第8节 指数与指数函数 讲义-2027届高三数学一轮复习

该高中数学讲义聚焦指数与指数函数高考高频考点，涵盖指数幂运算、函数图像性质、比较大小及综合应用，按考向预测、核心梳理、考点突破（分指数幂运算、图像应用、性质应用）、限时训练逻辑展开，通过双基自测明考向，核心梳理建体系，考点突破讲方法，助力学生系统掌握。 资料以数学思维和数学眼光为导向，如考点二通过指数函数图像与直线交点问题培养数形结合能力，考点三结合单调性比较大小强化逻辑推理，限时训练分层设计（单选至解答）保障复习实效，帮助学生高效提升指数函数应用能力，为教师把控复习节奏提供精准指导。

第二章函数 第8节　指数与指数函数 【考向预测】近三年高考数学指数与指数函数为年年必考、基础高频考点，小题常考查指数幂运算、指数函数定义域值域、图像过定点、单调性、比较数值大小，常与对数函数、不等式、函数奇偶性、零点问题交汇；大题多隐性融入导数综合、数列放缩、恒成立问题中作为基础函数模型考查，运算与性质应用频次极高。预测 2027 年延续稳定考查态势，小题侧重指数式化简求值、指数函数图像特征、单调性比大小、含参指数型函数范围辨析，强化指对函数联动命题，大题继续以指数函数为载体结合导数研究单调性、最值与不等式证明，着重考查指数运算素养、数形结合思想及指数函数模型的综合迁移与逻辑推理能力。 【双基自测●明考向】 1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”) (1)函数y＝2x－1是指数函数.(　　) (2)函数y＝(a>1)的值域是(0,＋∞).(　　) (3)2－3>2－4.(　　) (4)若am<an(a>0,且a≠1),则m<n.(　　) 【答案】(1)×　(2)×　(3)√　(4)× 【解析】(1)由于指数函数解析式为y＝ax(a>0,且a≠1),故y＝2x－1不是指数函数,(1)错误. (2)由于x2＋1≥1,又a>1,∴≥a. 故y＝(a>1)的值域是[a,＋∞),(2)错误. (4)m与n的大小关系与a的取值有关,(4)错误.　　　　　　　　　　　　　　　 2.(苏教必修一P165T5改编)(多选)若函数y＝ax(a>0,a≠1)在区间[－1,1]上的最小值为,则实数a的值为(　　) A.2 B. C. D. 【答案】AD 【解析】当a>1时,y＝ax在[－1,1]上单调递增, 此时f(x)min＝f(－1)＝a－1＝,解得a＝2, 当0<a<1时,y＝ax在[－1,1]上单调递减, 此时f(x)min＝f(1)＝a＝. 所以实数a的值为2或,故选AD. 3.(人教B必修二P13练习A T2改编)已知a＝0.750.1,b＝1.012.7,c＝1.013.5,则(　　) A.a>b>c B.a>c>b C.c>b>a D.c>a>b 【答案】C 【解析】因为函数y＝1.01x在(－∞,＋∞)上是增函数,且3.5>2.7,故1.013.5>1.012.7>1>0.750.1,即c>b>a. 4.(人教A必修一P110T8改编)已知＝3,则a＋a－1＝　　　　;a2＋a－2＝　　　　.  【答案】7　47 【解析】由＝3,得a＋a－1＋2＝9, 即a＋a－1＝7,则a2＋a－2＋2＝49, 即a2＋a－2＝47. 【核心梳理●明考点】　　　　　　　　　　　　　　　　 1.根式 (1)概念:式子叫做根式,这里n叫做根指数,a叫做被开方数. (2)性质:①负数没有偶次方根. ②0的任何次方根都是0,记作＝0. ③()n＝a(n∈N*,且n>1). ④＝a(n为大于1的奇数). ⑤＝|a|＝(n为大于1的偶数). 2.有理数指数幂 规定:正数的正分数指数幂的意义是(a>0,m,n∈N*,且n>1);正数的负分数指数幂的意义是(a>0,m,n∈N*,且n>1); 0的正分数指数幂等于0;0的负分数指数幂没有意义. 