5.3分式方程——分式方程的应用 解答题题型分类专题提升训练 2025-2026学年北师大版八年级数学下册

2025-2026学年北师大版八年级数学下册《5.3分式方程——分式方程的应用》 解答题题型分类专题提升训练（附答案） 一、行程问题 1．八年级学生去距学校的中国人民抗日战争纪念馆参观，一部分学生乘大巴先出发，过了，其余学生乘中巴出发，结果他们同时到达．已知中巴的平均速度是大巴平均速度的1.2倍，求大巴的平均速度． 2．深秋的上海佘山清美如画，小沪和小申都是登山爱好者．金秋十月，两人相约去佘山爬山赏景，挑战西佘山主峰．小沪沿北线步道上山，小申沿南线步道上山，北线步道长度为，南线步道长度为．两人分别从各自步道起点同时出发，小沪比小申每小时少走，结果小沪和小申到达各自步道终点所用的时间之比是，求两人走完各自步道全程分别用了多少小时． 3．题目如下：“学校师生去距学校的快乐农场开展活动，张老师骑自行车先行后，其余师生乘汽车出发，结果同时到达，若，求张老师骑自行车的速度和其余师生乘汽车的速度”． (1)阴影部分为被墨迹弄污的条件，根据下框中的解题过程，被墨迹弄污的条件应是______． 解：设张老师骑车的速度为，依题意，得 (2)请写出完整的解题过程． 4．八年级学生去距学校的中国人民抗日战争纪念馆参观，一部分学生乘大巴先出发，过了，其余学生乘中巴出发，结果他们同时到达．已知中巴的平均速度是大巴平均速度的倍． (1)设大巴的平均速度为，列出关于x的分式方程，求大巴的平均速度； (2)参观结束后学校安排所有学生一起乘汽车按原路返回学校，汽车司机准备了两种返程的方案．方案A：前半段路程以的速度匀速行驶，后半段路程以的速度匀速行驶；方案B：全程以的速度匀速行驶．如果，则选择哪种方案能更早返回学校？请说明理由． 5．学校为学生制定了篮球训练计划如下：要求每名学生先进行活动一，活动二的训练，再进行活动三． 活动一：篮球单手运球往返跑． 活动二：篮球双手交替运球往返跑． 两项活动规则如下：如图1，从起跑线l处开始运球，到达折返线m后折返回起跑线，途中篮球掉下时，必须捡起并回到掉球处继续运球跑． 小广在活动一中速度是活动二中速度的1.4倍，设小广在活动二中的速度为x米/秒． (1)若小广在活动一中球未掉落，在进行活动二时，由于双手交替运球不熟练，球掉落，返回到掉球处浪费了4秒，结果进行两项活动共用时28秒，求小广在活动一中的速度； (2)活动三：篮球运球绕杆往返跑． 活动规则如下：沿图2规定路线运球绕杆往返跑． 若这条路线的总路程为36米，小广和小雅依次完成活动三后，小广说：“咱俩共用时42秒”，小雅说：“如果我用你跑的那么多时间，我只可以跑20米”，求这两名同学各跑了多少秒？ 二、工程问题 6．一台全自动包装机的工作效率相当于一名工人工作效率的80倍，用这台机器包装20箱货物比40名工人包装这些货物要少用2小时．这台全自动包装机每小时包装多少箱货物？ 7．学习分式方程应用时，老师板书的问题和两名同学所列的方程如下： 分式方程甲、乙两个工程队，甲队修路400米与乙队修路600米所用时间相等，乙队每天比甲队多修20米，求甲队每天修路的长度？ 嘉嘉：；琪琪： 根据以上信息，解答下列问题： (1)选择题：嘉嘉同学所列方程中的表示________，琪琪同学所列方程中的表示________； A．甲队每天修路的长度；    B．乙队每天修路的长度； C．甲队修路400米所用的时间． (2)你喜欢________列的方程，解出你所选择的方程，并回答老师提出的问题． 8．2026年是中国农历马年，以生肖马为主题的玩偶凭借时尚可爱的形象“圈粉”无数．