精品解析：甘肃民乐县第一中学2025-2026学年高三下学期5月第一次模拟考试数学试卷

民乐一中高三年级2026年5月第一次模拟考试 数学 （试卷满分：150分，考试时间：120分钟） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；回答非选择题时，用0.5mm的黑色字迹签字笔将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 3．考试结束后，请将答题卡上交. 4．本卷主要命题范围：高考范围. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】解分式不等式得集合，然后根据交集的定义即可求解. 【详解】分式不等式等价于，解得 ，又因为，因此， 已知集合，所以. 2. 已知复数是虚数单位，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用复数的四则运算法则及共轭复数的概念计算即可. 【详解】由复数的四则运算可得：，则有. 故选：D. 3. 在等差数列中，，则的公差为（ ） A. B. C. 1 D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】由等差数列通项公式即可求解. 【详解】设等差数列的公差为，又因为， 所以， 所以，即， 故选：D. 4. 已知为锐角，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】首先根据同角三角函数的关系求出 ，然后根据正弦的二倍角公式即可求解. 【详解】因为为锐角，所以，由同角三角函数平方关系得： ， 由正弦二倍角公式，代入得： . 5. 设为抛物线的焦点，若点在上，则（ ） A. 3 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用点在抛物线上，得到抛物线的标准方程，确定准线方程，利用抛物线的定义，. 【详解】依题意，，解得，所以的准线为，所以， 故选:D． 6. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用指数函数、对数函数单调性比较大小. 【详解】依题意，，则，， 所以， 故选：B 7. 在的展开式中，二项式系数最大的项的系数为（ ） A. 20 B. 160 C. 120 D. 80 【答案】B 【解析】 【分析】首先写出二项式展开式通项，再由二项式系数的性质确定最大系数对应项，即可求项的系数. 【详解】由题设，展开式通项为，， 由于二项式共有7项，故第四项的二项式系数最大，即， 所以，对应项系数为. 故选：B 8. 记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由正弦定理将边化角即可求出，再由余弦定理及正弦定理得到，即可得解. 【详解】因为，由正弦定理可得，代入得到， 由余弦定理，所以， 由正弦定理可得，所以， 又，， 所以. 故选：C. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 对于经验回归方程，以下判断正确的是（ ） A. 变量x与变量y正相关 B. 该方程一定过点 C. 根据经验回归方程可以预测，当时，变量 D. 当变量x减少一个单位时，y平均增加2个单位 【答案】BCD 【解析】 【分析】由经验回归方程斜率可得A；由经验回归方程必过样本中心点可得B；由经验回归方程性质计算可得C、D. 【详解】对于A选项，由，故变量x与变量y负相关，所以A项错误； 对于B选项，经验回归方程必过点，所以B项正确； 对于C选项，根据经验回归方程，可预测变量时，变量，所以C项正确； 对于D选项，在回归方程中，当变量x减少一个单位时， y平均增加2个单位，所以D项正确. 故选：BCD. 10. 已知函数的最小值为0，且最小正周期为，则（ ） A. B. C. 在区间上单调递增 D. 在区间上的最大值为1 【答案】AB 【解析】 【分析】根据给定条件，求出函数的解析式，再利用正弦函数的性质逐项判断即可. 【详解】函数的最小值为，则，即， 由的最小正周期为，得，解得，因此， 对于A，，A正确； 对于B，，B正确； 对于C，由时，，而正弦函数在上不单调， 因此在上不单调，C错误； 对于D，由时，，则当，即时，取得最大值2，D错误. 故选：AB 11. 已知正方体的棱长为2，E为CD的中点，F在棱上（不包括端点），则（ ） A. 若F为棱的中点，则平面ADF截正方体所得截面为矩形 B. 若F为棱的中点，则B，到平面ADF的距离之比为2 C. 三棱锥的体积为定值 D. 三棱锥外接球表面积的最小值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据线面平行和垂直的性质可判断A，根据相似即可求解B，根据等体积法，结合体积公式即可求解C，根据正切的两角差公式，结合外接球的性质即可求解D. 