3.实数指数幂的运算性质 aras＝ar＋s;(ar)s＝ars;(ab)r＝arbr,其中a>0,b>0,r,s∈R. 4. 指数函数的概念、图象与性质 (1)概念:函数y＝ax(a>0,且a≠1)叫做指数函数,其中指数x是自变量,定义域是R. (2)图象与性质 a>1 0<a<1 图象 定义域 R 值域 (0,＋∞) 性质 过定点(0,1),即x＝0时,y＝1 当x>0时,y>1; 当x<0时,0<y<1 当x<0时,y>1; 当x>0时,0<y<1 在(－∞,＋∞)上是增函数 在(－∞,＋∞)上是减函数 y＝ax与y＝的图象关于y轴对称 1.画指数函数y＝ax(a>0,且a≠1)的图象,应抓住三个关键点:(1,a),(0,1),. 2.指数函数y＝ax(a>0,且a≠1)的图象和性质跟a的取值有关,要特别注意应分a>1与0<a<1来研究. 3.如图所示是指数函数 (1)y＝ax,(2)y＝bx, (3)y＝cx,(4)y＝dx的图象,则c>d>1>a>b>0. 【考点突破●明方向】　　　　　　　　　　　　　　　　 考点一　指数幂的运算 例1 化简: (1)÷×; (2)(0.008 1×－10×0.02. 【解析】(1)原式＝÷× ＝× ×××＝a. (2)原式＝－(3×1)－1×－10×[(0.3)3 ＝×－10×0.3 ＝－3＝0. 【名师点拨】1.指数幂的运算首先将根式、分数指数幂统一为分数指数幂,以便利用法则计算,还应注意: (1)必须同底数幂相乘,指数才能相加. (2)运算的先后顺序. 2.当底数是负数时,先确定符号,再把底数化为正数. 3.运算结果不能同时含有根号和分数指数,也不能既有分母又含有负指数. 【变式训练】1 (1)(多选)实数a满足a＋a－1＝4,下列结论中正确的是(　　) A.a2＋a－2＝14 B.a－a－1＝2 C. D.＝4 (2)－2×(－2)－1＋＋3＝　　　　.  【答案】(1)AC　(2)1 【解析】(1)∵a＋a－1＝4,∴(a＋a－1)2＝a2＋a－2＋2＝16, ∴a2＋a－2＝14,故A正确; ∵(a－a－1)2＝(a＋a－1)2－4＝42－4＝12, ∴a－a－1＝±2,故B错误; ∵()2＝a＋2＋a－1＝4＋2＝6, ∴,故C正确; ∵＝()3＋()3＝()·(a＋a－1－1), ∴＝a＋a－1－1＝3,故D错误. (2)－2×(－2)－1＋＋3 ＝－2×＋1＋ ＝－(＋2)＋1＋ ＝1. 考点二　指数函数的图象及应用 例2 (1)(多选)已知a>0,则函数f(x)＝ax－2a的图象可能是(　　) (2)(2026·深圳质检)若直线y＝2a与函数y＝|ax－1|(a>0,且a≠1)的图象有两个交点,则a的取值范围是　　　　.  【答案】(1)AD　(2) 【解析】(1)当x＝1时,f(1)＝a－2a＝－a<0,排除B,C; 当a＝2时,f(x)＝2x－4,此时函数对应的图象可能为A; 当a＝时,f(x)＝－1,此时函数对应的图象可能为D.故选AD. (2)y＝|ax－1|的图象是由y＝ax的图象先向下平移1个单位长度,再将x轴下方的图象翻折到x轴上方,保持x轴上及其上方的图象不变得到的. 当a>1时,如图1,两图象只有一个交点,不符合题意; 当0<a<1时,如图2,要使两个图象有两个交点,则0<2a<1,即0<a<. 综上可知,a的取值范围是. 【名师点拨】1.对于有关指数型函数的图象问题,一般是从最基本的指数函数的图象入手,通过平移、伸缩、对称变换得到.特别地,当底数a与1的大小关系不确定时应注意分类讨论. 2.有关指数方程、不等式问题的求解,往往利用相应的指数型函数图象,数形结合求解. 