重难点专题12 利用几何法求异面直线所成的角（四大题型）（课件）-2023-2024学年高一数学新教材同步配套培优讲义与精练（人教A版2019必修第二册）

重难点专题12 利用几何法求异面直线所成的角 01 02 03 目录 CONTENTS 题型归纳 方法技巧 典型例题 01 题型归纳 题型归纳 02 方法技巧 方法技巧 异面直线所成的角 ①定义：设是两条异面直线，经过空间任一点作直线，把与所成的锐角（或直角）叫做异面直线与所成的角（或夹角）． ②范围： ③求法：平移法：将异面直线平移到同一平面内，放在同一三角形内解三角形． 03 典型例题 【例1】（2024·高一·福建福州·期末）在正四面体（各棱都相等）中，是的中点，则异面直线与所成的角的余弦值为 ． 【答案】 【解析】取的中点，连接， 分别是的中点，， 为异面直线与所成的角， 设正四面体的棱长为2，则， 在中，． 故答案为： 题型一：利用中位线平移 典型例题 【变式1-1】（2024·高一·广东广州·期末）在四面体中，两两互相垂直，且是的中点，异面直线与所成的角的余弦值为，则四面体的体积为 ． 【答案】 【解析】取的中点，连接，如图， 因为是的中点，则，于是是异面直线与所成的角或其补角， 令，而两两互相垂直，则，， 在等腰中，，，解得， 显然平面，所以四面体的体积为． 故答案为： 题型一：利用中位线平移 典型例题 【变式1-2】（2024·高一·黑龙江哈尔滨·期末）如图，在四棱锥中，平面，四边形为菱形，，且，E为的中点，则异面直线与所成的角的余弦值为 ．    【答案】 【解析】连接交于点F，连接， 由于四边形为菱形，故互相垂直平分，F为的中点，E为的中点，故，且，， 则异面直线与所成的角即为直线与所成的角， 因为平面，平面，故， 又，平面， 故平面，平面，故，即为直角三角形， 设，四边形为菱形，，则，， 故， 则，则， 因为异面直线所成的角的范围为，即异面直线与所成的角的余弦值为 题型一：利用中位线平移 典型例题 【例2】（2024·高一·四川成都·期末）如图，平面，且，则异面直线与所成角的正切值为 ．    【答案】 【解析】过作，且， 因为，所以四边形为矩形， 所以，异面直线与所成角为或其补角， 因为，所以，， 因为平面，、平面，则，， 所以， 又因为，，、平面，所以平面， 因为平面，所以． 在中，， 即异面直线与所成的角的正切值为． 故答案为：． 题型二：利用四边形平移 典型例题 【变式2-1】（2024·高一·广东江门·期中）如图，长方体中，， ，那么异面直线与所成角的余弦值是 ．    【答案】 【解析】如图：设， ， ， 又，， 因为长方体中，所以， 所以四边形 是平行四边形，所以， 即为异面直线与所成的角（或补角）， 在△中，，，， ， 故答案为：． 题型二：利用四边形平移 典型例题 【变式2-2】（2024·青海玉树·模拟预测）如图，在正方体中，是的中点，则异面直线和所成角的大小为 ． 【答案】 【解析】如下图所示，连接、、，设正方体的棱长为， 因为且，则四边形为平行四边形，故， 所以，异面直线和所成角为或其补角， 因为，同理可得，， 由勾股定理可得， 由余弦定理可得， 所以，，故异面直线和所成角的大小为． 故答案为：． 题型二：利用四边形平移 典型例题 【例3】在正方体中，为的中点，平面与平面的交线为，则与AB所成角的余弦值为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】在正方体上面补上一个正方体， 易证为与AB所成的角． 设 题型三：补体法 典型例题 【变式3-1】（2024·湖北·高一统考期末）如图，在三棱锥中，平面为的中点，则直线与所成角的余弦值为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为平面平面平面 所以，，又， 所以两两垂直，将三棱锥置于一个长方体中，如图所示， 易知，所以直线与所成角即为与所成角为（或其补角）， 由题意可知，， 在中，由余弦定理，得 ， 所以直线与所成角的余弦值为． 故选：D． 题型三：补体法 典型例题 【变式3-2】（2024·高三·安徽·阶段练习）在长方体（平面为下底面）中，，，点为线段的中点，则异面直线与所成角的余弦值为 ． 【答案】 【解析】在长方体的上方补一个全等的长方体， 所以，由长方体的性质可知：直线， 因为，，点为线段的中点 所以，，， 所以， 所以，异面直线与BF所成角的余弦值为． 故答案为： 题型三：补体法 典型例题 【例4】（2024·高二·上海·期末）已知异面直线、所成角为，过空间定点与、成角的直线共有3条，则的大小是 ． 【答案】 【解析】分别将直线平移得到，使得经过点，如图所示， 设所成角的角平分线为，过点垂直于所在平面的直线为， 因为异面直线、所成角