【详解】若F为棱的中点，过F作BC的平行线交于点G，则G为中点， 则,故四边形为截面， 由于平面，平面， 故，因此四边形为矩形，A选项正确； 连接，DG交于点O，则B，到平面ADF的距离之比为，B选项错误； 三棱锥的体积与三棱锥的体积相等， 的面积为定值，而到平面的距离为定值， 故三棱锥的体积为定值，所以三棱锥的体积为定值，C选项正确； 设，则， 当且仅当时取到等号，故的最大值为， 此时由于取到最大值， 所以的最大值为，所以外接圆半径最小值为， 故三棱锥外接球的半径为, 所以三棱锥外接球表面积的最小值为，D选项正确. 故选：ACD． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知向量，，若，则______. 【答案】 【解析】 【分析】根据向量平行的坐标公式求解即可. 【详解】因为，所以，解得. 故答案为：. 13. 双曲线x2＋ky2＝1的一条渐近线的斜率是2，则k的值为 _________ 【答案】 【解析】 【详解】试题分析：由题意，渐近线为，所以，解得． 考点：双曲线的渐近线． 14. 若关于x的不等式对任意恒成立，则实数a的最小值是_____________． 【答案】## 【解析】 【分析】将问题转化为，构造函数，求的最大值，得a的最小值. 【详解】由，可得，，可得， 令，可得， 令，有， 令，可得；令，可得； 可知函数的增区间为，减区间为， 所以，故，即a的最小值为． 故答案为：． 【点睛】关键点睛：利用，将问题转化为求函数的最大值问题. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤. 15. 在等比数列中，. （1）求数列的通项公式； （2）求数列的前项和. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）应用等比数列基本量运算计算求解通项公式； （2）应用分组求和结合等差数列求和公式及等比数列求和公式计算求解. 【小问1详解】 设等比数列的公比为， 因为， 所以； 【小问2详解】 因为，所以， 所以 . 16. 如图，在正三棱柱中，，，点D为的中点． （1）求证：平面； （2）求直线与平面所成的角的正弦值． 【答案】（1） 在正三棱柱中，连接与交于点，连接DE， 由四边形是矩形，得点是的中点，又点是AC的中点， 则，又平面平面， 所以平面. （2）. 【解析】 【分析】（1）连接与交于点，利用线面平行的判定推理即得. （2）建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，利用线面角的向量求法求解即得. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 取的中点，连接DF，在等边中，点为AC的中点，则， 以点为原点，直线DB，DC，DF分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系． 则， 设平面的法向量为，则，令，得， 而，则， 所以直线AB与平面所成角的正弦值为. 17. 已知某种机器的电源电压（单位：）服从正态分布.其电压通常有3种状态：①不超过；②在之间；③超过.在上述三种状态下，该机器生产的零件为不合格品的概率分别为. （1）求该机器生产的零件为合格品的概率； （2）为了检测零件是否合格，在一批零件中任意抽取4件，记这4件中合格品有个，求的分布列､数学期望和方差. 附：若，则 【答案】（1） （2） 数学期望为，方差为 【解析】 【分析】（1）根据题意，由正态分布的概率公式代入计算，再由全概率公式，即可得到结果； （2）根据二项分布求解分布列，代入期望和方差公式求解即可. 【小问1详解】 记电压“不超过”、“在之间”、“超过”分别为事件， “该机器生产的零件为不合格品”为事件． 因为，所以， ， ． 所以， 所以该机器生产的零件为合格品的概率为． 【小问2详解】 从该机器生产的零件中随机抽取4件，设合格品件数为， 则，， ，， ， 所以的分布列为 所以的数学期望为， 的方差为. 18. 已知椭圆：在左、右焦点分别为，，上顶点为点，若是面积为的等边三角形. （1）求椭圆的标准方程； （2）已知，是椭圆上的两点，且，求使的面积最大时直线的方程（为坐标原点）. 【答案】解（1）；（2）或. 【解析】 【分析】（1）由是面积为的等边三角形，结合性质 ，列出关于 、 的方程组，求出 、，即可得结果;（2）先证明直线的斜率存在，设直线的方程为，与椭圆方程联立消去，利用弦长公式可得 ，化简得.原点到直线的距离为，的面积，当最大时，的面积最大.由，利用二次函数的性质可得结果. 【详解】（1）由是面积为的等边三角形，得， 所以，，从而， 所以椭圆的标准方程为. （2）由（1）知，当轴时，，则为椭圆的短轴，故有，，三点共线，不合题意. 所以直线的斜率存在，设直线的方程为，点，点，联立方程组消去，得， 所以有，， 则 ， 即，化简得. 因为，所以有且. 原点到直线的距离为，的面积， 所以当最大时，的面积最大. 因为，而， 所以当时，取最大值为3，面积的最大值. 把代入，得，所以有， 即直线的方程为或. 【点睛】求椭圆标准方程的方法一般为待定系数法,根据条件确定关于的方程组，解出从而写出椭圆的标准方程．解决直线与椭圆的位置关系的相关问题，其常规思路是先把直线方程与椭圆方程联立，消元、化简，然后应用根与系数的关系建立方程，解决相关问题．