甘肃民乐县第一中学2026届高三下学期5月第二次模拟考试数学试卷

民乐一中高三年级2026年5月第二次模拟考试 数学试卷 （试卷满分：150分，考试时间：120分钟） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；回答非选择题时，用的黑色字迹签字笔将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 3．考试结束后，请将答题卡上交． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知集合，，则 A． B． C． D． 2．已知为实数，则 A．1 B． C． D．2 3．抽样统计某位射击运动员10次的训练成绩分别为86，85，88，86，90，89，88，87，85，92，则该运动员这10次成绩的80%分位数为 A．89.5 B．88.5 C．91 D．89 4．已知数列为等比数列，，，则 A．1 B．2 C．4 D．6 5．已知，，则 A． B． C． D． 6．陀螺是中国民间的娱乐工具之一，早期陀螺的形状由同底的一个圆柱和一个圆锥组合而成．如图，已知一木制陀螺的圆柱的底面直径为6，圆柱和圆锥的高均为4，则该陀螺的表面积为 A． B． C． D． 7．已知双曲线，过原点作直线与双曲线交于，两点，设双曲线的左、右焦点分别为，，若，则的面积为 A． B． C． D． 8．已知函数，若且，则的最小值为 A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知向量，，则 A．若，则 B．若，则 C．若，则或 D．若，则向量在向量上的投影向量的坐标为 10．已知函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的是 A． B．函数的图象关于点对称 C．函数在上有最小值 D．直线是函数的一条对称轴 11．已知数列的前项和为，，且，则 A． B．“”是“数列为等差数列”的充分不必要条件 C．若为单调递增数列，则 D．若，则数列的前（为奇数）项和为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．在的展开式中，各项系数的和为__________． 13．已知为抛物线上的任意一点，为抛物线的焦点，点的坐标为，则当取得最小值时，点的坐标为__________． 14．已知函数，则不等式的解集为__________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤． 15．（本小题满分13分） 已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且． （1）求角A； (2)若的面积为，，求a． 16．（本小题满分15分） 如图，在三棱锥中，平面，F为的中点，，，E在上，且． (1)证明：平面； （2）求平面与平面的夹角的余弦值． 17．（本小题满分15分） 小张水果店对出售的苹果按大小和色泽两项指标进行分类，最大横切面直径不小于70毫米则大小达标，着色度不低于则色泽达标，大小和色泽均达标的苹果为一级果；大小和色泽有一项达标另一项不达标的苹果为二级果；两项均不达标的苹果为三级果．已知小张购进了一批苹果，从中随机抽取200个进行检验，得到如下统计表格： 大小 色泽 直径小于70毫米 直径不小于70毫米 合计 着色度低于 20 50 着色度不低于 120 合计 200 (1)完成上面的列联表，依据小概率值的独立性检验，能否认为苹果的大小达标和色泽达标有关？ （2）小张按苹果的等级用分层抽样的方法从样本中抽取10个苹果，再从中随机抽取4个，设X表示抽到的一级果的个数，求X的分布列和数学期望． 附：，其中． 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 18．（本小题满分17分） 已知函数． （1）当时，求的极值； （2）若恒成立，求实数的取值范围； （3）证明：． 19．