导数常考12个题型训练-2026届高三数学三轮冲刺

【导数常考12小题题型归纳】 总览 题型梳理 题型分类 知识讲解与常考题型 【题型1：利用导数求切线方程】 【题型专练】 1．（2026·云南·模拟预测）曲线在点处的切线方程为____________. 2．（2026·黑龙江哈尔滨·二模）已知函数的定义域为，，当时，，则曲线在点处的切线的斜率为（    ） A．2 B．1 C． D． 3．（2026·河北张家口·二模）已知曲线在点处的切线也是曲线的切线，则________． 4．（2026·辽宁朝阳·三模）函数与函数在公共点处切线相同，则_______． 5．（2026·湖南湘潭·三模）若曲线在点处的切线与直线平行，则__________． 【题型2：切线条数及公切线问题】 【题型专练】 6．（2026·河南·模拟预测）已知直线l与曲线和都相切，则直线l的方程为_________． 7．（2026·重庆沙坪坝·模拟预测）过坐标原点可作曲线的切线条数为（    ） A．1条 B．2条 C．3条 D．无数条 8．（2026·陕西商洛·二模）已知直线是函数和函数图象的公切线，则（    ） A． B．3 C．4 D． 9．（2026·重庆万州·模拟预测）过点有两条直线与的图象相切，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 10．（2026·青海西宁·二模）若曲线与曲线恰好有3条公切线，则的取值范围为_____． 【题型3：切线方程与圆锥曲线综合题型】 【题型专练】 11．（2026·云南昆明·二模）若函数在处的切线也是圆的切线，则半径（    ） A．1 B． C． D．2 12．（2026·湖南常德·二模）已知曲线在处的切线与圆相交于两点，则___________． 13．（2026·天津河北·一模）抛物线的焦点为F，经过其准线与y轴的交点Q的直线与抛物线切于第一象限点P，则外接圆的标准方程为______． 14．（2026·江苏南京·三模）若曲线与圆有公共点，且在点处的切线相同，则实数________. 15．（2026·重庆沙坪坝·模拟预测）若曲线和圆存在4条公切线，则的取值范围是_____. 【题型4：由单调性求参数范围】 【题型专练】 16．（2026·四川雅安·二模）若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 17．（2026·山西吕梁·三模）已知函数在上单调递增，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 18．（25-26高三下·安徽·开学考试）若函数在内不单调，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 19．（2026高二下·福建福州·专题练习）若函数存在单调递减区间，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 20．（2026·海南省直辖县级单位·模拟预测）已知函数在区间上单调递减，则实数a的最小值为（   ） A． B． C． D．e 【题型5：由极值极值点求参数范围】 【题型专练】 21．（2026·河南开封·模拟预测）已知函数的定义域为，的极小值大于，则的取值范围为________． 22．（2026·河北沧州·二模）设，函数. 的极小值为，则的取值范围是_______. 23．（2026·四川·模拟预测）已知函数既有极大值又有极小值，则实数a的取值范围为_________. 24．（2026·安徽合肥·三模）已知分别是函数的极小值点和极大值点，若，则的取值范围是______． 25．（2026·重庆沙坪坝·模拟预测）若函数在处取得极大值，则实数的取值范围为________． 【题型6：由极值极值点个数求参数范围】 【题型专练】 26．（2026·青海海东·二模）（多选）已知函数存在两个极值点、，则（   ） A． B． C．的取值范围为 D．的取值范围为 27．（2026·河南周口·模拟预测）已知函数有两个极值点，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 28．（2026·山东威海·一模）已知函数有两个极值点，则的取值范围是____________. 29．（25-26高二上·江苏宿迁·期末）设，函数有大于零的极值点，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 30．（25-26高三上·西藏拉萨·月考）已知函数有两个极值点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【题型7：由最值求参数范围】 【题型专练】 31．（2025·全国·模拟预测）已知，：函数在区间上存在最大值，则是的（   ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 32．（2025·江苏扬州·三模）若函数的最小值为2，则实数a的值是__________. 33．（2025·四川自贡·三模）函数，若在有最大值，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 34．（2025·湖南常德·一模）若函数有最小值，则实数的取值范围是______. 35．（2025·福建三明·三模）已知函数存在最小值，则实数a的取值范围为______. 【题型8：极值与最值的综合】 【题型专练】 36．（2026·上海闵行·二模）已知，若不等式的解集中有且仅有两个整数，则的最小值为______. 37．（2026·山西太原·二模）（多选）已知函数，则下列结论正确的是（   ） A．当时，的最小值为 B．若有两个极值点，则实数的取值范围为 C．当时，的值域为 D．若存在，使得成立，则实数的最大值为 38．（25-26高二下·河北保定·期中）（多选）已知函数 则下列结论中错误的是（    ） A．存在两个不同的零点 B．既没有最大值，也没有最小值 C．当 时，有且只有三个实根 D．当时，的最大值为，则的最小值为5 39．（2025·四川泸州·一模）（多选）已知函数，则（    ） A． B．在上单调递增 C．的最大值为1 D．在上存在唯一极值点 40．（2025·陕西西安·模拟预测）（多选）设三次函数，其中，则以下正确的是（    ） A．若，且函数的对称中心为，则的极小值点为 B．若的导函数，则函数有3个零点 C．若且有三个相异且成等差的零点，则的取值范围为 D．若的两个极值点为，且，极大值为21，则极小值为17 【题型9：参变分离解决不等式恒成立问题】 【题型专练】 41．（2026·河北秦皇岛·模拟预测）已知当时，恒成立，则实数的取值范围为______. 42．（24-25高二下·江苏镇江·期末）已知函数（为自然对数的底数），若在上恒成立，则实数的取值范围是__________. 43．（24-25高二下·重庆·月考）已知，关于x的不等式在上恒成立，则a的最小值为______． 44．（2025·湖北·模拟预测）已知关于的不等式在上恒成立，则实数的取值范围为______. 45．（2025·安徽安庆·模拟预测）已知，关于的不等式对任意恒成立，则的取值范围是______. 【题型10：含参讨论解决不等式恒成立问题】 【题型专练】 46．（2026·湖北荆门·模拟预测）已知函数，若恒成立，则的最大值为______． 47．（25-26高三·全国·一轮复习）已知，若恒成立，求实数的取值范围为_________. 48．（25-26高三·全国·一轮复习）已知函数，若恒成立，则的最大值为_________． 49．（25-26高三上·山西太原·阶段检测）设函数，若，则实数的取值范围是_______. 50．（2024·贵州六盘水·模拟预测）已知函数，若恒成立，则mn的最大值为_________． 【题型11：同构解决不等式恒成立问题】 【题型专练】 51．