13.3.2 第2课时 与球有关的组合体问题 课时跟踪检测-【新课程学案】2025-2026学年高中数学必修第二册配套练习word（苏教版）

13.3.2 第2课时 与球有关的组合体问题 [课时跟踪检测] 1.如果两个球的半径之比为1∶3，那么这两个球的表面积之比为 (　　) A.1∶9 B.1∶27 C.1∶3 D.1∶1 解析：选A　设两球的半径分别为r，3r，则表面积之比为=. 2.若用与球心距离为1的平面去截球，所得截面圆的面积为π，则球的表面积为 (　　) A.8π B. C. D. 解析：选A　作轴截面如图所示，则OO1=1.设截面圆的半径为r，球的半径为R.由已知可得πr2=π，所以r=1，R=.故S球=4πR2=8π. 3.如果三个球的半径之比是1∶2∶3，那么最大球的体积是其余两个球的体积和的 (　　) A.1倍 B.2倍 C.3倍 D.4倍 解析：选C　设三个球的半径分别为x，2x，3x，则最大球的体积V大=×(3x)3=36πx3，另两球的体积之和V和=x3+×(2x)3=12πx3，所以V大=3V和. 4.体积为8的正方体的顶点都在同一个球面上，则该球的表面积为 (　　) A.8π B.12π C.16π D.π 解析：选B　因为正方体的体积为8，则其棱长为2，体对角线长为2，因此其外接球直径为2，半径为，所以其外接球的表面积为4π×()2=12π. 5.如图，所有棱长都等于2的三棱柱ABC-A1B1C1的所有顶点都在球O上，球O的体积为 (　　) A.27π B. C.28π D.π 解析：选D　如图，三棱柱外接球的球心在上、下底面三角形中心连线的中点处(O1，O2分别是等边三角形A1B1C1和ABC的中心，点O是线段O1O2的中点，即外接球的球心)，C1O1=A1B1=×2=2，C1O==，所以球O的体积V=πr3=π×()3=π.故选D. 6.(多选)已知A，B，C三点均在球O的表面上，AB=BC=CA=2，且球心O到平面ABC的距离等于球半径的，则下列结论正确的是 (　　) A.球O的表面积为6π B.球O的内接正方体的棱长为1 C.球O的外切正方体的棱长为 D.球O的内接正四面体的棱长为2 解析：选AD　设球的半径为R，由已知可得ABC外接圆半径为r==， ∵球心O到平面ABC的距离等于球半径的， ∴R2-R2=，得R2=.球O的表面积为 4π×=6π，故A正确； 设球O的内接正方体的棱长为a， ∵正方体的体对角线即球O的直径，∴a=2R，解得a=，故B错误； 设球O的外切正方体的棱长为b，∵正方体的棱长即球O的直径长，∴b=2R=，故C错误； 设球O的内接正四面体的棱长为c，则正四面体的高为=c，由+=，解得c=2，故D正确.故选AD. 7.(5分)半球内有一个内接正方体，若正方体的棱长为，则这个半球的体积为　　　　.  解析：过正方体对角面作截面如图所示，设半球的半径为R， 因为正方体的棱长为， 所以CC'=，OC=×=. 连接OC'，在Rt△C'CO中， 由勾股定理，得 CC'2+OC2=OC'2，即()2+()2=R2， 所以R=3. 故V半球=×πR3=18π. 答案：18π 8.(5分)若一个四面体的四个面中，有两个面都是直角边长为1的等腰直角三角形，另两个面都是直角边长分别为1和的直角三角形，则该四面体的外接球的表面积为　　　　　.  解析：满足题意的四面体为如图所示的正方体中的三棱锥V-ABC， 所以VA=AB=BC=1，VB=AC=， 其外接球即为该正方体的外接球，故其半径为R=.所以该四面体外接球的表面积为4π×=3π. 答案：3π 9.(5分)(2025·全国Ⅱ卷)一个底面半径为4 cm，高为9 cm的封闭圆柱形容器(容器壁厚度忽略不计)内有两个半径相等的铁球，则铁球半径的最大值为　　　　cm.  解析：作出轴截面如图，当两圆相切时半径最大， 两圆的公切点为圆柱形的中心，设铁球半径为r，r∈(0，4)， 在Rt△ABO1中，AO1=4-r，AB=-r，则有(4-r)2+=r2， 解得r=或r=(舍去). 