35．（24-25七年级下·江苏南京·月考）如图，与都是等边三角形．下列说法中，正确的有___________． ①可由绕点B顺时针旋转得到，A与D是一组对应点； ②可由绕点C逆时针旋转得到，B与D是一组对应点； ③可由绕中点旋转得到，B与C是一组对应点； ④可由关于作轴对称变换得到，B与C是一组对应点． 【答案】②③/③② 【知识点】轴对称图形的识别、根据旋转的性质求解 【分析】本题主要考查了旋转的性质，根据旋转的定义逐项进行判断，得出答案即可． 【详解】解：①可由绕点B顺时针旋转得到，A与C是一组对应点，故原说法错误； ②可由绕点C逆时针旋转得到，B与D是一组对应点，故此说法正确； ③可由绕中点旋转得到，B与C是一组对应点，故此说法正确； ④可由关于作轴对称变换得到，A与D是一组对应点，而B与C不是一组对应点，故原说法错误； 综上分析可知，正确的是②③． 故答案为：②③． 【题型二十六】根据旋转的性质说明线段或角相等 36．在中，，，点D为内一点，连接、． (1)把绕点C逆时针旋转得到了，旋转中心是点 ，旋转角是 ° (2)延长交于F，交于M，求证：． 【答案】(1)C；90 (2)见解析 【知识点】根据旋转的性质求解、找旋转中心、旋转角、对应点 【分析】本题考查了图形的旋转及性质，垂直定义，三角形的内角和定理等知识，正确理解相关的概念及性质是解决本题的关键． （1）根据图形旋转的定义求出结果即可； （2）由旋转的性质可得，对顶角，再根据三角形内角和定理推出，结论即可得证． 【详解】（1）解：由逆时针旋转得到了可知：点是的旋转中心，旋转角为． （2）证明： 由逆时针旋转得到了可知，， 在中，， 在中，， 而 ， 即． 【题型二十七】旋转的性质及辨析 37．（24-25七年级下·江苏南京·期中）如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，点A，B，C，D，E，F均为格点（网格线的交点），请按下列要求作图，并标出相应的字母． (1)①在图1中，画出线段关于直线对称的线段．连接，线段和直线的关系为______； ②在图1中，将线段AB向左平移1个单位长度，再向上平移3个单位长度，得到线段，画出线段．连接、，线段和线段的关系为______； (2)在图2中，线段与线段存在旋转变换关系．画出旋转中心O． 【答案】(1)①见解析；直线垂直平分线段；②见解析；，； (2)见解析 【知识点】平移(作图)、画轴对称图形、利用平移的性质求解、旋转的性质及辨析 【分析】本题考查了轴对称作图，平移作图，找旋转中心，熟练掌握以上知识是解题的关键． （1）①根据轴对称图形的性质即可得出结果；②根据图形的平移作图，然后由平移的性质即可求解； （2）分别作对应点连线的垂直平分线，其交点即为旋转中心． 【详解】（1）①解：如图1，线段即为所求的线段． 直线垂直平分线段； ②解：如图1，线段即为所求的线段． ，； （2）解：如图2，点和点即为所求的旋转中心． 【题型二十八】画旋转图形 38．（24-25七年级下·江苏无锡·期末）【阅读材料】如图1，等边各边的垂直平分线交于点O，并将分成形状、大小完全相同的六个小三角形． 将一个小三角形沿着直线翻折得到新的三角形，这样的变换记为，类似地，沿着直线，翻折分别记为，； 将一个小三角形绕着点O顺时针旋转得到新的三角形，这样的变换记为，类似地，绕着点O顺时针旋转，分别记为，； 如果先作变换，再作变换，可以记为． 例如，图2中将作变换，即：将先作变换得；再将作变换，得到．而将直接作变换也得到． 这意味着（）变换可化简为变换，即：． 【问题解决】 (1)将作变换得到______；将作变换得到______；将进行变换得到______；变换可化简为______变换． (2)我们知道，有理数的加法运算具有交换律和结合律，即： ，．类似地，我们可以探究“”可以满足哪些运算律． 在下列等式中，你认为正确的是______．（填写所有正确的序号） ①； ②； ③． (3)利用两次旋转和一次翻折变换，可设计出变换结果为的算法．如：，请再设计4个符合要求的算法，要求算式中不带括号，且翻折变换只能是．（直接写出答案） 【答案】(1)；；； (2)②③ (3)见解析 【知识点】画旋转图形、画轴对称图形 【分析】本题主要考查了旋转，轴对称，正确理解题意是解题的关键． （1）根据题意作出对应的变换即可得到答案； （2）以为开始图形，分别作出对应变换后的图形，看是否一致即可得到答案； （3）以为开始图形，作得到，当一开始作变换时，则作变换后得到，而到要么旋转120度，要么旋转480度；当最后作变换时，则前两次变换后得到，即前面两次变换要么旋转240度，要么选择360度；当第二次作变换时，讨论第一次作变换，进而确定第三次变换即可． 【详解】（1）解：由题意得，将作变换得到； 将作变换得到； 将进行变换得到，将作变换得到， ∴将进行变换得到， ∴变换可化简为变换； （2）解：将作变换得到， 将作变换得到， ∴将作变换得到， 将作变换得到， 将作变换得到， ∴将作变换得到， ∴，故①不正确； ∵作相当于把原图形绕点O先顺时针旋转120度，再绕点O顺时针旋转240度， ∴作相当于把原图形绕点O顺时针旋转360度； ∵作相当于把原图形绕点O先顺时针旋转240度，再绕点O顺时针旋转120度， ∴作相当于把原图形绕点O顺时针旋转360度； ∴，故②正确； ∵将作变换得到， ∴将作变换得到； ∵将作变换得到， ∴将作变换得到， ∴将作变换得到， ∴，故③正确； （3）解：由题意得，，，； ，，； ，，． 