13.3.2 空间图形的体积（第1课时 柱、锥、台的体积）分层同步练习-2025-2026学年高一下学期数学苏教版必修第二册

**基本信息** 本同步练通过A、B、C三层设计，实现从柱锥台体积公式应用到综合问题解决再到实际情境探究的进阶，强化空间观念与模型意识，适配新授课分层巩固需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |A层|单一公式直接应用|如第2题圆台体积计算，巩固基础公式，培养运算能力| |B层|组合体与几何关系综合|如第8题圆柱截体体积（补形法），提升推理意识与空间观念| |C层|实际情境中的体积问题|如第15题仓库设计方案比较，发展应用意识与数学表达能力|

13.3.2　空间图形的体积 第1课时　柱、锥、台的体积 A层 基础达标练 1.若圆锥的母线长为1,其侧面展开图的面积为,则这个圆锥的体积为(　　) A. B. C. D. 2.圆台的体积为7π,上、下底面的半径分别为1和2,则圆台的高为(　　) A.3 B.4 C.5 D.6 3.正三棱锥的底面周长为6,侧面都是直角三角形,则此棱锥的体积为(　　) A. B. C. D. 4.圆台的上、下底面半径分别是10 cm和20 cm,它的侧面展开图扇环的圆心角是180°(如图),那么圆台的体积是　　　　cm3.  5.《本草纲目》中记有麦门冬这一种药物,书中所提麦门冬,别名麦冬、寸冬等,临床可用于治疗肺燥干咳、津伤口渴、喉痹咽病、阴虚劳嗽等.一个麦门冬可近似看作底面拼接在一起的两个圆锥,如图所示,则该麦门冬的体积约为　　　　.  6.如图,三棱柱ABC-A1B1C1内接于一个圆柱,且底面是正三角形,圆柱的体积是2π,底面直径与母线长相等.求: (1)圆柱的表面积; (2)三棱柱ABC-A1B1C1的体积. B层 能力提升练 7.如图是一个下半部分为正方体、上半部分为正三棱柱的盒子(中间连通).若其表面积为(448+32)cm2,则其体积为(　　) A.(512+128)cm3 B.(216+128)cm3 C.(512+64)cm3 D.(216+64)cm3 8. 如图,一个底面半径为2的圆柱被一平面所截,截得的空间图形的最短和最长母线长分别为2和3,则该空间图形的体积为(　　) A.5π B.6π C.20π D.10π 9.设甲、乙两个圆柱的底面积分别为S1,S2,体积分别为V1,V2.若它们的侧面积相等,且,则的值是(　　) A.2 B. C. D. 10.如图所示,正方体的棱长为2,以其所有面的中心为顶点的多面体的体积为(　　) A.4 B. C. D.3 (第10题图) 11.如图,一个底面半径为2a的圆锥,其内部有一个底面半径为a的内接圆柱,且此内接圆柱的体积为πa3,则该圆锥的体积为(　　) (第11题图) A.πa3 B.πa3 C.4πa3 D.8πa3 12.紫砂壶是中国特有的手工制造陶土工艺品.紫砂壶的壶型众多,经典的有西施壶、掇球壶、石瓢壶、潘壶等.其中,石瓢壶的壶体可以近似看成一个圆台(即圆锥用平行于底面的平面截去一个锥体得到的).如图给出了一个石瓢壶的相关数据(单位: cm),那么该壶的容量(壶的厚度忽略不计)约为(　　) A.100 cm3 B.205 cm3 C.300 cm3 D.400 cm3 13.在高为3的正三棱台ABC-A1B1C1中,A1B1=4,且上底面的面积为,则正三棱台ABC-A1B1C1的体积为　　　　　.  C层 拓展探究练 14.学校组织学生去工厂参加社会实践活动,任务是利用一块正方形的铁皮制作簸箕,方法如下:取正方形ABCD边AB的中点M,沿MC,MD折叠,将MA,MB用胶水粘起来,使得点A,B重合于点E,这样就做成了一个簸箕E-MCD.若这个簸箕的容量为576 cm3,则原正方形铁皮的边长是　　　　cm.  15.养路处建造圆锥形仓库用于贮藏食盐(用于融化高速公路上的积雪),已建的仓库的底面直径为12 m,高为4 m.养路处拟建一个更大的圆锥形仓库,以存放更多食盐.现有两种方案:一是新建的仓库的底面直径比原来大4 m(高不变);二是高度增加4 m(底面直径不变). (1)分别计算按这两种方案所建的仓库的体积; (2)分别计算按这两种方案所建的仓库的表面积; (3)哪种方案更经济些? 