命题大赛 广东高二数学2025-2026学年下学期期末测试数学试卷（人教A版）

**基本信息** 高二数学期末测试覆盖高中全内容，原创题占比高，通过现实情境（如安全知识比赛、植树节种树）和新定义问题（连分式数列）考查数学思维与应用能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|11/58|集合、复数、立体几何、概率等|单选基础巩固，多选综合考查（如正方体线面关系）| |填空题|3/15|二项式定理、排列组合、立体几何折叠|结合生活情境（植树节选树苗）| |解答题|5/77|立体几何证明与夹角、概率分布与期望、数列、椭圆、新定义数列|第16题以安全知识比赛为情境考查概率应用（数学语言），第19题新定义“连分式数列”考查抽象与推理（数学思维）|

Sheet1 题号 题型 分值 知识点 难度系数（预估） 1 单选题 5 集合的交并补运算，涉及一元二次不等式解集的交集。 0.9 2 单选题 5 复数的概念与运算法则 0.8 3 单选题 5 线线、线面、面面平行（垂直）的判定与性质 0.8 4 单选题 5 条件概率 0.8 5 单选题 5 正弦定理、余弦定理、面积公式 0.6 6 单选题 5 投影向量 0.55 7 单选题 5 直线与圆的位置关系 0.4 8 单选题 5 单调性与奇偶形 0.2 9 多选题 6 三角函数图象的变换 0.6 10 多选题 6 空间直线与直线的位置关系、空间直线与平面的位置关系、空间平面与平面的位置关系、正方体外接球相关知识 0.5 11 多选题 6 导数的求导公式、函数极值、函数的切线方程、函数的零点 0.3 12 填空题 5 二项式系数与项的系数 0.55 13 填空题 5 排列组合实际应用 0.5 14 填空题 5 几何体的翻折问题、球的体积公式 0.8 15 解答题 13 线面平行、面面夹角 0.7 16 解答题 15 概率与分布 0.65 17 解答题 15 数列通项公式、错位相减 0.55 18 解答题 17 圆锥曲线与直线的综合应用 0.35 19 解答题 17 数列与不等式结合 0.15 $ 应用场景：期末 高二数学下学期期末测试 高中数学全部内容 （考试时间：120分钟，分值：150分） 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.（原创）集合，则( ) A. B. C. D. 2.（原创）设复数,,则（ ） A.-2 B.2 C.-1 D.1 3.（原创）已知是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下面四个命题中正确的是（ ） A. B. C. D. 4.（深度改编）某校高二1班有6名男生和4名女生，现在随机选取3人参加数学竞赛。已知选取的3人中至少有1名女生，则恰好有2名男生的概率是（ ） A. B. C. D. 5.（原创）已知的外接圆半径为2，BC=，则的面积是（ ） A. B. C. D. 6.（原创）在的投影向量是（ ） A. B. C. D. 7.（原创）已知圆O的一般方程：，则过点A（8，6）圆O的切线是（ ） A. B. C. D. 8.（原创）函数 的解集为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.（原创）个单位，得到的图象，则下列正确的是（ ） A. B. C. D. 10.（原创）在正方体中，棱长为，下列说法正确的是（ ） A. 直线与所成的角是 B. 直线与平面平行 C. 若点分别为的中点，则平面与平面垂直 D. 该正方体外接球体积为 11.（原创）已知函数，下列说法正确的是（ ） A.是函数的极大值点 B.函数在处的切线方程为 C.函数有3个零点 D.若有三个不同的根，则的取值范围是 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.（原创）在的展开式中，无理数的项系数和为 13.（原创）植树节高三（1）班计划在校内草地种两棵树做留念,现从6个品种的树苗中选择两个品种树苗分别种在两块草地上共有 种选法。 14.（原创）在边长为的菱形中，，将沿折起,使二面角的所成角为90°，得到三棱锥，则三棱锥外接球的体积为 。 4、 解答题：本题共5分小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15.（原创）（13分）如图，正四棱台,其中, O为底面的对角线交点。D1 C1 A1 B1 C D O A B （1） 证明：； （2） 求夹角的正弦值。 16.