【题型二十九】利用旋转设计图案 39．（22-23七年级·江苏南京·期末）（1）如图①，所有小正方形的边长都为，点、、均在格点上，用直尺画图： ①过点画 ②过点画，垂足为 （2）在图①中，线段______的长度表示点到的距离； （3）已知：，，利用直尺和圆规作图在图②中直线的上方作射线，使（不写作法，保留作图痕迹．） 【答案】（1）①作图见解析；②作图见解析；（2）；（3）作图见解析 【知识点】尺规作一个角等于已知角、点到直线的距离、平移(作图)、利用旋转设计图案 【分析】（1）①利用方格纸，取格点，连接即可，②利用方格纸，取格点，连接，与交于点，则即为所求； （2）根据点到直线的距离和线段的定义即可求解； （3）在射线的上方作即可． 【详解】解：（1）①如图，取格点，连接， ∵所有小正方形的边长都为，点、、均在格点上， ∴点向上平移3格，再向右平移2格与点重合，同时点向上平移3格，再向右平移2格与点重合， 即线段向上平移3格，再向右平移2格与线段重合， ∴， 则即为所作； ②如图，取格点，连接，与交于点， 在和中， ，，， ，， 即绕点顺时针旋转与重合， ∴绕点顺时针旋转与重合， ∴， 由①知：， ∴，即， 则即为所作． （2）∵， ∴， ∴线段的长度表示点到的距离． 故答案为：． （3）如图，在射线的上方作， 又∵， ∴ ， ∴， 则射线即为所作． 【点睛】本题考查作图—应用与设计作图，尺规作图，平移和旋转，点到直线的距离，角的计算，垂直的判定．解题的关键是掌握基本的作图方法和相关定义及性质． 【题型三十】旋转对称图形的识别 40．下列各图中，既可经过平移，又可经过旋转，由图形①得到图形②的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】旋转对称图形的识别、图形的平移 【分析】本题考查了平移和旋转的概念，将一个图形上的所有点都按照某个方向作相同距离的移动，这样的图形运动叫做图形的平移运动；把一个图形绕着某一点O转动一个角度的图形变换叫做旋转．根据平移和旋转的概念解答即可． 【详解】解：A、B、C只能由旋转得到，不能由平移得到，只有D既可经过平移，又可经过旋转得到， 故选：D． 【题型三十一】求旋转对称图形的旋转角度 41．下列图形绕某一点旋转一定角度都能与原图形重合，其中旋转角度最小的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】求旋转对称图形的旋转角度 【分析】本题考查了旋转对称图形的知识，求出各旋转对称图形的最小旋转角度，继而可作出判断． 【详解】解：A、最小旋转角度； B、最小旋转角度； C、最小旋转角度； D、不是旋转对称图形； 综上可得：旋转一定角度后，能与原图形完全重合，且旋转角度最小的是C． 故选：C． 【题型三十二】画已知图形关于某点对称的图形 42．（24-25七年级下·江苏无锡·期末）如图，在每个小正方形的边长为个单位的网格中，的顶点均在格点（网格线的交点）上，直线经过小正方形的边．    (1)画出线段的垂直平分线； (2)画出关于直线成轴对称的； (3)画出关于点成中心对称的． 【答案】(1)画图见解析； (2)画图见解析； (3)画图见解析． 【知识点】画轴对称图形、画已知图形关于某点对称的图形、作已知线段的垂直平分线 【分析】本题考查作图——旋转变换、作图——轴对称变换、线段垂直平分线的性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质，中心对称的性质，轴对称的性质是解题的关键． （）结合线段垂直平分线的性质画图即可； （）根据轴对称的性质作图即可； （）根据中心对称的性质作图即可． 【详解】（1）解：如图，直线即为所求；    （2）解：如图，即为所求；    （3）解：如图，即为所求．    【题型三十三】画两个图形的对称中心 43．（2023·江苏常州·中考模拟）如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标为、、    (1)若将向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度，请画出平移后的 (2)画出绕原点旋转后得到的； (3)与是中心对称图形，请写出对称中心的坐标：______； (4)顺次连结，所得到的图形是轴对称图形吗？ 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) (4)是轴对称图形． 【知识点】画两个图形的对称中心、轴对称图形的识别、平移(作图)、画旋转图形 【分析】（1）按平移条件找出A、B、C的对应点，即可得到平移后的图形； （2）利用中心对称的性质，作出关于原点的对称点，即可得到绕原点旋转的三角形； （3）利用对应点所在直线都经过对称中心，即可解决问题； （4）观察图形，可找到两条对称轴． 