（本小题满分17分） 已知椭圆的左顶点为，上顶点为，坐标原点到直线的距离为，的面积为． （1）求椭圆的标准方程； （2）若过椭圆右焦点且不与轴重合的直线与椭圆交于，两点． （ⅰ）求面积的最大值以及此时直线的方程； （ⅱ）若直线，分别与轴交于，两点，证明：为定值． 学科网（北京）股份有限公司 $民乐一中高三年级2026年5月第二次模拟考试·数学 参考答案、提示及评分细则 1.C由题意可知A={0,1,2,3},B={yy=x2,x∈A}={0,1,4,9},则A∩B={0,1},故选C. 2.B由题意得a-1=0,解得a=l,则a十i=√2，故选B. 3.A该射击运动员10次的训练成绩从小到大分别为85,85,86,86,87,88,88,89,90,92.又10×80%=8，这 10次成绩的80%分位数为89十90=89.5.故选A 2 4.Ba1a4a=a=64,.a4=4,aa7=aa4=4ag=8,.ag=2,故选B. 11 5.tan gtan[a十》-a]-了至-一子，故选D 6.C圆锥的母线长为√(？)+4=5，该陀螺的表面积为x×3X5+元X3+2x×3×4=48x,故选C 7.B如图，由双曲线的对称性可知四边形PFQF为平行四边形，由∠PFQ=,则 ∠F'PF=苓，不妨设P在双曲线的右支上，设PF1=m,PF=n,又FF1=2c= 2√7，由双曲线的定义可得|PF'|-|PF|=m-n=2a=4,在△FPF'中，由余弦定 理可得，FF'12-PFI2+1PF3-2PF1·PFos号，即28=m+-mn= (m-m2十mI=+m,解得m=12.所以Sm=号PF·IPElsin-号=合×12x号-35.故选B 2 8.A作出函数f(x)=|2一2|的图象，如图所示，因为f(x)= f(x2),即|21-2|=2？-2，因为x1<x2,由图可知，x1<1,1<x2 <2,即2-24=29-2，所以有21+2=4.则21十2=25 是=（六+）2+2)=(6++4)≥ 22 (6+2√器)-号当且仅当器=42，即 10g:专，=1og:号时等号成立，所以2有十2的最小值为号，故 4 选A. 9.BC对于A选项，若a/b:有-3(m-1)=2m,可得m=号故A选项错误， 对于B选项，若a⊥b,有a·b=2(m一1)一3m=一m一2=0，可得m=一2，故B选项正确； 对于C选项，由a=b,有√(m-1)+m=√13，解得m=-2或3，故C选项正确； 5 对打D选项：者m分有6-（合·号b=号6-日- 1 -=一5，可得向量a在向量 6上的投影向量的坐标为-5(-2，？)=（号，-号）·故D选项错误.故选BC 10.C自图可知A-2.号-登-（-)=受所以T=x征即w=2.所以f)=2o2十9 再将(-是2)代人得2=2co[2×(-)十9]小，即1=os(-若十p):所以-否十9=2x,k∈乙.即g 吾+2元，k∈Z,因为0<g<元，所以9=答，即f()=2cos(2x+晋)=2sin(2x+行)，故A选项错误； 令2x十吾-受+kxk∈Z解得x=吾+经，k∈乙，函数的对称中心为（吾+经0），kE乙.所以当k=0 时，函数f)的图象关于点(，0)对称，故B正确： 【高三数学参考答案第1页（共4页）】 当x(0,受)时，2x十吾∈（后，后），所以当2x+吾=x,即-受时，函数fx)取得最小值-2，放C 正确； 由A知f)的对称轴方程为2x十音=kx(k∈Z=-至(k∈Z).当经-是=一吾A=一专不符合 题意，故D错误，故选BC. 11.ACD因为2Sn=aa+1,当n=1时，2S1=a1a2,因为S=a1,所以2a1=a1a2,又因为a>0,所以a2=2,所以 选项A正确； 因为2S,=anan+1①，当n≥2时，2Sm-1=aw-1a②，①-②得：2an=an(am+1一a,-1),因为an>0,所以 an+1一a-1=2(n≥2)，所以数列{an}奇数项与偶数项分别成等差数列.