【变式训练】2 (1)函数f(x)＝的部分图象大致为(　　) (2)(多选)已知实数a,b满足等式3a＝6b,则下列可能成立的关系式为(　　) A.a＝b B.0<b<a C.a<b<0 D.0<a<b 【答案】(1)B　(2)ABC 【解析】(1)由题意得,f(x)的定义域为R,排除C,D; 当x≥－2时,f(x)＝, 因为0<<1,所以f(x)在[－2,＋∞)上单调递减,排除A.故选B. (2)由题意,在同一平面直角坐标系内分别画出函数y＝3x和y＝6x的图象,如图所示, 由图象知,当a＝b＝0时,3a＝6b＝1,故A正确; 作出直线y＝k,当k>1时,若3a＝6b＝k, 则0<b<a,故B正确; 作出直线y＝m,当0<m<1时, 若3a＝6b＝m,则a<b<0,故C正确; 当0<a<b时,易得2b>1, 则3a<3b<2b·3b＝6b, 故D错误. 考点三　指数函数的性质及应用 角度1　比较大小 例3 (1)若a＝1.010.5,b＝1.010.6,c＝0.60.5,则a,b,c的大小关系为(　　) A.c>a>b B.c>b>a C.a>b>c D.b>a>c (2)(2026·海口模拟)已知a＝1.30.6,b＝,c＝,则(　　) A.c<b<a B.a<b<c C.c<a<b D.b<c<a 【答案】(1)D　(2)D 【解析】(1)法一　因为函数f(x)＝1.01x是增函数,且0.6>0.5>0, 所以1.010.6>1.010.5>1,即b>a>1; 因为函数g(x)＝0.6x是减函数,且0.5>0, 所以0.60.5<0.60＝1,即c<1. 综上,b>a>c.故选D. 法二　因为函数f(x)＝1.01x是增函数,且0.6>0.5, 所以1.010.6>1.010.5,即b>a; 因为函数h(x)＝x0.5在(0,＋∞)上单调递增,且1.01>0.6>0, 所以1.010.5>0.60.5, 即a>c.综上,b>a>c.故选D. (2)a＝1.30.6>1.30＝1,b＝,c＝, 因为指数函数y＝是减函数, 所以<<＝1, 所以b<c<1,所以b<c<a. 角度2　解指数方程或不等式 例4 不等式22x－3>的解集是　　　　.  【答案】(－2,＋∞) 【解析】由题意知,22x－3>＝2－7, 由指数函数y＝2x在R上单调递增, 得2x－3>－7,解得x>－2, 即原不等式的解集为(－2,＋∞). 角度3　指数函数性质的综合应用 例5 已知函数f(x)＝(a为常数,且a≠0,a∈R),且f(x)是奇函数. (1)求a的值; (2)若∀x∈[1,2],都有f(2x)－mf(x)≥0成立,求实数m的取值范围. 【解析】(1)f(x)＝×2x＋, 因为f(x)是奇函数, 所以f(－x)＝－f(x), 所以×＋2x＝－, 所以＝0, 即＋1＝0,解得a＝－1. (2)因为f(x)＝－2x,x∈[1,2], 所以－22x≥m, 所以m≥＋2x,x∈[1,2], 令t＝2x,t∈[2,4], 由于y＝t＋在[2,4]上单调递增, 所以m≥4＋, 即实数m的取值范围是. 【名师点拨】1.比较指数式的大小的方法是:(1)能化成同底数的先化成同底数幂,再利用单调性比较大小;(2)不能化成同底数的,一般引入“0或1”等中间量比较大小. 2.指数方程(或不等式)的求解主要利用指数函数的单调性进行转化. 3.涉及指数函数的综合问题,首先要掌握指数函数相关性质,其次要明确复合函数的构成,涉及值域、单调区间、最值等问题时,都要借助“同增异减”这一性质分析判断. 【易错警示】在研究指数型函数的单调性时,当底数a与“1”的大小关系不确定时,要分类讨论. 【变式训练】3 (1)已知实数a,b,c满足a＝,be＝,,则(　　) A.b<a<c B.a<b<c C.c<a<b D.c<b<a (2)(多选)(2026·青岛模拟)设函数f(x)＝,g(x)＝,则(　　) A.