某商店销售甲、乙两种型号以马为主题的生肖玩偶，已知乙型玩偶的单价是甲型玩偶的单价的倍，用400元购买甲型玩偶的数量比用300元购买乙型玩偶的数量多5个． (1)求甲、乙两种型号玩偶的单价各是多少元？ (2)某玩偶生产厂于2025年10月份接到一项新订单，已知一组单独制作1个月，完成了总量的，为按时交付，二组加入支援，两组又共同工作了半个月，总订单全部完成，请应用所学的方程知识说明哪个组的工作效率高． 9．安乡县自2023年启动城镇更新提质以来，县城区已焕然一新，市民的生活环境显著改善，为了进一步提升市民生活幸福指数，政府计划对某老街道地下管网进行改造．该工程若甲队单独施工恰好在规定时间内完成；若由乙队单独施工，则完成工程所需天数是规定天数的倍．如果由甲、乙两队先合作15天，那么余下的工程再由甲队单独完成还需10天． (1)这项工程的规定时间是多少天？ (2)已知甲队每天的施工费用为6000元，乙队每天的施工费用为5000元．为了缩短工期以减少对居民用水的影响，工程指挥部最终决定该工程由甲、乙两队合作来完成．则该工程施工总费用是多少元？ 10．为落实劳动教育，实施五育并举，某校合理利用空地，开垦校园农场，培养学生的劳动能力．农场去年春季种植蔬菜和水果共收获．由于同学们劳动技能提高，今年春季蔬菜产量比去年增加20%，水果产量比去年增加15%，蔬菜和水果的总产量比去年增加． (1)去年春季蔬菜和水果的产量各多少千克？ (2)今年春季收获劳动成果时，学校利用劳动课，安排两组同学分别采摘水果和收割蔬菜．每小时收割蔬菜的质量是采摘水果质量的1.2倍，两组同学同时开始劳动，结果水果采摘小组比蔬菜收割小组提前20分钟完成任务．问水果采摘小组每小时采摘水果多少千克？ 三、销售问题 11．随着新能源汽车产业的飞速发展，充电基础设施的建设已成为国家战略的重要一环．某停车场计划购买甲、乙两种型号的充电桩，已知甲型充电桩是乙型充电桩单价的1.5倍，用18万元购买甲型充电桩比用9万元购买乙型充电桩的数量多5台．求甲、乙两种型号充电桩的单价． 12．“给垃圾一个分类的归宿，还我们一个清洁的世界”，柘城县某小区积极响应号召，准备购买两种类型的分类垃圾桶，在市场上了解到种类型的垃圾桶比种类型的垃圾桶贵元，用元购买种类型的垃圾桶数量和用元购买种类型的垃圾桶数量相同．求购买一个种类型的垃圾桶和购买一个种类型的垃圾桶各需要多少元？ 13．2026年春晚舞台上，人形机器人表演再次惊艳全球，展现了“中国智造”的无限活力和无限未来，点燃了全世界对人形机器人赛道的憧憬，向全世界传达了中国科技自立自强的最强声音．某公司计划购买甲、乙两种机器人．已知甲种机器人的单价比乙种机器人的单价少5万元，花1200万元购进甲种机器人的数量是花650万元购进乙种机器人数量的2倍． (1)求购买一个甲种机器人、一个乙种机器人各需多少万元？ (2)若该公司打算购进甲、乙两种机器人共30个，且经费预算不超过1900万元，则该公司最少可以购进多少个甲种机器人？ 14．五一将至，某学校准备购买花卉装点校园，采购小组到市场了解到：每枝A种花卉的单价比每枝B种花卉便宜6元，用900元购买B种花卉的数量，恰好是用480元购买A种花卉数量的1.5倍． (1)若小宇同学列的方程为，请你直接说明方程中代表的含义； (2)请你用不同于（1）的方法，分别求出两种花卉的单价； (3)学校计划用恰好360元的费用，同时购买A、B两种花卉共若干枝（两种花卉都购买），求该校有几种符合条件的购买方案？分别写出每种方案的购买数量． 15．2026年重庆国际马拉松赛举办期间，山城运动氛围持续高涨．某连锁运动器材专卖店紧扣这一本土热点，计划采购一批热门运动器材投放社区门店，助力市民参与马拉松配套健身活动．