（原创）（15分）某校以保障学生生命安全和健康成长为首要目标，举行安全知识和法律知识比赛，只有两项比赛都获胜才能参加决赛。已知甲、乙、丙安全知识比赛获胜的概率分别是P，，甲、乙、丙法律知识获胜的概率分别为，且每轮比赛的结果互不影响。（其中0<P<1) （1）若甲进入决赛的概率最大，求P的取值范围； （2）若，设甲、乙、丙进入决赛的人数为，求的分布列和数学期望值。 17.（原创）（15分）设为数列的前项的和，已知, （1） 求的通项公式； （2） 若，为数列的前n项和，求。 18.（深度改编）（17分）已知椭圆的右焦点与抛物线的焦点重合，过点的直线交椭圆于两点。当直线经过椭圆短轴的下顶点时，与以原点为圆心，以椭圆的离心率为半径的圆相切。 （1） 求椭圆的方程； （2）设斜率为的直线经过点与椭圆相交于，两点，点关于轴的对称点为，直线与轴相交于点，若与的面积分别为，，，求的最大值。 19.（原创）（17分）设数列、的每一项均为正整数，若对于任意正整数，数列都有，且，则称数列为“连分式数列”。 由“连分式数列”的定义可知，数列的每一项均为有理数，不妨记为非既约分数，则称数列为数列的“分子数列”，数列为数列的“分母数列”。 已知且，，，则 (1) 分别计算的值； (2) 利用“分子数列”与“分母数列”的定义，证明：，都有； (3) 当时，是否存在为正整数，若存在，请求出其值，若不存在，请说明理由。 第 1 页 共 6 页 学科网（北京）股份有限公司 $高二数学下学期期末测试 高中数学全部内容 答案及解析 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的. 2 3 4 5 6 7 8 D C B D D 6 D 1.解析：由题可知A={x-2≤x≤8，B={4,5,6,7,8} 则A∩B={4,5,6,7,8 故选D 2.解析：Z●1+i=3+i,设Z=a+bi得（a+bi)1+=3+i, a+6=解得a=2 a-b=3 (a-b)+(a+b)i=3+i,则有 b=-1'·b-2 故选A 3.解析：A选项m不一定在平面B内 B选项中若a∥B,m∥，m∥n,则n不一定平行B,有可能在平面内 C选项中满足线面平行的判定定理 D选项中m,n有可异面 故选C 4.解析：事件定义： 事件A:选取的3人中恰好有2名男生和1名女生。 事件B:选取的3人中至少有1名女生 n P(AIB)=PAnB) 则 PB 由于事件A发生时必然满足事件B,因此 PA∩B=PA PA)-CixC1 C 2 P(B)=1- C2-5 Cio 6 1 ..P(A B)= PA_2_3 PB)55 6 故选B 5.解析：由正弦定理可知_b=2R,且R=2,则b=4sinB=2√5 sin B 由余弦定理B2=a2+c2-2 accos得12=25+c2-5。 C 4 2 解得c-5+西或c=5-(舍去) 4 4 由5csm8=xx5+y亚x5255+535 22 4 2 32 故选D 6.解析：由题意可知 BC=BA sina π-a BA BA =sina●sin a●BA=sin2aBA 故选D 7.解析：由方程x2-8x+y2-4y+16=0,可得(x-42+y-22=4. 所以圆心(4,2)，半径r=2 设过点A(8,6)直线的方程为：y-6=kx-8,整理可得-y+6-8k=0 则圆心到直线的距离d= 4k-2+6-8则-2 Vk2+(-2 解得k=4+万或k=4-7 3 3 所以直线方程为4+√7x-3y-14-8√7=0和4-7k-3y-14+8V7=0 故选B -因，gix=fe-e-fl-f 8解析：构造 e e ex 当x>0,fx)-f(x>0, f(x)-fx)<0, g(x<0, .x>0,gx单调递减。 又：f3)=0, ∴g3)=13-0 .x∈0,3，g(x)>0,f(x)>0 x∈(3，+0)，g(x)<0,f(x)<0 又：f(x)是偶函数，x∈-3,3，f(x)>0;x∈(-0，-3和(3，+0)，f(x)<0 又由-2 0,得X-2>0成x-2<0 、或 f(x) lf(x)<0 f(x)>0 x>3或-3<x<2 “不等式x-2 <0的解集为-3,2U(3,+0, f(x) 故选D 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有 多项是符合题目要求的.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0 分 9 10 11 ABD ABD ABC 9.解折：函数f0)=2cos2x的图象向左平移g个单位，得到g()=2co(2x+学 8 令-π+2kπ≤2r+交s2kπ解得-5+krSx≤-+k,k∈Z 8 8 当k=1时，单调递增区间为 gg][ 则A正确 3 令2x+k伍，解得x+当k=2两，x三 7π，则B正确 4 令2x+T=二+k红，解得x=交+K红，则C错误 42 82 则Z=2x+∈厂区5π π 由于x∈0， 2 44’4 根据图象可知g(2)在z=下取得最大值。 8孕=2c0s牙-2，则D正确 4 故选ABD 10.解析：A选项：因为BD⊥AC,BD⊥AA1,AC∩AA1=A, AC,AAC平面AACC1,所以BD⊥平面AACC1,A,CC平面AACC,则BD⊥A,C, 所成角为90°，A正确； B选项：连接B,D1,A,C1,交点为O,连接AC,BD,交点为O,易知BC1∥AD1, AD,∥AO,A,Oc平面AACC1,BC1E平面AACC1,所以BC,∥平面A,ACC1, B正确； C选项：假设平面A,C,FE与平面AACC,垂直，因为EF∥AC,AC⊥BD,但仅 由己知条件无法推出平面A,C,FE内有直线垂直于平面A,ACC,所以两平面不垂 直，C错误 D选项：正方体的体对角线长为V3a,即外接球直径2R=5a,R=5。 2a,根据 球体积公式r-音R=5。广 3 -a π3，D正确. 3"2 故选ABD 11.解析：A选项：对fx)=x3-3x2+2x求导得f'x)=3x2-6x+2,令f'x)=0,由 求根公式x-6±36-24-1±5 -o,1-3 时，fx>0,fx)递增： 6 当1+.<0，问莲减所以=15是极大位点，A 3 2 正确； B选项：f=1-3+2=0,f)=3-6+2=-1,根据点斜式y-y。=(x-x),切 线方程为y-0=-1×x-1,即y=-x,B正确： C选项：fx=xx2-3x+2=xx-1x-2,令fx)=0,解得x=0或x=1或x=2, 有3个零点，C正确。 选项)+5 4+25,若f=k有三 0 个不同的根，则k的取值范围是 4-2W34+2W3 D错误。 9 9 故选ABC 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12.-32 13.30 14.5vi5 πa 36 12.解析： 〔+女a可〔 =c=c 当k=1,3,5时满足条件，所以☐0口项的和为：-C6-C-C=-32 13.解析：由6种树苗选2种分别种在2块草地A2=30 14.解析：设三棱锥A-BCD的外接球球心为O,半径为R 由已知可得△ABD、△BCD是正三角形，取BD中点M,连结AM、CM。 则AM、CM、BD两两垂直、 设球O在△ABD、△BCD的截面圆圆心分别为E、F; 则E、F分别为△ABD、△BCD的中心 可得四边形BEMF是正方形，则OE=EM=号AM=5 3 6 所以OM=V6 a 6 连结OB,则OB=R 因为M为BD中点：则BM=BD-a 0-Bw+0w-+名-。 6 6 5 后4555 3( 四、解答题：本题共5分小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演 算步骤 15.证明(1)连接A,0,A,C1, :由己知得，ABCD为正方形，A,B,C,D为正方形，且A,B,=2,AB=4 AC=4W2,AC=22…2分 又：O是正方形ABCD对角线的交点 0C=AC=223分 即AC∥OC且AC=OC…4分 ∴.四边形A,OCC,是平行四边形 则AO∥CC1 …5分 又：A,Od平面BCC,B,CC,C平面BCC,B, .A,O∥平面BCC,B,…6分 (2)连接A,C、B,D,A,C,∩B,D,=O,连接O0 过点O作EFI∥BC,GH∥AB;过A作AI⊥平面ABCD;以OE为x轴，OH为y轴，OO为Z轴， 建立空间直角坐标系如图所示：…7分 A1 B1 G 0 H 易知在△M4中，∠A,IA=90°，A4=3,Al=√2 .41=V万8分 A2,-2,0,D(-2,-2,0,A11,-1,√7)，B(2,2,0),C-2,2,0,B,1,1V7) 6 AD=(-4,0,0,AA1=1,1V万B0=(-4,0,0,BB1=3,-1,万9分 设平面ADD,A,的法向量为n=(x,y,2),平面BCCB,的法向量为m=(x2,y2,) n●AD=0-4x1=0 → n●AA,=0 {+男+7=02i=67.-列…10份 m●BC=0,「-4x2=0 →m=0,7,7)…11分 m●BB,=0 3x2-y2+V722=0 设平面ADD,A与平面BCC,B的夹角为0 →→ m●n 49-7 3 cos(m,n …12分 V49+7·V49+74 /→→ 7 cos m,n 4 故平面ADD,A,与平面BCC,B的夹角的正弦值为 √7 …13分 16.解：(1)设甲、乙、丙进入决赛的概率分别为P,P2,卫 =x5-B R==*4 311 …3分 -83-8 要甲进入决赛的概率最大 P>P P1 1 4 得>，即 -P> 1.1 8…2 <P<1,…6分 0<P<1 0<P<1 甲进入决赛的概率最大，P的范围是(，D…7分 (2)随机变量x的可能取值为0,1,2,3……8分 若 P=3 甲 进 入 决 赛 的 概 率 1 …9分 8 > ∴Px=0)=1-31-2X0-5=105 …10分 8 4 8256 Px=-0-0-+-xxa-+1--× 11113 …11分 4 81 84 8 48256 3141、,3 P(x=2)=。×5(1-)+二×(1- x+-3x2x35 …12分 84 88 48848256 3113 P(x=3)=。×-× …13分 848256 .随机变量x的分布列为 0 1 2 3 P 105 113 35 3 256 256 256 256 14分 口0口E(x)=0× 105 113 +1× 2x35 +3x3=192-3 256 256 256 25625641 3 .数学期望值E(x)=二…15分 4 7.解：（1)当n=1时，S=a0-,解得a3…-2分 当n22f,5多}aSa …3分 …4分 30l=0n)5分 ∴a是以首项为3，公比为3的等比数列 …7分 ∴.an=3×3"-1=3” (2)由(1)可知，bn=3"●log33”=n·3” …8分 Tn=b,+b2+…+bn=1x3+2×3+…+nx3” ①…9分 3T,=1×32+2×33+…+n×3+1 ②…10分 ①-②可得 -2Tn=3+32+33+…+3”-n×3+1… …12分 =3-31 -nX31…13分 -2 7=331-2n …15分 4 4 18.解：(1)设E(x,y),则E到F(V30)的距离为EF=V《x-√3)2+y2 …1分 E到直线x45的距离为k 4v5 …2分 3 3 依题意得 Vx-V3)2+y2√3 …3分 4w3 2 3 化简得 4+y2=1 …5分 2由E的方程兰+y'=1得A2,0) 4 设P(x,y小Q(2,y2)入、因为直线PQ过G(2,2) 所以设直线PQ的方程为y=kx+b,则b=2-2k. 6分 [y=kx+b 由x 4+2=1 得(1+4k2)x2+8kbx+4b2-4=0 …7分 因为直线与椭圆有两个交点所以△>0 -8b 4b2-4 x+x3=1+4k2 ，,=1+4k …8分 直线AP的方程为y=片，x-2),得M(0,-2丛) x1-2 x,-2 同理可得N(0,-2y) …10分 x2-2 由2头+-24=-2+b,-2)+(,+b5-2) x1-2x2-2 (x1-2)(x2-2) =-22出3+(6-2k)(x+x2)-46 xx2-2(x1+x2)+4 =-22k4b-4)-8b6-2)-4b1+4k2) (4b2-4)+16kb+41+4k2) 9 =-2 -8k-4b 4b2+16kb+16k2 4k+2b 2 b2+4k+4k2 4k+4(1-k) 40-kP+81-)+4=1 …16分 所以MN的中点坐标为(O,二) …17分 1 …1分 19.解：1x2=1+1=2 1 X3=1十=2…2分 3_5 x4=1+22 …3分 (2)依题意得：P⊥=1+”=1+n9a=卫，+ng2 …4分 gn+1 Pn gn Pn+l=pn+ngn,qntl=pn......... …5分 ∴Pn+2=Pn++(n+1Pn,p1=1,P2=2 9n+2=9m+1+gn,91=1=92…6分 X1-x=1+0-X=l+g-L4…7分 Pn gn =n92+p9,-p Pngn =n9+99-91 Pugn …9分 =n92+9(gn-9n4l Pngn =ng2-n-19a191 Pngn 假设存在x1<xn,则xn+1-xn<0,心n+1<n ① g行<(n-19m-9n+1…10分 10 m1=2L=四<-lg.u-n-l卫=n-lk11分 9n-19n-19n9n 即(n+1x。<心4，与①式矛盾 (3)由 (1) 2) 可 知 当 1 23时，41+>x2得x)十0+23严 …12分 x. 4 七=1+”-1>1+”-1得 Xn-1 、1,3 n>-十n-,n≥4 …13分 1 …14分 4 变形得4n-3<(2xn-12<4n+1②…15分 假设n≥4时，存在xn为正整数，则2x。-1为奇数 …16分 此时(2xn-12=4x2-xn+1与②式矛盾 n≥4时，不存在x为正整数。…17分 11