函数y＝f(x)·g(x)为奇函数 B.f(2x)＝2f(x)·g(x) C.函数y＝的值域为(－1,1) D.函数y＝在其定义域上为增函数 (3)已知函数f(x)＝2|x|,则f(2x＋1)>f(4)的解集为　　　　.  【答案】(1)B　(2)ABC (3)∪ 【解析】(1)由y＝在(0,＋∞)上单调递减,y＝log2x在(0,＋∞)上单调递增, 可知＝1>b＝>＝a, c＝lo＝log23>log22＝1, 所以c>1>b>a. (2)y＝f(x)·g(x)＝,x∈R, 令h(x)＝, h(－x)＝＝－h(x), 所以y＝f(x)·g(x)是奇函数,A正确; f(2x)＝, 2f(x)·g(x)＝2·· ＝, 所以f(2x)＝2f(x)g(x),B正确; y＝＝1－, 其值域为(－1,1),C正确; y＝＝1＋,其定义域为{x|x≠0}, 由函数单调性的性质知D错误. (3)由函数f(x)＝2|x|,可得其定义域为R, 且f(－x)＝2|－x|＝2|x|＝f(x), 所以f(x)＝2|x|为偶函数, 当x∈[0,＋∞)时,f(x)＝2x,且在[0,＋∞)上单调递增, 根据偶函数的性质,不等式f(2x＋1)>f(4), 即为f(|2x＋1|)>f(4), 可得|2x＋1|>4,所以2x＋1<－4或2x＋1>4, 解得x<－或x>, 所以f(2x＋1)>f(4)的解集为 ∪. 【限时训练】 （30分钟） 一、单选题 1.若指数函数f(x)满足f(2)＝81,则f的值为(　　) A.± B.±3 C. D.3 【答案】C 【解析】设f(x)＝ax(a>0且a≠1), 因为f(2)＝a2＝81,又a>0, 所以a＝9,从而f(x)＝9x, f. 2.下列结论中正确的是(　　) A.若a>0,则·＝a B.若m8＝2,则m＝± C.若a＋a－1＝3,则＝± D.＝2－π 【答案】B 【解析】对于A,根据分数指数幂的运算法则, 可得·, 当a＝1时,＝a; 当a≠1时,≠a,故A错误; 对于B,m8＝2,故m＝±,故B正确; 对于C,a＋＝3,则＝a＋a－1＋2＝3＋2＝5, 因为a>0,所以,故C错误; 对于D,＝|2－π|＝π－2,故D错误. 3.已知函数f(x)＝ax－a(a>1),则函数f(x)的图象不经过(　　) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 【答案】B 【解析】y＝ax(a>1)是增函数,经过点(0,1), 因为a>1, 所以函数f(x)的图象需由函数y＝ax(a>1)的图象向下平移超过1个单位长度得到, 所以函数f(x)＝ax－a的图象如图所示. 故函数f(x)的图象不经过第二象限. 4.已知a＝1.050.6,b＝0.60.8,c＝0.60.4,则a,b,c的大小关系是(　　) A.a>b>c B.a>c>b C.b>c>a D.c>b>a 【答案】B 【解析】依题意,a＝1.050.6>1.050＝1,b＝0.60.8<0.60.4＝c<0.60＝1,所以a,b,c的大小关系是a>c>b. 5.(2026·湖北新八校协作体联考)函数f(x)＝,则对任意实数x,下列结论正确的是(　　) A.f(x)是偶函数,且在R上单调递增 B.f(x)是奇函数,且在R上单调递增 C.f(x)是奇函数,且在R上单调递减 D.f(x)是偶函数,且在R上单调递减 【答案】B 【解析】f(x)的定义域为R,f(x)＝, 则f(－x)＝＝－＝－f(x), 故f(x)是奇函数. 由于f(x)＝,函数y＝ex＋1单调递增, 故f(x)在R上单调递增.故选B. 6.(2026·长沙长郡中学调研)若存在x∈(－∞,0]满足x2－3x＋a<0(a∈R),则a的取值范围是(　　) A.(－∞,1) B.(1,＋∞) C.(－∞,－1) D.