【详解】（1）解：即为所求，    （2）解：即为所求； （3）解：与是中心对称图形，对称中心的坐标为：； 故答案为：； （4）解：观察可知四边形的四条边都相等，所以是轴对称图形． 【点睛】本题考查平移，旋转作图；能够根据条件准确作出图形是解题的关键． 【题型三十四】根据中心对称的性质求面积、长度、角度 44．（24-25七年级下·江苏连云港·期中）如图，与关于点C成中心对称，则线段_______． 【答案】/ 【知识点】根据中心对称的性质求面积、长度、角度 【分析】本题考查了中心对称的定义，根据中心对称的定义即对应边相等可求解， 【详解】解：∵与关于点C成中心对称， ∴ ∴ 故答案为： ． 【题型三十五】中心对称图形的识别 45．（24-25七年级下·江苏南京·月考）下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】中心对称图形的识别、轴对称图形的识别 【分析】本题考查了中心对称图形与轴对称图形，掌握中心对称图形与轴对称图形的定义是解题的关键．如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心，根据轴对称图形和中心对称图形的定义进行逐一判断即可． 【详解】解：、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故本选项不符合题意； 、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项符合题意； 、是中心对称图形，但不是轴对称图形，故本选项不符合题意； 、是中心对称图形，但不是轴对称图形，故本选项不符合题意； 故选：． 46．（24-25七年级下·江苏泰州·月考）如图，已知和线段． (1)请用无刻度的直尺和圆规按以下步骤作图： ①作的平分线； ②在上取，作的垂直平分线交射线、分别于点、，交于点，连接、． (2)对于（1）中所作的四边形，下列说法正确的是____________（填序号） ①； ②与关于直线成轴对称； ③四边形是轴对称图形，且有2条对称轴； ④四边形是中心对称图形，对称中心是点． 【答案】(1)①见解析②见解析 (2)①②③④ 【知识点】作角平分线(尺规作图)、作已知线段的垂直平分线、轴对称图形的识别、中心对称图形的识别 【分析】本题主要考查复杂作图：作角平分线、线段垂直平分线以及菱形的判定等，正确作图是解答本题的关键． （1）①根据作角平分线的方法作图即可；②根据题目描述作图即可； （2）证明可判断①；证明可判断②，证明四边形是菱形即可判断③④． 【详解】（1）解：如图，即为所作； （2）解：由作图得，， 又， ∴， ∴，故①正确； ∵垂直平分， ∴ ∵， ∴ ∴与关于直线成轴对称；故②正确； ∵， ∴， ∴四边形是菱形， ∴四边形是轴对称图形，且有2条对称轴；四边形是中心对称图形，对称中心是点．故③④正确， 综上，正确的结论是①②③④， 故答案为：①②③④． 【题型三十六】判断中心对称图形的对称中心 47．（22-23七年级下·江苏苏州·月考）如图所示，在由正方形组成的网格中，和的顶点都在格点上，根据图形解答下列问题：        (1)将先向左平移4个单位长度，再向下平移2个单位长度，画出平移后的； (2)将绕点逆时针旋转，画出旋转后的； (3)已知与关于点成中心对称，画出对称中心点． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【知识点】判断中心对称图形的对称中心、画旋转图形、平移(作图) 【分析】（1）利用平移变换的性质分别作出，，的对应点，，即可； （2）根据旋转的性质即可得到结论； （3）连接，交于一点，于是得到结论． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求；        （2）如图所示，即为所求； （3）如图所示，点即为所求． 【点睛】本题考查作图旋转变换，平移变换，解题的关键是掌握平移变换的性质，属于中考常考题型． 【题型三十七】在方格纸中补画图形使之成为中心对称图形 48．（24-25七年级下·江苏常州·期中）在如图1的方格纸中，用五个相同的正方形组成如图所示的图形． (1)请在图2，图3中只添加一个小正方形，使得六个正方形组成的图形是轴对称图形； (2)请在图4，图5中只添加一个小正方形，使得六个正方形组成的图形是中心对称图形． 【答案】(1)见解析； (2)见解析． 【知识点】画轴对称图形、在方格纸中补画图形使之成为中心对称图形 【分析】本题综合考查了中心对称图形及轴对称图形的性质，及其作图的方法，学生做这些题时找对称轴及对称点是关键． （1）根据轴对称图形的性质，先找出对称轴，再思考如何画图； （2）先找一个中心，再根据中心对称的性质，思考如何画图． 【详解】（1）如图所示（答案不唯一） （2）如图2所示 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第9章 图形的变换 章节（09知识详解+37典例分析） 【知识点01】平移的概念 平移的有关概念 定义 一般地，在平面内，将一个图形沿直线的某个方向平行移动一定的距离后得到另一个图形的平面变换叫作平移. ________ 把三角形ABC 沿直线PQ 平移，得到三角形A′B′C′ . 