（2026·陕西西安·模拟预测）若不等式恒成立，则实数的取值范围为___________． 52．（2026·河北邢台·二模）已知a >0，当x≥1 时，不等式 恒成立，则实数a的取值范围是________. 53．（2026·山西晋城·模拟预测）当时，，则实数的最小值为__________． 54．（2026·云南昆明·模拟预测）若，，则实数的取值范围是______. 55．（2026·四川巴中·一模）若不等式 恒成立，则 的取值范围_____. 【题型12：利用导数构造函数比较大小】 【题型专练】 56．（2026·河南·模拟预测）若，则（   ） A． B． C． D． 57．（2026·山东济南·二模）已知正实数满足，则（    ） A． B． C． D． 58．（2026·陕西咸阳·二模）已知，，，则（    ） A． B． C． D． 59．（2026·河北邯郸·一模）已知，则（    ） A． B． C． D． 60．（2025·湖北·模拟预测）已知，，，则（   ） A． B． C． D． 真题模拟检测 一、单选题 1．（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知函数在区间上单调递增，则a的最小值为（    ）． A． B．e C． D． 2．（2023·全国甲卷·高考真题）曲线在点处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 3．（2023·全国乙卷·高考真题）函数存在3个零点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．（2024·全国甲卷·高考真题）设函数，则曲线在点处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为（   ） A． B． C． D． 二、多选题 5．（2022·新高考全国Ⅰ卷·高考真题）已知函数，则（    ） A．有两个极值点 B．有三个零点 C．点是曲线的对称中心 D．直线是曲线的切线 6．（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知函数的定义域为，，则（    ）． A． B． C．是偶函数 D．为的极小值点 7．（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）若函数既有极大值也有极小值，则（    ）． A． B． C． D． 8．（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）设函数，则（    ） A．是的极小值点 B．当时， C．当时， D．当时， 9．（2025·全国二卷·高考真题）已知是定义在R上的奇函数，且当时，，则（   ） A． B．当时， C．当且仅当 D．是的极大值点 10．（2022·新高考全国Ⅰ卷·高考真题）已知函数及其导函数的定义域均为，记，若，均为偶函数，则（    ） A． B． C． D． 11．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）设函数，则（    ） A．当时，有三个零点 B．当时，是的极大值点 C．存在a，b，使得为曲线的对称轴 D．存在a，使得点为曲线的对称中心 三、填空题 12．（2022·新高考全国Ⅰ卷·高考真题）若曲线有两条过坐标原点的切线，则a的取值范围是________________． 13．（2022·新高考全国Ⅱ卷·高考真题）曲线过坐标原点的两条切线的方程为____________，____________． 14．（2025·全国一卷·高考真题）若直线是曲线的一条切线，则_________. 15．（2025·全国二卷·高考真题）若是函数的极值点，则___________ 16．（2021·新高考全国Ⅱ卷·高考真题）已知函数，函数的图象在点和点的两条切线互相垂直，且分别交y轴于M，N两点，则取值范围是_______． 17．（2024·全国甲卷·高考真题）曲线与在上有两个不同的交点，则的取值范围为______． 18．（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）若曲线在点处的切线也是曲线的切线，则__________. 19．（2022·全国乙卷·高考真题）已知和分别是函数（且）的极小值点和极大值点．若，则a的取值范围是____________． 20．（2023·全国乙卷·高考真题）设，若函数在上单调递增，则a的取值范围是______. 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 【导数常考12小题题型归纳】 总览 题型梳理 题型分类 知识讲解与常考题型 【题型1：利用导数求切线方程】 【题型专练】 1．（2026·云南·模拟预测）曲线在点处的切线方程为____________. 【答案】 【详解】由，可得，当时，， 则曲线在点处的切线方程为. 2．（2026·黑龙江哈尔滨·二模）已知函数的定义域为，，当时，，则曲线在点处的切线的斜率为（    ） A．2 B．1 C． D． 【答案】C 【分析】利用导数求出曲线在点处的切线的斜率，再利用对称性求得答案. 【详解】由函数的定义域为，，得函数的图象关于直线对称， 因此曲线在点处的切线与曲线在点处切线关于直线对称， 其斜率互为相反数，当时，，求导得，则， 所以曲线在点处的切线的斜率为. 3．（2026·河北张家口·二模）已知曲线在点处的切线也是曲线的切线，则________． 【答案】1 【分析】根据导数的几何意义先求得的切线方程，再设出该切线与的切点，再利用公切线的斜率相等，且切点也在公切线上，代入计算即可求解． 【详解】由，则， 所以曲线在点处的斜率为， 所以曲线在点处的切线方程为． 设直线与曲线相切的切点为，且， 则，解得． 4．（2026·辽宁朝阳·三模）函数与函数在公共点处切线相同，则_______． 【答案】 【详解】由题意得， 设与的公共点为 ，，， 根据两条直线斜率相等可得，解得 则在公共点处切线方程为， ． 5．（2026·湖南湘潭·三模）若曲线在点处的切线与直线平行，则__________． 【答案】/ 【分析】根据导数的几何意义及直线平行的关系求解即可. 【详解】由，可得．当时，． 因为曲线在点处的切线与直线平行， 所以． 【题型2：切线条数及公切线问题】 【题型专练】 6．（2026·河南·模拟预测）已知直线l与曲线和都相切，则直线l的方程为_________． 【答案】 【详解】设，与曲线联立，得，由，得． 直线l与曲线联立，得，显然，由，得． 所以， 化简得，又，所以，从而． 所以直线l的方程为，即． 7．（2026·重庆沙坪坝·模拟预测）过坐标原点可作曲线的切线条数为（    ） A．1条 B．2条 C．3条 D．无数条 【答案】C 【分析】先求出切线方程，再将代入切线方程，通过解方程求出满足条件的切点，最后将满足的切点值代入求出切线的斜率（注意在代入过程中因导数中包括正弦函数项，所以需要对切点值分类讨论），即可求出切线，确定切线条数. 【详解】由题意， 设切点为， 所以切线方程为， 再将代入切线方程， 所以 ， 当时，满足条件， 当时，， 解得， 最后将切点代入，求出切线斜率 当时，，所以切线为， 当，因为导数中包括正弦函数项，所以需要分类讨论， 当，，此时切线为， 当，，此时切线为， 所以切线条数为条. 8．（2026·陕西商洛·二模）已知直线是函数和函数图象的公切线，则（    ） A． B．3 C．4 D． 【答案】C 【详解】由，得 由，得. 直线的斜率为. 令，得， 将代入，得， 所以直线与函数的图象的切点为，所以，. 设直线与函数的图象的切点为， 则，得. 因为函数单调递增，且， 所以，. 所以. 9．（2026·重庆万州·模拟预测）过点有两条直线与的图象相切，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】设切点为，，切线斜率. 