(－1,＋∞) 【答案】A 【解析】因为存在x∈(－∞,0],满足x2－3x＋a<0(a∈R), 即存在x∈(－∞,0],满足a<－x2＋3x,亦即 a<(－x2＋3x)max. 令f(x)＝－x2＋3x,x∈(－∞,0], 因为y＝－x2与y＝3x在(－∞,0]上均单调递增, 所以f(x)在(－∞,0]上单调递增, 所以f(x)max＝f(0)＝1, 所以a<1,即a的取值范围是(－∞,1).故选A. 7.(2025·新高考Ⅰ卷)若2＋log2x＝3＋log3y＝5＋log5z,则x,y,z的大小关系不可能为(　　) A.x>y>z B.x>z>y C.y>x>z D.y>z>x 【答案】B 【解析】设2＋log2x＝3＋log3y＝5＋log5z＝m, 所以x＝2m－2,y＝3m－3,z＝5m－5, 令m＝2,则x＝1,y＝3－1＝,z＝5－3＝, 此时x>y>z,A有可能; 令m＝5,则x＝8,y＝9,z＝1,此时y>x>z,C有可能; 令m＝8,则x＝26＝64,y＝35＝243,z＝53＝125, 此时y>z>x,D有可能.故选B. 二、多选题 8.下列化简中正确的有(　　) A.()－1·(a－2 B.(y)a·(4y－a)＝4x C.[(1－)2－(1＋)－1＋(1＋)0＝3－2 D.2a3·(－5)÷(4)＝－ 【答案】ABD 【解析】对于A,()－1·(a－2,正确; 对于B,(y)a·(4y－a)＝4·ya－a＝4xy0＝4x,正确; 对于C,[(1－)2－(1＋)－1＋(1＋)0＝(－1＋1＝－1－(－1)＋1＝1,故错误; 对于D,2a3·(－5)÷(4)＝ [2×(－5)÷4]＝－,正确.故选ABD. 9.下列是真命题的是(　　) A.函数f(x)＝ax－1＋2(a>0,且a≠1)的图象恒过定点(1,3) B.函数f(x)＝的值域是 C.函数f(x)＝为奇函数 D.函数f(x)＝2|2x－1|＋1的图象的对称轴是直线x＝1 【答案】AC 【解析】对于A,令x－1＝0,则x＝1,当x＝1时,f(1)＝a0＋2＝3, 所以函数恒过定点(1,3),故A正确; 对于B, 因为f(x)的定义域为, 则sin x∈[－1,0)∪(0,1], 则∈(－∞,－1]∪[1,＋∞), 令t＝,则t∈(－∞,－1]∪[1,＋∞), 则y＝2t∈∪[2,＋∞), 即函数f(x)＝∪[2,＋∞),故B错误; 对于C,因为函数f(x)＝的定义域为R, 关于原点对称,且f(－x)＝, 则f(－x)＋f(x)＝0, 所以函数f(x)＝为奇函数,故C正确; 对于D,函数f(x)＝2|2x－1|＋1的图象的对称轴是直线x＝,故D错误. 三、填空题 10.化简(a>0,b>0)的结果是　　　　.  【答案】 【解析】 ＝＝ab－1＝. 11.已知0≤x≤2,则函数y＝－3×2x＋5的最大值为　　　　.  【答案】 【解析】设2x＝t,0≤x≤2,则1≤t≤4, y＝－3×2x＋5＝t2－3t＋5 ＝(t－3)2＋, 故当t＝1,即x＝0时,函数有最大值. 12.已知a>0且a≠1,函数f(x)＝ 若函数f(x)在区间[0,2]上的最大值比最小值大,则a的值为　　　　.  【答案】或 【解析】①当0<a<1时,函数f(x)在[0,1]上单调递减,在(1,2]上也单调递减. ∵f(0)＝a0＝1>－1＋a,∴函数f(x)在[0,2]上的最大值为f(0)＝1, ∵f(2)＝－2＋a<a＝f(1), ∴函数f(x)在[0,2]上的最小值为f(2)＝－2＋a, ∴－2＋a＋＝1,解得a＝∈(0,1),符合题意. ②当a>1时,函数f(x)在[0,1]上单调递增,在(1,2]上单调递减. ∵f(1)＝a>－1＋a,∴函数f(x)在[0,2]上的最大值为f(1)＝a.f(2)＝－2＋a,f(0)＝a0＝1, 当a∈(1,3)时,－2＋a<1,此时函数f(x)在[0,2]上的最小值为f(2)＝－2＋a, 因此有－2＋a＋＝a,无解; 当a∈[3,＋∞)时,－2＋a≥1,此时函数f(x)在[0,2]上的最小值为f(0)＝1, 因此有1＋＝a,解得a＝∈(3,＋∞),符合题意. 