两要素 平移的方向 原图形上某一点到它对应点的方向.如射线𝐴𝐴′ 的方向. 平移的距离 任意一组对应点所连线段的长度.如线段𝐴𝐴′ 的长度. 对应 元素 对应点 点𝐴与点𝐴′，点𝐵与点𝐵′，点𝐶与点𝐶′ . 对应线段 𝐴𝐵与𝐴′𝐵′，𝐴𝐶与𝐴′𝐶′，𝐵𝐶与𝐵′𝐶′ ，且𝐴𝐵=𝐴′𝐵′,𝐴𝐶=𝐴′𝐶′，𝐵𝐶=𝐵′𝐶′ . 对应角 ∠𝐵𝐴𝐶与∠𝐵′𝐴′𝐶′，∠𝐴𝐵𝐶与∠𝐴′𝐵′𝐶′ ， ∠𝐴𝐶𝐵与∠𝐴′𝐶′𝐵′，且∠𝐵𝐴𝐶=∠𝐵′𝐴′𝐶′ ， ∠𝐴𝐵𝐶=∠𝐴′𝐵′𝐶′，∠𝐴𝐶𝐵=∠𝐴′𝐶′𝐵′ . 由平移的定义可知，平移前后的两个图形可以重合，对应线段相等，对应角也相等. 说明：平移只改变图形的位置，不改变图形的形状和大小 【知识点02】平移的基本性质 平移的基本性质 性质 符号语言 图示 平移后得到的新图形与原图形的形状、大小完全相同. 平移前后的两个图形中，两组对应点的连线段平行且相等. 如右图（1）， 𝐴𝐴′//𝐵𝐵′ ，𝐴𝐴′//𝐶𝐶′ ，𝐴𝐴′=𝐵𝐵′=𝐶𝐶′ ，𝐵𝐵′与𝐶𝐶′ 在同一条直线上. 如右图（2）,𝐴𝐴′//𝐵𝐵′//𝐶𝐶′ ，𝐴𝐴′=𝐵𝐵′=𝐶𝐶′ . 拓展：平移前后两个图形中的对应线段、平行（或在同一条直线上）且相等. 如右图（2），𝐴𝐵//𝐴′𝐵′,𝐴𝐶//𝐴′𝐶′ ,𝐵𝐶//𝐵′𝐶′ ，𝐴𝐵=𝐴′𝐵′ ,𝐴𝐶=𝐴′𝐶′ ，𝐵𝐶=𝐵′𝐶′ . 【知识点03】图形的平移作图 平移作图的基本步骤 【知识点04】轴对称 1. 轴对称的概念 定义 一般地，将一个平面图形沿某条直线翻折后得到另一个图形的平面变换叫作轴对称，这条直线叫作对称轴，此时称这两个图形成轴对称. △ABC 和△A′B′C′关于直线l 对称 对应 元素 对应点 （对称点） 点𝐴与点𝐴′，点𝐵与点𝐵′，点𝐶与点𝐶′  对应线段 𝐴𝐵与𝐴′𝐵′，𝐴𝐶与𝐴′𝐶′，𝐵𝐶与𝐵′𝐶′ ，且𝐴𝐵=𝐴′𝐵′，𝐴𝐶=𝐴′𝐶′，𝐵𝐶=𝐵′𝐶′  对应角 ∠𝐴与∠𝐴′，∠𝐵与∠𝐵′，∠𝐶与∠𝐶′ ，且∠𝐴=∠𝐴′，∠𝐵=∠𝐵′，∠𝐶=∠𝐶′  由轴对称的定义可知，成轴对称的两个图形可以重合，对应线段相等，对应角也相等. 2.线段的垂直平分线：垂直且平分一条线段的直线叫作这条线段的垂直平分线，简称中垂线. 3.用尺规作线段的垂直平分线 已知：线段AB.求作：线段AB的垂直平分线.作法如下： 步骤 图示 （1）分别以点𝐴，点𝐵为圆心，取大于12𝐴𝐵 的长为半径，作两段相交的弧，交点记为𝐶，𝐷 . ______________________________ （2）作直线CD，与AB交于点O .直线CD 即为所求. 【知识点05】轴对称的基本性质 1.轴对称的基本性质：成轴对称的两个图形中，不在对称轴上的两个对应点的连线段被对称轴垂直平分. 说明：成轴对称的两个图形中，对称轴是任意两个对称点连线段的垂直平分线. 教材延伸 轴对称的相关性质成轴对称的两个图形中, （1）各对应点的连线段互相平行或在同一条直线上. （2）成轴对称的两个图形的对应线段所在直线平行（或在同一条直线上）或相交于一点,如果相交,那么交点一定在对称轴上. 2.画与已知图形成轴对称的图形的步骤 （1）找：观察已知图形，找出能代表已知图形的关键点（顶点或拐点）； （2）作：分别作出这些关键点关于对称轴对称的点； （3）连：按原图形的顺序依次连接相应的对称点. 注意：画一个图形关于某条直线的对称图形，其实质就是已知图形上各关键点与对称轴，求作各关键点关于对称轴对称的点，再按照原图形顺次连接各对称点即可. 【知识点06】轴对称图形 1.轴对称图形：如果一个图形关于某条直线成轴对称的图形是其本身，那么称这个图形是轴对称图形，这条直线就是对称轴. 2.常见的轴对称图形及它们的对称轴 名称 图形及其对称轴 对称轴 对称轴的条数 角 ________ 角平分线所在直线 1 等腰三角形 ______ 底边上的高线（顶角平分线、底边上的中线）所在直线 1 等边三角形 _____ 各边上的高线（内角平分线、各边上的中线）所在直线 3 等腰梯形 __ 上、下底的中点所在直线 1 长方形 __ 对边中点所在直线 2 正方形 __ 对边中点所在直线和两条对角线所在直线 4 正五边形 ____ 过一边中点且与该边垂直的直线 5 正六边形 相对的顶点所在直线和对边中点所在直线 6 圆 __ 过圆心的每一条直线 无数条 辨析：轴对称与轴对称图形的区别与联系 轴对称 轴对称图形 图例 __________ ___________________ 区 别 对象 两个图形. 一个图形. 意义 两个图形之间的形状与位置关系. 一个形状特殊的图形. 对称点的位置 对称点分别在两个图形上. 对称点在同一个图形上. 对称轴的位置 经过两个图形的内部或外部或公共边. 经过图形的内部. 对称轴的条数 只有一条. 有一条、多条或无数条. 联 系 （1）都能沿某条直线折叠后完全重合. （2）如果把成轴对称的两个图形看成一个整体，那么这个整体就是一个轴对称图形；如果把一个轴对称图形位于对称轴两旁的部分看成两个图形，那么这两部分图形就成轴对称. 3.画轴对称图形的对称轴的方法 （1）找出轴对称图形的任意一对对称点； （2）连接这对对称点； （3）画出对称点所连线段的垂直平分线,这条垂直平分线就是该轴对称图形的对称轴. 