2026年中考数学二轮有关二次函数的应用存在性问题专题训练

2026年中考数学二轮有关二次函数的应用存在性问题专题训练 1．某商场销售一种进价为元/台的台灯，经调查发现，该台灯每天的销售量(台)与销售单价(元)满足一次函数关系，部分数据如下表： 销售单价/元 销售量/台 (1)求与之间的函数关系式； (2)设商场每天销售这种台灯获得的利润为元，当销售单价定为多少元时，每天获得的利润最大？最大利润是多少？ 2．如图（1）市政灌溉车沿着平行于绿化带底部边线的方向行驶，为绿化带浇水．喷水口H离地高度为1.6米．如图（2），可以把灌溉车喷出水的上下边缘抽象为平面直角坐标系中的两条抛物线的部分图象；把绿化带横截面抽象为矩形，其水平宽度米，竖直高度米，上边缘抛物线的最高点A离喷水口H的水平距离为2米，高出喷水口0.2米，灌溉车到绿化带底部边线的距离为d米． (1)求上边缘喷出水的最大射程； (2)灌溉车在行驶中，下边缘喷出的水始终能保证浇灌到绿化带最下方．当米时，请通过计算说明上边缘喷出的水能否浇灌到绿化带最上方，使整个绿化带都被浇灌．如不能，喷水车应该怎样操作才能恰好使整个绿化带都被浇灌． 3．辽宁某农场为提高农业生产效率，采用无人机进行农药喷洒作业．无人机从离地面6米的A点起飞后，沿抛物线形轨迹飞行进行喷洒，当到达与A点水平距离为5米时，无人机达到最高点C，C点到地面的垂直距离为8米，继续沿抛物线轨迹下降，最终着陆，根据无人机的运动轨迹建立如图所示的平面直角坐标系． (1)求无人机飞行轨迹所在抛物线的函数表达式． (2)农场在D处为无人机搭建了安全着陆台，其竖直截面为直角梯形，下底在地面（x轴）上， 米，上底米，梯形的高米，且下底左端点D到无人机起飞点的水平距离米．请判断无人机的着陆点是否落在该梯形着陆台面上，并通过计算说明理由． 4．已知商家购进一批商品，每件的进价10元，拟采取线上和线下两种方式同时进行销售，在线下销售过程中发现：当销售价格不低于13元且不超过25元时，该商品的日销售量y（单位：件）与售价x（单位：元/件）之间存在一次函数关系，部分数值对应关系如下表： 售价x（元/件） 15 20 日销售量y（件） 150 120 (1)求y与x之间的函数关系式； (2)若线上售价始终比线下每件便宜2元，且线上的日销量固定为60件．设该商品线上和线下的日销售利润总和为w元，当该商品的售价x为多少元/件时，日销售利润总和最大？最大利润是多少？ 5．如图，在某次网球训练中，运动员甲在距离球网水平距离为的位置点将网球击出，网球的运动路线是抛物线形状，点到地面的距离为，在距离球网水平距离为时，网球运动到最大高度，落地点为点．以为坐标原点，地面所在直线为轴，球网所在直线为轴建立平面直角坐标系． (1)求网球运动路线所在抛物线的函数表达式； (2)球网在网球场地的正中间位置，若这个网球场地的长度为，请你判断该网球的落地点是否在网球场地外？并说明理由． 6．如图，已知女排球场的长度为18米，位于球场中线处的球网的高度为2.24米，一队员站在点O处发球，排球从点O的正上方2米处的C点向正前方飞去，排球的飞行路线是抛物线的一部分，当排球运行至离点O的水平距离为6米时，到达最高点G，以O为原点建立如图所示的平面直角坐标系． (1)当排球运行的最大高度为2.8米时，求排球飞行的高度y（单位：米）与水平距离x（单位：米）之间的函数关系式． (2)在（1）的条件下，这次所发的球能够过网吗？如果能够过网，是否会出界？请说明理由． (3)排球从C点飞出去，要想排球既能过网又不会出界，直接写出球运行的最大高度h（米）的取值范围．（排球压线属于没出界） 7．如图，一个小朋友坐在池塘边向水中抛掷石头，石头从距离水面米高处飞出，水平飞行5米达到最高处，此时距离水面3米，石头落到水面上弹起后的抛物线与原来的抛物线形状相同，最大高度比原来最大高度降低米． (1)求石头飞出到第一次落到水面时的抛物线表达式； (2)石头第二次落到水面的位置距离池塘边多远？ 8．如图，某校劳动实践基地用总长为的栅栏，围成一块一边靠墙的矩形实验田，墙长为．栅栏在安装过程中不重叠、无损耗，设矩形实验田与墙垂直的一边长为（单位：），与墙平行的一边长为（单位：），面积为（单位：）． (1)求与的函数解析式并写出的取值范围． (2)矩形实验田的面积S能达到吗？