综上所述,实数a的值为. 四、解答题 13.已知函数f(x)＝ax＋(a>0,且a≠1),且f(1)＝. (1)求f(x)的解析式; (2)若函数g(x)＝[f(x)]2＋f(x)－m在[0,＋∞)上的最小值为0,求m的值. 【解析】(1)因为f(1)＝, 所以a＋,解得a＝2或a＝, 所以f(x)＝2x＋2－x. (2)g(x)＝(2x＋2－x)2＋(2x＋2－x)－m. 令u＝2x＋2－x,x≥0, 则2x＋2－x≥2＝2, 当且仅当2x＝2－x,即x＝0时,等号成立, 所以u＝2x＋2－x≥2, 因为函数h(u)＝u2＋u－m在[2,＋∞)上单调递增,所以h(u)min＝h(2)＝6－m. 因为g(x)在[0,＋∞)上的最小值为0, 所以6－m＝0,解得m＝6. 综上,m的值为6. 14.已知f(x)为偶函数,g(x)为奇函数,且f(x)＋g(x)＝21－x. (1)求f(x),g(x)的解析式; (2)若对任意的x∈R,f(x)≥恒成立, 求实数n的取值范围. 【解析】(1)因为f(x)为偶函数,g(x)为奇函数,且有f(x)＋g(x)＝21－x, 所以f(－x)＋g(－x)＝f(x)－g(x)＝21＋x, 所以 则f(x)＝2x＋2－x,g(x)＝2－x－2x. (2)因为f(x)＝2x＋2－x≥2＝2, 当且仅当2x＝2－x,即x＝0时,等号成立, 所以f(x)min＝2. 所以对任意的x∈R,f(x)≥恒成立, 即2≥,则n2－2n－2≤1, 即n2－2n－3≤0,解得－1≤n≤3, 所以实数n的取值范围为[－1,3]. 第 1 页 共 16 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二章函数 第8节　指数与指数函数 【考向预测】 近三年高考数学指数与指数函数为年年必考、基础高频考点，小题常考查指数幂运算、指数函数定义域值域、图像过定点、单调性、比较数值大小，常与对数函数、不等式、函数奇偶性、零点问题交汇；大题多隐性融入导数综合、数列放缩、恒成立问题中作为基础函数模型考查，运算与性质应用频次极高。预测 2027 年延续稳定考查态势，小题侧重指数式化简求值、指数函数图像特征、单调性比大小、含参指数型函数范围辨析，强化指对函数联动命题，大题继续以指数函数为载体结合导数研究单调性、最值与不等式证明，着重考查指数运算素养、数形结合思想及指数函数模型的综合迁移与逻辑推理能力。 【双基自测●明考向】 1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”) (1)函数y＝2x－1是指数函数.(　　) (2)函数y＝(a>1)的值域是(0,＋∞).(　　) (3)2－3>2－4.(　　) (4)若am<an(a>0,且a≠1),则m<n.(　　) 2.(苏教必修一P165T5改编)(多选)若函数y＝ax(a>0,a≠1)在区间[－1,1]上的最小值为,则实数a的值为(　　) A.2 B. C. D. 3.(人教B必修二P13练习A T2改编)已知a＝0.750.1,b＝1.012.7,c＝1.013.5,则(　　) A.a>b>c B.a>c>b C.c>b>a D.c>a>b 4.(人教A必修一P110T8改编)已知＝3,则a＋a－1＝　　　　;a2＋a－2＝　　　　.  【核心梳理●明考点】　　　　　　　　　　　　　　　　 1.