4.用尺规作角的平分线 已知：∠AOB.求作:∠AOB的平分线. 作法： 步骤 图示 （1）以点𝑂 为圆心、任意长为半径作弧，与𝑂𝐴，𝑂𝐵分别交于点𝑃，𝑄 ; ____________________________ （2）分别以点P, Q为圆心，大于1/2PQ 的长为半径作弧，两弧交于点O′ ，作射线OO′，射线OO′ 即为所求. 【知识点07】旋转的概念 旋转的定义 一般地，在平面内，把一个图形绕一个定点按某个方向转动一定角度得到另一个图形平面变换叫作旋转，这个定点称为旋转中心，转动的角度称为旋转角. 旋转的三要素 ①旋转中心:如点𝑂 .②旋转方向:如逆时针方向.③旋转角:如∠𝐴𝑂𝐴′,∠𝐵𝑂𝐵′ ,∠𝐶𝑂𝐶′ . △ABC绕点O 按逆时针方向旋转得到△A′B′C′ . 对应 元素 对应点 点𝐴与点𝐴′，点𝐵与点𝐵′，点𝐶与点𝐶′ . 对应线段 𝐴𝐵与𝐴′𝐵′，𝐴𝐶与𝐴′𝐶′，𝐵𝐶与𝐵′𝐶′ ，且𝐴𝐵=𝐴′𝐵′，𝐴𝐶=𝐴′𝐶′，𝐵𝐶=𝐵′𝐶′ . 对应角 ∠𝐴𝐵𝐶与∠𝐴′𝐵′𝐶′，∠𝐵𝐶𝐴与∠𝐵′𝐶′𝐴′ ，∠𝐶𝐴𝐵与∠𝐶′𝐴′𝐵′ ，且∠𝐴𝐵𝐶=∠𝐴′𝐵′𝐶′，∠𝐵𝐶𝐴=∠𝐵′𝐶′𝐴′ ，∠𝐶𝐴𝐵=∠𝐶′𝐴′𝐵′ . 由旋转的定义可知，旋转前后的两个图形可以重合，对应线段相等，对应角也相等. 【知识点08】旋转的基本性质 1.旋转的性质：旋转前后的两个图形中，对应点到旋转中心的距离相等，对应点与旋转中心连线所成的角都等于旋转角. 2.确定旋转中心 根据旋转的性质可知，对应点到旋转中心的距离相等，所以旋转中心位于对应点连线的垂直平分线上，即旋转中心是两对对应点所连线段的垂直平分线的交点. 辨析： 旋转、平移和轴对称的异同点 变换异同 旋转 平移 轴对称 不同点 运动方式 绕某一点转动. 沿某一直线方向移动. 沿某一条直线折叠. 对应点情况 对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角. 连接各组对应点的线段平行（或在同一条直线上）且相等. 对应点所连的线段被对称轴垂直平分. 变换条件 旋转中心、旋转方向和旋转角. 平移方向和平移距离. 对称轴. 相同点 （1）都是在平面内进行的图形变换； （2）都只改变图形的位置，不改变图形的形状和大小； （3）都是一个已知图形变换后得到另一个图形. 3.旋转作图 利用旋转的性质，可以画出一个图形绕某一点旋转一定角度之后的图形.旋转作图的基本步骤如下: 【知识点09】中心对称与中心对称图形 1.中心对称：一般地，在平面内，若一个图形是由另一个图形绕某个点旋转180°得到的，则称这两个图形成中心对称,这个点叫作对称中心，两个对称图形上的对应点叫作对称点. 注意：（1）中心对称是对两个图形而言的，它表示两个图形之间的对称关系; （2）中心对称是一种特殊的旋转,旋转角的度数是180°. 示例 中心对称 _________________________________________如图，△𝐴𝐵𝐶与△𝐴′𝐵′𝐶′成中心对称，点𝑂 是它们的对称中心. 2.中心对称的性质：成中心对称的两个图形中，对应点的连线经过对称中心，且被对称中心平分. 敲黑板 中心对称的其他性质 （1）因为中心对称是一种特殊的旋转,所以它具有旋转的一切性质. （2）成中心对称的两个图形,其对应线段互相平行（或在同一条直线上）且相等. 辨析：中心对称和轴对称的异同 中心对称 轴对称 不同点 对称中心只有一个——点. 对称轴只有一条——直线. 一个图形绕对称中心旋转180°能够与另一个图形重合. 一个图形沿对称轴翻折能够与另一个图形重合. 对应点的连线经过对称中心，且被对称中心平分. 对应点的连线被对称轴垂直平分. 相同点 都表示两个图形之间的关系，并且变换前、后的两个图形形状、大小相同. 3.确定对称中心的方法 方法一 连接任意一组对应点,取这条线段的中点，则该点就是对称中心. 方法二 连接两组对应点,这两条线段（不在同一条直线上）的交点就是对称中心. 4.作已知图形关于某一点对称的图形 作图步骤如下： 5.中心对称图形：把一个图形绕某一点旋转180^∘ ，如果旋转后的图形就是其本身，那么这个图形叫作中心对称图形，这个点就是它的对称中心. 6.中心对称图形的性质：中心对称图形上对称点的连线必经过对称中心，且被对称中心平分,即过对称中心的直线与中心对称图形所交的两个对应点是对称点. 中心对称 中心对称图形 区别 （1）是针对两个图形而言的. （2）是指两个图形的（位置）关系. （3）对称点在两个图形上. （4）对称中心可能在两个图形的外部，也可能在图形的内部或图形边界上. （1）是针对一个图形而言的. （2）是指具有某种性质的一个图形. （3）对称点在一个图形上. （4）对称中心在图形内部或图形边界上. 联系 （1）都是根据“把图形旋转180°后能重合”定义的. （2）两者可以相互转化，若把成中心对称的两个图形视为一个整体，则整个图形是中心对称图形；若把一个中心对称图形相互对称的两部分看作两个图形，则这两个图形成中心对称. 辨析：中心对称图形与轴对称图形的区别和联系 中心对称图形 轴对称图形 区别 关于某一点对称. 关于某一条直线对称. 绕某一点旋转180°后与原来的图形重合. 