如果能，求的值；如果不能，请说明理由． (3)求当的值是多少时，矩形实验田的面积S最大？最大面积是多少？ 9．某地一商场为减少能源消耗，计划为商场外墙与屋顶加建隔热层，加建成本（万元）与隔热层厚度（厘米）满足关系式．加建后该商场预计每年的能源消耗费用（万元）与隔热层厚度（厘米）满足关系式．如果设该商场加建隔热层的成本与未来年的能源消耗费用之和为（万元）． (1)求与的关系式； (2)已知该商场未来年的相关计划费用（万元）满足，那么当时，求隔热层厚度（厘米）的取值范围． 10．如图是抛物线形拱桥，处有一照明灯，点到水面的距离为，从、两处观测处，仰角分别为，，且，，以为原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系． (1)求点的坐标； (2)求抛物线的函数表达式及抛物线上的最高点到水面的距离． 11．某校组织师生前往成都未来科技城开展“人工智能与生活”项目式研学活动．在准备过程中，同学们收集了以下租车信息： 信息一：现有甲、乙两种型号的智能电动观光车可供租用，在每辆车满员情况下，租用2辆甲型车和3辆乙型车可载客180人；租用4辆甲型车和1辆乙型车可载客210人； 信息二：甲型车每辆租金为2000元，乙型车每辆租金为1500元； 信息三：租车公司推出优惠活动：若租用甲型车辆，则每辆甲型车的租金减少元；学校计划租用甲、乙两种型号车共10辆，请根据以上信息解决以下问题： (1)甲、乙两种型号的智能电动观光车每辆载客量分别是多少人？ (2)设租用甲型车辆，租车总费用为元，求与之间的函数表达式，当时，求出本次研学活动学校的最少租车费用． 12．如图，从水平地面上，以米/秒的速度斜抛一个小球，当抛射角与水平面的夹角是时，小球运动过程中的水平距离与时间的函数关系为一次函数，小球运动过程中的竖直距离与时间的函数关系是二次函数．（结果保留两位小数．参考数据， (1)求竖直距离关于水平距离的函数解析式； (2)小球从斜抛离开地面，运动多长时间落地？落地点到抛出点的水平距离是多少米？小球运动过程中的最大高度是多少？ (3)实验发现，当小球离开地面的速度一定，仍是米/秒时，当抛射角为时，小球抛出的距离最远，此时水平距离、竖直距离与时间的关系分别为，．运用上面的信息，直接写出小球抛出的最远距离是___________． 13．足球训练中球员从球门正前方米的处射门，球射向球门的路线呈抛物线．当球飞行的水平距离为米时，球达到最高点，此时球离地面米．现以球门底部点为原点，水平地面为轴建立如图所示直角坐标系． (1)求抛物线的函数表达式； (2)若球门米，守门员最大防守高度米，若射门路线的形状、最大高度均保持不变，当球员带球向正前方移动米再射门，足球恰好从之间射进球门（不含点和），求的取值范围． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 1．(1)； (2)当销售单价定为元时，每天获得的利润最大，最大利润是元． 【分析】（1）已知与为一次函数关系，设出一次函数一般式，代入表格中的两组数据求解系数，验证后即可得到函数关系式； （2）根据总利润=单台利润×销售量，列出利润关于销售单价的二次函数，利用二次函数的性质即可求出最大利润和对应单价． 【详解】（1）解：设与之间的一次函数关系式为， 选取表格中两组数据，代入解析式， 得：，解得， ∴与之间的函数关系式为． （2）解：由题意，单台利润为元，销售量为台， 因此总利润， ∵二次项系数， ∴抛物线开口向下，顶点为最大值点， 当时，取得最大值，最大值为，且符合实际意义． 答：当销售单价定为元时，每天获得的利润最大，最大利润是元． 2．(1)上边缘喷出水的最大射程为8米 (2)当米时，上边缘喷出的水不能浇灌到绿化带最上方；灌溉车需向绿化带方向移动米或使米，才能恰好使整个绿化带都被浇灌 【分析】（1）易得上边缘抛物线的顶点坐标为，用顶点式表示出抛物线的解析式，把点H的坐标代入可得a的值，即可求得抛物线的解析式，取，求得合适的x的值，即为上边缘喷出水的最大射程； （2）易得点E的横坐标为7，取，代入（1）中得到的解析式，求得y的值，与的高0.9比较即可判断上边缘喷出的水能否浇灌到绿化带最上方，使整个绿化带都被浇灌． 