根式 (1)概念:式子叫做根式,这里n叫做根指数,a叫做被开方数. (2)性质:①负数没有偶次方根. ②0的任何次方根都是0,记作＝0. ③()n＝a(n∈N*,且n>1). ④＝a(n为大于1的奇数). ⑤＝|a|＝(n为大于1的偶数). 2.有理数指数幂 规定:正数的正分数指数幂的意义是(a>0,m,n∈N*,且n>1);正数的负分数指数幂的意义是(a>0,m,n∈N*,且n>1); 0的正分数指数幂等于0;0的负分数指数幂没有意义. 3.实数指数幂的运算性质 aras＝ar＋s;(ar)s＝ars;(ab)r＝arbr,其中a>0,b>0,r,s∈R. 4. 指数函数的概念、图象与性质 (1)概念:函数y＝ax(a>0,且a≠1)叫做指数函数,其中指数x是自变量,定义域是R. (2)图象与性质 a>1 0<a<1 图象 定义域 R 值域 (0,＋∞) 性质 过定点(0,1),即x＝0时,y＝1 当x>0时,y>1; 当x<0时,0<y<1 当x<0时,y>1; 当x>0时,0<y<1 在(－∞,＋∞)上是增函数 在(－∞,＋∞)上是减函数 y＝ax与y＝的图象关于y轴对称 1.画指数函数y＝ax(a>0,且a≠1)的图象,应抓住三个关键点:(1,a),(0,1),. 2.指数函数y＝ax(a>0,且a≠1)的图象和性质跟a的取值有关,要特别注意应分a>1与0<a<1来研究. 3.如图所示是指数函数 (1)y＝ax,(2)y＝bx, (3)y＝cx,(4)y＝dx的图象,则c>d>1>a>b>0. 【考点突破●明方向】　　　　　　　　　　　　　　　　 考点一　指数幂的运算 例1 化简: (1)÷×; (2)(0.008 1×－10×0.02. 【名师点拨】1.指数幂的运算首先将根式、分数指数幂统一为分数指数幂,以便利用法则计算,还应注意: (1)必须同底数幂相乘,指数才能相加. (2)运算的先后顺序. 2.当底数是负数时,先确定符号,再把底数化为正数. 3.运算结果不能同时含有根号和分数指数,也不能既有分母又含有负指数. 【变式训练】1 (1)(多选)实数a满足a＋a－1＝4,下列结论中正确的是(　　) A.a2＋a－2＝14 B.a－a－1＝2 C. D.＝4 (2)－2×(－2)－1＋＋3＝　　　　.  考点二　指数函数的图象及应用 例2 (1)(多选)已知a>0,则函数f(x)＝ax－2a的图象可能是(　　) (2)(2026·深圳质检)若直线y＝2a与函数y＝|ax－1|(a>0,且a≠1)的图象有两个交点,则a的取值范围是　　　　.  【名师点拨】1.对于有关指数型函数的图象问题,一般是从最基本的指数函数的图象入手,通过平移、伸缩、对称变换得到.特别地,当底数a与1的大小关系不确定时应注意分类讨论. 2.有关指数方程、不等式问题的求解,往往利用相应的指数型函数图象,数形结合求解. 【变式训练】2 (1)函数f(x)＝的部分图象大致为(　　) (2)(多选)已知实数a,b满足等式3a＝6b,则下列可能成立的关系式为(　　) A.a＝b B.0<b<a C.a<b<0 D.0<a<b 考点三　指数函数的性质及应用 角度1　比较大小 例3 (1)若a＝1.010.5,b＝1.010.6,c＝0.60.5,则a,b,c的大小关系为(　　) A.c>a>b B.c>b>a C.a>b>c D.b>a>c (2)(2026·海口模拟)已知a＝1.30.6,b＝,c＝,则(　　) A.c<b<a B.a<b<c C.c<a<b D.b<c<a 角度2　解指数方程或不等式 例4 不等式22x－3>的解集是　　　　.  角度3　指数函数性质的综合应用 例5 已知函数f(x)＝(a为常数,且a≠0,a∈R),且f(x)是奇函数. (1)求a的值; (2)若∀x∈[1,2],都有f(2x)－mf(x)≥0成立,求实数m的取值范围. 【名师点拨】1.