沿某一条直线折叠后，直线两旁的部分互相重合. 举例 线段、平行四边形、矩形、菱形、边数是偶数的正多边形、圆等都是中心对称图形. 线段、角、等腰三角形、矩形、菱形、正多边形等都是轴对称图形. 联系 ______________如果一个图形是轴对称图形，且有两条互相垂直的对称轴，那么它也是中心对称图形，如圆、正方形……既是轴对称图形又是中心对称图形. 【题型一】生活中的平移现象 1．（23-24七年级下·江苏无锡·期中）下列现象是数学中的平移的是（　　） A．“神舟”十号宇宙飞船绕地球运动 B．小朋友荡秋千 C．骑自行车时的轮胎滚动 D．瓶装饮料在传送带上移动 2．（24-25七年级下·江苏常州·期中）如图，某住宅小区内有一长方形地，若在长方形地内修筑同样宽的小路（图中阴影部分），余下部分绿化，小路的宽均为，则绿化的面积为 ____． 【题型二】图形的平移 3．（24-25七年级下·江苏宿迁·期末）将如图所示的图案通过平移后可以得到的图案是（   ） A． B． C． D． 【题型三】利用平移的性质求解 4．（24-25七年级下·江苏苏州·月考）如图，长方形中，，，将它沿平移得到长方形，则图中阴影部分的面积为________． 【题型四】利用平移解决实际问题 5．（25-26七年级·江苏南通·期末）如图，大长方形的长是，宽是，阴影部分的宽都是，则空白部分的面积是（   ） A．18 B．24 C．32 D．36 6．（23-24七年级下·江苏盐城·期末）如图是某零件的平面示意图（单位：mm），每一个转角处都是直角，则该零件的平面示意图的周长是__________ mm． 【题型五】平移(作图) 7．（24-25七年级下·江苏淮安·期中）如图，方格纸中每个小正方形的边长都是1，是格点三角形（三个顶点都在格点上）．经过平移后得到，点恰好落在点处， (1)请画出平移后的； (2)若连接，，则这两条线段之间的位置关系是 ； (3)△的面积为 ． 8．如图，平移线段，使点移动到点的位置．画出平移后的线段．设为线段的中点，线段平移到后，请在图中标出点的对应点． 【题型六】轴对称图形的识别 9．（24-25七年级下·江苏泰州·月考）以下是四款常用的人工智能大模型的图标，其中是轴对称图形的是（   ） A． B． C． D． 【题型七】成轴对称的两个图形的识别 10．（24-25七年级下·江苏常州·期中）如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，的顶点A、B、C在小正方形的顶点上，将向上平移3个单位，再向左平移1个单位得到． (1)在网格中画出； (2)在网格中画出，使得与关于点成中心对称； (3)问：与是否成轴对称？（回答“是”或“否”） 【题型八】作已知线段的垂直平分线 11．如图，在等腰中，，请用尺规作图法，求作的对称轴（保留作图痕迹，不写作法）． 【题型九】作垂线(尺规作图) 12．观察图中尺规作图的痕迹，则（   ） A．平分 B． C． D． 13．（24-25七年级下·江苏镇江·期末）图1是由两张大小相同的正方形纸片摆放成的一幅美丽的图案，它既是轴对称图形又是中心对称图形．请在图2中再画出一个正方形，使它们组成与图1形状相同的图案． 要求：仅用无刻度的直尺和圆规作图，保留作图痕迹，用铅笔或黑色水笔加黑加粗． 【题型十】根据成轴对称图形的特征进行判断 14．（22-23七年级下·江苏淮安·月考）如图，和关于直线对称，则下列结论中不正确的是（    ）    A．和周长相等 B．和面积相等 C． D．直线平分 15．（24-25七年级下·江苏南京·期中）如图1是光的反射示意图，点处有一个光源，入射光线经过镜面反射后，恰好经过点，点叫入射点，已知反射角等于入射角，法线． (1)若，则______． (2)如图2，在空心圆柱口放置一面平面镜，与水平线的夹角，入射光线经平面镜反射后反射光线为（点，，，，，，在同一竖直平面内），若要使反射光线恰好垂直于圆柱底面射出，则入射光线与水平线的夹角的度数为______． (3)如图3，点处有一个光源，入射光线经过镜面反射后，恰好经过点，请用无刻度直尺和圆规作出入射点，并画出光线（不写作法，保留作图痕迹，用铅笔加黑加粗） (4)某台球桌为如图4所示的长方形，，小球从沿角击出，恰好经过5次碰撞后到达处．则______． 【题型十一】根据成轴对称图形的特征进行求解 16．（24-25七年级下·江苏无锡·月考）如图，在中，，是边上的一点，是轴对称图形，所在直线是它的对称轴．若的周长为，则__________． 17．（24-25七年级下·江苏泰州·期中）（1）如图，在所给正方形网格（每个小网格的边长是1）图中完成下列各题． ①格点（顶点均在格点上）的面积为_________； ②画出格点向右平移3个单位长度后得到的； ③在直线上找出点P，使平分． （2）如图，四边形和四边形关于直线l成轴对称． ①在图①中用直尺和圆规作出对称轴；（保留作图痕迹，不写作法） ②如果只有一把无刻度的直尺，请你在图②中画出对称轴． 【题型十二】作角平分线(尺规作图) 18．（24-25七年级下·江苏无锡·期中）如图．已知，用直尺和圆规作图：（保留作图痕迹，不写作法） ①在边上作点，使得； ②在边上作点，连接，使得平分的面积． 【题型十三】台球桌面上的轴对称问题 19．