若a1=1,则a2一a1=1,所以数列 (am}是等差数列；若数列{an}是等差数列，则有a2一a1=1,所以有a1=1,因此“a1=1”是“数列{an}为等差 数列”的充要条件，所以B错误； 若数列{an〉为单调递增数列，只需a:>a1且ag>a2,所以解得0<a1<2,所以C正确； 若a1=3,当n为奇数时，an=a1十(n一1)×1=n十2；当n为偶数时，am=a2十(n一2)X1=n,则当n为奇数 时，(-l)"an十(-1)+1a+1=-(n+2)+n十1=-1，所以-a+a2-a3十a4-…-a-2十am-1一am=(-a +a)+(-a,十a4)-…(-ar2+a.1)一a=-1×",1-(m十2)=-3"D,即当n为奇数时， 2 2 (-1a,的前n项和为-3士D,所以D正确，综上，放选ACD, 12.一1令x=1,得（一1）5=一1，即各项系数的和为一1. 13.(1,2)抛物线y2=4x的准线方程为l:x=一1，过点P作PB⊥1，垂足为B,由抛物线定义可知PB= |PF|,所以PM+|PF|=PM+PB|≥MB|,当MB⊥l时，PM+|PFI取得最小值，所以yz =yw=2,则xp=2=1,此时点P的坐标为(1,2). 4 14.(0,十oo)当x≥0时，f(.x)=1+sinx≥0，所以函数f(x)在[0，十∞)上单调递增，且f(x)≥f(0)=0:当 x<0时，函数y=2"是增函数，y=1og2(3一x)在（一∞，0）上为减函数，所以f(x)=2一log2(3一x)在（一o∞， 0)上为增函数，且f(x)<1一log3<0.所以函数f(x)在R上单调递增.令g(x)=f(x)+f(x一1)，因为函 数f(x)在R上单调递增，所以函数f(x一1)在R上单调递增，所以函数g(x)在R上单调递增，且g(0) 0)+f-1D=0+21-1og:3+1D=-名.即不等式x)+fx-1)>-转化为：gx)>g0).解得 >0,即不等式f)+f-1D>-号的解集为0，十©). 15.解：(1)因为(2c-b)cosA=acos B, 由正弦定理得2 sin Ccos A=sin Bcos A十sin Acos B,……………2分 则Sin(A十B)=2 sin Cc0sA,……………3分 即sinC=2 sin Cco0sA.………………………4分 在△ABC中，由sinC≠0，故cosA=) 21 5分 因为A∈0，)，所以A=子； ………6分 (2)因为△A8C的面积为2号。 所以号esinA=35-56c,得c=6. 24 8分 又由simB=子snC有6=号 )y++卡+”*…中4中”4”+””+””+”*””t…*” …中*”**·+***”””” 9分 有号2=6，可得c=2,b=3, 11分 由余弦定理得a2=6十c2-2 ebccos A.则d=22+3-2X2X3×号，可得a=万.13分 16.解：(1).PA⊥平面ABC,AEC平面ABC, PA⊥AE,………1分 又AE⊥AC,PA∩AC=A,.AE⊥平面PAC,…2分 PCC平面PAC,AE⊥PC,………3分 AP=AC,F为PC的中点，AF⊥PC,…………………5分 又AF门AE=A,.PC⊥平面AEF;……6分 (2)分别建立以AE,AC,AP为x,y,z轴的空间直角坐标系， 7分 .A(0,0,0),P(0,0,2),B(5,-1,0),C(0,2,0), Ap=(0,0,2).AB=(5,-1,0), 4444444444444444 ………9分 【高三数学参考答案第2页（共4页）】 AP.n=0. 设平面PAB的法向量为n=(x,y,z),则有 AB.m=0. 即/2-0， 令x=1,则y=√3,2=0， √3x-y=0, .平面PAB的一个法向量为n=(1√5,0)，……………11分 由(1)知，PC⊥平面AEF. ∴.平面AEF的一个法向量为PC=(0,2,-2),… 12分 设平面AEF与平面PAB的夹角为0，则cos0= PC.nl 236 2v2×24 14分 |Pc|·n .平面AEF与平面PAB夹角的余弦值为Y 15分 17.解：(1)2×2列联表如下： 大小 色泽 直径小于70毫米 直径不小于70毫米 合计 着色度低于90% 20 30 50 着色度不低于90% 30 120 150 合计 50 150 200 ………2分 零假设为H。