比较指数式的大小的方法是:(1)能化成同底数的先化成同底数幂,再利用单调性比较大小;(2)不能化成同底数的,一般引入“0或1”等中间量比较大小. 2.指数方程(或不等式)的求解主要利用指数函数的单调性进行转化. 3.涉及指数函数的综合问题,首先要掌握指数函数相关性质,其次要明确复合函数的构成,涉及值域、单调区间、最值等问题时,都要借助“同增异减”这一性质分析判断. 【易错警示】在研究指数型函数的单调性时,当底数a与“1”的大小关系不确定时,要分类讨论. 【变式训练】3 (1)已知实数a,b,c满足a＝,be＝,,则(　　) A.b<a<c B.a<b<c C.c<a<b D.c<b<a (2)(多选)(2026·青岛模拟)设函数f(x)＝,g(x)＝,则(　　) A.函数y＝f(x)·g(x)为奇函数 B.f(2x)＝2f(x)·g(x) C.函数y＝的值域为(－1,1) D.函数y＝在其定义域上为增函数 (3)已知函数f(x)＝2|x|,则f(2x＋1)>f(4)的解集为　　　　.  【限时训练】 （30分钟） 一、单选题 1.若指数函数f(x)满足f(2)＝81,则f的值为(　　) A.± B.±3 C. D.3 2.下列结论中正确的是(　　) A.若a>0,则·＝a B.若m8＝2,则m＝± C.若a＋a－1＝3,则＝± D.＝2－π 3.已知函数f(x)＝ax－a(a>1),则函数f(x)的图象不经过(　　) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 4.已知a＝1.050.6,b＝0.60.8,c＝0.60.4,则a,b,c的大小关系是(　　) A.a>b>c B.a>c>b C.b>c>a D.c>b>a 5.(2026·湖北新八校协作体联考)函数f(x)＝,则对任意实数x,下列结论正确的是(　　) A.f(x)是偶函数,且在R上单调递增 B.f(x)是奇函数,且在R上单调递增 C.f(x)是奇函数,且在R上单调递减 D.f(x)是偶函数,且在R上单调递减 6.(2026·长沙长郡中学调研)若存在x∈(－∞,0]满足x2－3x＋a<0(a∈R),则a的取值范围是(　　) A.(－∞,1) B.(1,＋∞) C.(－∞,－1) D.(－1,＋∞) 7.(2025·新高考Ⅰ卷)若2＋log2x＝3＋log3y＝5＋log5z,则x,y,z的大小关系不可能为(　　) A.x>y>z B.x>z>y C.y>x>z D.y>z>x 二、多选题 8.下列化简中正确的有(　　) A.()－1·(a－2 B.(y)a·(4y－a)＝4x C.[(1－)2－(1＋)－1＋(1＋)0＝3－2 D.2a3·(－5)÷(4)＝－ 9.下列是真命题的是(　　) A.函数f(x)＝ax－1＋2(a>0,且a≠1)的图象恒过定点(1,3) B.函数f(x)＝的值域是 C.函数f(x)＝为奇函数 D.函数f(x)＝2|2x－1|＋1的图象的对称轴是直线x＝1 三、填空题 10.化简(a>0,b>0)的结果是　　　　.  11.已知0≤x≤2,则函数y＝－3×2x＋5的最大值为　　　　.  12.已知a>0且a≠1,函数f(x)＝ 若函数f(x)在区间[0,2]上的最大值比最小值大,则a的值为　　　　.  四、解答题 13.已知函数f(x)＝ax＋(a>0,且a≠1),且f(1)＝. (1)求f(x)的解析式; (2)若函数g(x)＝[f(x)]2＋f(x)－m在[0,＋∞)上的最小值为0,求m的值. 14.已知f(x)为偶函数,g(x)为奇函数,且f(x)＋g(x)＝21－x. (1)求f(x),g(x)的解析式; (2)若对任意的x∈R,f(x)≥恒成立, 求实数n的取值范围. 第 1 页 共 16 页 学科网（北京）股份有限公司 $