宇宙航行：卫星发射与变轨问题、双星问题、卫星的追及相遇问题专项训练-2025-2026学年高一下学期物理人教版必修第二册

宇宙航行：卫星发射与变轨问题、双星问题、卫星的追及相遇问题专项训练 宇宙航行：卫星发射与变轨问题、双星问题、卫星的追及相遇问题专项训练 考点目录 卫星发射与变轨问题 双星问题 卫星的追及相遇问题 考点一 卫星发射与变轨问题 解题思路点拨：分清椭圆、圆不同轨道，利用万有引力提供向心力比较线速度、角速度、周期；变轨看点火加速离心、减速近心，切点处万有引力不变、速度突变，结合机械能变化分析轨道高低与运动参量。 例1．（25-26高一下·广东佛山·期中）中国空间站“天宫”长期在近地轨道（距地球表面约400km）稳定运行，其运行过程与万有引力定律密切相关，请回答下列问题： (1)已知万有引力常量为G，地球质量为M，空间站质量为m，轨道半径为r。请推导空间站在圆轨道上稳定运行时的线速度表达式，并结合表达式说明：为什么空间站的轨道高度越高，线速度越小？ (2)当空间站从距地球表面400km的轨道升至600km的圆轨道时，需要通过发动机喷气调整轨道。请画出空间站变轨过程的简图，结合简图说明空间站在哪些点需要进行加速或减速。 【答案】(1)，见解析 (2)图见解析，在近地点A加速，在远地点B加速 【详解】（1）根据万有引力提供向心力 得空间站在圆轨道上稳定运行时的线速度 所以空间站的轨道r高度越高，线速度v越小。 （2）如图所示，在近地点A做离心运动，需要加速，在远地点B做离心运动，需要加速。 例2．（25-26高一下·江苏无锡·期中）载人飞船先在环月轨道Ⅰ做匀速圆周运动，选准合适时机变轨进入椭圆轨道Ⅱ，到达近月点再次变轨到近月轨道Ⅲ（可认为轨道半径等于月球半径），最后安全落在月球上，其中A、B两点分别为椭圆轨道Ⅱ与轨道Ⅰ、Ⅲ的切点，已知月球半径为R，月球表面重力加速度为，通过观测发现载人飞船在椭圆轨道Ⅱ的周期为近月轨道Ⅲ的周期的2倍。求： (1)载人飞船在轨道Ⅲ上的角速度ω； (2)轨道Ⅰ的半径r。 【答案】(1) (2) 【详解】（1）载人飞船在轨道Ⅲ做匀速圆周运动，由万有引力提供向心力，则有 在月球表面有 解得 （2）根据开普勒第三定律有 其中 解得 例3．（24-25高三下·江苏南京·月考）人造卫星发射场一般选择靠近赤道的地方，这样可以利用地球自转减小发射需要的能量。已知地球质量为M，半径为R，地球自转角速度为，万有引力常量为。若在赤道上发射一近地卫星，求： (1)发射前卫星在赤道上随地球自转的速度大小； (2)卫星相对地面的最小发射速度。 【答案】(1) (2) 【详解】（1）卫星静止时，随地球自转角速度为，且运动半径等于地球半径R，由 得 （2）卫星在近地轨道运行时，最小发射速度等于卫星的环绕速度，根据万有引力提供向心力 有 求得卫星发射的最小速度 则在赤道上相对地面的最小发射速度 变式1．（2026·黑龙江哈尔滨·一模）如图，某同学研究卫星先环绕地球运动，之后再做变轨的过程。设卫星质量为，先在近地圆轨道上绕地球运行。已知地球质量为，引力常量为，地球半径为。 (1)求卫星变轨前的运行速率； (2)研究变轨时，在地表附近的点短暂启动发动机，使卫星进入椭圆轨道，该轨道的远地点距地心为。已知卫星的引力势能可表示为（为卫星到地心的距离，设无限远处引力势能为零） a.求变轨前卫星的机械能； b.结合开普勒第二定律，求短暂启动过程中发动机对卫星做的功。 【答案】(1) (2)a.，b. 【详解】（1）卫星变轨前在近地轨道上环绕地球做匀速圆周运动，根据万有引力提供向心力得 解得 （2）a. 