如图，桌球的桌面上有两个球，若要将球射向桌面的一边，反弹一次后击中球，则四个点中，可以反弹击中球的是（    ） A．点 B．点 C．点 D．点 【题型十四】轴对称中的光线反射问题 20．（25-26七年级·江苏盐城·期末）【阅读材料】 日常生活中，光遇到水面、玻璃以及其他许多物体的表面都会发生反射．图1是光的反射示意图（反射角等于入射角，法线与平面镜垂直，垂足为入射点）． 【尝试探究】 （1）如图2，为法线，入射光线与镜面所夹的锐角为，反射光线与镜面所夹的锐角为，试探究和之间的数量关系？并说明理由． 【结论应用】请用（1）中获得的结论解决以下问题： （2）如图3，平面镜，点A在上，点B在上，光线被反射后再次被反射，入射光线经过两次反射后的光线为，其中点C在上，点D在上．请用无刻度的直尺与圆规补全图3中的反射光线（不写作法，保留作图痕迹）． （3）如图4，两平面镜，相交于点O，入射光线经两个平面镜两次反射后的反射光线为，若和相交，设交点为H．通过调整两个平面镜的夹角（）的大小，可以改变反射光线的方向．当时（即），求的大小． （4）如图5，，为两个足够长的平面镜，若，为一条入射光线，B为入射点，且，请问，入射光线经过_________次反射之后，光线将与其中一个平面镜平行射出． 【题型十五】折叠问题 21．（25-26七年级·江苏无锡·期末）如图，将正方形分别沿、折叠，使得点与点重合，点与点重合，若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 22．（25-26七年级·江苏扬州·期末）将一张长方形纸片按如图所示方式折叠后，若，则____________． 【题型十六】画对称轴 23．请在网格中完成下列问题： (1)在图1中画出△ABC关于直线PQ成轴对称的； (2)在图2中画出△ABC与△DEF的对称轴． 【题型十七】画轴对称图形 24．如图，在3×3的正方形网格中，格线的交点称为格点，以格点为顶点的三角形称为格点三角形．图中的为格点三角形，在图中最多能画出 ___________个格点三角形与成轴对称． 【题型十八】求对称轴条数 25．如图是采用我国非遗纺织印染工艺——蜡染制作的精美图案，该图案有_____________条对称轴． 【题型十九】车牌号码的镜面对称 26．某公路急转弯处设立了一面圆形大镜子，车内乘客从圆形大镜子中看到汽车前车牌的部分号码如图所示，则该车牌照的部分号码为__________． 【题型二十】电子钟示数的镜面对称 27．电子钟镜子里的像如图所示，实际时间是（    ） A．21：10 B．10：21 C．10：51 D．12：01 【题型二十一】判断生活中的旋转现象 28．（24-25七年级下·江苏宿迁·期中）在常见的扑克牌中，“红桃J”如下图这样放置，把它倒过来放，看它还是和原来一样的，这主要是利用数学中的（    ） A．旋转 B．平移 C．轴对称 D．以上都对 29．（24-25七年级下·江苏泰州·月考）有下列现象：①高层公寓电梯的上升；②翻动书页；③方向盘的转动；④传送带的移动．其中属于旋转的有______（写出序号） 【题型二十二】判断由一个图形旋转而成的图案 30．（24-25七年级下·江苏南京·期中）电影《哪吒之魔童闹海》的热映，推动了我国国产动画电影发展，提升了中国文化影响力．对下列哪吒图片的变换顺序描述正确的是（    ） A．轴对称，平移，旋转 B．旋转，轴对称，平移 C．轴对称，旋转，平移 D．平移，旋转，轴对称 【题型二十三】找旋转中心、旋转角、对应点 31．（24-25七年级下·江苏无锡·月考）如图，在正三角形网格中，将绕某个点旋转得到，则能作为旋转中心的是（   ） A．点A B．点B C．点C D．点D 32．（24-25七年级下·江苏淮安·期中）如图，在中，，将绕点C旋转得到．若点B、C、D在同一条直线上，则旋转方向和旋转角可能是（     ） A．顺时针， B．逆时针， C．顺时针， D．逆时针， 【题型二十四】旋转中的规律性问题 33．（24-25七年级下·江苏淮安·期中）平移、旋转和轴对称是图形运动的基本形式．图1、图2中的三角形①～⑤的顶点都在边长为1个单位长度的正方形网格点上． (1)如图1，三角形②可以看成由三角形①经过一次 得到；三角形③可以看成由三角形①经过一次 得到（填“平移”“旋转”或“轴对称”）． (2)如图2，三角形⑤可以看成由三角形④经过怎样的图形运动得到？下列结论： A. 1次轴对称   B. 1次旋转    C． 1次平移和1次旋转  D. 1次旋转和1次轴对称 其中，所有正确结论是 ． 【题型二十五】根据旋转的性质求解 34．（24-25七年级下·江苏苏州·期中）如图，将三角形绕点顺时针旋转得到三角形．若，，则的值为（    ） A． B． C． D． 35．（24-25七年级下·江苏南京·月考）如图，与都是等边三角形．下列说法中，正确的有___________． ①可由绕点B顺时针旋转得到，A与D是一组对应点； ②可由绕点C逆时针旋转得到，B与D是一组对应点； ③可由绕中点旋转得到，B与C是一组对应点； ④可由关于作轴对称变换得到，B与C是一组对应点． 【题型二十六】根据旋转的性质说明线段或角相等 36．