三角函数的图像与性质11个常考小题训练-2026届高三数学三轮冲刺

【三角函数的图像与性质11个常考小题】 总览 题型梳理 题型分类 知识讲解与常考题型 【题型1：正弦余弦函数的值域】 【题型专练】 1．（2026·天津南开·二模）若把函数的图象向左平移个单位后得到的是一个偶函数，则在区间上的最小值为（   ） A． B． C． D．0 2．（2025·辽宁沈阳·三模）函数的最小值为_____． 3．（2025·广东佛山·二模）（多选）已知函数，则（    ） A．最小正周期为 B．是奇函数 C．在上单调递增 D．最大值为1 4．（2026·江西宜春·模拟预测）函数的值域为（    ） A． B． C． D． 5．（2026·北京海淀·二模）若函数的值域为，则可以为（   ） A． B． C． D． 【题型2：正余弦函数的最值求参数范围】 【题型专练】 6．（2026·湖北鄂州·模拟预测）已知函数,若，，，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 7．（2026·西藏拉萨·二模）若函数在区间上的值域为，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 8．（2026·辽宁鞍山·二模）已知函数，若存在，使得，则的最小值为________． 9．（2026·福建厦门·二模）已知函数，若，则（   ） A．0 B． C．1 D． 10．（25-26高三上·广东·期末）已知函数，若在区间上的值域为，则实数的取值范围是__________. 【题型3：求正余弦函数的单调性】 【题型专练】 11．（2026·湖南湘潭·三模）将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，则下列区间中，单调递减的区间是（    ） A． B． C． D． 12．（2026·天津·一模）已知函数在处取得最小值，则在区间上的单调递减区间为（   ） A． B． C． D． 13．（2026·浙江·二模）已知函数，，则函数的单调递增区间是______． 14．（2026·北京海淀·一模）已知函数两个相邻零点的距离为，且. (1)求、的值； (2)设，求的单调递增区间. 15．（2026·四川成都·二模）已知函数，则（   ） A．在上单调递增 B．在上单调递增 C．在上单调递减 D．在上单调递减 【题型4：由正余弦函数的单调性求参数范围】 【题型专练】 16．（2026·天津和平·二模）已知函数（）在区间上单调递减，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 17．（2026·安徽淮南·二模）已知函数在区间上单调递减，且函数图象关于中心对称，则________. 18．（2026·北京顺义·一模）设函数，则图象的一条对称轴方程为________；若在上单调递增，则的最大值为________. 19．（2026·陕西榆林·模拟预测）已知向量，，，记函数．若在上单调递增，则的取值范围为______． 20．（2026·陕西商洛·一模）已知函数的最小正周期为，若对任意的恒成立，且在区间上单调递增，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【题型5：由正余弦函数的奇偶性求参数】 【题型专练】 21．（2026·广东广州·模拟预测）已知函数的最小正周期为，若，是偶函数，则的值可以是（   ） A． B． C． D． 22．（2026·辽宁铁岭·模拟预测）已知函数，设甲：是偶函数，乙：是奇函数，则（    ） A．甲是乙的必要不充分条件 B．甲是乙的充分不必要条件 C．甲是乙的充要条件 D．甲是乙的既不充分也不必要条件 23．（2026·广东肇庆·二模）若函数是偶函数，则（    ） A．0 B． C． D． 24．（2026·黑龙江·一模）若函数是奇函数，则（   ） A．0 B． C． D． 25．（2026·四川巴中·一模）设函数，且，则（    ）． A． B． C． D． 【题型6：由正余弦函数的对称性求参数】 【题型专练】 26．（2026·山东威海·二模）设函数，若，且的图象在上存在对称轴，则的最小值为（    ） A． B．1 C． D．3 27．（2026·黑龙江哈尔滨·二模）已知函数的最小正周期为，函数图象关于直线对称，则的值为_________． 28．（2026·福建福州·三模）已知点是函数的图象的一个对称中心，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 29．（2026·江西·三模）若将函数的图象向右平移个单位长度后所得图象关于轴对称，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 30．（2026·山东济南·二模）已知函数，若，且，则（    ） A． B． C． D． 【题型7：由正余弦函数的最值对称性奇偶性单调性综合求参数】 【题型专练】 31．（2026·四川遂宁·二模）若函数在上单调递增，且方程在上有解，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 32．（2026·海南儋州·一模）已知函数在上单调递增，且当时，，则的取值范围为（） A． B． C． D． 33．（2026·河北张家口·二模）若函数在区间上单调递增，且，则的取值是（    ） A． B． C． D． 34．（2026·天津河西·一模）已知函数，在区间上单调递增，为它的一条对称轴，则方程在区间上所有不相等的实数根之和为（   ） A． B． C． D． 35．（2026·辽宁·模拟预测）（多选）将函数的图象按照以下顺序进行变换： ①向左平移个单位长度；②横坐标变为原来的2倍，纵坐标变为原来的倍；③向下平移个单位长度，可得到函数的图象．则下列结论正确的是（    ） A．若，则的取值范围为 B．若函数在上的图象与直线有且只有一个交点，在上单调递减，则 C．若函数在区间上的最值分别为，则的取值范围是 D．若方程在内恰有两个根，则 【题型8：正余弦函数图像的综合题型】 【题型专练】 36．（2026·河北沧州·三模）（多选）函数的最小正周期为，则下列说法正确的是（   ） A．若在上单调，则 B． C．方程在内的解有16个 D．若在上有且仅有两个极值点，则 37．（2026·湖南郴州·模拟预测）（多选）2026年春晚舞台上的灯光特效呈现出一种独特的动态变化，某处灯光的亮度变化可以近似用三角函数来描述，这个三角函数的图象如图所示，则（    ） A．的最小正周期为 B．是偶函数 C．的图象关于点对称 D．若在上有且仅有两个极值点，则 38．（2026·福建龙岩·三模）（多选）已知函数的部分图象如图所示，为图象的最高点， 分别为图象与轴，轴的交点，则（   ） A． B．为的一条对称轴 C．函数在上有且只有4个零点 D．若在区间上的最大值为，则 39．（2026·江西·二模）（多选）已知函数图象的某个零点与其相邻对称轴间的距离为，且恒成立，则下列结论正确的是（   ） A．在区间上单调递减 B．在区间上有两个极值点 C．直线与的图象相切 D．在的图象与函数的图象所有交点的横坐标之和为 40．（2026·山西·二模）（多选）函数的图象如图所示，则下列说法正确的是（   ） A．函数的最小正周期为 B．与直线有三个公共点 C．取得最小值时， D．将的图象向左平移个单位长度，所得图象关于轴对称 【题型9：正余弦函数的图像的变换与解析式】 【题型专练】 41．（2026·河南濮阳·模拟预测）（多选）若将函数的图像向左平移个单位长度后得到的图像，则（   ） A．的最小正周期为 B．在上单调递增 C． D．是奇函数 42．（2026·宁夏银川·模拟预测）（多选）已知函数，的部分图象如图所示，下列选项正确的是（ ） A．的图象关于直线对称 B．的图象关于点对称 C．将函数的图象向左平移个单位得到函数的图象 D．若方程在上有两个不相等的实数根，则m的范围是 43．（2026·黑龙江哈尔滨·三模）（多选）已知函数的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（   ） A． B． C．当时，函数的值域为 D．的图象是由的图象先将各点的横坐标变为原来的，再向左平移个单位长度得到的 44．（2026·福建厦门·模拟预测）（多选）已知函数（，）的部分图象如图所示，，，则（   ） A． B． C．是图象的一条对称轴 D．的图象向左平移个单位长度得到的图象关于原点对称 45．（2026·陕西榆林·模拟预测）（多选）已知函数的部分图象如图所示，则（   ） A． B． C．直线为图象的一条对称轴 D．将的图象向左平移个单位长度得到的图象 【题型10：正切函数的图像与性质】 【题型专练】 46．（2026·福建·二模）（多选）已知函数的部分图象如图所示，点、在的图象上．下列说法正确的是（   ） A．的最小正周期是 B．在区间单调递增 C．的一个对称中心是 D．的图象可以由的图象向左平移个单位长度得到 47．（2026·青海西宁·二模）（多选）已知函数的部分图象如图所示，则（   ） A． B．函数图象的对称中心为 C．当时，的值域为 D．不等式的解集为 48．（2026·广东梅州·模拟预测）（多选）函数的部分图象如图所示，则（   ） A． B． C．函数的图象关于直线对称 D．若函数在区间上不单调，则实数的取值范围是 49．（25-26高一上·江苏·期末）（多选）如图，函数的部分图象与坐标轴分别交于点，，，且的面积为，则（   ）    A．点D的纵坐标为 B． C．在上单调递增 D．点是图象的一个对称中心 50．（2025·陕西咸阳·模拟预测）（多选）已知函数的部分图象如图所示，则（   ） A． B． C．曲线的图象与y轴交点的纵坐标为 D．函数的图象关于直线对称 【题型11：三角函数的综合能力提升题型】 【题型专练】 51．（2026·陕西铜川·三模）已知函数，，假如，，是曲线，上从左往右依次连续相邻的三个交点，，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 52．（2026·江苏南京·模拟预测）（多选）已知函数，且的图象过点，若的图象与直线有3个不同的交点，且这3个交点的横坐标依次为，，，则下列说法正确的是（    ） A．实数t的取值范围是 B．的取值范围是 C．的最大值为 D．若在上的值域为，则的最大值为 53．（2026·安徽合肥·模拟预测）已知，且，，是在内的三个不同零点，则______. 54．（2026·天津河西·二模）已知函数（，），图象的两个相邻对称中心之间的距离为，且关于点对称，若关于x的方程在区间上有且只有两个不同的实数根，，则的所有可能取值构成的集合为（   ） A． B． C． D． 55．（2026·江苏·模拟预测）将函数的图象向右平移个单位，得到函数的图象，已知与图象上相邻的三个交点组成一个正三角形，则的值为（    ） A． B． C． D． 56．（2026·河南信阳·模拟预测）已知，若曲线与相邻的三个交点构成一个等腰直角三角形，则（   ） A． B． C． D． 57．（2026·天津河东·二模）已知，在函数的部分图象中（如图），其图象上的点，，是同一直线上的三点，且该直线与轴交于点，若，则（   ） A． B． C． D． 真题模拟检测 一、单选题 1．（2024·北京·高考真题）设函数.已知，，且的最小值为，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．（2025·全国一卷·高考真题）已知点是函数的图象的一个对称中心，则a的最小值为（   ） A． B． C． D． 3．（2023·天津·高考真题）已知函数的图象关于直线对称，且的一个周期为4，则的解析式可以是（    ） A． B． C． D． 4．（2023·全国乙卷·高考真题）已知函数在区间单调递增，直线和为函数的图像的两条相邻对称轴，则（    ） A． B． C． D． 5．（2023·全国乙卷·高考真题）已知等差数列的公差为，集合，若，则（    ） A．－1 B． C．0 D． 6．（2023·全国甲卷·高考真题）函数的图象由函数的图象向左平移个单位长度得到，则的图象与直线的交点个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 7．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）设函数，，当时，曲线与恰有一个交点，则（    ） A． B． C．1 D．2 8．（2024·天津·高考真题）已知函数的最小正周期为．则在区间上的最小值是（   ） A． B． C．0 D． 9．（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）当时，曲线与的交点个数为（    ） A．3 B．4 C．6 D．8 10．（2025·天津·高考真题），在上单调递增，且为它的一条对称轴，是它的一个对称中心，当时，的最小值为（   ） A． B． C．1 D．0 11．（2025·北京·高考真题）设函数，若恒成立，且在上存在零点，则的最小值为（   ） A．8 B．6 C．4 D．3 二、多选题 12．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）对于函数和，下列说法中正确的有（    ） A．与有相同的零点 B．与有相同的最大值 C．与有相同的最小正周期 D．与的图象有相同的对称轴 三、填空题 13．（2024·全国甲卷·高考真题）函数在上的最大值是______． 14．（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知函数，如图A，B是直线与曲线的两个交点，若，则______．    15．（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知函数在区间有且仅有3个零点，则的取值范围是________． 四、解答题 16．（2025·全国二卷·高考真题）已知函数． (1)求; (2)设函数，求的值域和单调区间． 17．（2020·上海·高考真题）已知. (1)函数的最小正周期是，求，并求此时的解集； (2)已知，，求函数，的值域. 18．（2018·上海·高考真题）设常数R，函数. (1)若为偶函数，求的值； (2)若，求方程在区间上的解. 19．（2023·北京·高考真题）设函数． (1)若，求的值． (2)已知在区间上单调递增，，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使函数存在，求的值． 条件①：； 条件②：； 条件③：在区间上单调递减． 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分． 20．（2024·上海·高考真题）已知， (1)设，求解:的值域; (2)的最小正周期为，若在上恰有3个零点，求的取值范围. 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 【三角函数的图像与性质11个常考小题】 总览 题型梳理 题型分类 知识讲解与常考题型 【题型1：正弦余弦函数的值域】 【题型专练】 1．（2026·天津南开·二模）若把函数的图象向左平移个单位后得到的是一个偶函数，则在区间上的最小值为（   ） A． B． C． D．0 【答案】C 【分析】运用辅助角公式进行整理，然后平移，根据奇变偶不变，符号看象限求出辅助角，然后求得参数，最后求解最小值. 【详解】因为，其中， 又因为函数的图象向左平移个单位为偶函数， 即为偶函数， 所以，解得， 所以， 所以， 当，即，所以. 所以. 2．（2025·辽宁沈阳·三模）函数的最小值为_____． 【答案】 【分析】化简函数解析式为，令，，利用二次函数的基本性质可求得的最小值. 【详解】， 令，，且该二次函数的对称轴为直线， 故函数在上单调递增， 故，即函数的最小值为. 故答案为：. 3．（2025·广东佛山·二模）（多选）已知函数，则（    ） A．最小正周期为 B．是奇函数 C．在上单调递增 D．最大值为1 【答案】BD 【分析】根据三角函数的性质确定的关系判断A；应用奇偶性定义判断B；由特殊值判断C；由，应用换元法及分式不等式的性质求函数的值域判断D. 【详解】由，显然不是的周期，A错； 由的定义域为R，且，所以为奇函数，B对； 由解析式，易得，显然在上不是单调递增，C错； 由， 令，则，且， 若，则，又在、上都单调递减， 在上，，在上，， 所以的最大值为1，D对. 故选：BD 4．（2026·江西宜春·模拟预测）函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，分和两种情况讨论求解即可. 【详解】当时，； 当时，， 所以的值域为． 5．（2026·北京海淀·二模）若函数的值域为，则可以为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用三角恒等变换先化简，进而求解. 【详解】由 ，其中， 又因为的值域为，所以，解得， 所以或， 当时，或，得到A符合题意. 【题型2：正余弦函数的最值求参数范围】 【题型专练】 6．（2026·湖北鄂州·模拟预测）已知函数,若，，，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由于的取值范围是， ，所以当且仅当 且 ， 因为，所以， 要使在上能取到，则区间 内至少要包含一个形如的数， 其中最小的可能值为(当时)，故需满足，解得； 要使在上能取到，则区间 内至少要包含一个形如的数，其中最小的可能值为(当时)，故需满足， 解得；为使，均在内，需同时满足和，因此最小的为. 7．（2026·西藏拉萨·二模）若函数在区间上的值域为，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题设时，， 结合正弦函数的性质，只需，即. 8．（2026·辽宁鞍山·二模）已知函数，若存在，使得，则的最小值为________． 【答案】5 【分析】根据正弦函数值域，判断等式成立的条件，进而根据函数最值，列出不等式，求出参数范围，求出结果即可. 【详解】因为，又存在，使得， 所以在上要有最大值与最小值，且， 所以，所以，所以， 又因为，所以， 经分析，要使最小，需区间包含区间， 即且时，解得，所以的最小值为. 9．（2026·福建厦门·二模）已知函数，若，则（   ） A．0 B． C．1 D． 【答案】D 【分析】根据辅助角公式及条件，可得a值，根据诱导公式及特殊角的三角函数值，即可得答案. 【详解】由辅助角公式得， 因为，所以在处取得最大值， 则，解得， 则， 所以. 10．（25-26高三上·广东·期末）已知函数，若在区间上的值域为，则实数的取值范围是__________. 【答案】 【分析】利用二倍角公式、辅助角公式化简函数，再借助正弦函数的图象与性质求解即得. 【详解】由题可得 ， 当时，，又，， 函数在上单调递增，在上单调递减，而的值域为， 所以，得， 所以实数的取值范围为. 故答案为：. 【题型3：求正余弦函数的单调性】 【题型专练】 11．（2026·湖南湘潭·三模）将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，则下列区间中，单调递减的区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据平移变换得到解析式，结合正弦型函数性质求解判断即可. 【详解】由题意知，， 令，得， 则的单调递减区间为． 对于A：当时，，A正确. 对于BCD：无满足条件，故BCD错误. 12．（2026·天津·一模）已知函数在处取得最小值，则在区间上的单调递减区间为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意结合三角函数的最值点可得，再结合正弦函数单调性运算求解. 【详解】因为，则， 若函数在处取得最小值， 则，解得，可得， 又因为，则， 令，解得， 所以在区间上的单调递减区间为. 13．（2026·浙江·二模）已知函数，，则函数的单调递增区间是______． 【答案】 【分析】利用辅助角公式求出，求出函数的单调递增区间，结合定义域求得结果. 【详解】因为， 函数的单调递增，即 解得， 又因为， 当，函数的单调递增区间 14．（2026·北京海淀·一模）已知函数两个相邻零点的距离为，且. (1)求、的值； (2)设，求的单调递增区间. 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）求出函数的最小正周期，可求出的值，再利用可得出的值； （2）利用三角恒等变换化简函数的解析式，利用正弦型函数的单调性可得出关于的不等式，即可解得函数的单调递增区间. 【详解】（1）因为函数两个相邻零点的距离为， 故函数的最小正周期为，所以，即， 又因为，故. （2）因为 ， 由可得， 故函数的单调递增区间为. 15．（2026·四川成都·二模）已知函数，则（   ） A．在上单调递增 B．在上单调递增 C．在上单调递减 D．在上单调递减 【答案】B 【详解】若，则， 结合正弦函数单调性可知函数在上有增有减，不单调； 若，则， 结合正弦函数单调性可知函数在上单调递增. 【题型4：由正余弦函数的单调性求参数范围】 【题型专练】 16．（2026·天津和平·二模）已知函数（）在区间上单调递减，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先利用二倍角公式将函数化简，再根据正弦函数的单调性求出的单调递减区间，最后结合已知条件确定实数的取值范围即可. 【详解】因为，所以： ， 因为（）的单调递增区间就是的单调递减区间， 由，，解不等式得： ，， 所以的单调递减区间为，， 又因为在区间上单调递减，当时，单调递减区间为， 则有， 由 得 ，由 得 ， 因为 ，所以 ， 因此，实数的取值范围为. 17．（2026·安徽淮南·二模）已知函数在区间上单调递减，且函数图象关于中心对称，则________. 【答案】 【分析】先利用正弦型函数的单调性，求得，得到，再由的对称性，求得，进而得到的值. 【详解】由函数，令 解得， 所以函数的单调递减区间为 因为在区间上单调递减，所以，且， 解得， 因为，当时，；当时，，无解（舍去）， 又由函数图象关于中心对称， 可得，可得，解得， 所以满足且，所以当时，. 18．（2026·北京顺义·一模）设函数，则图象的一条对称轴方程为________；若在上单调递增，则的最大值为________. 【答案】 ，（任意符合的结果都正确） 【详解】利用辅助角公式化简得：， 由正弦函数的对称轴满足，令： ， 取，得一条对称轴为，（任意符合的结果都正确）； 再由正弦函数的单调递增区间满足， 令： ， 整理得的单调递增区间为， 因为区间关于原点对称，只有时的递增区间包含原点， 要满足，得，因此的最大值为. 19．（2026·陕西榆林·模拟预测）已知向量，，，记函数．若在上单调递增，则的取值范围为______． 【答案】 【分析】由倍角公式和辅助角公式化简函数解析式，利用函数在区间内的单调性求解即可. 【详解】. 因为，所以时，， 因为在上单调递增，所以，， 解得，. 又，所以当时，，当时，范围不符合题意. 综上的取值范围为. 20．（2026·陕西商洛·一模）已知函数的最小正周期为，若对任意的恒成立，且在区间上单调递增，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】结合题意得，求得，再结合三角函数的单调性得，，最后结合求解即可. 【详解】因为，所以， 又，所以，即， 又在区间上单调递增，所以， 故，，解得，． 令得，又，所以； 令得； 当时，，不合题意． 综上，的取值范围为． 【题型5：由正余弦函数的奇偶性求参数】 【题型专练】 21．（2026·广东广州·模拟预测）已知函数的最小正周期为，若，是偶函数，则的值可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题目条件，推导出函数的表达式，进而求出的可能值. 【详解】已知函数的最小正周期为，则根据正弦函数的周期公式，有，解得， 所以函数，又因为，且，即，解得， 因此，则， 由于是偶函数，则，解得， 则的可能值为，故A正确. 22．（2026·辽宁铁岭·模拟预测）已知函数，设甲：是偶函数，乙：是奇函数，则（    ） A．甲是乙的必要不充分条件 B．甲是乙的充分不必要条件 C．甲是乙的充要条件 D．甲是乙的既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据函数的奇偶性求出的取值，再根据充分、必要条件求解即可. 【详解】由是偶函数得，， 得， 由是奇函数得，， 得， 若甲条件成立，取甲条件中，得， 代入乙条件验证，所以不是整数，不满足乙，即甲推不出乙； 若乙条件成立，，代入甲条件得， 所以满足时，乙可以推出甲； 所以甲是乙的必要不充分条件. 23．（2026·广东肇庆·二模）若函数是偶函数，则（    ） A．0 B． C． D． 【答案】D 【详解】因是偶函数，则， 即，也即函数是偶函数，则， ，则得，所以， 则. 24．（2026·黑龙江·一模）若函数是奇函数，则（   ） A．0 B． C． D． 【答案】D 【分析】根据奇函数中得出，再代入结合特殊角三角函数值求解. 【详解】由，即，得， 所以，则． 故选：D. 25．（2026·四川巴中·一模）设函数，且，则（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用三角恒等变换化简函数的解析式，根据函数为偶函数可得出关于的等式，结合可得出的值. 【详解】因为，且， 即函数为偶函数，所以，可得， 又因为，故， 故选：B. 【题型6：由正余弦函数的对称性求参数】 【题型专练】 26．（2026·山东威海·二模）设函数，若，且的图象在上存在对称轴，则的最小值为（    ） A． B．1 C． D．3 【答案】D 【分析】先化简函数解析式，结合周期可得为正整数，利用对称轴可得答案. 【详解】，因为，所以是的一个周期， 所以，即，其中； 令，则， 因为的图象在上存在对称轴，所以，即； 当时，不合题意；当时，解得，且为正整数， 所以的最小值为3，此时对称轴为，符合题意； 当时，解得，综上，的最小值为3. 27．（2026·黑龙江哈尔滨·二模）已知函数的最小正周期为，函数图象关于直线对称，则的值为_________． 【答案】 【分析】先根据函数的最小正周期求出，再根据正弦函数的对称性求出即可. 【详解】因为函数的最小正周期为， 所以，所以， 则， 又函数图象关于直线对称， 所以，所以， 又，所以， 所以. 28．（2026·福建福州·三模）已知点是函数的图象的一个对称中心，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】令，解得. 点是函数的图象的一个对称中心， ，解得. ，，解得； ，符合条件的的最小值为1； . 29．（2026·江西·三模）若将函数的图象向右平移个单位长度后所得图象关于轴对称，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据平移变换得到平移后的函数解析式，再利用函数关于轴对称的性质列出等式，进而求出关于的表达式，最后结合确定的最小值. 【详解】函数的图象向右平移个单位长度所得函数为： ， 则图象关于轴对称， 即，则， 因为，所以当时，的最小值为. 30．（2026·山东济南·二模）已知函数，若，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意可得，由余弦函数的对称性，，化简得到，代入即可求解. 【详解】由于，所以, 因为​，所以， 因为，且，则 ​由余弦函数的对称性，，且， 所以，则， 则， 因为，且， 所以 【题型7：由正余弦函数的最值对称性奇偶性单调性综合求参数】 【题型专练】 31．（2026·四川遂宁·二模）若函数在上单调递增，且方程在上有解，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先对函数进行化简，再根据单调性和方程有解的条件确定的取值范围. 【详解】因为，所以根据二倍角公式可得： ， ， ， 再根据辅助角公式进一步化简可得：， 因为，所以令，则， 因为的单调递增区间为，而， 所以整个区间需落在内，即， 求解可得：，因为方程即， 在内，仅有解， 又因为，解不等式：可得：. 32．（2026·海南儋州·一模）已知函数在上单调递增，且当时，，则的取值范围为（） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】运用辅助角公式将函数化为正弦函数，进而利用正弦函数的单调区间和正负区间分别建立关于ω的不等式组，通过整数参数描述区间位置并与定义域取交集，最终综合确定ω的取值范围. 【详解】利用辅助角公式化简： 的单调递增区间为， 当时，，整个区间需落在某个增区间内， 因此：, 化简得： 结合： 若，则，若，则，若，不等式无解， 因此 当时，， 要使恒成立，整个区间需落在， 因此：， 化简得：， 结合，分情况讨论： 当时：取，得，交集为， 当时：取，得，交集为（因为）， 综上，的取值范围是. 33．（2026·河北张家口·二模）若函数在区间上单调递增，且，则的取值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据函数单调性和特殊值条件可得，求出的取值范围及的表达式，再由结合周期确定出的表达式，确定取值，从而求得． 【详解】因为在上单调递增，， 所以且， 所以， 又，则，故， 所以，解得， 因，则，所以， 又，则当时，. 34．（2026·天津河西·一模）已知函数，在区间上单调递增，为它的一条对称轴，则方程在区间上所有不相等的实数根之和为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先利用三角恒等变换对函数化简，再根据对称性和单调性求出，分析方程解的情况，最后求出在区间上所有不相等的实数根之和. 【详解】 ，， 因为为的一条对称轴，所以，，即， 设函数的周期为，由在区间上单调递增，则，即， 所以，即， 所以或或或， 当时，，令，解得， 当时，的增区间为，而，满足题意； 当时，，令，解得， 当时，的增区间为，而，不合题意； 当时，，令，解得， 当时，的增区间为，而，不合题意； 当时，，令，解得， 当时，的增区间为，而，不合题意； 综上，，. 当时，， 当时，，即， 所以方程等价于，即， 所以或， 解得或， 当时，在区间上，时，，时，，时，； 当时，在区间上，时，，时，，时，； 所以方程在区间上所有不相等的实数根之和为. 35．（2026·辽宁·模拟预测）（多选）将函数的图象按照以下顺序进行变换： ①向左平移个单位长度；②横坐标变为原来的2倍，纵坐标变为原来的倍；③向下平移个单位长度，可得到函数的图象．则下列结论正确的是（    ） A．若，则的取值范围为 B．若函数在上的图象与直线有且只有一个交点，在上单调递减，则 C．若函数在区间上的最值分别为，则的取值范围是 D．若方程在内恰有两个根，则 【答案】ABD 【分析】先通过图象变换得到，再通过正弦函数性质求解不等式判断A；将交点问题转化为方程有解问题，求解参数范围，利用正弦函数性质建立不等式组，求解参数范围，进而汇总参数范围判断B；举反例判断C；最后利用整体代换的思想令，将转化为判断D即可. 【详解】由题意得将的图象向左平移个单位长度， 则， 而横坐标变为原来的2倍，纵坐标变为原来的倍， 得到， 而向下平移个单位长度， 可得， 则，即. 对于A，由，得， 由三角函数的图象可得， 可得的取值范围为，故A正确； 对于B，由题意得， 令，可得， 而，则， 若在上的图象与直线有且只有一个交点， 则在上有且只有一个解， 可得，解得. 若在上单调递减，则在上单调递增， 因为，所以， 令，由正弦函数性质得在上单调递增， 可得，解得， 综上可得，，故B正确； 对于C，由题意得， 不妨设函数在区间上的最大值为，最小值为， 令，则区间变为，可得， 则，即， 此时， 即的取值范围是不成立，故C错误； 对于D，令，则，， 若方程在内恰有两个根，， 则，即在内恰有两个根， 则，且，得到， 故，故D正确. 故选：ABD 【题型8：正余弦函数图像的综合题型】 【题型专练】 36．（2026·河北沧州·三模）（多选）函数的最小正周期为，则下列说法正确的是（   ） A．若在上单调，则 B． C．方程在内的解有16个 D．若在上有且仅有两个极值点，则 【答案】ACD 【分析】利用二倍角的正余弦公式和辅助角公式化简得，利用最小正周期求得函数解析式.利用整体法求解可判断AD；直接计算可判断B；解三角方程可判断C. 【详解】 ， 因为函数的最小正周期为，所以，解得， 所以. 当，所以， 因为在上单调，所以，解得，故A正确； ，故B错误； 由，可得， 所以或， 解得或， 又，所以有8个解， 有8个解，故共16个解，故C正确； ， 因为，所以， 因为在上有且仅有两个极值点， 所以，解得，所以，故D正确. 37．（2026·湖南郴州·模拟预测）（多选）2026年春晚舞台上的灯光特效呈现出一种独特的动态变化，某处灯光的亮度变化可以近似用三角函数来描述，这个三角函数的图象如图所示，则（    ） A．的最小正周期为 B．是偶函数 C．的图象关于点对称 D．若在上有且仅有两个极值点，则 【答案】BCD 【分析】先根据三角函数图像的最高点位置求出参数得到的解析式，再依次分析各选项的周期、奇偶性、对称性、极值点个数，判断各选项正误. 【详解】由图可知，时取最大值，即， 所以，解得，又， 所以，， 对于A： 的最小正周期，A错误； 对于B ：，是偶函数，B正确； 对于C ：， 当时，，因此函数图象关于对称，C正确； 对于D：，当时，， 函数的极值点满足，要求区间内仅有两个极值点， 则恰有两解， 因为时，，时，，时，， 所以，解得，即，D正确. 38．（2026·福建龙岩·三模）（多选）已知函数的部分图象如图所示，为图象的最高点， 分别为图象与轴，轴的交点，则（   ） A． B．为的一条对称轴 C．函数在上有且只有4个零点 D．若在区间上的最大值为，则 【答案】AC 【分析】根据函数所过的点，求出函数的两个参数，得到具体函数解析式，再根据正弦函数的对称轴，单调区间，零点、最值，逐项计算判断即可. 【详解】已知，过，得， 结合，得； 过，且是最高点之后的零点，满足，解得. 因此，最高点坐标为. 选项A.，，则，A选项正确； 选项B.不是最值，故不是的对称轴，B选项错误； 选项C.， 因此，该函数是偶函数. 当时，，不是零点. 令，即. 当时，作出函数和在区间上的图象如下： . 所以当时有2个零点，由偶函数对称性，当时有2个零点，总共4个零点，C选项正确； 选项D.中，对应，即长度为的区间上的最大值. 取，区间对应，最大值，不满足，D选项错误. 39．（2026·江西·二模）（多选）已知函数图象的某个零点与其相邻对称轴间的距离为，且恒成立，则下列结论正确的是（   ） A．在区间上单调递减 B．在区间上有两个极值点 C．直线与的图象相切 D．在的图象与函数的图象所有交点的横坐标之和为 【答案】BCD 【分析】根据给定的性质求出函数的解析式，利用正弦函数单调性判断A；求出导数并确定指定区间内极值点个数判断B；设出切点坐标，利用导数的几何意义求解判断C；求出两个函数的对称中心，利用对称性求解判断D. 【详解】由函数图象的某个零点与其相邻对称轴间的距离为，得，解得， 由恒成立，得当时，函数取得最小值， 则，而，因此，函数， 对于A，由，得，而函数在上不单调， A错误； 对于B，，由，得， 函数在上有两个变号零点，因此在上有两个极值点，B正确； 对于C，设直线与的图象相切于点， 则，即，， 解得或， 当时，切点为， 于是，解得，即直线与的图象相切，切点为； 当时，切点为，于是， 即，此方程整数无解， 综上，直线与的图象相切，切点为，C正确； 对于D，函数的图象关于点对称，函数， 由，得，即函数的图象关于点对称， 而区间的中点为，因此在上两函数图象有8个交点， 它们两两关于点对称，设这8个交点的横坐标分别为， 因此，D正确. 40．（2026·山西·二模）（多选）函数的图象如图所示，则下列说法正确的是（   ） A．函数的最小正周期为 B．与直线有三个公共点 C．取得最小值时， D．将的图象向左平移个单位长度，所得图象关于轴对称 【答案】AC 【分析】由最小正周期公式及图象可判断A；求出函数解析式，根据正弦函数的性质判断B和C；根据平移法则，得到平移后的函数，再根据三角函数的奇偶性的判定可判断D. 【详解】由图象得：，解得，故A正确； 由，，得，又，将点代入中得： ，即，，解得，. 又，， 函数. 与只有一个公共点， 与只有一个公共点， 与只有一个公共点， 与只有一个公共点，故B错误； 令，即，， 解得，，故C正确； 将的图象向左平移个单位长度，得， ，图象不关于轴对称，故D错误. 【题型9：正余弦函数的图像的变换与解析式】 【题型专练】 41．（2026·河南濮阳·模拟预测）（多选）若将函数的图像向左平移个单位长度后得到的图像，则（   ） A．的最小正周期为 B．在上单调递增 C． D．是奇函数 【答案】AC 【分析】根据周期公式判断A；根据正弦函数的图像判断B；根据函数平移与解析式关系判断C；根据诱导公式判断D． 【详解】由题知，， 对于A，的最小正周期为，故A正确； 对于B，当时，， 因为在上不单调， 所以在上不单调，故B错误； 对于C，，故C正确； 对于D，因为，所以为偶函数，故D错误． 42．（2026·宁夏银川·模拟预测）（多选）已知函数，的部分图象如图所示，下列选项正确的是（ ） A．的图象关于直线对称 B．的图象关于点对称 C．将函数的图象向左平移个单位得到函数的图象 D．若方程在上有两个不相等的实数根，则m的范围是 【答案】CD 【分析】根据函数部分图象求出函数解析式，由和可得选项A错误；由可得选项B错误；根据图象平移原则可得选项C正确；数形结合可得选项D正确. 【详解】由题意得，最小正周期满足，即，则，即， 代入得，即，由此可得，解得， 因为，令，则，综上可得， 对A，若为对称轴，则或， 代入得， 因为或，故A错误； 对B，若的图象关于点对称，则， 而代入得， 因为，故B错误； 对C，函数的图象向左平移个单位得到的函数为 ，故C正确； 对D，若，则， 令，即， 则与在上有两个交点，如下图可得， 解得，故D正确.    43．（2026·黑龙江哈尔滨·三模）（多选）已知函数的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（   ） A． B． C．当时，函数的值域为 D．的图象是由的图象先将各点的横坐标变为原来的，再向左平移个单位长度得到的 【答案】AC 【分析】由函数的最值可得A值，根据周期公式可得值，可判断A；代入特殊值分析求解，可得值，即可得的解析式可判断B；根据x的范围可得的范围，结合正弦函数的性质得的值域，即可判断C；根据图象平移、伸缩变换的方法，整理化简，可判断D. 【详解】由图象得，的最大值为2，最小值为，所以， ，解得，则，故A正确； ，所以， 因为，所以令，则，所以， 则，故B错误； 当时，， 所以当时，有最小值， 当时，有最大值1，则函数的值域为，故C正确； 将的图象先将各点的横坐标变为原来的，得， 再向左平移个单位长度，得，故D错误. 44．（2026·福建厦门·模拟预测）（多选）已知函数（，）的部分图象如图所示，，，则（   ） A． B． C．是图象的一条对称轴 D．的图象向左平移个单位长度得到的图象关于原点对称 【答案】ABD 【详解】对A，将代入函数得 又，故，选项A正确. 对B，将和代入函数得 由图可得，即，又，所以 取，得，选项B正确. 对C， 不是最值，故不是对称轴，选项C错误. 对D，将向左平移个单位，得 是奇函数，图像关于原点对称，选项D正确 45．（2026·陕西榆林·模拟预测）（多选）已知函数的部分图象如图所示，则（   ） A． B． C．直线为图象的一条对称轴 D．将的图象向左平移个单位长度得到的图象 【答案】BD 【详解】由图象知，，所以，故错误； 函数形式为，代入零点得 ， 由得，故正确； 因为， 所以 ，故错误； ，故正确． 【题型10：正切函数的图像与性质】 【题型专练】 46．（2026·福建·二模）（多选）已知函数的部分图象如图所示，点、在的图象上．下列说法正确的是（   ） A．的最小正周期是 B．在区间单调递增 C．的一个对称中心是 D．的图象可以由的图象向左平移个单位长度得到 【答案】AD 【分析】由图象求出、的值，结合正切型函数的周期公式可判断A选项；利用正切型函数的周期公式可判断B选项；利用正切型函数的对称性可判断C选项；利用三角函数图象变换可判断D选项. 【详解】对于A选项，由题意可得，又因为，所以， 所以， 又因为，所以，解得， 由图可知函数的最小正周期满足，即，即， 故，因为，故，， 所以函数的最小正周期为，A对； 对于B选项，由A选项可知， 当时，，故函数在区间上不单调，B错； 对于C选项，因为，故不是函数的一个对称中心，C错； 对于D选项，因为， 所以的图象可以由的图象向左平移个单位长度得到，D对. 47．（2026·青海西宁·二模）（多选）已知函数的部分图象如图所示，则（   ） A． B．函数图象的对称中心为 C．当时，的值域为 D．不等式的解集为 【答案】BCD 【分析】利用图象求出函数的最小正周期，结合正切型函数的周期公式可判断A选项；利用正切型函数的对称性可判断B选项；由可得出的取值范围，结合正切型函数的基本性质求出函数的值域，可判断C选项；化简函数的解析式，利用正切型函数的基本性质解不等式，可判断D选项. 【详解】对于A，设函数的最小正周期为，则有， 由函数的图象可知，则． 又，则，即，A错误； 对于B，令，解得， 即图象的对称中心为，B正确； 对于C，当时，， 故，则，C正确； 对于D，当时，，此时无解， 当时，则，解得， 由，可得， 此时，解得， 故不等式的解集为，D正确． 48．（2026·广东梅州·模拟预测）（多选）函数的部分图象如图所示，则（   ） A． B． C．函数的图象关于直线对称 D．若函数在区间上不单调，则实数的取值范围是 【答案】ACD 【分析】根据正切型三角函数的图象性质确定其最小正周期，从而得的值判断A；再根据函数特殊点求得的值，从而可得解析式，代入计算判断B；计算可得判断C；当时，，当时，，再由函数在区间不单调，可得实数的取值范围判断D. 【详解】对于A，函数的最小正周期为，则有， 即，因此A正确； 对于B，由函数的图象可知：， 因为，所以，即， 由图象可知：，则， 所以，故B错误． 对于C，因为， 所以，函数的图象关于直线对称，C正确； 对于D， 当时， ， 当时， ， 当函数在区间上不单调时， 则有，故D正确． 49．（25-26高一上·江苏·期末）（多选）如图，函数的部分图象与坐标轴分别交于点，，，且的面积为，则（   ）    A．点D的纵坐标为 B． C．在上单调递增 D．点是图象的一个对称中心 【答案】BD 【分析】首先根据周期求得，利用面积公式求得；进而利用求得解析式，利用整体法求得单调递增区间、对称中心即可求解. 【详解】最小正周期，，即，故选项A错误； 因为，即，因为，所以，故选项B正确； 由， 令， 解得当时，单调递增， 令，得到，故选项C错误； 令，解得， 取， 即为对称中心，故选项D正确； 故选：BD. 50．（2025·陕西咸阳·模拟预测）（多选）已知函数的部分图象如图所示，则（   ） A． B． C．曲线的图象与y轴交点的纵坐标为 D．函数的图象关于直线对称 【答案】BCD 【分析】对于A，由图结合周期公式可求出进行判断，对于B，由图可知，的图象关于点对称，代入函数中可求出进行判断，对于C，由选项AB可得的解析式，然后求解进行判断，对于D，通过计算进行判断. 【详解】对于A，由图可知，的最小正周期为，由得，，A错误； 对于B，由于,由图可知，的图象关于点对称，所以，解得，B正确； 对于C，由上面得，，令得，， 所以曲线与y轴交点的纵坐标为，C正确； 对于D，因为，所以的图象关于对称， 所以函数的图象关于直线对称，D正确. 故选：BCD. 【题型11：三角函数的综合能力提升题型】 【题型专练】 51．（2026·陕西铜川·三模）已知函数，，假如，，是曲线，上从左往右依次连续相邻的三个交点，，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先利用辅助角公式化简，再根据函数图象的平移规律得到，数形结合得到为等腰三角形，通过添加辅助线，得到关于的不等式，进而求解的取值范围. 【详解】 所以将的图象向左平移个单位长度后可得到的图象，如图所示： 是与图象从左往右依次连续相邻的三个交点， 为等腰三角形，， 由，得 ，即 ， 又因为 解得， 故交点的纵坐标为， 过作交于点，由对称性可知， 为等腰三角形， ，， ，，得， ，解得 实数的取值范围为. 故选：B. 52．（2026·江苏南京·模拟预测）（多选）已知函数，且的图象过点，若的图象与直线有3个不同的交点，且这3个交点的横坐标依次为，，，则下列说法正确的是（    ） A．实数t的取值范围是 B．的取值范围是 C．的最大值为 D．若在上的值域为，则的最大值为 【答案】ACD 【分析】先由图象过点求出，再分别讨论左侧抛物线分支与右侧正弦函数分支和直线的交点个数，判断A；取特殊值判断B；分别在、、三种情况下估计，判断C；最后由的值域限制确定区间的最大长度，判断D. 【详解】因为的图象过点，所以， 解得，故， 对于A，当时，方程 有一个解的条件为； 当 时，方程有两个解的条件为， 要使的图象与直线有3个不同的交点，需，A正确； 对于B，取，则，，， 所以，不属于，B错误； 对于C，当时，设，其中， 则， ，所以 ， 当，设 ，其中， 则， ，所以， 设 ， ， 则 ， 当， ， 因此 ， 因此在区间是严格单调递减函数，所以 ， 所以 ， 当时，， ，此时 ， 故的最大值为，C正确； 对于D，由且，得； 而当 时，恒有， 因此使在区间上不超出值域的最大区间为， 且在该区间上值域恰为，所以的最大值为，D正确； 53．（2026·安徽合肥·模拟预测）已知，且，，是在内的三个不同零点，则______. 【答案】 【分析】根据方程，，求出，，，再利用诱导公式和积化和差求值. 【详解】由题意：，， 得：， 所以或，， 又，所以，，， . 54．（2026·天津河西·二模）已知函数（，），图象的两个相邻对称中心之间的距离为，且关于点对称，若关于x的方程在区间上有且只有两个不同的实数根，，则的所有可能取值构成的集合为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求出的解析式，换元，画出函数图象，数形结合得到的取值范围，并分两种情况，结合函数对称性得到方程，求出答案 【详解】图象的两个相邻对称中心之间的距离为，故的最小正周期为， 又，所以，解得，故， 因为为函数的对称中心，所以， 所以，解得， 因为，所以只有满足要求，故， ，故， 画出在上的函数图象，如下： 有且只有两个不同的实数根，， 则与有且只有两个不同的实数根， 所以且， 若，则关于对称，，， 即，解得，， 若，则关于对称，，， 即，解得，， 则的所有可能取值构成的集合为 55．（2026·江苏·模拟预测）将函数的图象向右平移个单位，得到函数的图象，已知与图象上相邻的三个交点组成一个正三角形，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题可知， 在同一坐标系中作出和的图像： 令，由相邻交点的性质可得， 解得, 分别令，得到相邻三个交点的坐标， ，， 此时等边底边，高为， 又正三角形中，所以，所以， 因为，所以，所以，所以. 56．（2026·河南信阳·模拟预测）已知，若曲线与相邻的三个交点构成一个等腰直角三角形，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先利用余弦相等的解方程条件求出两曲线交点的坐标规律，再结合相邻三个交点构成等腰直角三角形的几何性质，通过等腰直角三角形斜边与高的数量关系建立方程，即可求解的值. 【详解】∵ 两曲线交点满足， 根据余弦方程的解为，分情况讨论： . 若，化简得，无实数解，舍去； . 若，整理得， 解得交点横坐标为. 将横坐标代入，得交点纵坐标：     ∴ 相邻三个交点的坐标为： ，，. ∵ 三点构成等腰直角三角形，直角顶点为中间点， ∴ 斜边的长度为横坐标差：， 斜边上的高为两点纵坐标差：. ∵ 等腰直角三角形斜边上的高等于斜边的一半， ∴ ，代入得：     化简得，解得. 【点睛】1. 技巧提示：求解两个三角函数交点问题时，优先利用三角恒等变换解方程得到交点的坐标规律，避免逐点枚举. 2. 几何性质应用：等腰直角三角形斜边上的中线（高）等于斜边的一半，是本题建立参数方程的关键，避免了复杂的斜率/长度计算. 57．（2026·天津河东·二模）已知，在函数的部分图象中（如图），其图象上的点，，是同一直线上的三点，且该直线与轴交于点，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】已知，而且共线，因此可以把这条直线的方向向量设出来，再把三个点都写成同一个参数形式.随后利用它们都在函数的图象上，把几何条件转化为三组正弦值关系，最后联立求出. 【详解】设，并设直线 的单位方向向量为 由可得 因为都在函数的图象上，所以 令 则上面三式化为①②③ 由 ①+②得 若，设，则由②③可推出 即 由于，故，从而，这与图象位置关系矛盾，因此不成立. 所以只能有 取最小正值， 此时由①③得 即所以 于是故 再由得 而，所以 因此 真题模拟检测 一、单选题 1．（2024·北京·高考真题）设函数.已知，，且的最小值为，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】根据三角函数最值分析周期性，结合三角函数最小正周期公式运算求解. 【详解】由题意可知：为的最小值点，为的最大值点， 则，即， 且，所以. 故选：B. 2．（2025·全国一卷·高考真题）已知点是函数的图象的一个对称中心，则a的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据正切函数的对称中心的结论求解. 【详解】根据正切函数的性质，的对称中心横坐标满足， 即的对称中心是， 即， 又，则时最小，最小值是， 即. 故选：B 3．（2023·天津·高考真题）已知函数的图象关于直线对称，且的一个周期为4，则的解析式可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意分别考查函数的最小正周期和函数在处的函数值，排除不合题意的选项即可确定满足题意的函数解析式. 【详解】由函数的解析式考查函数的最小周期性： A选项中，B选项中， C选项中，D选项中， 排除选项CD， 对于A选项，当时，函数值，故是函数的一个对称中心，排除选项A， 对于B选项，当时，函数值，故是函数的一条对称轴， 故选：B. 4．（2023·全国乙卷·高考真题）已知函数在区间单调递增，直线和为函数的图像的两条相邻对称轴，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意分别求出其周期，再根据其最小值求出初相，代入即可得到答案. 【详解】因为在区间单调递增， 所以，且，则，， 当时，取得最小值，则，， 则，，不妨取，则， 则， 故选：D. 5．（2023·全国乙卷·高考真题）已知等差数列的公差为，集合，若，则（    ） A．－1 B． C．0 D． 【答案】B 【分析】根据给定的等差数列，写出通项公式，再结合余弦型函数的周期及集合只有两个元素分析、推理作答. 【详解】依题意，等差数列中，， 显然函数的周期为3，而，即最多3个不同取值，又， 则在中，或或 于是有或， 即有，解得； 或者，解得； 所以，或. 故选：B 6．（2023·全国甲卷·高考真题）函数的图象由函数的图象向左平移个单位长度得到，则的图象与直线的交点个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】先利用三角函数平移的性质求得，再作出与的部分大致图像，考虑特殊点处与的大小关系，从而精确图像，由此得解. 【详解】因为向左平移个单位所得函数为，所以， 而显然过与两点， 作出与的部分大致图像如下，    考虑，即处与的大小关系， 当时，，； 当时，，； 当时，，； 所以由图可知，与的交点个数为. 故选：C. 7．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）设函数，，当时，曲线与恰有一个交点，则（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】D 【分析】解法一：令，分析可知曲线与恰有一个交点，结合偶函数的对称性可知该交点只能在y轴上，即可得，并代入检验即可；解法二：令，可知为偶函数，根据偶函数的对称性可知的零点只能为0，即可得，并代入检验即可. 【详解】解法一：令，即，可得， 令， 原题意等价于当时，曲线与恰有一个交点， 注意到均为偶函数，可知该交点只能在y轴上， 可得，即，解得， 若，令，可得 因为，则，当且仅当时，等号成立， 可得，当且仅当时，等号成立， 则方程有且仅有一个实根0，即曲线与恰有一个交点， 所以符合题意； 综上所述：. 解法二：令， 原题意等价于有且仅有一个零点， 因为， 则为偶函数， 根据偶函数的对称性可知的零点只能为0， 即，解得， 若，则， 又因为当且仅当时，等号成立， 可得，当且仅当时，等号成立， 即有且仅有一个零点0，所以符合题意； 故选：D. 8．（2024·天津·高考真题）已知函数的最小正周期为．则在区间上的最小值是（   ） A． B． C．0 D． 【答案】D 【分析】结合周期公式求出，得，再整体求出当时，的范围，结合正弦三角函数图象特征即可求解. 【详解】因为函数的最小正周期为，则，所以， 即，当时，， 所以当，即时， 故选：D 9．（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）当时，曲线与的交点个数为（    ） A．3 B．4 C．6 D．8 【答案】C 【分析】画出两函数在上的图象，根据图象即可求解 【详解】因为函数的最小正周期为， 函数的最小正周期为， 所以在上函数有三个周期的图象， 在坐标系中结合五点法画出两函数图象，如图所示： 由图可知，两函数图象有6个交点. 故选：C 10．（2025·天津·高考真题），在上单调递增，且为它的一条对称轴，是它的一个对称中心，当时，的最小值为（   ） A． B． C．1 D．0 【答案】A 【分析】利用正弦函数的对称性得出，根据单调性得出，从而确定，结合对称轴与对称中心再求出，得出函数解析式，利用整体思想及正弦函数的性质即可得解. 【详解】因为函数在上单调递增，且为它的一条对称轴， 所以时函数取最大值， 又因为是它的一个对称中心， 所以，， 设的最小正周期为，由正弦函数的对称性可知， 即， 又在上单调递增，则， ∴，则，， ∵，∴时，，∴， 当时，， 由正弦函数的单调性可知. 故选：A 11．（2025·北京·高考真题）设函数，若恒成立，且在上存在零点，则的最小值为（   ） A．8 B．6 C．4 D．3 【答案】C 【分析】由辅助角公式化简函数解析式，再由正弦函数的最小正周期与零点即可求解. 【详解】函数， 设函数的最小正周期为T，由可得， 所以，即； 又函数在上存在零点，且当时，， 所以，即； 综上，的最小值为4. 故选：C. 二、多选题 12．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）对于函数和，下列说法中正确的有（    ） A．与有相同的零点 B．与有相同的最大值 C．与有相同的最小正周期 D．与的图象有相同的对称轴 【答案】BC 【分析】根据正弦函数的零点，最值，周期公式，对称轴方程逐一分析每个选项即可. 【详解】A选项，令，解得，即为零点， 令，解得，即为零点， 显然零点不同，A选项错误； B选项，显然，B选项正确； C选项，根据周期公式，的周期均为，C选项正确； D选项，根据正弦函数的性质的对称轴满足， 的对称轴满足， 显然图像的对称轴不同，D选项错误. 故选：BC 三、填空题 13．（2024·全国甲卷·高考真题）函数在上的最大值是______． 【答案】2 【分析】结合辅助角公式化简成正弦型函数，再求给定区间最值即可. 【详解】，当时，， 当时，即时，. 故答案为：2 14．（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知函数，如图A，B是直线与曲线的两个交点，若，则______．    【答案】 【分析】设，依题可得，，结合的解可得，，从而得到的值，再根据以及，即可得，进而求得． 【详解】设，由可得， 由可知，或，，由图可知， ，即，． 因为，所以，即，． 所以， 所以或， 又因为，所以，． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查根据图象求出以及函数的表达式，从而解出，熟练掌握三角函数的有关性质，以及特殊角的三角函数值是解题关键． 15．（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知函数在区间有且仅有3个零点，则的取值范围是________． 【答案】 【分析】令，得有3个根，从而结合余弦函数的图像性质即可得解. 【详解】因为，所以， 令，则有3个根， 令，则有3个根，其中， 结合余弦函数的图像性质可得，故， 故答案为：. 四、解答题 16．（2025·全国二卷·高考真题）已知函数． (1)求; (2)设函数，求的值域和单调区间． 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）直接由题意得，结合余弦函数的单调性即可得解； （2）由三角恒等变换得，由此可得值域，进一步由整体代入法可得函数的单调区间. 【详解】（1）由题意，所以； （2）由（1）可知， 所以 ， 所以函数的值域为， 令，解得， 令，解得， 所以函数的单调递减区间为， 函数的单调递增区间为. 17．（2020·上海·高考真题）已知. (1)函数的最小正周期是，求，并求此时的解集； (2)已知，，求函数，的值域. 【答案】(1)，或； (2). 【分析】（1）利用正弦函数的周期公式求出，再求出方程的解集即得. （2）利用二倍角公式及辅助角公式求出，再利用正弦函数性质求出值域即可. 【详解】（1）依题意，，解得，则，由，得， 解得或，即或 所以的解集为或. （2）依题意，， ， 当时，，则有，， 所以函数，的值域为. 18．（2018·上海·高考真题）设常数R，函数. (1)若为偶函数，求的值； (2)若，求方程在区间上的解. 【答案】(1) (2)，，， 【分析】（1）根据函数的奇偶性和三角形的函数的性质即可求出； （2）先求出的值，再根据三角形函数的性质即可求出． 【详解】（1）∵为偶函数，∴恒成立， 即恒成立， 所以恒成立 ∴； （2）∵，∴， 即， ∴， ∴， 由，得， ∵，∴ ∴或或或， 所以，，，. 19．（2023·北京·高考真题）设函数． (1)若，求的值． (2)已知在区间上单调递增，，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使函数存在，求的值． 条件①：； 条件②：； 条件③：在区间上单调递减． 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分． 【答案】(1). (2)条件①不能使函数存在；条件②或条件③可解得，. 【分析】（1）把代入的解析式求出，再由即可求出的值； （2）若选条件①不合题意；若选条件②，先把的解析式化简，根据在上的单调性及函数的最值可求出，从而求出的值；把的值代入的解析式，由和即可求出的值；若选条件③：由的单调性可知在处取得最小值，则与条件②所给的条件一样，解法与条件②相同． 【详解】（1）因为 所以， 因为，所以. （2）因为， 所以，所以的最大值为，最小值为. 若选条件①：因为的最大值为，最小值为，所以无解，故条件①不能使函数存在； 若选条件②：因为在上单调递增，且， 所以,所以,, 所以， 又因为，所以， 所以， 所以，因为，所以. 所以，； 若选条件③：因为在上单调递增，在上单调递减， 所以在处取得最小值，即. 以下与条件②相同． 20．（2024·上海·高考真题）已知， (1)设，求解:的值域; (2)的最小正周期为，若在上恰有3个零点，求的取值范围. 【答案】(1); (2) 【分析】（1）利用三角函数的性质结合换元法求出单调性，再求解值域即可. （2）利用三角函数的性质求解参数即可. 【详解】（1）因为，所以， 因为，所以令， 由正弦函数性质得在上单调递增，在上单调递减， 所以，故， （2）由题意得，所以，可得， 当时，，，即，， 当时，，不符合题意， 当时，，符合题意， 当时，，符合题意， 当时，，符合题意， 所以， 即，故. 1 学科网（北京）股份有限公司 $