已知该店花费12300元购进40副羽毛球拍和50副乒乓球拍，且每副羽毛球拍的进价比每副乒乓球拍贵60元． (1)请问每副羽毛球拍和每副乒乓球拍的进价分别为多少元？ (2)该店第一批器材很快售罄，厂家为支持“重庆马拉松惠民”活动，对两种球拍进行降价销售，每副羽毛球拍的降价金额是每副乒乓球拍降价金额的2倍．该店计划再购进一批器材，花费9000元购进羽毛球拍，花费5000元购进乒乓球拍，且购进羽毛球拍的数量比购进乒乓球拍的数量多，求该店此次购进羽毛球拍多少副？ 四、其它问题 16．如图，书架宽，在该书架上按图示方式摆放数学书和语文书，已知每本语文书的厚度是每本数学书厚度的倍． (1)若厚度和为的数学书比厚度和为的语文书多30本，求书架上每本数学书和每本语文书的厚度； (2)在（1）的条件下，若书架上已摆放10本语文书，则最多还可以摆多少本数学书？ 17．为了美化校园环境，学校在今年2月份购进了、两种盆栽，每种盆栽均花费了4000元，其中种盆栽的数量比种盆栽的数量少100盆，已知2月份种盆栽的单价是种盆栽的单价的2倍． (1)请问学校在2月份购进种盆栽和种盆栽各多少盆？ (2)3月份学校再次购进了、两种盆栽，其中种盆栽单价有折扣优惠，种盆栽单价不变，学校3月份购进的种盆栽的数量比2月份购进的数量增加了，3月份购进的种盆栽的数量比2月份的减少了75盆，结果学校3月份购进、两种盆栽的总费用比2月份的总费用少了1180元，请问种盆栽打了几折？ 18．现实生活中，并联电路在日常生活和工程中广泛应用，如家庭用电中的各种电器（电灯、电视、冰箱等）都并联在电路中，以便它们能独立工作且互不影响．如图，把电阻值分别为，的两电阻并联后接入某电路中，已知其总电阻R满足．（注：电阻的单位是欧姆，简称欧，符号为） (1)若，则_______． (2)若，的电阻值比的电阻值大，求，的电阻值． (3)_______．（用含，的式子表示）． 19．某校有一块长方形劳动实践基地，长为，宽为，其中． (1)去年实践基地收获蔬菜，该校安排甲乙两组志愿者进行采摘．已知甲组每分钟采摘速度是乙组的2倍，而甲组单独完成采摘任务所需要的时间比乙组单独完成任务所需要的时间少10分钟．求甲、乙两组每分钟各采摘多少千克的蔬菜？ (2)今年从该基地中截取出一个边长为的正方形地块，用来种植类蔬菜，而剩余土地用来种植类蔬菜，最终收获类蔬菜，类蔬菜．哪类蔬菜的单位面积产量大？请说明理由． (3)该校打算将原劳动基地进行扩建，计划将长增加，宽增加，若扩建后的长方形基地面积是原来的整数倍，求整数的值． 20．年月日，国务院印发“关于消费品以旧换新”的行动方案，要求在全国范围内开展“推动汽车换能，家电换智，家装厨卫焕新”的活动． 燃油车 新能源车 油箱容积：升 电池电量：千瓦时 油价：元升 电价：元千瓦时 续航里程：千米 续航里程：千米 刘老师近期准备换车，若燃油车每千米行驶费用比新能源车多元，请根据以上信息解决下列问题： (1)分别求出这两款车平均每千米的行驶费用． (2)若燃油车和新能源车每年的其他费用分别为元和元．问：每年行驶里程为多少千米时，买新能源车的年费用更低（年费用年行驶费用年其他费用） 参考答案 1．解：设大巴平均速度为每小时x千米，则中巴的平均速度是每小时千米， 由题意得，， 解得， 经检验是方程的解且符合题意， 答：大巴的平均速度是． 2．解：设小沪走完步道全程用了小时，则小申走完步道全程用了小时， 可列方程：， 化简得：， ， 解得：， 检验：时，且 ∴原分式方程的解为， ∴， 答：小沪走完步道全程用了小时，小申走完步道全程用了小时． 3．（1）解：∵张老师骑自行车先行后，其余师生乘汽车出发， ∴表示张老师骑车用的时间，表示其余师生乘汽车用的时间， ∴被墨迹弄污的条件应是：其余师生乘汽车的速度是张老师骑自行车的速度的3倍． 故答案为：其余师生乘汽车的速度是张老师骑自行车的速度的3倍． （2）解：设张老师骑车的速度为，则其余师生乘汽车的速度是， 依题意，得， 解得， 经检验，是原分式方程的解． 由，得． 答：张老师骑自行车的速度和其余师生乘汽车的速度分别是和． 4．（1）解：设大巴的平均速度为，则中巴的平均速度为， 由题意得，， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ∴大巴的平均速度为； 答：所列方程为，大巴的平均速度为； （2）解：选择方案B能更早返回学校，理由如下： 方案A需要的时间为， 方案B需要的时间为， ， ∵，且， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴方案B需要的时间更少， ∴选择方案B能更早返回学校． 5．（1）解：根据题意，得， 解得：， 经检验，是该分式方程的解， ， 答：小广在活动一中的速度4米/秒； （2）解：设小广跑了秒，则小雅跑了秒，根据题意，得 ， 解得：， 经检验，是该分式方程的解， ， 答：小广同学跑了15秒，小雅同学跑了27秒． 6．解：设一名工人每小时包装x箱货物，则这台全自动包装机每小时包装箱货物， 由题意得：， 解得：， 经检验：是原分式方程的解，且符合题意， 则． ∴这台全自动包装机每小时包装10箱货物． 7．（1）解：嘉嘉所列方程的等量关系为：甲队修路400米与乙队修路600米所用时间相等， 则x表示甲队每天修的长度； 琪琪所列方程的等量关系为：乙队每天比甲队多修20米， 则y表示甲队修路400米所用的时间； 故答案为：A，C； （2）解：选嘉嘉： ， 即， 解得， 经检验，是原分式方程的解，且符合题意， 答：甲队每天修路的长度为40米． 故答案为：嘉嘉； 选琪琪： ， 即 解得， 经检验，是原分式方程的解，且符合题意， ∴， 答：甲队每天修路的长度为40米． 故答案为：琪琪． 8．（1）解：设甲型玩偶的单价为元，则乙型玩偶的单价是元，根据题意得： ， 两边同乘得，， ， 解得． 经检验是分式方程的解． ． 答：甲型玩偶的单价是40元，乙型玩偶的单价是60元． （2）解：∵一组单独制作1个月，只完成总量的， ∴一组单独制作，全部完成任务需要的时间为3个月， 即一组每天完成全部任务的， 设二组单独制作，全部完成任务需要的时间为x天，根据题意得： ， 解得：， 经检验是分式方程的解． ∴二组每天完成全部任务的， ∵ ∴二组的工作效率高． 9．（1）解：设该项工程的规定时间是天， 由题意得：， 解得：， 经检验，是原分式方程的解，且符合题意， 答：该项工程的规定时间是35天； （2）解：甲、乙队合作完成所需的天数为：（天， 则该工程施工总费用是（元， 答：该工程施工总费用是元． 10．（1）解：设去年春季蔬菜产量，则去年春季水果产量， 根据题意得：， 解得：， 则：， 答：去年春季蔬菜产量，去年春季水果产量； （2）解：设每小时采摘水果千克，则每小时收割蔬菜千克， 根据题意得：，解得：， 经检验，是原方程的解且符合题意， 答：水果采摘小组每小时采摘水果千克． 11．解：设乙种型号充电桩的单价为万元，由题意，得 ， 解得， 经检验是原方程的解，且符合题意； ∴； 答：甲、乙两种型号充电桩的单价分别为万元和0.6万元． 12．解：设购买一个种类型的垃圾桶需要元，则购买一个种类型的垃圾桶需要元， ， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合实际意义， ， 答：购买一个种类型的垃圾桶需要元，购买一个种类型的垃圾桶需要元． 13．（1）解：设购买一个乙种机器人需要x万元，则购买一个甲种机器人需要万元． 由题意，得，解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意． ∴， 答：购买一个甲种机器人需60万元，购买一个乙种机器人需65万元． （2）解：设该公司购进甲种机器人m个，则购进乙种机器人个． ， ， ， ， ∵m为整数， ∴m的最小值为10． 答：该公司最少可以购进10个甲种机器人． 14．（1）解：由每枝A种花卉的单价比每枝B种花卉便宜6元，用900元购买B种花卉的数量，恰好是用480元购买A种花卉数量的1.5倍，可知代表B种花卉的单价； （2）解：设用480元购买了A种花卉y枝，则用900元购买了B种花卉枝，由题意，得 ， 解得， 经检验符合题意，且是原方程的解， 元，元， 所以A种花卉单价24元，B种花卉单价30元； （3）解：设购买A种花卉m枝，B种花卉n枝（m，n均为正整数），根据题意得： ， ∴， ∵m，n为正整数， ∴当时，，符合要求； 当时，，符合要求． ∴共2种购买方案：方案1：购买A种花卉10枝，B种花卉4枝；方案2：购买A种花卉5枝，B种花卉8枝． 15．（1）解：设每副羽毛球拍进价为x元，每副乒乓球拍的进价为y元，根据题意得： ， 解得：， 答：每副羽毛球拍进价为170元，每副乒乓球拍的进价为110元； （2）解：设每副乒乓球拍降价金额为m元，则每副羽毛球拍的降价金额为元，根据题意得： ， 解得：， 经检验是原方程的解， （元）， （副）， 答：该店此次购进羽毛球拍60副． 16．（1）解：设每本数学书的厚度为，则每本语文书的厚度为， 由题意得，， 解得：， 经检验，是方程的解且符合题意， 则， 答：每本数学书的厚度为，每本语文书的厚度为． （2）解：设还可以摆本数学书， 由题意得，， 解得：， 答：最多还可以摆90本数学书． 17．（1）解：设B种盆栽的单价为x元，则A种盆栽的单价为元，根据题意，A的数量比B少100盆，则： ， 解得， 故B的单价为20元，A的单价为40元； A的数量：盆，B的数量：盆； 答：学校2月份购进A种盆栽100盆，B种盆栽200盆； （2）解：3月份A的数量为盆，B的数量为盆， 设A打d折，则A的单价为元，总费用为元， 根据总费用关系得：， 整理得：， 解得：， 所以，种盆栽打了九折． 18．（1）解：∵，且， ∴， ∴， 故答案为：． （2）解：设的电阻值为， ∵的电阻值比的电阻值大， ∴， ∵， ∴， 解得：或（舍去）， ∴，． （3）解：∵， ∴， ∴． 19．（1）解：设乙组每分钟采摘千克的蔬菜，则甲组每分钟采摘千克的蔬菜， 由题意得： ， 解得：， 经检验，是原分式方程的解，且符合题意， ， 答：甲组每分钟采摘千克的蔬菜，乙组每分钟采摘千克的蔬菜； （2）解：类蔬菜的单位面积产量大，理由如下： 类蔬菜的单位面积产量为：（千克）， 类蔬菜的单位面积产量为：（千克）， ， ， ， 又，， ， ， ， 答：类蔬菜的单位面积产量大； （3）解：设扩建后的长方形基地面积是原来的倍（为正整数）， 由题意得： ， 解得：， ，为整数，且为正整数， 或， 的值为或． 20．（1）解：由题意，得， 解得， 经检验，是原分式方程的解， 所以（元），（元）， 所以燃油车平均每千米的行驶费用为元，新能源车平均每千米的行驶费用为元． （2）解：设每年行驶里程为千米时，买新能源车的年费用更低， 由题意，得． 解得． 所以每年行驶里程超过千米时，买新能源车的年费用更低． 学科网（北京）股份有限公司 $