切线方程：，即. 切线过，代入得：， 整理得：. 由分离参数，得. 令，原题等价于与的图象有两个交点. 求导：，令，得. 当时，，单调递增； 当时，，单调递减. 故， 当时，，当时，， 作出的大致图象： 由此可知要使得与的图象有两个交点.，需满足 综上所述时，原方程有两个零点. 10．（2026·青海西宁·二模）若曲线与曲线恰好有3条公切线，则的取值范围为_____． 【答案】 【分析】根据导函数的几何意义分析可得，构建，利用导数求单调性及最值. 【详解】设公切线为，是与的切点，是与的切点， ，，所以的方程为， 因为，整理得， 同理，因为，整理得． 依题意两条直线重合，可得，两式相除得， 所以，代入①得 由题意此方程有三个不等实根，设， 即直线与曲线有三个不同的交点， 因为，令，则或． 当时，在上单调递减； 当时，，在上单调递增； 当时，在上单调递减， 所以有极小值为，有极大值为， 当趋近于0时，趋近于0；当趋近于时，趋近于， 所以当，即时， 直线与曲线有三个交点，故的取值范围为． 【题型3：切线方程与圆锥曲线综合题型】 【题型专练】 11．（2026·云南昆明·二模）若函数在处的切线也是圆的切线，则半径（    ） A．1 B． C． D．2 【答案】B 【分析】求出函数在处的切线方程，利用直线与圆的位置关系求解即可. 【详解】对函数求导得， 从而，又当时，， 故函数在处的切线方程为：，即， 由题意直线与圆相切， 从而， 即. 12．（2026·湖南常德·二模）已知曲线在处的切线与圆相交于两点，则___________． 【答案】 【分析】求导，根据点斜式求解切线方程，即可根据圆的弦长公式求解. 【详解】由得，故，进而可得曲线在处的切线方程为：，即， 圆心到直线的距离为， 故.其中为圆的半径. 13．（2026·天津河北·一模）抛物线的焦点为F，经过其准线与y轴的交点Q的直线与抛物线切于第一象限点P，则外接圆的标准方程为______． 【答案】 【分析】确定抛物线的焦点与过点的切线，求出，可知，进而有外接圆以为直径，即可求解. 【详解】由题意，，设， 因为，所以切线方程为， 代入得，点P在第一象限， 所以，从而， 所以外接圆以为直径， 当时，圆心为，半径为， 圆的方程为； 所以外接圆的标准方程为． 14．（2026·江苏南京·三模）若曲线与圆有公共点，且在点处的切线相同，则实数________. 【答案】/ 【分析】利用导函数在某点处的切线的斜率与圆在某点处切线斜率之间的关系分析求解即可. 【详解】由知定义域为，则， 此时曲线在点处的切线斜率为：， 又圆的圆心与点所在直线的斜率为：， 所以圆在点处的切线斜率为：， 由题意知，① 又在圆上所以：，② 将①代入②中得：， 化简得：，解得：或（舍去）， 又由题意知，所以，此时，所以， 将代入中有：，解得：. 15．（2026·重庆沙坪坝·模拟预测）若曲线和圆存在4条公切线，则的取值范围是_____. 【答案】 【分析】借助导数的几何意义表示出曲线在处的切线方程，则该切线也是圆的切线，即可用圆的切线的性质得到与有关方程，再利用存在4条公切线，计算即可得. 【详解】对，有， 则曲线在处的切线方程为， 整理得， 由该切线也是的切线，则， 整理得， 由曲线和圆存在4条公切线， 故关于的方程有四个不同根， 故关于的方程有两个不同正根，设为、， 则，解得， 由，则，， 故时，该方程有两个不同正根， 即此时曲线和圆存在4条公切线， 故的取值范围是. 【题型4：由单调性求参数范围】 【题型专练】 16．（2026·四川雅安·二模）若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】通过将函数单调递增转化为恒成立问题，从而分离参数，构造新函数求最值即可. 【详解】因为函数在区间上单调递增， 所以在恒成立，即， 令，所以只需即可. 因为， 所以当时，，单调递减； 当时，，单调递增， 所以当时，取到最小值为，即， 所以实数的取值范围是. 17．（2026·山西吕梁·三模）已知函数在上单调递增，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用二次函数的性质及导数分析分段函数单调性及最值，再利用单调递增条件构造不等式，从而求出的取值范围． 【详解】当时，，开口向下，对称轴为， 在上单调递增，最大值为； 当时，，求导得， 要使在上单调递增，需对所有恒成立， 即，则， 令，求导得， 当时，，单调递增； 当时，，单调递减； 在处取得最大值，， ， 在上单调递增， ，解得， 综上可得，． 18．（25-26高三下·安徽·开学考试）若函数在内不单调，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据二次求导法，结合函数单调性的性质进行求解即可. 【详解】设， 当时，，所以在上单调递增， 所以由在内不单调得， 即，解得． 故选：B 19．（2026高二下·福建福州·专题练习）若函数存在单调递减区间，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】假设函数不存在单调递减区间，利用导数与单调性的关系可得在恒成立，可求得实数的取值范围，根据函数存在单调递减区间可求解. 【详解】函数的定义域为， 导函数， 假设函数不存在单调递减区间，则在恒成立， 即在恒成立，即， 令，因为，所以， 则函数在时取得最小值，最小值为， 所以，所以， 根据题意，函数存在单调递减区间， 所以. 20．（2026·海南省直辖县级单位·模拟预测）已知函数在区间上单调递减，则实数a的最小值为（   ） A． B． C． D．e 【答案】B 【分析】由在区间上单调递减，得在上恒成立，进而得，令，利用导数研究单调性求出最大值即可求解. 【详解】由已知得，因为在区间上单调递减， 所以在上恒成立，即，得， 令，则，令，得， 当时，，单调递减，当时，单调递增， 又，所以a的最小值为． 【题型5：由极值极值点求参数范围】 【题型专练】 21．（2026·河南开封·模拟预测）已知函数的定义域为，的极小值大于，则的取值范围为________． 【答案】 【分析】由函数存在极值，得到有两个不同根，由极小值大于，确定只有一个零点，结合判别式和韦达定理即可求解. 【详解】，. 因为的极小值大于0， 所以存在两个不同的根，，设， 当或时，，则在，上单调递增， 当时，，则在上单调递减， 则为极大值，为极小值， 又极小值大于0，所以极大值，所以只有一个零点， 又， 显然是的零点，所以方程无实数根， 即，即， 因为，若，因为在上单调递增， 结合，可得，与条件矛盾， 所以，又，，所以， 即的极大值点与极小值点均大于0， 且方程的2个实数根均大于0， 所以，解得， 综上可得：，故b的取值范围为. 22．（2026·河北沧州·二模）设，函数. 的极小值为，则的取值范围是_______. 【答案】 【分析】根据极小值为可得或为的极小值点，据此分类讨论后结合局部保号性可得的取值范围. 【详解】因为的极小值为，令，则或， 故或为的极小值点. 若，即为的极小值点. 由题设， 令，，则， 当时，，当时，， 故在上递减，上递增， 而且，故时，时， 而时，，时， 故时，，时， 此时不是的极小值点，与题设矛盾； 若, 若为的极小值点，故， 由题设， 因，故必有，故即，与矛盾； 若为的极小值点， 因为，且时，，时， 故在的附近总有， 由局部保号性可得即. 综上，. 23．（2026·四川·模拟预测）已知函数既有极大值又有极小值，则实数a的取值范围为_________. 【答案】 【分析】求出函数的导数，利用有两个不等的正根求出范围并验证即可. 【详解】函数的定义域为，求导得， 由函数既有极大值又有极小值，得方程有两个不等的正根， 则，解得，令是的两个正根， ，则，当或时，； 当时，，函数在处取得极大值，在处取得极小值，符合题意， 所以实数a的取值范围为. 24．（2026·安徽合肥·三模）已知分别是函数的极小值点和极大值点，若，则的取值范围是______． 