在中，，，点D为内一点，连接、． (1)把绕点C逆时针旋转得到了，旋转中心是点 ，旋转角是 ° (2)延长交于F，交于M，求证：． 【题型二十七】旋转的性质及辨析 37．（24-25七年级下·江苏南京·期中）如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，点A，B，C，D，E，F均为格点（网格线的交点），请按下列要求作图，并标出相应的字母． (1)①在图1中，画出线段关于直线对称的线段．连接，线段和直线的关系为______； ②在图1中，将线段AB向左平移1个单位长度，再向上平移3个单位长度，得到线段，画出线段．连接、，线段和线段的关系为______； (2)在图2中，线段与线段存在旋转变换关系．画出旋转中心O． 【题型二十八】画旋转图形 38．（24-25七年级下·江苏无锡·期末）【阅读材料】如图1，等边各边的垂直平分线交于点O，并将分成形状、大小完全相同的六个小三角形． 将一个小三角形沿着直线翻折得到新的三角形，这样的变换记为，类似地，沿着直线，翻折分别记为，； 将一个小三角形绕着点O顺时针旋转得到新的三角形，这样的变换记为，类似地，绕着点O顺时针旋转，分别记为，； 如果先作变换，再作变换，可以记为． 例如，图2中将作变换，即：将先作变换得；再将作变换，得到．而将直接作变换也得到． 这意味着（）变换可化简为变换，即：． 【问题解决】 (1)将作变换得到______；将作变换得到______；将进行变换得到______；变换可化简为______变换． (2)我们知道，有理数的加法运算具有交换律和结合律，即： ，．类似地，我们可以探究“”可以满足哪些运算律． 在下列等式中，你认为正确的是______．（填写所有正确的序号） ①； ②； ③． (3)利用两次旋转和一次翻折变换，可设计出变换结果为的算法．如：，请再设计4个符合要求的算法，要求算式中不带括号，且翻折变换只能是．（直接写出答案） 【题型二十九】利用旋转设计图案 39．（22-23七年级·江苏南京·期末）（1）如图①，所有小正方形的边长都为，点、、均在格点上，用直尺画图： ①过点画 ②过点画，垂足为 （2）在图①中，线段______的长度表示点到的距离； （3）已知：，，利用直尺和圆规作图在图②中直线的上方作射线，使（不写作法，保留作图痕迹．） 【题型三十】旋转对称图形的识别 40．下列各图中，既可经过平移，又可经过旋转，由图形①得到图形②的是（    ） A． B． C． D． 【题型三十一】求旋转对称图形的旋转角度 41．下列图形绕某一点旋转一定角度都能与原图形重合，其中旋转角度最小的是（　　） A． B． C． D． 【题型三十二】画已知图形关于某点对称的图形 42．（24-25七年级下·江苏无锡·期末）如图，在每个小正方形的边长为个单位的网格中，的顶点均在格点（网格线的交点）上，直线经过小正方形的边．    (1)画出线段的垂直平分线； (2)画出关于直线成轴对称的； (3)画出关于点成中心对称的． 【题型三十三】画两个图形的对称中心 43．（2023·江苏常州·中考模拟）如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标为、、    (1)若将向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度，请画出平移后的 (2)画出绕原点旋转后得到的； (3)与是中心对称图形，请写出对称中心的坐标：______； (4)顺次连结，所得到的图形是轴对称图形吗？ 【题型三十四】根据中心对称的性质求面积、长度、角度 44．（24-25七年级下·江苏连云港·期中）如图，与关于点C成中心对称，则线段_______． 【题型三十五】中心对称图形的识别 45．（24-25七年级下·江苏南京·月考）下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（　　） A． B． C． D． 46．（24-25七年级下·江苏泰州·月考）如图，已知和线段． (1)请用无刻度的直尺和圆规按以下步骤作图： ①作的平分线； ②在上取，作的垂直平分线交射线、分别于点、，交于点，连接、． (2)对于（1）中所作的四边形，下列说法正确的是____________（填序号） ①； ②与关于直线成轴对称； ③四边形是轴对称图形，且有2条对称轴； ④四边形是中心对称图形，对称中心是点． 【题型三十六】判断中心对称图形的对称中心 47．（22-23七年级下·江苏苏州·月考）如图所示，在由正方形组成的网格中，和的顶点都在格点上，根据图形解答下列问题：        (1)将先向左平移4个单位长度，再向下平移2个单位长度，画出平移后的； (2)将绕点逆时针旋转，画出旋转后的； (3)已知与关于点成中心对称，画出对称中心点． 【题型三十七】在方格纸中补画图形使之成为中心对称图形 48．（24-25七年级下·江苏常州·期中）在如图1的方格纸中，用五个相同的正方形组成如图所示的图形． (1)请在图2，图3中只添加一个小正方形，使得六个正方形组成的图形是轴对称图形； (2)请在图4，图5中只添加一个小正方形，使得六个正方形组成的图形是中心对称图形． 1 学科网（北京）股份有限公司 $