【详解】（1）解：根据题意可得：喷水口的坐标为，上边缘抛物线的最高点A的坐标为， 设上边缘抛物线的解析式为： 将代入得：， ， 解得． 因此，上边缘抛物线的解析式为： 当时，， （舍），． 即米． 答：上边缘喷出水的最大射程OC为8米． （2）解：因为绿化带水平宽度米，竖直高度米． 所以，当时， 当时：（米）米 当时：（米）米 因为时，，所以上边缘喷出的水不能浇灌到绿化带最上方，使整个绿化带都被浇灌． 解决方法： 设抛物线向右平移个单位，则关系式为 将代入上边缘函数关系式，得： （舍）， （米） 当米时，上边缘喷出的水不能浇灌到绿化带最上方；灌溉车需向绿化带方向移动米或使米，才能恰好使整个绿化带都被浇灌 3．(1) (2)无人机的着陆点落在该梯形着陆台面上，见解析 【分析】（1）根据题意得到抛物线的顶点坐标为，抛物线过点，运用待定系数法即可求解； （2）根据题意得到点，代入抛物线得到无人机对应的高度，由此即可判定． 【详解】（1）解：根据题意，得抛物线的顶点坐标为，抛物线过点， 设无人机飞行轨迹所在抛物线的函数表达式为， 将点代入抛物线，得， 解得， ∴无人机飞行轨迹所在抛物线的函数表达式为； （2）解：无人机的着陆点落在该梯形着陆台面上．理由如下： 根据题意，得点， 当时，， 当时，， ∵ ∴无人机的着陆点落在该梯形着陆台面上． 4．(1)当时，y与x之间的函数关系式为 (2)当该商品的售价定为25元时，日销售利润总和最大，最大利润是2130元． 【分析】（1）根据题意，利用待定系数法，即可求解； （2）根据题意，列出w与x之间的二次函数关系式，再根据自变量的取值范围和二次函数的性质，即可求解． 【详解】（1）解：当销售价格不低于13元且不超过25元时，该商品的日销售量y与售价x之间存在一次函数关系， 设， 将，；，代入得： ，解得， ， 当时，y与x之间的函数关系式为； （2）根据题意，得， 即， ， 当时，w随x的增大而增大 即当时，w有最大值，最大值为， 当该商品的售价定为25元时，日销售利润总和最大，最大利润是2130元． 5．(1) (2)该网球的落地点在网球场地内． 【分析】（1）根据题意可知，点的坐标为，抛物线的顶点坐标为，设抛物线的解析式为，把点的坐标代入，求出的值，即可得到抛物线的解析式； （2）当时，可得方程，解方程可得：，根据网球场地的长度为，球网在网球场地的正中间位置，所以对面场地的长度为，所以点在场地内． 【详解】（1）解：由题意可知，点的坐标为，抛物线的顶点坐标为， 设抛物线的解析式为， 把点的坐标代入， 可得：， 解得：， 抛物线的解析式为； （2）解：点在场地内，理由如下： 当时， 可得：， 解得：，（不符合题意，舍去）， ， 网球场地的长度为，球网在网球场地的正中间位置， ， ， 该网球的落地点在网球场地内． 6．(1) (2)球可以过网且不出界，见解析 (3) 【分析】（1）顶点坐标为，可设解析式为，再将点C坐标代入即可； （2）由解得的解析式，求得时y的值，时，y的值； （3）设解析式为，将点C坐标代入上式，再求出h的范围． 【详解】（1）解：由题意可知抛物线的顶点坐标为， 设抛物线的解析式为， 将点代入可得，， 解得， ； （2）解：当时，， 当时，， ∴球可以过网且不出界； （3）解：设解析式为， 将点代入，得， 解得：， ∴解析式为， 由题意可知当时，， 解得， 当时， 解得， ∴． 7．(1) (2)21米远 【分析】（1）设出顶点式，利用待定系数法进行求解即可； （2）求出时，的值，得到石头第一次落到水面的位置到池塘边的距离，求出时，两个自变量的值，大数减去小数即为第二个抛物线与轴的两个交点间的距离，即可得出结果． 【详解】（1）解：由题意，抛物线的顶点坐标为，经过点， 设抛物线的解析式为，把代入，得， 解得， ∴； （2）解：∵， ∴当时，解得， ∴石头第一次落到水面的位置到池塘边的距离为11米， 当时，解得， ∴第二个抛物线与轴的两个交点间的距离为， ∴石头第二次落到水面的位置距离池塘边米远． 8．