【答案】 【分析】法一：将函数极值点的问题转化为其导函数对应的两个函数与的交点问题，通过图像分析判断出，再利用两函数相切的临界状态，通过切点处的函数值与导数值相等建立方程组，求出切点横坐标,进而结合图像中交点存在两个的条件，得到与的关系，最终得出的取值范围. 法二：将导函数的两正实根问题，转化为方程有两实根的问题，构造函数，通过求导分析其单调性与值域，得到的最大值及极限趋势，结合直线与图像有两个交点的条件，确定的取值范围，进而推出的取值范围. 【详解】法一：因为， 若函数有极大值点和极小值点，则与至少有两个交点． 如下图，因为分别是函数的极小值点和极大值点，所以由图易知． 记恰与相切时，切点为， 则有，解得，此时． 由题意和图像分析可知，又，所以． 法二：，函数有极大值点和极小值点，有两正实根. 即有两实根，令，则. 故易知在上单调递增，在上单调递减. 又，，；，. 所以，经检验时，符合题意． 25．（2026·重庆沙坪坝·模拟预测）若函数在处取得极大值，则实数的取值范围为________． 【答案】 【分析】先求导数，然后分，，三种情况讨论，借助导数研究函数的极值，即可得解. 【详解】求导得 . 若，则，当时，；当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以在处取得极大值，故符合要求； 若，令. 当时，解得，， 当时，，此时是开口向上的抛物线， 所以当时，，； 当时，，， 所以在处取得极大值，故符合要求； 当时，此时是开口向下的抛物线，欲使成为的极大值点， 只需，即，解得. 综上，可得实数的取值范围为． 【题型6：由极值极值点个数求参数范围】 【题型专练】 26．（2026·青海海东·二模）（多选）已知函数存在两个极值点、，则（   ） A． B． C．的取值范围为 D．的取值范围为 【答案】BC 【分析】分析可知关于的方程有两个不等的正根、，利用二次方程根的分布结合韦达定理逐项判断即可. 【详解】函数的定义域为，且， 由题意可知，关于的方程有两个不等的正根、， 所以，解得，即实数的取值范围为， 故，A错D错，B对C对. 27．（2026·河南周口·模拟预测）已知函数有两个极值点，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意可知有两个根，令，则，故直线与的图象有两个交点，先求两图像相切再求两个交点即可. 【详解】由题意，有两个极值点， 有两个不同的实根，即有两个根. 令，则，直线与的图象有两个交点. 若直线与的图象相切，则设切点为. 由于，则切线的斜率为，∴切线方程为， 即，，解得，. ∵要使直线与的图象有两个交点，，. 28．（2026·山东威海·一模）已知函数有两个极值点，则的取值范围是____________. 【答案】 【分析】求得，根据题意转化为一元二次方程在内有两个不等实根，根据一元二次方程根的分布列出不等式即可求解. 【详解】由函数，可得 令，即， 因为函数有两个极值点，可得在内有两个不等实根， 所以由一元二次方程根的分布知，，解得， 即实数的取值范围是. 故答案为：. 29．（25-26高二上·江苏宿迁·期末）设，函数有大于零的极值点，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先对函数求导，再通过极值点大于零分析的符号求解即可. 【详解】由已知可得， 令，可得， 若，所以不符合题意，舍去； 因此，则，解得. 因为，所以，要让，必须满足， 所以，解得. 故选： 30．（25-26高三上·西藏拉萨·月考）已知函数有两个极值点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求出函数的导数，由在上有两个变号零点求出范围. 【详解】函数的定义域为，求导得， 由函数有两个极值点，得函数在上有两个变号零点， 令，求导得， 当时，，函数在上单调递减，最多一个零点，不符合题意； 当时，由，得；由，得， 函数在上单调递增，在上单调递减， 则，而当从大于0的方向趋近于0时，， 当时，，因此当且仅当时，有两个零点， 即，解得，所以实数的取值范围是. 故选：D 【题型7：由最值求参数范围】 【题型专练】 31．（2025·全国·模拟预测）已知，：函数在区间上存在最大值，则是的（   ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】利用导数分析得的单调性，则得到不等式组，解出的范围，再根据必要不充分条件的判断即可得到答案. 【详解】， 当时，，则在上单调递增， 当时，，则在上单调递减， 且. 若在区间上存在最大值，则该区间须包含极大值点， 且极大值不小于区间右端点的函数值（否则函数在该区间没有最大值），即， 由得，即，分解因式得，解得， 联立，解得， 又因为是的真子集， 是的必要不充分条件. 故选：C. 32．（2025·江苏扬州·三模）若函数的最小值为2，则实数a的值是__________. 【答案】1 【分析】由函数求导，根据参数与零的大小关系，利用导数与函数单调性的关系，求得函数最小值，建立方程，可得答案. 【详解】由，求导可得， 当时，令，可得， 由可得，由得， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 故，解得； 当时，，显然函数在上单调递减，故不合题意； 当时，，函数在上单调递减，故不合题意. 故答案为： 33．（2025·四川自贡·三模）函数，若在有最大值，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】对函数求导，分，，三种情况讨论求解即可. 【详解】由， 则， 令，得或， 当，即时，， 函数在上单调递增，此时在上没有最大值，不符合题意； 当，即时， 令，得或， 令，得， 则函数在和上单调递增，在上单调递减， 又，则在没有最大值，不符合题意； 当，即时， 令，得或， 令，得， 则函数在和上单调递增，在上单调递减， 又， ， 要使在有最大值， 则，解得. 综上所述，实数的取值范围是. 故选：B. 34．（2025·湖南常德·一模）若函数有最小值，则实数的取值范围是______. 【答案】 【分析】利用导数探讨函数在上单调性及对应函数值集合，再由给定最值情况求出范围. 【详解】当时，，求导得， 函数在上单调递增，在时的取值集合为， 当时，，没有最小值， 由函数在R上有最小值，得在上单调递减，且， 因此，解得，所以实数的取值范围是. 故答案为： 35．（2025·福建三明·三模）已知函数存在最小值，则实数a的取值范围为______. 【答案】 【分析】求定义域，求导，，令，分，，，和五种情况，得到函数单调性，进而确定实数a的取值范围. 【详解】的定义域为R， ， 令， 若，则，令得，令得， 所以在上单调递增，在上单调递减， 故存在最大值，不存在最小值，舍去； 若，， 若，则，此时， 其中，， 当且时，，当时，， 故在上单调递增，在上单调递减， 故存在最大值，不存在最小值，舍去； 若，即时，恒成立， 当时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 故存在最大值，不存在最小值，舍去； 若，则或， 当时，设的两根为， 开口向上，， 当时，，， 当时，，， 当时，，， 当时，，， 所以在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， 即为的最小值，故满足要求； 当时，设的两根为 开口向下，， 当时，，， 当时，，， 当时，，， 当时，，， 所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减， 当趋向于时，趋向于，不存在最小值， 综上， 故答案为： 【题型8：极值与最值的综合】 【题型专练】 36．（2026·上海闵行·二模）已知，若不等式的解集中有且仅有两个整数，则的最小值为______. 【答案】 【分析】先根据不等式结合符号法计算，再构造函数令，再应用导函数正负得出函数单调性进而得出最值，最后分类讨论结合有且仅有两个整数列式计算求解. 【详解】因为不等式， 则或， 即得(1)或(2)， 令，， 所以当单调递增；当单调递减； 所以， 因为，且，所以时，， 当时，(1)无解，(2)有两个整数解1和2，所以满足题意； 当时，(1)有一个整数解3，(2)有两个整数解1和2，所以时有三个整数解不满足题意； 当时，(1)有一个整数解3，(2)有一个整数解1，所以满足题意； 当时，(1)至少有两个解3和4，(2)至少有一个整数解1，所以时有至少三个整数解不满足题意； 当时，(1)整数解无限，(2)无解，所以时有无数个整数解不满足题意； 综上，符合解集中有且仅有两个整数，则的范围是， 所以的最小值为. 37．（2026·山西太原·二模）（多选）已知函数，则下列结论正确的是（   ） A．当时，的最小值为 B．若有两个极值点，则实数的取值范围为 C．当时，的值域为 D．若存在，使得成立，则实数的最大值为 【答案】BCD 【分析】A选项，求导后求单调区间，进而求最小值即可； B选项，将问题转化成有两个不同的解，构造新的函数，使和有两个交点即可； C选项，直接利用导数分析的值域即可； D选项，令，设出的根，保证即可. 【详解】 ，求导得 A选项，当时，，， 令，解得，所以在上单调递减，在上单调递增，则， 即的最小值为，所以A选项错误； B选项，有两个极值点，等价于有两个不同的实数根，即有两个不同的解， 令，则，在上单调递减，在上单调递增，则， 且当时，；当时，；且时，，， 所以当时，有两个不同的解，即有两个极值点，所以B选项正确； C选项，若，则， ，所以在定义域内单调递增， 当时，；当时，；则的值域为，所以C选项正确； D选项，存在，使得，即存在，使得， 令，则 ，由B选项解析可知，当时，若，则， 不妨设为的根，即 ， 当，单调递减，当，单调递增， 则在处取得最小值， ， 需要满足存在，使得成立， 令，则，其中， 令，解得，所以在上单调递减，在单调递增， 则，此时 满足题意，所以，所以D选项正确. 【点睛】本题需要构造不同的函数，利用新函数的导数去研究原函数的单调性和取值范围，构造函数的时候需要注意自变量的取值范围. 38．（25-26高二下·河北保定·期中）（多选）已知函数 则下列结论中错误的是（    ） A．存在两个不同的零点 B．既没有最大值，也没有最小值 C．当 时，有且只有三个实根 D．当时，的最大值为，则的最小值为5 【答案】BCD 【分析】A选项直接求的解即可；对于BCD选项，先对求导，根据函数单调性，求出极值，结合函数图象走势即可判断. 【详解】对于A选项，令，得 ，即, ，有两个实根，故A选项正确； 对于B选项，， 由得，；由得，或， 在上单调递增，在上单调递减 在处取极小值，在处取极大值， 由于当时，恒成立， 所以，根据函数图象走势可知，没有最大值，在处取最小值， 所以，B选项错误； 对于C选项,由B选项可知，最小值为 极大值为，根据函数图象可知， 当 时， 有两个实根； 当 时， 有三个实根；所以，C选项错误; 对于D选项，由函数图象可知，当时，在时，的最大值也是， 故的最小值不是5，所以，D选项错误. 39．（2025·四川泸州·一模）（多选）已知函数，则（    ） A． B．在上单调递增 C．的最大值为1 D．在上存在唯一极值点 【答案】ACD 【分析】根据函数的性质，利用特殊值法分析判断选项A，对求导，利用导数分析函数单调性及极值，进而判断选项BCD． 【详解】选项A：，， ，， ， 需比较与的大小， ，，， ，故，故A正确； 选项B：，求导得，分母， ，对于任意，，， 又 ，， 对于任意成立， 在成立，故在上单调递减，故B错误； 选项C：当时，， 令，求导得， 当时，，函数在上单调递减， 当时，，函数在上单调递增， 在时取得最小值，即在上恒成立， ，当且仅当时， ，仅当时等号成立，故的最大值为1，故C正确； 选项D：，， 令， 当时，， ，故，函数单调递减； 当时，，， 当时，， 求导得，， ，函数单调递增，且， 在上单调递增，且，， 由零点存在定理知在上存在唯一零点，设为， 时，，单调递减， 时，，单调递增， 是在上存在唯一极小值点，故D正确． 故选：ACD． 40．（2025·陕西西安·模拟预测）（多选）设三次函数，其中，则以下正确的是（    ） A．若，且函数的对称中心为，则的极小值点为 B．若的导函数，则函数有3个零点 C．若且有三个相异且成等差的零点，则的取值范围为 D．若的两个极值点为，且，极大值为21，则极小值为17 【答案】ACD 【分析】结合三次函数的对称中心、导数与极值、零点、极值点与极值的关系等性质进行判断. 【详解】对于选项A：由可得 因为函数的对称中心为， 所以对，，即， 所以，解得，又，解得. 所以，所以， 当时，，单调递增；当时，，单调递减； 当时，，单调递增， 所以当时，取得极小值，的极小值点是，A正确； 对于B：因为，所以函数在单调递增，仅有一个零点，B错误； 对于C：因为，所以， 设三个相异且成等差的零点为， 则， 所以，得，又，所以， 由得，又，所以， 即的取值范围为，C正确； 对于D：由可得，， 则是方程的两根，所以， 又，所以，所以. 又由是函数的两个极值点，可得， 所以当时，，单调递增； 当时，，单调递减； 当时，，单调递增， 所以当时，取得极大值，当时，取得极小值. 所以，即，解得， 所以，所以，， 所以极小值，D正确； 故选：ACD. 【题型9：参变分离解决不等式恒成立问题】 【题型专练】 41．（2026·河北秦皇岛·模拟预测）已知当时，恒成立，则实数的取值范围为______. 【答案】 【分析】根据恒成立，构造函数，求解导数，判断单调性，求出函数的最值即可. 【详解】原不等式等价于恒成立， 设，，因为，所以， 令，，为增函数， 又，，所以存在唯一，使得， 即，. 当时，，为减函数；当时，，为增函数； 所以的最小值为. 实数的取值范围为. 故答案为： 42．（24-25高二下·江苏镇江·期末）已知函数（为自然对数的底数），若在上恒成立，则实数的取值范围是__________. 【答案】. 【分析】根据题意得，令，求导求最值即可. 【详解】由已知在上恒成立， 所以在上恒成立， 故，其中， 令，则， 令，解得，令，解得， 故在上单调递减，在上单调递增， 故， 故.所以的取值范围是. 故答案为：. 43．（24-25高二下·重庆·月考）已知，关于x的不等式在上恒成立，则a的最小值为______． 【答案】 【分析】对给定不等式两边取对数，分离参数并构造函数，利用导数求出最大值即可. 【详解】，不等式 令，求导得，当时，； 当时，， 函数在上单调递增，在上单调递减，， 因此，解得， 所以a的最小值为. 故答案为： 44．（2025·湖北·模拟预测）已知关于的不等式在上恒成立，则实数的取值范围为______. 【答案】 【分析】原式变形为，令，求导可得，分，，三种情况对，讨论分离变量可求得的取值范围. 【详解】由，可得，令，则， 由，可得， 当时，，所以在上单调递减， 当时，，所以在上单调递增， 所以， 当时，，所以， 当，，令，求导得， 若，可得，所以在上单调递减， 若，可得，所以在上单调递增， 所以，所以， 当，可得，令，求导得， 所以在单调递减，此时， 所以， 综上所述：实数的取值范围为. 故答案为：. 45．（2025·安徽安庆·模拟预测）已知，关于的不等式对任意恒成立，则的取值范围是______. 【答案】 【分析】依题意可得对任意恒成立，再根据指数不等式得到，即可求出的最小值，从而得解. 【详解】因为关于的不等式对任意恒成立， 所以对任意恒成立， 令，则，所以当时，当时， 所以在上单调递增，在上单调递减，所以， 即恒成立（当且仅当时取等号）， 所以（当且仅当时取等号）， 所以（当且仅当时取等号）， 所以，即的取值范围是. (令，则，，所以在上存在零点). 故答案为： 【题型10：含参讨论解决不等式恒成立问题】 【题型专练】 46．（2026·湖北荆门·模拟预测）已知函数，若恒成立，则的最大值为______． 【答案】 【分析】对进行讨论，利用导数求解函数的单调性，可得最值，进而得，构造函数，利用导数求解最值即可得解. 【详解】由可得， 当时，此时恒成立，在上单调递增，当时，，不满足，故不合题意； 当时，此时； 当时，令得，故在单调递增， 令得，故在单调递减， 要使恒成立，则，故， 所以， 记，， 当时，，单调递增，当时，，单调递减， 故，故的最大值为． 故答案为： 47．（25-26高三·全国·一轮复习）已知，若恒成立，求实数的取值范围为_________. 【答案】 【分析】构造函数，将不等式问题转化为函数单调性及最值问题，分情况分别讨论即可. 【详解】令，则. 令，则. 当时，，所以在上单调递增，所以，即， 所以在上单调递增，所以，符合题意. 当时，令，即，解得， 当，即时，，所以在上单调递增， 所以，即，所以在上单调递增， 所以，符合题意， 当，即时，当时，，所以在上单调递减，所以，即，所以在上单调递减，所以，不符合题意. 综上，实数的取值范围为. 故答案为：. 48．（25-26高三·全国·一轮复习）已知函数，若恒成立，则的最大值为_________． 【答案】 【分析】先排除的情况（通过分析极限趋势说明不满足）；再对的情况，分析的单调区间与最大值，得到的约束关系；最后构造函数分析其单调区间，求得的最大值. 【详解】若，当时，，故； 同时，因此， 此时，不满足恒成立. ，，当时，，， 也不满足恒成立，因此仅需考虑的情况. 的定义域需满足，即，即， ，令，解得，此时，符合定义域. 当时，，单调递增； 当时，，单调递减. 故在处取得最大值为， 由得，整理得. 由，得.构造函数（），， 当时，，，单调递增； 当时，，，单调递减. 故在处取得最大值为 . 故答案为： 49．（25-26高三上·山西太原·阶段检测）设函数，若，则实数的取值范围是_______. 【答案】 【分析】求导，根据导数判断函数单调性，结合函数单调性确定函数值域情况，进而可得参数范围. 【详解】由，可知， 则当时，恒成立，在上单调递减，且的值域为，不满足，不成立； 当时，由得， 由得，由得， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以，由得， 故答案为：. 50．（2024·贵州六盘水·模拟预测）已知函数，若恒成立，则mn的最大值为_________． 【答案】 【分析】将不等式等价变形为恒成立，构造函数可得，再按分类探讨，借助导数求出最小值可得，然后构造函数求出最大值. 【详解】函数的定义域都为R，不等式， 依题意，对任意，成立，令，求导得， 当时，恒成立，函数在上单调递增，函数的值域为R，不符合题意； 当时，的值域为，则，； 当时，由，得；由，得， 函数在上单调递减，在上单调递增，， 因此，，令函数， 求导得，当时，，当时，， 因此函数在上单调递增，在上单调递减，， 则，当且仅当时取等号，所以mn的最大值为. 故答案为： 【点睛】方法技巧：对于利用导数研究不等式的恒成立与有解问题的求解策略： ①通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围； ②利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题． ③根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别． 【题型11：同构解决不等式恒成立问题】 【题型专练】 51．（2026·陕西西安·模拟预测）若不等式恒成立，则实数的取值范围为___________． 【答案】 【分析】利用 将原不等式变形，结合重要不等式 进行求解，推得 ，并验证该范围恒成立，求得实数的取值范围即可. 【详解】因为，所以原不等式转化为， 将 代入，得：，整理得：， 设，则，令，可得， 当时，，函数单调递增， 当时，，函数单调递减， 所以对任意 ， 所以，当且仅当 时，等号成立， 当 时，， 不等式变为：， 因为 ，所以必须满足：，即， 当 时，原不等式为：，即：， 令 ，则不等式化为 ，显然恒成立， 当且仅当 （即 ）时取等号， 当 时，在 （即 ）处，左边为 ，右边为 ，不等式不成立， 所以实数 的取值范围为. 52．（2026·河北邢台·二模）已知a >0，当x≥1 时，不等式 恒成立，则实数a的取值范围是________. 【答案】 【分析】通过换元构造同构函数，利用函数单调性脱去函数符号，将原不等式转化为恒成立问题，分离参数后求函数最小值得到的取值范围. 【详解】原不等式整理得，等价于， 令，则恒成立，所以在上单调递增. 故原不等式等价于， 由的单调性，不等式等价于，即， 故原不等式恒成立等价于对所有恒成立，变形得，即： ， 令，求导得，当时， 故在上单调递增，最小值为，所以. 又，得的取值范围是. 53．（2026·山西晋城·模拟预测）当时，，则实数的最小值为__________． 【答案】 【分析】将原不等式转化为，令，换元后，分离参数，转化为，再求的最大值即可. 【详解】，因为，故，也即， 对， ，故其在单调递增， 且当时，；当趋近于时，趋近于； 令，则；原不等式等价于，又， 故，令，则 ， 故当时， ，单调递增；当时， ，单调递减； 故在时取得极大值，也是最大值，故，也即的最小值为. 54．（2026·云南昆明·模拟预测）若，，则实数的取值范围是______. 【答案】 【分析】由题知，对于恒成立，等价转化为对于恒成立，构造函数，根据单调性得，分离参数得对于恒成立，再构造函数，对求导，借助单调性求最小值，继而得解. 【详解】由题知，恒成立， 即，即对于恒成立， 令，则， 而在上恒成立， 所以在上单调递增， 所以，即得，即，所以对于恒成立， 令，则， 所以当时，； 当时，； 所以在单调递减，在单调递增， 所以，所以，又. 所以实数的取值范围是. 55．（2026·四川巴中·一模）若不等式 恒成立，则 的取值范围_____. 【答案】 【分析】将原不等式变形为，构造函数，得到在R上单调递增，从而将问题转化为恒成立，令，，利用导数求出的最小值即可求解. 【详解】左右两边同时加，并将移项得 ， 整理得， 设，，故在R上单调递增， 则原不等式可化为， 所以， 整理得， 令，，设，， 则，令，则， 故当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以， 对方程，，故存在实数使成立， 所以，即. 故答案为：. 【题型12：利用导数构造函数比较大小】 【题型专练】 56．（2026·河南·模拟预测）若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分别构造函数，，利用导数分析两个函数的单调性，即可得及关系，从而得到答案. 【详解】令，则. 当时，，单调递减；当时，，单调递增. 又，所以 所以，即. 令，则， 令，则. 当时，，单调递增；当时，，单调递减. 所以恒成立，即恒成立，所以是减函数， 所以，即，即． 综上所述，. 57．（2026·山东济南·二模）已知正实数满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】构造函数，利用同构比较大小. 【详解】由于，所以， 设，则，所以在上单调递增， 那么，所以，， ，设，， 所以，在上单调递减，， 即, 由于，那么, ， 综上，. 【点睛】本题考查利用导数比较大小，解题关键在于利用同构式发现，进而得出，是难题. 58．（2026·陕西咸阳·二模）已知，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】构造，，可知在内单调递增，结合函数单调性比较大小即可. 【详解】构造，，则， 可知在内单调递增， 因为，可得，即，所以， 又因为，可得， 则，所以， 综上所述：. 59．（2026·河北邯郸·一模）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】构造函数，求出，构造函数，利用导数法得到的单调性，由结合单调性得到在上单调递减，从而得到，继而得到，从而得到． 【详解】令，则． 令，易知在上单调递减， 且， 所以在上恒成立， 则在上单调递减， 则， 即，所以， 所以，即． 故选：D. 60．（2025·湖北·模拟预测）已知，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据的数字特征分别构造函数、，利用导数可求得单调性，由和可确定的大小关系. 【详解】令，则， 在上单调递增，， 即，，又，，即； 令，则， 令，则，在上单调递减， ，在上单调递减， ，即，； 综上所述：. 故选：C. 真题模拟检测 一、单选题 1．（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知函数在区间上单调递增，则a的最小值为（    ）． A． B．e C． D． 【答案】C 【分析】根据在上恒成立，再根据分参求最值即可求出． 【详解】依题可知，在上恒成立，显然，所以， 设，所以，所以在上单调递增， ，故，即，即a的最小值为． 故选：C． 2．（2023·全国甲卷·高考真题）曲线在点处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先由切点设切线方程，再求函数的导数，把切点的横坐标代入导数得到切线的斜率，代入所设方程即可求解. 【详解】设曲线在点处的切线方程为， 因为， 所以， 所以 所以 所以曲线在点处的切线方程为. 故选：C 3．（2023·全国乙卷·高考真题）函数存在3个零点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】写出，并求出极值点，转化为极大值大于0且极小值小于0即可. 【详解】，则， 若要存在3个零点，则要存在极大值和极小值，则， 令，解得或， 且当时，， 当，， 上单调递增， 在上单调递减， 故的极大值为，极小值为， 若要存在3个零点，则，即，解得， 故选：B. 4．（2024·全国甲卷·高考真题）设函数，则曲线在点处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】借助导数的几何意义计算可得其在点处的切线方程，即可得其与坐标轴的交点坐标，即可得其面积. 【详解】， 则， 即该切线方程为，即， 令，则，令，则， 故该切线与两坐标轴所围成的三角形面积. 故选：A. 二、多选题 5．（2022·新高考全国Ⅰ卷·高考真题）已知函数，则（    ） A．有两个极值点 B．有三个零点 C．点是曲线的对称中心 D．直线是曲线的切线 【答案】AC 【分析】利用极值点的定义可判断A，结合的单调性、极值可判断B，利用平移可判断C；利用导数的几何意义判断D. 【详解】由题，，令得或， 令得， 所以在，上单调递增，上单调递减，所以是极值点，故A正确； 因，，， 所以，函数在上有一个零点， 当时，，即函数在上无零点， 综上所述，函数有一个零点，故B错误； 令，该函数的定义域为，， 则是奇函数，是的对称中心， 将的图象向上移动一个单位得到的图象， 所以点是曲线的对称中心，故C正确； 令，可得，又， 当切点为时，切线方程为，当切点为时，切线方程为，故D错误. 故选：AC. 6．（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知函数的定义域为，，则（    ）． A． B． C．是偶函数 D．为的极小值点 【答案】ABC 【分析】方法一：利用赋值法，结合函数奇偶性的判断方法可判断选项ABC，举反例即可排除选项D. 方法二：选项ABC的判断与方法一同，对于D，可构造特殊函数进行判断即可. 【详解】方法一： 因为， 对于A，令，，故正确. 对于B，令，，则，故B正确. 对于C，令，，则， 令， 又函数的定义域为，所以为偶函数，故正确， 对于D，不妨令，显然符合题设条件，此时无极值，故错误. 方法二： 因为， 对于A，令，，故正确. 对于B，令，，则，故B正确. 对于C，令，，则， 令， 又函数的定义域为，所以为偶函数，故正确， 对于D，当时，对两边同时除以，得到， 故可以设，则， 当肘，，则， 令，得；令，得； 故在上单调递减，在上单调递增， 因为为偶函数，所以在上单调递增，在上单调递减，    显然，此时是的极大值点，故D错误. 故选：. 7．（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）若函数既有极大值也有极小值，则（    ）． A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】求出函数的导数，由已知可得在上有两个变号零点，转化为一元二次方程有两个不等的正根判断作答. 【详解】函数的定义域为，求导得， 因为函数既有极大值也有极小值，则函数在上有两个变号零点，而， 因此方程有两个不等的正根， 于是，即有，，，显然，即，A错误，BCD正确. 故选：BCD 8．（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）设函数，则（    ） A．是的极小值点 B．当时， C．当时， D．当时， 【答案】ACD 【分析】求出函数的导数，得到极值点，即可判断A；利用函数的单调性可判断B；根据函数在上的值域即可判断C；直接作差可判断D. 【详解】对A，因为函数的定义域为R，而， 易知当时，，当或时， 函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，故是函数的极小值点，正确； 对B，当时，，所以， 而由上可知，函数在上单调递增，所以，错误； 对C，当时，，而由上可知，函数在上单调递减， 所以，即，正确； 对D，当时，， 所以，正确； 故选：ACD. 9．（2025·全国二卷·高考真题）已知是定义在R上的奇函数，且当时，，则（   ） A． B．当时， C．当且仅当 D．是的极大值点 【答案】ABD 【分析】对A，根据奇函数特点即可判断；对B，利用代入求解即可；对C，举反例即可；对D，直接求导，根据极大值点判定方法即可判断. 【详解】对A，因为定义在上奇函数，则，故A正确； 对B，当时，，则，故B正确； 对C，， 故C错误； 对D，当时，，则， 令，解得或（舍去）， 当时，，此时单调递增， 当时，，此时单调递减， 则是极大值点，故D正确； 故选：ABD. 10．（2022·新高考全国Ⅰ卷·高考真题）已知函数及其导函数的定义域均为，记，若，均为偶函数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】方法一：转化题设条件为函数的对称性，结合原函数与导函数图象的关系，根据函数的性质逐项判断即可得解. 【详解】[方法一]：对称性和周期性的关系研究 对于，因为为偶函数，所以即①，所以，所以关于对称，则，故C正确； 对于，因为为偶函数，，，所以关于对称，由①求导，和，得，所以，所以关于对称，因为其定义域为R，所以，结合关于对称，从而周期，所以，，故B正确，D错误； 若函数满足题设条件，则函数（C为常数）也满足题设条件，所以无法确定的函数值，故A错误. 故选：BC. [方法二]：【最优解】特殊值，构造函数法. 由方法一知周期为2，关于对称，故可设，则，显然A，D错误，选BC. 故选：BC. [方法三]： 因为，均为偶函数， 所以即，， 所以，，则，故C正确； 函数，的图象分别关于直线对称， 又，且函数可导， 所以， 所以，所以， 所以，，故B正确，D错误； 若函数满足题设条件，则函数（C为常数）也满足题设条件，所以无法确定的函数值，故A错误. 故选：BC. 【点评】方法一：根据题意赋值变换得到函数的性质，即可判断各选项的真假，转化难度较高，是该题的通性通法； 方法二：根据题意得出的性质构造特殊函数，再验证选项，简单明了，是该题的最优解． 11．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）设函数，则（    ） A．当时，有三个零点 B．当时，是的极大值点 C．存在a，b，使得为曲线的对称轴 D．存在a，使得点为曲线的对称中心 【答案】AD 【分析】A选项，先分析出函数的极值点为，根据零点存在定理和极值的符号判断出在上各有一个零点；B选项，根据极值和导函数符号的关系进行分析；C选项，假设存在这样的，使得为的对称轴，则为恒等式，据此计算判断；D选项，若存在这样的，使得为的对称中心，则，据此进行计算判断，亦可利用拐点结论直接求解. 【详解】A选项，，由于， 故时，故在上单调递增， 时，，单调递减， 则在处取到极大值，在处取到极小值， 由，，则， 根据零点存在定理在上有一个零点， 又，，则， 则在上各有一个零点，于是时，有三个零点，A选项正确； B选项，，时，，单调递减， 时，单调递增， 此时在处取到极小值，B选项错误； C选项，假设存在这样的，使得为的对称轴， 即存在这样的使得， 即， 根据二项式定理，等式右边展开式含有的项为， 于是等式左右两边的系数都不相等，原等式不可能恒成立， 于是不存在这样的，使得为的对称轴，C选项错误； D选项， 方法一：利用对称中心的表达式化简 ，若存在这样的，使得为的对称中心， 则，事实上， ， 于是 即，解得，即存在使得是的对称中心，D选项正确. 方法二：直接利用拐点结论 任何三次函数都有对称中心，对称中心的横坐标是二阶导数的零点， ，，， 由，于是该三次函数的对称中心为， 由题意也是对称中心，故， 即存在使得是的对称中心，D选项正确. 故选：AD 【点睛】结论点睛：（1）的对称轴为；（2）关于对称；（3）任何三次函数都有对称中心，对称中心是三次函数的拐点，对称中心的横坐标是的解，即是三次函数的对称中心 三、填空题 12．（2022·新高考全国Ⅰ卷·高考真题）若曲线有两条过坐标原点的切线，则a的取值范围是________________． 【答案】 【分析】设出切点横坐标，利用导数的几何意义求得切线方程，根据切线经过原点得到关于的方程，根据此方程应有两个不同的实数根，求得的取值范围. 【详解】∵，∴， 设切点为,则,切线斜率, 切线方程为：, ∵切线过原点，∴, 整理得：, ∵切线有两条，∴,解得或, ∴的取值范围是, 故答案为： 13．（2022·新高考全国Ⅱ卷·高考真题）曲线过坐标原点的两条切线的方程为____________，____________． 【答案】 【分析】分和两种情况，当时设切点为，求出函数的导函数，即可求出切线的斜率，从而表示出切线方程，再根据切线过坐标原点求出，即可求出切线方程，当时同理可得； 【详解】[方法一]：化为分段函数，分段求 分和两种情况，当时设切点为，求出函数导函数，即可求出切线的斜率，从而表示出切线方程，再根据切线过坐标原点求出，即可求出切线方程，当时同理可得； 解： 因为， 当时，设切点为，由，所以，所以切线方程为， 又切线过坐标原点，所以，解得，所以切线方程为，即； 当时，设切点为，由，所以，所以切线方程为， 又切线过坐标原点，所以，解得，所以切线方程为，即；故答案为：； [方法二]：根据函数的对称性，数形结合 当时，设切点为，由，所以，所以切线方程为， 又切线过坐标原点，所以，解得，所以切线方程为，即； 因为是偶函数，图象为： 所以当时的切线，只需找到关于y轴的对称直线即可. 14．（2025·全国一卷·高考真题）若直线是曲线的一条切线，则_________. 【答案】 【分析】法一：利用导数的几何性质与导数的四则运算求得切点，进而代入曲线方程即可得解；法二：利用导数的几何性质与导数的四则运算得到关于切点与的方程组，解之即可得解. 【详解】法一：对于，其导数为， 因为直线是曲线的切线，直线的斜率为2， 令，即，解得， 将代入切线方程，可得， 所以切点坐标为， 因为切点在曲线上， 所以，即，解得. 故答案为：. 法二：对于，其导数为， 假设与的切点为， 则，解得. 故答案为：. 15．（2025·全国二卷·高考真题）若是函数的极值点，则___________ 【答案】 【分析】由题意得即可求解，再代入即可求解. 【详解】由题意有， 所以， 因为是函数极值点，所以，得， 当时，， 当单调递增，当单调递减， 当单调递增， 所以是函数的极小值点，符合题意； 所以. 故答案为：. 16．（2021·新高考全国Ⅱ卷·高考真题）已知函数，函数的图象在点和点的两条切线互相垂直，且分别交y轴于M，N两点，则取值范围是_______． 【答案】 【分析】结合导数的几何意义可得，结合直线方程及两点间距离公式可得，，化简即可得解. 【详解】由题意，，则， 所以点和点，, 所以， 所以， 所以， 同理, 所以. 故答案为： 【点睛】关键点点睛： 解决本题的关键是利用导数的几何意义转化条件，消去一个变量后，运算即可得解. 17．（2024·全国甲卷·高考真题）曲线与在上有两个不同的交点，则的取值范围为______． 【答案】 【分析】将函数转化为方程，令，分离参数，构造新函数结合导数求得单调区间，画出大致图形数形结合即可求解. 【详解】令，即，令 则，令得， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增，， 因为曲线与在上有两个不同的交点， 所以等价于与有两个交点，所以. 故答案为： 18．（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）若曲线在点处的切线也是曲线的切线，则__________. 【答案】 【分析】先求出曲线在的切线方程，再设曲线的切点为，求出，利用公切线斜率相等求出，表示出切线方程，结合两切线方程相同即可求解. 【详解】由得，， 故曲线在处的切线方程为； 由得， 设切线与曲线相切的切点为， 由两曲线有公切线得，解得，则切点为， 切线方程为， 根据两切线重合,所以，解得. 故答案为： 19．（2022·全国乙卷·高考真题）已知和分别是函数（且）的极小值点和极大值点．若，则a的取值范围是____________． 【答案】 【分析】法一：依题可知，方程的两个根为，即函数与函数的图象有两个不同的交点，构造函数，利用指数函数的图象和图象变换得到的图象，利用导数的几何意义求得过原点的切线的斜率，根据几何意义可得出答案. 【详解】[方法一]：【最优解】转化法，零点的问题转为函数图象的交点 因为，所以方程的两个根为， 即方程的两个根为， 即函数与函数的图象有两个不同的交点， 因为分别是函数的极小值点和极大值点， 所以函数在和上递减，在上递增， 所以当时 ，，即图象在上方 当时，，即图象在下方 ，图象显然不符合题意，所以． 令，则， 设过原点且与函数的图象相切的直线的切点为， 则切线的斜率为，故切线方程为， 则有，解得，则切线的斜率为， 因为函数与函数的图象有两个不同的交点， 所以，解得，又，所以， 综上所述，的取值范围为． [方法二]：【通性通法】构造新函数，二次求导 =0的两个根为 因为分别是函数的极小值点和极大值点， 所以函数在和上递减，在上递增， 设函数，则， 若，则在上单调递增，此时若， 则在上单调递减，在上单调递增，此时若有和分别是函数 且的极小值点和极大值点，则，不符合题意； 若，则在上单调递减，此时若，则在上单调递增，在上单调递减，令，则，此时若有和分别是函数且的极小值点和极大值点，且，则需满足，，即故，所以. 【整体点评】法一：利用函数的零点与两函数图象交点的关系，由数形结合解出，突出“小题小做”，是该题的最优解； 法二：通过构造新函数，多次求导判断单调性，根据极值点的大小关系得出不等式，解出即可，该法属于通性通法． 20．（2023·全国乙卷·高考真题）设，若函数在上单调递增，则a的取值范围是______. 【答案】 【分析】原问题等价于恒成立，据此将所得的不等式进行恒等变形，可得，由右侧函数的单调性可得实数的二次不等式，求解二次不等式后可确定实数的取值范围. 【详解】由函数的解析式可得在区间上恒成立， 则，即在区间上恒成立， 故，而，故， 故即，故， 结合题意可得实数的取值范围是. 故答案为：. 1 学科网（北京）股份有限公司 $