参考答案 1.A　由题意可知圆锥的侧面展开图扇形的半径l=1.设底面圆的半径为r,则1×2πr=,所以r=,则圆锥的高为h=,所以该圆锥的体积为π×()2故选A. 2.A　由题意知,V=h(+r1r2+)=h(12+1×2+22)=7π,解得h=3.故选A. 3.D　因为正三棱锥的底面周长为6,所以正三棱锥的底面边长为2.因为侧面都是直角三角形,所以侧棱长均为因为三条侧棱两两垂直,所以此棱锥的体积V=故选D. 4　设圆台母线长为l cm,高为h.因为上底面半径r=10 cm,下底面半径R=20 cm,所以在△SOP中,SA=AP=l cm,可得2πR=2π×2l,解得l=20 cm,2h==20(cm),h=10 cm,所以V=(R2+r2+Rr)·h=(cm3). 5　由题意可知,麦门冬的体积为两个底面直径为2,高为4的圆锥的体积之和,故该麦门冬的体积V=π×12×4×2=,故答案为 6.解 (1)设底面圆的直径为2r,由题意,得圆柱的体积V=πr2·2r=2π,解得r=1,即圆柱的底面半径为1,则圆柱的表面积为2π×12+2π×1×2=6π. (2)设△ABC外接圆的半径为R,则R=r=1.因为△ABC为正三角形,所以由正弦定理,得AB=2Rsin 60°=2×1×sin 60°=,所以三棱柱ABC-A1B1C1的体积V=2= 7.A　设正方体的棱长为a cm,则5a2+2a2+a2×2=448+32,解得a=8 cm,则该几何体的体积为a3+a2·a=(512+128)cm3.故选A. 8.D　用一个完全相同的空间图形把题中空间图形补成一个圆柱,如图,则圆柱的体积为π×22×5=20π,故所求几何体的体积为10π.故选D. 9.B　设两个圆柱的底面半径和高分别为r1,r2和h1,h2,由,得,则 由圆柱的侧面积相等,得2πr1h1=2πr2h2,即r1h1=r2h2, 所以故选B. 10.B　易知该几何体是一个多面体,由上、下两个全等的正四棱锥组成,其中正四棱锥底面边长为,棱锥的高为1,据此可知,多面体的体积V=2×[()2×1]=故选B. 11.B　作出该几何体的轴截面如图所示,AB为圆锥的高, 设内接圆柱的高为h,而BC=2a,BD=r=a, 因为内接圆柱的体积为a3,所以πa2h=a3,则h=a, 由于AB∥ED,故△CAB∽△CED,则, 即,故AB=2a, 所以圆锥体积为V=(2a)2×2a=a3.故选B. 12.B　设大圆锥的高为h,所以,解得h=10 cm.故V=52×10-32×6=205(cm3).故选B. 13.7　 因为正三棱台ABC-A1B1C1下底面的面积为42=4,所以正三棱台ABC-A1B1C1的体积V=3×(+4)=7 14.24　 如图,在三棱锥E-MCD中,设F为CD的中点,连接EF,MF.由题意,得MC=MD,EC=ED,则EF⊥CD,MF⊥CD,EF,MF⊂平面MEF,EF∩MF=F,所以CD⊥平面MEF.设正方形ABCD的边长为2a,则有EC=ED=CD=2a,EF=a,MC=MD=a,MF=2a,ME=a, 则有MF2=ME2+EF2,则ME⊥EF,S△MEF=ME·EF=,VE-MCD=S△MEF·CD=2a==576,得a3=1 728,即a=12,所以原正方形铁皮的边长是24 cm. 15.解 (1)设两种方案所建的仓库的体积分别为V1,V2. 方案一:仓库的底面直径变成16 m,则其体积V1=π×()2×4=(m3); 方案二:仓库的高变成8 m,则其体积V2=π×()2×8=96π(m3). (2)设两种方案所建的仓库的表面积分别为S1,S2. 方案一:仓库的底面直径变成16 m,则半径为8 m, 此时圆锥的母线长为l1==4(m), 则仓库的表面积S1=π×8×(8+4)=(64+32)π(m2); 方案二:仓库的高变成8 m,此时圆锥的母线长为l2==10(m), 则仓库的表面积S2=π×6×(6+10)=96π(m2). (3)因为V2>V1,S2<S1,所以方案二比方案一更加经济. 5 学科网（北京）股份有限公司 $