(1) (2) (3)当时，矩形实验田的面积S最大，最大面积是 【分析】（1）根据栅栏的总长度为可得关系式，再根据墙的长度和栅栏的长度建立不等式组求出x的取值范围即可； （2）根据矩形的面积公式建立方程求解即可； （3）根据矩形的面积公式列出S关于x的关系式，再利用二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：由题意得，， 其中， ∴； （2）解：当时，则， 整理得， 解得或（舍去）， ∴当时，矩形实验田的面积S能达到； （3）解：由题意得， ∵， ∴当时，S随x的增大而减小， 又∵， ∴当时，S有最大值，最大值为， 答：当时，矩形实验田的面积S最大，最大面积是． 9．(1) (2) 【分析】（1）根据题意可得：，把，代入即可得到与的关系式； （2）把代入，可得，根据，可得关于的不等式组，解不等式组即可求出的取值范围． 【详解】（1）解：根据题意可得：， ，， ， 整理可得：； （2）解：， ， ， ， 解得：． 10．(1) (2)，抛物线上的最高点到水面的距离为 【分析】（1）作于点，根据题意，，利用三角函数计算出，从而得到点的坐标； （2）利用三角函数求出，从而得到点，使用待定系数法求出抛物线的表达式，再化为顶点式求出顶点坐标即可． 【详解】（1）解：如图，作于点， ∵， ∴，， 在中，， ∴点的坐标为； （2）解：在中，， ∴， ∴点的坐标为， 设抛物线的解析式为， 将点代入，得， ，解得， ∴， ∴顶点坐标为， ∴抛物线的最高点到水面的距离为． 11．(1) 甲型号智能电动观光车每辆载客量为45人，乙型号智能电动观光车每辆载客量为30人 (2) 函数表达式为（且为整数），最少租车费用为14400元 【分析】（1）根据题干给出的两种载客情况设未知数列方程组求解即可． （2）根据租车优惠规则表示出总费用，整理得到函数表达式，再根据二次函数的增减性，在给定区间内求出最小值即可． 【详解】（1）解：设甲型号观光车每辆载客人，乙型号观光车每辆载客人， 根据题意可得，解得， 答：甲型号智能电动观光车每辆载客量为45人，乙型号智能电动观光车每辆载客量为30人． （2）解：已知租用甲型车辆，则租用乙型车辆． 则租车总费用， 对于二次函数，其中， 所以函数图象开口向下，对称轴为． 因为对称轴，且在对称轴右侧，随的增大而减小， 所以当时，有最小值． 把代入可得（元）． 答：与之间的函数表达式为， 当时，本次研学活动学校的最少租车费用为元． 12．(1) (2)小球从斜抛离开地面，运动秒落地，落地点到抛出点的水平距离是米，小球运动过程中的最大高度是米 (3)米 【分析】（）由得，再代入解答即可求解； （）令，解方程可得小球从斜抛离开地面运动秒落地，进而可求落地点到抛出点的水平距离，利用二次函数的性质可求出小球运动过程中的最大高度； （）求出关于水平距离的函数解析式，再求出时的即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， 把代入，得， ∴竖直距离关于水平距离的函数解析式为； （2）解：令， 解得或， ∴小球从斜抛离开地面，运动秒落地， ∴落地点到抛出点的水平距离（米）， ∵小球运动的高度为， ∴当时，有最大值， ∴最大值是（米）， 答：小球从斜抛离开地面，运动秒落地，落地点到抛出点的水平距离是米，小球运动过程中的最大高度是米； （3）解：由，得， 把代入，得， 当时，即， 解得或， ∴的最大值是， ∴小球抛出的最远距离是米， 故答案为：米． 13．(1)抛物线的函数表达式为 (2)的取值范围为 【分析】（1）根据题意，先得出对应的顶点坐标和点坐标，由顶点式即可得出结果； （2）先得出移动后的函数表达式，由点，坐标即可得出的取值范围． 【详解】（1）解：根据题意可判断，抛物线顶点坐标为，， 令抛物线的函数表达式为， 将点代入 ， 得， 解得， 故抛物线的函数表达式为． （2）解：令移动米后得抛物线表达式为， 若恰达到点，即时，， 解得或（舍去）； 若恰达到点，即时，， 解得或（舍去）； 综上，的取值范围为． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $