13.3.2 空间图形的体积（第2课时 球的表面积和体积）分层同步练习-2025-2026学年高一下学期数学苏教版必修第二册

13.3.2　空间图形的体积 第2课时　球的表面积和体积 A层 基础达标练 1.已知球O的半径为2,则球O的表面积为(　　) A.4π B.8π C.16π D.32π 2.一平面截一球得到直径为6 cm的圆面,球心到这个圆面的距离是4 cm,则该球的体积是(　　) A. cm3 B. cm3 C. cm3 D. cm3 3.已知圆柱上、下底面圆周均在球面上,且圆柱底面直径和高相等,则该球与圆柱的体积之比为(　　) A. B. C. D. 4.(多选题)已知球O的半径为,则下列结论正确的是(　　) A.球O的表面积为6π B.球O的内接正方体的棱长为1 C.球O的外切正方体的棱长为 D.球O的内接正四面体的棱长为2 5.如图为扇形ABC,圆心角A=90°,D为半径AB的中点,CB,CD把扇形分成三部分,这三部分绕AC旋转一周,所得三部分旋转体的体积V1,V2,V3之比是(　　) A.1∶2∶2 B.1∶2∶3 C.1∶3∶3 D.1∶3∶4 6.若三棱锥的三条侧棱两两垂直,且三条侧棱长分别为1,,则其外接球的表面积是　　　　.  7.已知H是球O的直径AB上一点,AH∶HB=1∶2,AB⊥平面α,H为垂足,α截球O所得截面的面积为π,求球O的表面积. B层 能力提升练 8.已知直三棱柱ABC-A1B1C1的各顶点都在球O的球面上,且AB=AC=1,BC=.若球O的体积为,则这个直三棱柱的体积等于(　　) A. B. C.2 D. 9.(2023全国甲卷)在正方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=4,O为AC1的中点,若该正方体的棱与球O的球面有公共点,则球O的半径的取值范围是　　　　　　　.  10.一个六棱柱的底面是正六边形,其侧棱垂直于底面,已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上,且该六棱柱的体积为,底面周长为3,则这个球的体积为　　　　.  11.已知圆锥的底面半径为1,母线长为3,则该圆锥内半径最大的球表面积为　　　　　.  12.已知正四棱台ABCD-EFGH的上、下底面的面积分别为2 cm2,8 cm2,该正四棱台的外接球表面积为20π cm2,则该正四棱台的体积为　　　　cm3.  13.如图,一个透明的球形装饰品内放置了两个具有公共底面的圆锥,且这两个圆锥的顶点和底面圆周都在这个球面上,已知大圆锥轴截面是等边三角形,设球的半径为R,圆锥底面半径为r. (1)试确定R与r的关系; (2)若小圆锥、大圆锥的侧面积分别为S1,S2,球的表面积为S3,求S1∶S2∶S3; (3)求出两个圆锥的总体积(即体积之和)与球的体积之比. C层 拓展探究练 14.学生到工厂参加劳动实践,用薄铁皮制作一个圆柱体,圆柱体的全面积为8π,则该圆柱体的外接球的表面积的最小值为. 15.如图,在三棱锥P-ABC中,PC⊥底面ABC,PC=4,AB=BC=3,∠ABC=120°.求三棱锥P-ABC外接球的表面积. 参考答案 1.C　设球O的半径为R,即R=2,由球O的表面积公式可得S表=4πR2=16π.故选C. 2.C　如图, 根据题意,|OO1|=4 cm, |O1A|=3 cm,∴|OA|=R==5 cm,故球的体积V=R3=(cm3).故选C. 3.C　如图,由题意,得R=r,h=2r,故选C. 4.AD　对于A,球的表面积为4π=4π=6π,故A正确;对于B,设球O的内接正方体的棱长为a,正方体的体对角线即为球O的直径,可得2× ,a=,故B错误;对于C,球的外切正方体的棱长为2,故C错误;对于D,将正四面体AB1CD1补形为正方体,如图所示,正方体的体对角线长为2,棱长为,所以正四面体的棱长为=2,故D正确.故选AD. 5.D　不妨设扇形ABC的半径为2,则V1=12×2=, V2=22×2-12×2=2π,V3=23-22×2=, 故V1∶V2∶V3=2=1∶3∶4.故选D. 6.6π　根据题意可知,该三棱锥的三条侧棱两两垂直, ∴可以把这个三棱锥补成一个同一顶点处三条棱长分别为1,的长方体,于是长方体的外接球就是三棱锥的外接球. 设其外接球的半径为R,则有(2R)2=12+()2+()2=6. ∴R2=故其外接球的表面积S=4πR2=6π. 7.解如图所示,连接OD,CD是截面圆的直径. ∴(CD)2·π=π, 即CD=2,HD=1. 设球O的半径为R, ∵AH∶HB=1∶2,∴AH=2R=R, ∴OH=R-R=R. 由OD2=OH2+HD2,得R2=R2+1, ∴R2=,∴S球=4πR2= 8.B　设球O的半径为R.因为球O的体积为,所以,解得R= 因为AB=AC=1,BC=,所以cos∠CAB==- 又0<∠CAB<π,所以∠CAB=,所以S△ABC=12×sin, 所以△ABC外接圆的半径2r==2,解得r=1.设球心到底面的距离为h, 则h==2,所以这个直三棱柱的体积=2h·S△ABC=2×2故选B. 9.[2,2]　设球的半径为R, 当球是正方体的外接球时,恰好经过正方体的每个顶点,所求的球的半径最大,若半径变得更大,球会包含正方体,导致球面和棱没有交点,正方体的外接球直径2R'为体对角线长AC1==4,即2R'=4,R'=2,故Rmax=2,如图,分别取侧棱AA1,BB1,CC1,DD1的中点M,H,G,N,虽然四边形MNGH是边长为4的正方形,且O为正方形MNGH对角线的交点,连接MG,则MG=4,当球的一个大圆恰好是四边形MNGH的外接圆时,球的半径达到最小,即R的最小值为2综上,R∈[2,2]. 10　设正六棱柱的底面边长为x,高为h, 则有解得 ∴正六棱柱的底面外接圆的半径r=, 球心到底面的距离d=, ∴外接球的半径R==1,∴V球= 11.2π　 如图,在△AOC中,AO==2,圆锥内半径最大的球O'满足与底面相切于点O,与侧面相切于点B,设球O'的半径为r,则AO'=2-r.由题意可知△ABO'∽△AOC,则,可得,解得r=, 故该球的表面积为S=4πr2=2π. 12.14或　设正四棱台的高为h cm,外接球的半径为r cm,则4πr2=20π,解得r= cm. 如图,取正方形EFGH的中心为M,正方形ABCD的中心为N,连接MN,则MN=h cm,可知该几何体的外接球的球心O在MN上,连接ME,NA,OE,OA,则OE=OA=r= cm. 设上、下底面正方形的边长分别为a cm,b cm,则a2=2,b2=8,解得a= cm,b=2 cm,故EM=1 cm,NA=2 cm. 设ON=y cm,当O在线段MN上时,OM=(h-y)cm, 由勾股定理得 解得所以该正四棱台的体积为(2+8+)×3=14(cm3); 当O在MN的延长线上时,OM=(h+y)cm,由勾股定理得解得所以该正四棱台的体积为(2+8+)×1=(cm3). 综上所述,该正四棱台的体积为14 cm3或 cm3. 13.解 (1)由几何体的特征,得△ABC为直角三角形,由于大圆锥的轴截面为等边三角形,故∠ABC=30°,由题意可知∠ACB=90°,AB=2R,所以AC=ABsin 30°=R,BC=ABcos 30°=R,所以r=BCsin 30°= (2)球心到圆锥底面的距离OO1=, 所以小圆锥的高为R- 由(1)知小圆锥的母线长为R,大圆锥的母线长为R, 所以S1=π·r·R=R2,S2=π·rR=R2,S3=4π·R2,故S1∶S2∶S3=3∶8. (3)由(1)得两个圆锥的体积和为r2·2R=, 又球的体积为,故体积之比为=3∶8. 14.8(-1)π　设圆柱的高为h,底面圆的半径为r,该圆柱外接球的半径为R, 由题意可得2πrh+2πr2=8π,则rh+r2=4,所以h=-r.由得0<r<2. 根据圆柱与球的对称性可得R=, 所以该圆柱体的外接球的表面积为S=4πR2=4=4=44π×(2-2)=8(-1)π,当且仅当,即r=时,等号成立.故答案为8(-1)π. 15.解由AB=BC=3,∠ABC=120°,得∠ACB=30°. 设△ABC的外接圆半径为r,则2r==6,所以r=3. 如图,设△ABC的外接圆圆心为O',过点O'作平面ABC的垂线O'O,又PC⊥底面ABC,所以O'O∥PC. 设PC的中点为D,过点D作PC的垂线交O'O于点O,则四边形OO'CD为矩形,O即为三棱锥P-ABC外接球的球心. 设外接球半径为R,则R2=OC2=O'O2+O'C2=22+32=13, 故三棱锥P-ABC外接球的表面积为4πR2=52π. 8 学科网（北京）股份有限公司 $