变轨前卫星的动能为 变轨前卫星的引力势能为 变轨前卫星的机械能为 解得 b. 变轨后卫星在椭圆轨道上运动，设其在、点的速度大小分别为、。 变轨后卫星从到的过程，根据机械能守恒定律有 根据开普勒第二定律，取极短时间，有 联立解得 变轨的瞬间卫星的引力势能不变，根据功能关系，点火过程中发动机对卫星做的功为 解得 变式2．（24-25高一下·江苏南通·月考）2007年10月24日，中国首颗探月卫星“嫦娥一号”在西昌卫星发射中心发射升空，准确进入预定轨道。随后，“嫦娥一号”经过变轨和制动成功进入环月轨道。如图所示，阴影部分表示月球，设想飞船在距月球表面高度为3R的圆形轨道Ⅰ上做匀速圆周运动，到达A点时经过暂短的点火变速，进入椭圆轨道Ⅱ，在到达轨道Ⅱ近月点B点时再次点火变速，进入近月圆形轨道Ⅲ，而后飞船在轨道Ⅲ上绕月球做匀速圆周运动。已知月球半径为R，月球表面的重力加速度为。不考虑其它星体对飞船的影响，求： (1)飞船在轨道Ⅰ、Ⅲ的速度之比； (2)飞船在轨道Ⅰ的周期； (3)飞船从轨道Ⅱ上远月点A运动至近月点B所用的时间。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）由万有引力提供向心力有，解得 所以 （2）设飞船在轨道I上的运动周期为T1，在轨道I有 在月球表面有 由以上可得 （3）设飞船在轨道II上的运动周期为T2，而轨道II的半长轴为2.5R，根据开普勒定律得 可解得 所以飞船从A到B的飞行时间为 变式3．（24-25高一下·广东佛山·期中）某次卫星发射任务中，卫星的变轨过程如图所示。先将卫星发射到半径为的近地圆轨道（停泊轨道），在轨道I的P点通过点火加速使卫星进入椭圆转移轨道II，卫星运行到轨道Ⅱ的远地点Q时再次点火加速，最终进入半径为的同步轨道III。 已知绕同一中心天体的所有卫星的轨道的半长轴的三次方跟它的公转周期的二次方的比值相等，卫星在轨道I、III的运行速率分别为和，两位同学对此展开讨论： 甲同学认为：“卫星在变轨过程中经历了两次点火加速，动能增加，因此。” 乙同学认为：“根据万有引力提供向心力可得，轨道半径越大，运行速率v越小，所以。” (1)请判断哪位同学的说法正确（不需要说明理由）； (2)请分析另一位同学说法错误的原因； (3)已知卫星在同步轨道III的运行周期为，请计算卫星在轨道II由P第一次运行到Q所需的时间t。（为已知） 【答案】(1)乙同学说的对 (2)见详解 (3) 【详解】（1）乙同学说的对 （2）卫星在变轨过程中经历了两次点火加速，只是点火时动能增加；而卫星从低轨道进入高轨道，万有引做负功，势能增加，速度减小，故甲同学的说法不正确。 （3）由图可知，卫星在轨道II运行的半长轴为 设卫星在轨道II运行的周期为，根据题意可得 联立解得 则有 考点二 双星问题 解题思路点拨：抓住角速度相等、周期相同，两星向心力由彼此万有引力提供；轨道半径与质量成反比，总间距为两轨道半径之和，联立万有引力与向心力公式求解周期、半径、质量。 例1．（25-26高一下·湖北襄阳·月考）“双星系统”是指两个星球A、B在相互间引力作用下，绕连线上某点O做匀速圆周运动的系统，如图所示。在地月系统中，若忽略其他星球影响，可将月球和地球看成“双星系统”已知月球公转周期为T，月球与地球球心间距离为L。已知地球表面重力加速度为g，地球半径为R，引力常量为G，求 (1)双星系统总质量； (2)月球的质量。 【答案】(1) (2) 【详解】（1）设地球到O点的距离为，月球质量为，月球到O点的距离为，由万有引力提供向心力有， 又因为 联立解得 （2）对地球表面物体有 可得地球质量 故月球的质量 例2．（2026·黑龙江哈尔滨·二模）如图所示，相距为的P、Q两颗恒星构成的双星系统，它们在彼此间万有引力下以周期绕O点逆时针旋转，轨道半径之比为1:2。P有一颗卫星M，绕P顺时针以周期做匀速圆周运动。不计卫星M对恒星P、Q的影响，且忽略恒星Q对卫星M的影响，万有引力常量为，求： (1)P和Q两颗恒星的总质量； (2)卫星M的轨道半径； (3)P、Q、M由图示位置到再次共线所需的最短时间。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）P、Q两颗恒星相距为，则有 构成的双星系统轨道半径之比为，可得， 对P星球，受到的万有引力充当P星球做圆周运动的向心力，有 解得 对Q星球，受到的万有引力充当Q星球做圆周运动的向心力，有 解得 P和Q两颗恒星的总质量 （2）对卫星M，由万有引力提供向心力，有 代入，解得 （3）由于P、Q始终在同一直线上，且M卫星和P、Q绕向相反，最短时间再次共线时，M相对PQ连线转过弧度，有 解得 例3．（25-26高一下·江西九江·期中）宇宙中存在一些离其他恒星较远的两颗星组成的双星系统，通常可忽略其他星体对它们的引力作用。已知双星系统中星体A的质量为m，星体B的质量为2m，两星体相距为L，同时绕它们连线上某点做匀速圆周运动，引力常量为G，求： (1)A对B的万有引力F的大小。 (2)该双星系统运动的周期T。 【答案】(1) (2) 【详解】（1）根据万有引力定律，万有引力大小为 代入数据得 （2）两星周期、角速度相同，万有引力提供各自向心力，轨道半径之和满足 对A列向心力方程 对B列向心力方程 联立解得 变式1．（24-25高一下·山东济南·月考）如图，拉格朗日点L1位于地球和月球连线上，处在该点的物体在地球和月球引力的共同作用下，可与月球一起以相同的周期绕地球运动。据此，科学家设想在拉格朗日点L1发射一探测器，使其与月球同周期绕地球运动。地球和月球对在拉格朗日点L1上的探测器的万有引力不可忽略，而在拉格朗日点L1上的空探测器对地球和月球的万有引力可忽略不计。在拉格朗日点L1上的探测器可看作质点，地球和月球均可视作均匀的球体。 (1)若已知引力常量G、地球质量M1、月球质量未知、地心到月心的距离r、拉格朗日点到月心的距离d。求该探测器绕地球做圆周运动的线速度大小？ (2)若，求月球质量M2与地球质量M1的比值？ 【答案】(1) (2) 【详解】（1）小问探测器绕地球做圆周运动的轨道半径为地心到拉格朗日点的距离，即 探测器与月球绕地球运动的周期相同，故二者角速度相等。对月球，地球对月球的引力提供其做圆周运动的向心力，有 化简得探测器的角速度 探测器的线速度 代入数据得 （2）已知 则探测器轨道半径 探测器所受地球引力与月球引力的合力提供向心力，设探测器质量为，有 得 整理得 解得月球质量与地球质量的比值 变式2．（25-26高三上·重庆渝中·月考）中国天眼（FAST）探测到一个罕见的脉冲星双星系统，由质量分别为和的恒星A、B组成，两星间距为，绕其连线上某点做匀速圆周运动。已知引力常量为，忽略其他天体影响。 (1)求恒星A和B的轨道半径和； (2)求恒星A做圆周运动的周期。 【答案】(1)， (2) 【详解】（1）对双星系统，角速度相等，由相互间的万有引力提供向心力，则有 可得 又因为 解得， （2）对恒星A，由双星间的万有引力提供向心力，则有 又 代入可得 变式3．（24-25高三下·湖南株洲·期中）“食双星”是指两颗恒星在相互引力作用下绕连线上某点做匀速圆周运动。由于距离遥远，观测者不能把两颗星区分开，但由于两颗恒星的彼此掩食，会造成其亮度发生周期性变化，观测者可以通过观察双星的亮度研究双星。如图，时刻，由于较亮的恒星遮挡较暗的恒星，造成亮度L减弱，时刻则是较暗的恒星遮挡较亮的恒星。若较亮的恒星与较暗的恒星的质量分别为、，试求： (1)“食双星”的运动周期； (2)两颗恒星间的距离l。 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由图像可知，时刻，较亮的恒星遮挡住较暗的恒星，时刻较暗的恒星遮挡住较亮的恒星，即时间里，转了半圈，故“食双星”的运动周期为 （2）对较亮的恒星，根据万有引力提供向心力，可得 对较暗的恒星，根据万有引力提供向心力，可得 由题意知 联立可得 考点三 卫星的追及相遇问题 解题思路点拨：利用轨道周期差异，由角速度差确定追及角度；同向追及多转一圈、反向相遇角度互补，列角度差方程求时间、位置。 例1．（25-26高一下·重庆忠县·期中）如图所示，A是地球的同步卫星，另一卫星B的圆形轨道位于赤道平面内，离地面高度为h，已知地球半径为R，地球自转角速度为，地球表面的重力加速度为g，引力常量为G，图中O为地球中心。 (1)求地球的质量； (2)求卫星B的运行周期； (3)若卫星B绕行方向与地球自转方向相反，某时刻A、B两卫星相距最近，则至少经过多长时间，它们再一次相距最近？ 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）在地球表面忽略地球自转影响，物体受到的万有引力近似等于重力，有 解得地球的质量 （2）卫星做匀速圆周运动，轨道半径为，万有引力提供向心力，由牛顿第二定律得 又由第（1）问知 联立解得 （3）卫星为地球同步卫星，其角速度等于地球自转角速度，卫星的角速度 两卫星绕行方向相反，从相距最近到再一次相距最近，两者转过的角度之和为，即 解得 例2．（25-26高一下·山东烟台·期中）如图所示，A、B两颗卫星和赤道平面共面，沿相同方向环绕地球做匀速圆周运动，其中A为同步卫星，B卫星的轨道半径是A卫星轨道半径的4倍，已知地球表面重力加速度为，地球半径为，地球自转周期为。 (1)求卫星B环绕地球运动的周期； (2)若在时刻观察到A、B两颗卫星相距最近，求这两颗卫星在时刻二者之间的距离。 【答案】(1)8T (2) 【详解】（1）根据万有引力提供向心力，对卫星A有 对卫星B有 联立解得 （2）对地球表面附近物体，万有引力近似重力 联立解得 由题意可知 在0~时间内，A卫星转过的角度为 B卫星转过的角度为 由数学知识可得，两颗卫星轨道半径之间的夹角为 如图所示两颗卫星之间的距离为 例3．（2026·北京东城·一模）太阳系各行星几乎在同一平面内沿同一方向绕太阳做圆周运动。彗星作为太阳系中的小天体，其运动轨道是一个非常扁的椭圆，如图所示。 (1)已知某彗星在近日点与太阳中心的距离为，线速度大小为；在远日点与太阳中心的距离为，线速度大小为。 a.请比较和的大小； b.求该彗星在近日点加速度的大小和在远日点加速度的大小之比。 (2)地球及地外行星（轨道半径大于地球轨道半径的行星）绕太阳运动的轨道半径如下表所示。 地球 火星 木星 土星 天王星 海王星 轨道半径 1.0 1.5 5.2 9.5 19 30 a.已知万有引力常量，地球公转周期，日地距离取3.14，请估算太阳的质量（保留一位有效数字）； b.当地球恰好运行到某地外行星和太阳之间，且三者几乎排成一条直线的现象，天文学称为“行星冲日”。通过计算分析说明，地外行星相邻两次冲日的时间间隔最短的是哪颗行星。 【答案】(1)， (2)，海王星 【详解】（1）a.根据开普勒第二定律，彗星与太阳的连线单位时间内扫过面积相等，近日点距离太阳更近，因此线速度更大，故 b.彗星在近日点和远日点的加速度由万有引力提供，根据万有引力定律提供向心力有 可得 因此 ， 所以加速度大小之比 （2）a.地球绕太阳做圆周运动，万有引力提供向心力 整理得 代入数据得 b.设地球周期为，地外行星周期为，相邻两次冲日时间间隔为。相邻冲日时地球比行星多转一圈，满足 可得 解得 根据开普勒第三定律可知，轨道半径越大，行星公转周期越大，结合上式可知，越大，越小， 表格中海王星的轨道半径最大，因此海王星相邻两次冲日的时间间隔最短。 变式1．（25-26高一上·江苏南通·期末）如图所示，A、B两颗卫星和赤道平面共面，沿相同方向环绕地球做匀速圆周运动，A卫星的轨道半径是B卫星的4倍。已知地球表面重力加速度为g，地球半径为R，A运动的周期为T。 (1)求卫星B环绕地球运动的周期； (2)求在0~时间内观察到A、B两颗卫星相距最近的次数。 【答案】(1) (2)3次 【详解】（1）根据万有引力作为向心力可得，对卫星A有 对卫星B有 又 联立解得 （2）设从0时刻开始经时间两卫星第n次相距最近，则有 解得 又 联立解得 可知n取最大整数3，即在0~时间内观察到A、B两颗卫星相距最近的次数为3次。 变式2．（25-26高三上·湖北·期中）如图所示，在某星球的赤道平面内有一探测卫星a沿着圆轨道绕该星球转动，绕行方向与该星球自转方向相同，卫星通过发射激光与星球赤道上一固定的观测站P保持通信，已知该星球半径为R、自转周期为T，卫星轨道半径为，周期为，万有引力常量为G。求： (1)该星球赤道表面上的重力加速度大小； (2)该星球的第一宇宙速度； (3)某次通信过程中卫星a正好位于观测站P点的正上方，此次通信过程还能持续的时间。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）在赤道表面上的物体，根据重力与万有引力之间的关系有 对探测卫星有 联立解得该星球赤道表面上的重力加速度大小 （2）根据开普勒第三定律可得 可得近地卫星的周期为 该星球的第一宇宙速度为 （用其他表达式求出也可） （3）由几何知识知，卫星与观测站能保持通信，则卫星、观测站和星球球心连线的夹角最大为，由 解得 变式3．（25-26高二上·山东·开学考试）假定月球绕地球作圆周运动，地球绕太阳也作圆周运动，且轨道都在同一平面内。已知地球表面处的重力加速度g=9.80m/s2，地球半径Re=6.37×106m，月球质量mm=7.3×1022kg，月球半径Rm=1.7×106m，引力恒量G=6.67×10−11N·m2/kg2，月心地心间的距离约为rem=3.84×108m (1)月球的球心绕地球的球心运动一圈需多少天？ (2)地球上的观察者相继两次看到满月需多少天？ 【答案】(1)27.4天 (2)29.6天 【详解】（1）月球在地球引力作用下绕地心作圆周运动，设地球的质量为me，月球绕地心作圆周运动的角速度为 根据万有引力定律有 某物体在地球表面上，所受的万有引力等于重力，则有 月球绕地球一周的时间 联立可得 代入数据得Tm=27.4天 （2）满月是当月球、地球、太阳成一条直线时才有的，此时地球在月球和太阳之间，即图中A的位置。当第二个满月时，由于地球绕太阳的运动，地球的位置已运动到A'。如图所示 若以表示相继两次满月经历的时间，表示地球绕太阳运动的角速度，由于和的方向相同，故有 而， 式中Te为地球绕太阳运动的周期，即Te=365天 联立可得 代入数据解得 2 学科网（北京）股份有限公司 $宇宙航行：卫星发射与变轨问题、双星问题、卫星的追及相遇问题专项训练 宇宙航行：卫星发射与变轨问题、双星问题、卫星的追及相遇问题专项训练 考点目录 卫星发射与变轨问题 双星问题 卫星的追及相遇问题 考点一 卫星发射与变轨问题 解题思路点拨：分清椭圆、圆不同轨道，利用万有引力提供向心力比较线速度、角速度、周期；变轨看点火加速离心、减速近心，切点处万有引力不变、速度突变，结合机械能变化分析轨道高低与运动参量。 例1．（25-26高一下·广东佛山·期中）中国空间站“天宫”长期在近地轨道（距地球表面约400km）稳定运行，其运行过程与万有引力定律密切相关，请回答下列问题： (1)已知万有引力常量为G，地球质量为M，空间站质量为m，轨道半径为r。请推导空间站在圆轨道上稳定运行时的线速度表达式，并结合表达式说明：为什么空间站的轨道高度越高，线速度越小？ (2)当空间站从距地球表面400km的轨道升至600km的圆轨道时，需要通过发动机喷气调整轨道。请画出空间站变轨过程的简图，结合简图说明空间站在哪些点需要进行加速或减速。 例2．（25-26高一下·江苏无锡·期中）载人飞船先在环月轨道Ⅰ做匀速圆周运动，选准合适时机变轨进入椭圆轨道Ⅱ，到达近月点再次变轨到近月轨道Ⅲ（可认为轨道半径等于月球半径），最后安全落在月球上，其中A、B两点分别为椭圆轨道Ⅱ与轨道Ⅰ、Ⅲ的切点，已知月球半径为R，月球表面重力加速度为，通过观测发现载人飞船在椭圆轨道Ⅱ的周期为近月轨道Ⅲ的周期的2倍。求： (1)载人飞船在轨道Ⅲ上的角速度ω； (2)轨道Ⅰ的半径r。 例3．（24-25高三下·江苏南京·月考）人造卫星发射场一般选择靠近赤道的地方，这样可以利用地球自转减小发射需要的能量。已知地球质量为M，半径为R，地球自转角速度为，万有引力常量为。若在赤道上发射一近地卫星，求： (1)发射前卫星在赤道上随地球自转的速度大小； (2)卫星相对地面的最小发射速度。 变式1．（2026·黑龙江哈尔滨·一模）如图，某同学研究卫星先环绕地球运动，之后再做变轨的过程。设卫星质量为，先在近地圆轨道上绕地球运行。已知地球质量为，引力常量为，地球半径为。 (1)求卫星变轨前的运行速率； (2)研究变轨时，在地表附近的点短暂启动发动机，使卫星进入椭圆轨道，该轨道的远地点距地心为。已知卫星的引力势能可表示为（为卫星到地心的距离，设无限远处引力势能为零） a.求变轨前卫星的机械能； b.结合开普勒第二定律，求短暂启动过程中发动机对卫星做的功。 变式2．（24-25高一下·江苏南通·月考）2007年10月24日，中国首颗探月卫星“嫦娥一号”在西昌卫星发射中心发射升空，准确进入预定轨道。随后，“嫦娥一号”经过变轨和制动成功进入环月轨道。如图所示，阴影部分表示月球，设想飞船在距月球表面高度为3R的圆形轨道Ⅰ上做匀速圆周运动，到达A点时经过暂短的点火变速，进入椭圆轨道Ⅱ，在到达轨道Ⅱ近月点B点时再次点火变速，进入近月圆形轨道Ⅲ，而后飞船在轨道Ⅲ上绕月球做匀速圆周运动。已知月球半径为R，月球表面的重力加速度为。不考虑其它星体对飞船的影响，求： (1)飞船在轨道Ⅰ、Ⅲ的速度之比； (2)飞船在轨道Ⅰ的周期； (3)飞船从轨道Ⅱ上远月点A运动至近月点B所用的时间。 变式3．（24-25高一下·广东佛山·期中）某次卫星发射任务中，卫星的变轨过程如图所示。先将卫星发射到半径为的近地圆轨道（停泊轨道），在轨道I的P点通过点火加速使卫星进入椭圆转移轨道II，卫星运行到轨道Ⅱ的远地点Q时再次点火加速，最终进入半径为的同步轨道III。 已知绕同一中心天体的所有卫星的轨道的半长轴的三次方跟它的公转周期的二次方的比值相等，卫星在轨道I、III的运行速率分别为和，两位同学对此展开讨论： 甲同学认为：“卫星在变轨过程中经历了两次点火加速，动能增加，因此。” 乙同学认为：“根据万有引力提供向心力可得，轨道半径越大，运行速率v越小，所以。” (1)请判断哪位同学的说法正确（不需要说明理由）； (2)请分析另一位同学说法错误的原因； (3)已知卫星在同步轨道III的运行周期为，请计算卫星在轨道II由P第一次运行到Q所需的时间t。（为已知） 考点二 双星问题 解题思路点拨：抓住角速度相等、周期相同，两星向心力由彼此万有引力提供；轨道半径与质量成反比，总间距为两轨道半径之和，联立万有引力与向心力公式求解周期、半径、质量。 例1．（25-26高一下·湖北襄阳·月考）“双星系统”是指两个星球A、B在相互间引力作用下，绕连线上某点O做匀速圆周运动的系统，如图所示。在地月系统中，若忽略其他星球影响，可将月球和地球看成“双星系统”已知月球公转周期为T，月球与地球球心间距离为L。已知地球表面重力加速度为g，地球半径为R，引力常量为G，求 (1)双星系统总质量； (2)月球的质量。 例2．（2026·黑龙江哈尔滨·二模）如图所示，相距为的P、Q两颗恒星构成的双星系统，它们在彼此间万有引力下以周期绕O点逆时针旋转，轨道半径之比为1:2。P有一颗卫星M，绕P顺时针以周期做匀速圆周运动。不计卫星M对恒星P、Q的影响，且忽略恒星Q对卫星M的影响，万有引力常量为，求： (1)P和Q两颗恒星的总质量； (2)卫星M的轨道半径； (3)P、Q、M由图示位置到再次共线所需的最短时间。 例3．（25-26高一下·江西九江·期中）宇宙中存在一些离其他恒星较远的两颗星组成的双星系统，通常可忽略其他星体对它们的引力作用。已知双星系统中星体A的质量为m，星体B的质量为2m，两星体相距为L，同时绕它们连线上某点做匀速圆周运动，引力常量为G，求： (1)A对B的万有引力F的大小。 (2)该双星系统运动的周期T。 变式1．（24-25高一下·山东济南·月考）如图，拉格朗日点L1位于地球和月球连线上，处在该点的物体在地球和月球引力的共同作用下，可与月球一起以相同的周期绕地球运动。据此，科学家设想在拉格朗日点L1发射一探测器，使其与月球同周期绕地球运动。地球和月球对在拉格朗日点L1上的探测器的万有引力不可忽略，而在拉格朗日点L1上的空探测器对地球和月球的万有引力可忽略不计。在拉格朗日点L1上的探测器可看作质点，地球和月球均可视作均匀的球体。 (1)若已知引力常量G、地球质量M1、月球质量未知、地心到月心的距离r、拉格朗日点到月心的距离d。求该探测器绕地球做圆周运动的线速度大小？ (2)若，求月球质量M2与地球质量M1的比值？ 变式2．（25-26高三上·重庆渝中·月考）中国天眼（FAST）探测到一个罕见的脉冲星双星系统，由质量分别为和的恒星A、B组成，两星间距为，绕其连线上某点做匀速圆周运动。已知引力常量为，忽略其他天体影响。 (1)求恒星A和B的轨道半径和； (2)求恒星A做圆周运动的周期。 变式3．（24-25高三下·湖南株洲·期中）“食双星”是指两颗恒星在相互引力作用下绕连线上某点做匀速圆周运动。由于距离遥远，观测者不能把两颗星区分开，但由于两颗恒星的彼此掩食，会造成其亮度发生周期性变化，观测者可以通过观察双星的亮度研究双星。如图，时刻，由于较亮的恒星遮挡较暗的恒星，造成亮度L减弱，时刻则是较暗的恒星遮挡较亮的恒星。若较亮的恒星与较暗的恒星的质量分别为、，试求： (1)“食双星”的运动周期； (2)两颗恒星间的距离l。 考点三 卫星的追及相遇问题 解题思路点拨：利用轨道周期差异，由角速度差确定追及角度；同向追及多转一圈、反向相遇角度互补，列角度差方程求时间、位置。 例1．（25-26高一下·重庆忠县·期中）如图所示，A是地球的同步卫星，另一卫星B的圆形轨道位于赤道平面内，离地面高度为h，已知地球半径为R，地球自转角速度为，地球表面的重力加速度为g，引力常量为G，图中O为地球中心。 (1)求地球的质量； (2)求卫星B的运行周期； (3)若卫星B绕行方向与地球自转方向相反，某时刻A、B两卫星相距最近，则至少经过多长时间，它们再一次相距最近？ 例2．（25-26高一下·山东烟台·期中）如图所示，A、B两颗卫星和赤道平面共面，沿相同方向环绕地球做匀速圆周运动，其中A为同步卫星，B卫星的轨道半径是A卫星轨道半径的4倍，已知地球表面重力加速度为，地球半径为，地球自转周期为。 (1)求卫星B环绕地球运动的周期； (2)若在时刻观察到A、B两颗卫星相距最近，求这两颗卫星在时刻二者之间的距离。 例3．（2026·北京东城·一模）太阳系各行星几乎在同一平面内沿同一方向绕太阳做圆周运动。彗星作为太阳系中的小天体，其运动轨道是一个非常扁的椭圆，如图所示。 (1)已知某彗星在近日点与太阳中心的距离为，线速度大小为；在远日点与太阳中心的距离为，线速度大小为。 a.请比较和的大小； b.求该彗星在近日点加速度的大小和在远日点加速度的大小之比。 (2)地球及地外行星（轨道半径大于地球轨道半径的行星）绕太阳运动的轨道半径如下表所示。 地球 火星 木星 土星 天王星 海王星 轨道半径 1.0 1.5 5.2 9.5 19 30 a.已知万有引力常量，地球公转周期，日地距离取3.14，请估算太阳的质量（保留一位有效数字）； b.当地球恰好运行到某地外行星和太阳之间，且三者几乎排成一条直线的现象，天文学称为“行星冲日”。通过计算分析说明，地外行星相邻两次冲日的时间间隔最短的是哪颗行星。 变式1．（25-26高一上·江苏南通·期末）如图所示，A、B两颗卫星和赤道平面共面，沿相同方向环绕地球做匀速圆周运动，A卫星的轨道半径是B卫星的4倍。已知地球表面重力加速度为g，地球半径为R，A运动的周期为T。 (1)求卫星B环绕地球运动的周期； (2)求在0~时间内观察到A、B两颗卫星相距最近的次数。 变式2．（25-26高三上·湖北·期中）如图所示，在某星球的赤道平面内有一探测卫星a沿着圆轨道绕该星球转动，绕行方向与该星球自转方向相同，卫星通过发射激光与星球赤道上一固定的观测站P保持通信，已知该星球半径为R、自转周期为T，卫星轨道半径为，周期为，万有引力常量为G。求： (1)该星球赤道表面上的重力加速度大小； (2)该星球的第一宇宙速度； (3)某次通信过程中卫星a正好位于观测站P点的正上方，此次通信过程还能持续的时间。 变式3．（25-26高二上·山东·开学考试）假定月球绕地球作圆周运动，地球绕太阳也作圆周运动，且轨道都在同一平面内。已知地球表面处的重力加速度g=9.80m/s2，地球半径Re=6.37×106m，月球质量mm=7.3×1022kg，月球半径Rm=1.7×106m，引力恒量G=6.67×10−11N·m2/kg2，月心地心间的距离约为rem=3.84×108m (1)月球的球心绕地球的球心运动一圈需多少天？ (2)地球上的观察者相继两次看到满月需多少天？ 2 学科网（北京）股份有限公司 $