答案： 10.(5分)(2023·全国甲卷)在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别为AB，C1D1的中点.以EF为直径的球的球面与该正方体的棱共有　　　　个公共点.  解析：如图，线段EF过正方体的中心，所以以EF为直径的球的球心即正方体的中心，球的半径为.而正方体的中心到每一条棱的距离均为， 所以以EF为直径的球与每一条棱均相切.所以共有12个公共点. 答案：12 11.(5分)已知Rt△ABC的斜边AC=2，∠ACB=，现将△ABC绕AB边旋转至△ABD的位置，使∠CBD=，则所得四面体A-BCD外接球的表面积为　　　　　.  解析：如图，取CD的中点M，连接BM，∠ACB=∠ADB=，∠CBD=，AC=AD=2， AB=2sin=，BC=BD=2cos=1，CD=， 所以△BCD是等腰直角三角形，则斜边CD的中点M为△BCD外接圆的圆心. 因为AB⊥BC，AB⊥BD，BC∩BD=B，BC，BD⊂平面BCD， 所以AB⊥平面BCD.过M作平面BCD的垂线，过AB的中点N作BM的平行线， 两直线的交点为O，点O即为四面体A-BCD外接球的球心. 连接OB，因为BM=CD=，OM=NB=AB=， 所以四面体A-BCD外接球的半径R=OB===， 故所求外接球的表面积为S=4πR2=5π. 答案：5π 12.(10分)如图，某种水箱用的“浮球”是由两个半球和一个圆柱筒组成的.已知半球的直径是6 cm，圆柱高为2 cm. (1)这种“浮球”的体积是多少?(5分) (2)要在2 500个这种“浮球”的表面涂一层胶，如果每平方米需要涂胶100克，那么共需胶多少克?(5分) 解：(1)因为半球的直径是6 cm， 所以半径R=3 cm. 所以两个半球的体积之和为V球=πR3=36π(cm3). 又V圆柱=πR2×2=18π(cm3)， 所以这种“浮球”的体积V=V球+V圆柱=36π+18π=54π(cm3). (2)根据题意，上、下两个半球的表面积之和是S球=4πR2=36π(cm2)， 又S圆柱侧=2πR×2=12π(cm2)，所以1个“浮球”的表面积S=S球+S圆柱侧=36π+12π=48π(cm2). 所以2 500个“浮球”的表面积为2 500S=2 500×48π=120 000π(cm2)=12π(m2).所以共需胶100×12π=1 200π(克). 13.(15分)唐朝著名的凤鸟花卉纹浮雕银杯如图1所示，它的盛酒部分可以近似地看作是半球与圆柱的组合体(如图2)，当这种酒杯内壁的表面积(假设内壁表面光滑，表面积为S平方厘米，半球的半径为R厘米)固定时，若要使得酒杯的容积不大于半球体积的2倍，求R的取值范围. 解：设圆柱的高为h， 酒杯的容积为V，则S=2πR2+2πRh， 所以πRh=-πR2. 所以V=πR3+πR2h=πR3+R=-R3+R≤πR3， 解得R≥. 又h>0，所以-πR2>0，解得R<. 所以≤R<， 即R的取值范围为. 14.(15分)如图一个半球，挖掉一个内接直三棱柱ABC-A1B1C1(棱柱各顶点均在半球面上)，AB=AC，棱柱侧面BB1C1C是一个长为4的正方形. (1)求挖掉的直三棱柱的体积；(8分) (2)求剩余几何体的表面积.(7分) 解：(1)记球心为O，BC中点为E，连接AO，OE，AE， 由球的性质知BC是△ABC所在小圆直径， 又BB1C1C是一个长为4的正方形， 因此OE=AE=2，球半径为R=AO==2， 挖掉的直三棱柱的体积V=S△ABC·BB1=×4×2×4=16. (2)由(1)知AC==2==2×4=8， S△ABC=×4×2=4，=16，S半球=2π×(2)2+π×(2)2=24π， 所以剩余几何体表面积为S=S半球-+++2S△ABC=24π-16+2×8+2×4=24π+16-8. 学科网（北京）股份有限公司 $