:苹果的大小达标和色泽达标无关 根据列联表中的数据，经计算得到X=200X(20X120-30×30) =8>7.879=x0.005. ……… 50×150×150×50 5分 根据小概率值α=0.005的独立性检验，我们推断H。不成立，即认为苹果的大小达标和色泽达标有关；· … 6分 (2)按苹果的等级用分层抽样的方法从样本中抽取10个苹果，则一级果：10× 120 =6(个)，二级果：10× 60 200 200 =3(个)，三级果：10×20 200=1(个）。………………时 8分 C X的所有可能值为0,1,2,3,4，所以P(X=0) C。 210 9分 P(X=1)= C1.35 10分 P(X=2)= 3 C1。7 11分 P(X=3)= Cio 21 12分 P(X=4)= 1 13分 所以X的分布列为： X 0 1 2 3 P 4 1 210 21 14分 所以E(X)=00+1X+2号+3x号+4-号 15分 18年：当41时：h十的定义城为0十).求字得了)=上-号 2 当0<x<1时，f(x)<0,当x>1时，f(x)>0,则f(x)在(0,1)上递减，在(1，+oo)上递增， 所以f(x)有极小值f(1)=1,无极大值；………………………5分 (2)解：由f(x)≥0恒成，得Hx>0,a≤xlnx,令g(x)=xlnx,x>0,求导得g'(x)=1十lnx, 当0<x<是时g(x)<0,当>是时，g(x)>0,即函数g(x)在(0.是)上递减，在（日，+）上递增， .…9分 【高三数学参考答案第3页（共4页）】 因此gm()=g(）=-是则a≤-是 所以实数a的取值范围是a≤一1； 10分 3》证明：由2知，当a=-时，即1a≥-之>≥h≥h, 12分 于是">dh"=e[h(m+1-lh小”>chn产a1-lh(m-1D]….是>dn是=en2 n 1n1）,………………………………………………………15分 因此”中+n产t+>ena+1)-n+la-lh(m-1++h2-la1=dhm+1D n 所以2+号++中>(n十1）.…17分 19.解：(1)A(-a,0),B(0,b),所以AB=a2十b,……1分 因为坐标原点0到直线AB的距离为，所以Va十不×5=ab①，…2分 又因为△A0B的面积为5，所以6=5，即a6=25②，… 3分 由①@及。>6得。=6，心=2.所以椭圆C的方程为：看+苦 =1； ………………4分 2 (2)(i)由(1)知焦点F2的坐标为(2,0)， 因为直线I的斜率不为0，则可设直线I的方程为x=my十2，…………5分 x=my+2 联立方程组 6十号=1…消去x,得(m2十3)y2十4my2=0,… 6分 △=16m2+8(m2+3)=24(m2+1)>0, 设M(x1,y),V(x2y2),则y十y2=一 4m m2+3'yy= 2 m2+3' ……7分 Sam=专0那-为=y-为=V0n+w)-4为 2W6m2+1 m2+3 8分 令Vm+=>1),则SAN=2Y;-26≤2-5，当且仅当1=2时，等号成立，即△OMN面积 1+2+222 t 的最大值为5。……… 44444444444 10分 令√m十1=√2，解得m=士1，所以此时直线l的方程为x一y一2=0或x十y一2=0；…11分 (i)A(-√6,0)，直线AM的方程为：y=云(x十6)， +√6 令x=0,所以y=6M √6y1 13分 x1+√6my1+2+√6 my1+2+√6 直线AN的方程为：y= （x十V6),令x=0,所以y= 6y √6y x2+√6 x2+√6my2+2+√6 E,则Q0,6 my2+2+√6 …………………………………15分 所以1OP|·1OQ1= √6y √6y2 6y1y2 my+2+√6 my2+2+√6 m2yy2+(2十√6)m(y+y2)+(2+√6) -12 m2+3 -2m3 m2+3 -4(2+6)m+(2+6) m2+3 -12 4 =10-4√6 2m2-4(2+√6)m2+(2+√6)m2+(2+√6)×3 10+46 所以OP·OQ为定值，且定值为10一4√6.… 17分 【高三数学参考答案第4页（共4页）】