涉及弦中点的问题常常用“点差法”解决，往往会更简单. 19. 已知函数． （1）当时，求的极值； （2）若存在两个极值点． （ⅰ）求的取值范围； （ⅱ）证明：． 【答案】（1）极小值为，无极大值 （2）（ⅰ）； （ⅱ）由（i）可知，，且， 所以， 设，显然，又， 因为，则，可知在上单调递减， 且，可得， 所以. 【解析】 【分析】（1）求导，利用导数求的单调性和极值； （2）（i）求导可得，构建，由题意可知在内有两个变号零点，结合导数分析函数零点即可得结果；（ⅱ）由（i）可知，，且，构建，利用导数求最值即可. 【小问1详解】 当时，， 可知的定义域为，且， 当时，；当时，当； 可知在上单调递减，在上单调递增， 所以的极小值为，无极大值. 【小问2详解】 （i）由题意可得：的定义域为， 且， 设，可知在内有两个变号零点， 则， 当，；当时，； 可知在上单调递减，在上单调递增， 则的最小值为， 且当趋近于时，趋近于， 当时，则，可得， 可得，即当趋近于时，趋近于， 可得，解得， 所以实数的取值范围为； （ii）略 【点睛】方法点睛：对于函数零点的个数的相关问题，利用导数和数形结合的数学思想来求解．这类问题求解的通法是： （1）构造函数，这是解决此类题的关键点和难点，并求其定义域； （2）求导数，得单调区间和极值点； （3）数形结合，挖掘隐含条件，确定函数图象与x轴的交点情况进而求解． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 民乐一中高三年级2026年5月第一次模拟考试 数学 （试卷满分：150分，考试时间：120分钟） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；回答非选择题时，用0.5mm的黑色字迹签字笔将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 3．考试结束后，请将答题卡上交. 4．本卷主要命题范围：高考范围. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知复数是虚数单位，则（ ） A. B. C. D. 3. 在等差数列中，，则的公差为（ ） A. B. C. 1 D. 2 4. 已知为锐角，若，则（ ） A. B. C. D. 5. 设为抛物线的焦点，若点在上，则（ ） A. 3 B. C. D. 6. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 7. 在的展开式中，二项式系数最大的项的系数为（ ） A. 20 B. 160 C. 120 D. 80 8. 记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，，则（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 对于经验回归方程，以下判断正确的是（ ） A. 变量x与变量y正相关 B. 该方程一定过点 C. 根据经验回归方程可以预测，当时，变量 D. 当变量x减少一个单位时，y平均增加2个单位 10. 已知函数的最小值为0，且最小正周期为，则（ ） A. B. C. 在区间上单调递增 D. 在区间上的最大值为1 11. 已知正方体的棱长为2，E为CD的中点，F在棱上（不包括端点），则（ ） A. 若F为棱的中点，则平面ADF截正方体所得截面为矩形 B. 若F为棱的中点，则B，到平面ADF的距离之比为2 C. 三棱锥的体积为定值 D. 三棱锥外接球表面积的最小值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知向量，，若，则______. 13. 双曲线x2＋ky2＝1的一条渐近线的斜率是2，则k的值为 _________ 14. 若关于x的不等式对任意恒成立，则实数a的最小值是_____________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤. 15. 在等比数列中，. （1）求数列的通项公式； （2）求数列的前项和. 16. 如图，在正三棱柱中，，，点D为的中点． （1）求证：平面； （2）求直线与平面所成的角的正弦值． 17. 已知某种机器的电源电压（单位：）服从正态分布.其电压通常有3种状态：①不超过；②在之间；③超过.在上述三种状态下，该机器生产的零件为不合格品的概率分别为. （1）求该机器生产的零件为合格品的概率； （2）为了检测零件是否合格，在一批零件中任意抽取4件，记这4件中合格品有个，求的分布列､数学期望和方差. 附：若，则 18. 已知椭圆：在左、右焦点分别为，，上顶点为点，若是面积为的等边三角形. （1）求椭圆的标准方程； （2）已知，是椭圆上的两点，且，求使的面积最大时直线的方程（为坐标原点）. 19. 已知函数． （1）当时，求的极值； （2）若存在两个极值点． （ⅰ）求的取值范围； （ⅱ）证明：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $